Формирование пространственно-временных структур в системе Фитцхью-Нагумо с диффузией и ее предельных случаях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Казарников, Алексей Владимирович

• Казарников, Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Казарников, Алексей Владимирович

Содержание

Введение

1 Периодические по времени и стационарные решения системы Рэлея с диффузией

1.1 Операторный вид системы

1.2 Линейный анализ устойчивости

1.3 Первые члены разложения автоколебаний в степенной ряд

1.4 п-й член разложения автоколебаний в степенной ряд

1.5 Случай одной пространственной переменной

1.6 Первые члены разложения вторичных стационарных решений в степенной ряд

1.7 п-й член разложения стационарных решений в степенной ряд

1.8 Случай одной пространственной переменной

1.9 Случай двух пространственных переменных

1.10 Выводы к главе 1

2 Инвариантные подпространства. Бифуркационное поведение решений

2.1 Инвариантные подпространства

2.2 Линейный анализ устойчивости

2.3 Автоколебания

2.4 Стационарные решения

2.5 Численное исследование бифуркационного поведения системы на подпространствах

2.6 Общая характеристика бифуркационного поведения решений системы Рэлея с диффузией на подпространствах Н^

2.7 Выводы к главе 2

3 Бифуркационное поведение стационарных решений системы Фитцхью-Нагумо с диффузией

3.1 Операторный вид системы

3.2 Линейный анализ устойчивости

3.3 Система Рэлея с диффузией

3.4 Система Фитцхью-Нагумо с диффузией

3.5 Бифуркационное поведение стационарных решений системы Фитцхью-Нагумо с диффузией в случае одной пространственной переменной и краевых условий Неймана

3.6 n-й член разложения стационарных решений в степенной ряд

3.7 Инвариантные подпространства

3.8 Выводы к главе 3

4 Заключение

5 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование пространственно-временных структур в системе Фитцхью-Нагумо с диффузией и ее предельных случаях»

Введение

Формирование пространственно-временных структур наблюдается в явлениях различной природы: химических реакциях, экологических, физических и биологических процессах и т.д (см. обзор [1]). В настоящее время в литературе имеется немало исследований, посвященным математическому моделированию формирования структур (см., например [1, 2, 3]).

Системы реакции-диффузии образуют важный класс математических моделей, позволяющих описывать процессы самоорганизации [4, 5]. Впервые однокомпонентные уравнения реакции-диффузии были использованы для моделирования популяционных процессов в работах А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского и Н.С. Пискунова [6] и Р. Фишера [7] в 1937 году. В 1952 году А. Тьюринг впервые рассмотрел двухкомпонентную систему реакции-диффузии как качественную модель для описания процесса биологического морфогенеза. В работе [8] было показано, что при определенных условиях на коэффициенты диффузии и нелинейные функции реакции в двукомпонентной системе реакции-диффузии может иметь место диффузионная неустойчивость, когда пространственно-однородное стационарное решение системы устойчиво при отсутствии диффузии, но неустойчиво при ее наличии. По мнению ряда авторов эта неустойчивость приводит к формированию пространственно-неоднородных стационарных структур в процессе биологического морфогенеза. Неустойчивость Тьюринга была далее исследована в работах И. Пригожина и Г. Николиса [9] и [10]. Идея получила приложение в химическом [11] и биологическом контекстах [12] и была распространена на другие задачи математического моделирования.

В 1951 году, Б.П. Белоусов экспериментально обнаружил объемные автоколебания в химической системе [13]. Впоследствии А.М. Жаботин-ским с соавторами было продолжено экспериментальное исследование этой реакции и предложена первая математическая модель явления (см. [14, 15]). В частности, было обнаружено, что при размещении смеси тонким слоем могут возникать спиральные волны и другие пространственно-временные режимы [16]. Данные режимы успешно воспроизводятся, к примеру, в пространственно-распределенной модели брюсселятора, предложенной И. При-гожиным [17] и являющейся одной из классических систем типа реакция-диффузия.

Необходимым условием для возникновения диффузионной неустойчивости являлось требование того, чтобы один из компонентов реакции диффундировал значительно быстрее, чем другой [18]. Этим, в частности, можно объяснить трудность экспериментального получения тьюринговых структур [19]. Первое экспериментальное наблюдение данных стационарных режимов было представлено в работах П. Де Кеппера с соавторами в 1990 и 1992 годах [20, 21]. В эксперименте рассматривалась химическая система хлорид-иодит-малоновая кислота в специальном реакторе, непрерывно снабжающем реакционный слой новыми реагентами; для достижения необходимой разницы скоростей диффундирования реагентов был использован специальный гель. Математическая модель данной реакции была предложена в работе [22].

Впоследствии формирование пространственно-неоднородных стационарных и пространственно-временных структур было обнаружено численно и экспериментально и в других химических и биологических системах.

К примеру, в работе К. Пирсона [23] была численно исследована модель Грея-Скотта с диффузией [24, 25, 26], которая является обобщением модели гликолиза Селкова [27]. Для некоторых значений параметров модели были обнаружены устойчивые пространственные и пространственно-временные структуры. В работе [28] аналогичные работе [23] результаты были получены экспериментально. К другим химическим и биологическим системам, пространственно-распределенные аналоги которых демонстрируют струк-турообразование, можно отнести систему Гиерера-Мейнхардта [29], изначально предложеную как качественную модель развития пресноводного полипа гидры и систему Шнакенберга [30], представляющую собой модифицированную модель брюсселятора.

В 1995 году, в работе [31] была предложена математическая модель формирования пигментных структур на коже морской рыбы-ангела Poma-canthus, основанная на применении реакционно-диффузионного механизма. В данной работе система была впервые рассмотрена в расширяющейся со временем пространственной области. В дальнейшем были построены качественные модели для описания аналогичных процессов у других рыб, моллюсков и прочих морских организмов [32]. В настоящее время системы реакции-диффузии находят широкое применение как в исходном химико-биологическом контексте (моделировании химических реакций [33, 34], описании процессов роста и развития биологических популяций [35, 36, 37], изучении колоний микроорганизмов [38, 39] и пр.), так и в иных областях научного знания, таких как физика полупроводниковых приборов [40], модели нейронных сетей [41] и другие.

В настоящей работе исследуется система Фитцхью-Нагумо с диф-

фузией и ее предельные случаи. Эта модель представляет собой пространственно-распределенный аналог обобщенного уравнения Рэлея-Ван дер Поля. Модель была впервые предложена Р. Фитцхью [42] как модель распространения нервного импульса.

В 1883 году лордом Рэлеем [43] для описания динамики звуковых колебаний в мундштуке кларнета было предложено уравнение

где у1 — безразмерная величина отклонения язычка духового инструмента, у2 — скорость колебаний язычка, м — безразмерный коэффициент затухания. Модель (0.1) нашла широкое применение при описании физических процессов самой различной природы (см. обзор [44]): колебательных процессов в различных музыкальных инструментах [45, 46], колебаний в электрических цепях [47], динамики искусственных биологических систем [48] и пр.

