Фазо-разрешающее моделирование трёхмерных ветровых волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Фокина Карина Владимировна

• Фокина Карина Владимировна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Фокина Карина Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЕТРОВОГО ВОЛНЕНИЯ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Фазо-разрешающее моделирование волн

1.1.1. Методы, основанные на решении уравнения Лапласа

1.1.2. Бессеточные методы

1.1.3. Методы дискретизации объёма

1.1.4. Спектральные методы высокого порядка (HOS)

1.2. Фазо-усредняющее моделирование волн

ГЛАВА 2. УСКОРЕННОЕ ДВУХМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ВОЛН

2.1. Описание трёхмерной модели потенциальных волн FWM

2.2. Описание двухмерной модели трёхмерных потенциальных волн AWM

2.3. Сравнение трёхмерной модели FWM и двухмерной модели AWM для квазистационарного волнового поля

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТРЁХМЕРНОГО РАЗВИВАЮЩЕГОСЯ ВОЛНЕНИЯ

3.1. Эволюция интегральных характеристик волнового поля с учётом неадиабатических эффектов

3.2. Спектральные характеристики развивающегося волнения

3.3. Масштабирование переменных для расчёта статистических характеристик

3.4. Статистические характеристики развивающегося волнения

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ФАЗО-РАЗРЕШАЮЩЕГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРЁХМЕРНЫХ ВОЛН

4.1. Интерпретация спектрального прогноза волн в Балтийском море с помощью фазо-

разрешающей модели AWM

4.1.1. Генерация волновых спектров с помощью модели WAVEWATCH III

4.1.2. Генерация начальных условий для фазо-разрешающей модели AWM

4.1.3. Результаты интерпретации волнового спектра

4.2. Модификация трёхмерной модели FWM для условий конечной глубины

4.2.1. Формулировка трёхмерной модели FWM для конечной глубины

4.2.2. Расчёт частоты методом наименьших квадратов на основе Фурье коэффициентов

4.2.3. Анализ результатов численных экспериментов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фазо-разрешающее моделирование трёхмерных ветровых волн»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Ветровые волны представляют собой наиболее важный элемент динамики океана, и могут оказывать значительное влияние на различные виды деятельности человека в открытом океане и на его побережье. В связи с этим изучение динамики ветровых волн имеет особенно важное практическое значение, например, в области проектирования и эксплуатации морских конструкций, таких как суда или морские платформы. Особое внимание в последние годы уделяется волнам как возобновляемому источнику энергии и, следовательно, информация о волнах необходима для создания волновых электростанций. Помимо этого, волны являются важным элементом в системе океан-атмосфера, осуществляющим и регулирующим их взаимодействие. Наибольшую важность представляет собой прогноз и мониторинг состояния волновой поверхности, что необходимо, например, для решения задач безопасности морской деятельности, рационального природопользования, национальной обороны.

Растущие требования к точному анализу и прогнозу состояния морской поверхности привели в последние десятилетия к стремительному развитию численных моделей эволюции волн. Важным практическим достижением в этом направлении стало создание спектральных прогностических моделей ветрового волнения [1, 2]. Такие модели основаны на представлении волнового поля в виде полей спектральной плотности. На сегодняшний день спектральные модели являются единственным инструментом, позволяющим описать эволюцию волнового поля для больших акваторий в течение длительного времени.

Спектральное описание волн содержит информацию о распределении энергии по частотам и направлениям, но не о форме поверхности. При спектральном моделировании предполагается, что волновое поле представляет собой линейную суперпозицию взаимодействующих между собой гармоник. В реальном физическом пространстве волны оказываются искажёнными, волновое поле выглядит нереальным, поскольку в реальности волны обычно имеют продолжительные плавные впадины и острые пики.

Важно отметить, что все процессы, которые описывают эволюцию волн, происходят именно в физическом пространстве, поэтому для их описания нужны дополнительные алгоритмы, разработанные в более точных и детальных подходах, где волны рассматриваются как отдельные физические объекты. Таким подходом для детального писания волн является математическое моделирование, основанное на динамических уравнениях и включающее явное воспроизведение морской поверхности и эволюции поля скоростей, называемое прямым или фазо-разрешающим моделированием [3].

Численные модели описания динамики морской поверхности обычно основаны на уравнениях потенциального течения со свободной поверхностью. В таком случае движение жидкости определяется формой свободной поверхности и потенциалом скорости на этой поверхности. Предположение о потенциальности движения представляет собой идеализированную ситуацию, поскольку в реальности волновое движение является как сдвиговым, так и турбулентным, однако многие наблюдаемые свойства поверхностных волн хорошо воспроизводятся на основе потенциального подхода. Преимущество потенциального движения заключается в том, что исходные уравнения Эйлера сводятся к линейному уравнению Лапласа, методы решения которого хорошо разработаны.

При численном моделировании волнения по горизонтали задаются периодические условия для того, чтобы упростить построение модели и сделать задачу решаемой, поскольку в этом случае возможно использовать представление Фурье для построения численной схемы. Предположение о периодичности применимо, когда рассматриваемая область может быть представлена как небольшая часть бесконечно большой области с медленно меняющимися в пространстве интегральными характеристиками. Для непериодических условий вместо преобразования Фурье в численных схемах используется метод конечных разностей, что во многих случаях не может обеспечить достаточной точности для изучения нелинейной динамики волнового движения [4].

Прямое моделирование главным образом применяется для воспроизведения квазистационарного волнового режима, в таком случае спектр волн существенно не меняется. Воспроизведение эволюции волнового спектра было успешно продемонстрировано на основе использования двухмерной фазо-разрешающей модели, уравнения которой были записаны в конформной системе координат [5]. Между тем, поле волн на воде существенно трёхмерно. Малые возмущения приводят к неустойчивостям и развитию существенно трёхмерных волн [6, 7], следовательно, полную задачу эволюции волн следует решать на основе именно трёхмерных уравнений.

Большинство моделей трёхмерного волнения были разработаны для различных инженерных приложений, рассматривающих такие процессы и явления, как обрушенные волны, волны-убийцы, цунами, взаимодействием крутых волн с различными подвижными и неподвижными конструкциями [8].

Трёхмерный подход прямого моделирования долгосрочной эволюции многомодового волнового поля с учётом условия периодичности по горизонтальным координатам в криволинейной системе координат, был предложен в [9], на его основе разработана трёхмерная модель FWM (Full Wave Model). В представленном подходе было предложено разделить потенциал скорости на линейную и нелинейную компоненты. Линейная компонента

удовлетворяет уравнению Лапласа с известным аналитическим решением. Для расчёта нелинейной компоненты используется уравнение, которое в криволинейной неортогональной системе координат представляет собой трёхмерное эллиптическое уравнение и решается методом простых итераций. Нелинейная составляющая потенциала скорости на 1-2 порядка меньше линейной, тогда для решения уравнения требуется меньшее количество итераций, что позволяет значительно сократить время работы модели. В модель FWM также включены параметризации основных физических процессов: приток энергии от ветра к волнам, различные виды диссипации и трансформация волнового спектра за счёт нелинейных взаимодействий.

