Функциональные наблюдатели и наблюдатели состояния при неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Фомичев, Василий Владимирович

• Фомичев, Василий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Фомичев, Василий Владимирович

Введение

Глава 1. Основные понятия

Глава 2. Наблюдаемость

Глава 3. Наблюдатели полного фазового вектора для полностью определенных линейных систем.

Глава 4. Функциональные наблюдатели для полностью определенных линейных систем.

Глава 5. Асимптотические наблюдатели для линейных систем с неопределенностью

Глава 6. Наблюдатели для билинейных систем

Глава 7. Наблюдатели для дискретных систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функциональные наблюдатели и наблюдатели состояния при неопределенности»

Актуальность работы.

Задача о синтезе наблюдателей состояния для динамических систем, в том числе и для систем автоматического управления, является классической и имеет богатую историю.

Далее всюду для определенности под динамической системой имеем ввиду систему управления. В конечномерном случае при непрерывном времени система автоматического управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой зависит от входа системы u(t), выбором которого можно влиять на свойства данной системы. В общем виде подобная система задается векторным дифференциальным уравнением где х Е Мп — фазовый вектор системы. Необходимость в наблюдателе состояния обусловлена тем, что при решении задач управления зачастую доступна информация не о фазовом векторе х, а только о некоторой функции от х которую называют выходом сист&мы, что, вообще говоря, затрудняет решение задачи управления с надлежащим качеством.

Под задачей построения наблюдателя состояния понимают синтез динамической системы, формирующего оценку вектора состояний по доступной информации о системе, ее измеряемым выходу и входу. Решению этой задачи для различных классов систем при тех или иных предположениях о параметрах системы, о доступной информации, посвящено огромное число работ.

В 1963 г. Давид Люенбергер заложил основы теории наблюдателей для линейных стационарных систем управления. До сих пор появляются работы, x = f(x,u,t), t> О,

0.1)

У = h(x)

0.2) обобщающие или распространяющие эту теорию на новые классы систем.

Существует ряд основных задач, связанных с теорией построения наблюдателей. Первая задача состоит в получении ответа на вопрос, а возможно ли в принципе для данной системы по имеющейся информации восстановление (построение оценки) полного фазового вектора системы? Соответствующую задачу называют задачей о наблюдаемости динамической системы.

Полное решение этой проблемы получено для многих видов динамических систем, в том числе для линейных стационарных многосвязных систем управления, которые описываются уравнениями вида где ж€1п- неизвестный фазовый вектор системы, и е Rm, у е М} — известные вход и выход системы, соответственно; А, В и С — постоянные матрицы соответствующих размеров. Задача о наблюдаемости решена также и для линейных нестационарных систем, а так же для частных случаев нелинейных систем. Однако для ряда нелинейных систем (например для билинейных) исчерпывающего решения не получено.

Для тех систем, которые допускают восстановление фазового вектора по имеющейся информации (такие системы называются наблюдаемыми) встает задача о получении оценки x(t) фазового вектора x(t). Для решение этой задачи традиционно используют вспомогательные динамические системы, которые и формируют указанную оценку. В общем случае такие системы могут быть записаны в виде

Такие системы и называют наблюдателями. Здесь синтезу подлежат функции д{.) и р(.), размерность вектора z(t) называют размерностью наблюдателя. Если оценка x(t) асимптотически сходится к фазовому вектору системы

0.3)

0.4) x(t), то наблюдатель называют асимптотическим (если, кроме того, имеет место оценка ||£(£) — ^(t)H1 < Со||5(0) — а;(0)||е~7*, где константы 7 > О, Со > 0, то такой наблюдатель называют экспоненциальным). Для линейных стационарных полностью определенных систем (0.3) эта задача получила исчерпывающее решение.

