Евклидовы структуры на узлах и зацеплениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Шматков, Руслан Николаевич

• Шматков, Руслан Николаевич
• кандидат наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат наук Шматков, Руслан Николаевич

Оглавление

Введение

1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

1.1. Пространства постоянной кривизны

1.1.1. Евклидово пространство Е3

1.1.2. Сфера Sn

1.1.3. Пространство Лобачевского ЕР

1.2. Гиперболическая геометрия

1.2.1. Группа изометрий пространства Лобачевского

1.2.2. Классификация изометрий гиперболического пространства И3

1.3. Дискретные группы движений

1.4. Фундаментальная группа

1.5. Конические многообразия

1.6. Двумостовые узлы и зацепления

2 ЕВКЛИДОВА СТРУКТУРА НА КОНИЧЕСКОМ МНОГООБРАЗИИ С СИНГУЛЯРНЫМ МНОЖЕСТВОМ ЗАЦЕПЛЕНИЕ УАЙТХЕДА 27 2.1. Геометрические структуры на зацеплении Уайтхеда

2.2. Фундаментальное множество для конического многообразия W (т.п.) в Е3

2.3. Формула объема и пзопериметрическое неравенство

2.4. Евклидова теорема тангенсов

2.5. Евклидовы теоремы синусов I и II

3 КОНИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ С ЕВКЛИДОВОЙ СТРУКТУРОЙ И ДВУМОСТОВЫЕ УЗЛЫ

3.1. Геометрические структуры на двумостовых узлах

3.2. Теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел

3.3. Примеры евклидовых конических многообразий

3.3.1. Евклидовы конические многообразия на узлах 7/2и7/3

3.3.2. Евклидовы конические многообразия па узлах 9/2 и 9/5

3.3.3. Евклидовы конические многообразия на узлах 1] /3 и 11/4

3.3.4. Евклидово коническое многообразие на узле 15/11

4 ПОЧТИ ЕВКЛИДОВЫ МОДЕЛИ МНОГООБРАЗИЯ ФОМЕНКО-МАТВЕЕВ А-ВИКС А

4.1. Гиперболические многообразия малого объема и теорема Тёрстона-Йоргенсена

4.2. Построение почти евклидовых моделей

4.2.1. Почти евклидова модель на узле 7/2

4.2.2. Почти евклидова модель на узле 7/3

Заключение

Литература

Посвящается моим Родителям -Отцу Николаю Карповичу и Матери Надежде Семеновне

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Евклидовы структуры на узлах и зацеплениях»

Введение

Элементы евклидовой геометрии начали использоваться человечеством с первых веков его возникновения на Земле.

Возникновение евклидовой геометрии относят к III в. до н. э., когда дрен-негреческий математик Евклид из Александрии изложил аксиомы, основные понятия и теоремы евклидовой геометрии, придав ей тем самым вид самостоятельной математической теории.

В настоящий момент евклидова геометрия является совершенной математической теорией, имеющей практическое применение почти во всех областях современной науки и техники и обладающей мощным математическим аппаратом, способным проводить научные исследования.

Развитие теории узлов неразрывно связано с развитием евклидовой геометрии.

Узлы применялись человечеством с древнейших времен. Они широко использовались во всех областях человеческой деятельности. Обнаруженные археологами древние орнаменты, содержащие в качестве элементов узлы и зацепления, насчитывают несколько тысяч лет. Кроме этого, узлы издавна упоминаются в преданиях и фольклоре различных народов мира. Хорошо известна история про полководца Александра Македонского, который, не сумев развязать узел, завязанный восточным мудрецом Гордием, разрубил узел мечем. Сюжет указанной истории даже вошел в поговорку "Разрубить гор-

диев узел".

Теория узлов расположена на стыке таких разделов математики, как математический анализ, алгебра, теория чисел, алгебраическая топология и дифференциальная геометрия. Истоки теории узлов лежат в математической теории электричества и элементарной атомной физике, а недавно наметилась возможность ее новых приложений в некоторых областях химии и микробиологии.

Вид современной топологической теории теория узлов приобрела после работ М. Дена [49), Дж.В. Александера [36, 37], К. Рейдемейстера [108, 109, 110J и X. Зейферта [113, 114] почти сто лет тому назад. Как часть топологии она образует как бы остов широкого круга проблем, связанных с расположением одного многообразия внутри другого. С того момента и до наших дней теория узлов получила значительное развитие, обогатившись достижениями таких известных математиков, как К.К. Адаме [35], Г. Бёде [42], X. Цишанг [34. 43|. Дж.Х. Конвэй [45], Р.Х. Кровелл [47. 48|, Р.Х. Фокс [57. 119|. Л. Гётриц |58). С. Киношита [78], Е.П. Классен [79, 80], М. Сакума [81, 103], Дж.В. Милнор [98, 99], Дж. Минкус [100], Д. Рольфсен [111], А.Б. Сосинский [31]. X. Шуберт [112], Дж.Х.К. Уайтхед [123], Дж. Вике [63], К. Волькотт [124] и других математиков.

В конце XX столетия теория узлов нашла широкое применение в теории конических многообразий, которая возникла с появлением работ К. Ходжсо-на [74] и Тёрстона [120] и начала интенсивно развиваться. Развитие теории конических многообразий, продолжающееся и по сей день, обусловлено появлением в данной области большого количества работ, в которых применяются аналитические методы, методы теории функций и теории узлов, алгебраические, геометрические и топологические методы. Среди них наиболее значи-

тельными являются работы X. Хеллппга, А.Ч. Кима. II. Мопппке [61]. Х.М. Хилдена, М.Т. Лозано, Х.М. Монтезиноса ([65] - [73]), Е. Суарес [118], С.П. Керкгоффа [75], В. Данбара [51, 53], К.Н. Джонс [77], С. Коджимы [82], Фенг Люо [56] и Дж. Порти [40, 107].

Таким образом, современная теория конических многообразий оказалась на стыке нескольких направлений — математического анализа, топологии, геометрии, теории узлов, теории функций и теории групп.

Конические многообразия в настоящее время представляют собой весьма актуальные и перспективные объекты изучения геометрических структур в геометриях различного типа. Результаты исследований конических многообразий находят самое широкое применение в различных областях современной математики.

В настоящей работе проводится исследование с аналитической точки зрения конических многообразий с евклидовой структурой на двумостовых зацеплениях и узлах. Результаты проведенного исследования использованы для построения почти евклидовых моделей многообразия Фоменко-Матвеева-Впк-са.

