Фотонные топологические состояния, индуцированные орбитальной гибридизацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мазанов Максим

• Мазанов Максим
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Мазанов Максим

Оглавление

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Фотонные топологические изоляторы с парами

вырожденных орбитальных состояний с различной

чётностью по отношению к симметрии инверсии

1.1 Модель сильной связи в случае вырожденных орбитальных мод

1.2 Мультипольная топология в двухмодовой решётке кагоме

1.2.1 Модель, симметрии и зонная структура

1.2.2 Эквивалентная двухсоставная (двухслойная) модель

1.2.3 Топология высокого порядка и стандартные топологические инварианты

1.2.4 Устойчивость топологических угловых состояний к различным типам беспорядка

1.2.5 Квантованный топологический инвариант

1.2.6 Мультипольная природа топологии системы

1.2.7 Подтверждение существования топологических угловых состояний в численном моделировании и микроволновом эксперименте

1.3 Двухмодовая модель Су-Шриффера-Хигера

1.3.1 Механизмы возникновения топологических состояний в одномерных моделях. Понятие о фотонных молекулах

1.3.2 Модель и зонная структура

1.3.3 Топологические инварианты

1.3.4 Сравнение с результатами оптического эксперимента

1.4 Устойчивость двухмодовых моделей к беспорядку в симметричной отстройке мод

1.5 Топологические моды в двухмодовых моделях, локализованные

на дисклинациях

1.6 Выводы

1.7 Положение

1.8 Положение

Глава 2. Фотонный топологический изолятор с парами

вырожденных орбитальных состояний одной чётности по отношению к симметрии инверсии

2.1 Аналитическая модель. Симметрии системы и блоховский спектр

2.2 Топологическая природа системы и эквивалентная модель

2.3 Топологические угловые и краевые состояния. Длина локализации угловых состояний

2.4 Устойчивость топологических состояний к различным типам беспорядка

2.5 Численное моделирование в-(1 модели в микроволновой решётке волноводов

2.6 Модель квантованного переноса псевдоспина на основе в-(1 модели

2.7 Выводы

2.8 Положение

Глава 3. Полностью плоские зоны в решётках с орбитальными

модами различной симметрии

3.1 Полностью плоские зоны в системах с вырожденными орбитальными модами

3.2 Полностью плоские зоны в волноводной решётке графена с антисимметричными модами

3.2.1 Понятие об угле невидимости для антисимметричных мод

3.2.2 Модель решётки графена для антисимметричных мод

3.2.3 Результаты численных расчётов для констант связи и коэффициентов неортогональности

3.2.4 Спектры периодической и конечной решёток

3.2.5 Топологическая природа углового состояния в конечной решётке

3.2.6 Динамика в объёме решётки и осцилляции Ааронова-Бома: сравнение теории и эксперимента

3.2.7 Динамика при возбуждении угла решётки: сравнение теории и эксперимента

3.2.8 Зависимость угла невидимости от рабочей длины волны

3.3 Выводы

3.4 Положение

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Словарь терминов

Список литературы

Приложение А. Основные публикации автора по теме

диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фотонные топологические состояния, индуцированные орбитальной гибридизацией»

Реферат

Общая характеристика диссертации

Актуальность. Настоящая диссертация посвящена топологической фотонике - области физики, изначально возникшей благодаря аналогиям между уравнениями квантовой механики и уравнениями для электромагнитных волн, позволившим перенести и обобщить результаты из топологической физики конденсированного состояния, а также создать ряд принципиально новых топологически защищённых систем.

Исследование топологических состояний в фотонике началось с нахождения фотонных аналогов известных электронных топологических состояний благодаря схожести уравнений электродинамики для классического света и уравнений квантовой механики для электронов в твёрдом теле. Так, первыми были предложены фотонные аналоги квантового эффекта Холла [1] в гиротроп-ных фотонных кристаллах [2; 3]. Такие состояния возникают в запрещённой зоне и поэтому не взаимодействуют с объёмными даже при введении в систему определённых типов беспорядка и дефектов.

Ввиду ограниченной настраиваемости спин-орбитальных взаимодействий в фотонике, для нахождения фотонного аналога Ъ2 топологического изолятора с парами противоположно распространяющихся краевых состояний для электронов с противоположными спинами [4; 5], был использован альтернативный подход, основанный на использовании тонко настраиваемых защищающих топологию кристаллических симметрий решётки, давший начало развитию физики кристаллических топологических изоляторов [6]. Ярким примером фотонного кристаллического топологического изолятора является модель, основанная на деформированной решётке графена [7]. Благодаря своей простоте, эта модель была впоследствии реализована в ряде фотонных платформ в оптическом и микроволновом диапазоне [8—19].

Новым импульсом к развитию топологической фотоники послужило открытие топологических состояний высокого порядка (ТСВП) в двумерных и трёхмерных структурах, локализованных в углах и углах или рёбрах структуры, соответственно [20]. Хотя отдельные системы, поддерживающие ТСВП, были предложены в 2010-х годах, это направление начало активно развиваться

в 2017-м году после теоретического предсказания квадрупольных топологических изоляторов [21; 22], и получило новый импульс в 2019-м году после построения классификации ТСВП, существование и устойчивость которых обеспечивается симметрией кристаллической решётки [6]. Благодаря высокой настраиваемости, простоте изготовления и техники измерения для фотонных платформ на основе оптических эванесцентно связанных волноводов, большинство экспериментальных демонстраций ТСВП были осуществлены именно на таких платформах [13; 23; 24].

Современные исследования ТСВП направлены на поиск обобщений с дополнительными степенями свободы (таких как спин в теории конденсированного состояния и поляризация света в фотонных системах) [25—30], а также на нахождение фундаментально новых способов получения ТСВП. Среди последних, в частности, плодотворным оказался способ, использующий системы с бианизотропным откликом [31; 32].

Параллельно с фундаментальными работами в этой области, появился также целый ряд практических работ, подчёркивающих актуальность топологической фотоники: формирование локализованных состояний, распространяющихся без рассеяния на дефектах и неоднородностях структуры на частотах или с волновыми числами, устойчивыми к определённым типам беспорядка и неточностям в изготовлении структуры [33; 34]. Высокая локализация и когерентность топологических краевых состояний, а также отсутствие связи с объёмными состояниями, позволили найти им применения в интегральной оптике при разработке защищённых от беспорядка волноводов, переключателей, делителей, фильтров, логических элементов и программируемых фотонных чипов [35—39], а также в разработке лазеров на топологических состояниях с высокой степенью монохроматичности [40—45].