Однако для линейных систем с неопределенностью (возмущенных систем) вида х = Ах + Ви +

0.5)

У = Сх, где £ G — неизвестное возмущение, задача о синтезе асимптотических наблюдателей полностью еще не решена. До сих пор появляются работы, в которых предлагаются подходы к решению указанной проблемы при различных предположения относительно параметров системы (0.5) и неизвестного возмущения

Еще сложнее обстоит дело с синтезом наблюдателей в нелинейном случае, на сегодня эта задача решена лишь для некоторых классов нелинейных динамических систем.

В теории автоматического управления часто, помимо устойчивости замкнутой системы, предъявляются те или иные дополнительные требования к свойствам регулятора. В частности, нередко требуется, чтобы размерность наблюдателя 2 (т. е. размерность фазового вектора z(t) динамической системы (0.4)) была минимальна. В результате появилась проблема, связанная с построением минимального наблюдателя, т. е. наблюдателя минимального динамического порядка, т.е. минимальной размерности.

Для линейных стационарных полностью определенных систем (0.3) эта задача оценивания полного фазового вектора получила исчерпывающее ре

1 || || - какая-либо норма в R"

2 Наблюдатель, как правило, часть регулятора шение в работах Люенбергера. В тоже время для решения задач управления зачастую не требуется знать весь фазовый вектор системы, а достаточно располагать информацией лишь о некотором функционале от этого вектора, например следующего вида о- = h(x) е Шр, (0.6) где h(.)~ известная достаточно гладкая функция. В этом случае имеет место задача о построении оценки для этого функционала, или иначе говоря, задача о построении функционального наблюдателя. Разумеется, эта задача имеет смысл, когда размерность такого наблюдателя оказывается ниже размерности наблюдателя, восстанавливающего полный фазовый вектор.

В случае линейной стационарной системы без неопределенности и линейного функционала а = Нх, - (0.7) эта задача рассматривалась в монографии О'Рейли Ц, где предложены методы построения функциональных наблюдателей и получена оценка сверху для размерности таких наблюдателей. Однако задача о функциональном наблюдателе минимальной размерности актуальна до сих пор.

Кроме того, самостоятельный интерес представляет задача о синтезе функциональных наблюдателей для линейных и нелинейных стационарных и нестационарных систем с неопределенностью.

Аналогичные задачи, т.е. задачи о наблюдаемости, о синтезе наблюдателя, о построении наблюдателя в условиях неопределенности, о синтезе функциональных наблюдателей, о минимальном наблюдателе и т.п., имеют место и для дискретных регулируемых систем, в частности, для линейных дискретных систем управления, которые описываются уравнениями

Xk+I = Axk + Buk, yk = Cxk, k = 0,1,2,. где, как и ранее, жб!п- фазовый вектор, и G Мто и у € R' — вход и выход системы, соответственно.

Для линейных стационарных систем большинство результатов переносятся с непрерывного случая на дискретный, хотя для последнего имеются особенности и существенные отличия.

Цель диссертационной работы. Целью работы является разработка общей теории построения наблюдателей для систем в условиях неопределенности, а так же разработка общей теории построения минимальных функциональных наблюдателей.

Для первой нз поставленных задач должны быть предложены новые алгоритмы синтеза асимптотических наблюдателей для линейных стационарных динамических систем в условиях неопределенности при различных условиях на параметры системы (различные сочетания размерностей входов и выходов, различные относительные порядки системы и т.д.). Полученные алгоритмы построения наблюдателей для систем дифференциальных уравнений должны быть перенесены и на дискретные системы.

Для второй задачи, а именно для задачи синтеза функциональных наблюдателей, требуется рассмотреть две смежные, но тем не менее существенно различные постановки задачи:

1) Задача о построении функционального наблюдателя минимально возможного порядка с каким-либо устойчивым спектром;

2)Задача о построении минимальных функциональных наблюдателей с наперед заданными динамическими свойствами (заданным спектром, заданной скоростью сходимости).