Методика исследования. В работе используются методы геометрической теории функций, геометрические методы теории групп и теории геометрических структур на многообразиях и орбифолдах.

Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

I. Определена область существования евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством зацепление Уайтхеда и доказаны его тригонометрические свойства.

II. Построены фундаментальные множества для евклидовых конических

многообразий на двумостовых зацеплениях и узлах, заузленных графах.

III. Доказана теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел.

IV. Построены почти евклидовы модели многообразия Фоменко-Матвеева-Викса.

Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития геометрии многообразий, геометрической топологии и теории групп.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа НГУ, отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН им. С.Л.Соболева под руководством академика РАН, профессора Ю.Г.Решетняка и семинаре "Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах" Института математики СО РАН под руководством профессора А.Д. Медных, а также докладывались па XXXVI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(г.Новоснбирск, 1998), Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л. Соболева (19081989) (г.Новосибирск, 1998), Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка (г.Новосибирск. 1999), Третьей Международной конференция по геометрии "в целом"(г.Черкассы, 1999), Международной конференции по геометрии и ее приложениям, посвященной 60-летию профессора В.А. Топоногова (г.Новосибирск, 2000), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (г.Киев, 2000), Международной конференции по Методам вычислений и теории функций (CMFT2001) (Португалия, г.Авейро, 2001), Четвертой Итальяно-испанской конференции по общей топологии и

ее приложениям (ITES2001) (Италия, г.Брессаноне, 2001), Международной конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова (1912-1999) (г.Новосибирск, 2002), Третьей межрегиональной конференции по математическому образованию на Алтае (г.Барнаул, 2002), Международном Математическом Конгрессе (Китай, г.Пекин, 2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [125] - [137].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 136 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 137 наименований, содержит 35 рисунков и 3 таблицы.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

В первой главе приведены основные определения и обозначения, используемые в диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством зацепление Уайт-хеда. В разделе 2.1 приводятся предварительные результаты исследования геометрических структур на зацеплении Уайтхеда, в разделе 2.2 производится построение канонического фундаментального множества для евклидова конического многообразия на зацеплении Уайтхеда, в разделе 2.3 выводятся формула объема указанного евклидова конического многообразия и изопери-метрпческое неравенство, в разделах 2.4 и 2.5 доказываются евклидова теорема тангенсов и евклидовы теоремы синусов, устанавливающие взаимосвязь между коническими углами и длинами компонент сингулярного множества евклидова конического многообразия на зацеплении Уайтхеда.

В главе 3 диссертации проводится исследование конических многообразий с евклидовой структурой на двумостовых узлах. В разделе 3.1 приво-

дятся предварительные результаты исследования геометрических структур на двумостовых узлах, в разделе 3.2 доказывается теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел, в разделе 3.3 выполняются построения канонических фундаментальных множеств для евклидовых конических многообразий на двумостовых узлах: 7/2 и 7/3 — в пункте 3.3.1, 9/2 и 9/5 — в пункте 3.3.2, 11^3 it 11/4 — в пункте 3.3.3, 15/11 — в пункте 3.3.4. Следуя [112]. здесь и далее в работе будет использоваться обозначение двумостовых узлов в виде рациональных дробей. Кроме этого, в разделе 3.3 вычисляются удельные объемы указанных евклидовых конических многообразий.

Глава 4 диссертации посвящена построению почти евклидовых моделей многообразия Фоменко-Матвеева-Викса. В разделе 4.1 приводятся предварительные результаты относительно гиперболических многообразий малого объема и теорема Тёрстона-Йоргенсена, в разделе 4.2 выполняется построение почти евклидовых моделей многообразия Фоменко-Матвеева-Викса: на узле 7/2 — в пункте 4.2.1 и на узле 7/3 — в пункте 4.2.2.

Автор выражает благодарность всем участникам семинара "Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах" Института Математики СО РАН, в особенности — руководителю семинара профессору А.Д. Медных, за постановку проблемы и плодотворные обсуждения полученных результатов, а также — профессору Дж. Порти (Барселона, Испания), за ценные советы и замечания при доказательстве теоремы единственности евклидовой структуры на коническом многообразии в третьей главе данной работы.

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

В данной работе будем следовать определениям и обозначениям, принятым в работах [8, 16, 20, 19, 23, 25, 31, 33, 62, 111].

1.1. Пространства постоянной кривизны

Существует три вида геометрий, определяемых свойствами метрики пространства и имеющих постоянную кривизну в каждом двумерном направлении. При положительной секционной кривизне мы получаем сферическую (или эллиптическую) геометрию, при нулевой кривизне - евклидову геометрию, и при отрицательной кривизне - гиперболическую (или геометрию Лобачевского).

Назовем группой Ли преобразований многообразия X группу G преобразований дифференцируемого многообразия, наделенную структурой группы Ли, если отображение

GxX-^X, (д,х)-*дх, дифференцируемо. Это означает, что координаты точки дх должны быть

дифференцируемыми функциями координат элемента д и точки х. Тогда стабилизатор

Gx = {д е G | дх = х}

любой точки х Е X является подгруппой Ли группы G. Его линейное представление д —> dxg, где dxg - дифференциал отображения д в точке х. в касательном пространстве Тх(X) многообразия А в точке х называется представлением изотропии, а линейная группа dxGx - группой изотропии в точке х.

Если G - транзитивная группа Ли преобразований многообразия X. то для любой точки х Е X отображение

G/Gx-^X, gG

является диффеоморфизмом, перестановочным с действием группы G. Таким образом, в этом случае многообразие X вместе с действием группы G восстанавливается по паре (С, Gx).

Дифференцируемое многообразие X вместе с заданной транзитивной группой Ли G его преобразований называется однородным пространством. Однородное пространство (А", С) будем называть односвязным, если соответствующим свойством обладает многообразие X.

Задание римановой метрики на дифференцируемом многообразии X означает задание евклидовой метрики в каждом касательном пространстве Т,( А), причем эта метрика должна дифференцируемым образом зависеть от координат точки х. Диффеоморфизм g риманова многообразия А называется движением, если для любой точки .г' Е А линейное отображение

dxg : Тх{Х) Тдх(А)

является изометрией. Очевидно, что движения образуют группу.

Односвязное полное рнманово многообразие имеет постоянную кривизну тогда и только тогда, когда для любых точек х,у Е X и любой изометрии

ф : Тх{Х) ТУ(Х)

существует движение д, удовлетворяющее условиям дх = у и dxg = 6.

