Геометрически точные конечные элементы оболочки для моделирования нелинейного деформирования и контактного взаимодействия упругих и электроупругих тонкостенных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Плотникова, Светлана Валерьевна

• Плотникова, Светлана Валерьевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Плотникова, Светлана Валерьевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Анализ конечных элементов оболочки и их применение к моделированию нелинейного деформирования тонкостенных конструкций

1.1 Конечные элементы оболочки и основные подходы к конечно-элементному решению задачи деформирования оболочки в геометрически нелинейной постановке

1.2 Конечные элементы оболочки для решения задачи контактного взаимодействия упругих I он кос I енных консфукций

1.3 Конечные элсмешы пьезоэлекфических оболочек и их применение к задачам моделирования нелинейного деформирования и оптимизации формы тонкостенных конструкций

Глава 2. 7-парамсфичсская модель оболочки, подверженной произвольно большим перемещениям и поворотам

2.1 Геометрическое описание недеформированной оболочки

2.2 Деформационные соотношения 9-параметрической модели оболочки

2.3 Деформационные соотношения 7-параметрической модели оболочки

2.4 Уравнения состояния слоистой анизотропной оболочки

2.5 Смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для слоистой анизотропной оболочки

Глава 3. Геометрически точный че1ырехузловой конечный элемент оболочки на основе 7-нарамефической модели

3.1 Геометрически точный конечный элемеш оболочки с использованием модифицированного меюда введенных деформаций

3.2 Гибридный геометрически точный элемент оболочки па основе метода независимых аппроксимаций напряжений и деформаций

3.3 Проверка адекватности конечно-)лементной модели. Исследование сходимости конечного элемента оболочки

3.4 Инкрементальный подход при лагранжевом описании геометрически нелинейной оболочки

3.5 Исследование поведения разрабо1анно1 о 1 еомефически точного элемента оболочки на редких сетках и оценка сходимости итерационного процесса Нью-

тона-Рафсона

Глава 4 Геометрически точный элемент оболочки, подверженной действию следящих нагрузок, при больших перемещениях и поворотах

4.1 Смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для слоистой анизотропной оболочки, подверженной следящему нагружению

4.2 Матрица жесгкосш 1 ибридного геомефически точного элемента оболочки под действием следящих нагрузок

4.3 Верификация и исследование сходимосж разрабо1 энного геометрически

точного элемеша оболочки

Глава 5. Геометрически ючный конечный элемент для моделирования контактного взаимодействия оболочки с жеспсим выпуклым основанием при больших перемещениях и поворотах

5.1 Постановка задачи контакта оболочки с жеаким выпуклым телом под действием консервативных нагрузок

5.2 Конечно-элементная модель контактного взаимодействия оболочки при консервативном нагружении

5.3 Тестирование модели контактною взаимодейс!вия и алгоритма поиска зоны контакт

5.4 Конечно-элеменшая модель кошаюа оболочки с жес1ким выпуклым телом

под действием следящих нагрузок

ГЛАВА 6. Гибридный геометрически точный че1 ырехузловой элемент слоистой пьезоэлектрической оболочки

6.1 7-параметрическая модель пьезоэлектрической оболочки

6.2 Конечно-элементная модель пьезоэлектрической оболочки, подверженной большим перемещениям и поворо1ам

6.3 Конечно-элеменшая модель слоистой оболочки с пьезоэлектрическими накладками при больших перемещениях и поворотах

6.4 Верификация nocí роенных копечно-элемснгных моделей слоистой пьезоэлектрической оболочки

6.5 Оптимизация формы оболочки, подверженной хлектромеханическим воздействиям

ГЛАВА 7. Численное моделирование нелинейного деформирования тонкостенных конструкций на основе разработнных геомефически точных конечных элементов оболочки

7.1 Слоистая opio тронная гиперболическая оболочка под действием сосредоточенных сил

7.2 Моделирование оболочек вращения сложной i еометрии

7.3 Изотропная горообразная оболочка под действием следящего давления

7.4 Кошактпое взаимодействие изофопной цилиндрической оболочки с жестким цилиндром

7.5 Слоистая перекрестно армированная торообразная оболочка, взаимодействующая с плоским и выпуклым основаниями, при консервативном и следящем нагружении

7.6 Пьезокерамическая спиральная оболочка под действием электрического нагружения

7.7 Моделирование нелинейного деформирования слоистой орютропной гиперболической оболочки с пьезоэлекфическими накладками

7.8 Оптимизация формы тонкое 1енных консфукций с пьезоэлектрическими накладками за счет использования обрагною пьезоэлектрического эффекта

7.9 Моделирование деформирования 1ермоэлекфоупругих тонкостенных кон-

струкцй

Заключение

Список использованных источников

Приложение А. Программный код процедуры пое I роения матрицы жесткости геометрически точного конечного элемента 7-параметрической электроупругой

оболочки на языке программирования ОПЬРШ

Приложение Б. Акт о внедрении результатов диссертации на ОАО «Опытный

завод Гидромонтаж»

Приложение В. Акт о внедрении результатов диссертации на ЗАО «Гидро-

стальконструкция»

Приложение Г. Акт о внедрении результатов диссертации в образовательный процесс

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрически точные конечные элементы оболочки для моделирования нелинейного деформирования и контактного взаимодействия упругих и электроупругих тонкостенных конструкций»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. В настоящее время метод конечных элементов широко применяется в различных областях техники для расчета тонкостенных конструкций под действием механических, температурных, электрических нагрузок и т.п. Однако современное состояние теории конечных элементов нельзя считать удовлетворительным, поэтому число работ, посвященных разработке новых подходов к конечно-элементному моделированию конструкций, продолжает расти.

Одна из проблем состоит в том, что наиболее широко представленные в коммерческих пакетах программ изопараметрические вырожденные элементы, которые рассматривают оболочку как совокупность плоских элементов, в некоторых классах задач показывают невысокую производительность. Альтернативой вырожденным являются геометрически точные элементы, в которых отсчетная поверхность оболочки описывается аналитически заданными функциями, в частности сплайнами, а векторы перемещений представляются в локальном базисе, связанном с отсчетной поверхностью. Другая проблема состоит в том, что традиционные элементы тонких пластин и оболочек, построенные на основе теории Тимошенко-Миндлина, используют упрощенные соотношения закона Гука, что в некоторых случаях, например, в задачах электроупругости или в контактных задачах, нередко приводит к неудовлетворительным результатам. Отсюда возникает задача разработки эффективных трехмерных элементов оболочки, позволяющих учесть полные уравнения состояния пространственной теории упругости и электроупругости.

Применение композитных материалов, в том числе текстильных композитов, делает актуальным расчет конструкций, подверженных большим перемещениям и поворотам. Традиционный подход к решению таких задач состоит в использовании большого числа шагов по нагрузке (инкрементов), что является вычислительно неэффективным. Таким образом, выбор адек-

ватной математической модели, точно представляющей произвольно большие перемещения и повороты, вместе с эффективным вычислительным алгоритмом являются крайне важными.

Другой аспект актуальности связан с применением конечно-элементного подхода к моделированию конструкций с пьезоэлектрическими актюаторами. Во многих практических приложениях, например в задаче управления формой конструкции в режиме реального времени, решающее значение имеет быстрота программного кода, поэтому эффективность применяемого при расчетах конечно-элементного метода играет большую роль.

Целью диссертационной работы является построение эффективных конечных элементов упругих и электроупругих оболочек, позволяющих учитывать большие перемещения и повороты, в том числе под действием следящих нагрузок и при контакте оболочки с жестким основанием.

Задачи диссертационной работы. Достижение заявленной цели связано с выполнением следующих задач:

• разработка математической модели оболочки, точно описывающей большие перемещения и повороты оболочки как жесткого тела, и позволяющей учесть полные уравнения состояния пространственной теории упругости;

• разработка и обоснование конечных элементов слоистой композитной оболочки, свободных от запирания и позволяющих использование редких сеток;

• разработка эффективных алгоритмов, позволяющих при решении геометрически нелинейных задач использовать малое число шагов по нагрузке, в том числе при учете следящей нагрузки, а также при контактном взаимодействии с жестким телом;

• разработка эффективных методов расчета контакта геометрически нелинейной оболочки с жестким основанием;

• разработка эффективною конечною элеметпа пьезоэлектрической слоистой оболочки;

• применение пьезоэлектрическою конечною элемента для решения задачи оптимизации формы оболочки.

Объектом исследования являются упругие и электроупругие слоистые композитные оболочки, подверженные действию механических (в том числе следящих) и электрических нагрузок.

Методы исследовании. Базовым меюдом исследования является метод конечных элементов. Также использую 1ся методы вариационного исчисления, условной оптимизации, численные меюды решения систем линейных и нелинейных уравнений, меюды полиномиальной аппроксимации.

Научная новизна. Авюром получены новые научные результаты, которые выносятся на защшу:

• 7-парамегрическая модель слоисюй оболочки, ючно описывающая произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела в криволинейных конвективных координатах и позволяющая учитывать полные уравнения cocí ояяия прос i ране i венной юории упруюсчи;

• геомефически i очный гибридный элемеш оболочки, использующий метод введенных деформаций, основанный па аналитическом интегрировании в пределах элемента, коюрый позволяет pcujaib задачи нелинейного деформирования за малое число шаюв по нафузке с существенным снижением числа итераций в методе Ныотона-Рафсона;

• модель контактного взаимодействия упругой оболочки с жестким выпуклым телом, в которой кошакшыс офаничения оболочки, подверженной большим перемещениям и поворотам, записываются аналитически, что позволяет получать решение контактных задач ш малое число шагов по нагрузке и с использованием редких конечно-элементных сеток;

• конечно-элементный подход к решению задачи деформирования оболочки под действием следящего нагружения, основанный на новом вариаци-

онном уравнении типа Ху-Васидзу, позволяющий решать задачи в геометрически нелинейной постановке за малое число июраций,

• 7-параметрическая модель пьезо >лектрической оболочки, использующая полные уравнения состояния пространственной теории электроупругости;

• геометрически точный гибридный злемеш пьезоэлектрической оболочки, предназначенный для решения связанных актюаторных задач при больших перемещениях и поворотх,

• метод нахождения напряжения, подаваемого на электроды пьезоэлектрических актюаюров, который позволяет приблизить форму оболочки к требуемой за сче1 минимизации аналшически заданной функции погрешности.