Недавние теоретические [46; 47] и экспериментальные [48; 49] работы продемонстрировали топологические состояния в простых одномерных цепочках резонаторов или волноводов с вырожденными орбитальными модами. Важно отметить, что, в отличие от стандартных кристаллических топологических изоляторов, такие модели используют простую однородную решётку, а защита топологических краевых состояний в них обусловлена не только симметриями решётки, но и симметриями орбитальных мод. В связи с этими результатами, возникает мотивация для исследования возможностей использования гибридизации орбитальных мод и в двумерных системах для реализации известных

и новых типов топологических состояний высокого порядка. Кроме того, добавление новых орбитальных степеней свободы может позволить реализовать когерентный фазо-чувствительный контроль таких состояний [48], а также создаёт новые параметры для полностью оптического управления и гибкой перестройки системы между различными топологическими фазами. Несмотря на очевидные преимущества систем с топологическими состояниями, возникающими за счет орбитальных степеней свободы, до сих пор такие возможности остаются малоизученными.

Следуя аналогии с одномерной двухмодовой моделью [46; 47], также представляется возможным создание систем с полностью плоскими зонами при тонкой настройке параметров связи орбитальных мод, а также при определённом сочетании геометрии решётки и симметрии орбитальных мод. В случае полностью плоских зон возможно наблюдение редкого явления в двумерных решётках - так называемой локализации Ааронова-Бома, при которой энергия любого локального возмущения не может дифрагировать на сколь угодно большое расстояние, а остаётся локализованной в определенной ограниченной области решётки, зависящей от начального состояния. Хотя это сопутствующее явление не носит топологический характер, оно представляет собой альтернативный способ локализации, дополнительный к топологическим состояниям в таких системах. Ранее фотонные системы с почти полностью плоскими зонами были предсказаны в одномерных оптических решётках [50; 51], в то время как двумерные аналоги были предложены только в твердотельных системах для очень специальных решёток типа ромбической мозаики во внешнем магнитном поле [52]. При этом, метод, использующий орбитальные моды с определёнными симметриями, не использует внешние магнитные поля и поэтому может быть основан на более простых решётках.

Цель исследования. Целью настоящей диссертации является разработка механизмов создания топологических состояний и плоских зон в одномерных и двумерных решётках туннельно связанных волноводов, использующих вырождение волноводных орбитальных мод различной симметрии.

Научные задачи.

1. Исследование возможности создания топологических фаз высокого порядка в геометрически недеформированных или деформированных двумерных

решётках с вырождением орбитальных мод одной или различной чётности по отношению к инверсии.

2. Нахождение топологических инвариантов предложенных в Задаче 1 систем, а также типов беспорядка, к которым существующие в них топологические состояния наиболее устойчивы.

3. Построение численных моделей, подтверждающих реализуемость моделей, предложенных в Задаче 1, в волноводных решётках и существование в них локализованных угловых или краевых топологических состояний. Исследование возможности осуществления когерентного контроля топологических состояний.

4. Исследование взаимодействия механизмов геометрической димери-зации и орбитальной гибридизации для получения топологических фаз с удвоенным числом краевых состояний.

5. Предложение и исследование двумерных моделей с орбитальной гибридизацией или низкосимметричными орбитальными состояниями, имеющих топологические угловые состояния, сосуществующие с полностью плоскими зонами.

Методы исследования.

1. Модели сильной связи (теория связанных мод), описывающие в главном приближении взаимодействие эванесцентно связанных волноводов, и позволяющие вычислить собственные моды массивов волноводов. Для лучшего соответствия с экспериментальными данными, учитывались как взаимодействия ближайших соседей, так и связи дальних связей и поправки, связанные с неортогональностью мод в соседних волноводах.

2. Метод расчёта фазы Зака и построения центров Ванье путём вычисления петлей Вильсона для вычисления топологических инвариантов одномерных моделей.

3. Метод расчёта топологических инвариантов в двумерных решётках путём построения положений центров Ванье благодаря вычислению петлей Вильсона для фотонных топологических изоляторов с объёмной поляризацией, а также вложенных петлей Вильсона для фотонных топологических изоляторов с объёмными мультипольными моментами.

4. Метод расчёта топологических инвариантов ТСВП через симметрий-ные свойства блоховских волновых функций в точках высокой симметрии зоны Бриллюэна.

5. Метод расчёта эффективного углового заряда как топологического инварианта в конечных одномерных и двумерных решётках.

6. Метод конечных элементов в программном пакете Comsol Multiphysics, позволяющий моделировать собственные моды волноводных решёток, распространение электромагнитных волн вдоль осей волноводов, а также моды волноводных димеров для вычисления констант связи в модели связанных мод.

7. Для вычисления спектров решёток, топологических инвариантов, петель Вильсона, влияния беспорядка, а также обработки экспериментальных данных использовалось численное моделирование в программном пакете Wolfram Mathematica.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. В однородной решётке кагоме из эванесцентно связанных волноводов с вырожденными модами, преобразующимися по представлениям А и В группы вращательной симметрии С6, возникает мультипольная топологическая фаза высокого порядка, проявляющаяся в угловых состояниях с устойчивостью к беспорядку в симметричной отройке мод. При этом возбуждение угловых состояний является селективным и происходит только при расположении вспомогательного одномодового волновода в направлении азимульного максимума профиля топологического состояния в угловом волноводе решётки.

2. Сочетание механизмов геометрической димеризации и взаимодействия вырожденных мод в одномерной оптической волноводной решётке с вырождением чётной и нечётной мод (по отношению к инверсии) позволяет управлять переходами между двумя топологическими фазами, в одной из которых на одном краю существует не более одного краевого состояния, а в другой топологические краевые состояния возникают парами. Управление топологическими переходами осуществляется за счет изменения геометрических параметров решётки и длины волны лазера, возбуждающего структуру.

3. В квадратной решётке эванесцентно связанных волноводов с вырожденными модами, преобразующимися по представлениям А и В группы

вращательной симметрии С4, возникает топологическая фаза высокого порядка с парами угловых состояний, локализованных на каждом из углов решётки. Такая особенность топологической фазы позволяет транспортировать орбитальные состояния без переноса энергии по решётке в направлении, перпендикулярном оси волноводов за счет адиабатической модуляции параметров волноводов вдоль их осей.