Для всех п > 2 можно указать по меньшей мере три n-мерных пространства постоянной кривизны.

1.1.1. Евклидово пространство Е3

В пространстве Rn с координатами х\,...,хп введем скалярное умножение

(я, У) = х\У\ Н-----Н ЗДп

превратив его тем самым в евклидово векторное пространство. Положим

X = IT, G = Оп к Тп,

где Оп — группа ортогональных преобразований пространства Mn, Тп груи-па параллельных переносов (изоморфная Еп), а операция к означает полупрямое произведение групп [19], то есть группа Тп является нормальной подгруппой группы G и Тп Г) Оп = {1}.

Для параллельного переноса ta на вектор а Е Шп и ортогонального преобразования ф Е Оп справедлива формула

Ф^аФ'1 —

показывающая, что G действительно является' группой. Очевидно, что G транзитивно действует на X.

Для любого х Е X касательное пространство Тх(Х) отождествляется естественным образом с пространством Мп. При этом группа изотропии совпадает с группой Оп.

Таким образом, (X,G) - пространство постоянной кривизны. Оно называется n-мерным евклидовым пространством и обозначается через Е'1.

Риманова метрика пространства Еп получается из евклидовой метрики пространства Rn, т.е. имеет вид

0 0 О

ds = clxx + • • • + dxn. Кривизна метрики евклидова пространства равна 0.

1.1.2. Сфера S"

В пространстве Rn+1 с координатами xq, х^ ... ,хп введем скалярное умножение

(я, у) = хоуо + хц/1 Н-----Ь хпуп,

превратив его тем самым в евклидово векторное пространство. Положим

X = {х G Шп+1\х20 + х\ + • • • + х2п = 1}, G = Оп+1.

Для любого х G X касательное пространство ТХ(Т) отождествляется естественным образом с ортогональным дополнением к вектору х в пространстве Rn+1. Если {ei,..., еп} - какой-либо ортонормированный базис пространства Тх(Х), то {х: ei,..., еп} - ортонормированный базис пространства Mn+1.

Так как любой ортонормированный базис пространства Rn+1 с помощью подходящего ортогонального преобразования может быть переведен в любой другой ортонормированный базис, то группа G действует на X транзитивно и группа изотропии в любой точке х совпадает с группой всех ортогональных преобразований пространства Тх(Х).

При г? > 2 многообразие X односвязно и, значит, (X, G) - пространство постоянной кривизны. Оно называется п-мерной сферой и обозначается через §п.

Риманова метрика пространства §" получается из евклидовой метрики пространства Ж77 + 1. т.е. имеет вид

ds2 = dxl + dx\ Н-----b dx2n.

Кривизна этой метрики равна 1.

1.1.3. Пространство Лобачевского ЕР

В пространстве Rn+1 с координатами хо, х\,..., хп введем скалярное умножение

(х, у) = -хоУо + xiyi +----Ь хпуп.

превратив его тем самым в псевдоевклидово векторное пространство. Это последнее пространство обозначим через Ж"'1.

Всякое псевдоортогональное (сохраняющее определенное выше скалярное умножение) преобразование пространства Ж"'1 переводит в себя открытый конус " времениподобных" векторов

С={;геМпД|(;г,х)<0},

состоящий из двух связных компонент

с+ = {х е СI х0 > 0}, С~ = {хе СI .То < 0}.

Обозначим через О77'1 группу всех псевдоортогональных преобразований пространства R71'1 и через 0'п1 - ее подгруппу индекса 2. состоящую из тех псевдоортогональных преобразований, которые отображают на себя каждую связную компоненту конуса С. Положим

X = {х е IT'1! -х20 + х\ + --- + х2п = -1,х0 > 0}, G = 0'пЛ.

Базис {ео, е\,..., еп} пространства Ж77,1 будем называть ортонормирован-ным, если (ео,ео) = —1, = 1 при г / 0 и (с^е^) = 0 при i ^ j.

Например, таковым является стандартный базис.

Для любого х Е X касательное пространство Тх(Х) отождествляется естественным образом с ортогональным дополнением к вектору х в пространстве К"'1, представляющим собой n-мерное евклидово пространство (относительно того же скалярного умножения). Если {ei,. .. ,еп} - какой либо ортонорми-рованный базис этого пространства, то {a;,ei,..., еп} - ортонормированный базис пространства Е"'1. Так же, как в случае сферы, отсюда следует, что группа G действует на X транзитивно и что группа изотропии совпадает с группой всех ортогональных преобразований касательного пространства.

Многообразие X диффеоморфно проектируется на пространство координат х\,...,хп и потому односвязно. Таким образом, (X,G) - пространство постоянной кривизны. Оно называется п-мерным пространством Лобачевского (или гиперболическим пространством) и обозначается Нп.

Риманова метрика пространства Нп получается из псевдоевклидовой метрики пространства М"'1, т.е. имеет вид

ds2 = —dx о + dx\ + • • • + dx2n. Кривизна указанной метрики равна -1.

1.2. Гиперболическая геометрия

Рассмотрим более подробно трехмерное гиперболическое пространство.

В качестве модели трехмерного гиперболического пространства с кривизной к = — 1 будем рассматривать верхнее полупространство

И3 = {{z,t) \z е С, t > 0}, с гиперболической метрикой

ds2 = {\dz\2 + dt2)/t2.

Определим в качестве границы <9Н13 пространства И3 расширенную комплексную плоскость С = R2 U {оо}, которую далее будем называть абсолютом. Следуя [55], назовем пересечение ортогональных абсолюту евклидовых окружностей и прямых с пространством И3 гиперболическими прямыми, а ортогональные абсолюту евклидовы полуплоскости и полусферы — гиперболическими плоскостями. При этом каждая гиперболическая прямая пересекается с абсолютом в двух точках, называемых конечными точками, а каждая гиперболическая плоскость пересекается с абсолютом по окружности в С, называемой горизонтом.

Гиперболические прямые и плоскости однозначно определяются конечными точками и горизонтами, поэтому для установления соотношений инцидентности между ними удобно рассматривать соотношения инцидентности между их конечными точками и горизонтами.

Две различные гиперболические плоскости называются пересекающимися, параллельными или расходящимися в зависимости от того пересекаются, касаются или не имеют общих точек их горизонты.

