Формула следа для ограниченного возмущения двумерного гармонического осциллятора в полосе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Яндыбаева Ирина Гамировна

• Яндыбаева Ирина Гамировна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Яндыбаева Ирина Гамировна

Оглавление

Введение

Глава 1. Спектр двумерного гармонического осциллятора задачи Дирихле в полосе

1.1 Спектральные характеристики невозмущенного оператора

1.2 Локализация спектра возмущенного оператора

Глава 2. Суммируемость второй поправки теории возмущений

2.1 Об одной формуле вычисления следа оператора

2.2 Асимптотика ядра проектора

2.3 Суммируемость второй поправки теории возмущений

Глава 3. Формула следов

Заключение

Список литературы

89

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формула следа для ограниченного возмущения двумерного гармонического осциллятора в полосе»

Введение

Актуальность темы исследования. Данная работа посвящена исследованию спектральных характеристик двумерного гармонического осциллятора в полосе, изучению свойств спектра его ограниченных возмущений и вычислению формулы регуляризованного следа локального возмущения двумерного гармонического осциллятора в полосе.

Впервые формула регуляризованного следа для операторов с дискретным спектром была получена в 1953 году И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [1] для задачи Дирихле оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. А именно, поскольку для собственных чисел pk оператора L порожденного краевой задачей:

—u"(x) + V(x)u(x) = pu(x), x Е [0,п] , ^

u(0) = п(п) = 0,

при V(x) Е C(2) [0,п] справедлива асимптотическая формула

Pk = k2 + Co + ° (р) ,

следовательно ряд с общим членом ak = Pk — k2 — C0 сходится.

И.М. Гельфанд и Б.М. Левитан доказали, что справедлива формула

± ^ — k2 — Co] = — + igo, (0.2)

k=1

где C0 = 1 J V(x)dx, которая впоследствии получила название формулы п o

следа Гельфанда-Левитана.

И почти сразу Л.А. Дикий [2] показал, что формула Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству

то

^ (р — Xk — (Vfk ,fk )) = 0, (0.3)

k=1

где Xk = k2 - собственные числа невозмущенного оператора L0 : L = L0 + V, V - оператор умножения на функцию, fk (x) = sin kx - ортонормировапные собственные функции оператора Lo.

Оказалось, что в работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана первая поправка теории возмущений

(Vfk, fk) = — i V(x) sin2 kxdx = — i V(x)dx--/ V(x) cos kxdx

П J П J П J

0 0 0

в формуле (0.3) была разбита на две части, и главный член, образующий расходящийся ряд, оставлен в левой части формулы (0.3), а сходящаяся часть просуммирована и сумма записана в правую часть (формула (0.2)).

Такой подход, при котором (Vfk, fk) разбивается па расходящуюся и сходящуюся части, первая из них выражается в терминах собственных

L0

ется и выносится в правую часть, долгое время оставался центральным в многочисленных исследованиях.

И существенную роль в развитии теории регуляризованных следов обыкновенных дифференциальных операторов сыграли работы И.М. Гельфанда [3], Б.М. Левитана [4], Л.А. Дикого [5], [6], К. Хальберга [7], В. Крамера, Р. Гильберта [8], [9], А.Г. Костюченко [10], М Гасымова [11], [12], В.Б. Лидского [13], В.А. Садовничего [14]-[20], A.A. Шкаликова [21] и др.

Принципиальным прорывом в теории следов обыкновенных дифференциальных операторов стало применение методов теории функций для исследования дзета-функций оператора в работах В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [22], [23], где для специального класса целых функций К, включающего в себя характеристические определители «почти всех» спек-

тральных задач для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов, был дан метод вычисления регуляризованных сумм корней функций класса К. Развитие этого направления было завершено (в основном) в работах [24], [25] В.А. Садовничего, В.А. Любишкина, Ю. Белаббаси в 1981-1982 гг., в которых функции класса К расширены до функций класса типа синуса, включающего все характеристические определители регулярных обыкновенных дифференциальных операторов.