В 1920 году Б. Ван-дер-Поль предложил модель для описания незатухающих электрических колебаний в генераторе с положительной обратной связью [49]. Уравнение имеет вид:

У\ = У2; У2 = —У1 + МУ2 - У2,

,3

(0.1)

и — е(1 — и2)и + и = 0,

(0.2)

или, записанное в виде системы

и1 = и2; и2 = —и1 + е (и2 — и12и2),

(0.3)

где и — напряжение сетки в безразмерной форме, е — безразмерный коэффициент обратной связи. Уравнение Ван-дер-Поля представляет собой идеализированную модель лампового генератора, позволяющего демонстрировать незатухающие электрические колебания. Предполагается, что вольт-амперная характеристика усилителя г(и) представляет собой кубический полином, т.е. г(и) = д0и — д2и3, причем д0,д2 > 0. Уравнение Ван-дер-Поля может быть выведено путем применения второго закона Кирхгофа к колебательному контуру цепи [50]. Переход к безразмерной форме уравнения

1

осуществляется путем замены времени £ = = и введения обо-

V ЬС

Мдо — № значения е =-:-—.

л/ЪС

Одна из последующих работ [51] Ван-дер-Поля была посвящена исследованию релаксационных колебаний в данном уравнении. Далее, в работе [52] им была исследована динамика осциллятора под действием периодической вынуждающей силы Р(Ь) = ЬкХ вт(А£), к > 0. В ходе экспериментов с генератором было отмечено, что в некоторых диапазонах частот А в системе наблюдаются необычные шумы, что было одним из первых экспериментальных наблюдений детерминированного хаоса [53]. Более подробно эта задача была рассмотрена в работе М. Картрайт и Д. Литлвуда [54], где, в частности, было обнаружено наличие у системы при достаточно большой амплитуде внешней силы Г бесконечного числа неустойчивых периодических орбит.

Уравнения Рэлея и Ван-дер-Поля являются классическими моделями для анализа периодических автоколебаний [50]. Известно, что принципиального различия между уравнениями нет и заменой переменных можно привести одно к другому [55]. В литературе имеется немало работ, посвя-

щенных численному исследованию динамики систем из связанных осцилляторов Рэлея (0.1), Ван-дер-Поля (0.2) и Дуффинга (см. [56, 57, 58, 59]).

В 1952 году А.Л. Ходжкин и Э. Хаксли предложили модель распространения нервного импульса в гигантском аксоне кальмара [60]. В данной модели клеточная мембрана была представлена как электрическая схема, каждый из компонентов которой имеет свой биологический аналог [61]. Полупроницаемая клеточная мембрана, отделяющая внутреннюю часть клетки от внеклеточной жидкости играет роль емкости (конденсатора) С. Предполагается, что внешний ток 1{Ъ) может либо увеличить заряд конденсатора, либо проникнуть внутрь клетки через ионные каналы в клеточной мембране. В модели рассмотрены каналы трех типов: кальциевый канал К, натриевый канал Ыа и канал мембранных пор Ь, отвечающий за пассивную проводимость. Предполагается, что проводимость каждого канала представляет собой функцию от потенциала мембраны. Мембранный потенциал играет роль батареи. Таким образом, модель Ходжкина-Хаксли имеет вид

О = 1(Ъ) — дМат3Н(у — ЕМа) — дкп4(у — Ек) — дь (у — Еь) т = ат (г;)(1 —т) — рт(у)т (04)

п = ап(у)(1 — п) — рп(ъ)п К = ан (г;)(1 — К) — Рн(у)Н,

где у(Ь) — потенциал мембраны, 1(Ь) — внешний ток, т^),п^), к(Ь) — безразмерные величины, отвечающие за активацию ионных каналов, ат(у), ап(у), ан(у), Рт(ъ), Рп(^), Рн(^) — нелинейные функции, характеризующие проводимость ионных каналов, д^а, дк, дь £ — максимальные проводи-

мости каналов, Е^а,Ек— равновесные потенциалы Нерста.

В настоящее время получены двумерные редукции системы (0.4), получаемые применением упрощающих предположений, базирующихся на экспериментальных данных [61, 62]. Предполается, что m(t) изменяется гораздо быстрее, чем v(t), n(t) и h(t), тогда v = const, m(t) = m0(v), m0(v) = m(t). Введением аппроксимации n(t) « 1 — h(t), и новой

переменной w(t) = b — h(t) = an(t), где a,b > 0, система (0.4) сводится к системе двух уравнений

v = F (v, w) + I (t); w = - G(v,w). (0.5)

т

где I(t) — внешний ток, переменная w(t) называется переменной восстановления, причем предполагается, что w(t) является медленной переменной, по сравнению с v(t), что достигается путем выбора параметра т > 0. Конкретные редукции модели Ходжкина-Хаксли получаются из (0.5) путем различной аппроксимации функций F(v,w) и G(v,w) [61, 63]. Одна из наиболее распространенных редукций данной модели была предложена Р. Фитцхью в 1961 году [42]

v = —w + [w — vz + I (t); w = e(v — aw — /3), (0.6)

где параметры а и f3 предполагаются неотрицательными. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (0.6) является обобщением уравнений Рэлея (0.1) и Ван-дер-Поля (0.2). В настоящее время в литературе существует немало разновидностей уравнений (0.6), что может быть объяснено адаптацией модели к конкретным физиологическим объектам [61].

Позднее, в работе Д. Нагумо [64] была проанализирована динамика соответствующей данной модели электрической цепи и исследован пространственно-распределенный аналог системы (0.6)

^ = ^Ау + цу — V3 + 1(Ь)] ц = е(у — аи — [5).

В изначальной физиологической постановке, рассмотреной в [64], модель рассматривалась в предположении одной пространственной переменной х £ [0,1] и ограничении на коэффициенты диффузии << и2, допуская случай и1 = 0. Случай и1 > и2 также представляет интерес при изучении формирования тьюринговых структур [2].

Актуальность темы Системы реакции-диффузии активно исследуются в литературе. Несмотря на уже имеющееся большое количество публикаций по этой теме (см. [2] и обзор [1]), по-прежнему продолжают появляться новые работы. Современные численные методы позволяют эффективно проводить исследование процессов структурообразования в системах реакции-диффузии, независимо от сложности геометрии области и значений управляющих параметров; аналитические подходы способны дать более глубокое понимание качественных особенностей поведения данных нелинейных систем, а новые точные и приближенные решения могут быть использованы как средства тестирования корректности и надежности вычислительных схем и алгоритмов.