Аналогично, гиперболическая плоскость и прямая, не лежащая на ней. пересекаются, параллельны или расходятся, если конечные точки разделены горизонтом плоскости, одна из конечных точек лежит на горизонте или конечные точки не разделены горизонтом.

При рассмотрении гиперболических прямых ситуация немного сложнее, так как различные гиперболические прямые могут быть как копланарными (лежать на одной общей плоскости), так и скрещивающимися. Как и плоскости, копланарные прямые могут пересекаться, быть параллельными или расходящимися.

1.2.1. Группа изометрий пространства Лобачевского

Будем называть композицию конечного числа отражений относительно окруж-

этом совокупность всех мебиусовых преобразований образует группу GM.2, которая называется общей мебиусовой группой.

Обозначим через Л4-2 подгруппу индекса 2 в группе GA4?. состоящую из сохраняющих ориентацию изометрий.

Далее будем рассматривать мебиусовы преобразования как преобразования вида

Таким образом, каждая комплексная 2x2 матрица А Е GL(2, С) индуцирует некоторое мебиусово преобразование, причем каждое такое преобразование представляется при помощи двух матриц А и —А из SL(2, С). Поэтому, группа сохраняющих ориентацию мебиусовых преобразований АЛ-i изоморфна группе PSL{2, С) = SL{2, С) / { /, — / }, где SL(2, С) - группа комплексных матриц второго порядка с определителем единица, / - единичная матрица.

Как показано в [8, Гл. 3], любое мебиусово преобразование, действующее в С, может быть продолжено на

При этом оно будет являться изометрией гиперболического пространства И3, а в качестве такого продолжения можно выбрать, например, продолжение Пуанкаре

ностей мебиусовым преобразованием, действующим в С = М2 U {ос}. При

az + Ъ

H3UC = {(z,t) \t>0}.

A(z,t) = (

1.2.2. Классификация изометрий гиперболического пространства И3

Существует достаточно много способов классификации изометрий гиперболического пространства И3. Однако наиболее важными для нас являются классификация, связанная со следами матриц, представляющих изометрии в группе PSL(2, С), и классификация, основанная на представлении изометрий в виде композиции полуоборотов в гиперболических прямых.

Первая классификация, в частности, приведена в [8, Гл. 4]. Не тождественное мебиусово преобразование A £ ЛЛч называется эллиптическим, параболическим, гиперболическим или строго локсодромическим, если tr2A £ [0,4), tr2A = 4, tr2A € (4, оо) или tr2A ^ [0, оо), соответственно.

Назовем полуоборотом поворот на угол 7г относительно некоторой гиперболической прямой. Тогда произведение двух различных полуоборотов есть эллиптический, параболический, гиперболический или строго локсодромический элемент в зависимости от того пересекаются, параллельны, расходятся или скрещиваются оси полуоборотов [55, IV.2].

Рассмотрим теперь более подробно прямые в трехмерном гиперболическом пространстве.

Напомним, что собственная или несобственная прямая в пространстве Н3 определяется ее конечными точками и и и'. Если прямая собственная, т.е. и ф и', ориентация на прямой задается упорядочиванием пары и, и'. Следуя [55]. матрица £ со свойствами: det £ = 1, tr I = 0, определяет полуоборот в некоторой собственной прямой, и эта прямая определяет матрицу t с точностью до знака.

Матрица £, удовлетворяющая уравнению tr £ = 0, называется линейной матрицей. Каждый класс взаимно пропорциональных линейных матриц

определяет прямую и наоборот. Для прямой, заданной матрицей

конечные точки прямой и, и' определяются из уравнения

12\х2 - 21пх - 1\2 = О,

и эти корни определяют £ с точностью до множителя. Матрица с нулевым определителем определяет отображение, которое переводит все точки гиперболического пространства (и все точки С, за исключением одной) в одну и ту же точку

и = 1ц/12i = —In/In

Если и = и' - двойной корень уравнения, то матрица определяет несобственную прямую [u, w].

Сопоставим каждой матрице

/ «11 «12 \ «21 «22

присоединенную матрицу

/

а =

022 -«12 V -«21 «11

Каждая такая матрица удовлетворяет следующим условиям:

tr а~ = tr а, det сГ = det а, а + а~ = 1 tr а, а = а — det а,

в частности,

= a-1 det а, 19

если det а ф 0.

Используя определение следа матрицы, сопряженной матрицы и указанные выше условия получим следующие свойства:

1. tr(ab) = tr{ba),

2. tr(aba~) = det a tr 6,

3. tr(ab) + tr(ci~b) = tr a tr b,

4. tra2 = tr2 a — 2 det a,

5. tr(aba~b~) = -2 det a det b — tr a tr b tr(ab) + +tr2 a det 6 + *r2 b det a + tr2 (ab),

6. det(ab — = 2 б/е/ <7 det b — tr (аЬсПГ).

Отметим, что также имеют место следующие дополнительные важные свойства [55]:

Пусть / е 5L(2,C) является матрицей, определяющей изометрию f. отличную от тождественной. Тогда / — есть линейная матрица, определяющая ось изометрии f.

Пусть fug есть матрицы, определяющие движения f и g с разными осями. Тогда gf — fg - линейная матрица, определяющая общую нормаль к осям изометрий f, g.

1.3. Дискретные группы движений

Пусть X — это п—мерное пространство постоянной кривизны, то есть евклидово пространство Е71, сфера §7г или пространство Лобачевского HP. и пусть IsomX — группа всех его движений.

Семейство {Ма : а Е А} подмножеств пространства X. занумерованных элементами некоторого множества А, называется локально конечным, если у каждой точки существует окрестность, пересекающаяся только с конечным

числом подмножеств из этого семейства. Это эквивалентно тому, что каждый компакт пересекается только с конечным числом подмножеств из данного семейства. Заметим, что некоторые из подмножеств Ма могут совпадать, но при этом они считаются различными элементами семейства.

Подгруппа Г С IsomX называется дискретной группой движений. если для любой точки х 6 X семейство {jx : 7 6 Г} локально конечно.

Любая конечная группа движений дискретна. Кроме этого, любая конечная группа движений пространства Еп или Нп имеет неподвижную точку ([4J, теорема 3.3 главы 5) и может рассматриваться как дискретная группа движений сферы с центром в этой точке.

Так как сфера компактна, то любая дискретная группа движений сферы конечна. Приведем теперь примеры бесконечных групп движений.

1. Группа параллельных переносов пространства Еп на векторы с целыми координатами в каком-либо фиксированном базисе является дискретной группой движений.

