Формулы коплощади на спрямляемых метрических пространствах и пространствах карно-каратеодори тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Карманова, Мария Борисовна

• Карманова, Мария Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Карманова, Мария Борисовна

Результаты работы относятся к новому направлению: геометрической теории меры на метрических пространствах. В ней детально исследован принципиально новый случай формулы коплощади, когда липшицево отображение определено на измеримом множестве евклидова пространства и принимает значения в произвольном метрическом пространстве. Результаты носят окончательный характер.

Полученные результаты обобщаются на более широких классы, у которых изменяются как область определения (спрямляемые метрические пространства), так и дифференциальные свойства (классы отображений Соболева и В ^-отображения).

Разработан новый метод исследования, геометрический по своей сути. Он успешно применяется как для доказательства известных результатов (теорема типа Радема-хера об ш-дифференцируемости), так и для установления новых результатов (формул коплощади, аналога теоремы о неявной функции и др.)

Доказана также формула коплощади для гладкого отображения пространств Кар-но — Каратеодори, имеющих базис из гладких векторных нолей. В процессе доказательства разработаны новые методы исследования геометрии множеств уровня, в частности, свойств их регулярных и характеристических точек. Эти методы полезны для дальнейших исследований случаев негладких отображений и структур Карно — Каратеодори.

Полученные результаты о свойствах коэффициента коплощади (а именно, его представление через значения Не-дифференциала и независимость от риманова дифференциала) приводят к задаче доказательства формулы коплощади для отображений, липшицевых относительно субримановой метрики, которые, как известно, не всегда дифференцируемы в римановом смысле.

Так как евклидова формула коплощади имеет много приложений в теории внешних форм, потоков, задачах о минимальной поверхности и т. д., то ее субриманов аналог также может быть применен в этих теориях и задачах, интенсивно развиваемых в настоящее время на субримановых структурах.

Результаты о формуле коплощади для отображений, определенных на ^"-спрямляемом метрическом пространстве, носят окончательный характер.

Дальнейшее развитие результатов о формуле коплощади для отображений пространств Карпо — Каратеодори состоит в понижении гладкости исследуемого отображения и рассмотрении случая отображения, липшицева относительно субримановой метрики (такие отображения, как известно, не всегда дифференцируемы в классическом смысле).

Результаты диссертации опубликованы в [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60].

Bibliography

1] Вураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

2] Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. жури., 1996. Т. 37. № 6. С. 1269-1295.

3] Водопьянов С. К. Топологические и геометрические свойства отображений классов Соболева с суммируемым якобианом. I // Сиб. мат. жури., 2000. Т. 41. № 1. С. 23-48.

4] Водопьянов С. К. Геометрия пространств Карно — Каратеодори, квазиконформный анализ и геометрическая теория меры, Владикавказ, мат. журн., 2003. Т. 5. № 1. С. 14-34.

5] Водопьянов С. К. Теория интеграла Лебега: Записки лекций по математическому анализу. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2003.

6] Водопьянов С. К. Дифференцируем ость кривых в категории многообразий Карно // Докл. АН, 2006. Т. 410. ДМ. С. 1-6.

7] Водопьянов С. К. Дифференцируемость отображений многообразий Карно и изоморфизм касательных конусов // Докл. АН, 2006. Т. 411. № 4. С. 439-443.

8] Водопьянов С. К. Дифференцируемоть отображений в геометрии многообразий Карно // Сиб. мат. журн., 2007. Т. 48. № 2. С. 251-271.

9| Водопьянов С. К., Грешное А. В. О дифференцируемое™ отображений пространств Карно - Каратеодори //Докл. АН, 2003. Т. 389. № 5. С. 592-596.

10] Водопьянов С. КИсангулова Д. В. Дифференцируемость отображений пространств Карно — Каратеодори в топологии Соболева и ВУ-топологии // Сиб. мат. журн., 2007. Т. 48. № 1. С. 46-67.

