"Физика" дробного исчисления и ее реализация на фрактальных структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Нигматуллин, Равиль Рашидович

• Нигматуллин, Равиль Рашидович
• доктор физико-математических наук
• 1992

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Нигматуллин, Равиль Рашидович

Глава 1. Краткая предис тория работы и формулировка решаемых проблем

Глава 2. Модель фракталов со случайными значениями масштаба и ее приложение для описания гетерогенных систем.

2. 1 Суть модели. Функция распределения пор по размерам. . . 2.2 Пористость, закон Арчи и проницаемость осадочных пород. Сравнение с экспериментом.

2. 3 Диэлектрическая релаксация.т.5^

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Нигматуллин, Равиль Рашидович

Основные выводы по главе 6

I. Показано, что ветвящаяся структура среды при определенных условиях может радикально изменить характер диффузионного процесса в главном канале, приводя к "сверхмедленному" уравнению переноса вида (6.1.28).

2. Показано, что для ветвящихся систем закон сохранения потока в главном канале также радикально меняется, приводя к законам сохранения в дробных производных вида (6.2.26).

3. "Сверхмедленное" .уравнение переноса может быть получено различными способами. В частности "универсальный" характер адмиттанса вида (6.2.7) также приводит к .уравнению вида (6.2.5).

4. Проведено исследование группы геометрических факторов влияющих на характер замедления процесса диффузии в главном канале. Показано, что показатель временной дробной производной полностью определяется топологией ветвления и не зависит от длины канала, площади поперечного сечения, .углов наклона ветвящихся каналов и их концентрации на единицу длины.

5. Получено решение уравнения диффузии вида (6.2.19) и найдена связь (6.2.25) между аномальным показателем диффузии

0 , фрактальной размерностью и показателем временной производной л)

6. Рассмотрена длинная линия с равномерно распределенными реинд и рекап элементами. Показано, что такая линия может служить моделью для процессов переноса, описываемых уравнениями (6.3.5),(6.3.6).

Рис. 6-1

ГревенчАтля структура , в которой происходит процесс диффузии

Рис, 6-2

Возможное ОбОБ1Цение модели каналов, рассмотренная в 6:2

->

I г

• • • ( и

I а т

С\?2(р)с1х А

-ЙХ -рис. 6-5

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Нигматуллин, Равиль Рашидович, 1992 год

1. В. Fractal Geometry of Nature. San-Francisco, Fr eeman. 1982. 468p.

2. Oldham к. , Spanier J. The fractional calculus. New York-London, Academic Press. 1974. 234p.

3. С 33 Nigmatullin R. R. To the theoretical explanation of the "universal" response. Phys. Stat. SolCbD , 1983, v. 123, pp. 739-745

4. Nigmatullin R. R. On the theory of relaxation with "remnant' memory. Phys. Stat. Sol С ЬЭ , 1984, v. 124, pp. 389-393.

5. Dissado L. A. , Nigmatullin R. R. , Hill R. M. The fading of memory during the regressin of structural fluctuations. Adv. in Chem. Phys, 1985, v.63, pp. 253-292.

6. Thompson A. H. Fractals in rock physics.- Annu. Rev. Ear th Planet Sci , 1991, v. 19, pp. 237-262.

7. Nigmatullin R. R. , Dissado L. A. Dipole-phonon coupling and dielectric relaxation. J . Chem. Phys., 1983 v.79, pp. 455-463.

8. С 8. Нигматуллин P. P.Особенности релаксации системы состаточной" памятью. -ФТТ,1985,т. 27,N5, стр. 1583-1585.

9. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическаяинтерпретация. ТМФ, 1992, тЭОС 33 стр. 354-368.

10. С ЮЗ Mandelbrot В. В. Intermittent turbulemce in selfsimilar cascades: Divergence of high moments and dimension ofthe carrier.- J. F1 ui d. Mech. , 1 974 , v. 62, pp. 331-358.

11. C113 Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей.-Москва.

12. Изд-во В. Ш. 1987. главаЮ.

13. С123 Mandelbrot В. В. , Fractals and Multi fractals: Noises, Turbulence and Galaxies. Select a vol.1 Berlin. Springer -Verlag. 1990.