2. Группа преобразований вида

является дискретной группой движений плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре. Это так называемая модулярная группа Клейна [14, Гл. 1|.

1.4. Фундаментальная группа

Топологическим пространством называют множество X, в котором выделена система подмножеств т, обладающая следующими свойствами:

(1) пустое множество и все множество X принадлежат т;

(2) пересечение конечного числа элементов т принадлежит г;

(3) объединение любого (конечного или бесконечного) семейства элементов г принадлежит т.

Систему т называют топологией на множестве X.

Множества, принадлежащие т, называют открытыми.

Окрестностью точки х Е X называют любое открытое множество, содержащее г.

Множества, дополнения которых открыты, называют замкнутыми.

Топология г на множестве X называется дискретной, если т совпадает с множеством всех подмножеств X.

Отображение одного топологического пространства в другое называют непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт.

Отображение / : X —>• У называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и оба отображения / и /-1 непрерывны; пространства X и У называют в таком случае гомеоморфными.

На прямом произведении X х У топологических пространств (рассматриваемых как множества) можно задать топологию прямого произведения. Для этого нужно считать открытыми множествами в X х У прямые произведения открытых множеств в X и У, а также их всевозможные объединения.

Пусть X, У — топологические пространства. Отображения /о, /1 : X —> У называют гомотопными, если существует такое непрерывное отображение F : I х [0,1] 4 У, что F(x, 0) = f0(x) и F{x, 1) = fi{x) для всех х Е X. Иными словами, отображения /о и f\ можно связать семейством непрерывных отображений ft : X —> У, t Е [0.1]. непрерывно зависящих от t. Это семейство отображений называют гомотопией, соединяющей /о и /i.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Шматков, Руслан Николаевич

Заключение

В результате выполненной работы проведено исследование конических многообразий на двумостовых зацеплениях и узлах, имеющих евклидову структуру.

В ходе выполнения работы была изучена специальная литература по проблематике исследования конических многообразий на двумостовых зацеплениях и узлах, была собрана необходимая теоретическая информация.

В работе определена область существования евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством зацепление Уайтхеда и доказаны его тригонометрические свойства.

Кроме этого, в работе построены фундаментальные множества для евклидовых конических многообразий на двумостовых зацеплениях и узлах, за-узленных графах, доказана теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел, построены почти евклидовы модели многообразия Фоменко-Матвеева-Викса.

На основании проведенного исследования проблем могут быть сделаны следующие основные выводы:

1. Конические многообразия в настоящее время представляют собой весьма актуальные и перспективные объекты изучения геометрических структур в геометриях различного типа.

2. Результаты исследований конических многообразий находят самое широкое применение в различных областях современной математики.

3. Математический аппарат современной евклидовой геометрии позволяет эффективно исследовать конические многообразия на двумостовых зацеплениях и узлах, заузленных графах.

4. С помощью евклидовых конических многообразий возможно построение моделей гиперболических многообразий, что позволяет значительно упростить и усовершенствовать процесс изучения указанных многообразий.

Результаты проделанной работы могут быть использованы в практической деятельности научных работников, специалистов и студентов, работающих в области геометрии трехмерных многообразий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шматков, Руслан Николаевич, 2003 год

Литература

[1] Александров А.Д. О заполнении пространства многогранниками // Вест. ЛГУ, Сер. мат. физ. - 1954. - N.2. - С. 33-43.

[2] Александров А.Д., Решетняк Ю.Г. Поворот кривой в п-мерном евклидовом пространстве // Сиб. мат. журн. - 1988. - Т.29, N.1. - С. 3-22.

[3] Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1979. - 512 с.

[4] Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников А.С. Геометрия пространств постоянной кривизны. - Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. - Т.29. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 5-146.

[5] Андреев Е.М. О выпуклых многогранниках в пространстве Лобачевского // Матем. с.6. - 1970. - Т.81, N.3. - С. 445-478.

[6] Андреев Е.М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Матем. сб. - 1970. - Т.83, N.2. - С. 256-260.

[7] Апанасов Б.Н. Дискретные группы преобразований и структуры многообразий. - Новосибирск: Наука, 1983. - 242 с.

[8] Бердон А. Геометрия дискретных групп: Пер. с англ. - М.: Наука, 1986. - 304 с.

[9] Берже М. Геометрия: Пер. с франц. - М.: Мир, 1984. - Т.2. - 368 с.

[10] Веснин А.Ю., Медных А.Д., Циммерманн Б. Хирургии па гиперболических 3-орбифолдах малого объема // Сиб. матем. журн. - 2001. - Т.42, N.2. - С. 318-331.

[11] Винберг Э.Б. Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского // Матем. сб. - 1967. - Т.72, N.3. - С. 471-488.

[12] Винберг Э.Б. Некоторые примеры кристаллографических групп в пространствах Лобачевского // Матем. сб. - 1969. - Т.78, N.4. - С. 633-639.

[13] Винберг Э.Б. Гиперболические группы отражений // Усп. мат. н. -1985. - Т.40, N.1. - С. 26-66.

[14] Винберг Э.Б., Горбацевич В.В., Шварцман О.В. Дискретные подгруппы групп Ли. - Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. - Т.21. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 5-120.

[15] Винберг Э.Б., Шварцман О.В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. - Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. - Т.29. - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 147-259.

[16] Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны: Пер. с англ. - М.: Наука, 1982. - 480 с.

[17] Деревнин Д.А., Медных А.Д. Геометрические свойства дискретных групп, действуюгцих в пространстве Лобачевского с неподвижными точками // Доклады АН СССР. - 1988. - Т.300, N.1. - С. 27-30.

[18] Исаченко Н.А. О системах порождающих подгрупп PSL(2,C) // Сиб. матем. журн. - 1990. - Т.31, N.1. - С. 191-193.

[19] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982. - 288 с.

[20] Коксетер Г.. Мозер У. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп: Пер. с англ. - М.: Наука. 1980. - 240 с.

[21] Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977. - 495 с.

[22] Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые его применения к геометрии и механике. - Казань: Изд-во Императорского Казанского Университета, 1895. - 218 с.

[23] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 448 с.

[24] Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. Представление групп в терминах образующих и соотношений: Пер. с англ. -М.: Наука, 1974. - 455 с.

[25] Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977. - 343 с.

[26] Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - 301 с.

[27] Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Изоэнергетические поверхности гамильто-новых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их елоэ1Сности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий // Усп. мат. н. - 1988.- Т.43, N.1. - С. 5-22.