С конца 70-х годов прошлого века на первый план выдвигается изучение регуляризованных следов операторов в частных производных. Трудность исследования дифференциальных операторов в частных производных прежде всего связана со сложной структурой спектра (кратность собственных значений, отсутствие расширяющихся лакун, вопросы локализации возмущенных собственных значений около собственных значений невозмущенного оператора) этих операторов, не всегда эффективно удается исследовать даже первую поправку теории возмущений (V/к, /к) не говоря о последующих поправках теории возмущений. И в связи с этим начинаются интенсивные исследования формул вида (0.3) с вычетом одной или нескольких поправок теории возмущений для абстрактных операторов с дискретным спектром. Как оказалось, даже для двумерных дифференциальных операторов в частных производных, возмущенных оператором умножения на ограниченную функцию, правая часть в тождестве (0.3) отлична от нуля.

Возникает вопрос: при каких условиях на невозмущенный оператор Ь0 и оператор возмущения V существует подпоследовательность {пт}т=1 с N такая, что имеет место формула регуляризованного следа возмущенного оператора Ь = Ь0 + V

11т V (Ак + (V/, /к) - Мк) = С < ю? (0.4)

т—т>оо ^—' к=1

Где и ^k это сообственные значения соответственно операторов L0 и L.

Исследование поставленного вопроса было разбито на два случая: когда C = 0 и когда константа C отлична от 0.

Случай C = 0 в формуле (0.4) был предметом исследования многочисленных математиков. Отметим в начале лишь существенные работы в этом направлении.

В.В. Дубровский доказал [26], что формула (0.4) (C = 0) имеет место, если

1. V - произвольный ограниченный оператор в H и N (А, L0) = O( Ар ),

0 < p < где N (А , L0) = N (А) = ^ 1 - функция распределения

a k <a

спектра.

2_ V - оператор Гильберта-Шмидта и N (А) = O( Ар), 0 < p < 1 .

M. Достапич [27] доказал справедливость (0.4) (C = ^^ли V = V* - ограниченный и N (А) = O( Ар), 0 < p < | .

Принципиальный прорыв в теории следов был сделан в серии работ В.А. Садовничего, В.Е. Подольского и C.B. Конягина [28], [29], где в

C=0

1. V - произвольный ограниченный и Яо(А) = (L0 — АI)-1 - ядерный.

2. V - оператор Гильберта-Шмидта и 3{nm}m С N такая, что АПт+1 — АПт ^ œ при m ^ œ.

Следующее продвижение в теории следов было сделано в работах Х.Х. Муртазина и З.Ю. Фазуллина [30], [31], где была разработана новая методика, основанная на конечномерных приближениях операторов для самосопряженных возмущений операторов с дискретным спектром.

C=0

пых классов возмущений, при выполнении одного из нижеперечисленных условий:

1. Ю (—— < ю, то есть Ь0 2 V - оператор Гильберта-Шмидта. к=1 к

2_ V - ограниченный и N(£) = о(£), при £ ^ то. 3 V - компактный и N (£) = 0(£), пр и £ ^ то.

4. V Е ор 2 < р Е N (где ор, р Е N - класс компактных операторов

Р

Шатена-фон Неймана) и N (£) = о(Ьр-2), пр и £ ^ то.

5. V - оператор Гильберта-Шмидта.

С=0

Дубровского [32], [33] и В.А. Любишкина [34].

Случай С = 0 в формуле (0.4). Поскольку при к >> 1 имеем

Ак - Мк + (V/, /к) = ак + о (ак),

где Ак и Мк пронумерованы с учетом кратности, возникает необходимость более детального изучения второй поправки теории возмущений

SpPmVPk V

ак =

е

,, Ат — Ак

т=к

где Рк - проектор па собственное подпространство, соответствующее собАк

равна сумма последовательности ак, Бр - след ядерного оператора.

Ещё в начале 60-х годов И.М. Гельфандом была поставлена задача, получить формулу следа для возмущения оператором умножения на ограниченную функцию оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере, как следующий пинципиальный рубеж в теории регуляризован-ных следов дифференциальных операторов.

Первый результат по этой задаче получили в 1991 году В.А. Садовничий и В.В. Дубровский [35], они доказали формулу первого регуля-ризованного следа со скобками для оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере, возмущенного гладким нечетным потенциалом, далее,

В.Е. Подольский [36] в 1994 году, используя результаты В. Гийемина [37]-[39], Дж. Дюстермата [40], Г. Видома [41], с помощью суммирования по Абелю и тауберовой теоремы Литлвуда доказал, что ряд сходится без скобок. Значительные трудности приносит в эту задачу отказ от бесконечно дифференцируемости возмущений, так как тогда нельзя применять технику псевдодифференциальных операторов.