14. C133 Peitgen H. O. , Richter P. H. The beaty of fractals. Berlin. Spr i nger ^Ver1ag.1986.

15. Feder J. Fractals. New-York. Plenum. 1988. им-ся пер. на русский язык Федер Е. Фракталы. Москва. "Мир". 1991. 260 стр. 153 Le Mehaute A. Les geometries fractales. Paris. HERMES. 1990. p. 198.

16. Фракталы в физике. Труды 6-го Международного симпозиума по фракталам. Под ред.Л.Пьетронеро и Э. Тозатти. Москва. Мир. 1988 670 стр.

17. С17. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров.- Москва. "Наука". 1991. 134стр.

18. Баренблатт Г. И. Подобие, автомоде л ьность, промежуточная асимптотика. Ленинград. Гидрометеиздат. 1982.

19. Nigmatullin R. R. The generalized fractals and statistical properties of the pore space of the sedimentary rocks.-Phys.Stat.SolCfcO ,1989,v. 153, pp. 49-57.

20. Нигматуллин P.P. , Сутугин H. H. Структура неоднородных сред в модели случайных фракталов. ИФЖ, 1989, т 57 С 23 , Стр. 291-298.

21. Нигматуллин P.P. , Сутугин Н. Н. Диэлектрическая релаксация неоднородной среды в модели случайных фракталов. ЖТФ, 1990, Т.60С25 , стр. 45-53.

22. Hentschel Н. G. Е. , Procaccia I. Fractal nature of turbulence as manifested in turbulent diffusion. -Phys. Rev. 1983, v. A27, pp. 1266-1269.

23. Hentschel H. G. E. > Procaccia I. The infinite number of generalized dimension of fractals and strange attractors. Physica. 1983, v. 8, pp. 435-444.

24. Hentschel H. G. E. , Procaccia I. Relative diffusion in turbulent media: The fractal dimension of clouds.-Phys. Rev. , 1984, v. A29, pp. 1461-1470.

25. Krohn С. E. , Thompson A. H. Fractal sandstone pores: automated measurements using S. E. M images. Phys.Rev В , 1986, v.33 , pp. 6366-6374.

26. Thompson A. H. , Katz A.J. , Krohn С. E. The microgeometry and transport properties of sedimentary rock. Adv. Phys. 1987, v. 36, pp. 625-694.

27. Овчаренко Ф. Д. Гидрофильность глин и глинистых минералов. Киев. "Наукова Думка". 361 с.

28. Бадрутдинов О. Р. , Нигматуллин P.P. Салахов М. X. Самоподобная структура распределения мощности лазерного излучения. ЖТФ, 1987, Т.59С13, стр. 194-196.

29. Нигматуллин Р. Р. , Хворов M. М. Фрактальные модели высокодисперсных металлических частиц.- ФТТ, 1990, Т.32С83, стр. £294-2297.

30. Wong P. -z. Howard J. , Lin J.S. Surface roughening and the fractal nature of rocks.- Phys. Rev. Lett. , 1986, v. 57, pp. 637-640.

31. Archie G. E. Electical conductivity of rocks.- AIME Trans 1942, v. 146, pp. 54-67.

32. Sen P.N. Unified model of conductivity and membrane potential of porous media. Phys. Rev. В ,1989, v. 39, pp. 9508 9517.

33. Wong P.-z. The statistical physics of sedimentary rocks. -Phys. Today. , 1988, v. 41C12D, pp. 24-32.

34. Wong P. -z. . , Howard J., Tomanic J. P. ?. Phys. Rev. В , 1984, v.30, pp. 6606-?

35. Katz A.J. , Thompson A. H. Fractal sandstone pores: implications for conductivity and pore formation. -Phys. Rev. Lett. , 1985, v. 54, pp. 1325-1328.

36. Nigmatullin R. R. , Dissado L. A. , Soutougin N.N. A fractal pore model for Archie's law in sedimentary rocks.- J. Phys. D , 1992, v.25, pp.32-37.

37. Thompson A. H. , Katz A.J. , Raschke R. A. Mercury injection in porous media: a resistance devil's staircase with percolation geometry. Phys. Rev. Lett. , 1987, v. 58, pp. 29-32.

38. Ландау Л. Д. , Лифшиц E. M. Гидродинамика. Москва. "Наука".1988, $17.