[28] Медных А.Д. О группе изометрий гиперболического пространства додекаэдра Зейферт.а - Вебера // Сиб. матем. журн. - 1987. - Т.28, N.5. -С. 134-144.

[29] Михалев С.Н. Некоторые метрические условия изгибаемости подвесок // Вести. Моск. ун-та. - 2001. - Сер. 1, матем. механ., N.3. - С. 15-21.

[30] Прасолов В.В. Многочлены. - М.: МЦНМО, 1999. - 336 с.

[31] Прасолов В.В.. Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. - М.: МЦНМО, 1997. - 352 с.

[32] Решетняк Ю.Г. Об устойчивости изометрических преобразований // Сиб. мат. журн. - 1994. - Т.35, N.4. - С. 860-878.

[33] Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях: Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 168 с.

[34] Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы: Пер. с англ. - М.: Наука, 1988. - 688 с.

[35] Adams С.С. The knot book: an elementary introduction to the mathematical theory of knots. - New York: Freeman and Co., 1994. - 306 p.

[36] Alexander J.W. A matrix knot invariant // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. -1933. - V.19. - P. 272-275.

[37] Alexander J.W. Topological invariants of knots and links // Trans. Amer. Math. Soc. - 1923. - V.20. - P. 275-306.

[38] Bednar J., Dubochet J., Michoud D., Katritch V., Scharein R.G., Stasiak A. Geometry and physics of knots // Nature. - 1996. - V.384. - P. 142-145.

[39] Benedetti R., Petronio C. Lectures on Hyperbolic Geometry. - Berlin et al.: Universitext, Springer, 1992. - 330 p.

[40] Boileau M., Porti J. Geometrization of 3-orbifolds of cyclic type. With an appendix: Limit of hyperbolicity for spherical 3-orbifolds by Michael Heusener and Joan Porti. // Asterisque. - 2001. - V.272. - 208 p.

[41] Briclson M.R., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature - Berlin et al.: Springer, 1999. - Fundamental Principles of Mathematical Sciences. -V.319. - 643 p.

[42] Burde G. SU(2)-representation spaces for two-bridge knot groups // Math. Ann. - 1990. - V.288, N.l. - P. 103-119.

[43] Burde G., Zieschang H. Knots. - Berlin et al.: Gruyter, 1985. - 399 p.

[44] Connelly R. An attack on rigidity. I, II // Bull. Am. Math. Soc. - 1975. -V.81. - P. 566-569.

[45] Conway J.H. On enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties. - Proceedings of the Conference on Computational Problems in Abstract Algebra, Oxford, 1967. - Oxford: Pergamon, 1970. - P. 329-358.

[46] Conway J.H., Radin C. Quaquaversal tilings and rotations// Invent. Math. -1998. - V.132. - P. 179-188.

[47] Crowell R.H. N on-alternating links // 111. J. Math. - 1959. - V.3 - P. 101-120.

[48] Crowell R.H., Fox R.H. Introduction to knot theory. - New York et al.: Springer, 1977. - 182 p.

[49] Dehn M. Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes // Math. Ann. -1910. - V.69 - P. 137-168.

[50] Dubochet J., Katritch V., Olson W.K., Pieranski P., Stasiak A. Properties of ideal composite knots // Nature. - 1997. - V.388. - P. 148-151.

[51] Dunbar W.D. Geometric orbifolds // Rev. Mat. Univ. Complutense Madr. -1988. - V.l, N.l-3 - P. 67-99.

[52] Dunbar W.D. Hierarchies for 3-orbifolds // Topology Appl. - 1988. - V.29, N.3 - P. 267-283.

[53] Dunbar W.D., Meyerhoff G.R. Volumes of hyperbolic 3-orbifolds // Indiana Univ. Math. J. - 1994. - V.43, N.2. - P. 611-638.

[54] Epstein D.B.A., Petronio C. An exposition of Poincare's polyhedron theorem // L'Enseignement Mathematique. - 1994. - V.40. - P. 113-170.

[55] Fenchel W. Elementary Geometry in Hyperbolic Space. - Berlin et al.: Gruyter, 1989. - 225 p.

[56] Feng Luo. Mobius Cone structure on 3-manifolds // J. Diff. Geometry. -1995,- V.41. - P. 319-341.

[57] Fox R.H. On the imbedding of polyhedra in 3-space // Ann. Math. - 1948. V.49. - P. 462-470.

[58] Goeritz L. Bemerkungen zur Knotentheorie // Hamburg Abh. - 1934. -V.10. - P. 201-210.

[59] Gonzales-Akuna F., Montesinos-Amilibia J.M. On the character variety of group representations in 5L(2,C) and PSL(2,C) // Math. Z. - 1993. -V.214. - P. 627-652.

[60] Haefliger A., Quach N.D. Une presentation du groupe fondamental d'une orbifold .// Asterisque. - 1984. - V.116. - P. 98-107.

[61] Helling H., Kim A.C., Mennicke J.L. Some Honey-combs in Hyperbolic 3-space // Communications in Algebra. - 1995. - V.23. - P. 5221-5242.

[62] Hempel J. 3-manifolds. - Princeton: Princeton Univ. Press; Univ. of Tokyo Press, 1976. - 195 p.

[63] Henry S., Weeks J. Symmetry groups of hyperbolic knots and links // J. Knot Theory and Its Ramifications - 1992. - V.l. - P. 185-201.

[64] Hernandez P., Krimer D.B., Martinez-Robles M.L.. Schvartzman J.В., Sogo J.M., Stasiak A. Formation of knots in partially replicated DNA molecules // J. Mol. Biol. - 1999. - V.286. - P. 637-643.

[65] Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. A Characterization of Arithmetic Subgroups of SL( 2,C) and PSL( 2,C) 11 Math. Nachr. - 1992. -V.159. - P. 245-270.

[66] Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. Euclidean representation of 2-bridge knots. - in preparation.

[67] Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. Geometry and arithmetic of knots // J. Knot Theory.- 1995. - V.4., N.l. - P. 81-114.

[68] Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. On a remarkable polyhedron geometrizing the figure eight knot cone manifolds //J. Math. Sci. Univ. Tokyo. - 1995. - V.2. - P. 501-561.

[69] Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. On the arithmetic 2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant //J. Knot Theory and Its Ramifications. - 1995. - V.4., N.l. - P. 81-114.

[70] Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. On Volumes and Chern-Simons Invariants of Geometric 3-Manifolds //J. Math. Sci. Univ. Tokyo. - 1996. - V.3. - P. 723-744.