И следующее продвижение в этой задаче было сделано З.Ю. Фазул-линым [42] в 1997 году на основе новой методики, основанной на одном способе суммирования второй поправки теории возмущений, для возмущений из класса C3 (S2) (необязательно нечетного) оператора Лапласа-Бельтрами была получена классическая формула следа Гельфанда- Левитана.

Далее, в серии работ В.А. Садовничий и З.Ю. Фазуллин [43]-[46] ослабили гладкость возмущения до класса W2 (S2).

В 2001 году З.Ю. Фазуллин и Х.Х. Муртазин [47] рассмотрели возму-

2

щение двумерного гармонического осциллятора на R оператором умножения на финитную функцию V(x\, x2) Е C0 (R2) и доказали классическую формулу следа Гельфанда-Левитана.

В 2003 и 2009 гг. Х.Х. Муртазиным и З.Ю. Фазуллиным [48], [49] была получена классическая формула следа Гельфанда-Левитана для локального возмущения из класса C0 (R2) двумерного оператора Шредингера в однородном магнитном поле, имеющего чисто точечный спектр. Чуть позже, в 2004 году, Е.Л. Коротяевым и A.B. Пушницким [50], независимо, методом суммирования по Абелю для бесконечногладких возмущений был получен аналогичный результат.

Таким образом, до настоящего времени получены формулы регуля-ризованных следов ограниченных возмущений оператором умножения на функцию только трех модельных двумерных операторов с дискрет-

ным спектром в частных производных: Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере, двумерного гармонического осциллятора на плоскости и двумерного оператора Шредингера в однородном магнитном поле. Трудности исследования операторов в частных производных связаны прежде всего со сложной структурой спектральных характеристик операторов в частных производных.

Всё вышесказанное позволяет заключить, что исследование многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром в частных производных является актуальной задачей в спектральной теории операторов.

Настоящая работа посвящена исследованию спектра двумерного гармонического осциллятора в полосе и вычислению регуляризованного следа его возмущения оператором умножения на ограниченную, измеримую, финитную функцию. Отличие от ранее известных результатов заключается в следующем: собственные значения двумерного гармонического осциллятора на всей плоскости [47] и их кратности нетрудно выразить через один индекс, при этом главная часть асимптотики ядра проектора, соответствующего собственному значению, выражается через функции Бесселя первого рода. Спектр невозмущенного двумерного гармонического осциллятора в полосе не был изучен (в смысле выражения собственных чисел и их кратностей через один индекс), что затрудняло дальнейшее исследование его возмущений. А также, трудности возникают при изучении главной части ядра проектора, которую не удается выразить через специальные функции математической физики, как следствие приходится искать иные методики исследования в этих направлениях.

Цели и задачи исследования

• исследовать спектральные характеристики для невозмущенного дву-

мерного гармонического осциллятора в полосе;

• исследовать локализацию собственных значений возмущенного оператора;

• доказать суммируемость второй поправки теории возмущений;

• получить формулу регуляризованного следа для ограниченных возмущений двумерного гармонического осциллятора в полосе.

Методы исследования. В диссертационной работе использовались классические методы комплексного и функционального анализа, спектральной теории операторов, асимптотические методы в теории ортогональных многочленов, методы асимптотических оценок интегралов (метод стационарной фазы).

Науная новизна заключается в следующем:

_ ПОЛуЧены спектральные характеристики (собственные числа и их кратности) невозмущенного двумерного гармонического осциллятора в полосе через один индекс;

- доказана теорема о локализации собственных значений финитного возмущения оператора;

- доказана суммируемость второй поправки теории возмущений исследуемого оператора;

_ ПОЛуЧена формула регуляризованного следа для ограниченных возмущений двумерного гармонического осциллятора в полосе.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, результаты работы могут быть использованы в теории чисел, квантовой механике и в исследованиях спектральных характеристик двумерных операторов математической физики.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Яндыбаева Ирина Гамировна

Заключение

Диссертационная работа посвящена исследованию свойств спектров двумерного гармонического осциллятора в полосе и его локальных возмущений. А также вычислению регуляризованного следа его возмущения оператором умножения на ограниченную, измеримую, финитную функцию. Основные результаты заключаются в следующем:

1. Доказана теорема о распределении собственных значений невозмущенного оператора и их кратностях.