Кроме того, целью работы является решение задач о наблюдаемости и о построении асимптотических наблюдателей для одного из классов нелинейных управляемых систем - билинейных (по управлению и фазовому вектору) динамических систем.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные результаты:

1. Предложена теория построения асимптотических наблюдателей для гипервыходных векторных линейных стационарных систем с неопределенностью (т.е. для систем, у которых размерность измеряемого выхода превышает размерность неизвестного входа). При этом предложены два различных метода решения этой задачи: метод декомпозиции системы к специальному виду и метод " псевдовходов". Для каждого их методов строго-изложены алгоритмы построения асимптотических наблюдателей, получены условиях их применимости.

2. Разработана теория построения наблюдателей для квадратных векторных линейных стационарных систем с неопределенностью (т.е. для систем, у которых размерность измеряемого выхода совпадает с размерностью неизвестного входа). Для решения задачи' был развит подход с использование иерархии коэффициентов обратной связи в наблюдателе. В этом случае задача решается с наперед заданной точностью.

3. Предложены методы построения асимптотических функциональных наблюдателей минимального порядка (т.е. наблюдателей, восстанавливающих заданный линейный функционал от фазового вектора) с каким-либо устойчивым спектром. Получены необходимые и достаточные условия существования функциональных наблюдателей заданного порядка. Разработаны два подхода к решению задачи: метод скалярных наблюдателей и метод "псевдовходов".

4. Предложены методы построения функциональных наблюдателей с заданным устойчивым спектром (заданной скоростью сходимости), получены оценки сверху на размерность таких наблюдателей.

5. Предложены методы синтеза асимптотических наблюдателей для билинейных динамических систем. Полностью решена задача о равномерной по управлению наблюдаемости для планарных систем, для них.так же полностью решена задача о построении асимптотических наблюдателей. Для многомерных билинейных систем решена задача о синтезе наблюдателей при различных случаях вырождения матрицы билинейности.

6. Разработанные алгоритмы построения наблюдателей (для систем с неопределенностью и функциональных наблюдателей) обобщены на дискретные линейные стационарные системы.

В работе использованы методы теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости.

Практическая значимость. Работа имеет как теоретическую, так и практическую составляющие. Предложенные в работе оригинальные методы построения асимптотических наблюдателей для различных классов линейных стационарных систем имеют важное теоретическое значение, они позволяют решать не только задачи синтеза наблюдателей, но и могут выступить основой для решения других смежных задач теории автоматического управления: задачи стабилизации систем у условиях неопределенности, задачи оценивания параметров динамических систем, оценивания внешних воздействий. Теоретическую ценность представляет собой разработанная теория наблюдаемости для билинейных динамических систем.

Минимальные и функциональные наблюдатели, помимо теоретического интереса, имеют практическую ценность. Это обусловлено тем, что наблюдатели являются частью систем автоматического управления и понижение их порядка ведет к повышению быстродействия таких систем, упрощению их конструкции (и как следствие к повышению их надежности).

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались: на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова на научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление"под руководством академиков РАН С.В. Емельянова и С.К. Коровина; на Международной конференции по управлению «Автоматика 2001», Одесса, 2001; на научной школе -конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, МГУ, Институт механики имени Е.А. Девяпина) 2004 год; Симпозиуме IFAC по Обобщенным решениям в задачах управления (GSCP-2004); на Первой Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г, г. Пёреславль); на Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е.С. Пятницкого (ИПУ РАН), 2006; на Второй' Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г. Обнинск, Россия); на семинаре в Международном Институте прикладного системного анализа (IIASA, Austria Laxenburg) 2007; на семинарах в университете Лафборо (Великобритания) 2007г.; на Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2004-2008; на Тихоновских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2008г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 35 работе, из них 25 работ - в ведущих математических журналах (Доклады РАН, Дифференциальные уравнения) и рецензируемых сборниках. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит их семи глав (первая из них - вводная). Главы разбиты на параграфы, параграфы на пункты. Нумерация утверждений, теорем, лемм, замечаний, примеров и формул - двойная, сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 123 наименований, вначале в алфавитном порядке перечислены работы на кириллице, потом в алфавитном порядке работы на латинице.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Фомичев, Василий Владимирович, 2009 год

1. Андреев Ю.Н. Управление линейными конечномерными объектами. // М.: Наука. Физматлит. 1976.