Несмотря на использование описанной выше схемы, такой подход, как и все существующие подходы к фазо-разрешающему моделированию волн, всё ещё остаётся вычислительно неэффективным в задачах долгосрочной эволюции волнового поля с высоким разрешением, что значительно ограничивает его применение. В связи с этим был разработан новый подход, который позволил свести задачу к двухмерной, путём замены трёхмерного эллиптического уравнения дополнительным поверхностным диагностическим уравнением, что ускоряет процесс вычислений в несколько раз [10].

Многочисленные расчёты показали, что основанная на таком упрощении двухмерная фазо-разрешающая модель AWM (Accelerated Wave Model) обладает высокой эффективностью и даёт результаты, схожие с результатами точной трёхмерной модели. Однако проверка такой модели ещё не была завершена. Модель AWM имеет большое количество применений, в частности, для различных практически значимых задач, например, для расширения спектрального прогноза ветрового волнения.

Целью настоящей работы является исследование дополнительных возможностей трёхмерного фазо-разрешающего моделирования, а именно, подтверждение применимости двухмерного моделирования трёхмерных волн и проведение прикладных работ по созданию метода интерпретации спектрального прогноза волн, а также доработка трёхмерной модели для расширения области её применения.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Провести численные эксперименты по трёхмерной и двухмерной фазо-разрешающим моделям для исследования квазистационарного статистического режима морского волнения и доказательства идентичности моделей.

2. Провести длительные численные эксперименты по развитию волн под действием ветра с помощью модели AWM и оценить статистические характеристики волнового поля.

3. Разработать методику интерпретации результатов спектральной модели прогноза ветровых волн WAVEWATCH III с помощью фазо-разрешающей модели волн AWM.

4. Модифицировать полную трёхмерную модель для условий конечной глубины.

Научная новизна исследования заключается в том, что в работе впервые на основе точной (FWM) и ускоренной (AWM) фазо-разрешающих моделей трёхмерных волн показано, что при использовании соответствующей нормировки статистические характеристики волнового поля (распределение вероятностей моментов высокого порядка) не зависят от степени развития волн. Впервые проведено объединение спектральной модели WAVEWATCH III и ускоренной фазо-разрешающей модели AWM с целью расширения и уточнения информации, полученной в ходе спектрального прогноза волн. Трёхмерная фазо-разрешающая модель FWM впервые была модифицирована для моделирования динамики многомодового волнового поля в условиях конечной глубины.

Научная и практическая значимость работы. Сделанные выводы о близости результатов, полученных по двухмерной модели AWM и трёхмерной модели FWM, свидетельствуют о том, что двухмерная модель является аналогом трёхмерной, обладая при этом большей вычислительной эффективностью. Такие результаты важны для дальнейшего использования модели AWM, которая, как показано, может эффективно и успешно использоваться как для моделирования многомодовой эволюции волнового поля, так и для различных практических приложений. Разработанная методика интерпретации информации, полученной на основе спектральной модели, может использоваться для усовершенствования технологии прогноза ветровых волн, что, в свою очередь, может способствовать повышению безопасности морского транспорта и увеличить тем самым экономическую эффективность морских грузовых перевозок. Модифицированная версия трёхмерной фазо-разрешающей модели FWM для условий конечной глубины может в дальнейшем использоваться для исследования свойств волн на мелководье или применяться для моделирования эволюции ветровых волн для конкретной акватории при внесении в модель необходимых для этого изменений.

Методология и методы научного исследования. Исследование основано на методах математического моделирования, а именно, в работе используется трёхмерная фазо -разрешающая модель поверхностных потенциальных волн FWM, основанная на полных уравнениях потенциальной динамики жидкости со свободной поверхностью, и её ускоренная версия - двухмерная фазо-разрешающая модель AWM. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Показана близость результатов, полученных по точной трёхмерной (FWM) и ускоренной (AWM) фазо-разрешающим моделям на основе сравнения статистических и спектральных характеристик волнового поля для квазистационарного волнового режима и развивающегося волнового поля.

2. На основе длительных численных экспериментов по ускоренной фазо-разрешающей модели показана малая зависимость безразмерных статистических характеристик волнового поля от степени развития волн.

3. Разработана методика, объединяющая спектральную и фазо-разрешающую модели. Установлено, что для волнового поля, рассчитанного по разработанной методике, вероятность появления высоких волн и высокого эксцесса на порядок выше, чем для волнового поля, полученного в результате спектрального прогноза.

4. Представлена версия трехмерной фазо-разрешающей модели FWM для условий конечной глубины. Установлено, что модель применима для моделирования динамки многомодового волнового поля для глубины не меньшей, чем 0,1 длины волны пика. Достоверность научных результатов и выводов. В работе представлены результаты,

полученные по численной модели, основанной на точных уравнениях гидродинамики, что можно считать показателем их достоверности. Достоверность результатов также подтверждается масштабными численными экспериментами, где показано совпадение результатов точной трёхмерной модели FWM и ускоренной модели AWM. Полученные результаты опубликованы в рецензируемых российских изданиях, неоднократно докладывались на конференциях и обсуждались на семинарах.

Личный вклад автора. Автором лично: проведён подробный анализ существующих подходов к фазо-разрешающему моделированию ветровых волн; осуществлена модификация модели FWM для условий конечной глубины; проведены численные эксперименты по сравнению моделей FWM и AWM, проанализированы и описаны полученные результаты; подготовлены к публикации и представлены на научных конференциях и семинарах полученные результаты. Автор также принимал участие в проекте Российского Научного Фонда (№ 22-21-00139), в рамках которого коллективно разрабатывалась новая методика интерпретации спектрального прогноза и осуществлялась его реализация.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на заседании Учёного совета Физического направления ИО РАН (январь 2024 г., г. Москва) и на заседании Учёного совета ИО РАН (январь 2024 г., г. Санкт-Петербург). Отдельные результаты работы докладывались на различных научных конференция, среди которых: VI Всероссийская конференция с международным участием «Гидрометеорология и экология. Достижения и перспективы развития 2022» имени Л. Н. Карлина (декабрь 2022), VII Всероссийская конференция молодых учёных «Комплексные исследования мирового океана 2023» (май 2023), VIII конференция молодых учёных и специалистов «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (МАГ-2023) (октябрь 2023), II Международная научно-практическая конференции «Гидрометеорология и физика атмосферы: современные достижения и тенденции развития»

(март 2024). Результаты также были апробированы участием в конкурсе научных работ студентов и аспирантов Санкт-Петербурга в области океанологии за 2023 г. (декабрь 2023 г.)

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 печатных изданиях, в том числе в 3-х рецензируемых журналах из списка ВАК, 4-х тезисах докладов на конференциях.