Известно, что помимо формирования стационарных пространственно-неоднородных структур, системы реакции-диффузии могут демонстрировать немало различных пространственно-временных режимов, включая спи-

ральные волны [67], пространственно-временной хаос [68, 69] и другие (см. [2]). В литературе имеется большое количество работ, посвященных исследованию качественных свойств динамики систем реакции-диффузии [70, 71, 72, 73, 74]. Эффекты, связанные с добавлений диффузионных членов, исследуются в работах [65, 36, 66]. Большое внимание уделяется разработке методов и подходов для построения стационарных решений данных нелинейных уравнений (см. [75]). Например, в работах [76, 77] строятся приближенные стационарные решения систем типа активатор-ингибитор, в [78, 79, 80] при помощи метода Ляпунова-Шмидта строго доказывается существование стационарных решений системы Гиерера-Мейнхардта и исследуется их устойчивость, в работах [81, 82, 83] найдены новые стационарные решения системы Грея-Скотта для случая двух и п пространственных переменных. Также важную роль в структурообразовании играют конфигурация пространственной области и тип краевых условий на границе (см. [84, 83, 85] и [86]). Переход к растущим пространственным областям вида О(Ъ) также оказывает существенное влияние на форму и тип наблюдаемых тьюринговых структур (см. [87, 88, 89]).

Исследование бифуркационного поведения решений систем реакции-диффузии важно для понимания процессов самоорганизации [2]. Наряду с имеющимися аналитическими подходами, важную роль в данном вопросе играет вычислительный эксперимент [90]. К примеру, в [91] проводится приближенное построение ответвляющихся решений и вычисление стационарных решений вариационными методами, в [92] развит аналитически-численный подход для исследования разрушения семейств решений в системах с коссиметрией, в [93] применяется метод Ляпунова-Шмидта для

аналитического и численного исследования бифуркации Хопфа в двухком-понентной системе реакции-диффузии. Эволюция образующихся вторичных решений вдали от точки потери устойчивости и их дальнейшее разрушение, как правило, исследуется численно [65, 93, 94, 95, 96, 97].

Объект исследования В работе рассматривается система Фитцхью-Нагумо с диффузией и ее частные случаи. Система имеет вид:

у+ = щАу + е(гу — ау — в)

1 ( в) (0.7)

Wt = у2Ау) — у + ЦП) — У)?3,

где у = у(х, £), w = w(x, £), х Е I > 0, О С Кт, т Е М,т < 5 — ограниченная область с границей дО класса С2 или прямоугольный параллелепипед, д Е К — управляющий параметр, а > 0, в > 0, е > 0 — фиксированные управляющие параметры, и1 > 0, и2 > 0 — фиксированные коэффициенты диффузии.

Положив в (0.7) а = 0, в = 0, е =1, получим систему Рэлея с диффузией:

у+ = щАу + w * 1 (0.8)

Wt = v2Aw — у + ^ — w?.

В одномерном случае, когда пространственная переменная меняется на интервале х Е (0,1), а время — на вещественной прямой £ Е К, система Рэлея примет вид:

VI = Щ ухх +w,

?

Wt = у2№ХХ — V + ^ — у]?.

(0.9)

Предполагается, что на границе области О заданы краевые условия Дирихле

фп = и1дп = 0, (0.10)

либо смешанные краевые условия, когда на части границы заданы краевые условия Дирихле, а на оставшейся границе — Неймана

Ок = 4* = 0, -Щ к = -Цк = 0, 51 и 52 = -О, (0.11)

либо краевые условия Неймана

д д

= 0 -ь1» = °- (0Л2)

Цель работы Цель работы — аналитическими методами исследовать условия рождения пространственно-неоднородных периодических по времени и стационарных структур в системе Фитцхью-Нагумо с диффузией и ее предельных случаях, а также определить характер устойчивости и исследовать эволюцию рождающихся решений при отходе бифуркационного параметра в область надкритичности.

Основными задачами диссертационной работы являются:

1. Исследование поведения пространственно-неоднородных периодических по времени и стационарных решений системы Рэлея с диффузией (0.8), рождающихся в результате монотонной и колебательной потери устойчивости нулевого решения;

2. Отыскание инвариантных подпространств фазового пространства системы Рэлея с диффузией в случае одной пространственной перемен-

ной (0.9) и исследование бифуркаций на данных подпространствах; численное исследование поведения системы вдали от точек потери устойчивости;

3. Определение критических значений управляющего параметра системы Фитцхью-Нагумо с диффузией, отвечающих монотонной и колебательной потере устойчивости нулевого решения и исследование бифуркационного поведения решений системы Фитцхью-Нагумо с диффузией (0.7) в случае одной пространственной переменной.

Научная новизна Несмотря на большое количество результатов по численному исследованию системы Фитцхью-Нагумо с диффузией (см. [2, 4] и обзор [1]), аналитическое исследование ее предельных случаев не проводилось ранее. При решении поставленных в диссертации задач получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Получены явные представления в виде степенных рядов для пространственно-временных структур, которые образуются в результате колебательной и монотонной потери устойчивости нулевого решения системы Рэлея с диффузией (0.8) при различных краевых условиях.

2. Показано существование счетного множества бесконечномерных инвариантных подпространств системы (0.9) и исследовано бифуркационное поведение системы на данных подпространствах.

3. Проведено численное исследование процесса разрушения вторичных стационарных и периодических по времени режимов для различных краевых условий

4. Проведено исследование бифуркационного поведения стационарных решений системы Фитцхью-Нагумо с диффузией (0.7) в случае одной пространственной переменной при различных коэффициентах диффузии

Методы исследования Для исследования устойчивости основного пространственно-однородного стационарного решения используется метод линеаризации. При построении вторичных автоколебательных и стационарных режимов используется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в работах В.И. Юдовича [98, 99]. Аппроксимация уравнений в частных производных выполняется методом прямых и проекционным методом Галеркина. Для обоснования метода линеаризации и метода Ляпунова-Шмидта используются методы теории линейных операторов и функционального анализа. Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений проводится методом Дормана-Принса и явным методом Рунге-Кутты.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обусловлена корректной постановкой задачи и применением строгих математических методов. Результаты численных экспериментов обоснованы использованием апробированных методов дискретизации и проведением апостериорного анализа для применяемых численных схем, а также подтверждены сопоставлением с данными, имеющимися в литературе.

Научная и практическая ценность Полученные результаты имеют широкую область применения для математического моделирования процессов разной природы, описываемых уравнениями реакции-диффузии.