Обоснованноегь и досюверноси» резулыатв обеспечивайся применением общих уравнений прос!ране 1 венной 1еории упругости и электроупругости. Результат расчетов сравниваю1ся с результатами экспериментов, известными аналитическими решениями и численными решениями, полученными с помощью других меюдов

Теоретическая и практическая значимое!ь рабоп>1. Теоретическая значимое 1ь рабо1ы заключае1ся в разрабо1ке меюдов расчет юнкостенных слоистых упругих и электроупругих конструкций, которые позволяют эффективно моделировать поведение конструкций при больших деформациях с учетом контактного взаимодействия с жестким основанием. Практическая значимость заключается в появлении новых возможностей при проектировании и эксплуашции тонкостенных адашивных конструкций из композитных материалов. Разрабо1анный конечно-элеменжый код позволяет применять его для программирования микропроцессоров адашивных систем. На основе разрабо!анных в диссер1ации алюржмов созданы пакеты программ для ЭВМ, зарегисфированные в Государовенном реесмрс программ для ЭВМ. Исследования, проводимые в рамках диссертции, поддерживались грантами ШТАБ N 95-0525 (1997-1999); РФФИЮРС № 98-01-04076; РФФИ № 04-01-

00070, № 08-01-00373, № 13-01-00155; АВЦП Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» № 2.1.1/660, № 2.1.1/10003; государственное задание Министерства образования и науки РФ № 1.472/2011 (2012-2013). Под руководством автора по тематике исследования защищена кандидатская диссертация по специальности 05.13.18 [44J. Разработанный пакет программ используется в учебном процессе на Архитектурно-строительном факультете Тамбовского государственного технического университета.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• IX, XI, симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов», 1998, 2000 (Москва);

• Международном симпозиуме «60 лет воссоздания МАМИ», 1999 (Москва);

• Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», 2002 (Тамбов);

• International Conference on Computational & Experimental Engineering and Sciences, 2004 (Madeira, Portugal), 2009 (Phuket, Thailand), 2011 (Nanjing, China);

• International Conference on Computational Structures Technology, 2004 (Lisbon, Portugal), 2010 (Valencia, Spain);

• Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», 2004 (Казань);

• IX международной научно-технической конференция по динамике и прочности автомобиля, 2005 (Москва);

• International Symposium on Design Modelling and Experiments of Adaptive Structures and Smart Systems, 2006 (Bardonecchia, Italy), 2007 (Bad Herrenalb, Germany), 201 1 (Urspelt, Luxembourg);

• 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, 2009 (Lisbon, Portugal);

• II международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», 2009 (Казань);

• 9th Conference «Shell Structures: Theory and Applications», 2009 (Jurata, Poland);

• International Symposium of Aircraft Materials, 2010 (Marrakech, Morocco);

• EUROMECH Colloquium "Shell-like Structures - Non-classical Theories and Applications", 2011 (Wittenberg, Germany);

• International Conference on Mechanics of Nano, Micro and Macro Composite Structures, 2012 (Turin, Italy);

• IV международной научно-технической конференции «Ак1уальные проблемы прикладной механики и прочное!и консфукций», 2012 (Запорожье, Украина).

• XIX международном симпозиуме им А.Г. Горшкова «Механические и технологические проблемы механики консфукций и сплошных сред», 2013 (Ярополец, Моск. обл.).

Публикации результатов. По теме диссер!ации опубликовано 55 работ, из них 38 ciaieñ в научных периодических изданиях из Перечня ВАК и международных реферируемых журналах, 9 докладов в материалах Всероссийских и международных конференций, получены 7 свидетельств о регистрации программ в Государственном реестре программ для ЭВМ [45, 55, 59, 60,63,64, 81].

Выносимые на защшу резулыаш получены соиска1елем лично. В публикациях, написанных в соавторстве личный вклад автора заключается в: [43, 44, 75, 76, 78, 79, 207] - постновка и формализация задачи исследования; [57, 58, 171, 173] - разрабо1ка анали i ической модели оболочки, [46-54, 56, 58, 61, 62, 65, 156-166, 168-177] - построение конечно-элементной модели оболочки; [24-26, 28, 46, 54, 56, 61] - формулировка модели контактного взаимодействия оболочки с твердым телом; [43, 44, 62, 75-79, 175, 207] - разработка 7-парамефИческой модели пьезоэлектрической оболочки; [24-26, 28,

46-53, 56, 58, 61, 62, 65, 155-166, 168-177] - разработка алгоритмов и их программная реализация.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 265 наименований. Объем диссертационной работы составляет 306 страниц, включая 108 рисунков и 62 таблицы.

В первой главе диссертации дается анализ современного состояния исследуемых в диссертации проблем. Вторая глава посвящена построению аналитической 7-параметрической модели оболочки, па основе которой в третьей главе диссертации строится конечно-элементная модель оболочки. В четвертой главе разработана конечно-элементная модель оболочки, подверженной действию следящих нагрузок. В пятой главе моделируется контактное взаимодействие упругой оболочки с жестким выпуклым основанием. Шестая глава посвящена построению моделей пьезоэлектрических оболочек. В седьмой главе диссертации обсуждаются результаты численного моделирования нелинейного деформирования тонкостенных конструкций на основе разработанных геометрически точных конечных элементов оболочки.

ГЛАВА 1. Анализ конечных элементов оболочки и их применения к моделированию нелинейного деформирования тонкостенных

конструкций

1.1 Конечные элеменш оболочки и основные подходы к конечно-элементному решению задачи деформирования оболочки в I еометрически нелинейной

постановке

Одной из главных задач механики юнкос 1снпых конструкций является совершенствование методов расчета пластин и оболочек, в том числе при больших перемещениях, когда важен учет геометрической нелинейности. В последнее время наиболее существенные достижения в анализе нелинейного деформирования пластин и оболочек связаны с рашишем метода конечных элементов. Сложность построения конечных элеменюв оболочек обусловлена рядом причин. В теории оболочек фехмерная задача теории упругости за счет введения дополншельных 1иио1ез своди юя к двумерной, однако снижение размерноеIи задачи приводит к появлению различных дефектов моделей, для преодоления которых в 1еории конечных элемешов применяются специальные технологии.

Классификацию элементов оболочек можно провести на основе различных признаков. Во-первых, их можно разделим, на классы в зависимости от вида теории, на базе коюрой они сфояюя 5-парамефические модели оболочки основываются на теории Тимошенко-Миндлина [84, 193, 241]. В этих моделях пренебрегают поперечными нормальными компонентами деформации и напряжения. Построенные на основе этой теории конечные злементы используют пять степеней свободы в узле сетки как правило, это три перемещения серединной поверхносш и два поворот, как в классических работах С. Ахмада и др. [88], К Баге [101], Дж Редди [209], Т Хыоза [140], либо пять перемещений (тангенциальные перемещения лицевых поверхности оболочки и поперечное перемещение серединной поверхносш), как в работх Г М Куликова и

автора диссертации 147, 158] Х01Я посфоенные па основе 5-парамегрической модели конечные элементы показываюi хорошие результаты при расчете гонких оболочек, можно огме1И1ь их следующие недостачи. Во-первых, при решении с помощью э 1 их элеменюв i еометрически нелинейных задач приходится вводить враща1ельную cieneHb свободы (drilling) [142], 1ак как деформационные соотношения 5-парамефической теории оболочек не дают точного описания деформаций при больших noBopoiax Во-вюрых, из-за упрощения закона Гука не удается получиib корректного решения в некоюрых классах задач, например, не удается учесть некоторые эффект при расчете электроупругих оболочек Так, в работе [265] показано, что )ффекг увеличения длины пеьзоке-рамической спирали при подаче на электроды на ее поверхностях напряжений противоположного знака не может быть рассчитан с помощью конечных элементов на базе 5-парамегрической модели Кроме того, как показано в работе Э И. Гриюлюка и В М. Толкачева [31J, при решении кошакшых задач на основе 5-параметрической модели не удае1ся получшь нулевых контактных усилий на границе зоны конткта, как это следует из решений ряда задач, найденных на основе теории упругое iи.

Эти проблемы позволясi решить использование 6-параметрической модели оболочки (модель 1 имошснко-Миндлина с учетом поперечного обжатия). В стандартной конечно-элементной формулировке на основе эюй теории, изложенной pa6oie Р Тейлора (240] в каждом узле 01счепюй поверхности оболочки фундаментальными неизвесшыми являю 1ся фи перемещения серединной поверхности и три угла поворота В ряде задач 1акой выбор неизвестных приводит к проблемам при формулировке условия непроникания для контактных задач, при сопряжении оболочечных элементов с элементами твердого тела и т.п В последнее время получили распространение конечно-элементные формулировки, в коюрых неизвесшыми являю1ся по фи перемещения на лицевых поверхностях [48, 133, 148, 157], в 1аком случае >iи элемешы принято называть трехмерными оболочечными элемешами Как показано в pa6oie Г М. Куликова и автора диссертации [159], 6-парамегрическая модель оболочки позволяет

корректно описать произвольно большие перемещения и повороты жесткого тела, следова!ельно, она може1 служиib основой для посфоения геомефически нелинейных элементов; кроме юю, 1акая модель позволяв учесть локальные эффекты при расчете слоисшх композитных оболочек [50, 51], при использовании 6-парметрической модели удается получам? корректные решения контактных задач [46].

Однако 6-парметрическую модель оболочки нельзя признать оптимальной из-за наличия 1ак называемого пуассоповско1 о запирания, i.e. повышения расчетной жесткости оболочки при ненулевом коэффициенте Пуассона [107, 261]. Причиной Пуассоновского запирания являе1ся присущая этой модели гипотеза о постоянстве по толщине оболочки поперечных нормальных компонент деформации и напряжения, чю не соотвсмсмзует реальному распределению этих величин. Существует несколько распространенных способов преодоления пуассоновского запирания. Наиболее прооая идея - упростить закон Гука, положив коэффициенты мафицы пода1ливос1и Ларзз = ^ззар предложена в

работах |95, 147) Э101 способ позволяе1 получа!ь решения, близкие к точным во многих классах задач, но не позволяет моделировать эффекты, связанные с изменением толщины оболочки |166|. Этого недос1а!ка можно избежать, если в матрице подагливосш пришмь юлько Ларзз =0, но при конечно-элементной

реализации эюго меюда [50, 159] матрица жес1КОС1И элемент получается несиммефичной, чю снижает вычислительную эффек1 ивность элемента. Другой распространенный способ борьбы с пуассоновским запиранием - расширенный метод введенных деформаций или hAS (enhanced assumed strain) метод, предложенный в работе (114], в коюром поперечная нормальная деформация обогащается дополниюльным cjiai аемым, чю позволяем учесть ее линейное изменение по юлщине оболочки В pa6oie Б Бранка [111] определено оптимальное числа парамефов расширенного метода введенных деформаций.

Более корректный способ преодоления пуассоновского запирания, который в последнее время получил наибольшее pacnpociранение - использование

7-параметрической модели пластин и оболочек [99, 110, 171, 203, 220]. Как правило, при использовании этой модели фундаментальными неизвестными в узле элемента являются по три перемещения на лицевых поверхностях оболочки и поперечное перемещение на серединной поверхности оболочки. Такой выбор неизвестных позволяет построить квадратичную аппроксимацию для поперечных перемещений. Следовательно, поперечные нормальные компоненты деформаций и напряжений в этом случае будут иметь линейное распределение по толщине оболочки, что позволяет построить корректный элемент с использованием полного закона Гука и пространственных соотношений теории электроупругости для пьезоэлектрических элементов.

По способу аппроксимации геометрии отсчетной поверхности оболочки конечные элементы можно разделить на вырожденные элементы, в которых геометрия задается в глобальных декартовых координатах, и геометрически точные элементы.

Развитию вырожденных элементов оболочки положило начало работа С. Ахмада, Б. Айронса и О. Зенкевича [88], а также работа Г. Линдберга и др. [187], где был построен элемент пологой оболочки. Рассмотренный в этой работе элемент основан на изопараметрической интерполяции, т.е. одинаковой интерполяции исходной и деформированной геометрии оболочки в декартовых координатах, что позволяет корректно описать перемещение жесткого тела. Дальнейшее развитие вырожденные элементы получили в работах К. Бате [101], Т. Беличко и др. [104], Т. Хыоза [140], О. Зенкевича и Р. Тейлора [262], также можно отметить работу Р.Б. Рикардса [82].