39. Jonscher А. К. Dielectric relaxation in solids.- London. Chelsea Dielectric Press. 1983, p. 380.

40. Le Mehaute A. , Guibert A. , Delay M. , Filippi C. Note d'introduction de la cinetique des échangés d*energies et de matieres sur la interfaces fractales.- Acad. Sci CFranceD, 1982, v. 294, pp. 835-837.

41. Le Mehaute A., Crepy G. Introduction to transfer and motion in fractal media: the geometry of kinetics.- Solid State Ionics., 1983, v. 9/10, pp. 17-30.- ZZ5

42. Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry.- Phys. Stat. SolCfcD, 1986, v. 133, pp.425-430.

43. Niklasson G. A. Fractal aspects of the dielectric response of charge carriers in disodered materials.- J.Appl.Phys. , 1987, v. 62C7D, pp. R1-R14.

44. Зубарев Д. H. Неравновесная статистическая термодинамика. Москва. Наука.1971.

45. Александров И. В. Теория магнитной релаксации. Москва. Наука. 1975. 399 стр.

46. Юльметьев P.M. Описание магнитной релаксации спинов в жидкостях на основе идеи Боголюбова об иерархии времен релаксации. ТМФ, 1977, т. ЗОС2Г) стр. 264-281.

47. Абрамовиц М. Стиган И. Справочник по специальным функциям. Москва. Наука. 1979. гл.6.

48. Shahidi M., Hastead J. В. , Jonscher А. К. Dielectric relaxation measurements of absorbed water in sandstones.— Nature, 1975, v. 258, pp.595-596.

49. Shahidi M. Electrical properties of absorbed water. PHD Thesis. Birbeck College. 1977, p. 185.

50. Nyikos L. ,Paikossy T. Fractal dimension and fractional power frequency—dependent impedance of blocking electrodes.— Electrochem. Acta. , 1985, v. 30C11D , pp. 1533-1539.

51. Kaplan T., Gray L. J. , Liu S. H. Self-affine fractal model for a metal electrolyte interface.- Phys. Rev. B. , 1987, v.35C1 CO , pp. 5379-5381.

52. Sapoval B. Fractal electrodes and constant phase angle response: exact examples and counter examples. Solid State Ionics., 1987, v. 23 pp. 253-259.

53. Le Mehaute A. , Dugast A. Introduction to the scaling properties in electro-chemistry: from the "TEISI" model to the lithium layered structure. -J. Power Sources. , 1983, v. 9, pp.359-364.

54. Fruchter L. , Crepy G. , Le Mehaute A. Batteries, identified fractal objects.- J.of Power Sources., 1986, v.18, pp.51-62.

55. Самко С. Г. , Килбас А. А. , Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. "Наука и Техника". 1987. 688 с.

56. Бабенко Ю. И. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Ленинград. Химия. 1986. 144с.

57. Нигматуллин Р. Ш. , Белавин В. А. Дробно-дифференцирующий и интегрирующий электрохимический двухполюсник. Труды КАИ. , 1964, т.82, стр. 58-61.

58. Бейтмен Г. , Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Серия СМБ. Москва. Наука. 1967-глава 18.

59. Williams G. , Watts D. С. Trans. Faraday Soc. , 1970, v. 66, pp. 80

60. Cole K.S. , Cole R. H. Journ. Chem. Phys. , 1941, v. 9 pp.341.

61. Браун В. Диэлектрики. Москва. ИЛ. 1961 -раздел 4,гл.1.

62. Джорджевич 3. Наблюдение скейлинга. в реакции с ловушками. В кн 16] стр. 581-585.

63. Градштейн И. С. , Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов, произведений. Москва. ГИФМЛ. , 1962. 333с.

64. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва. "Наука". 1971.стр. 401.

65. Лаврентьев М. А. , Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва. "Наука". 1965. 716с.

66. Paikossy Т. , Nyikos L. Impedance of fractal blocking electrodes. Electrochem. Acta. , 1984, V.131C10D, pp. 2061 -2064.

67. Paikossy T., Nyikos L. Comments on J.C.Wang's paper on the impedance of a fractal electrolyte-electrode interface. -Electrochem. acta., 1988, v. 33C5D , pp. 713-715.