Апробация Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: VII,VIII,IX,X,XI,XII Всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», пос. Дивноморское, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017 [100, 101, 102, 103, 104]; IV,V,VI Международных научных конференциях «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения», г. Ростов-на-Дону, 2014, 2015, 2016 [105, 106, 107]; XVII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 2014 [108]; IV российско-китайской конференции «Numerical algebra with applications», г. Ростов-на-Дону, 2015 [109]; Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования», с. Цей, 2015, 2017 [110]; XII Региональной школе-конференции «Владикавказская молодежная математическая школа», пос. В. Фиагдон, 2016 [111]; Международной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование», пос. Дивноморское, 2016; Международной конференции «Численное моделирование прибрежных, шельфовых и устьевых процессов», г. Ростов-на-Дону, 2015 [112]; Международной конференции «Inverse Days 2015», г. Лаппеенранта, Финляндия; Молодежной конференции-школе «LUT Doctoral School Conference», г. Лаппеенранта, Финляндия, 2015 [113]; Международной конференции «IMA Conference on Inverse Problems From Theory To Application», г. Кэмбридж, Великобритания, 2017 [114].

Результаты докладывались и обсуждались на семинаре кафедры вычислительной математики и математической физики Южного федерального университета, а также на семинаре Департамента математики (Case

Study Seminar) Технологического университета г. Лаппеенранта, Финляндия.

Публикации и личный вклад автора По результатам диссертации автором опубликованы 24 работы, из них 3 работы в изданиях, входящих в «Перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации», утвержденный ВАК [115, 116, 117]. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ [118].

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве: [115] — нахождение критических значений параметра, отвечающих колебательной и монотонной потере устойчивости нулевого равновесия при различных типах краевых условий, построение асимптотики вторичных периодических по времени решений методом Ляпунова-Шмидта; [116, 109] — построение асимптотики вторичных стационарных решений методом Ляпунова-Шмидта, численное исследование разрушения вторичных режимов; [117] — нахождение инвариантных подпространств, построение асимптотики вторичных периодических по времени и стационарных решений на подпространствах, численное исследование эволюции вторичных режимов

Структура и объем Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 157 страниц, включая фигуры, таблицы и список литературы из 141 наименования.

Краткое содержание работы В первой главе рассматривается система Рэлея с диффузией (0.8) в произвольной m-мерной ограниченной области

с границей класса С2 или в прямоугольном параллелепипеде. Предполагается, что т Е М, т < 3 и для коэффициентов диффузии выполнено соотношение 0 < и1 < у2. Задача сводится к дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве. Получены явные представления в виде степенных рядов для стационарных и пространственно-временных структур, которые образуются в результате колебательной или монотонной потери устойчивости нулевого равновесия при различных типах краевых условий. Показано, что происходит мягкая потеря устойчивости. С помощью построения абстрактной схемы и применения метода Ляпунова-Шмидта выведены формулы для общего члена разложения вторичных решений. Установлено, что для всех рассматриваемых краевых условий п-й член разложения вторичного периодического по времени решения в степенной ряд представляет собой нечетный тригонометрический полином по времени. Приведены примеры приложений общей схемы к случаям одной и двух пространственных переменных, численно исследовано разрушение вторичных решений.

Во второй главе исследуется бифуркационное поведение решений системы Рэлея с диффузией на бесконечномерных инвариантных подпространствах фазового пространства системы в случае одной пространственной переменной и при краевых условиях Неймана. Для коэффициентов диффузии предполагается выполненным соотношение 0 < 1 < 2. Показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазо-

вом пространстве. Явно найдены первые члены разложения вторичных решений в степенной ряд, проанализированы формулы для п-го члена разложения. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. При помощи численных экспериментов установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы сменяются стационарными.

В третьей главе рассматривается частный случай системы Фитцхью-Нагумо с диффузией при значении коэффициента масштабирования е = 1 и параметра реакции 3 = 0. Система рассматривается в произвольной га-мерной (га Е М, т < 3) ограниченной области с границей класса С2, коэффициенты диффузии предполагаются различными: = и2. Найдены критические значения параметра, исследована зависимость типа потери устойчивости от значений коэффициентов диффузии. Несмотря на то, что модель демонстрирует более сложную динамику по сравнению с системой Рэлея, возможно исследовать ее поведение аналитическими методами, Для случая одной пространственной переменной х Е [0,1] и краевых условий Неймана построены первые члены разложения вторичных пространственно-неоднородных стационарных решений в степенной ряд и проведено численное исследование разрушения вторичных режимов. В главе проведено обобщение некоторых результатов глав 1-2 на случай > и2.

1 Периодические по времени и стационарные решения системы Рэлея с диффузией

Рассмотрим систему Рэлея с диффузией (0.8)

у+ = ЩАу + w

1 (1.1) Wt = ^Аи) — V + [Ш) —

где V = у(х, £), w = п)(х, £), х Е О, 1> 0, [ Е К — управляющий параметр, щ > 0, щ > 0 — фиксированные коэффициенты диффузии. Будем предполагать, что О С Кт, где т = 1, 2, 3 — ограниченная область с границей дО класса С2 или прямоугольный параллелепипед. Рассуждения разделов 1.1-1.4 также проходят без изменений, если т = 4, 5.

Целью настоящей главы является исследование бифуркационного поведения периодических по времени и стационарных решений системы Рэлея с диффузией (1.1), ответвляющихся от тривиального (нулевого) решения при изменении управляющего параметра [ и фиксированных коэффициентах диффузии 0 < 1 < 2. В настоящей главе в качестве краевых условий рассматриваются условия Дирихле

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Казарников, Алексей Владимирович, 2018 год

Список литературы

[1] Cross M.C. Pattern formation outside of equilibrium / M.C. Cross, P.C. Hohenberg // Reviews of Modern Physics. — 1993. — Vol. 65. — № 3. —P. 851-1112.

[2] Cross M.C., Greenside H. Pattern formation and dynamics in nonequilibrium systems. — Cambridge University Press, 2009. — 553 P.

[3] Pismen L. Patterns and Interfaces in Dissipative Dynamics. — SpringerVerlag, 2006. — 373 р.

[4] Perthame B. Parabolic Equations in Biology: Growth, reaction, movement and diffusion. — Springer International Publishing, 2015. — 201 р.

[5] Murray J.D. Mathematical biology II: Spatial models and biomedical applications. — New York. Springer-Verlag, 1993. — 838 р.

[6] Колмогоров А.Н. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме / А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Н.С. Пискунов // Вестник МГУ, Серия А. — 1937. — T. 1. — № 6. —С. 1-25.

[7] Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes / R.A. Fisher // The Annals of Eugenics. — 1937. — Vol. 7. —P. 355-369.

[8] Turing A.M. The Chemical Basis of Morphogenesis / A.M. Turing // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences. — 1952. — Vol. 237. — № 641. —P. 37-72.

[9] Prigogine I. On Symmetry Breaking Instabilities in Dissipative Systems / I. Prigogine, G. Nicolis // The Journal of Chemical Physics. — 1967. — Vol. 46. — № 9. —P. 3542-3550.