Альтернативой вырожденным элементам являются элементы, основанные на описании геометрии оболочки в криволинейных конвективных координатах, которые способны корректно описать мембранно-изгибные связи. Хотя начало таким элементам было положено в 80-х годах прошлого века [227, 228, 254], интенсивно они начали развиваться в текущем веке. Здесь можно отметить работы Г.М. Куликова и автора диссертации, начиная с [157, 158], а также работы

Л. Ву-Куока и К. Тана [253J, М. Чо и X. Роха [120, 215], Д. Чапелле и др. [118], Р. Арчинеги и Дж. Редди [92].

Название «геомефичееки точные», примененное к 1аким элементам, означает, что коэффициенты первой и второй фундамешальных форм отсчет-ной поверхноеш и символы Крисюфеля вычисляюiся ючно в каждом узле интегрирования. Этот подход к моделированию оболочек являе1ся перспективным в связи с распространением CAD систем, в коюрых поверхности легко могут быть описаны сплайнами ¡21, 23, 74, 215].

При построении конечною элемента оболочки приходится преодолевать следующие основные проблемы [19]: ужесточение элемента при преобладании сдвиговых деформаций (сдвиговое запирание) и ужесточение элемента при преобладании мембранных деформаций (мембранное запирание). В качестве одного из способов решения этих проблем было предложено использовать сокращенное ин rei рирование [263] Использование сокращенною (или выборочно сокращенною) ишегрирования часю сопровождаем появлением ложных нулевых энергетических мод. В связи с этим были разработны стабилизирующие методы, приводящие к коррекжому рангу мафипы жеокости [102, 255]. Однако, результат, полученные с применением эжх мсюдов, оказались чувствительными к выбору специальных парамефов, и в ряде 1ссювых задач эти элементы не были успешными.

Более эффективным способом борьбы со сдвиювым запиранием следует признать метод введенных деформаций, или ANS (assumed natural strain) метод, впервые предложенный в работе Р Мак-Нила |188] и получивший дальнейшее развитие в работах [125, 139, 189]. Суть метода состоит в том, что сдвиговые деформации представляются через интерполяционный полином, в качестве узлов интерполяции выбираются специальные ючки злемента. Этот метод используется также в юомефически точных элемешах |215]. В работах Г.М. Куликова и авюра диссер1ации мсюл введенных деформаций предложено использовать не юлько для сдвиговых, но и для мембранных деформаций; показано, что применение этого метода для линейных 1174] и нелинейных [168] де-

формаций в геометрически ючиом элементе повышает вычислительную эффективность элемент и позволяет проводиib расчеш на редких ceiKax.

В ряде работ ошечено, чю С1андаршая консчно-элеменшая формулировка в форме метода перемещений являеюя слишком жесткой, в связи с этим активно развиваются гибридные конечные элемешы оболочек, использующие смешанный вариационный припцин Ху-Васидзу или Хеллингера-Рейснера [94, 183, 206, 212]. Особенпосчь гибридных элемешов cocioni в юм, чю на элементе вводятся независимые аппроксимации деформаций и результирующих напряжений (hybrid stress-strain элсмсш), либо юлько деформаций (hybrid strain элемент), либо только результирующих напряжений (hybrid stress элемент). Затем лишние степени свободы исключаются па элементном уровне. В работах Г.М. Куликова и автора диссертации [157, 166] предложена технология построения гибридного элемента с независимой аппроксимацией деформаций и результирующих напряжений, позволяющая получан, мафицу жесткости элемента, используя только аналитическое ишегрирование на злемеше без обращения матриц, что noBbiiiiaei вычислиiельную эффективноеiь элемент.

Конечные элемешы плаоин и оболочек 1акже различаются по форме (треугольные и четырехугольные) и количеспзу узлов. Наибольшее распространение получили четырехугольные элементы, хо1я параллельно развиваются и различные виды феуюльных |41, 124, 232], коюрые эффективны при решении ряда задач. Среди четырехугольных элемешов наиболее простыми являются четырехузловые, в которых используется билинейная аппроксимация перемещений на элементе. Широко используются также девятиузловые (лагранже-вы) и восьмиузловые (серендиповы) элементы [263] с квадратичной аппроксимацией перемещений на злемешс. Эти элемешы, как правило, показывают более высокую сходимость, чем четырехузловые, но имеют ряд своих недостатков и более сложны в реализации. Сгрояюя 1акже элемешы с более высокой степенью аппроксимации, но широкого распросфанения они до настоящего времени не получили.

На основе 1еории оболочек, преде явленной в paöoiax B.B. Новожилова [73], В. Кошера L152], Е. Рейсснера [211], Дж. Сандерса |219] и многих других ученых, в последние десятилетия активно развиваю 1ся эффективные вычислительные модели слоисiых композитных анизофопных оболочек, в том числе геометрически нелинейных оболочек. Можно ошежж работы К.З. Галимова и В.Н. Паймушина [16, 17], Я. М. Григоренко совмесжо с А.Т. Василенко и А.П. Мукоедом [33, 34], Э.И. Григолюка совмесжо с 1 .М Куликовым, Е.А. Лопани-цыным, В.И. Мамаем, П.П. Чулковым [22, 27, 29, 30, 321, A.B. Андреева и Ю.В. Немировскою [2], В.В Болотина и 10.Н. Новичкова |12|, а также работы [38, 112, 116, 199, 210, 260]. Применяемые при решении i еомстрически нелинейных задач конечные элементы можно классифицировать по тем же признакам, что и элементы, предназначенные для решения геометрически линейных задач. Наиболее перспективными являются элементы, позволяющие использовать полные трехмерные уравнения сосюяния. Pacnpociраненным подходом к анализу композитных оболочек при больших деформациях остается использование вырожденных изопараметрических элементов оболочек. Технология построения таких элементов основана на использовании трехмерных уравнений механики деформируемого твердою iела [68|. При этом до недавнего времени считалось, что элементы, основанные на представлении юомефии оболочки в конвективных криволинейных координатах, не способны точно описать большие повороты твердою iела, и поэтому неприменимы в геометрически нелинейных задачах |113|. Однако, как доказано в paöoiax 1159, 167], 6- и 9-парметрические геометрически точные модели оболочки позволяют корректно описать большие перемещения и повороты твердого тела, и следовательно, построить корректный и вычислительно зффекжвный хлемент. Однако оптимальным при расчете тонких оболочек следует признать 7-параметрический конечный элемент, так как он позволяет использовать полные трехмерные уравнения сосюяния при минимальном числе степеней свободы в узле элемента.

Использование в меюде конечного элемеша корректных кинематических соотношений, ючно описывающих произвольно большие перемещения и повороты оболочки, важно rio i ому, чю позволяет nocí рои ib инкрементальный подход на основе Лагранжевого описания процесса деформирования. При этом величина шага rio нагрузке ограничивается юлько одним условием: требуется, чтобы начальное приближение решения уравнения равновесия элемента попало в область сходимости метода Ньютона. При решении ряда тестовых задач получено, что стандартное применение метода Пыоюна фебуег большого числа инкрементов (шагов по нагрузке) и, cooibciciвенио, итераций метода Ньютона [159]. Существует альтернативный подход, предложенный С. Атлури [94], и развитый затем в работах [108, 161, 162, 165, 204, 236], когда на каждой итерации метода Ньютона уравнения равновесия конечною хлемента оболочки выполняется лишь приближенно (выделяются так называемые несовместимые моды), что существенно уменьшает количество терапий и позволяет получать решение задач с малым числом инкремешов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Плотникова, Светлана Валерьевна, 2013 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1 Александров, В.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В.М. Александров, С.М. Мхитарян. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 488 с.

2 Андреев, A.B. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: изгиб, устойчивость, колебания / A.B. Андреев, Ю.В. Немировский. - Новосибирск: Наука, 2001.-288 с.

3 Артюхин, Ю.П. Контактные задачи для круглых пластин и сферических оболочек / Ю.П. Артюхин // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: изд-во Казанского ун-та, 1979. - Т. 14. - С. 123-139.

4 Белкин, А.Е. Конечно-элементный анализ контакта автомобильной шины с опорной поверхностью на основе оболочечной модели / А.Е. Белкин, Н.Л. Нарекая // Вестник МГТУ. Серия Машиностроение. - 2004. -Т. 58, № 3. - С. 14-28.

5 Белкин, А.Е. Численное решение геометрически нелинейной задачи контакта автомобильной шины с твердой опорной поверхностью / А.Е. Белкин, O.A. Одинцов // Вестник МГТУ. Серия Машиностроение. - 2007. -Т. 66, № 1. - С. 20-35.

6 Белкин, А.Е. Приближенное решение контактной задачи об обжатии шины на плоскую или цилиндрическую опорную поверхность / А.Е. Белкин, A.B. Уляш-кин // Известия вузов. Машиностроение. -1993. - № 10-12. - С. 14-21.

7 Белоконь, A.B. Блочные схемы конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости / A.B. Белоконь, В.А. Еремеев, A.B. Наседкин, А.Н. Соловьев // Прикладная математика и механика. - 2000. -Т. 64, № 3. - С. 381393.

8 Белоконь, A.B. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости / A.B. Белоконь, В.А. Еремеев, A.B. Наседкин, А.Н. Соловьев // Прикладная математика и механика. - 2002. -Т. 66, № 31. - С. 491-501.

9 Белоконь, A.B. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств / A.B. Белоконь, A.B. Наседкин, А.Н. Соловьев // Прикладная математика и механика. - 2002. -Т. 66, № 31. - С. 491-501.

10 Бидерман, B.JI. Автомобильные шины / B.JI. Бидерман, P.JI. Гуслицер. - М.: Госхимиздан, 1963. - 384 с.

11 Болотин, В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / Болотин В.В. -М.: Физматлитз, 1961. - 360 с.

12 Болотин, В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков. - М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

13 Бураго, Н.Г. Обзор контактных алгоритмов // Н.Б. Бураго, В.Н. Кукуджанов // Механика твердого тела. - 2005. - № 1. - С. 45-87.

14 Васидзу, В. Вариационные методы в упругости и пластичности / В. Васидзу. -

- М.: Мир, 1987. - 542 с.

15 Ватульян, А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости / А.О. Ватульян // Прикладная математика и механика. - 1996. -Т.60, № 2. - С. 309-312.

16Галимов, К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек / К.З. Галимов. -Казань: изд-во Казанского ун-та, 1975. - 326 с.

17 Галимов, К.З. Основания нелинейной теории оболочек / К.З. Галимов, В.Н. Паймушин, И.Г. Трегулов. - Казань: Фэн, 1996. - 216 с.

18 Галин, JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / JI.A. Галин. - М.: Наука, 1980. - 303 с.

19 Голованов, А.И. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек / А.И. Голованов М.С. Корнишин. - Казань: КФТИ АН СССР, 1989. - 269 с.

20 Гольденвейзер, A.JI. Теория упругих тонких оболочек / A.JI. Гольденвейзер. -М.: Наука, 1976.-512 с.