2. Барбашин Е.А. Введение б теорию устойчивости. // М.: Наука. Физматлит. .

3. Воронов А.А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. // М.: Наука. Физматлит. 1976.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. // М.: Наука. Физматлит. 1967.

5. Емельянов С.В., Коровин С.К., Нерсисян A.J1. Об асимптотических свойствах наблюдателей состояния для неопределенных систем с линейной стационарной частью. // ДАН СССР, Т. 311,1990, №4, 807-811.

6. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности.// М.: Наука. Физматлит. 1997. "

7. Емельянов С.В., Коровин С.К. // Сборник Мат. моделирование: Проблемы и результаты. М.: Наука. Физматлит.2003. С. 12-35.

8. Емельянов С.В., Коровин С.К., Шепитько А.С. Стабилизация билинейных систем на плоскости посредством постоянных и релейных управлений. // Дифференц. уравнения, 2000, Т. 36, № 8, 1021-1028.

9. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных управляемых систем. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 34. № 6. С. 744-750.

10. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Робастное обращение векторных систем. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 11. С. 1478-1486.

11. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных скалярных динамических сисгем: метод управляемой модели . // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 3. С. 329-339.

12. Ильин А.В., С.К. Коровин, В.В. Фомичев. Алгоритмы робастного обращения век-горных линейных систем.// Нелинейная динамика и управление. Вып.4 Сборник статей под редакцией С.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва Физматлит, 2004, стр. 17-22

13. Ильин А.В., Коровин С.К. , Фомичев В.В., Хлавенка А. Синтез асимптотических наблюдателей для линейных векторных неопределенных систем. // Дифференц. уравнения, 2005, Т.41, № 1, сгр. 73-81.

14. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели с разрывным управлением для скалярных линейных неопределенных систем.// Дифференц. уравнения, 2005, Т. 41, № 10, 1310-1317.

15. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В., Хлавенка А. Наблюдатели для линейных динамических систем с неопределенностью.// Дифференц. уравнения, 2005, Т. 41, № 11, стр. 1443-1457

16. С.К. Коровин, И.С. Медведев, В.В. Фомичев. Функциональные наблюдатели для линейных систем с неопределенностью. // Дифференц. уравнения, 2006, Т. 42, № 10, 1307-1317

17. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Об уравнениях и свойствах нулевой динамики линейных управляемых стационарных систем.// Дифференц. уравнения, 2006, Т. 42, № 12, 1626-1636.

18. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В. Метод управляемой модели в задачах обращения динамических систем. // ДАН. Теория управления. 1997. Т. 354. № 2. С. 171-173.

19. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В. Робастное обращение управляемых линейных систем. // ДАН. Теория управления. 1998. Т. 356. № 2. С. 121-123.

20. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В., Хлавенка А. Асимптотические наблюдатели состояния неопределенных векторных линейных систем. // ДАН. Теория управления, 2004, Т. 396, N 4, сгр. 469-473.

21. Коровин С.К, Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели билинейных систем на плоскости.// Дифференц. уравнения, 2001, Т. 37, № 12, 1605-1611.

22. Коровин С.К., Фомичев В.В. Экспоненциальные наблюдахели билинейных систем на плоскости.// ДАН Теория управления, 2001, Т. 385, N 5, 713-728.

23. Коровин С.К., Фомичев В.В. Построение экспоненциальных наблюдателей для билинейных управляемых систем. // Дифференц. уравнения, 2002, Т.38, № 1, стр. 139-140.

24. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. Москва. Физматлит. 2007. 223 с.

25. Коровин С.К., Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели для некоторых классов билинейных систем с линейным входом. // ДАН Теория управления, 2004, Т. 398, №1, с. 38-43.