[10] Erneux T. Turing's theory in morphogenesis / T. Erneux, J. Hiernaux, G. Nicolis // Bulletin of Mathematical Biology. — 1978. — Vol. 40. — № 6. —P. 771 - 789.

[11] Gmitro J.I. A physicochemical basis for pattern and rhythm / J.I. Gmitro, L.E. Scriven // Intracellular Transport. — 1966. — Vol. 5. —P. 221 - 255.

[12] Segel L.A. Dissipative structure: An explanation and an ecological example / L.A. Segel, J.L. Jackson // Journal of Theoretical Biology. — 1972. — Vol. 37. — № 3. —P. 545 - 559.

[13] Белоусов Б.П. Периодически действующая реакция и её механизм / Б.П. Белоусов // Сб.: Автоволновые процессы в системах с диффузией

— Горький: Изд-во ГГУ. — 1951. —С. 76.

[14] Колебания и бегущие волны в химических системах: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1988. — 720 с.

[15] Жаботинский А.М. Концентрационные колебания. — М.: Наука, 1974.

— 179 с.

[16] Zaikin A.N. Concentration wave propagation in two-dimensional liquidphase self-oscillating system / A.N. Zaikin, A.M. Zhabotinsky // Nature. — 1970. — Vol. 225. —P. 535-537.

[17] Glansdorff P., Prigogine I. Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations. — John Wiley & Sons, 1971. — 232 р.

[18] Maini P.K. Spatial pattern formation in chemical and biological systems / P.K. Maini, K.J. Painter, H. Nguyen Phong Chau //J. Chem. Soc., Faraday Trans.. — 1997. — Vol. 93. —P. 3601-3610.

[19] Ванаг В.К. Волны и динамические структуры в реакционно-диффузионных системах. Реакция Белоусова-Жаботинского в обращенной микроэмульсии / В.К. Ванаг // Успехи физических наук. — 2004. — T. 174. — № 9. —С. 991-1010.

[20] Castets V. Experimental evidence of a sustained standing Turing-type nonequilibrium chemical pattern / V. Castets, E. Dulos, J. Boissonade, P. De Kepper // Phys. Rev. Lett.. — 1990. — Vol. 64. —P. 2953-2956.

[21] Agladze K. Turing patterns in confined gel and gel-free media / K. Agladze, E. Dulos, P. De Kepper // The Journal of Physical Chemistry. — 1992. — Vol. 96. — № 6. —P. 2400-2403.

[22] Lengyel I. Modeling of Turing Structures in the Chlorite—Iodide—Malonic Acid—Starch Reaction System / I. Lengyel, I.R. Epstein // Science. — 1991. — Vol. 251. — № 4994. —P. 650-652.

[23] Pearson J.K. Complex Patterns in a Simple System / J.K. Pearson // Science. — 1993. — Vol. 261. — № 5118. —P. 189-192.

[24] Gray P. Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor / P. Gray, S.K. Scott // Journal of Chemical Engineering Science. — 1983. — Vol. 38. — № 1. —P. 29-43.

[25] Gray P. Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: Oscillations and instabilities in the system A + 2B > 3B; B > C / P. Gray, S. Scott // Chemical Engineering Science. — 1984. — Vol. 39. — № 6. —P. 1087 - 1097.

[26] Gray P. Sustained oscillations and other exotic patterns of behavior in isothermal reactions / P. Gray, S.K. Scott // The Journal of Physical Chemistry. — 1985. — Vol. 89. — № 1. —P. 22-32.

[27] Selkov E.E. Self-Oscillations in Glycolysis / E.E. Selkov // European Journal of Biochemistry. — 1968. — Vol. 4. — № 1. —P. 79-86.

[28] Lee K.J. Pattern Formation by Interacting Chemical Fronts / K.J. Lee, W.D. McCormick, Q. Ouyang, H.L. Swinney // Science. — 1993. — Vol. 261. — № 5118. —P. 192-194.

[29] Gierer A.M. A theory of biological pattern formation / A.M. Gierer // Kybernetik. — 1972. — Vol. 12. — № 1. —P. 30-39.

[30] Schnakenberg J. Simple chemical reaction systems with limit cycle behaviour / J. Schnakenberg // Journal of Theoretical Biology. — 1979. — Vol. 81. — № 3. —P. 389 - 400.

[31] Kondo S. A reaction-diffusion wave on the skin of the marine angelfish Pomacanthus / S. Kondo, R. Asai // Nature. — 1995. — Vol. 376. — № 765. —P. 765-768.

[32] Kondo S. Reaction-Diffusion Model as a Framework for Understanding Biological Pattern Formation / S. Kondo, T. Miura // Science. — 2010. — Vol. 329. — № 5999. —P. 1616-1620.

[33] Facchini A. Spatial recurrence strategies reveal different routes to Turing pattern formation in chemical systems / A. Facchini, F. Rossi, C. Mocenni // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics. — 2009. — Vol. 373. — № 46. —P. 4266-4272.

[34] Szalai I. Pattern formation in the ferrocyanide-iodate-sulfite reaction: The control of space scale separation / I. Szalai, P. De Kepper // Chaos. — 2008.

— Vol. 18. — № 2. —P. 0-9.

[35] Xu J. Pattern dynamics of a predator-prey reaction-diffusion model with spatiotemporal delay / J. Xu, G. Yang, H. Xi, J. Su // Nonlinear Dynamics.

— 2015. — Vol. 81. — № 4. —P. 2155-2163.

[36] Tang X. Turing-Hopf bifurcation analysis of a predator-prey model with herd behavior and cross-diffusion / X. Tang, Y. Song, T. Zhang // Nonlinear Dynamics. — 2016. — Vol. 86. — № 1. —P. 73-89.

[37] Upadhyay R.K. Complex dynamics of ecological systems under nonlinear harvesting: Hopf bifurcation and Turing instability / R.K. Upadhyay, P. Roy, J. Datta // Nonlinear Dynamics. — 2014. — Vol. 79. —P. 2251-2270.

[38] Lee K.J. Wave Pattern Selection in an Excitable System / K.J. Lee // Physical Review Letters. — 1997. — Vol. 79. — № 15. —P. 2907-2910.

[39] Vilas C. Dynamic optimization of distributed biological systems using robust and efficient numerical techniques / C. Vilas, E. Balsa-Canto, M.G. Garcia // BMC systems biology. — 2012. — Vol. 6. — № 79. —P. 1-16.

[40] Balkarei Y.I. Regenerative oscillations, spatial-temporal single pulses and static inhomogeneous structures in optically bistable semiconductors / Y.I. Balkarei, A.V. Grigoryants, Y.A. Rzhanov, M.I. Elinson // Optics Communications. — 1988. — Vol. 66. — № 2. —P. 161 - 166.

[41] Zhao H. Turing instability and pattern formation of neural networks with reaction - diffusion terms / H. Zhao, X. Huang // Nonlinear Dynamics. — 2014. — Vol. 76. — № 1. —P. 115-124.