И] Водопьянов С. К., Карманова М. В. Локальная геометрия многообразий Карно в условиях минимальной гладкости // Докл. АН. 2007. Т. 413. № 3. С. 305-311.

12] Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Формула коилощади для гладких контактных отображений многообразий Карно // Докл. АН, 2007. Т. 417. № 5.

13] Карманова М. Б. Метрическая дифференцируемость отображений // Материалы ХЫ1 Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2004. С. 70-73.

14] Карманова М. Б. Метрический дифференциал и его свойства // Труды XL.II Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2004. С. 186-193.

15] Карманова М. Б. Метрическая дифференцируемость отображений и геометрическая теория меры // Докл. АН. 2005. Т. 401. № 4. С. 443-447.

16] Карманова М. Б. Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Материалы ХЫП Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2005. С. 72-75.

17] Карманова М. Б. Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Материалы Межвузовской научной студенческой конференции, Изд-во НГУ, 2005.

18] Карманова М.Б. Теорема о неявной функции и формула коилощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Тезисы конференции «Комплексный анализ и его приложения», посвященной памяти профессора И.П.Митюка, г. Краснодар, Россия, 11 - 17 сентября 2005 г. Изд-во КубГУ, 2005. С. 51-53.

19] Карманова M. Б. Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Докл. АН. 2006. Т. 408. № 1. С. 1-6.

20] Карманова М.Б. Метрическая теорема Радемахера и формула площади для отображений со значениями в метрическом пространстве // Вестник НГУ,

2006. T. VI. Вып. 4. С. 50-69.

21] Карманова М. Б. О метрической геометрии пространств Карно — Каратеодори // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2006. С. 13.

22] Карманова М. Б. Формулы площади и коплощади для отображений классов Соболева со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн.,

2007. Т. 48. №4. С. 778-788.

23] Карманова М. Б. Геометрия пространств Карно — Каратеодори // Материалы XLV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Изд-во НГУ, 2007. С. 101.

24] Кропрод А. С. О функциях двух переменных // Успехи Матем. Наук (N. S.), 1950. Т. 5. С. 24-134.

25] Миклюков В. М. Геометрический анализ. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2007.

26] Решетияк Ю. Г. Некоторые геометрические свойства функций и отображений с обобщенными производными // Сиб. мат. журн., 1966. Т. 7. № 5. С. 886919.

27] Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн., 1997. Т. 38. № 3. С. 567-583.

28] Airault H., Malliavin P. Intégration geometric sur l'espace de Wiener // Bull. Sei. Math., 1988. V. 112. P. 3-52.

29] Agrachev A., Marigo A. Nonholonomic tangent spaces: intrinsic construction and rigid dimensions // Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 2003. V. 9. P. 111120.

30j Ambrosio L. Metric space valued functions of bounded variation // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei. (4), 1990. V. 17. № 3. P. 439-478.

31] Ambrosio L., Kirchheim B. Rectifiable sets in metric and Banach spaces // Math. Ann. 2000. V. 318. P. 527-555.

32] Ambrosio L. and Kirchheim B. Currents in metric spaces // Acta Math., 2000. V. 185. № 1. P. 1-80.

33] Bellaiche A. Tangent Space in Sub-Riemannian Geometry // In: Sub-Riemannian geometry. Basel, Birkhauser Verlag, 1996. P. 1-78.

34] Citti G., Sarti A. A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space // Lecture Notes of Seminario Interdisciplinare di Matematica, 2004. V. 3. P. 145-161.

35] Davies R. O. Increasing sequences of Sets and Hausdorff measure, Proc. London Math. Soc. (3), 1970. V. 20. P. 222-236.

36] Evans L. C., Gariepy R. F. Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, Boca Raton, 1992.

37] Federer H. Curvature measures // Trans. Amer. Math. Soc., 1959. V. 93. P. 418491.

38] Federer H. Geometric Measure Theory. NY: Springer, 1969.

39] Federer H., Fleming W. H. Normal and Integral Currents // Ann. Math., 1960. V. 72. № 2. P. 458-520.