Статьи, опубликованные в изданиях из перечня ВАК:

1. Фокина К.В. Испытания ускоренной двухмерной модели поверхностных потенциальных волн / К.В. Фокина // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. - 2023. -Т. 16. - № 2. - С. 34-43. doi:10.59887/2073-6673.2023.16(2)-3.

2. Чаликов Д.В. Интерпретация результатов расчетов со спектральной моделью прогноза волн с помощью фазо-разрешающей модели / Д.В. Чаликов, К.Ю. Булгаков, К.В. Фокина // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. - 2023. - Т. 16. - № 2. - С. 21-33. doi:10.59887/2073-6673.2023.16(2)-2.

3. Фокина К.В. Численное исследование статистических характеристик развивающегося волнения / К.В. Фокина, Д.В. Чаликов // Russian Journal of Earth Sciences. - 2024. - Т. 24. - ES2010. doi: 10.2205/2024es000878

Тезисы докладов на научных конференциях:

4. Фокина К.В. Ускоренная двумерная модель трёхмерных волн / К.В. Фокина // Сборник трудов VI Международной конференции «Гидрометеорология и экология: достижения и перспективы развития». - 2022. - С. 240-244.

5. Фокина К.В. Проверка ускоренного подхода к моделированию потенциальных волн. / К.В. Фокина // «Комплексные исследования Мирового океана». Материалы VII Всероссийской научной конференции молодых учёных. - 2023. - С. 194-195.

6. Фокина К.В. Представление результатов спектрального моделирования ветровых волн с помощью фазо-разрешающей модели / К.В. Фокина, К.Ю. Булгаков, Д.В. Чаликов // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Моря России: от теории к практике океанологических исследований». - 2023. - С. 210.

7. Фокина К.В. Интерпретация результатов расчетов с спектральной моделью с помощью фазо-разрешающей модели Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики (МАГ-2023) / К.В. Фокина, Д.В. Чаликов, К.Ю. Булгаков // Сборник докладов научно-технической конференции молодыхученых и специалистов. - 2024. - С. 329-331.

Структура и объём диссертации. Полный объём диссертации составляет 103 страниц, в том числе 26 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 141 наименований. Диссертационная работа включает введение, четыре главы, заключение, список цитируемой литературы.

Во Введении обсуждается актуальность работы, цели и задачи исследования, научная новизна, научная и практическая значимость диссертации, формулируются положения, выносимые на защиту, а также приводится список работ, в которых опубликованы результаты данного исследования. Кратко представлено содержание диссертации.

В Главе 1 представлен обзор научной литературы по существующим фазо-разрешающим методам численного моделирования ветровых волн, приведены их основные достоинства и недостатки, сформулирована проблема современного состояния фазо-разрешающего моделирования волн. Кратко представлена суть спектрального моделирования волн.

В Главе 2 подробно описаны используемые в работе трёхмерная модель потенциальных волн FWM и её двухмерный аналог - модель AWM, приведены выводы основных уравнений в неортогональной нестационарной системе координат. Обсуждается необходимость дополнительной проверки нового подхода и представлены результаты такой проверки на примере основных спектральных полей.

В Главе 3 проведены долгопериодные расчёты эволюции трёхмерных волн на основе фазо-разрешающей двухмерной модели. Анализируется эволюция основных интегральных характеристик и спектральных характеристик, а также распределение вероятности для поля возвышения и вертикальной скорости. На примере первых четырёх статистических моментов для нормированных полей возвышения и поверхностной вертикальной скорости показана независимость статистических характеристик поля от степени развития волн. Этот вывод подтверждён расчётами по трёхмерной модели.

В заключительной Главе 4 описана новая методика, разработанная для интерпретации спектрального прогноза волн в Балтийском море с помощью фазо-разрешающей модели AWM, которая воспроизводит волны как физические объекты. С помощью системы прогноза ветровых волн, состоящей из моделей циркуляции атмосферы WRF и модели прогноза ветровых волн WAVEWATCH III, были проведены расчёты волновых спектров за выбранный период. Полученные волновые спектры были преобразованы в начальные условия для фазо -разрешающей модели с помощью специально разработанного алгоритма. Полученные в конце экспериментов поля (в которых выработаны нелинейные свойства) сравнивались с начальными условиями (линейными волновыми полями). Сравнение показало, что для поля, полученного в конце эксперимента, вероятность появления высоких волн и высокого эксцесса больше (т.е. поле имеет более реальные черты), чем поле, которое получено в начале эксперимента на основе суперпозиции линейных мод со случайными фазами.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Благодарности. Автор благодарит научного руководителя д. ф. -м. н. Чаликова Дмитрия Викторовича за всестороннюю помощь и поддержку на всех этапах выполнения работы. Автор

выражает благодарность коллегам из СПбФ ИО РАН, в особенности к. ф. -м. н. Булгакову Кириллу Юрьевичу и Глухову Владимиру Алексеевичу за сотрудничество, обсуждения и поддержку. Автор также признателен члену-корреспонденту РАН, д.т.н. Родионову Анатолию Александровичу за помощь и ценные советы.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЕТРОВОГО

ВОЛНЕНИЯ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Ветровые волны являются одними из наиболее важных объектов в прибрежной и морской инженерии. Кроме того, случайный характер морских поверхностных волн и сильная нелинейность делает их одним из самых сложных явлений для изучения. Исследование ветровых волн осуществляется на основе натурных наблюдений (например, с помощью волномерных буёв [11-14], спутникового дистанционного зондирования [15-18], судовых измерений [19-21], высокочастотных радаров [22-24]), лабораторных установок [25-27] и теоретических подходов [28-30]. Измерение волновых характеристик вблизи движущейся поверхности раздела между атмосферой и океаном представляет собой технически непростую задачу. Использование лабораторных установок для ряда задач сопряжено с большими затратами из-за необходимости создания сложных и громоздких конструкций, а волны в лабораторных условиях часто воспроизводятся нереалистично. По этим и другим причинам, наряду с развитием вычислительной техники за последние десятилетия численные модели стали востребованным инструментом для исследования и прогноза морских волн.

Широкое применение численного моделирования связано в том числе и с его универсальностью, поскольку модели волн могут выступать в роли виртуальной лаборатории с неограниченным количеством датчиков и возможностью получать данные в любом месте пространства в любой момент времени. Численные модели можно также использовать в качестве аналитического инструмента как для детального изучения уже известных особенностей, так и для изучения новых ранее неизвестных свойств ветровых волн.

Прогноз состояния морской поверхности в настоящее время также сложно представить без использования численного моделирования. Стоит, однако, отметить, что специально разработанные для прогноза волн спектральные модели обладают некоторыми неопределённостями, которые растут со временем при прогнозировании хаотического волнового движения [31]. Источником неопределённостей являются: 1) неточные начальные условия, которые обычно берутся из данных измерений, например, с помощью радиолокатора или буя; и 2) физические процессы, которые недостаточно изучены и, следовательно, не могут быть точно учтены в волновой модели. Однако, если первую неопределённость можно устранить путём улучшения системы наблюдения за морской поверхностью, то совершенствование физики описываемых в модели процессов возможно главным образом на основе результатов, полученных с помощью детальных фазо-разрешающих моделей.