26. Коровин С.К., Фомичев В.В., Медведев И.С. О минимизации порядка функционального наблюдателя.// Дифференц. уравнения, 2005, Т. 41, № 8, 1148.

27. Коровин С.К., Фомичев В.В., Медведев И.С. Синтез минимальных функциональных наблюдателей. // ДАН. Теория управления. 2005, Т.404, №3, стр. 316-320.

28. Коровин С.К., Фомичев В.В., Медведев И.С. Функциональные наблюдатели минимального порядка. // Нелинейная динамика и управление. Вып.5 Сборник статей под редакцией С.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва Физматлит, 2006, стр. 51-70

29. Коровин С.К., Медведев И.О., Фомичев В.В. Функциональные наблюдатели для линейных неопределенных стационарных динамических систем. // ДАН. Теория управления. 2006, Т.411, Ш, стр. 316-320.

30. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели.// М.: Наука. Физматлит. 1988.

31. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. // М.: Наука. Физматлит. 1992.

32. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов, с использованием понятия нуля системы.// Издательство томского университета. Томск. 1990.

33. Фомичев В.В., Медведев И.С. Построение функциональных наблюдателей для неопределенных сисгем.// Дифференц. уравнения, 2004, Т. 40, № 8, 1146-1147.

34. Aguilar R., Martinez-Guena R., Maya-Yescas R. State estimation of partially unknown nonlinear systems: a class of integral high gain observers. //IEEE Proceedings Control Theory and Applications 150 (2003). no. 3. 240-244.

35. Aguilar-Lopez R. Integral observeis for uncertainty estimation in continuous chemical reactors: algebraic differential approach. //Chemical Engineering Journal 93 (2003). no. 2. 113-120:

36. Basile G., Marro G. On the observability of linear time-invariant systems with unknown inputs. // Journal of Optimization Theory Application 3 (1969). 410-415.

37. Bastin G., Gevers M. Stable adaptive observers for nonlinear time varying systems. // IEEE Transactions on Automatic Control 33 (1988). no. 7. 650-658.

38. Bhattacliaryya S.P. Observer design for linear systems with unknown input. // IEEE Transactions on Automatic Control 23 (1978). 483-484.

39. Chang J.L. Robust sliding-mode control with disturbance attenuation using only output feedback. // JSME International Journal Series С Mechanical Systems Machine Elements and Manufacturing 46 (2003). no. 1. 239-244.

40. Corless M., Tu J. State and input estimation for a class of uncertain systems. // Automatica 34 (1998), 757-764.

41. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S.J. Full-order observers for lirrear systems with unknown inputs. // IEEE Transactions on Automatic Control 39 (1994). no. 3. 606-609.

42. Dochain D. State and parameter estimation irr chemical and biochemical processes: a tutorial. // Journal of Process Control 13 (2003), no. 8. 801-818.

43. Dochain D. State observers for processes with uncertain kinetics. // International Journal of Control 76 (2003), no. 15, 1483-1492.

44. Doyle J. C., Stein G. Robustness with observers. // IEEE Transactions on Automatic Control 24 (1979). no. 4. 607-611.

45. Edwards C., Spurgeon S. K., Hebden R.G. On the design of sliding mode output feedback controllers. // International Journal of Control 76 (2003), no. 9-10. 893-905.

46. Engell S., Konik D. Zustandserinittluiig bei unbekanntem ein-gangssignal. // Autoina-tisierungstechnik at 34 (1986). no. 1. 38-42.

47. Fairman F. W., Hinamoto Т., Hirschorn R. Disturbance decoupled observers having unrestricted spectrum. // Journal of Franklin Institute 313 (1982). 123-133.

48. Faiiman F. W., Mahil S. S., Luk L. Disturbance decoupled observer design via singular value decomposition. // IEEE Transactions on Automatic Control 29 (1984), 84-86.