[71] Hilden H.M., Losano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. The arithmeticity of the Figure Eight knot orbifold. - TQPOLOGY'90. Proceedings of the

Research Semestre in Low Dimensional Topology. - Berlin et al.: Gruyter, 1992. - P. 169-183.

[72] Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. The Chern-Simons invariants of hyperbolic manifolds via coverings spaces // Bull. London Math. Soc. - 1999. - V.31. - P. 354-366.

[73] Hilden H.M., Lozano M.T., Montesinos-Amilibia J.M. Volumes and Chern-Simons invariants of cyclic coverings over rational knots. — Proceedings of the 37-th Taniguchi Simposium on Topology and Teichmiiller Spaces, Finland, July 1995. - Singapore et al.: World Scientific, 1996. - P. 31-55.

[74] Hodgson C. Degeneration and regeneration of geometric structures on three-manifolds.: Ph.D.Thesis. - Princeton: Princeton Univ., 1986.

[75] Hodgson C.D., Kerckhoff S.P. Rigidity of hyperbolic cone-manifolds and hyperbolic Dehn surgery //J. Differential Geom. - 1998. - V.48. - P. 159.

[76] Hodgson C., Rubinstein J.H. Involutions and isotopies of lens spaces // Lect. Notes Math. - 1985. - V.1144. - P. 60-96.

[77] Jones K.N. Geometric Structures on Branched Covers over Universal Links // Contemporary Mathematics. - 1994. - V.164. - P.47-58.

[78] Kinoshita S., Terasaka H. On unions of knots // Osaka Math. J. - 1993. -V.9. - P. 131-153.

[79] Klassen E.P. Representation in SU(2) of the fundamental groups of the Whitehead link and of doubled knots // Forum Math. - 1993. - V.5. - P. 93-109.

[80] Klassen E.P. Representation of knot group in SU(2) // Trans. Amer. Math. Soc. - 1991. - V.326, N.2. - P. 795-828.

[81] Kodama K., Sakuma M. Symmetry groups of prime knots up to 10 crossings. - TOPOLOGY'90. Proceedings of the Research Semestre in Low Dimensional Topology. - Berlin et al.: Gruyter, 1992. - P.323-340.

[82] Kojima S. Deformations of hyperbolic 3-cone-manifolds // J. Differential Geom. - 1998. - V.49. - P. 469-516.

[83] Kojima S. Nonsingular parts of hyperbolic 3-cone-manifolds — Proceedings of the 37-th Taniguchi Simposium on Topology and Teichmiiller Spaces, Finland, July 1995. - Singapore et al.: World Scientific, 1996. - P. 115-122.

[84] Maskit B. On Poincare theorem for fundamental polygons // Adv. Math. -1971. - V.7, N.3. - P. 219-230.

[85] Mednykh A.D. Automorphism groups of three-dimensional hyperbolic manifolds // Amer. Math. Soc. Transl. - 1992. - V.151, N.2. - P. 107-119.

[86] Mednykh A.D. On the remarkable properties of the hyperbolic Whitehead link cone-manifold. - Singapore et al.: World Scientific, 2000. - Series Knots and Everything. - V.24. - P. 290-305.

[87] Mednykh A. Three-dimensional hyperelliptic manifolds // Ann. Global Anal. Geometry. - 1990. - V.8. - P. 13-195.

[88] Mednykh A.D. Trigonometrical identities and geometrical inequalities for links and knots. - Proceedings of the Third Asian Mathematical Conference 2000, Diliman, Philippines, 23-27 October 2000. - Singapore et al.: World Scientific, 2002. - P. 352-368.

[89] Meclnykh A., Rasskazov A. On the structure of the canonical fundamental set for the 2-bridge link orbifolds. - Bielefeld, 1998. - 32 p. - (Prepr. ser. / Univ. Bielefeld; N 62).

[90] Mednykh A., Shmatkov R. Trigonometrical identities and inequalities for knots and links. - Abstracts of the International Conference on Geometry and its Applications dedicated to Professor V.A. Toponogov on the occation of his 60 years, Novosibirsk, 13-16 March 2000. - Novosibirsk: IM SB RAS, 2000. - P. 66-67.

[91] Mednykh A., Vesnin A. Coxeter groups and branched coverings of lens spaces // J. Korean Math. Soc. - 2001. - V.38, N.6. - P. 1167-1177.

[92] Mednykh A., Vesnin A. Hyperbolic 3-manifolds as 2-fold coverings according to Montesinos. - Bielefeld, 1995. - 23 p. - (Prepr. ser. / Univ. Bielefeld; N 10).

[93] Mednykh A., Vesnin A. Spherical Coxeter groups and hyper elliptic 3-manifolds // Math. Notes. - 1999. - V.66. - P. 135-138.

[94] Mednykh A.D.. Vesnin A.Yu. The isometry group action on the Weeks-Matveev-Fomenko manifold. - Proceedings of the 10 Siberian Workshop "Algebra, geometry, analysis and mathematical physics", Novosibirsk, 1997. -Novosibirsk: IM SB RAS, 1997. - P.49-63.

[95] Mednykh A., Vesnin A. Three-dimensional hyperelliptic manifolds and hamiltonian graphs // Siberian Math. J. - 1999. - V.40. - P. 628-643.

[96] Mednykh A., Vesnin A. Three-dimensional hyperbolic manifolds of small volume with three hyperelliptic involutions // Siberian Math. J. - 1999. -V.40. - P. 873-886.

[97] Mednykh A., Vesnin A. Visualization of the isometry group action on the Fomenko-Matveev-Weeks manifold //J. Lie Theory. - 1998. - V.8. - P. 51-66.

[98] Milnor J.W. Link groups // Ann. Math. - 1954. - V.59. - P. 539-548.

[99] Milnor J.W. On the total curvature of knots // Ann. Math. - 1950. - V.52. -P. 248-257.

[100] Minkus J. The branched cyclic coverings of 2-bridge knots and links // Mem. Am. Math. Soc. - 1982. - V.255. - 68 p.

[101] Molnar E. On isometries of space forms. - Proceedings of the Konference on Differential Geometry and its Applications (Eger, 1989). - Amsterdam: North-Holland, 1992. - P.509-534.

[102] Montesinos J.M. Three-manifolds as 3-fold branched covers of S3 // Quart. J. Math. Oxford Ser. - 1976. - V.27, N.2. - P. 85-94.