21 Григолюк, Э.И. Осесимметричная деформация анизотропных слоистых оболочек вращения сложной формы / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов // Механика композитных материалов. - 1981. - № 4. - С. 637-645.

22 Григолюк, Э.И. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов // Механика композитных материалов. -1988.-№2.-С. 287-298.

23 Григолюк, Э.И. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов. - М.: Машиностроение, 1998. - 288 с.

24 Григолюк, Э.И. Влияние граничных условий в точке обода на напряженно-деформированное состояние радиальных шин / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Каучук и резина. - 2000. - № 3. - С. 32-35.

25 Григолюк, Э.И. Контактная задача для многослойной анизотропной оболочки вращения / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Проблемы шин и резинокордных композитов. Труды одиннадцатого симпозиума. Т.1. - М., НИИШП, 2000. - С.189-197.

26 Григолюк, Э.И. Контактная задача для пневматической шины, взаимодействующей с жестким основанием / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2004. - № 5- С. 55-63.

27 Григолюк, Э.И. Пути развития теории упругих многослойных пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов // Вестник ТГТУ. - 2005. Том 11. № 2А. -С. 439-448.

28 Григолюк, Э.И. Численное решение геометрически нелинейной контактной задачи для шины / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Девятая международная научно-техническая конференция по динамике и прочности автомобиля. Москва, 15-17 марта 2005. - М.: МГТУ «МАМИ», 2005. - С. 86-90.

29 Григолюк, Э.И. Нелинейное поведение тонких упругих пластин / Э.И. Григолюк, Е.А. Лопаницын // Проблемы машиностроения и надежности машин. -1996. -№ 1,-С. 34-42.

30 Григолюк, Э.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э.И. Григолюк, В.И. Мамай. - М.: Наука, 1997. - 272 с.

31 Григолюк, Э.И. Контактные задачи теории пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, В.М. Толкачев. - М.: Машиностроение, 1980. - 412 с.

32 Григолюк, Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек / Э.И. Григолюк, П.П. Чулков. - М.: Машиностроение, 1973. -170 с.

33 Григоренко, Я.М. Методы расчета оболочек. Том 4. Теория оболочек переменной жесткости // Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко. - Киев: Наукова думка, 1981.-544 с.

34 Григоренко, Я.М. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ / Я.М. Григоренко, А.П. Мукоед. - Киев: Вишя школа. Головное изд-во, 1983 - 286 с.

35 Джагупов, Р.Г. Пьезокерамические элементы в приборостроении и автоматике / Р.Г. Джагупов, A.A. Ерофеев. - Д.: Машиностроение, 1986. - 256 с.

36 Емельянов, И.Г. Контактные задачи теории оболочек / И.Г. Емельянов. -Екатеринбург: УрО РАН, 2009. - 185 с.

37 Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975.-539 с.

38 Зубов, J1.M. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек / J1.M. Зубов. - Ростов-на-Дону: изд-во Ростовского ун-та, 1982. - 144 с.

39 Кравчук, A.C. К задаче Герца для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров / A.C. Кравчук // ДАН СССР. - 1976. - Т. 230, № 2. - С. 308-310.

40 Кравчук, A.C. Численное решение геометрически нелинейных контактных задач / A.C. Кравчук, В.А. Сурсяков // ДАН СССР. - 1981. - Т. 259, № 6. - С.

. 1327-1329.

41 Кузнецов, В. В. Уточненная геометрически нелинейная формулировка треугольного конечного элемента тонкой оболочки /В.В. Кузнецов, C.B. Левяков // Прикладная механика и техническая физика. - 2007. - Т. 48, № 5. - С. 160172.

42 Куликов М.Г. Моделирование и оптимизация формы слоистой композитной пластины с пьезоэлектрическими накладками при термомеханических воздействиях: Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. -Тамбов, 2011. - 113 с.

43 Куликов, М.Г. Расчет адаптивных многослойных тонкостенных конструкций, подверженных температурному воздействию / М.Г. Куликов, C.B. Плотникова,

// Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура. - 2010. - № 2 (18). -С. 7-17.

44 Куликов, М.Г. Моделирование слоистых пластин с пьезоэлектрическими накладками при температурном воздействии /C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Математические методы в технике и технологиях. Сборник трудов XXIII Международной научной конференции Т. 5. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2010.-С. 55-57.

45 Куликов, М.Г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614436 "Геометрически точный трехмерный пьезоэлектрический конечный элемент оболочки TMS3DTE9 для управления формой тонкостенных слоистых композитных конструкций под действием термоэлектромеханического нагружения" / Куликов М.Г., Плотникова C.B. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 10 августа 2011 года.

46 Куликов, Г.М. Численное решение контактной задачи для многослойных композитных пластин / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Вестник ТГТУ. - 1998. -Т.4, №4. - С. 526-538.

47 Куликов, Г.М. Сравнительный анализ двух алгоритмов численного решения нелинейных задач статики многослойных анизотропных оболочек вращения. I. Учет поперечных сдвигов / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Механика композитных материалов. - 1999. - Т. 35, №3. - С. 347-358.

48 Куликов, Г.М. Сравнительный анализ двух алгоритмов численного решения нелинейных задач статики многослойных анизотропных оболочек вращения. II. Учет поперечного обжатия / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Механика композитных материалов. - 1999. - Т. 35, №4. - С.435-446.

49 Куликов, Г.М. Об использовании смешанных конечноэлементных аппроксимаций в механике оболочек / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Вестник ТГУ. Серия: Естественные и технические науки. - 2000. - Т. 5, № 4. - С. 471-472.

50 Куликов, Г.М. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов. 1. Геометрически линейная поста-

новка / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Механика композитных материалов. -2002. - Т. 38, № 5. - С. 607-620.

51 Куликов, Г.М., Плотникова C.B. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов. 2. Геометрически нелинейная постановка / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Механика компо-

. зитных материалов. - 2002. - Т. 38, № 6. - С. 815-826.

52 Куликов, Г.М., Плотникова C.B. Контактная задача для геометрически нелинейной оболочки типа Тимошенко / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Прикладная математика и механика. - 2003. - Т. 67, № 6. - С. 940-953.

53 Куликов, Г.М. Контактное взаимодействие упругой пластины с жестким телом.

1. Геометрически линейная постановка / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова, Д.В. Казаков // Вестник ТГТУ. - 2004. - Т. 10, № 1Б. - С. 180-194.

54 Куликов, Г.М. Контактное взаимодействие упругой пластины с жестким телом.

2. Геометрически нелинейная постановка / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Вестник ТГТУ. - 2004. - Т. 10, № 2. - С.519-534.

55 Куликов, Г.М. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611939 "TMS3D - программа расчета нелинейных композитных тонкостенных конструкций в трехмерной постановке на основе геометрически точных четырехузловых конечных элементов" / Куликов Г.М., Плотникова C.B. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 14 мая 2007 г.

56 Куликов Г.М., Контактное взаимодействие многослойной композитной оболочки вращения с жестким выпуклым основанием / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Избранные проблемы прочности современного машиностроения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - С. 157-167.

57 Куликов, Г.М. Вариационные уравнения термоэлектроупругости для многослойной композитной оболочки / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова, В.П. Ярцев // Вестник ТГТУ. - 2009. - Т. 15, N 3. - С. 628-637.

58 Куликов, Г.М. Расчет композитных конструкций под действием следящих нагрузок с использованием геометрически точного элемента оболочки / Г.М.

Куликов, C.B. Плотникова // Механика композитных материалов. - 2009. - Т. 45, N 6. - С. 789-804.

59 Куликов, Г.М. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009611797 "TMS3DE6 - программа расчета многослойных композитных тонкостенных конструкций, подверженных электромеханическим воздействиям, на основе геометрически точных билинейных элементов оболочки" / Куликов Г.М., Плотникова C.B. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 6 апреля 2009 г.

60 Куликов, Г.М. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009613342 "TMS3DTE6 - программа расчета многослойных композитных тонкостенных конструкций, подверженных термоэлектромеханическим воздействиям, на основе геометрически точных билинейных элементов оболочки" / Куликов Г.М., Плотникова C.B. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 26 июня 2009 г.

61 Куликов, Г.М. Контактное взаимодействие композитных оболочек под действием следящих нагрузок с жестким выпуклым основанием / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Механика композитных материалов. - 2010. - Т. 46, № 1. -С. 61-78.

62 Куликов, Г.М. Решение связанной задачи термопьезоэлектричества на основе геометрически точного элемента оболочки / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова // Механика композитных материалов. - 2010. - Т. 46, № 4. - С. 513-534.

63 Куликов, Г.М. Свидетельство о государственной регистрации программы для . ЭВМ № 2010613022 " TMS3DE7 - программа расчета слоистых композитных

оболочек, подверженных электромеханическим воздействиям, на основе геометрически точного 7-параметрического билинейного конечного элемента " / Куликов Г.М., Плотникова C.B. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 6 мая 2010 года.

64 Куликов, Г.М. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010615621 "TMS3DTE7 - программа расчета слоистых композитных оболочек, подверженных термоэлектромеханическим воздействиям, на основе

геометрически точного 7-параметрического билинейного конечного элемента" / Куликов Г.М., Плотникова C.B. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 31 августа 2010 года.

65 Куликов, Г.М. Решение задачи статики для упругой оболочки в пространственной постановке / Г.М. Куликов, C.B. Плотникова / Доклады Академии Наук. -2011. - Т. 439, № 5. - С. 613-616.

66 Кюри, П. Избранные труды / П. Кюри. - М.: Наука, 1966. - 400 с.

67 Лопухин, К.А. Применение многосеточного метода для решения задачи о шине / К.А. Лопухин, C.B. Шешенин // Вестник Московского университета. Серия 1 : Математика. Механика, 2010. -№ 1. - С.62-66.

68 Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1980. -512 с.

69 Наседкин, A.B. К расчету по МКЭ пьезопреобразователей, нагруженных на акустическую среду / A.B. Наседкин // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 1999. -№ 1. - С.48-51.

70 Наседкин, A.B. Пакет ACELAN и конечно-элементное моделирование гидроакустических пьезопреобразователей / A.B. Наседкин, A.C. Скалиух, А.Н. Соловьев // Естесств. науки. 2001. Спецвыпуск. Математическое моделирование. С. 122-125.

71 Новацкий, В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новацкий. - М.: Мир, 1986.-160 с.

72 Новожилов, В.В. Теория тонких оболочек / В.В. Новожилов. - Л.: Судпромгиз. 1962.-432 с.

73 Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел / В.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. -М.: Наука, 1988. - 470 с.

74 Пацко, Н.Л. B-сплайны в методе конечных элементов / Н.Л. Пацко, Ю.Н. Субботин // Журнал вычислительной математики и физики. - 1998. - Т.38. № 1. -С. 15-24.

75 Плотникова, C.B. Расчет композитных оболочек с пьезоэлектрическими накладками / C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестник ТГТУ. - 2009. - Т. 15, №2.-С. 380-391.

76 Плотникова, C.B. Применение трехмерного элемента оболочки для расчета композитных конструкций с пьезоэлектрическими накладками /C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестник ТГТУ. - 2010. - Т. 16, № 2. - С. 375-386.