49. Ficklscherer P. , Miiller P. C. Robuste zustandsbeobachter fui lineare mehrgrossen-regelungssysteme mit unbekannten store-ingdngen. // Automatisierungsteehnik at 33 (1985). 173-179.

50. Green M., Limebeer D. J. N. Linear robust control. // Prentice Hall. 1995.

51. Guan Y.-P. , Sail M. A novel approach to the design of unknown input observers. // IEEE Transactions on Automatic Control 36 (1991), no. 5. 632-635.

52. Hermann R., Krener A. Nonlinear controllability and observability. // IEEE Transactions on Automatic Control 22 (1977). no. 5, 728-740.

53. Hostetter G. , Meditch J. S. Observing systems with un-measurable inputs. // IEEE Transactions on Automatic Control 18 (1973), no. 3, 307-308.

54. Hou M., Muller P. C. Design of observers for linear systems with unknown inputs. // IEEE Transactions on Automatic Control 37 (1992), no. 6. 871-875.

55. Hou M., Muller P. C. Disturbance decoupled observer design: A unified view point. // IEEE Transactions on Automatic Control 39 (1994), no. 6. 1338-1344

56. Hou M., Muller P. C. Fault detection and isolation observers. // International Journal of Control 60 (1994). no. 5, 827-846.

57. Hou M., Pugh A. C., Muller P. C. Disturbance decoupled functional observers. // IEEE Transactions on Automatic Control 44 (1999). no. 2. 382-385.

58. Hui R., Zak R. Robust output feedback stabilization^ uncertain dynamic systems with bounded controllers. // International Journal of Robust and Nonlinear Control 3 (1993). 115-132.

59. Imai H., Akashi H. Disturbance localization and pole shifting by dynamic compensation. // IEEE Transactions on Automatic Control 26 (1981), no. 1. 226-235.

60. Isidori A. Nonlinear control systems. // Springer Verlag. London. 1995.

61. Jiang В., Staroswiecki M. Adaptive observer design for robust fault estimation. // International Journal of Systems Science 33 (2002). no. 9. 767-775.

62. Kailath Т., Sayed A. H., Hassibi B. Linear estimation. // Prentice Hall. Upper Saddle River, NJ. 2000.

63. Kalman R.E. Mathematical description of linear systems. // SIAM J. Control 1 (1963) 152-192

64. Kalman R.E. Lectures on controllability and observability. // C.I.M.E. Bologna. 1968.

65. Kimura H. Pole assignment by gain output feedback. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1975. V. 8. P. 509-516.

66. Kobayashi N., Nakamizo T. An observer design for linear systems with unknown inputs. // International Journal of Control 35 (1982). 605-619.

67. Koshkouei A. J., Zinober A. S. I. Sliding mode state observation for non-linear systems. // International Journal of Control 77 (2004). no. 2. 118-127.

68. Kreisselmeier. Adaptive observers with exponential rate of convergence. IEEE Transactions on Automatic Control 22 (1977), no. 1. 2-8.

69. Krener A. J., Respondek W. Nonlinear observers with lin-earizable error dynamics. // SIAM Journal on Control and Optimization 23 (1985). no. 2.197-216.

70. Kudva P., Viswanadham N., Ramarkrishna A. Observers for linear systems with unknown inputs. // IEEE Transactions on Automatic Control 41 (1980). 113-115.

71. Kurek J. E. The state vector reconstruction for linear systems with unknown inputs. // IEEE Transactions on Automatic Control 28 (1983). no. 12. 1120-1122.

72. Kwon S., Chung W. K. Combined synthesis of state estimator and pertubation observer. // Journal of dynamic systems Measurement and control transactions of the ASME 125 (2003). no. 1. 19-26.

73. Lee С. Y., Lee J. J. Adaptive control for uncertain nonlinear systems based on multiple neural networks. // IEEE Transactions Systems. Man and Cybernetics Part В 34 (2004). no. 1. 325-333.