Существующие численные волновые модели можно разделить на две основные группы: фазо-разрешающие и спектральные модели. Фазо-разрешающее (прямое) моделирование волн -это математическое моделирование, в котором воспроизведение водной поверхности производится в первичных терминах скорости или потенциала скорости и формы поверхности на основе уравнений движения [3]. В спектральных моделях рассматривается эволюция волнового спектра или распределение энергии по углу и частоте [32].

Сравнение этих двух групп затруднительно, поскольку их области применения часто не пересекаются. Спектральные модели были разработаны специально для прогнозирования морского волнения. Такой подход сегодня является единственно возможным методом, позволяющим описать эволюцию волнового поля на больших акваториях в течение длительного периода времени. Фазо-разрешающее моделирование воспроизводит реальный физический процесс и основано на полных уравнениях гидродинамики. Оба типа моделей обладают своими недостатками.

1.1. Фазо-разрешающее моделирование волн

Фазо-разрешающие модели можно разделить на несколько различных типов в зависимости от: 1) значений нелинейности, определяемой как ak; 2) параметра относительной глубины kd; и 3) наклона дна а [33]. Здесь a - амплитуда волны, k- волновое число и d- глубина воды. Типичные значения для каждого из типов моделей фазового разрешения приведены в [3435].

Предположения о малой величине наклона дна (а<< kd) и слабой нелинейности волн (ak << 1), приводят к так называемым Mild Slope Equation (MSE) моделям [36-37], описывающим комбинированные эффекты дифракции и преломления волн, которые распространяются в водоёмах разной глубины и трансформируются, взаимодействуя с препятствиями, например, со скалами, дамбами или волнорезами. Такие модели описывают изменения амплитуды волны или эквивалентной ей высоты волны. Эти величины могут впоследствии использоваться для определения воздействия волн на прибрежные и морские сооружения, перенос отложений и изменение батиметрии морского дна.

Если параметр относительной глубины и наклон дна малы (kd << 1,а<< 1) и нелинейность слаба ( a / d << 1), рассматривают модель Буссинеска [38], применимую к довольно длинным волнам (длина которых значительно превышает глубину, на которой они распространяются). В последние десятилетия модели типа Буссинеска широко применяются при моделировании прибрежных волн и течений для сложных батиметрических конфигураций [ 39-

41]. Они обладают большой вычислительной эффективностью, а их основным преимуществом является сведение трёхмерной задачи к двухмерной, как это показано в обзорах [42, 43]. Модели, основанные на уравнениях Буссинеска, позволяют прогнозировать широкий спектр процессов, включая, например, распространение волн, обмеление, взаимодействие волновых течений и обрушение волн [44].

Если не делать никаких предположений о величине каких-либо из этих параметров, возникает класс так называемых «точных» моделей. Термин «точный» используется для обозначения того, что при формулировке модели не было сделано никаких упрощающих допущений. Модели такого типа основаны на решении уравнения Лапласа.

Как правило, для исследования волновой динамики требуется рассматривать большие пространственные и временных области, а вертикальная и горизонтальная структура волнового поля должны рассчитываться одновременно, что в свою очередь требует очень большого количества узлов пространственной сетки и временных шагов, поэтому такие модели являются очень дорогими в вычислительном отношении. Однако подобные модели являются хорошим инструментом для исследования подробных свойств безвихревых волн.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фокина Карина Владимировна, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Komen, G. J. (1995). Dynamics and Modelling of Ocean Waves / G. J. Komen, L. Cavaleri., M. Donelan et al. - Cambridge University Press, 1995. - 339 p.

2. Cavaleri, L. Wave modelling-The state of the art / L. Cavaleri, J.H.G.M. Alves, F. Ardhuin et al. // Progress in Oceanography. - 2007. - Vol. 75. - № 4. - PP. 603-674.

3. Chalikov, D. Phase-Resolving Wave Modeling / D. Chalikov // Encyclopedia of Maritime and Offshore Engineering. - 2017.

4. Chalikov, D. Numerical modeling of sea waves. / D. Chalikov. - Springer, 2016. - 330 p.

5. Chalikov, D. Simulation of one-dimensional evolution of wind waves in a deep water / D. Chalikov, A.V. Babanin // Physics of Fluid. - 2014. - Vol. 26. - № 9. - 096607.

6. MacKay, R. S. Stability of water waves / R. S. MacKay, P. G. Saffman // Proceedings of the Royal Society of London. - 1986. - Vol. 406. - № 1830. - PP. 115-120.

7. McLean, J.W. Instabilities of finite-amplitude water waves / J.W. McLean // Journal of Fluid Mechanics. - 1982. - Vol. 114. - PP. 315-330.

8. Чаликов, Д.В. Различные подходы к моделированию морских волн / Д.В. Чаликов // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. - 2022. - Т. 15, № 1. С. 19-32.

9. Chalikov, D. Numerical modeling of three dimensional fully nonlinear potential periodic waves / D. Chalikov, A.V. Babanin, E. Sanina // Ocean Dynamics. - 2014. - Vol. 64. - №10. PP. 14691486.

10. Chalikov, D. Two-dimensional modeling of three-dimensional wave / D. Chalikov // Oceanology.

- 2021. - Vol. 61. - №6. РР. 850-860.

11. Longuet-Higgins, M.S. Observations of the directional spectrum of sea waves using the motions of a floating buoy / M.S. Longuet-Higgins, D.E. Cartwright, N.D. Smith // In Ocean Wave Spectra; Prentice-Hall: Englewood Cliffs, NJ, USA. - 1963. - PP. 111-136.

12. Cartwright, D.H. Buoy techniques for obtaining directional wave spectra / D.H. Cartwright, N.D. Smith // Buoy Technology; Marine Technology Society. - 1964. - PP. 112-121.

13. Bowden, K.F. Measurements of the orbital velocities of sea waves and their use in determining the directional spectrum / K.F. Bowden, R.A. White // Geophysical Journal International. - 1966.

- Vol. 12. - №1. PP. 33-54.

14. Barstow, S.F. Measuring and analysing the directional spectrum of ocean waves / S.F. Barstow, J R. Bidlot, S. Caires et al. // COST Action. - 2005.

15. Ardhuin, F. Observing sea states / F. Ardhuin, J.E. Stopa, B. Chapron et al. // Frontiers in Marine Science. - 2019. - Vol. 6.

16. Li, H. Assessment of Ocean Wave Spectrum using Global Envisat/ASAR Data and Hindcast Simulation / H. Li, J.E. Stopa, A. Mouche et al. // Remote Sensing of Environment. - 2021. - Vol. 264. - PP. 1-13.

17. Григорьева, В.Г. Режимные характеристики ветрового волнения по данным попутных судовых наблюдений и спутниковой альтиметрии» / В. Г. Григорьева, С. И. Бадулин // -Океанология. - 2016. - Т. 56. - №1. - С. 23-29.