2. Доказана теорема о локализации спектра ограниченных финитных возмущений исследуемого оператора.

3. Доказана теорема о суммируемости второй поправки теории возмущений локального возмущения рассматриваемого оператора.

4. Получена формула регуляризованного следа для ограниченных возмущений двумерного гармонического осциллятора в полосе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яндыбаева Ирина Гамировна, 2025 год

Список литературы

[1] Гельфанд, И. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан // Доклады АН СССР. - 1953. - Т. 88. - С. 593-596.

[2] Дикий, Л. А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана / Л. А. Дикий // Успехи математических наук. - 1953. - Т. 8. - № 2. - С. 119-123.

[3] Гельфанд, И. М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И. М. Гельфанд // Успехи математических наук. - 1956. - Т. 11. Л'° 1. С. 191-198.

[4] Левитан, Б. М. Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма . Iiiynii. 1.1я / Б. М. Левитан // Успехи математических наук. _ 1964. - Т. 19. Л" 1. С. 161-165.

[5] Дикий, Л. А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля / Л. А. Дикий // Доклады АН СССР. - 1957. - Т. 116. Л" 1. С. 12-14.

[6] Дикий, Л. А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля / Л. А. Дикий // Успехи математических наук. - 1958. - Т. 13. Л" 3. С. 111-143.

[7] Halberg, С. J. A. A generalization of the trace concept / С. J. A. Halberg, V. A. Kramer // Duke Mathematical Journal. - 1960. - V. 27. - № 4. -P. 607-628.

[8] Gilbert, R. C. Trace formulas for a perturbed operator / R. C. Gilbert,

V. A. Kramer // Duke Mathematical Journal. - 1963. - V. 30. - №2.-P. 275-286.

[9] Gilbert, R. C. Trace formulas for powers of Sturm-Liuouille operator / R. C. Gilbert, V. A. Kramer // Canadian Journal of Mathematics. - 1964. - V. 16. - № 4. - P. 412-422.

[10] Костюченко, А. Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов: дисс. ... д-ра физ.-мат. наук / Костюченко Анатолий Гордеевич. - М., 1966.

[11] Гасымов, М. Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов / М. Г. Гасымов // Доклады АН СССР. -1963. - Т. 150. - № 6. - С. 1202-1205.

[12] Гасымов, М. Г. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма -Лиувилля / М. Г. Гасымов, Б. М. Левитан // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 151. - № 5. - С. 1014-1017.

[13] Лидский, В. Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В. Б. Лидский // Доклады АН СССР. - 1959. - Т. 125. - №3. - С 485-488.

[14] Садовничий, В. А. О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков / В. А. Садовничий // Дифференциальные уравнения. - 1966. - Т. 2. - № 12. - С. 1611-1624.

[15] Садовничий, В. А. О следах дифференциальных операторов высших порядков / В. А. Садовничий // Математический сборник. - 1967. -Т. 72. - № 2. - С. 293-317.

[16] Садовничий, В. А. Формула следов для, обыкновенных дифферен-

циальных операторов высших порядков / В. А. Садовничий // Математические заметки. - 1967. - Т. 1. Л'° 2. С. 179-188.

[17] Садовничий, В. А. О тождествах для собственных значений системы Дирака и некоторых других систем высшего порядка / В. А. Садовничий // Вестник Московского университета. - 1967. - № 3. - С. 37 47.

[18] Садовничий, В. А. О некоторых тождествах для собственных чисел сингулярных дифференциальных операторов. Соотношения для, нулей функции Бесселя / В. А. Садовничий // Вестник Московского университета. - 1971. Л'° 3. С. 77-86.

[19] Садовничий, В. А. Дзета-функция и собственные числа дифференциальных операторов / В. А. Садовничий // Дифференциальные уравнения. - 1974. - Т. 10. - № 7. - С. 1276-1285.

[20] Садовничий, В. А. О следах с весом, и об асимптотике спектральной функции / В. А. Садовничий // Дифференциальные уравнения. -1974. - Т. 10. - № 10. - С. 1808-1818.

[21] Савчук, А. М. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / А. М. Савчук, А. А. Шкаликов // Математические заметки. - 2001. - Т. 69. Л'° 3. С. 427-442.