4. Подбор взаимного расположения волноводов с нечётными по отношению к симметрии инверсии орбитальными модами в решётке графена позволяет получить полностью плоские зоны, сосуществующие с топологическими угловыми состояниями. При этом оптическая реализация такой решётки позволяет осуществить транспорт произвольного начального распределения светового поля без дифракции в направлении, перпендикулярном оси волноводов.

Научная новизна.

1. Предсказана фотонная топологическая фаза высокого порядка нового мультипольного типа в волноводной решётке кагоме с вырожденными модами, преобразующимися по представлениям А и В группы вращательной симметрии С6. Показана несводимость данной модели к любым известным дипольным примитивным генераторам ТИВП, а также доказана мультипольная природа топологии, уникальная для С3- и С^-симметричных систем. На основе данной модели также впервые продемонстрировано селективное возбуждение фотонных топологических угловых состояний благодаря их гибридной природе.

2. Предсказана новая топологическая фаза света в одномерной решётке с парами краевых состояний на каждом краю решётки, полученная благодаря сочетанию механизмов межорбитального взаимодействия и геометрической димеризации. Предложен способ переключения между двумя топологическими фазами и тривиальной фазой с парами краевых состояний, одиночными краевыми состояниями и без краевых состояний на каждом краю решётки, соответственно, путём изменения длины волны возбуждающего излучения. Также показана устойчивость констант распространения топологических краевых состояний к симметричной отстройке мод и к беспорядку в константах связей волноводных мод.

3. Показана устойчивость констант распространения топологических угловых состояний к новому типу беспорядка, а именно в симметричной отстройке

вырожденных мод, в ряде одномерных и двумерных моделей с вырождением орбитальных мод различной чётности относительно симметрии инверсии.

4. Предсказана псевдоспиновая фотонная топологическая фаза высокого порядка с парами угловых состояний на каждом углу квадратной решётки с вырожденными модами, преобразующимися по представлениям А и В группы вращательной симметрии С4. Предложен метод переноса орбитального псевдоспина между противоположными углами решётки без переноса интенсивности за счёт модуляции сечений волноводов и расстояний между ними вдоль их осей.

5. В двумерной оптической решётке впервые предсказано появление фазы с полностью плоскими блоховскими зонами, сосуществующей с топологическими угловыми состояниями. Метод получения полностью двумерных плоских зон заключается в использовании тонкой настройки взаимного расположения волноводов с нечётными относительно симметрии инверсии модами в анизотропной решётке графена. В отличие от известных моделей полностью плоских зон в двумерных электронных решётках в магнитном поле, предложенная фотонная модель является инвариантной к обращению времени.

Теоретическая значимость. Результаты, полученные в данной работе, систематически раскрывают фундаментальный вопрос о топологических состояниях в решётках из мета-атомов с несколькими орбитальными модами различной симметрии. В частности, в работе выявлены закономерности возникновения и типы топологических фаз и краевых состояний в таких решётках, а также определена устойчивость краевых состояний к специфическим для таких решёток типов беспорядка.

Практическая значимость. Практическая значимость работы связана с потенциальным использованием предложенных волноводных топологических изоляторов, в частности оптических волноводных решёток микронных размеров, в качестве устойчивых к беспорядку элементов перспективных фотонных чипов - делителей, логических элементов, элементов бездифракционного переноса света и других оптически управляемых схем. Разработанные модели также могут быть применены при создании новых типов топологических лазеров.

Достоверность. Достоверность полученных результатов подтверждается хорошим соответствием теоретических предсказаний результатам микроволновых

и оптических экспериментов, а также результатам численного моделирования. В частности, в качестве подтверждающих выступают эксперимент с микроволновой волноводной решёткой кагоме, а также оптические эксперименты для одномерных решёток с вырождением чётной и нечётной по отношению к инверсии мод и двумерных решёток типа графена с нечётными по отношению к инверсии модами.

Аппробация работы. Результаты диссертации были представлены на 9 всероссийских и международных конференциях, семинарах и школах:

Доклады на научных конференциях:

1. M. Mazanov et al., "Realizing multipolar higher-order topology in a multimode photonic waveguide lattice" // International Conference "Days on Diffraction 2023", ITMO University.

2. M. Mazanov et al., "Higher-order topology and fully flat bands in multimode photonic time-reversal-invariant lattices" // Light Conference 2023, Changchun, China.

3. M. Mazanov et al., "Higher-order Topology and Fully Flat Bands in Multimode Photonic Lattices" // Photonics and Electromagnetics Research Symposium PIERS 2024, Chengdu, China.

4. M. Mazanov et al., "Engineering orbital topological states in the optical photonic molecule lattice" // ISCTP (International summer conference on theoretical physics), ITMO University, 2024.

5. M. Mazanov et al., "Two-dimensional flat bands in p-mode optical waveguide lattice" // FLAMN-2025 (International Symposium "Fundamentals Of Laser Assisted Micro- And Nanotechnologies"), ITMO University, 2025.

6. M. Mazanov et al., "Flat bands in anisotropic p-mode honeycomb lattice" // Petersburg Quantum Weeks, ITMO University, 2025.

Доклады на научных семинарах и школах:

1. "Топологические фазы высокого порядка с орбитальной гибридизацией", Низкоразмерный семинар ФТИ им. А.Ф. Иоффе, 2022.

2. "Фотонные топологические изоляторы с орбитальной гибридизацией", XXXV Всероссийская Школа-семинар «Волны-2024» МГУ, физический факультет, кафедра нанофотоники, 2024.

3. "Топологические фазы и полностью плоские зоны, индуцированные орбитальной гибридизацией", Теоретический семинар кафедры теоретической физики МФТИ им. Л.Д.Ландау, 2025.

Личный вклад автора. Результаты, представленные в диссертации, получены лично автором, или с определяющим вкладом автора, в том числе:

- поиск моделей волноводных решёток (подбор симметрии решётки и орбитальных мод её элементов), поддерживающих топологические состояния высокого порядка новых типов;

- построение аналитических моделей для волноводных решёток с орбитальным вырождением, включая модель квантованного переноса псевдоспина;

- вычисление топологических инвариантов одномерных и двумерных моделей, включая вычисление методом петель Вильсона, вложенных петель Вильсона и методом анализа симметрийных свойств эффективной волновой функции;

- построение численных моделей для одномерной решётки с вырождением чётной и нечётной по отношению к инверсии мод (положение 2), квадратной решётки с вырождением мод, преобразующихся по представлениям А и В группы вращательной симметрии С4 (положение 3), решётки графена с дипольными модами (положение 4);

- анализ устойчивости полученных топологических моделей к различным типам беспорядка;

- анализ данных оптического эксперимента для одномерной решётки с вырождением чётной и нечётной мод (положение 2), сопоставление экспериментальных данных с теоретическими результатами (положения 2, 4).