77 Плотникова, C.B. Применение МКЭ для расчета композитных оболочек с пьезоэлектрическими накладками при температурном воздействии /C.B. Плотни-

\

кова, Г.М. Куликов // Труды второй международной конференции "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела", Казань, 8-11 декабря 2009 г. - Казань: Казанский гос. ун-т, 2009. - С. 288-291.

78 Плотникова, C.B. Построение трехмерного элемента для расчета композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками /C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Математические методы в технике и технологиях. Сборник трудов XXIII Международной научной конференции. Т. 5. - Саратов: Саратов, гос. техн. ун-т, 2010.-С. 43-47.

79 Плотникова, C.B. Управление формой композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками, подверженных термомеханическому воздействию / C.B. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестник Университета им. Вернадского. — 2011. — № 3(34). - С. 72-80.

80 Плотникова, C.B. Управление формой слоистых композитных оболочек с пьезоэлектрическими актюаторами / C.B. Плотникова // Вестник ТГТУ. - 2011. - Т. 17, №3. - С. 735-743.

81 Плотникова, C.B. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615098 "Геометрически точный трехмерный конечный элемент пьезоэлектрической композитной оболочки TMS3DE9 для решения связанной задачи электроупругости" / Плотникова C.B., Куликов М.Г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 29 июня 2011 года.

82 Рикардс, Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. - Рига: Зннатне, 1988 - 284 с.

83 Соколов, C.J1. Расчет напряженно-деформированного состояния пневматических шин методом конечных элементов // С.Л. Соколов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. - № 1. - С. 57-62.

84 Тимошенко, С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 636 с.

85 Уилкинсон, Д. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра / Д. Уилкинсон, К. Райнш. - М.: Машиностроение, 1976. - 389 с.

86 Шешенин, С.В. Трехмерное моделирование шины / П.П. Шешенин // Известия РАН. Механика твердого тела, 2007. - № 3. - С. 13-21.

87 Шешенин, С.В. Трехмерное моделирование стационарного и нестационарного качения шины / С.В. Шешенин, П.Н. Демидович // Депонированная рукопись ВИНИТИ № 720-В2007 12.07.2007.

88 Ahmad, S. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / S. Ahmad, B. Irons, O.C. Zienkiewicz // International Journal for Numerical Methods in Engineering - 1970. - Vol. 2, № 3. - P. 419-451.

89 Alik, H. Finite element method for piezoelectric vibration / H. Alik, T.J.R. Hughes // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1970. Vol. 2, № 2. -P. 151-157.

90 Alik, H. Vibrational response of sonar transducers using piezoelectric finite elements / H. Alik, K.M. Webman, J.T. Hunt // Journal of the Acoustical Society of America. -1974.-Vol. 56, №6.-P. 1782-1791.

91 Altenbach, H. Eigen vibrations of plates made of functionally graded material / H. Altenbach, V.A. Eremeyev // Computers, Materials and Continua. - 2009. - V.9, № 2.-P. 153-177.

92 Arciniega, R.A. Tensor-based finite element formulation for geometrically nonlinear analysis of shell structures / R.A. Arciniega, J.N. Reddy // Computer methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2007. - Vol. 196, № 4-6. - P. 1048-1073.

93 Argyris, J.H. Nonlinear finite element analysis of elastic systems under nonconserva-tive loading - natural formulation. Part I. Quasistatic problems / J.H. Argyris, S.

Symeonidis // Computer methods in applied mathematics and engineering. - 1981. -Vol. 26, № 1.-P. 75-123.

94 Atluri, S. On the hybrid stress finite element model for incremental analysis of large deflection problems / S. Atluri // International Journal of Solids and Structures. -1973.-Vol. 9, № 10.-P. 1177-1191.

95 Ausserer, M.F. An eighteen-node solid element for thin shell analysis / M.F. Ausserer, S.W. Lee // International Journal for Numerical Methods Engineering. -1988.-Vol. 26, №6.-P. 1345-1364.

96 Bai, R.X. Shape control in composite laminates using piezoelectric actuators considering thermal deformation / R.X. Bai, H.R. Chen, Q. Wang, C. Yan // Advanced Materials Research. - 2008. - Vol. 32. - P. 125-130.

97 Balakhrishnan, A.V. Shape control of plates with piezo actuators and collocated position / rate sensors / A.V. Balakhrishnan // Applied Mathematics and Computation. - 1994. - Vol. 63, N 2-3. - P. 213-234.

98 Basar, Y. Refined shear-deformation models for composite laminates with finite rotations / Y. Basar, Y. Ding, R. Schultz // International Journal of Solids and Structures. - 1993. - Vol. 30, № 19. - P. 2611-2638.

99 Basar, Y. Composite laminates: nonlinear interlaminar stress analysis by multi-layer shell elements / Y. Basar, M. Itskov, A. Eckstein // Computer methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2000. - Vol. 185, № 2-4. - P. 367-397.

100 Bathe, K.J. A formulation of general shell elements - the use of mixed interpolation of tensorial components / K.J. Bathe, E.N. Dvorkin // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1986. - Vol. 22, № 3. - P. 697-722.

101 Bathe, K.J. Finite Element Procedures / K.J. Bathe. - New Jersey: Prentice Hall, 1996.- 1037 p.

102 Belytschko, T. A stabilization procedure for the quadrilateral plate element with one-point quadrature / T. Belytschko, C.-S. Tsay // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1983. - Vol. 19, № 3. - P. 405-419.

103 Belytschko, T. Physical stabilization of the 4-node shell element with one-point quadrature / T. Belytschko, I. Leviathan // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1994. - Vol. 113, № 3-4. - P. 321-350.

.104 Belytschko, T. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures / T. Belytschko, W.K. Liu, B. Moran. -N.Y.: Wiley, 2000. - 650 p.

105 Benjeddou, A. Advances in piezoelectric finite element modeling of adaptive structural elements: a survey / A. Benjeddou // Computers & Structures. - 2000. - Vol.76, № 1-3.-P. 347-363.

106 Bernadou, M. Modelization and numerical approximation of piezoelectric thin shells: Part II: Approximation by finite element methods and numerical experiments / M. Bernadou, C. Haenel // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2003. - Vol. 192, № 37-38. - P. 4045-4073.

107 Bischoff, M. On the physical significance of higher order kinematic and static variables in a three-dimensional shell formulation / M. Bischoff, E. Ramm // International Journal of Solids and Structures. - 2000. -Vol. 37, № 46-47. - P. 6933-6960.

108 Boland, P.L. Large deflection analysis of thin elastic structures by the assumed stress hybrid finite element method / P.L. Boland, T.H.H. Pian // Computer & Structures. - 1977. - Vol. 7, № 1. - P. 1-12.

109 Bondarev, P. Mathematical modelling and finite element simulation of smart tubular composites / P. Bondarev, L.S. Xanthis, A. Benjeddou, A. Nasedkin // Computers & Structures. - 2006. - Vol. 84, № 31-32. - P. 2385-2395.

110 Brank, B. Nonlinear shell models with seven kinematic parameters / B. Brank // Computer methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2005. - Vol.194, № 21-24.-P. 2336-2362.

111 Brank, B. Assesment of 4-node EAS-ANS shell elements for large deformation analysis / B. Brank // Computational Mechanics. - 2008. - Vol. 42, № 1. - P.39-51.

112 Braun, M. Nonlinear shell formulations for complete three-dimensional constitutive laws including composites and laminates / M. Braun, M. Bischoff, E. Ramm // Computational Mechanics. -1994. - Vol. 15, № 1. - P. 1-18.

113 Buchter, N. Shell theory versus degeneration - a comparison in large rotation finite element analysis / N. Buchter, E. Ramm // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1992. - Vol. 34, № 1. - P. 39-59.

114 Buchter, N. Three-dimensional extension of nonlinear shell formulation based on the enhanced assumed strain concept / N. Buchter, E. Ramm, D. Roehl // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1994. - Vol. 37, № 15. - P. 2551-2568.

115 Chandrashekhara, K. Adaptive shape control of composite beams with piezoelectric actuators / K. Chandrashekhara, S. Varadarajan // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 1997. - Vol.8. № 2. - P. 112-124.

116Carrera, E. Theories and finite elements for multilayered, anisotropic, composite plates and shells / E. Carrera // Archives of Computational Methods in Engineering. -2002. -Vol. 9, № 2. - P. 87-140.

117 Carrera, E. Plates and Shells for Smart Structures: Classical and Advanced Theories for Modeling and Analysis / E. Carrera, S. Brischetto, P. Nali. - Oxford: John Wiley & Sons Ltd, 2011.

118Chapelle, D. MITC elements for a classical shell model / D. Chapelle, D.L. Oliveira, M.L. Bucale // Computers & Structures. - 2003. - Vol. 81, № 8-11. - P. 523-533.

119 Chee, C. A buildup voltage distribution (BVD) algorithm for shape control of smart plate structures / C. Chee, L. Tong, G. Steven // Computational Mechanics. - 2000. -Vol. 26, №2.-P. 115-128.

120 Cho, M. Development of geometrically exact new elements based on general curvilinear coordinates / M. Cho, H.Y. Roh // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1993.-Vol. 56, № 8.-P. 81-115.

121 Cohen, G.A. Conservativeness of a Normal Pressure Field Acting on a Shell / G.A. Cohen // AIAA Journal. - 1966. - Vol. 4, № 8. - P. 1886.

122 Crawley, E.F. Induced strain actuation of isotropic and anisotropic plates / E.F. Crawley, K.B. Lazarus // AIAA Journal. - 1991. - Vol. 29. - P.944-951.

123 Danielson, K.T., Computational strategies for tire modeling and analysis / K.T. Danielson, A.K. Noor, J.S. Green // Computers & Structures. - 1996. - Vol. 61, № 4. -P. 673-693.

124 Dhatt, G.S. An efficient triangular shell element / G.S. Dhatt // AIAA Journal. -1970.-Vol. 8, № 11.-P. 2100-2102.

125 Dvorkin, E.N. A continuum mechanics based four-node shell element for general non-linear analysis / E.N. Dvorkin, K.J. Bathe // Engineering Computations. - 1984. -Vol. 1,№ l.-P. 77-88.

126 Faria, L.O. Tire modeling by finite elements / L.O. Faria, J.T. Oden, B. Yavary, W.W. Tworzydlo, J.M. Bass, E.B. Becker // Tire Science Technology. - 1992. - Vol. 20, № l.-P. 33-56.

127 Figueitedo, I.N. Optimal control of piezoelectric anisotropic plates / I.N. Figueiredo, G. Stadler // Proceedings of the III European Conference on Computational Mechanics. - 2006. - 8 p.

128 Frecker, M.I. Recent advances in optimization of smart structures and actuators / M.I. Frecker // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 2003. - Vol. 14,N4-5.-P. 207-216.

129 Guo, N. The finite element analysis of the vibration characteristics of piezoelectric discs / N. Guo, P. Cawley, D. Hitchings // Journal of Sound and Vibration. - 1992. -Vol. 159, № l.-P. 115-138.

130 Ha, S.K. Finite elemental analysis of composite structures containing distributed piezoceramic sensors and actuators / S.K. Ha, C. Keilers, F.-K. Chang // AIAA Journal. - 1992. - Vol. 30, N 3. - P. 772-780.