[103] Morimoto K., Sakuma M. On unknotting tunnels for knots // Math. Ann. - 1991. - V.289. - P. 143-167.

[104] Mostow G.D. Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms // Inst. Hautes Etudes. Sci. Publ. Math. - 1968. -V.34. - P. 53-104.

[105] Pierariski P., Przybyl S., Stasiak A. Tight open knots // Eur. Phys. J. E -2001. - V.6. - P. 123-128.

[106] Pinchbeck D.J. Irrational Rotations // Contemp. Math. - 1997. - V.211. -P. 463-471.

[107] Porti J. Regenerating hyperbolic and spherical cone structures from Euclidean ones // Topology. - 1998. - V.37, N.2. - P. 365-392.

[108] Reidemeister K. Knotentheorie. // Ergebnisse der Mathematic. - 1932. -V.l, N.l.

[109] Reidemeister K. Knoten und Gruppen. // Hamburg Abh. - 1926. - V.5. -P. 7-23.

[110] Reidemeister K. Uber Knotengruppen. // Hamburg Abh. - 1928. - V.6. -P. 56-64.

[111] Rolfsen D. Knots and Links. - Berkeley: Publish or Perish, 1976. - 439 p.

[112] Schubert H. Knotten mit zwei Brucken // Math. Z. - 1956. - V.65. - P. 133170.

[113] Seifert H. On homology invariants of knots // Quart. J. Math. - 1950. -N.l. - P. 23-32.

[114] Seifert H. Uber das Geschlecht von Knoten // Math. Ann. - 1934. - V.110. -P. 571-592.

[115] Swierczkowski K. A class of free rotation groups // Ingad. Math. - 1994. -V.5, N.2. - P. 221-226.

[116] Swierczkowski K. On a free group of rotations of the Euclidean space // Ingad. Math. - 1958. - V.20. - P. 376-378.

[117] Vinberg E.B., Shvartsman O.V. Discrete groups of motions of spaces of constant curvature. - Encycl.Math.Sc. Geometry II. - Berlin et al.: Springer, 1993,- P. 139-254.

[118] Suarez-Peiro E. Poliedros de Dirichlet de 3-variedades conicas у sus deformaciones.: Ph.D.Thesis. - Madrid: Univ. Complutense de Madrid, 1998.

[119] Torres G., Fox R.H. Dual presentations of the group of a knot // Ann. Math. - 1954. - V.59. - P. 211-218.

[120] Thurston W. Three-dimentional Geometry and Topology. - Princeton: Princeton Univ. Press, 1997. - 311 p.

[121] Wang H.C. Topics in totally discontinues groups. - Marcel-Dekker, 1972. -Ser. Pure Appl. Math. - N.4. - P. 460-485.

[122] Weeks J. Hyperbolic structures on 3-manifolds.: Ph.D.Thesis. - Princeton: Princeton Univ., 1985.

[123] Whitehead J.H.C. On doubled knots. // J. London Math. Soc. - 1937. -V.12. - P. 63-71.

[124] Wolcott K. The knotting of theta curves and other graphs in §3 // Geometry and Topology. - 1987. - V.105. - P. 325-346.

Работы автора по теме диссертации

[125] Shmatkov R. On a cone-manifold with the Euclidean structure on the Whitehead link. - Bielefeld, 1998. - 13 p. - (Prepr. ser. / Univ. Bielefeld; N 61).

[126] Shmatkov R.N. Euclidean structure on the Whitehead link cone-manifold. - Mannheim, Heidelberg, 2001. - 26 p. - (Prepr. ser. / Univ. Mannheim und Univ. Heidelberg; N 5).

[127] Shmatkov R.N. On Properties of Euclidean Whitehead Link Cone-Manifolds. // Sib. Adv. Math. - 2003. - V.13, N.l. - P. 55-86.

[128] Шматков Р.Н. О строении фундаментального множества одного евклидова конического многообразия. - Материалы XXXVI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Математика). - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1998. - С. 124-125.

[129] Шматков Р.Н. Об одном евклидовом коническом многообразии на зацеплении Уайтхеда. - Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л. Соболева (1908-1989): Тез. докл., ч. I. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1998. - С. 106.

[130] Шматков Р.Н. Теоремы тангенсов и синусов для евклидовых конических многообразий. - Международная конференция по анализу и геометрии, посвященная 70-летию академика Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 30 августа - 3 сентября 1999 г.): Тез. докл. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1999. - С. 104-105.

[131] Шматков Р.Н. Евклидовы структуры на двумостовых узлах. - Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова (1912-1999): Тез. докл. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2002. - С. 78-79.

[132] Шматков Р.Н. Теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел. - Математическое образование на Алтае: Тезисы третьей межрегиональной конференции по математическому образованию на Алтае. -Барнаул: Изд-во БГПУ, 2002. - С. 13-14.

[133] Shmatkov R.N. The Tangent and the Sine Rides for the Euclidean Whitehead Link Cone-Manifold. - 3-я Международная конференция по

геометрии "в целом": Тез. докл., Черкассы, июнь-июль 1999 г. - Черкассы: ЧИТИ, 1999. - С. 102-103.

[134] Shmatkov R.N. Euclidean Structure on Whitehead Link Cone-Manifold. -Abstracts of the International Conference dedicated to M.A. Lavrentyev on the occation of his birthday centenary, Ukraine, Kiev, 31 October - 3 November 2000. - Kiev: IM NANU, 2000. - P. 56-58.

[135] Shmatkov R.N. Euclidean Structure on Whitehead Link Cone-Manifold. -Abstracts of the International Conference on Computation Methods and Function Theory (CMFT2001), Portugal, Aveiro, June 25-29, 2001. - Aveiro: Univ. de Aveiro, 2001. - P. 89.

[136] Shmatkov R.N. Trigonometrical Identities and Isoperimetric Inequality. -Abstracts of the Fourth Italian-Spanish Conference on General Topology and its Applications (ITES2001), Italy. Bressanone, 27-30 June 2001. - Padova: Univ. degli studi di Padova, 2001. - P. 30.

[137] Shmatkov R.N. An algorithm for finding Euclidean structure on 2-bridge knots. - International Congress of Mathematicians, Beijing, 2002 August 2028, Abstracts of Short Communications and Poster Sessions. - Beijing, 2002. -

P. 87.

РОССИЙСКАЯ Г О СУ Д А Р С Т " F, ПIIЛ И БИБЛИОТЕК/]'

-^-оъ