[42] FitzHugh R. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane / R. FitzHugh // Biophysical Journal. — 1961. — Vol. 1. — № 6. —P. 445-466.

[43] Strutt (Lord Rayleigh) J.W. On maintained vibrations / J.W. Strutt (Lord Rayleigh) // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1883. — Vol. 15. — № 94. —P. 229-235.

[44] Cveticanin L. Lord Rayleigh and Rayleigh Oscillator: An Overview / L. Cveticanin // Proceedings of the 14th IFToMM World Congress. — 2015. —P. 93-100.

[45] Strutt (Lord Rayleigh) J.W. Scientific Papers. — Cambridge University Press, 1899. — 596 р.

[46] Стретт Д.В. Теория звука. — Гостехиздат, 1955. — 504 с.

[47] Inaba N. Folded torus in the forced Rayleigh oscillator with a diode pair / N. Inaba, S. Mori // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. — 1992. — Vol. 39. — № 5. —P. 402-411.

[48] Filho A.C.d.P. Modeling of a bipedal robot using mutually coupled Rayleigh oscillators / A.C.d.P. Filho, M.S. Dutra, L.S.C. Raptopoulos // Biological Cybernetics. — 2005. — Vol. 92. — № 1. —P. 1-7.

[49] Van der Pol B. A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations / B. Van der Pol // Radio Review. — 1920. — № 1. —P. 701-710.

[50] Кузнецов А.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. — Физматлит, 2005. — 292 с.

[51] Van der Pol B. On relaxation-oscillations / B. Van der Pol // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1926. — Vol. 2. — № 7. —P. 978-992.

[52] Van der Pol B. Frequency demultiplication / B. Van der Pol, J. Van der Mark // Nature. — 1927. — Vol. 120. —P. 363-364.

[53] Cartwright M.L. Balthazar Van Der Pol / M.L. Cartwright // Journal of the London Mathematical Society. — 1960. — Vol. s1-35. — № 3. —P. 367-376.

[54] Cartwright M.L. On Non-Linear Differential Equations of the Second Order: I. The Equation y" + k(1 — y2)y' + y = bXkcos(Xl + a), k — large / M.L. Cartwright, J.E. Littlewood // Annals of Mathematics Second Series.

— 1945. — Vol. 48. — № 2. —P. 472-494.

[55] Hasegawa H. Jarzynski equality in van der Pol and Rayleigh oscillators / H. Hasegawa // Physical Review E. — 2011. — Vol. 84. —P. 061112.

[56] Han X. Origin of mixed-mode oscillations through speed escape of attractors in a Rayleigh equation with multiple-frequency excitations / X. Han, F. Xia, C. Zhang, Y. Yu // Nonlinear Dynamics. — 2017. — Vol. 88. — № 4. —P. 2693-2703.

[57] Zhang Y. Fractional modified Duffing-Rayleigh system and its synchronization / Y. Zhang, C. Li // Nonlinear Dynamics. — 2017. — Vol. 88. — № 4. —P. 3023-3041.

[58] Chunbiao G. Strongly resonant bifurcations of nonlinearly coupled van der Pol-Duffing Oscillator / G. Chunbiao, L. Qishao, H. Kelei // Applied Mathematics and Mechanics. — 1999. — Vol. 20. — № 1. —P. 68-75.

[59] Kuznetsov A.P. Features of the synchronization of coupled van der Pol oscillators with nonidentical control parameters / A.P. Kuznetsov, V.I. Paksyutov, Y.P. Roman // Technical Physics Letters. — 2007. — Vol. 33.

— № 8. —P. 636-638.

[60] Hodgkin A. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve / A. Hodgkin, A. Huxley // Bulletin of Mathematical Biology. — 1990. — Vol. 52. — № 1. —P. 25-71.

[61] Gerstner W., Kistler W.M. Spiking Neuron Models: Single Neurons, Populations, Plasticity. — Cambridge University Press, 2002. — 480 р.

[62] FitzHugh R. Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane / R. FitzHugh // The bulletin of mathematical biophysics. — 1955. — Vol. 17. — № 4. —P. 257-278.

[63] Jaeger D., Jung R. Encyclopedia of Computational Neuroscience. — Springer New York, 2015. — 3180 р.

[64] Nagumo J. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon* / J. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshizawa // Proceedings of the IRE. — 1962. — Vol. 50. — № 10. —P. 2061-2070.

[65] Глызин С.Д. Конечномерные модели диффузионного хаоса / С.Д. Глы-зин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. — T. 50. — № 5. —С. 860-875.

[66] Zhang Q. Pattern dynamics in a diffusive Rossler model / Q. Zhang, C. Tian // Nonlinear Dynamics. — 2014. — Vol. 78. — № 2. —P. 1489-1501.

[67] Yuan G. Dynamics of spiral waves driven by a dichotomous periodic signal / G. Yuan, Y. Liu, A. Xu, G. Wang // Nonlinear Dynamics. — 2012. — Vol. 70. — № 3. —P. 1719-1730.

[68] Hu G. Pattern formation and spatiotemporal chaos in a reaction-diffusion predator-prey system / G. Hu, X. Li, Y. Wang // Nonlinear Dynamics. — 2015. — Vol. 81. — № 1. —P. 265-275.

[69] Huang T. Bifurcation, chaos and pattern formation in a space- and time-discrete predator-prey system / T. Huang, H. Zhang // Chaos, Solitons and Fractals. — 2016. — Vol. 91. —P. 92-107.

[70] Alford J.G. Rotating wave solutions of the FitzHugh - Nagumo equations / J.G. Alford, G. Auchmuty // Journal of mathematical biology. — 2006. — Vol. 53. — № 5. —P. 797-819.

[71] Chen S. Stability Analysis of a Reaction-Diffusion Equation with Spatiotemporal Delay and Dirichlet Boundary Condition / S. Chen, J. Yu // Journal of Dynamics and Differential Equations. — 2016. — Vol. 28. — № 3-4. —P. 857-866.

[72] Scheel A. Diffusive Stability of Turing Patterns via Normal Forms / A. Scheel, Q. Wu // Journal of Dynamics and Differential Equations. — 2013. — № November 2013. —P. 1-50.

[73] Ding W. Traveling Wave Solutions for Some Classes of Diffusive Predator-Prey Models / W. Ding, W. Huang // Journal of Dynamics and Differential Equations. — 2016. — Vol. 28. — № 3-4. —P. 1293-1308.

[74] Ivancevic V.G. Ricci flow and nonlinear reaction-diffusion systems in biology, chemistry, and physics / V.G. Ivancevic, T.T. Ivancevic // Nonlinear Dynamics. — 2011. — Vol. 65. — № 1. —P. 35-54.