Личный вклад автора также выражался в активном участии в постановке задач, поиске и анализе литературы, позволяющем оценить новизну исследования и поместить его в необходимый контекст.

В основу диссертации входят 7 работ. При определяющем участии автора были подготовлены тексты рукописей 6 работ, также автор принимал участие в подготовке всех материалов седьмой работы.

Выносимые на защиту научные положения отражают личный вклад соискателя.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 238 страниц, включая 80 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 124 наименования.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Мазанов Максим

Заключение

В данной работе были исследованы механизмы возникновения топологических краевых и угловых состояний в одномерных и двумерных волноводных решетках с вырождением пар орбитальных мод, устойчивость таких состояний к различным типам беспорядка, а также характеризующие такие фазы инварианты. Кроме того, были предложены механизмы возникновения полностью плоских зон, сосуществующих с топологическими угловыми состояниями, в решетках с вырождением мод и в гексагональной решетке с антисимметричными модами. Далее приводятся основные результаты:

1. Использование двух вырожденных мод, преобразующихся по представлениям А и В группы вращательной симметрии С6, в волноводной решетке кагоме позволяет создать топологическую фазу высокого порядка мульти-польной природы, уникальной для систем с симметрией С3 и С6. Вследствие различной четности вырожденных мод, взаимодействие мод различной симметрии в соседних волноводах играет роль, аналогичную спин-орбитальному взаимодействию в физике конденсированного состояния, и открывает топологическую запрещенную зону. В конечном образце решётки вида шестиугольника в середине запрещенной зоны возникают локализованные на углах топологические состояния, составленные из определенных линейных комбинаций двух орбитальных мод, что позволяет осуществить их когерентное фазочув-ствительное возбуждение с помощью вспомогательного волновода. Показана устойчивость угловых состояний к беспорядку в константах связи, а также к беспорядку в симметричной отстройке вырожденных мод. В отсутствие нетривиальных дипольных инвариантов и однозначно определенных центров Ванье, найден квантованный топологический инвариант - эффективный угловой заряд. Результаты находят подтверждение в эксперименте с керамическими волноводами на частоте порядка 8 ГГц.

2. В одномерной оптической волноводной решетке с вырожденными модами различной чётности по отношению к симметрии инверсии сочетание механизмов геометрической димеризации и взаимодействия мод позволяет создать две топологические фазы. В одной из таких фаз на заданном краю существует не более одного краевого состояния, а в другой топологические краевые состояния возникают парами. Было показано, что переходы между двумя

топологическими и тривиальной фазами можно осуществить путем изменения димеризации решётки и длины волны лазера, возбуждающего структуру. Продемонстрирована защита краевых состояний не только к беспорядку в связях, но и в симметричной отстройке мод. Результаты подтверждаются в эксперименте с оптическими волноводами.

3. Использование двух вырожденных мод, преобразующихся по представлениям А и В группы вращательной симметрии С4, в квадратной волноводной решетке с геометрической димеризацией позволяет создать топологическую фазу высокого порядка с парами угловых состояний, локализованных на каждом из углов решётки. Показано, что существование пар топологических краевых состояний находит объяснение в эквивалентной модели их двух слабо взаимодействующих подмоделей, являющихся известным топологическим изолятором высокого порядка с одним локализованным состоянием на каждом углу решётки. Угловые состояния проявляют устойчивость к беспорядку в константах связи и взаимодействиям дальних соседей. Результаты находят подтверждение в численном моделировании. На основе данной модели также был предложен механизм переноса орбитального псевдоспина без переноса энергии по решетке в поперечном направлении, использующий адиабатическую модуляцию параметров волноводов вдоль их оси.

4. Анизотропная гексагональная решётка из эллиптических волноводов, поддерживающих вертикальную антисимметричную (дипольную) моду, обладает практически полностью плоскими блоховскими зонами, соответствующими модам изолированных пар волноводов. В отличие от решеток с полностью плоскими зонами, основанные на механизме взаимодействия вырожденных пар орбитальных мод, данная система требует тонкой натройки лишь одного параметра- геометрической анизотропии решетки. Показано, что фаза с полностью плоскими зонами возникает при анизотропии решетки, соответствующей углу невидимости, при котором константа диагонального взаимодействия соседних мод равна нулю. При этом, явление угла невидимости носит универсальный характер, поскольку следует из соображений непрерывности константы связи. Уточненная теоретическая и численная модели предсказывают существование практически полностью плоских зон, а также более трёх осцилляций Ааро-нова-Бома внутри практически изолированной пары волноводов при начальном возбуждении решётки в одном волноводе в её объёме и длине решетки 7 см на рабочей длине волны 730 нм, что сопоставимо с результатом для одномерных

оптических моделей с плоскими зонами. Система также поддерживает хорошо локализованные топологические угловые состояния, защищённые инвариантом объемной поляризации, предоставляющие, наряду с объёмными зонами с малой дисперсией, дополнительный канал для переноса оптических состояний практически без поперечной дифракции. Результаты подтверждаются в оптическом эксперименте.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мазанов Максим, 2025 год

Список литературы

1. 40 years of the quantum Hall effect / K. von Klitzing [и др.] // Nat. Rev. Phys. — 2020. — Авг. — Т. 2. — С. 397—401.

2. Haldane F. D. M, Raghu S. Possible Realization of Directional Optical Waveguides in Photonic Crystals with Broken Time-Reversal Symmetry // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Янв. — Т. 100, № 1. — С. 013904.

3. Raghu S., Haldane F. D. M. Analogs of quantum-Hall-effect edge states in photonic crystals // Phys. Rev. A. — 2008. — Сент. — Т. 78, № 3. — С. 033834.

4. Kane C. L, Mele E. J. Z2 Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Сент. — Т. 95, вып. 14. — С. 146802. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.95.146802.

5. Kane C. L, Mele E. J. Quantum Spin Hall Effect in Graphene // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Нояб. — Т. 95, № 22. — С. 226801.

