Гамильтонова динамика магнитной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Фотов, Кириак Николаевич

• Фотов, Кириак Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фотов, Кириак Николаевич

Введение.

Глава I. Современное состояние исследований динамических свойств ферроржидкости.

§ 1. Механизмы и модели релаксации намагниченности.

§ 2. Уравнения баланса и производство энтропии.

§ 3. Гидродинамическое напряжение и магнитная релаксация.

§ 4. Быстрая вращательная релаксация.

§ 5. Сравнение с предыдущей теорией.

Глава II. Методы Лагранжа и Гамильтона в гидродинамике идеальной жидкости.

§ 1. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости в переменных

Эйлера.

§ 2. Метод Лагранжа и метод Гамильтона в гидродинамике идеальной

Жидкости.

§ 3. Обобщенные Гамильтоновские системы. Неканонические скобки

Пуассона. Скобка Березина-Кириллова-Константа.

Глава III. Гамильтоновы уравнения движения феррогидродинамики с вмороженной намагниченностью.

§ 1. Функционал энергии и выбор физических полей.

§ 2. Расширенные системы лагранжевых и гамильтоновых уравнений движения феррожидкости: случаи вмороженной и свободной намагниченнсти.

§ 3. Метод скобок Пуассона в феррогидродинамике.

§ 4. Модель непроводящей магнитной жидкости с уравнением Ландау

Лифшица.

Глава IV. Метод скобок Пуассона в феррогидродинамике с внутренним вращением.

§ 1. Система взаимных скобок Пуассона для физических переменных и скобка Березина-Кириллова-Константа.

§ 2. Метод Рэлея и вывод системы уравнений феррогидродинамики с учетом диссипации.

§ 3. Система уравнений Гамильтона феррогидродинамики с внутренним вращением и вмороженной намагниченностью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гамильтонова динамика магнитной жидкости»

В последние годы для описания нелинейных процессов в физике плазмы и жидких кристаллов, магнитной гидродинамике и геофизике, а также в астрофизике, и при изучении явлений в конденсированных средах с неабеле-вой группой симметрии успешно применяется гамильтоновский формализм [1-17]. Из фундаментальных работ, относящихся к этой проблеме, необходимо назвать статьи [18-24]. В [18] сформулирована лагранжева форма уравнений баротропной жидкости. В [19-22] получены лагранжевы и гамильтоновы уравнения движения для сверхтекучей жидкости, причем в [21] рассмотрен и случай спиновой гидродинамики. В работе [23] впервые предложено использовать метод скобок Пуассона непосредственно для гидродинамических переменных. Метод скобок Пуассона получил дальнейшее развитие в работах посвященных изучению жидких кристаллов [24]. Следует отметить, что в [21-24] было показано, каким образом на основе метода скобок Пуассона можно находить и нелинейные диссипативные уравнения гидродинамики. Систематическое изложение метода скобок Пуассона и его приложений к гидродинамическим системам дается также в работах [25-31].

Исследование уравнений движения как абелевых, так и неабелевых структур в переменных Лагранжа на основе вариационных методов проводится в работах [1-10,32-35]. Сюда же можно отнести работы, в которых исследуется движение идеальных релятивистских жидкостей в гравитационных полях [36].

Относительно недавно сформировался новый раздел гидродинамики -феррогидродинамика [37-43]. Предметом ее изучения является магнитная жидкость или феррожидкость - искусственно синтезированная среда, которая является коллоидным раствором наночастиц твердого магнитного материала с размерами порядка 10 нм в несущей жидкости. В отличие от магнит4 ной гидродинамики [1,5,44], изучающей взаимодействие магнитных полей с электропроводящей жидкостью, подавляющая часть магнитных жидкостей синтезируется на основе жидких диэлектриков и не проводит электрический ток. Свойства феррожидкости ранее описывались с помощью полуфеноменологических систем уравнений [37-29,41-43], или на основе обобщенного принципа виртуальных работ [40]. Однако, даже в случае идеальной феррогидродинамики, гамильтонова теория, позволяющая единым образом описать используемые модели, до настоящего времени не была предложена.

Основной целью диссертации является вывод гамильтоновых уравнений для существующих моделей идеальной феррогидродинамики.

В первой главе приведен обзор современного состояния исследований, посвященных изучению динамических свойств феррожидкости.