131 Han, J.H. Optimal placement of piezoelectric sensors and actuators foe vibration control of a composite plate using genetic algorithms / J.H. Han, I. Lee // Smart Materials and Structures. - 1999. - Vol. 8, N 2. - P.257-267.

132 Harnau, M. Algorithmic aspects in large deformation contact analysis using 'Solidshell' elements / M. Harnau, A. Konukhov, K. Schweizerhof // Computer & Structures. - 2005. - Vol. 83, № 21-22. - P. 1804-1823.

133 Hauptman, R. A systematic development of solid-shell element formulations for linear and non-linear analyses employing only displacement degrees of freedom / R. Hauptman, K. Schweizerhof // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1998. - Vol. 42, № 1. - P. 49-69.

134 Heppler GR, Hansen JS. A Mindlin element for thick and deep shells / G.R. Hep-pier, J.S. Hansen // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -1986.-Vol. 54, № 1.-P. 21-47.

135 Heyliger, P.R. Coupled discrete-layer finite elements for laminated piezoelectric plates / P.R. Heyliger, G. Ramirez, D.A. Saravanos // Communications in Numerical Methods in Engineering. - 1994. - Vol.10, № 12. - P. 971-981.

136 Heyliger, P.R. Layerwise mechanics and finite element model for laminated piezoelectric shells / P.R. Heyliger, K.C. Pei, D.A. Saravanos // AIAA Journal. -1996. -Vol. 34, № 11.-P. 2353-2360.

137 Hibbitt, D.J. Abaqus/Explicit User's Manual / D.J. Hibbitt, B. Karlsson, P. Sorensen - Hibbitt, Karlsson & Sorenson Inc., 2000.

138 Hughes, T.J.R. Nonlinear finite element analysis of shells. Part II: Two-dimensional shells / T.J.R. Hughes, W.K. Liu // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1981.-Vol. 27, № 2.-P. 167-181.

139 Hughes, T.J.R. Finite element based upon Mindlin plate theory with particular reference to the four-node bilinear isoparametric element / T.J.R. Hughes, T.E. Tezduyar // Journal of Applied Mechanics. - 1981. - Vol. 48, № 3. - P. 587-596.

140 Hughes, T.J.R. The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis / T.J.R. Hughes. - New Jersey: Prentice Hall, 1987. - 682 p.

141 Hwang, W.-S. Finite Element Modeling of Piezoelectric Sensors and Actuators / W.-S. Hwang, H.C. Park // AIAA Journal. - 1993. -Vol. 31, № 5. - P. 930-937.

142 Ibrahimbegovic A., Taylor R.L., Wilson E.L. A robust quadrilateral membrane finite element with drilling degrees of freedom / A. Ibrahimbegovic, R.L. Taylor, E.L. Wilson // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1990. -Vol. 30, №3.-P. 445-457.

143 Irschik, H. A review on static and dynamic shape control of structures by piezoelec-

- trie actuation / H. Irschik // Engineering Structures. - 2002. - Vol. 24, № 1. - P. 5-11.

144 Kagawa, Y. A new approach to analysis and design of electro-mechanical problems by finite element technique / Y. Kagawa // Journal of the Acoustical Society of America. - 1971.-Vol. 49,№5A.-P. 1348-1356.

145 Kant, T. Cylindrical bending of piezoelectric laminates with a higher order shear and normal deformation theory / T. Kant, S.M. Shiyekar // Computers & Structures. -2008.-Vol. 86, № 15-16.-P. 1594-1603.

146 Kim, K.O. Computational methods for frictionless contact with application to space orbiter nose-gear tires / K.O. Kim, J.A. Tanner, A.K. Noor, M.P. Robinson. // NASA - 1991. - TP-3073 (ADA307695) - 34 p.

147 Kim, Y.H. A solid element formulation for large deflection analysis of composite shell structures / Y.H. Kim, S.W. Lee // Computers & Structures. - 1988. - Vol. 30, № 1-2. - P. 269-274.

148 Klinkel, S. A continuum based three-dimensional shell element for laminated structures / S. Klinkel, F. Gruttmann, W. Wagner // Computers & Structures. - 1999. Vol. 71, № l.-P. 43-62.

149 Klinkel, S. A geometrically non-linear piezoelectric solid shell element based on a mixed multi-field variational formulation / S. Klinkel, W. Wagner // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2006. - Vol. 65, № 3. - P. 349-382.

150 Klinkel, S. A piezoelectric solid shell element based on a mixed variational formulation for geometrically linear and nonlinear application / S. Klinkel, W. Wagner // Computers & Structures. - 2008. - Vol. 86, № 1-2. - P. 38-46.

151 Koconis, D. B. Shape control of composite plates and shells with embedded actuators. II. Desired shape specified / D.B. Koconis, L.P. Kollar, G.S. Springer // Journal of composite materials. - 1994. - Vol. 28, № 5. - P.459-482.

152 Koiter, W.T. On the matematical foundation of shell theory / W.T. Koiter // Proc. Int. Congr. Math. (Nice, 1970), Gauther - Villars, Paris, 1971. Vol. 3. P. 123-130.

153 Konyukhov, A. Geometrically exact covariant approach for contact between curves / A. Konyukhov, K. Schweizerhof // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2010. - Vol. 199, № 37-40. - P. 2510-2531.

154 Kulikov, G.M. Computational models for multilayered composite shells with applications to tires / G.M. Kulikov // Tire Science and Technology. - 1996. - Vol. 24, № l.-P. 11-38.

155 Kulikov, G.M. Zur inneren Mechanik des Radialreifens. Teil 2.: Geschichtete Kompositschale mit diskreten Verschiebungsansatzen fur die einzelnen Schichten / G.M. Kulikov, F. Böhm, A. Duda, R.Wille, S.V. Plotnikova // Technische Mechanik. -2000.-Bd. 20, № 1.- S. 81-90.

156 Kulikov, G.M. Finite element formulation of straight composite beams undergoing finite rotations // G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Trans. TSTU. - 2001. - Vol. 7, N

4. - P.617-633.

157 Kulikov, G.M. Simple and effective elements based upon Timoshenko-Mindlin shell theory / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2002. - Vol. 191,№ 11-12. -P. 1173-1187.

158 Kulikov, G.M. Efficient mixed Timoshenko-Mindlin shell elements / G.M. Kulikov,

5.V. Plotnikova // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -2002.-Vol. 55, № 10.-P.l 167-1183.

159 Kulikov, G.M. Non-linear strain-displacement equations exactly representing large rigid-body motions. Part I. Timoshenko-Mindlin shell theory / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2003. -Vol. 192, № 7-8.-C.851-875.

160 Kulikov, G.M. Non-conventional non-linear two-node hybrid stress-strain curved beam elements / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Finite Elements in Analysis and Design. - 2004. - Vol. 40, № 11. - P.1333-1359.

161 Kulikov, G.M. Finite deformation plate theory and large rigid body motions / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2004. -Vol. 39, №7.-P. 1093-1109.

162 Kulikov, G.M. Assumed stress-strain four-node elements based on the finite deformation first-order theory of multilayered shells / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Proceedings of the 2004 International Conference on Computational & Experimental Engineering and Sciences, 26-29 July 2004, Madeira, Portugal. - Tech Science Press, 2004.-P. 2041-2046.

163 Kulikov, G.M. Equivalent single-layer and layer-wise shell theories and rigid-body motions - Part II: Computational Aspects / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2005. - Vol. 12, № 5. - P. 331-340.

164 Kulikov, G.M. Equivalent single-layer and layer-wise shell theories and rigid-body

- motions - Part I: Foundations / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2005. - Vol. 12, № 4. - P. 275-283.

165 Kulikov, G.M. Non-linear strain-displacement equations exactly representing large rigid-body motions. Part II. Enhanced finite element technique / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2006. -Vol. 195, № 19-22. - P. 2209-2230.

166 Kulikov, G.M. Geometrically exact assumed stress-strain multilayered solid-shell elements based on the 3D analytical integration / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computers & Structures. - 2006. - Vol. 84, № 19-20. - P. 1275-1287.

167 Kulikov, G.M. On the first-order seven-parameter plate theory / G.M. Kulikov // Transactions TSTU. - 2007. - Vol. 13, № 2E. - P. 518-528.

168 Kulikov, G.M. Non-linear geometrically exact assumed stress-strain four-node solid-shell element with high coarse-mesh accuracy / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Finite Elements in Analysis and Design. -2007. - Vol. 43, № 6-7. - P. 425-443.

169 Kulikov, G.M. Non-linear strain-displacement equations exactly representing large rigid-body motions. Part III. Analysis of TM shells with constraints / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -

2007. - Vol. 196, № 7. - P. 1203-1215.

170 Kulikov, G.M. Geometrically exact four-node piezoelectric solid-shell element / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. -

2008. - Vol. 15, № 3-4. - P. 199-207.

171 Kulikov, G.M Finite rotation geometrically exact four-node solid-shell element with seven displacement degrees of freedom / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Modeling in Engineering & Sciences. - 2008. - Vol. 28, № 1. - P. 15-38.

172 Kulikov, G.M. Geometrically Exact Assumed Stress-Strain Four-Node Element Based on the 9-Parameter Shell Model /G.M. Kulikov, E. Carrera, S.V. Plotnikova, S. Brischetto // Proceedings of the International Conference on Computational & Experimental Engineering and Sciences, Tech Science Press, 2008. - Vol. 5, № 3. - P. 187192.

173 Kulikov, G.M. Non-linear geometrically exact solid-shell element under follower loads / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Proceedings of the 9th Conference "Shell Structures: Theory and Applications", 14-16 October 2009, Gdansk-Jurata, Poland. -CRC Press, Taylor & Francis, 2009. - P. 257-260.

174 Kulikov, G.M. A family of ANS four-node exact geometry shell elements in general convected curvilinear coordinates / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2010. - Vol. 83, № 10. - P. 13761406.

175 Kulikov, G.M. Exact geometry piezoelectric solid-shell element based on 7-parameter model / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2011. - Vol. 18, №2. -P. 133- 146.

176 Kulikov, G.M. Finite rotation piezoelectric exact geometry solid-shell element with nine degrees of freedom per node / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computers, Materials & Continua. - 2011. - Vol. 23, № 3. - P. 233-264.

177 Kulikov, G.M. Non-linear exact geometry 12-node solid-shell element with three translational degrees of freedom per node / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2011. - Vol. 88, № 13. - P. 1363-1389.

178 Lage, R.G. Modelling of piezolaminated plates using layerwise mixed finite elements / R.G. Lage, C.M. Mota Soares, C.A. Mota Soares, J.N. Reddy // Computers & Structures. - 2004. - Vol. 82, № 23-26. - P. 1849-1863.

179 Lammering, R. Multi-field variational formulations and related finite elements for piezoelectric shells / R. Lammering, S. Mesecke-Rischman // Smart Material and Structures. - 2003. - Vol. 12, № 6. - P. 904-913.

180 Lammering, R. A four-node finite element for piezoelectric shell structures in convective coordinates / R. Lammering, F. Yang // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2009. - Vol. 16, № 3. - P. 198-209.

181 Laursen, T.A. A continuum-based finite element formulation for the implicit solution of multibody large deformation frictional contact problems / T. A. Laursen, J.C. Simo // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1993. - Vol. 36, №20.-P. 3451-3485.