68. Paikossy T. , Nyikos L. Diffusion to fractal surfaces-2. Verification of theory.- Electrochem. Acta., 1988, v. 34C2D, pp. 171 -179.

69. Paikossy T. , Nyikos L. Diffusion to fractal surfaces-3. Linear sweep and cyclic voltammograms.- Electrochem. Acta., 1989, v. 3492D , pp. 181-186.

70. Liu S. Н. Fractal model for the ас response of a rough interface. Phys. rev. Lett. , 985, v. 55С5}, pp. 529-552.

71. Hill R. M. , Dissado L. A. Constant phase angle response with fractal electrodes.- Solid State Ionics.,1988, v.26, pp.295-303.

72. Geertsma W. , Cols J.E. , Petronero L. Theoretical model of the impedanceof a fractal metal-electrolyte interface.- Physica A., 1989, v. 158, pp. 691-705.

73. Macdonald J.R. Impedance Spectroscopy. New York-London, Willey & Sons, 1987, 347p.

74. Oustaloup A. Systemes Asservis Li neares d'Ordre Fractional re: Theorie et Pratique. Paris. Masson. 1983. 267p.

75. Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей. Москва. ВШ. 1987. глава 8.

76. Справочник по спецфункциям. Под ред. Абрамовица М. , Стиган И. Москва. "Наука" 1979, стр.195.

77. Hill R. М. Characterization of dielectric materials. Jour п. of Mater. Sci . , 1981, v, 16, pp. 118-124.

78. Hill R. M. , Dissado L. A. The fractal nature of the cluster model dielectric response functions.- J. Appl. Phys. , 1989, v. 66, pp. 2511-2524.

79. Козловский В. В. , Сошников В. И. Устройства на неоднородных линиях. Киев. "Техника". 1987. 191с.

80. Тихонов А. Н. , Самарский А. А. Уравнения математической физики. Москва. Наука. 1972. 736с.

81. Hill R. M. , Dissado L. A. , Nigmatullin R. R. Invariant behaviour classes for the response of simple fractal circuits. -J. Phys.C., 1991, v. 3, pp. 9773-9790.

82. Ma Ш. Современная теория критических явлений. Москва. Мир. 1980. 299с.

83. Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. Москва. ГИТТЛ. , 1957, $56-58.

84. Kornyshev А. А. , Vorotyntsev М. A. Electric field of fractal clysters. -Physica A., 1991, v. 171, pp. 98-119.

85. Allain C. , Cloitre M. Spatial spectrum of a general family of self-similar arrays. Phys. Rev A., v. 36C13D, pp. 5751-5757.

86. Havlin S. , Ben-Avraham D. Diffusion in disordered media. -Adv. in Physics., 1987, v. 36C6D , pp. 695-798.

87. Guyer R. A. Diffusion on a one dimensional lattice: A renormalization-group approach.- Phys. Rev. A. , 1984, v. 29С4Э, pp. 2114-2124.

88. Rammal R., Toulouse G. Random walks on fractal structures and percolation clust e rs. J. Phys. Lett. , 1983, v. 44. , pp. L13-L22.

89. Rammal R. Random walk statistics on fractal structures.-J.of Stat.Physics. ,1984, v.36, N5/6, pp.547-560.

90. Argyrakis P. , Anacker L. W. , Kopel man R. Single random walker on disodered lattices.- J.of Stat.Physics. , 1984, v. 36, N5/6, pp.579-589.

91. Webman I. Propagation and trapping of exitations on percolation clusters.- J. of Stat. Physics. , 1984, v.36, N5/6, pp.603-614.

92. Соколов И. M. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания. УФН. , 1986,т.150С2D, стр. 221-255.

93. Сегерлинд А. Применение метода конечных элементов. Москва. Мир. 1979. 392с.

94. Нигматуллин Р. Ш. Белавин В. А. , Мироыников А. И. , Луцкая Н. К. Применение специальной полярографической ячейки для дробного дифференцирования кривых. Удостоверение о регистрации Комитета

95. Нигматуллин Р. Ш. Белавин В. А. , Мирошников А. И. , Луцкая Н. К. Применение специальной полярографической ячейки для дробного дифференцирования кривых. Удостоверение о регистрации Комитетапо делам изобретений и открытий. N36107 от 6 .04.1963.