Во второй главе диссертации излагаются физические принципы и математический аппарат, составляющие основу гамильтоновского подхода к гидродинамическим системам.

В третьей главе построены нелинейные гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью. Выведены гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости, в которой эволюция удельной намагниченности происходит согласно уравнению Ландау-Лифшица. На основе линеаризованных уравнений исследован спектр собственных мод системы.

В главе четыре показано, что система уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением в случае отсутствия диссипации обладает гамиль-тоновой структурой. Вычислена неканоническая скобка Пуассона для функционалов от естественных физических переменных феррогидродинамики с внутренним вращением. Методом Рэлея получена система диссипативных уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации.

Основные результаты диссертации докладывались на II Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем»; 12 Международной конференции по магнитным жидкостям; III Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем»; ХЬУШ Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Фотов, Кириак Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Перечислим основные результаты, составляющие содержаниеи диссертации.

1. Предложен функционал полной энергии непроводящей магнитной жидкости, дано его обоснование, и обоснование выбора физических полей, в фазовом пространстве которых выводятся гамильтоновы уравнения движения феррогидродинамики.

2. Получены расширенные лагранжевы системы уравнений движения как для модели феррогидродинамики со свободной намагниченностью, так и для непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью.

3. На основе найденного представления Клебша для гидродинамического импульса вычислены взаимные скобки Пуассона для всех пар физических переменных и построены нелинейные гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью.

4. Выведены гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости, в которой эволюция удельной намагниченности происходит согласно уравнению Ландау-Лифшица.

5. На основе линеаризованных уравнений феррогидродинамики с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности исследован спектр собственных мод системы. В аналитическом виде получены формулы описывающие эффект анизотропии скорости распространения звука и закон дисперсии спиновых волн в непроводящей магнитной жидкости.

6. Показано, что система уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением в случае отсутствия диссипации обладает гамильтоновой структурой. Получена система фундаментальных скобок Пуассона для базисных функций в фазовом пространстве.

7. Вычислена неканоническая скобка Пуассона для функционалов от естественных физических переменных идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением.

Автор выражает глубокую, искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Соколову Виктору Васильевичу за предоставление интересной темы, полезные советы и своевременные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фотов, Кириак Николаевич, 2012 год

1. В.Е. Захаров, ЕА. Кузнецов, УФН, 1997, Т.167, №11, С.1137.

2. В.Е. Захаров, ЖЭТФ. 1971, Т.60, вып. 5, С.1714-1726.

3. В.Е. Захаров, Изв. вузов. Физика. 1974, Т. 17, № 4, С.431-453.

4. P.J. Morrison, Rev.Mod.Phys., 1998, V. 70, Р.467.

5. Е.А. Кузнецов, В.П. Рубан, Письма в ЖЭТФ.1988, Т. 118, вып. 4(10), С.893-905.

6. Е.А. Кузнецов, В.П. Рубан, ЖЭТФ, 2000, Т. 118, вып.4(10), С.893.

7. R. Jackiw, V.P. Nair, S.Y. Pi, A.P. Polychronakos, Perfect fluid theory and its extensions, arXiv:hep-ph/0407101, 8 Jul 2001, V. 1.

8. В.П. Гончаров, Изв. АН СССР, Физ. атмосф. и океана, 1986, №2, С. 125135.

9. B.J1. Покровский, И.М. Халатников, Письма в ЖЭТФ. 1992, Т. 55, вып. 9, С.509-511.

10. В.П. Гончаров, В.И. Павлов, Гамильтоновая вихревая и волновая динамика, М., ГЕОС, 2008, С.432.

11. A. Frenkel, Е. Levich, Phys. Lett. Ser. A, 1982, V. 88, № 9, P.461-465.

12. F.S. Henyey, Am. Inst. Phys. Conf. Proc, 1982, V. 26, № 1, P. 480-483.

13. T.S. Lundgren, Phys. Fluids, 1963, V. 6, № 7, P.898-904.

14. А.Г. Воронович, Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1979, Т. 15, № 1, С.82-91.