182 Lee, H.-J. Coupled layerwise analysis of thermopiezoelectric composite beams / H.-J. Lee, D.A. Saravanos // AIAA Journal. - 1996. - Vol. 34, № 6. - P. 1231-1237.

183 Lee, S.W. Improvement of plate and shell finite elements by mixed formulation / S.W. Lee, T.H.H. Pian // AIAA Journal. - 1978. - Vol.16, № 1. - P. 29-34.

184 Lee, S. A nine-node assumed strain shell element for analysis of a coupled electromechanical system / S. Lee, N.S. Goo, H.C. Park, K.J. Yoon, C. Cho // Smart Materials and Structures. - 2003. - Vol. 12, № 3. - P. 355-362.

185 Liew, K.M. Finite element piezothermoelasticity analysis and the active control of FGM plates with integrated piezoelectric sensors and actuators / K.M. Liew, X.Q. He, T.Y. Ng, S. Kitipomchai // Computational Mechanics. - 2003. - Vol. 31, N 3-4 -P. 350-358.

186 Liew, K.M. Finite element piezothermoelasticity analysis and the active control of FGM plates with integrated piezoelectric sensors and actuators / K.M. Liew, X.Q. He, T.Y. Ng, S. Kitipomchai // Computational Mechanics. - 2003. - Vol. 31, № 3-4. -P. 350-358.

187 Lindberg, G.M. New developments in the finite element analysis of shells / G.M. Lindberg, M.D. Olson, G.R. Cowper // Quarterly Bulletin of Division of Mechanical Engineering and National Aeronautical Establishment, National Research Council of Canada. - 1969. - Vol. 4. - P. 1-38.

188 MacNeal, R.H. A simple quadrilateral shell element / R.H. MacNeal // Computers & Structures. - 1978.-Vol. 8, № 2. - P. 175-183.

189 MacNeal, R.H. Derivation of element stiffness matrices by assumed strain distribution / R.H. MacNeal // Nuclear Engineering and Design. - 1982. - Vol. 70, № 1. - P. 3-12.

190 MacNeal, R.H. A proposed standard set of problems to test finite element accuracy / R.H. MacNeal, R.L. Harder // Finite Elements in Analysis and Design. - 1985. -Vol. 1, № 1. - P. 3-20.

191 Marincovic, D. Degenerated shell element for geometrically nonlinear analysis of thin-walled piezoelectric active structures / D. Marincovic, H. Koppe, U. Gabbert // Smart Materials and Structures. - 2008. - Vol. 17, № 1, 015030. - 10 p.

192 Mikhasev, G. Theory of thin adaptive laminated shells based on magnetorheological materials and its application in problems on vibration suppression // G. Mikhasev , M. Botogova , E. Korobko // Advanced Structured Materials. Springer, 2011. - Vol. 15.- P. 727-750.

193 Mindlin, R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions on isotropic elastic plates / R.D. Mindlin // Journal of Applied Mechanics. - 1951. - V. 18, № 1.-P. 31-38.

194 Mohan, P. Development and applications of a flat Triangular Element for Thin Laminated Shells: Ph. D. Dissertation / P. Mohan - Department of Aerospace Engineering, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, Virginia, 1997.- 164 p.

195 Mohan, P. Updated Lagrangian Formulation of a Flat Triangular Element for Thin Laminated Shells // P. Mohan, R. Kapania / AIAA Journal. - 1998. - Vol. 36, №. 2. -P. 273-281.

196 Mukherjee, A. Piezolaminated beams with large deformations / A. Mukherjee, A. Saha Chaudhuri // International Journal of Solids and Structures. - 2002. - Vol. 39, № 17. -P. 4567^582.

197 Nagaya, K. Deflection shape control of a flexible beam by using shape memory allow wires under the genetic algorithm control / K. Nagaya, H. Ryu // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 1996. - Vol. 7, N 3. - P. 336-341.

198 Noor, A.K. Mixed finite element formulation for frictionless contact problems / A.K. Noor, K.O. Kim // Finite Elements in Analysis and Design. - 1989. - Vol. 4, №4.-P. 315-332.

199 Noor, A.K. Assessment of computational models for multilayered composite shells / A.K. Noor, W.S Burton // Applied Mechanics Reviews. - 1990. - Vol. 43. № 4. - P. 67-97.

200 Noor, A.K. Finite elements developed in cylindrical coordinates for three-dimensional tire analysis / A.K Noor, K.T. Danielson // Tire Science Technology. -1997. - Vol. 25, № 1. - P. 2-28,

201 Nour-Omid, B. A two-level iteration method for solution of contact problems / B. Nour-Omid, P. Wriggers // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1986. - Vol. 54, № 2. - P.131-144.

202 Pagano, N. J. Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates / N.J. Pagano // Journal of Composite Materials. - 1970. - Vol. 4, № 2. - P. 20-34.

203 Parisch, H. A continuum-based shell theory for non-linear applications / H. Parisch // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1995. - Vol. 38, № 11.-P. 4101-4122.

204 Park, H.C. An efficient assumed strain element model with six dof per node for geometrically nonlinear shells / H.C. Park, C. Cho, S.W. Lee // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1995. - Vol. 38, № 24. - P. 4101-4122.

205 Pian, T.H.H. Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distribution / T.H.H. Pian // AIAA Journal. - 1964. - Vol. 2, № 7. - P. 1333-1336.

206 Pian, T.H.H. Rational approach for assumed stress finite elements / T.H.H. Pian, K. Sumihara // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1984. -Vol. 20, №9,-P. 1685-1695.

207 Plotnikova, S.V. Piezoelectric four-node geometrically exact solid-shell element with seven displacement degrees of freedom / S.V. Plotnikova, M.G. Kulikov // Proceedings of the International Conference on Computational & Experimental Engineering and Sciences, 8-13 April 2009, Phuket, Thailand. - Tech Science Press. - P. 84-86.

208 Ray, M.C. Exact solution for static analysis of an intelligent structure under cylindrical bending / M.C. Ray, K.M. Rao, B. Samanta // Computers & Structures. - 1993. - Vol. 47, № 6. - P. 1031-1042.

209 Reddy, J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis / J.N. Reddy. - CRC Press, 2004. - 854 p.

210 Reddy, J.N. An introduction to nonlinear finite element analysis / J.N. Reddy. -Oxford: Oxford University press, 2004. - 463 p.

211 Reissner, E. On the founations of the theory of elastic shell / E. Reissner // Proc. ii Int. Congress of Appl. Mech. Munich, 1964. Springer - Verlag, 1964. P. 20-30.

212 Rhiu, J.J. A new efficient mixed formulation for thin shell finite element models / J.J. Rhiu, S.W. Lee // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1987. - Vol. 24, № 3. - P. 581-604.

213 Ridha, R.A. Advanced in tire mechanics / R.A. Ridha, M. Theves. - iSmithers Rapra Publishing, 1994. - 114 p.

214Robbins, D.H. Analysis of piezoelectrically actuated beams using a layer-wise displacement theory / D.H. Robbins, J.N. Reddy // Computers & Structures. — 1991. — Vol.41, №2.-P. 265-279.

215 Roh H.Y., Cho M. The application of geometrically exact shell elements to B-spline surfaces // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2004. - Vol. 193, № 11-12. - P.2261-2299.

216 Rogacheva, N.N. The Theory of Piezoelectric Shells and Plates / N.N. Rogacheva. -Boca Raton: CRC Press, 1994. - 249 p.

217Rothert, H. On the finite element solution of the three-dimensional tire contact problem / H. Rothert, H. Idelberger, W. Jacobi, G. Laging // Nuclear Engineering and Design. - 1984. - Vol.78, № 3. - P. 363-375.

218 Sadri, A.M. Modelling and optimal placement of piezoelectric actuators in isotropic plates using genetic algorithms / A.M. Sadri, J.R. Wright, R.J. Wynne // Smart Materials and Structures. - 1999. - Vol.8, N 4. - P. 490-498.

219 Sanders, J.L. Nonlinear theories for thin shells / J.L. Sanders // Quart. Appl. Math. -1963.-№21.- P. 21-36.

220 Sansour, C. A theory and finite element formulation of shells at the finite deformations involving thickness change: circumventing the use of a rotation tensor / C. Sansour // Archive of Applied Mechanics. - 1995. - Vol. 65, № 3. - P. 194-216.

221 Sansour, C. Families of 4-node and 9-node finite elements for a finite deformation shell theory. An assessment of hybrid stress, hybrid strain and enhanced strain elements / C. Sansour, F.G. Kollmann // Computational Mechanics. - 2000, Vol. 24, № 6.-P. 435-447.

222 Schweizerhof, K. Displacement dependent pressure loads in nonlinear finite element analysis / K. Schweizerhof, E. Ramm // Computers & Structures. - 1984. - Vol. 18, №6.-P. 1099-1114.

223 Seide, P. Large deformations of circular rings under nonuniform normal pressure / P. Seide, T. M. M. Jamjoom // Journal of Applied Mechanics. - 1974. - Vol. 41, № l.-P. 192-196.

224 Silva, M.S. The application of genetic algorithms for shape control with piezoelectric patches - an experimental comparison / S.M. Silva, R. Ribeiro, J.D. Rodrigues, M.A.P. Vaz, J.M. Monteiro // Smart Materials and Structures. - 2004. - Vol.13, N 1. -P. 220-226.

225 Simo, J.C. Finite deformation postbuckling analysis involving inelasticity and contact constraints / J.C. Simo, P. Wriggers, K.H. Schweizerhof, R.L. Taylor // Proc. Int. Conf. Innovative Methods for Nonlinear Problems, Swansea, Pineridge Press, 1984.-P. 365-387.

226 Simo, J.C. A perturbed Lagrangian formulation for the finite element solution of contact problems / J.C. Simo, P. Wriggers, R.L. Taylor // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1985. - Vol. 50, №2. - P. 163-180.

227 Simo, J.C. On a stress resultant geometrically exact shell model. Part I: formulation and optimal parameterization / J.C. Simo, D.D. Fox // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1989. - Vol. 72, № 3. - P. 267-304.

228 Simo, J.C. On a stress resultant geometrically exact shell model. Part II: The linear theory; Computational aspects. / J.C. Simo, D.D. Fox, M.S. Rifai // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1989. Vol. 73, № 1. - P. 53-92.

229 Simo, J.C. An augmented lagrangian treatment of contact problems involving friction / J.C. Simo, T.A. Larsen // Computers & Structures. - 1992. - Vol. 42, № 1. - P. 97-116.

230 Signorini, A. Sopra alcune questioni di elastostatica / A. Signorini // Atti della Soc. Italiana per il Progresso delle Scienze. -1933. - P. 513-533.

231 Signorini, A. Questioni di elasticita non linearizzata o semilinearizzata / A. Signo-roni // Rend, di Matem. e delle sue appl. -1959. - V. 18. - P. 1-45.

232 Stolarski, H. A simple triangular curved shell element / H. Stolarski, T. Belitschko, N. Carpenter, J.M. Kennedy // Engineering Computations. - 1984. - Vol. 1, № 3. - P. 210-218.

233 Suleman, A. A simple finite element formulation for a laminated composite plate with piezoelectric layers / A. Suleman, V. B. Venkayya // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 1995. - Vol. 6, № 6. - P. 776-82.