6. Benalcazar W. A., Li T, Hughes T. L. Quantization of fractional corner charge in Cn-symmetric higher-order topological crystalline insulators // Phys. Rev. B. — 2019. — Июнь. — Т. 99, вып. 24. — С. 245151. — URL: https : / /journals . aps . org/prb/abstract/ 10 . 1103/PhysRevB . 99 . 245151.

7. Flat bands and Wigner crystallization in the honeycomb optical lattice / C. Wu [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Авг. — Т. 99, вып. 7. — С. 070401. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.99.070401.

8. Crystalline metamaterials for topological properties at subwavelength scales / S. Yves [и др.] // Nature Communications. — 2017. — Июль. — Т. 8, № 1. — С. 16023.

9. Topological LC-circuits based on microstrips and observation of electromagnetic modes with orbital angular momentum / Y. Li [и др.] // Nature Communications. — 2018. — Нояб. — Т. 9, № 1. — С. 4598.

10. Visualization of a Unidirectional Electromagnetic Waveguide Using Topological Photonic Crystals Made of Dielectric Materials / Y. Yang [и др.] // Physical Review Letters. — 2018. — Май. — Т. 120, № 21. — С. 217401.

11. Higher-order quantum spin Hall effect in a photonic crystal / B. Xie [и др.] // Nat. Commun. — 2020. — Июль. — Т. 11, № 3768. — С. 1—8.

12. A topological quantum optics interface / S. Barik [и др.] // Science. — 2018. — Февр. — Т. 359, № 6376. — С. 666—668.

13. Topological protection of photonic mid-gap defect modes / J. Noh [и др.] // Nat. Photonics. — 2018. — Июль. — Т. 12. — С. 408—415.

14. Far-field probing of leaky topological states in all-dielectric metasurfaces / M. A. Gorlach [и др.] // Nature Communications. — 2018. — Март. — Т. 9, № 1. — С. 909.

15. Third-Harmonic Generation in Photonic Topological Metasurfaces / D. Smirnova [и др.] // Physical Review Letters. — 2019. — Сент. — Т. 123, № 10. — С. 103901.

16. Direct observation of topological edge states in silicon photonic crystals: Spin, dispersion, and chiral routing / N. Parappurath [и др.] // Science Advances. —

2020. — Март. — Т. 6, № 10. — eaaw4137.

17. Generation of helical topological exciton-polaritons / W. Liu [и др.] // Science. — 2020. — Окт. — Т. 370, № 6516. — С. 600—604.

18. Experimental observation of topological Z2 exciton-polaritons in transition metal dichalcogenide monolayers / M. Li [и др.] // Nature Communications. — 2021. — Июль. — Т. 12, № 1. — С. 4425.

19. Z2 Photonic Topological Insulators in the Visible Wavelength Range for Robust Nanoscale Photonics / W. Liu [и др.] // Nano Lett. — 2020. — Февр. — Т. 20, № 2. — С. 1329—1335.

20. Higher-order band topology / B. Xie [и др.] // Nature Reviews Physics. —

2021. — Авг. — Т. 3, вып. 7. — С. 520. — URL: https://doi.org/10.1038/ s42254-021-00323-4.

21. Benalcazar W. A., Bernevig B. A., Hughes T. L. Electric multipole moments, topological multipole moment pumping, and chiral hinge states in crystalline insulators // Phys. Rev. B. — 2017. — Дек. — Т. 96, вып. 24. — С. 245115. — URL: https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB. 96.245115.

22. Benalcazar W. A., Bernevig B. A., Hughes T. L. Quantized Electric Multipole Insulators // Science. — 2017. — Т. 357, вып. 6346. — С. 61. — URL: https://www.science.org/doi/abs/10.1126/science.aah6442.

23. Photonic quadrupole topological insulator using orbital-induced synthetic flux / J. Schulz [и др.] // Nat. Commun. — 2022. — Нояб. — Т. 13, № 6597. — С. 1—6.

24. Topological Photonic States in Waveguide Arrays / J. Kang [и др.] // Adv. Phys. Res. — 2023. — Март. — Т. 2, № 3. — С. 2200053.

25. Realization of photonic p-orbital higher-order topological insulators / Y. Zhang [и др.] // eLight. — 2023. — Дек. — Т. 3, № 1. — С. 1—9.

26. Observation of Photonic Orbital Corner States in Higher-order Topological Insulators / D. Bongiovanni [и др.] // Optica Publishing Group. — 2022. — Июль. — NpTh2F.6.

27. Fractional corner charges in spin-orbit coupled crystals / F. Schindler [и др.] // Phys. Rev. Research. — 2019. — Нояб. — Т. 1, вып. 3. — С. 033074. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevResearch.1.033074.

28. Gladstein Gladstone R., Jung M, Shvets G. Spin-Polarized Fractional Corner Charges and Their Photonic Realization // Phys. Rev. Lett. — 2022. — Янв. — Т. 128, № 2. — С. 026801.

29. Pseudospin induced topological corner state at intersecting sonic lattices / Z. Zhang [и др.] // Phys. Rev. B. — 2020. — Июнь. — Т. 101, № 22. — С. 220102.

30. Dual-Polarization Second-Order Photonic Topological Insulators / Y. Chen [и др.] // Phys. Rev. Appl. — 2021. — Март. — Т. 15, № 3. — С. 034053.

31. Reconfigurable Topological States in Arrays of Bianisotropic Particles / Z. He [и др.] // ACS Photonics. — 2022. — Июль. — Т. 9, № 7. — С. 2322—2326.

32. Bobylev D. A., Smirnova D. A., Gorlach M. A. Photonic Topological States Mediated by Staggered Bianisotropy // Laser Photonics Rev. — 2021. — Февр. — Т. 15, № 2. — С. 1900392.

33. Photonic topological insulators / A. B. Khanikaev [и др.] // Nat. Mater. — 2013. — Март. — Т. 12. — С. 233—239.

34. Lu L, Joannopoulos J. D., Soljacic M. Topological photonics // Nat. Photonics. — 2014. — Нояб. — Т. 8. — С. 821—829.

35. Robust optical delay lines with topological protection / M. Hafezi [и др.] // Nat. Phys. — 2011. — Нояб. — Т. 7. — С. 907—912.

36. Fast topological pumps via quantum metric engineering on photonic chips / W. Song [и др.] // Sci. Adv. — 2024. — Июль. — Т. 10, № 30.