15. A.A. Исаев, М.Ю. Ковалевскй, ТМФ, 1995, Т. 102, № 2, С. 283-296.

16. H.H. Романова, И.Г. Якушкин, Докл. РАН. Сер. механика, 2001, Т. 380, № 5, С.630-634.

17. В.И. Тахтаджян, Л.Д. Фадеев, Гамильтонов подход в теории солито-нов. М., Наука, 1986, С.287.

18. Б.И. Давыдов, ДАН СССР, 1949, Т. 69, С. 165.

19. Л.Д. Ландау, ЖЭТФ, 1941, Т. 11, С.592.

20. И.М. Халатников, ЖЭТФ, 1952, Т.23, С. 169.

21. В.В. Лебедев, И.М. Халатников, ЖЭТФ, 1977, Т. 73, вып. 4(10), С.1537.

22. В.В. Лебедев, И.М. Халатников, ЖЭТФ, 1978, Т. 75, вып.6(12), С.2313.

23. I.E. Dzyaloshinskii and G.E. Volovic, Annals of Physics, 1980, 125, P.67.

24. Е.И. Кац, В.В. Лебедев, Динамика жидких кристаллов, М., Наука, 1988, С. 144.

25. В.П. Гончаров, В.И. Павлов, Проблемы гидродинамики в гамильтоно-вом описании, М., МГУ, 1993, С. 197.

26. D.D. Holm, В.A. Kupershmidt, Phys. Lett. 1982, V.91, N9, P.425-430.

27. D.D. Holm, B.A. Kupershmidt, Physica D. 1983, V.6, N 2, P.347-363.

28. D.D. Holm, B.A. Kupershmidt, Phys. Lett. 1988, V.129, N 2, P.93-100.

29. P.J. Morrison, Am. Inst. Phys. Conf. Proc. 1982, V. 88, P. 13-46.

30. С.П. Царев, ДАН СССР. 1985, Т. 282, № 3, С. 534-537.

31. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, ДАН СССР, 1984, Т. 279, № 2, С. 294297.

32. W.A. Newcomb, Nuclear Fusion, Supplement, 1962, Part 2, P.451.

33. C.C. Моисеев, Р.З. Сагдеев, A.B. Тур, ЖЭТФ, 1982, T.83, вып. 1(7), С.215.

34. В.П. Рубан, ЖЭТФ, 1999, Т.116, вып.2(8), С.563.

35. И. Антонио, Г.П. Пронько, ТМФ, 2004, Т. 141, №3, С.392.

36. V.P. Ruban, Phys. Rev. Е, 2003, V. 68, 047302.

37. Р. Розенцвейг, Феррогидродинамика, М., Мир, 1989, С.357.

38. М.И. Шлиомис, УФН, 1974, Т.112, вып.З, С.427.

39. В.Б. Горский, Магнитная гидродинамика, 1986, №4, С. 17.

40. В.В. Соколов, В.В. Толмачев, Магнитная гидродинамика, 1996, Т.32, №3, С.318.

41. B.U. Felderhof, Phys .Rev. Е, 2000, V. 62, Р.3848.

42. R.E. Rosensweig, Journal of Chemical Physics, 2004, V.121, №3, P. 1228.

43. M. Shliomis, M. Mond, К. Morozov, Phys. Rev. Lett., 2008,V.101, 074505.

44. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, М., Наука, 1992, С.664.

45. R.E. Rosensweig, J. Chem. Phys, 2004, V. 123(3), 1228-1242.

46. M.I Shliomis, in Ferrofluids, edited by S. Odenbach, Berlin, Springer, 2002, P.85-111.

47. E. Blums, A. Cebers, M. Maiorov, Magnetic fluids, Berlin, Watter de Gruyter, 1997, P.236.

48. B.U. Felderhof, H.J. Kroh, J. Chem. Phys, 1999, V. 110(15), 7403-7411.

49. B.U. Felderhof, V.V. Sokolov, P.A. Eminov, J. Chem. Phys, 2010, V. 132, 184907-1—184907-7.

50. И.Е. Овчинников, В.В. Соколов, Акустический журнал, 2008, Т.55, №3, С.356.

51. R.E. Rosensweig, J. Chem. Phys, 2004, V. 123(3), 1228-1242.

52. V.V. Sokolov, Acoustic Physics, 2010, V. 56, №6, P.972-978.

53. М.И. Шлиомис, ЖЭТФ, 1967, T.53, вып.3(9), С. 1125.