96. Нигматуллин Р. Ш. Теоретическое исследованиеэлектролитической ячейки и вопросы электроники жидкого тела. -Дисс. на соискание ученой степени доктора ф. м-наук. Казань. КАИ. 1965.

97. Кендалл М. , Стюарт А. Теория распределений. Москва. Наука. Гл. ред. ФМЛ. , 1966, 587с.

98. Нигматуллин Р. Р. , Салахов M. X. Регуляризованный алгоритм решения обобщенного уравнения Абеля с использованием ДП. ОиС, 1987, т. 63С 45 , с. 907-909.

99. Нигматуллин Р. Р. , Салахов M. X. Регуляризованный алгоритм вычисления ДП. Автометрия, 1987, N6, с. 92-96.

100. Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

101. Nigmatullin R.R. То the theoretical explanation of the "Universal Response".- Phys.Stat Sol< b), 1984, v. 123, pp. 739./45.

102. Nigmatul1in R.R. On the theory of relaxation for systems with "remnant" memory.,.Phys „ St at. So 1 ( ta) , 1984, v. 124,, pp „ 389-393.,3„ Нигматуллин P.P. Особенности релаксации системы с "остаточной памятью. -ФТТ,1985,т. 27,N5,с.1583-1585.

103. Dissado L.А.,. Nigmatul 1 in R. R. , Hill R. M. The fading o-f memory during the regression of structural fluctuat.ions.-Ady,, in Сhem.Phys,1935,v.63,pp,253-292.

104. Нигматуллин P. P. Метод дробных моментов-новый источник информации в радиоспектроскопии.-в сб. Современные методы ЭПР,ЯМР в химии твердого тел,Черноголовка 1985,с.143-145.

105. N i g m a t u 1 I :i. n R „R,. F г а с t i о n a 1 m о m e n t s „ New sourse о -fi n f о r m a t i о n i n r a d i о s p e с 1г о s с: о p у,. P h у s. S t a t „ S о 1 < b ) ,, 1986,, v,, 1 3 3,,no „ 7:!. 3.7'2О „

106. Нигматуллин P.P., Сутугин H.H. Магнитная и диэлектрическая релаксация во фрактальных порах со случайными значениями масштаба, -в сб. 9-ой Межд. летней школы AMPERE, Новосибирск, 1987, с. 261.

107. Нигматуллин Р. Р. , Салахов М. X. Регуляризованный алгоритм решения обобщенного уравнения Абеля с использованием ДП. —ОиС, 1987, т. 63, N4, с. 907-909.

108. Нигматуллин Р. Р. , Салахов М. X. Регуляризованный алгоритм вычисления ДП.- Автометрия, 1987, N6,с.92-96.

109. Бадрутдинов О. Р. , Нигматуллин Р. Р. , Салахов М. X. Самоподобная структура распределения мощности лазерного излучения. ЖТФ, 1989, т. 59 Nil. ,, с. 194-196.

110. Nigmatullin R.R „ The generalized fractals and statistical properties of the sedimentary rocks.,-Phуs.Stat.Sо 1 (b) , 19S9, v. 153,, p p. 4 9.5 7„

111. Нигматуллин P.P. , Сутугин H. H. Структура неоднородных сред в модели случайных фракталов.- ИФЖ, 1989, т. 57, N2,с.291-298.

112. Нигматуллин P.P. ,Сутугин Н. Н. Проводимость и проницаемость пористых сред в модели случайных фракталов, -в сб. Проблемы синергетики, Уфа, УНИ, 1989, с. 55-59.

113. Нигматуллин Р. Р. , Хворов М. М. Фрактальные модели высокодисперсных металлических частиц. ФТТ, 1990, т. 32, N8,с. 2294-2297.

114. JP h у s „ D, 19 ■9 2, v „ 2 5, p p ., 32.37.

115. Нигматуллин P. P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. ТМФ, 1992, т. 90, N3, с. 354-368.

116. Heliodor F.,Nigmatul1 in R.R., Riot P.» Le Mehaute A. DU TEMPS IRREVERSIBLE EN GEOMETRIE FRACTALE. Application et

117. Signification de i'Qperateur de Der ivation fг ас tiо naire e n Electrodynamique. Paris, Hermes, 1993.