18. Dodet, G. The Sea State CCI dataset v1: towards a sea state climate data record based on satellite observations / G. Dodet, J.-F. Piolle, Y. Quilfen et al. // В: Earth System Science Data. - Vol. 12. -№3. -2020. - PP. 1929-1951.

19. Pascoal, R. Ocean wave spectral estimation using vessel wave frequency motions / R. Pascoal, C. Guedes Soares, J. S0rensen // Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering - 2007.

- №129. - РР. 90-96.

20. Nielsen, U.D. Sea state estimation from an advancing ship - A comparative study using sea trial data / U.D. Nielsen, D.C. Stredulinksy // Applied Ocean Research. - 2012. - Vol. 34. - PP. 3344.

21. Montazeri, N. Estimation of wind sea and swell using shipboard measurements - A refined parametric modelling approach / N. Montazeri, U.D. Nielsen, J.J. Jensen // Applied Ocean Research. - 2016. - Vol. 54. - PP. 73-86.

22. Barrick, D.E. Remote sensing of sea state by radar / D.E. Barrick // In Proceedings of the Ocean 72-IEEE International Conference on Engineering in the Ocean Environment, Newport, RI, USA.

- 1972. - PP. 186-192.

23. Barrick, D.E. Extraction of wave parameters from measured HF radar sea-echo Doppler spectra / D.E. Barrick // Radio Science. - 1977. - Vol. 12. - PP. 415-424.

24. Barrick, D.E. The ocean waveheight nondirectional spectrum from inversion of the HF sea-echo Doppler spectrum / D.E. Barrick // Remote Sensing of Environment. - 1977. - Vol. 6. - №3. - PP. 201-227.

25. Zhao, X Z. (2009). A numerical study of the transformation of water waves generated in a wave flume / X.Z. Zhao, Z.C. Sun, S.X. Liang // Fluid Dynamics Research. - 2009. - Vol. 41. - №3.

26. Woo-Jin, S. Numerical and experimental study on free-surface wave generation by a submerged moving body in a towing tank / S. Woo-Jin, K. Weoncheol, M. Eun-Hong // Ocean Engineering.

- 2022. - Vol. 252.

27. Branger, H. Growth of surface wind-waves in water of finite depth: A laboratory experiment / H. Branger, M.A. Manna, C. Luneau et al. // Coastal Engineering. - 2022. - Vol. 177.

28. Montalvo, P. Growth of surface wind-waves in water of finite depth. A theoretical approach / P. Montalvo, J. Dorignac, M. Manna, et al. // Coastal Engineering. - 2013. - Vol. 77. - PP. 49-56.

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

Masuda, A. On the dispersion relation of random gravity waves, Part 1, Theoretical framework / A. Masuda, K. Yi-Yu, H. Mitsuyasu // Journal of Fluid Mechanics. - 1979. - Vol. 92. - PP. 717730.

Onorato, M. Statistical Properties of Directional Ocean Waves: The Role of the Modulational Instability in the Formation of Extreme Events / M. Onorato, T. Waseda, A. Toffoli et al. // Physical Review Letters. - 2009. - Vol. 102. - №11. - 114502.

Janssen, P. Progress in ocean wave forecasting / P. Janssen // Journal of Computational Physics. -2008. - Vol. 227. - PP. 3572-3594.

Young, I. R. Wind generated ocean waves / I.R. Young; Elsevier Ocean Engineering Series, Amsterdam, 1999. - Vol. 2. - 287 p.

Battjes, J.A. Shallow water wave modeling / J.A. Battjes // Proceedings of Waves - Physical and Numerical Modeling, Vancouver. - 1994. PP. 1-23.

Peregrine, D.H. Equations for water waves and the approximation behind them / D.H. Peregrine // Waves on beaches and resulting sediment transport, Academic Press, New York. - 1972. - PP. 95-121.

Whitham, G.B. Linear and nonlinear waves / G.B. Whitham; John Wiley & Sons. - New York, 1999. - 636 p.

Berkhoff, J.C.W. Computation of combined refraction-diffraction / J.C.W. Berkhoff // Proceedings of 13th Conference on Coastal Engineering, Lisbon. - 1972. - PP. 55-69. Smith, R. Scattering of surface waves by a conical island / R. Smith, T. Sprinks // Journal of Fluid Mechanics. - 1975. - Vol. 72. - PP. 373-384.

Peregrine, D.H. Long waves on a beach / D.H. Peregrine // Journal of Fluid Mechanics. - 1967. -Vol. 27. - PP. 815-827.

Gao, J.L. Numerical investigation of harbor oscillations induced by focused transient wave groups

/ J.L. Gao, X.Z. Ma, J. Zang et al. // Coast. Engineering - 2020. - Vol. 158.

Gao, J.L. On hydrodynamic characteristics of transient harbor resonance excited by double solitary

waves / J.L. Gao, X.Z. Ma, H Z. Chen et al. // Ocean Engineering. - 2021 - Vol. 219.

Buccino, M. Predicting crenulate bay profiles from wave fronts: numerical experiments and

empirical formulae / M. Buccino, S. Tuozzo, M.C. Ciccaglione et al. // Geosciences. - 2021. -

Vol. 11. - №5. - 208.

Kirby, J.T. Boussinesq models and applications to nearshore wave propagation, surf zone processes and wave induced-current / J.T. Kirby // Advances in Coastal Modelling, Amsterdam, The Netherlands. - 2003. - PP. 1-41.

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

Madsen, P.A. High-order Boussinesq-type modeling of nonlinear wave phenomena in deep and shallow water / P.A. Madsen, D.R. Fuhrman // In Advances in Numerical Simulation of Nonlinear Water Waves, Singapore. - 2010. - PP. 245-285.

Sun, J.W. A review on the theory and application of Boussinesq-type equations for water waves/ J.W. Sun, K.Z. Fang, Z.B. Liu et al. // Haiyang Xuebao. - 2020. - Vol. 42. - PP. 1-11. Zakharov, V. Stability of periodic waves of finite amplitude on the surface of a deep fluid / V. Zakharov // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 1968. - Vol. 9. - PP. 190194.

Whitney, J.C. The numerical solution of unsteady free-surface flows by conformal mapping / J.C. Whitney // In Proceedings of the second international conference on numerical methods of fluid dynamics. Springer, Berlin. - 1971. - PP. 458-462.

Ovsyannikov, L.V. Dynamics of liquid continuum / L.V. Ovsyannikov // Institute of Fluid Mechanics. - 1973. - Vol. 15. - PP. 104-125.

Chalikov, D. Numerical simulation of surface waves based on equations of potential wave dynamics / D. Chalikov, D. Sheinin // Proceedings of ONR, Ocean Waves Workshop. - 1994. Chalikov, D. The numerical investigation of wavenumber-frequency spectrum for 1-D nonlinear waves / D. Chalikov, D. Sheinin // WMO/ISCU, CAS/JSC Working Group on Numerical Experimentation. - № 592. - 1994.