[75] Ward M.J. Asymptotic methods for reaction-diffusion systems: past and present / M.J. Ward // Bulletin of Mathematical Biology. — 2006. — Vol. 68. —P. 1151-1167.

[76] Ward M.J. The Existence and Stability of Asymmetric Spike Patterns for the Schnakenberg Model / M.J. Ward, J. Wei // Studies in Applied Mathematics. — 2002. — Vol. 109. — № 3. —P. 229-264.

[77] Ward M.J. Hopf Bifurcations and Oscillatory Instabilities of Spike Solutions for the One-Dimensional Gierer-Meinhardt Model / M.J. Ward, J. Wei // Journal of Nonlinear Science. — 2003. — Vol. 13. — № 2. —P. 209-264.

[78] Wei J. On the Two-Dimensional Gierer-Meinhardt System with Strong Coupling / J. Wei, M. Winter // SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 1999. — Vol. 30. — № 6. —P. 1241-1263.

[79] Wei J. Spikes for the Two-Dimensional Gierer-Meinhardt System: The Weak Coupling Case / J. Wei, M. Winter // Journal of Nonlinear Science. — 2001. — Vol. 11. — № 6. —P. 415-458.

[80] Wei J. Spikes for the Gierer-Meinhardt System in Two Dimensions: The Strong Coupling Case / J. Wei, M. Winter // Journal of Differential Equations. — 2002. — Vol. 178. — № 2. —P. 478 - 518.

[81] Wei J. Pattern formations in two-dimensional Gray-Scott model: existence of single-spot solutions and their stability / J. Wei // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2001. — Vol. 148. — № 1. —P. 20 - 48.

[82] Wei J. Asymmetric Spotty Patterns for the Gray-Scott Model in R2 / J. Wei, M. Winter // Studies in Applied Mathematics. — 2003. — Vol. 110. — № 1. —P. 63-102.

[83] Wei J. Existence, stability and metastability of point condensation patterns generated by the Gray-Scott system / J. Wei // Nonlinearity. — 1999. — Vol. 12. — № 3. —P. 593-625.

[84] Hale J.K. Interaction of diffusion and boundary conditions / J.K. Hale, C. Rocha // Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Applications. — 1986. — Vol. 11. — № 5. —P. 633-649.

[85] Crawford J.D. Boundary conditions as symmetry constraints / J.D. Crawford, M. Golubitsky, M.G.M. Gomes, E. Knobloch, I.N. Stewart // Singularity Theoryand its Applications, 1-19 September 1989, Warwick, United Kingdom. —P. 63-79.

[86] Barrio R.A. A two-dimensional numerical study of spatial pattern formation in interacting Turing systems / R.A. Barrio, C. Varea, J.L. Aragon, P.K. Maini // Bulletin of Mathematical Biology. — 1999. — Vol. 61. — № 3. —P. 483-505.

[87] Crampin E.J. Pattern formation in reaction-diffusion models with nonuniform domain growth / E.J. Crampin, W.W. Hackborn, P.K. Maini // Bulletin of Mathematical Biology. — 2002. — Vol. 64. — № 4. —P. 747-769.

[88] Barrass I. Mode Transitions in a Model Reaction-Diffusion System Driven by Domain Growth and Noise / I. Barrass, E.J. Crampin, P.K. Maini // Bulletin of Mathematical Biology. — 2006. — Vol. 68. — № 5. —P. 981-995.

[89] Castillo J.A. A Turing-Hopf Bifurcation Scenario for Pattern Formation on Growing Domains / J.A. Castillo, F. Sanchez-Garduno, P. Padilla // Bulletin of Mathematical Biology. — 2016. — Vol. 78. — № 7. —P. 1410-1449.

[90] Mei Z. Numerical Bifurcation Analysis for Reaction-Diffusion Equations. — Springer Berlin Heidelberg, 2000. — 414 р.

[91] Коротких А.С. Стационарные точки уравнения «реакция-диффузия» и переходы в стабильные состояния / А.С. Коротких // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2017. — T. 10. — № 1. —С. 125-137.

[92] Епифанов А.В. О динамике косимметричных систем хищников и жертв / А.В. Епифанов, В.Г. Цибулин // Компьютерные исследования и моделирование. — 2017. — T. 9. — № 5. —С. 799-813.

[93] Ashwin P. A numerical Liapunov-Schmidt method with applications to Hopf bifurcation on a square / P. Ashwin, K. Bohmer, M. Zhen // Mathematics of computation. — 1995. — Vol. 64. — № 210. —P. 649-670.

[94] Загребнева А.Д. Бифуркации в модели активный хищник - пассивная жертва / А.Д. Загребнева, В.Н. Говорухин, Ф.А. Сурков // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2014. — T. 22. — № 3. —С. 94-106.

[95] Кругликов М.Г. Анализ модели сосуществования популяций, конкурирующих на пространственно-неоднородном ареале / М.Г. Кругликов, В.Г. Цибулин // Экологический вестник научных центров черноморского экономическогосотрудничества. — 2015. — № 2. —С. 56-64.

[96] Загребнева А.Д. Численная реализация модели таксис - реакция - диффузия, описывающей динамику системы хищник-жертва / А.Д. Загреб-

нева, Ю.В. Тютюнов, Ф.А. Сурков, А.И. Азовский // Известия ВУЗов: Северо-Кавказский регион. — 2010. — № 2. —С. 12-16.

[97] Башкирцева И.А. Бифуркация расщепления стохастических циклов в модели Фицхью-Нагумо / И.А. Башкирцева, Л.Б. Ряшко, Е.С. Слепухина // Нелинейная динамика. — 2013. — Т. 9. — № 2. —С. 295-307.

[98] Юдович В.И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима / В.И. Юдович // Прикладная математика и механика. — 1972. — Т. 36. — № 3. —С. 450-459.

[99] Юдович В.И. Пример потери устойчивости и рождения вторичного течения жидкости в замкнутом сосуде /В.И. Юдович // Математический сборник. — 1967. — Т. 74. — № 116. —С. 565-579.

[100] Казарников А.В. Уравнение Рэлея при наличии диффузии / А.В. Ка-зарников //VII Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», 28 мая - 1 июня 2012, Дивноморское, Россия. —С. 61.

[101] Казарников А.В. Исследование периодических режимов в пространственно-распределенном уравнении Рэлея / А.В. Казарников // VIII Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», 27-31 мая 2013, Дивноморское, Россия. —С. 63.

[102] Казарников А.В. Система управления индивидуальными учебными планами магистрантов Мехмата ЮФУ / А.В. Казарников //IX Всерос-

сийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», 26-30 мая 2014, Дивноморское, Россия. — С. 74.

[103] Казарников А.В. Численное и аналитическое исследование системы Рэлея с диффузией / А.В. Казарников //IX Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», 26-30 мая 2014, Дивноморское, Россия. —С. 73.