54. Sawada Т., Nishiyama H., Tabata Т., J.Magn.Magn.Mater., 2002, V. 252, P. 186.

55. PJ. Morrison, J.M. Greene, Phys. Rev. Lett., 1980, 45, P.790-794.

56. H.W. Muller and M.Liu, Phys. Rev.E, V. 64, 2001, 061405.

57. W. К. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, Reading, 1955, P.147.

58. N.G. van Kampen and B.U. Felderhof, Theoretical Methods in Plasma Physics, North-Holland, Amsterdam, 1967, P. 25.

59. J. B. Hubbard and R. F. Kayser, J. Chem. Phys., 1981, V. 74, 3535.

60. J. B. Hubbard and P. J. Stiles, J. Chem. Phys. 84, 6955 (1986).

61. J. Hubbard and L. Onsager, J. Chem. Phys., 1977, V. 67, 4850.

62. O. Muller, D. Hahn and M. Liu, J. Phys. C., 2006, V. 18, S2623.

63. K. Henjes and M. Liu, Ann. Phys., 1993, V. 223, P.243.

64. M. Liu and K. Stierstadt in Colloidal Magnetic Fluids, ed. S. Odenbach, Springer, Berlin, 2009, P. 157.

65. C. Rinaldi and H. Brenner, Phys. Rev. E, V. 65, 2002, 036615.

66. S. Odenbach and H. W. Muller, Phys. Rev. Lett., 2002, V. 89, 37202.

67. S. Odenbach and H. W. Muller, J. Magn. Magn. Mater., 2005, V. 289, P.242.

68. A. Leschhorn and M. L'ucke, Z. Phys. Chem., 2006, V. 220, P.219.

69. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Статистическая физика ч.2, Теория конденсированного состояния, М., Наука, 1978, С.448.

70. И.Е. Тамм, Основы теории электричества, М., Наука, 1988, С.504.

71. И.А. Ахиезер, И.Т. Ахиезер, ЖЭТФ, 1984, Т.86, вып.1, С. 120.

72. И.А. Ахиезер, И.Т. Ахиезер, ФТТ, 1984, Т.26, вып.2, С.453.

73. В.В. Соколов, К.Н. Фотов, П.А.Эминов, Гамильтоновы уравнения феррогидродинамики с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности. Изв. вузов. Физика, 2010, № 7, С.38-45.

74. V. V. Sokolov and V. V. Tolmachev, Acoust. Phys., 1997, V. 43, P. 106.

75. В.В. Соколов, К.Н. Фотов, П.А.Эминов, гамильтонова структура уравнений идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением. Доклады Академии Наук, 2011, Т. 440, № 3, С.ЗЗ 1-334.

76. S. R. de Groot and P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , North-Holland, Amsterdam, 1962, P. 231.

77. S. R. de Groot and L. G. Suttorp, Foundations of Electrodynamics, North-Holland, Amsterdam, 1972, P. 287.

78. L. G. Suttorp in Physics in the Making, eds. A. Sarlemijn and M. J. Spar-naay, North-Holland, Amsterdam, 1989, P. 176.

79. G. A. Maugin, J. Math. Phys., 1978, V. 19, P. 1198.

80. P. C. Martin, O. Parodi, and P. J. Pershan, Phys. Rev.A, 1972, V. 6, P.2401.

81. P. G. de Gennes, The Physics of Liquid Crystals, Clarendon, Oxford, 1974, P. 142.

82. B. U. Felderhof, V. V. Sokolov, and P. A. Eminov, J. Chem. Phys, 2011, V. 135, 144901-1—144901-5.

83. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980, P.141.

84. R. E. Rosensweig, Ferrohydrodynamics ,Cambridge University Press, Cambridge, England, 1985, P. 109.

85. W. van Saarloos, D. Bedeaux, and P. Mazur, Physica A, 1981, V. 107, P.109.

86. V.V. Sokolov, K.N. Fotov K. N, P.A. Eminov, Poisson brackets method in ferrohydrodynamics. Physics Procedia 9, 2010, P. 131-136.

87. V.V. Sokolov, K.N. Fotov K. N, P.A. Eminov, Poisson brackets method in ferrohydrodynamics. 12 International Conference on Magnetic Fluids. Abstracts, Japan, 2010, P.302.