[22] .1 и леки 11. В. Б. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций / В. Б. Лидский, В. А. Садовничий // Функциональный анализ и его приложения. - 1967. - Т. 1. Л'° 2. С. 52-59.

[23] Лидский, В. Б. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций / В. Б. Лидский, В. А. Садовничий // Математический сборник. - 1968. - Т. 75. - № 117. - С. 558-566.

[24] Садовничий, В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа / В. А. Садовничий, В. А. Любишкин // Доклады АН СССР. - 1981. - Т. 256. - № 4. - С. 794 798.

[25] Садовничий, В. А. О нулях целых функций одного класса / В. А. Садовничий, В. А. Любишкин, Ю. Белаббаси // Труды семинара им. И.Г. Петровского. - 1982. - Вып. 8. - С. 211-217.

[26] Дубровский, В. В. Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой / В. В. Дубровский // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26. - № 12. - С. 2046-2051.

[27] Dostanic, M. Trace formula for nonnuclear perturbations of selfadjoint operators / M. Dostanic // Publ. de l'Institut Mathématique, Nouvelle sériés. - 1993. - V. 54(68). - P. 71-79.

[28] Садовничий, В. A. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным / В. А. Садовничий, С. В. Конягин, В. Е. Подольский // ДАН РАН. - 2000. - Т. 373. Л'° 1. С. 26-28.

[29] Садовничий, В. А. Следы операторов с относительно компактным возмущением / В. А. Садовничий, В. Е. Подольский //Математический сборник. - 2002. - Т. 1963. - № 2. - С. 129-152.

[30] Муртазин, X. X. О формулах следов для неядерных возмущений / X. X. Муртазин, 3. Ю. Фазуллин // ДАН РАН. - 1999. - Т. 368. - № 4. - С. 442-444.

[31] Муртазин, X. X. Неядерные возмущения дискретных операторов и

формулы следов / X. X. Муртазин, 3. Ю. Фазуллин // Математический сборник. - 2005. - Т. 196. - № 12. - С. 123-156.

[32] Дубровский, В. В. К абстрактной формуле Гельфанда-Левитана / В. В. Дубровский // Успехи математических наук. - 1991. - Т. 46. -№ 3. - С. 187-188.

[33] Дубровский, В. В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях / В. В. Дубровский // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27. - № 12. - С. 2164-2166.

[34] Любишкин, В. А. О формулах следов Гельфанда-Левитана и Крейна / В. А. Любишкин //Математический сборник. - 1991. - Т. 182. - № 12. - С. 1786-1795.

[35] Садовничий, В. А. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский // Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 319. - № 1. - С. 61-62.

[36] Подольский, В. Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере S2 / В. Е. Подольский // Математические заметки. - 1994. - Т. 56. Л'° 1. С. 71-77.

[37] Guillemin, V. Some spectral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere / V. Guillemin // Adv. in Math. - 1978. -V. 27. - P. 273-286.

[38] Guillemin, V. Band asymptotics in two dimensions / V. Guillemin // Adv. in Math. - 1981. - V. 42. - P. 248-282.

[39] Guillemin, V. Spectral properties of a certain class of complex potentials / V. Guillemin, A. Uribo // Trans. Of Amor. Math. Soc. - 1983. - V. 279. _ ^ 2. - P. 759-771.

[40] Duistermaat, J. J. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics/ J. J. Duistermaat, V. Guillemin // Invent. Math. - 1975. - V. 29. - P. 39-79.

[41] Widom, H. The Laplace operator with potential on the 2-sphere / H. Widom // Adv. in Math. - 1979. - V. 31. - P. 63-66.

[42] Fazullin, Z. Y. The regularized trace formula for a perturbation of the Laplace-Beltrami operator / Z. Y. Fazullin // Intern, conf. on complex analysis and adjoint questions (June, 2-5, 1997, Nizhnii Novgorod State Univ.). Abstracts of talks, Nizhnii Novgorod State Univ., Nizhnii Novgorod. - 1997. - P. 80-81.

[43] Садовничий, В. А. Формула первого регуляризованного следа для возмущения оператора Лапласа-Бельтрами / В. А. Садовничий, 3. Ю. Фазуллин // Дифференциальные уравнения. - 2001. - Т. 37. - № 3. - С. 402-409.