[104] Казарников А.В. Монотонная и колебательная неустойчивость в пространственно-распределенной системе Рэлея / А.В. Казарников, С.В. Ревина //XI Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», 23-27 мая 2016, Дивноморское, Россия. —С. 62.

[105] Казарников А.В. Бифуркация рождения цикла в пространственно распределенном уравнении Рэлея / А.В. Казарников, С.В. Ревина // Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - IV», 27 апреля-1 мая 2014, Ростов-на-Дону, Россия. —С. 94-95.

[106] Казарников А.В. Исследование вторичных периодических по времени режимов в системе Рэлея с диффузией в случае краевых условий Неймана / А.В. Казарников, С.В. Ревина, Х. Хаарио // Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - V», 26 апреля-1 мая 2015, Ростов-на-Дону, Россия. —С. 109-110.

[107] Kazarnikov A. Secondary time-periodic and stationary solutions of Rayleigh reaction-diffusion system / A. Kazarnikov, S. Revina, H. Haario // Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения -VI», 24-29 апреля 2016, Ростов-на-Дону, Россия. —P. 96-97.

[108] Казарников А.В. Бифуркационное поведение решений системы Рэлея с диффузией в случае одной пространственной переменной / А.В. Казарников, С.В. Ревина // XVII Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», 14-17 октября 2014, Ростов-на-Дону, Россия. —С. 6-10.

[109] Kazarnikov A.V. Numerical and asymptotical analysis of Rayleigh reaction-diffusion system / A.V. Kazarnikov, S.V. Revina, H. Haario // Fourth China-Russia Conference «Numerical algebra with applications», 2629 June 2015, Rostov-on-Don, Russia. —P. 114-119.

[110] Казарников А.В. Асимптотика периодических по времени решений в системе Рэлея с диффузией / А.В. Казарников, С.В. Ревина // Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования», 12-18 июля 2015, Ростов-на-Дону, Россия. —С. 195.

[111] Казарников А.В. Асимптотика вторичных решений в системе Рэлея с диффузией в случае монотонной и колебательной потери устойчивости / А.В. Казарников // XII региональная школа-конференция «Вла-

дикавказская молодежная математическая школа», 18-23 июля 2016, В. Фиагдон, Россия. —С. 13-14.

[112] Kazarnikov A.V. Numerical and asymptotical analysis of secondary stationary solutions in Rayleigh reaction-diffusion system / A.V. Kazarnikov, S.V. Revina, H. Haario // Международная научная конференция «Численное моделирование прибрежных, шельфовых и устьевых процессов», 5-9 октября 2015, Ростов-на-Дону, Россия. —P. 8.

[113] Kazarnikov A.V. The investigation of pattern formation on Fitzhugh-Nagumo reaction-diffusion system: qualitative analysis of secondary solutions and quantitative classification of nonlinear steady states / A.V. Kazarnikov // Lappeenranta University of Technology Doctoral School conference, 10 December 2015, Lappeenranta, Finland. —P. 39.

[114] Kazarnikov A.V. Numerical and analytical investigation of pattern formation in Fitzhugh-Nagumo reaction-diffusion system / A.V. Kazarnikov, S.V. Revina, H. Haario // International Conference «IMA Conference on Inverse Problems from Theory to Application», 19-21 September 2017, Cambridge, United Kingdom.

[115] Казарников А.В. Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией / А.В. Казарников, С.В. Ревина // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2016. — T. 9. — № 2. —С. 16-28.

[116] Казарников А.В. Асимптотика стационарных решений системы Рэлея

с диффузией / А.В. Казарников, С.В. Ревина // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. — 2016. — № 191. —С. 13-19.

[117] Казарников А.В. Бифуркации в системе Рэлея с диффузией / А.В. Казарников, С.В. Ревина // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2017. — T. 27. — № 4. —С. 499-514.

[118] Казарников А.В. Reaction-Diffusion Solver.NET / А.В. Казарников // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2017661703 (дата регистрации 19.10.2017 г.). — 2017.

[119] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — 407 с.

[120] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972. — 740 с.

[121] Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.: Высшая школа, 1977. — 431 с.

[122] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1976. — 391 с.

[123] Gilbarg David T.N.S. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. — New York. Springer-Verlag, 2001. — 532 р.

[124] Evans L.C. Partial Differential Equations. — New York.American Mathematical Society, 2010. — 749 р.

[125] Садовничий В.А. Теория операторов. — М.: издательство МГУ, 2004. — 384 с.

[126] Азиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966. — 544 с.

[127] Юдович В.И. Возникновение автоколебаний в жидкости / В.И. Юдович // Прикладная математика и механика. — 1971. — T. 35. — № 4. —С. 638-655.

[128] Agmon S. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach spaces / S. Agmon, L. Nirenberg // Communications on pure and applied Math. — 1963. — Vol. 16. — № 2. —P. 121-239.

[129] Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. — Ростов-на-Дону: издательство РГУ, 1984. — 192 с.

[130] Вайнберг М.М. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин // Успехи математических наук. — 1962. — T. 17. — № 2. —С. 13-75.

[131] Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 527 с.

[132] Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление / В.И. Юдович // Прикладная математика и механика. — 1967. — T. 31. — № 7. —С. 101111.

[133] Овчинникова С.Н. Расчет вторичного стационарного течения между

вращающимися цилиндрами / С.Н. Овчинникова, В.И. Юдович // Прикладная математика и механика. — 1968. — Т. 32. — № 5. —С. 858-868.

[134] Маркман Г.С. Об устойчивости сжатых стержней / Г.С. Маркман, В.И. Юдович // Прикладная математика и механика. — 1970. — Т. 34.

— № 5. —С. 877-884.

[135] Козицкий С.Б. Модель трехмерной бездиффузионной конвекции с ячейками произвольной формы / С.Б. Козицкий // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2012.

— Т. 4. —С. 46-61.

[136] Ревина С.В. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических трехмерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений / С.В. Ревина, В.И. Юдович // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2001. — № 2. —С. 29-41.

[137] Мелехов А.П. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических двумерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений / А.П. Мелехов, С.В. Ревина // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2008. — № 2. —С. 41-56.

[138] Ревина С.В. Рекуррентные формулы длинноволновой асимптотики задачи устойчивости сдвиговых течений / С.В. Ревина // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2013. — Т. 53. — № 8. —С. 1387-1401.

[139] Ревина С.В. Устойчивость течения Колмогорова и его модификаций / С.В. Ревина // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2017. — T. 57. — № 6. —С. 1003-1022.

[140] Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М. : Мир, 1985. — 280 с.

[141] Юдович В.И. Пример рождения вторичного стационарного или периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой незжимаемой жидкости /В.И. Юдович // Прикладная математика и механика. — 1965. — T. 29. — № 3. —С. 453-467.