Chalikov, D. Numerical modeling of surface waves based on principal equations of potential wave

dynamics / D. Chalikov, D. Sheinin // Technical Note. NOAA/NCEP/OMB. - 1996. - 54 p.

Chalikov, D. Direct modeling of one-dimensional nonlinear potential waves / D. Chalikov, D.

Sheinin // Advances in Fluid Mechanics -1998. - Vol. 17. - PP. 207-258.

Sheinin, D. Hydrodynamical modeling of potential surface waves / D. Sheinin, D. Chalikov //

Problems of hydrometeorology and environment on the eve of XXI century. Proceedings of

international theoretical conference, St. Petersburg. - 2001. - PP. 305-337.

Chalikov, D. Modeling of extreme waves based on equations of potential flow with a free surface

/ D. Chalikov, D. Sheinin // Journal of Computational Physics. - 2005. - Vol. 210. - №1. - PP.

247-273.

Chalikov, D. Statistical properties of nonlinear one-dimensional wave fields / D. Chalikov // Nonlinear Processes in Geophysics. - 2005. - Vol. 12. - PP. 1-19.

Agnon, Y. Fine scale inhomogeneity of wind-wave energy input, skewness, and asymmetry / Y. Agnon, A.V. Babanin, I.R. Young, D. Chalikov // Geophysical Research Letters. - 2005. - Vol. 32. - №12.

Chalikov, D. Freak waves: their occurrence and probability / D. Chalikov // Physics of Fluids. -2009. - Vol. 21. - №7.

57. Chalikov, D.V. Statistics of Extreme Wind Waves / D.V. Chalikov // Fundamental and Applied Hydrophysics. - 2009. - Vol. 3. - №5. - PP. 4-24.

58. Babanin, A.V. Numerical and laboratory investigation of breaking of steep two-dimensional waves in deep water / A.V. Babanin, D. Chalikov, I.R. Young, I. Saveliev // Journal of Fluid Mechanics.

- 2010. - Vol. 644. - PP. 433-463.

59. Galchenko, A. Modulational instabilities and breaking strength for deep-water wave groups / A. Galchenko, A.V. Babanin, D. Chalikov, I.R. Young. // Journal of Physical Oceanography. - 2010.

- Vol. 40. - №10. - PP. 2313-2324.

60. Shaw, R.P. Boundary Integral Equation Methods Applied to Wave Problems / R.P. Shaw // Developments in Boundary Element Methods. - 1979. - Vol 1.

61. Liu, P. L.-F. Applications of Boundary Element Methods to Problems of Water Waves / P. L.-F. Liu, J. A. Liggett // Developments in Boundary Element Methods. - 1982. - Vol. 2.

62. Longuet-Higgins, M.S. The deformation of steep surface waves on water, I. A numerical method of computation / M. S. Longuet-Higgins, E. D. Cokelet // Proceedings of the Royal Society London A. - 1976. - Vol. 350. - №1660. - PP. 1-26.

63. Vinje, T. Numerical simulation of breaking waves / T. Vinje, P. Brevig // Advances in Water Resources. - 1981. - Vol. 4. - №2. - PP. 77-82.

64. Wang, J. An enhanced spectral boundary integral method for modeling highly nonlinear water waves in variable depth / J. Wang // Atmospheric and Oceanic Physics. - 2023.

65. Dombre, E. A 3D parallel boundary element method on unstructured triangular grids for fully nonlinear wave-body interactions. / E. Dombre, J.C. Harris, M. Benoit et al. // Ocean Engineering.

- 2019. - Vol. 171. - PP. 505-518.

66. Haroldsen, D. Numerical calculation of three dimensional interfacial potential flows using the point vortex method / D. Haroldsen, D. Meiron // SIAM Journal of Scientific Computing. - 1999.

- Vol. 20. - №2. - PP. 648-683.

67. Hague, C. H. Numerical Simulations of Large Deep Water Waves: The Application of a Boundary Element Method / C.H. Hague, C. Swan // 25th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering - Hamburg, Germany. - 2006. - PP. 167-173.

68. Beale, J. T. A grid-based boundary integral method for elliptic problems in three dimensions / J.T. Beale // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2005. - Vol. 42. - №2. PP. 599-620.

69. Cooker, M.J.The interaction between a solitary wave and a submerged semicircular cylinder / M.J. Cooker, D.H. Peregrine, O. Skovggard // Journal of Fluid Mechanics. - 1990. - Vol. 215. - PP. 1-22.

70. Ohyama, T. Development of a numerical wave tank for analysis of nonlinear and irregular wave field / T. Ohyama, K. Nadaoka // Fluid Dynamics Research. - 1991. - Vol. 8. №5-6. - PP. 231251.

71. Dold, J. & Peregrine, Howell. (1986). An efficient boundary integral method for steep unsteady water waves / J. Dold, H. Peregrine // Numerical methods for fluid dynamics II / Oxford University Press, 1986. - PP. 671-679.

72. Grilli, S. Etude de l'action de la houle sur les structures flottantes par 616ments frontigres. Comparaison avec les 616ments finis / S. Grilli // Bulletin de I'ATMA. - 1984. - Vol. 84. - PP. 297-318.

73. Grilli, S. Application of the Boundary Element Method to some Elliptic Fluid Mechanics Problems / S. Grilli // In Proceedings of the 1st International Conference on Computer Methods and Water Resources, Rabat, Morocco. - 1988. - Vol. 4. - PP. 97-113.

74. Grilli S.T. A fully non-linear model for three-dimensional overturning waves over an arbitrary bottom / S.T Grilli., P. Guyenneb, and F. Diasc // Numerical Methods in Fluids. - 2001. - Vol. 35

- №7. - PP. 829-867.

75. Grilli, S.T. An efficient boundary element method for nonlinear water waves / S.T. Grilli, J. Skourup, I.A. Svendsen // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 1989. - Vol. 6. - №2.

- PP. 97-107.

76. Grilli, S.T. Numerical modeling of wave breaking induced by fixed or moving boundaries / S.T. Grilli, R. Subramanya // Computational Mechanics. - 1996. - Vol. 17. - PP. 374-391.

77. Clamond, D. A fast method for fully nonlinear water wave dynamics / D. Clamond, J. Grue // Journal of Fluid Mechanics. - 2001. - Vol. 447. - PP. 337-355.

78. Fructus, D. An efficient model for three-dimensional surface wave simulations. Part I: Free space problems / D. Fructus, D. Clamond, J. Grue, 0. Kristiansen // Journal of Computational Physics.

- 2005. - Vol. 205. - PP. 665-668.

79. Guyenne, P. Numerical study of three-dimensional overturning waves in shallow water / P. Guyenne, S.T. Grilli // Journal of Fluid Mechanics. - 2006. - Vol. 547. - PP. 361- 388.

80. Ma, Q. (2016). A review on approaches to solving Poisson's equation in projection-based meshless methods for modelling strongly nonlinear water waves / Q. Ma, Y. Zhou, S. Yan // Journal of Ocean Engineering and Marine Energy. - 2016. - Vol. 2. - PP. 279-299.