[44] Садовничий, В. А. Кластерная асимптотика собственных чисел возмущения оператора Лапласа на сфере S2 / В. А. Садовничий, 3. Ю. Фазуллин // ДАН РАН. - 2003. - Т. 391. - № 4. - С. 456-459.

[45] Садовничий, В. А. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере S2 / В. А. Садовничий, 3. Ю. Фазуллин // Математические заметки. - 2005. - Т. 77. - № 3-4. -С. 400-413.

[46] Садовничий, В. А. Свойства резольвенты оператора Лапласа на двумерной сфере и формулы следов / В. А. Садовничий, 3. Ю. Фазуллин, А. И. Атнагулов // Уфимский математический журнал. - 2016. - Т. 8. Л" 3. С. 22-40.

[47] Фазуллин, 3. Ю. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора / 3. Ю. Фазуллин, X. X. Муртазин // Математический сборник. - 2001. - Т. 192. - № 2. - С. 109-138.

[48] Муртазин, X. X. Спектр и формула следов для двумерного оператора Шредингера в однородном магнитном поле / X. X. Муртазин, 3. Ю. Фазуллин // ДАН РАН. - 2003. - Т. 390. - №6. - С. 743-745.

[49] Муртазин, X. X. Спектр и формула следов для двумерного оператора Шредингера в однородном магнитном поле / X. X. Муртазин, 3. Ю. Фазуллин // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45. - № 4. - С. 549-563.

[50] Korotyaev, Е. A trace formula and high-energy spectral asymptotics for the perturbed Landau Hamiltonian / E. Korotyaev, A. Pushnitski //J. Funct. Anal. - 2004. - V. 217. A'0 1. P. 221-248.

[51] Нугаева, И. Г. Собственные функции и собственные значения одной краевой задачи в полосе / И. Г. Нугаева // Сборник трудов VI Международной школы-конференции для студентов, аспирантов, и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (г. Уфа, 9-13 октября 2013 г.). В 3 томах. Том 1. Математика / отв. редактор Б. Н. Хабибуллин. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. - С. 90-93.

[52] Нугаева, И. Г. О кратности собственных значений невозмущенно-

го оператора и локализации спектра финитного возмущения одной краевой задачи в полосе / И. Г. Нугаева // Сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции «Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика» / гл. редактор В. М. Бугаков. 2015. Т. 3. Л'° 8-4 (19-4). - С. 194-197.

[53] Fazullin, Z. On spectrum of perturbed two-dimensional harmonic oscillator in a strip / Z. Fazullin, I. Nugaeva // AIP Conference Proceedings. - 2016. - 1759. - 020115.

[54] Sadovnichy, V. A. The spectrum and trace formula for bounded perturbations of differential operators / V. A. Sadovnichy, Z. Y. Fazullin, I. G. Nugaeva // Doklady Mathematics. - 2018. - V. 98. Л'0 3. P. 552-554.

[55] Fazullin, Z. Y. Spectrum and trace formula for a compactly supporte perturbation of the 2D harmonic oscillator in a strip / Z. Y. Fazullin, I. G. Nugaeva // Differential equations. - 2019. - V. 55. - № 5. - P. 677-687.

[56] Яндыбаева, И. Г. Формула следа двумерного гармонического осциллятора в полосе / И. Г. Яндыбаева // Уфимская осенняя математическая школа: Материалы международной научной конференции (г. Уфа, 6-9 октября 2021 г.). В 2 томах. Том 1 / отв. редактор З.Ю. Фазуллин. — Уфа: Аэтерна, 2021. - С. 90-91.

[57] Яндыбаева, И. Г. Асимптотическое представление ядра проектора двумерного гармонического осциллятора в полосе / И. Г. Яндыбаева // Челябинский физико-математический журнал. - 2022. - Т. 7. - № 3. - С. 301-311.

[58] Никифоров, А. Ф. Специальные функции математической физики / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. - М.: Наука, 1984. - 344 с.

[59] Сегё, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сегё. - М.: ГИФМЛ, 1962. - 500 с.

[60] Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. - М.: Науки. 1981. - 512 с.

[61] Федорюк, М. В. Метод перевала / М. В. Федорюк. - М.: ГИФМЛ, 1977. - 368 с.

[62] Градштейп, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейп, И. М. Рыжик. - М.: ГИФМЛ, 1963. - 1108 с.