40] Giaquinta M., Modica G., Soucek J. Cartesian currents in the calculus of variations. V. I, II. Springer-Verlag, Berlin, 1998.

41| Gromov M. Carnot-Caratheodory Spaces Seen From Within // In: Sub-Riemannian geometry. Basel, Birkhauser Verlag, 1996. P. 79-318.

42] De Guzman M. Differentiation of integrals in Lecture Notes in Mathematics, V. 481. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1975.

43] Hajlasz P. Sobolev mappings, co-area formula and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry (S. K. Vodopyanov, ed.), Sobolev Institute Press, Novosibirsk, 2000. P. 227-254.

44] Heinonen J. Calculus on Carnot groups // In: Fall school in analysis (Jyvaskyla, 1994). Jyvaskyla, University of Jyvaskyla, 1994. P. 1-32.

45] Heinonen J., Koskela P., Shanmugalingam N., Tyson J. Sobolev classes of Banach space-valued functions and quasiconformal mappings. // J. Anal. Math., 2001. V. 85. P. 87-139.

46] Hladky R. K., Pauls S. D. Minimal surfaces in the roto-translation group with applications to a neuro-biological image completion model // arXiv:math.DG/0509636, 27 Sep. 2005.

47] Jean F. Uniform estimation of sub-riemannian balls // Journal on Dynamical and Controle Systems, 2001. V. 7. №4. P. 473-500.

48] Karmanova Maria Area and coarea formulas on rectifiable sets in metric spaces and Sobolev mappings // Abstracts of the conference «Analysis on Metric Measure Spaces», Bgdlewo, Poland, July 15 - 23, 2004. P. 17.

49] Karmanova M. B. Metric Differentiability of Mappings and its Applications // Тезисы Международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетияка, 23 августа - 2 сентября 2004 г. Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2004. С. 124-126.

50] Karmanova Maria Rectifiable Sets and Coarea Formula for Metric-Valued Mappings // Тезисы Международной конференции, посвященной 100-летию академика С. М. Никольского, 23 - 29 мая 2005 г. Изд-во Математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2005. С. 305.

51] Karmanova Maria Foundations of Geometric Measure Theory in Metric Spaces // Abstracts of International Conference on Complex Analysis and Related Topics, The Xth Romanian-Finnish Seminar (Cluj-Napoca, Romania, August 14 - 19, 2005) Editura GIL Zalau, 2005. P. 33-34.

52] Karmanova Maria Rectifiable Sets and Coarea Formula for Metric-Valued Mappings // Abstracts of the Conference «Complex analysis and Dynamical Systems III» Nahariya, Israel, January 2 - 6, 2006.

53j Maria Karmanova Foundations of Geometric Measure Theory on Metric Structures // International conference «Analysis and Partial differential Equations», dedicated to 75th anniversary of Academician Bogdan Bojarski, Bgdlewo, June 19 - 23, 2006. Abstracts, P. 21.

54] Maria Karmanova Rectifiable Sets and Coarea Formula for Metric-Valued Mappings // International conference «Geometric Analysis and Applications», University of Illinois at Urbana - Champaign, July 12 - 15, 2006. Abstracts.

55] Maria Karmanova Foundations of Geometric Measure Theory on Metric Structures // Abstracts of the International Conference «Global Differential Geometry and Applications», Miinster, Germany, August, 14 - 19, 2006. Abstracts.

56] Maria Karmanova Geometric Measure Theory on Metric Structures // International Congress of Mathematicians 2006: Abstracts of short communications, Poster sessions and Mathematical Software (Madrid, Spain, Aug. 21 - 30, 2006). EMS: 2006. P. 332-333.

57] Maria Karmanova Coarea Formula for Contact Mappings of Carnot Manifolds // Abstracts of the International conference on Analysis and Mathematical Physics «New Trends in Complex and Harmonic Analysis», Voss, Norway, May, 7 - 12.