81. Atluri S.N. A new meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) approach in computational mechanics / S.N. Atluri, T. Zhu // Computational Mechanics. - 1998. - Vol. 22. - PP. 117-127.

82. Ma, Q.W. Meshless local Petrov-Galerkin method for two-dimensional nonlinear water wave problems / Q.W. Ma // Journal of Computational Physics. - 2005. - Vol. 205. - №2. - PP. 611625.

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

Dalrymplem, R.A. SPH modelling of water waves / R.A. Dalrymplem, O. Knio // In Proceedings of the Coastal Dynamics, Lund. - 2001.

Lo, E.Y.M. Simulation of near-shore solitary wave mechanics by an incompressible SPH method / E.Y.M. Lo, S. Shao // Applied Ocean Research. - 2002. - Vol. 24. - №5. - PP. 275-286. Koshizuka, S. (1996). Moving-particle semi-implicit method for fragmentation of incompressible fluid / S. Koshizuka, Y. Oka // Nuclear Science and Engineering. - 1996. - Vol. 123. - №3. - PP. 421-434.

Ma, Q. Method of fundamental solutions for fully nonlinear water waves / Q. Ma // Advances in Coastal and Ocean Engineering. - 2010. - Vol. 11. - PP. 325-355.

Fairweather G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Advances in Computational Mathematics. - 1998. - Vol. 9. - PP. 69-95.

Gingold R. Smoothed Particle Hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars / R. Gingold, J. Monaghan // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1977. - Vol. 181.

- PP. 375-389.

Monaghan, J. Smoothed particle hydrodynamics / J. Monaghan // Reports on Progress in Physics.

- 2005. - Vol. 68.

Asaithambi N.S. Computation of free-surface flows / N.S Asaithambi // Journal of Computational Physics. - 1987. - Vol. 73. - №2. - 380-394.

Yulin, L. Finite difference method for 2-D and 3-D nonlinear free surface wave problems / L. Yulin, L. Baoyuan // Acta Mechanica Sinica. - 1985. - Vol. 1. - №2. - PP. 117-130. Cai, X. A finite element method for fully nonlinear water waves / X. Cai, H. P. Langtangen, B. F. Nielsen, A. Tveito // Journal of Computational Physics. - 1998. - Vol. 143. - №2. - PP. 544-568. Ma, Q. Application of the finite volume method to the simulation of nonlinear water waves / Q. Ma // Advances in Coastal and Ocean Engineering. - 2010. - Vol. 11. - PP. 357-396. Engsig-Karup, A.P. A stabilised nodal spectral element method for fully nonlinear water waves / A.P. Engsig-Karup, C. Eskilsson, D. Bigoni // Journal of Computational Physics. - 2016. - Vol. 318. - PP. 1-21.

Cerrato, A. A coupled finite and boundary spectral element method for linear water-wave propagation problems / Cerrato, A. Luis Rodríguez-Tembleque, José A. González, M.H. Ferri Aliabadi, // Applied Mathematical Modelling. - 2017. - Vol. 48. - PP. 1-20. Wu, G.X. Time stepping solutions of the two-dimensional nonlinear wave radiation problem / G.X. Wu, R. E. Taylor // Ocean Engineering. - 1995. - Vol. 22. - PP. 785-798.

97. Shao, Y. L. A harmonic polynomial cell (HPC) method for 3D Laplace equation with application in marine hydrodynamics / Y.L. Shao, O.M. Faltinsen // Journal of Computational Physics. - 2014.

- Vol. 274. - PP. 312-332.

98. Bingham, H.B. On the accuracy of finite-difference solutions for nonlinear water waves / H.B. Bingham, H. Zhang // Journal of Engineering Mathematics. - 2007. - Vol. 58. - №1-4. PP. 211228.

99. Engsig-Karup, A. P. An efficient flexible-order model for 3D nonlinear water waves / A. P. Engsig-Karup, H.B. Bingham, O. Lindberg // Journal of computational physics. - 2009. - Vol. 228. - №6. - PP. 2100-2118.

100. Saad, Y. Gmres: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems / Y. Saad and M. H. Schultz. // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. -1986. - Vol. 7. - №3. - PP. 856- 869.

101. West, B. A new numerical method for surface hydrodynamics / B. West, K. Brueckner, R. Janda et al. // Journal of Geophysical Research. - 1987. - Vol. 92. - №11. - PP. 803-824.

102. Dommermuth, D. A high-order spectral method for the study of nonlinear gravity waves / D. Dommermuth, D. Yue //Journal of Fluid Mechanics. - 1987. - Vol. 184. - PP. 267-288.

103. Tanaka, M. A method of studying nonlinear random field of surface gravity waves by direct numerical simulation / M. Tanaka // Fluid Dynamics Research. - 2001. - Vol. 28. - №1.

- PP. 41-60.

104. Touboul, J. Two-dimensional direct numerical simulations of the dynamics of rogue waves under wind action / J. Touboul, C. Kharif // Advances in Numerical Simulation of Nonlinear Water Waves. - 2010. - PP. 43-74.

105. Ducrozet, G. 3-D HOS simulations of extreme waves in open seas / G. Ducrozet, F. Bonnefoy, D. Le Touze, P. Ferrant // Natural Hazards and Earth System Sciences. - 2007. - Vol. 7. - PP. 109122

106. Kharif, C. Influence of wind on extreme wave events: experimental and numerical approaches / C. Kharif, J.-P. Giovanangeli, J. Touboul et al. // Journal of Fluid Mechanics. - 2008. - Vol. 594.

- PP. 209-247.

107. Liu, W. Numerical simulation of nonlinear regular and irregular waves based on HOS-CFD method / W. Liu, J. Yu, G. Dong et al. // 42nd International Conference on Ocean, Offshore and Arctic Engineering. - 2023.

108. Isozaki, I. Numerical prediction of ocean wind waves / I. Isozaki, T. Uji // Papers in Meteorology and Geophysics - 1973. - Vol. 24. - №2. - PP. 207-231.

109. Phillips, O.M. On the generation of waves by turbulent wind / O.M. Phillips // Journal of Fluid Mechanics - 1957. - Vol. 2. - PP. 417-445.

110. Miles, J.W. On the generation of surface waves by shear flows / J.W. Miles // Journal of Fluid Mechanics - 1957. - Vol. 3. - PP. 185-204.

111. Phillips, O.M. The equilibrium range in the spectrum of wind-generated waves / O.M. Phillips // Journal of Fluid Mechanics - 1958. - Vol. 4. - PP. 426-434.

112. SWAMP Group. Ocean wave modeling / SWAMP Group; Plenum Press. - New York, 1985. -256 p.

113. Hasselmann, K. 1973 Measurements of wind-wave growth and swell decay during the Joint North Sea Wave Project (JONSWAP) / K. Hasselmann, T P. Barnett, E. Bouws // Deutsches Hydrographische Zeitschrift. - 1973. - Vol. 08. - №12. - PP.1-95.