37. A programmable topological photonic chip / T. Dai [и др.] // Nat. Mater. — 2024. — Июль. — Т. 23. — С. 928—936.

38. A programmable platform for photonic topological insulators / S. Love [и др.] // Nanophotonics. — 2025. — Февр. — Т. 14, № 3. — С. 367—373.

39. On-chip topological nanophotonic devices / C.-C. Lu [и др.] // Chip. —

2022. — Дек. — Т. 1, № 4. — С. 100025.

40. Li Z, Luo X.-W, Gu Q. Topological on-chip lasers // APL Photonics. —

2023. — Июль. — Т. 8, № 7.

41. Topological insulator laser: Theory / G. Harari [и др.] // Science. — 2018. — Февр. — Т. 359, № 6381.

42. Topological insulator laser: Experiments / M. A. Bandres [и др.] // Science. — 2018. — Февр. — Т. 359, № 6381.

43. Coherent Topological Polariton Laser / T. H. Harder [и др.] // ACS Photonics. — 2021. — Май. — Т. 8, № 5. — С. 1377—1384.

44. Lasing in topological edge states of a one-dimensional lattice / P. St-Jean [и др.] // Nat. Photonics. — 2017. — Окт. — Т. 11. — С. 651—656.

45. Multipolar lasing modes from topological corner states / H.-R. Kim [и др.] // Nat. Commun. — 2020. — Нояб. — Т. 11, № 5758. — С. 1—8.

46. Caceres-Aravena G., Torres L. E. F. F., Vicencio R. A. Topological and flat-band states induced by hybridized linear interactions in one-dimensional photonic lattices // Phys. Rev. A. — 2020. — Авг. — Т. 102, вып. 2. — С. 023505. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.102. 023505.

47. Savelev R. S., Gorlach M. A. Topological states in arrays of optical waveguides engineered via mode interference // Phys. Rev. B. — 2020. — Окт. — Т. 102, вып. 16. — С. 161112. — URL: https : //journals . aps . org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.102.161112.

48. Coherent Control of Topological States in an Integrated Waveguide Lattice / A. O. Mikhin [и др.] // Nano Letters. — 2023. — Март. — Т. 23, № 6. — С. 2094—2099.

49. Gorbach A. V., Beer J., Souslov A. Topological edge states in equidistant arrays of lithium niobate nano-waveguides // Opt. Lett. — 2023. — Апр. — Т. 48, № 8. — С. 1982—1985. — URL: https : / /opg. optica. org/ol/ abstract.cfm?URI=ol-48-8-1982.

50. Topological edge states and Aharanov-Bohm caging with ultracold atoms carrying orbital angular momentum / G. Pelegrl [и др.] // Phys. Rev. A. — 2019. — Февр. — Т. 99, № 2. — С. 023613.

51. Experimental Observation of Aharonov-Bohm Cages in Photonic Lattices / S. Mukherjee [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2018. — Авг. — Т. 121, вып. 7. — С. 075502.

52. Vidal J., Mosseri R., Dou got B. Aharonov-Bohm Cages in Two-Dimensional Structures // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Дек. — Т. 81, вып. 26. — С. 5888— 5891. — URL: https : //link. aps . org/doi/10 . 1103/PhysRevLett. 81. 5888.

53. King-Smith R. D., Vanderbilt D. Theory of polarization of crystalline solids // Phys. Rev. B. — 1993. — Янв. — Т. 47, № 3. — С. 1651—1654.

54. Zak J. Berry's phase for energy bands in solids // Phys. Rev. Lett. — 1989. — Июнь. — Т. 62, № 23. — С. 2747—2750.

55. Marzari N., Vanderbilt D. Maximally localized generalized Wannier functions for composite energy bands // Phys. Rev. B. — 1997. — Нояб. — Т. 56, № 20. — С. 12847—12865.

56. Maximally localized Wannier functions: Theory and applications / N. Marzari [и др.] // Rev. Mod. Phys. — 2012. — Окт. — Т. 84, № 4. — С. 1419—1475.

57. Second-order photonic topological insulator with corner states / B.-Y. Xie [и др.] // Phys. Rev. B. — 2018. — Нояб. — Т. 98, вып. 20. — С. 205147. — URL: https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB. 98.205147.

58. Photonic axion insulator / G.-G. Liu [и др.] // Science. — 2025. — Янв. — Т. 387, № 6730. — С. 162—166.

59. Su W. P., Schrieffer J. R., Heeger A. J. Solitons in Polyacetylene // Phys. Rev. Lett. — 1979. — Июнь. — Т. 42, вып. 25. — С. 1698—1701. — URL: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett. 42. 1698.

60. Rajeevan G., Mukherjee S. Nonlinear switch and spatial lattice solitons of photonic s-p orbitals // Opt. Lett. — 2025. — Янв. — Т. 50, № 2. — С. 297— 300.

61. Acoustic Higher-Order Topological Insulators Induced by Orbital-Interactions / F. Gao [и др.] // Adv. Mater. — 2024. — Июнь. — Т. 36, № 23. — С. 2312421.

62. Monoatomic orbital-based one-dimensional topological crystalline insulator / G. Liu [и др.] // Phys. Rev. B. — 2024. — Дек. — Т. 110, № 21. — С. 214110.

63. Topological Maj orana States in Zigzag Chains of Plasmonic Nanoparticles / A. Poddubny [и др.] // ACS Photonics. — 2014. — Янв. — Т. 1, № 2. — С. 101—105.

64. Leykam D., Andreanov A., Flach S. Artificial flat band systems: from lattice models to experiments // Advances in Physics: X. — 2018. — Т. 3, № 1. — С. 1473052.

65. Leykam D., Flach S. Perspective: Photonic flatbands // APL Photonics. — 2018. — Июль. — Т. 3, № 7. — С. 070901.

66. Vicencio Poblete R. A. Photonic flat band dynamics // Advances in Physics: X. — 2021. — Янв. — Т. 6, № 1. — С. 1878057. — URL: https : / /www . tandfonline . com/doi/full/10 . 1080/23746149 . 2021 . 1878057 (дата обр. 21.06.2024).

67. Flat band fine-tuning and its photonic applications / C. Danieli [и др.] // Nanophotonics. — 2024. — Т. 13, № 21. — С. 3925—3944. — URL: https : //doi.org/10.1515/nanoph-2024-0135.