58] Maria Karmanova Coarea Formula for Contact Mappings of Carnot Manifolds // Abstracts of the International conference «Geometric Analysis and Nonlinear PDE 2007», Bgdlewo, Poland, June, 3 - 10, 2007.

59] Karmanova M. Geometric Measure Theory Formulas on Rectifiable Metric Spaces // Contemporary Mathematics, 2007. V. 424. In: «The Interaction of Analysis and Geometry». P. 103-137.

GOJ M. Karmanova On Geometric Measure Theory on Metric Structures // Abstracts of the Russian conference «Mathematics in the Modern World», Novosibirsk, Russia, September, 17- 23, 2007. P. 118.

61 j Kirchheim B. Rectifiable metric spaces: local structure and regularity of the Hausdorff measure // Proc. AMS., 1994. V. 121. P. 113-123.

02] Lin F. and Yang X. Geometric measure theory —an introduction. Science Press, Beijing a. o., 2002.

63] Magnani V. Elements of Geometric Measure Theory on sub-Riemannian groups // Tesi di Perfezionamento. Pisa: Scuola Normale Superiore (Thesis), 2002.

G4j Magnani V. Blow-up of regular submanifolds in Ileisenberg groups and applications // Cent. Eur. J. Math. 2006. V. 4. №1. P. 82-109.

65] Malliavin P. Stochastic Analysis. Springer, NY, 1997.

66] Maly J. Coarea Integration in Metric Spaces // Proceedings of the Spring School (Prague, 2002), (B. Opic, J. Rakosnik, eds.), Nonlinear analysis, function spaces and applications, vol. 7, Math. Inst, of the Academy of Sciences of Czech Republic, Prague, 2003. P. 142-192.

67] Maly J. Coarea properties of Sobolev functions // Function spaces, differential operators and nonlinear analysis (Teistungen, 2001), Birkhuser, Basel, 2003. P. 371-381.

68] Maly J., Martio 0. Lusin's condition (N) and mappings of the class W1'11 // J. Reine Angew. Math. 1995. V. 458. P. 19-36.

60] Maly J., Swanson D., Ziemer W. P. The Coarea Formula for Sobolev Mappings // Trans. Amer. Math. Soc., 2003. V. 355. № 2. P. 477-492.

70] Margulis G. A., Mostow G. D. The differential of quasi-conformal mapping of a Carnot-Caratheodory spaces // Geometric and Functional Analysis, 1995. V. 5. №2. P. 402-433.

71] Margulis G. A., Mostow G. D. Some remarks on the definition of tangent cones in a Carnot-Caratheodory space // Journal D'Analyse Math., 2000. V. 80. P. 299317.

72j Monti R. and Serra Cassano F. Surface measures in Carnot-Carathedory spaces // Calc. Var. Partial Differential Equations, 2001. V. 13, № 3. P. 339376.

73] Montgomery R. A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesies and Applications. Providence, AMS, 2002.

74] Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math., 1985. V. 155. P. 103-147.

75] Ohtsuka M. Area Formula // Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 1978. V. 6, № 2, part 2. P. 599-636.

76] Pansu P. Geometrie du group d'Hcisenberg // Univ. Paris VII, 1982.

77] Rothschild L. P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Math., 1976. V. 137. P. 247-320.

78] Stein E. M. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton: Princeton Univ. Press, 1970.

79] Vodopyanov S. K. "P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry (Edt.: S. K. Vodopyanov), Sobolev Institute Press, Novosibirsk, 2000. P. 603-670.

80] Vodopyanov S. Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces and Differentiability of Mappings // Contemporary Mathematics, 2007. V. 424. In: «The Interaction of Analysis and Geometry». P. 247-301.

81] Vodopyanov S. K., Ukhlov A. D. Set functions and their applications in the theory of Lebesgue and Sobolev spaces // I: Siberian Adv. Math. 2004. V. 14. № 4. P. 78125; II: Siberian Adv. Math. 2005. V. 15. № 1. P. 91-125.

Заключение