114. Young, I.R. A Shallow Water Spectral Wave Model / I.R. Young // Journal of Geophysical Research - 1988. - Vol. 93. - PP. 5113-5129.

115. Allender, J.H. The DNS model: An improved spectral model for ocean wave prediction / J.H. Allender, T.P. Barnett, M. Lybanon // In Ocean wave modeling, SWAMP Group, Plenum Press, New York. - 1985. - PP. 235-248.

116. Hasselmann, S. 1988, "The WAM model - a third generation ocean wave prediction model / S. Hasselmann, K. Hasselmann, E. Bauer, et al. // Journal of Physical Oceanograph y. - 1988. - Vol. 18. - №12. - PP. 1775-1810.

117. Tolman, H.L. A third-generation model for wind on slowly varying unsteady and inhomogeneous depths and currents / H.L. Tolman // Journal of Physical Oceanography. - 1991. - Vol. 21. - №6

- PP. 782-797.

118. Booij, N. The SWAN wave model for shallow water / N. Booij, L.H. Holthuijsen, R.C. Ris // In Coastal Engineering 1996: Proceedings of the Twenty-Fifth International Conference, September 2-6, 1996, the Peabody Hotel, Orlando, Florida (Proceedings of the Coastal Engineering Conference); Amer Society of Civil Engineers: Reston, VA, USA. - 1997. - PP. 668-676.

119. Chalikov, D. Accelerated reproduction of 2-D periodic waves / D. Chalikov // Ocean Dynamics.

- 2021. - Vol. 71. - №3. - PP. 309-322.

120. Chalikov, D. A 2D model for 3D periodic deep-water waves / D. Chalikov // Journal of Marine Science and Engineering. - 2022. - Vol. 10. - №3 - 410.

121. Thomas, L.H. Elliptic problems in linear differential equations over a network / L.H. Thomas // Watson Scientific Computing Laboratory Report, Columbia University, New York. - 1949.

122. Chalikov, D. Coupled Numerical Modelling of Wind and Waves and the Theory of the Wave Boundary Layer / D. Chalikov, S. Rainchik // Boundary Layer Meteorology. - 2010. - Vol. 138.

- PP. 1-41.

123. Фокина К.В. Испытания ускоренной двухмерной модели поверхностных потенциальных волн / К.В. Фокина // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. - 2023. - Т. 16. - № 2. -С. 34-43.

124. Babanin, A.V. Breaking and dissipation of ocean surface waves / A.V. Babanin. - Cambridge: Cambridge University Press, 2011. - 463 p.

125. Hasselmann, K. On the non-linear energy transfer in a gravity wave spectrum, Part 1 / K. Hasselmann // Journal of Fluid Mechanics. - 1962. - Vol. 12. - PP. 481-500.

126. Longuet-Higgins, M. S. The effect of non-linearities on statistical distributions in the theory of sea waves / M.S. Longuet-Higgins // Journal of Fluid Mechanics. - 1963. - Vol. 17. - №3. - PP. 459480.

127. Huang, N. E. An experimental study of the surface elevation probability distribution and statistics of wind-generated waves / N.E. Huang, S.R. Long // Journal of Fluid Mechanics. - 1980. - Vol. 101. - №1. - PP. 179-200.

128. Фокина К.В. Численное исследование статистических характеристик развивающегося волнения / К.В. Фокина, Д.В. Чаликов // Russian Journal of Earth Sciences. - 2024. - Т. 24. -ES2010.

129. Kitaigorodskii, S.A. Applications of the theory of similarity to the analysis of wind-generated water waves as a stochastic process / S.A. Kitaigorodskii // Bulletin of the Academy of Sciences of the USSR. Geophysics Series. - 1962. - Vol. 1. - PP. 105-117.

130. Badulin, S. I. Self-similarity of wind-driven seas / S. I. Badulin, A. N. Pushkarev, D. Resio // Nonlinear Processes in Geophysics. - 2005. - Vol. 12. - PP. 891-946.

131. Chalikov, D. Estimation of wave height probability based on the statistics of significant wave height / D. Chalikov, K. Bulgakov // Journal of Ocean Engineering and Marine Energy. - 2017.

- Vol. 3. - №1.

132. Chalikov, D. Comparison of linear and nonlinear extreme wave statistics / D. Chalikov, A.V. Babanin // Acta Oceanologica Sinica. - 2016. - Vol. 35. - №5. - PP. 99-105.

133. Чаликов Д.В. Интерпретация результатов расчетов со спектральной моделью прогноза волн с помощью фазо-разрешающей модели / Д.В. Чаликов, К.Ю. Булгаков, К.В. Фокина // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. - 2023. - Т. 16. - № 2. - С. 21-33.

134. Tolman, H.L. Source terms in a third-generation wind wave model / H.L. Tolman, D. Chalikov // В: Journal of Physical Oceanography. - 1996. - Vol. 26. - №11. - PP. 2497-2518.

135. Michalakes, J. The weather research and forecast model: Software architecture and performance / J. Michalakes, J. Dudhia, D. Gill et al.// Proceedings of the 11th ECMWF Workshop on the Use of High Performance Computing In Meteorology. Reading U.K. Ed. George Mozdzynski. - 2004.

- PP. 25-29.

136. National Centers for Environmental Prediction/National Weather Service/NOAA/U.S. Department of Commerce, NCEP FNL Operational Model Global Tropospheric Analyses, continuing from July 1999. Research Data Archive at the National Center for Atmospheric Research, Computational and Information Systems Laboratory, Boulder, CO. - 2000. - PP. 1114.

137. Young, I.R. The form of the asymptotic depth-limited wind-wave spectrum: part II—the wavenumber spectrum / I.R. Young, A.V. Babanin // Coastal Engineering. - 2009. - Vol. 56. -№5-6. - PP. 534-542.

138. Bouws, E. 1985. Similarity of the wind wave spectrum in finite depth water: 1. Spectral form / E. Bouws, H. Günther, W. Rosenthal, C.L. Vincent // Journal of Geophysical Research Oceans. -1985. - Vol. 90. - PP. 985-986.

139. Bouws, E. Similarity of the wind wave spectrum in finite depth water part 2: Statistical relations between shape and growth stage parameters / E. Bouws, H. Günther, W. Rosenthal., C.L. Vincent // Deutsche Hydrografische Zeitschrift. 1987. - Vol. 40. - №1. - PP. 1-24.

140. Ducrozet, G. Influence of varying bathymetry in rogue wave occurrence within unidirectional and directional sea-states / G. Ducrozet, M. Gouin // Journal of Ocean Engineering and Marine Energy. - 2017. - Vol. 3. - №4. - PP. 309-324.

141. Trulsen, K. Laboratory evidence of freak waves provoked by non-uniform bathymetry / K. Trulsen, H. Zeng, O. Gramstad // Physics of Fluids. - 2012. - Vol. 24. - №9.