68. Artificial gauge field switching using orbital angular momentum modes in optical waveguides / C. Jorg [и др.] // Light Sci. Appl. — 2020. — Авг. — Т. 9, № 150. — С. 1—7.

69. Controlled Transport Based on Multiorbital Aharonov-Bohm Photonic Caging / G. Caceres-Aravena [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2022. — Июнь. — Т. 128, № 25. — С. 256602.

70. Compact Topological Edge States in Flux-Dressed Graphenelike Photonic Lattices / G. Caceres-Aravena [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2024. — Сент. — Т. 133, вып. 11. — С. 116304. — URL: https://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevLett.133.116304.

71. Dresselhaus/Dresselhaus/Jorio. Group Theory. — Berlin, Germany : Springer, 2008. — URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-32899-5.

72. Multipole higher-order topology in a multimode lattice / M. Mazanov [и др.] // Phys. Rev. B. — 2024. — Май. — Т. 109, № 20. — С. L201122.

73. Ren S., Souza I., Vanderbilt D. Quadrupole moments, edge polarizations, and corner charges in the Wannier representation // Physical Review B. — 2021. — Янв. — Т. 103, № 3. — С. 035147.

74. Photonic Molecule Approach to Multiorbital Topology / M. Mazanov [и др.] // Nano Lett. — 2024. — Апр. — Т. 24, № 15. — С. 4595—4601.

75. Rodionenko K., Mazanov M, Gorlach M. A. Crafting crystalline topological insulators via accidental mode degeneracies // Phys. Rev. B. — 2024. — Апр. — Т. 109, № 15. — С. 155135.

76. Mazanov M, Gorlach M. A. Tailoring higher-order topological phases via orbital hybridization // Phys. Rev. B. — 2022. — Май. — Т. 105, № 20. — С. 205117.

77. Fu L, Kane C. L. Time reversal polarization and a Z2 adiabatic spin pump // Phys. Rev. B. — 2006. — Нояб. — Т. 74, вып. 19. — С. 195312. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.74.195312.

78. Second-order topological corner states with ultracold atoms carrying orbital angular momentum in optical lattices / G. Pelegri [и др.] // Phys. Rev. B. — 2019. — Нояб. — Т. 100, вып. 20. — С. 205109. — URL: https://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevB.100.205109.

79. Creutz M. End States, Ladder Compounds, and Domain-Wall Fermions // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Сент. — Т. 83, № 13. — С. 2636—2639.

80. Longhi S. Aharonov-Bohm photonic cages in waveguide and coupled resonator lattices by synthetic magnetic fields // Opt. Lett. — 2014. — Окт. — Т. 39, № 20. — С. 5892—5895.

81. Higher-Order Topology and Fully Flat Bands in Multimode Photonic Time-Reversal-Invariant Lattices / M. Mazanov [и др.] // 2023 Light Conference. — IEEE, 2023. — С. 11—16.

82. Observation of Invisibility Angle and Flat Band Physics in Dipolar Photonic Lattices / D. Román-Cortes [и др.] // Nano Lett. — 2025. — Март. — Т. 25, № 11. — С. 4291—4297.

83. Hasan M. Z, Kane C. L. Colloquium: Topological insulators // Rev. Mod. Phys. — 2010. — Нояб. — Т. 82, № 4. — С. 3045—3067.

84. Wannier G. H. Dynamics of Band Electrons in Electric and Magnetic Fields // Rev. Mod. Phys. — 1962. — Окт. — Т. 34, № 4. — С. 645—655.

85. Xiao D., Chang M.-C, Niu Q. Berry phase effects on electronic properties // Rev. Mod. Phys. — 2010. — Июль. — Т. 82, № 3. — С. 1959—2007.

86. Coupled-mode theory of optical waveguides / H. Haus [и др.] //J. Lightwave Technol. — 1987. — Янв. — Т. 5, № 1. — С. 16—23.

87. Experimental study of non-orthogonal modes in tight-binding lattices / L. J. Maczewsky [и др.] // 2019 Conference on Lasers and Electro-Optics (CLEO). — IEEE, 2019. — С. 05—10.

88. Geometric control of next-nearest-neighbor coupling in evanescently coupled dielectric waveguides / J. Schulz [и др.] // Opt. Express. — 2022. — Март. — Т. 30, № 6. — С. 9869—9877.

89. Acoustic higher-order topological insulator on a kagome lattice / H. Xue [и др.] // Nat. Mater. — 2019. — Февр. — Т. 18. — С. 108—112.

90. Observation of higher-order topological acoustic states protected by generalized chiral symmetry / X. Ni [и др.] // Nat. Mater. — 2019. — Февр. — Т. 18. — С. 113—120.

91. Higher-order topological states in photonic kagome crystals with long-range interactions / M. Li [и др.] // Nat. Photonics. — 2020. — Февр. — Т. 14. — С. 89—94.

92. Massive Dirac fermions in a ferromagnetic kagome metal / L. Ye [и др.] // Nature. — 2018. — Март. — Т. 555. — С. 638—642.

93. Guo H.-M, Franz M. Topological insulator on the kagome lattice // Phys. Rev. B. — 2009. — Сент. — Т. 80, № 11. — С. 113102.

94. Resta R. Quantum-Mechanical Position Operator in Extended Systems // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Март. — Т. 80, № 9. — С. 1800—1803.

95. Wu L.-H., Hu X. Scheme for Achieving a Topological Photonic Crystal by Using Dielectric Material // Physical Review Letters. — 2015. — Июнь. — Т. 114, вып. 22. — С. 223901. — URL: https://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevLett.114.223901.

96. Trifunovic L. Bulk-and-edge to corner correspondence // Physical Review Research. — 2020. — Окт. — Т. 2, № 4. — С. 043012.

97. Experimental realization of topological corner states in long-range-coupled electrical circuits / N. A. Olekhno [и др.] // Phys. Rev. B. — 2022. — Февр. — Т. 105, № 8. — С. L081107.

98. Writing waveguides in glass with a femtosecond laser / K. M. Davis [и др.] // Opt. Lett. — 1996. — Нояб. — Т. 21, № 21. — С. 1729—1731. — URL: http: //opg.optica.org/ol/abstract.cfm?URI=ol-21-21-1729.

99. Discrete nonlinear localization in femtosecond laser written waveguides in fused silica / A. Szameit [и др.] // Opt. Express. — 2005. — Дек. — Т. 13, № 26. — С. 10552—10557. — URL: http://opg.optica.org/oe/abstract. cfm?URI=oe-13-26-10552.