74. Lin H., Zhai G., Antsaklis P.J. Set-valued observer design for a class of uncertain linear systems with persistent disturbance and measurement noise. // International Journal of Control 76 (2003); no. 16, 1644-1653.

75. Lin Sheng-Fuu, Wang An-Ping. Design of observers with unknown inputs using eigen-structure assignment. I j International Journal of Systems Science 31 (2000), no. 6. 705-711.

76. Luenberger D.G. Determining the state of linear system with observers of low dynamic order. // Ph.D. dissertation. Stanford University. 1963.

77. Luenberger D.G. Observers for inultivariable systems. //IEEE Transactions on Automatic Control 11 (1966). 190-197.

78. Luenberger D.G. Canonical forms for linear multivariable systems. // IEEE Transactions on Automatic Control 12 (1967). 290-293.

79. Mareels I., Polderman J. Adaptive systems: An introduction. // Birkhauser. Boston.1996.

80. Marino R., Santosuosso G., Tornei P. Robust adaptive observers for nonlinear systems with bounded disturbances. // IEEE Transactions on Automatic Control 46 (2001). 967-972.

81. Marino R., Santosuosso G.L., Tomei P. Adaptive compensation of multiple sinusoidal disturbances with unknown frequencies. // Nonlinear and Adaptive Control (A. Zi-nober and D. Owens, eds.). Springer. 2003. pp. 207-226.

82. Marquez H. J. A frequency domain approach to state estimation. // Journal of Franklin Institute 340 (2003), no. 2. 147-157.

83. Miller R. J., Mukundan R. On designing reduced order observers for linear time-invariant systems subject to unknown inputs. // International Journal of Control 35 (1982), 183-188.

84. Nijmeijer H., Van der Schaft. Nonlinear dynamical control systems. // Springer Verlag.1990.

85. Rosenbrock H.H. State-space and multivariable theory. // Nelson. London. 1970.

86. Rosenbrock H.H. The zeros of a system. // International Journal of Control 18 (1973). no. 2. 297-299.

87. O'Reilly J. Observers for linear systems. // Academic Press. London. 1983.

88. Park J. H., Park G. T. Adaptive fuzzy observer with minimal dynamic order for uncertain nonlinear systems. // IEEE Proceedings Control theory and applications 150 (2003). no. 2, 189-197.

89. Park Y., Stein J. L. Closed-loop, state and inputs observers for systems with unknown inputs. // International Journal of Control 48 (1988). no. 3. 1121-1136.

90. Peter K., Scholing I., Orlik B. Robust output-feedback h-infinity control with a nonlinear observer for a two-mass system. // IEEE Transactions on Industry Applications 392003). no. 3. 637-644.

91. Rajamani R., Cho Y. M. Design of observers for nonlinear systems. // International Journal of Control (1998), 719-731.

92. Rapaport A., Gouze J. L. Parallelotopic and practical observers for non-linear uncertain systems. // International Journal of Control 76 (2003). no. 3. 237-251.

93. Roman J.R., Bullock Т.Е. Design of minimal-order stable observers for linear functions of the state via realization theory. // IEEE Transactions on Automatic Control 20 (1975), 613-622.

94. Saberi A., Sannuti P. Squaring down by static and dynamic compensators. // IEEE Transactions on Automatic Control 33 (1988), 358-365.

95. Saberi A., Sannuti P. Time-scale structure assignment in linear multivariable systems using high-gain feedback. International Journal of Control 49 (1989), no. 6. 2191-2213.

96. Saberi A, Chen В. M., Sanutti P. optimal control. // Prentice Hall. 1996.

97. Sannuti P., Saberi A. A special coordinate basis of multivariable linear systems finite and infinite zero structure, squaring down and decoupling. // International Journal of Control 45 (1987), 1655-1704.

98. Sayed A. H. A framework for state-space estimation with uncertain models. // IEEE Transactions on Automatic Control 46 (2001). no. 7. 998-1013.

99. Sebald A., Haddad A. Robust state estimation in uncertain systems: Combined detection-estimation with incremental mesa criterion. // IEEE Transactions on Automatic Control 22 (1977). no. 5, 821-825.

100. Slotine J., Hendricks J., Misawa E. On sliding observers for nonlinear systems. // Transactions of the AMS. Journal of dynamic systems, measurement and control 9 (1987). 245-252.

101. Sundareswaran К. K., McLane P. J., Bayoumi M. M. Observers for systems with arbitrary plant disturbances. // IEEE Transactions on Automatic Control 22 (1977). no. 5. 870-871.

102. Takahashi R. H. C. Discrete-time singular observers: H^ optimality and unknown inputs. // International Journal of Control 72 (1999). no. 6. 481-492.

103. Tan C. P., Edwards C. Sliding mode observers for robust detection and reconstruction of actuator and sensor faults. // International Journal of Robust and nonlinear control 13 (2003). no. 5; 443-463.

104. Trinh H., Ha Q. P. Design of linear functional observers for linear systems withunknown inputs. // International Journal of Systems Science 31 (2000). no. 6. 741-749.

105. Tkui С. C. A new design approach to unknown input observers. // IEEE Transactions on Automatic Control 41 (1996), no. 3. 464-467.

106. Tuel W.G. Jr. An improved algorithm for the solution of discrete regulation problem. // IEEE Transactions on Automatic Control 12 (1967), 522-528.

107. Utkin V. I., Guldner J., Shi J. Sliding mode control in electromechanical systems. // Systems and Control Series, Taylor and Francis. 1999.

108. Valcher M. E. State observers for discrete-time linear systems with unknown inputs. // IEEE Transactions on Automatic Control 44 (1999), no. 2, 397-400.

109. Walcott B. L., Zak S. H. Comparative study of nonlinear state-observation techniques. // International Journal of Control 45 (1987). 2109-2132.

110. Wang Z., Unbehauen H. A class of nonlinear observers for discrete-time systems with parametric uncertainty. // International Journal of Systems Science 31 (2000). no. 1. 19-26.

111. Wonham W. M. Linear multivariable control: A geometric approach. // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Springer. Berlin, 1974.

112. Xiong Y., Saif M. Sliding mode functional observers and its application for robust fault diagnosis. // Technical report. Simon Eraser University. 1998.

113. Xiong Y., Saif M. Unknown disturbance inputs estimation based on a state functional observer design. // Automatica 39 (2003). no. 8, 1389-1398.

114. Yan Xing-Gang, Lam J., Xie L. Robust observer design for non-linear interconnected systems using structural characteristics. // International Journal of Control 76 (2003). no. 7, 741-746.

115. Yang'F., Wilde R. W. Observers for linear systems with unknown inputs. // IEEE Transactions on Automatic Control 33 (1988). no. 7. 677-681.

116. Yiiksel Y.O., Bongiorno J.J. Observers for multivariable systems. // IEEE Transactions on Automatic Control 16 (1971), 603-621.

117. Youssouf A., Kinnaert M. Partial state estimation in presence of unknown inputs. // European Control Conference (Brussels), 1-4 July 1997.

118. Zak S. H., Hui S. Output feedback in variable structure controllers and state estimation of uncertain nonlinear dynamical' systems. // IEE Proceedirrgs Control Theory and Applications 140 (1993), 41-50.

119. Zhou K., Doyle J. Essentials of robust control. // Prentice Hall. New York. 1998.

120. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. // Prentice Hall. 1996.

121. Zinober A., Owens D. Nonlinear adaptive control. // Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer Verlag. 2001.

122. Darouach M. Existence and design of functional observers for linear systems. // IEEE Transactions on Automatic Control 45 (2000), no. 5. 940-943.

123. Trinh H., Tran T.D., Nahavandi S. Design of scalar functional observers of order less than {v 1). // International Journal of Control 79 (2006), no. 12, 1654-1659.