100. Thermally reconfigurable quantum photonic circuits at telecom wavelength by femtosecond laser micromachining / F. Flamini [и др.] // Light: Science & Applications. — 2015. — Нояб. — Т. 4, № 11. — e354—e354.

101. Bulk-disclination correspondence in topological crystalline insulators / Y. Liu [и др.] // Nature. — 2021. — Янв. — Т. 589. — С. 381—385.

102. Topological phenomena at defects in acoustic, photonic and solid-state lattices / Z.-K. Lin [и др.] // Nat. Rev. Phys. — 2023. — Авг. — Т. 5. — С. 483—495.

103. Fractional disclination charge in two-dimensional Cn-symmetric topological crystalline insulators / T. Li [и др.] // Phys. Rev. B. — 2020. — Март. — Т. 101, № 11. — С. 115115.

104. Liu F., Deng H.-Y, Wakabayashi K. Topological photonic crystals with zero Berry curvature // Phys. Rev. B. — 2018. — Янв. — Т. 97, вып. 3. — С. 035442. — URL: https : / /journals . aps . org/prb/abstract/ 10 . 1103/PhysRevB.97.035442.

105. Liu F., Wakabayashi K. Novel Topological Phase with a Zero Berry Curvature // Phys. Rev. Lett. — 2017. — Февр. — Т. 118, вып. 7. — С. 076803. — URL: https : / /journals . aps . org/prl/abstract/ 10 . 1103/PhysRevLett.118.076803.

106. Strong and fragile topological Dirac semimetals with higher-order Fermi arcs /

B. J. Wieder [и др.] // Nat. Commun. — 2020. — Авг. — Т. 11, вып. 1. —

C. 627. — URL: https://www.nature.com/articles/s41467-020-14443-5.

107. Topological excitonic corner states and nodal phase in bilayer quantum spin Hall insulators / Z.-R. Liu [и др.] // Phys. Rev. B. — 2021. — Май. — Т. 103, вып. 20. — С. L201115. — URL: https://link.aps.org/doi/10. 1103/ PhysRevB.103.L201115.

108. Observation of higher-order topological acoustic states protected by generalized chiral symmetry / X. Ni [и др.] // Nat. Mater. — 2019. — Т. 18, вып. 2. — С. 113. — URL: https://www.nature.com/articles/s41563-018-0252-9.

109. Topological photonics / T. Ozawa [и др.] // Rev. Mod. Phys. — 2019. — Март. — Т. 91, вып. 1. — С. 015006. — URL: https://link.aps.org/doi/ 10.1103/RevModPhys.91.015006.

110. Thouless D. Electrons in disordered systems and the theory of localization // Physics Reports. — 1974. — Т. 13, № 3. — С. 93—142. — URL: https : //www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370157374900295.

111. Kachin V. I., Gorlach M. A. Three-Dimensional Higher-Order Topological Insulator Protected by Cubic Symmetry // Phys. Rev. Applied. — 2021. — Авг. — Т. 16, вып. 2. — С. 024032. — URL: https://journals.aps.org/ prapplied/abstract/10.1103/PhysRevApplied.16.024032.

112. Direct Observation of Corner States in Second-Order Topological Photonic Crystal Slabs / X.-D. Chen [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2019. — Июнь. — Т. 122, вып. 23. — С. 233902. — URL: https://journals.aps.org/prl/ abstract/10.1103/PhysRevLett.122.233902.

113. Observation of Edge Waves in a Two-Dimensional Su-Schrieffer-Heeger Acoustic Network / L.-Y. Zheng [и др.] // Phys. Rev. Applied. — 2019. — Сент. — Т. 12, вып. 3. — С. 034014. — URL: https://journals.aps.org/ prapplied/abstract/10.1103/PhysRevApplied.12.034014.

114. S.-Q. Shen, Topological insulators. Dirac equation in condensed matters (Springer, Heidelberg, 2013).

115. Photonic topological boundary pumping as a probe of 4D quantum Hall physics / O. Zilberberg [и др.] // Nature. — 2018. — Янв. — Т. 553, вып. 7686. — С. 59. — URL: https://doi.org/10.1038/nature25011.

116. Hestand N. J., Spano F. C. Expanded Theory of H- and J-Molecular Aggregates: The Effects of Vibronic Coupling and Intermolecular Charge Transfer // Chemical Reviews. — 2018. — Т. 118, № 15. — С. 7069—7163. — eprint: https://doi.org/10.1021/acs.chemrev.7b00581. — URL: https: //doi.org/10.1021/acs.chemrev.7b00581 ; PMID: 29664617.

117. Kazmaier P. M, Hoffmann R. A Theoretical Study of Crystallochromy. Quantum Interference Effects in the Spectra of Perylene Pigments // J. Am. Chem. Soc. — 1994. — Окт. — Т. 116, № 21. — С. 9684—9691.

118. Yariv A., Yeh P. Optical waves in crystals: propagation and control of laser radiation. — Wiley classics library ed. — Hoboken, N.J : John Wiley, Sons, 2003. — (Wiley classics library).

119. Nonsymmetric evanescent coupling in photonics / R. A. Vicencio [и др.] // Phys. Rev. A. — 2025. — Апр. — Т. 111, № 4. — С. 043510.

120. Szameit A., Nolte S. Discrete optics in femtosecond-laser-written photonic structures // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2010. — Июль. — Т. 43, № 16. — С. 163001.

121. Leykam D., Bahat-Treidel O, Desyatnikov A. S. Pseudospin and nonlinear conical diffraction in Lieb lattices // Phys. Rev. A. — 2012. — Сент. — Т. 86, вып. 3. — С. 031805. — URL: https : //link. aps . org/doi/10 . 1103/ PhysRevA.86.031805.

122. Observation of Localized States in Lieb Photonic Lattices / R. A. Vicencio [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Июнь. — Т. 114, вып. 24. — С. 245503. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.114.245503.

123. Observation of a Localized Flat-Band State in a Photonic Lieb Lattice / S. Mukherjee [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Июнь. — Т. 114, вып. 24. — С. 245504. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett. 114.245504.

124. Mukherjee S., Thomson R. R. Observation of robust flat-band localization in driven photonic rhombic lattices // Opt. Lett. — 2017. — Июнь. — Т. 42, № 12. — С. 2243—2246. — URL: https://opg.optica.org/ol/abstract. cfm?URI=ol-42-12-2243.