234 Sze, K.Y. A hybrid stress ANS solid-shell element and its generalization for smart structure modeling. Part I - solid-shell element formulation / K.Y. Sze, L.Q. Yao // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2000. - Vol. 48, № 4. -P. 545-564.

235 Sze, K.Y. A hybrid stress ANS solid-shell element and its generalization for smart structure modelling. Part II - Smart structure modelling / K.Y. Sze, L.Q. Yao, S. Yi // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2000. - Vol. 48, N 4. -P. 565-582.

236 Sze, K.Y. An eight-node hybrid-stress solid-shell element for geometric non-linear analysis of elastic shells / K.Y. Sze, W.K. Chan, T.H.H. Pian // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2002. - Vol. 55, № 7. - P. 853-878.

237 Sze, K. Y. Popular benchmark problems for geometric nonlinear analysis of shells / K. Y. Sze, X.H. Liu, S.H. Lo // Finite Elements in Analysis and Design. - 2004. -Vol. 40, № 11.-P. 1551-1569.

238 Tan, X.G. Optimal solid shell element for large deformable composite structures with piezoelectric layers and active vibration control / X.G. Tan, L. Vu-Quok // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2005. - Vol. 64, № 15. -P. 1981-2013.

239 Tanner, J.A. Static frictional contact of the Space Shuttle nose-gear tire / J.A. Tanner, V.J. Martinson, M.P. Robinson // Tire Science and Technology. - 1994. -Vol.22, № 4. - P. 242-272.

240 Taylor, R.L. Finite element analysis of linear shell problems / R.L. Taylor // J.R.

. Whiteman (Ed), The Mathematics of Finite Elements and Applications VI, (MAFE-

LAP 1987). - London: Academic Press Ltd, 1988. - P. 191-204.

241 Timoshenko, S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars / S.P. Timoshenko // Philosophical Magazine and Journal of Science. Series 6. - 1921. - Vol. 41. - P. 744-746.

242 Tong, D. Optimal shape control of composite thin plates with piezoelectric actuators / D. Tong, R.L. Williams, S.K. Agrawal // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 1998. - Vol. 9, № 6 - P. 458-467.

243 Tzou, H.S. Distributed piezoelectric sensor/actuator design for dynamic measurement/control of distributed parameter systems: A piezoelectric finite element approach / H.S. Tzou, C.I. Tseng // Journal of Sound and Vibration. - 1990. - Vol. 138, № 1.-P. 17-34.

244 Tzou, H.S. Piezoelectric Shells: Distributed Sensing and Control of Continua / H.S. Tzou. - Dordrecht: Kluwer Academic, 1993. - 468 p.

245 Tzou, H.S. Analysis of Piezoelastic Structures with Laminated Piezoelectric Triangle Shell Elements / H.S. Tzou, R. Ye // AIAA Journal. - 1996. - Vol. 34, № 1. - P. 110-115.

246 Valeris, D. Nonlinear coupled mechanics and initial buckling of composite plates with piezoelectric actuators and sensors / D. Valeris, D.A. Saravanos // Smart Material and Structures. - 2002. - Vol. 11, № 3: 330.

247 Valeris, D. Coupled buckling and postbuckling analysis of active laminated piezoelectric composite plates / D. Valeris, D.A. Saravanos // International Journal of Solids and Structures. - 2004. - Vol. 41, № 5-6. - P. 1519-1538.

248 Varadan, T.K. Bending of laminated orthotopic cylindrical shells - an elasticity approach / T.K. Varadan, K. Bhaskar // Computers & Structures. - 1991. - Vol. 17, №2.-P. 141-156.

249 Varadarajan, S. Adaptive shape control of laminated composite plates using piezoelectric materials / S. Varadarajan, K. Chandrashekhara, S. Agarwal // AIAA Journal. -1998. - Vol. 36, № 9. - P. 1694-1698.

250 Vel, S.S. Analysis of piezoelectric bimorphs and plates with segmented actuators / S.S. Vel, R.S. Batra // Thing-Walled Structures. - 2001. - Vol. 39, № 1. - P. 23^44.

251 Vel, S.S Generalized plane strain thermopiezoelectric analysis of multilayered plates actuators / S.S. Vel, R.S. Batra // Journal of Thermal Stresses. - 2003. - Vol. 26, №4.-P. 353-377.

252 Voigt, W. Lehbuch der Kristall-Physic / W. Voigt. - Leipzig: Teubner. - 1910. -247 p.

253 Vu-Quoc, L. Geometrically-exact sandwich shells: the static case / L. Vu-Quoc, H. Deng, X.G. Tan // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2000.-Vol. 189, № l.-P. 167-203.

254 Wempner, G. A simple and efficient approximation of shells via finite quadrilateral elements / G. Wempner, D. Talaslidis, C.M. Hwang // Journal of Applied Mechanics. - 1982.-Vol. 48, № 1.-P.115-120.

255 Wing, K. Resultant-stress degenerated-shell element / K. Wing, D. Lam, W.K. Liu, E.S. Law, D. Lam, T. Belytschko // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1986. - Vol. 55, № 3. - P. 259-300.

256 Wriggers, P. Computational contact mechanics / P. Wriggers. - Wiley, 2002. - 464 P-

257 Wriggers, P. A note on tangent stiffness matrices for fully nonlinear contact problems / P. Wriggers, J.C. Simo // Communications in Applied Numerical Methods. -1985.-Vol. 1, № 5. - P. 199-203.

258 Wriggers, P. Algorithms for non-linear contact constraints with application to stability problems of rods and shells / P. Wriggers, W. Wagner, E. Stein // Computational Mechanics. - 1987. Vol. 2, № 3. - P. 215-230.

259 Zheng, S. The formulation of a refined hybrid enhanced assumed strain solid shell element and its application to model smart structures containing distributed piezoelectric sensors/actuators / S. Zheng, X. Wang, W. Chen // Smart Materials and Structures. - 2004. - Vol. 13, № 4. - P. N43-N50.

260 Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method. Volume 2: Solid and Fluid Mechanics, Dynamics and Non-linearity (4th edn) / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. - New York: McGrow-Hill, 1991.-485 p.

261 Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method. Volume 1: The Basis (5th edn) / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. - Oxford: Butterworth Heinemann, 2000. - 581 p.

262 Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method - Solid Mechanics / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. - Oxford: Butterworth Heinemann, 2000. - 457 p.

263 Zienkiewicz, O.C. Reduced integration technique in general analysis of plates and shells / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.M. Too // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1971. - Vol.3, № 2. - P. 275-290.

264 Zhong, Z.H. Finite element procedures for compact-impact problems / Z.H. Zhong. - Oxford: Oxford University Press Inc., 1993. - 371 p.

265 Zouari, W A FSDT-MITC Piezoelectric Shell Finite Element with Ferroelectric Non-Linearity / W. Zouari, T. Ben Zineb, A. Benjeddou // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 2009. - Vol. 20. - P. 2055-2075.

Приложение А. Программный код процедуры построения матрицы жесткости геометрически точного конечного элемента 7-параметрической электроупругой оболочки на языке программирования DELPHI.

{Построение линейной составляющей деформационной матрицы} procedure Rzap7(k, kfi: integer; dx, df: real;

var RO, Rl, R2, R12, ReO, Rel, Re2, Rel2: pMatrixRl 1); vari,j, 1, kfil: integer;

h_,kx, kf, Al_, A2_, kl_, k2_, B11, B21, B12, B22, Al_lt, Al_rt, A2_lt, A2_rt, Al Jb, Al_rb, A2_lb, A2_rb, B11_1, B1 l_r, B21J, B21_r, B12_l, B12_r, kl_l, kl_r, k2_l, k2_r: real;

lam 11m, lam 12m, lam21m, lam22m, lam31m, lam32m, lam lip, laml2p, lam21p, lam22p, lam31p, lam32p, betl, bet2, bet3m, bet3p, el lm, el lp, e22m, e22p, el2m, el2p, el3, e23, el3m, el3p, e23m, e23p, еЗЗт, еЗЗр, eelm, eelp, ee2m, ee2p, ee3: pMatrixROl; mulm, mu2m, mulp, mu2p: pVectorRO; begin h_:=0;

if structure-patch' then for i:=2 to ns-1 do h_:=h[i,k,kfi]+h_ else for i:=l to ns do h_:=h_+h[i,k,kfi]; if kfi+ l>Nf then kfi 1 :=1 else kfi 1 :=kfi+1; A1 _lb:=A 1 [k-1 ,kfi]; A1 _lt:=A 1 [k-1 ,kfi 1 ]; A1 _rb :=A1 [k,kfi]; A1 _rt:=A1 [k,kfi 1 ]; A2_lb:=A2 [k-1 ,kfi]; A2_lt :=A2 [k-1 ,kfi 1 ]; A2_rb :=A2 [k,kfi]; A2_rt:=A2[k,kfi 1 ]; kl_l:=kl [k-1 ,kfi]; kl_r:=kl [k,kfi]; k2_l: =k2 [k-1 ,kfi]; k2__r:=k2 [k,kfi]; B21_l:=-ro 1 [k-1 ,kfi]; B21 _r:=-ro 1 [k,kfi]; B1 l_l:=-ro2[k-l,kfi]; B1 l_r:=-ro2[k,kfi]; B12:=0; B22:=0;

InitVector(mulm,4,sizeofreal); InitVector(mu2m,4,sizeofreal); InitVector(mulp,4,sizeofreal); InitVector(mu2p,4, sizeofreal) ; InitMatrix(laml lm,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(laml 2m,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(lam2 lm,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(lam22m,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(lam3 lm,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(lam32m,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(laml lp,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(laml2p,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(lam2lp,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(lam22p,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(lam3 lp,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(lam32p,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(betl ,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(bet2,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(bet3m,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(bet3p,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(el lm,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(el2m,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(e22m,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(el lp,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(el2p,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(e22p,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(e 13,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(e23,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(e33m,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(e33p,4,4*M, sizeofreal); InitMatrix(ee 1 m,4*Ns,4*(Ns+1 ), sizeofreal);

InitMatrix(ee 1 p,4*Ns,4*(Ns+1), sizeofreal); InitMatrix(ee2m,4*Ns,4*(Ns+l), sizeofreal); InitMatrix(ee2p,4*Ns,4*(Ns+l), sizeofreal); InitMatrix(ee3,4*Ns,4*(Ns+l), sizeofreal); for j:=l to 4*M do begin for i:=l to N2 do R0[i j]:=0;

for i:=l to N21 do begin Rl[ij]:=0; R2[i,j]:=0 end; for i:=l to N22 do R12[iJ]:=0; end;

for i:=l to 5*Ns do for j:=l to 4*(Ns+l) do

begin Re0[i,j]:=0; Rel[i,j]:=0; Re2[ij]:=0; Rel2[i,j]:=0 end;

for i:=0 to 3 do

begin

if (i=0) or (i=l) then kx:=-l/dx else kx:=l/dx; if (1=0) or (i=3) then kf:=-l/df else kf:=l/df; if i=0 then begin Al_:=Al_lb; A2_:=A2_lb end; if i=l then begin Al_:=Al_lt; A2_:=A2_lt end; if i=2 then begin Al_:=Al_rt; A2_:=A2_rt end; if i=3 then begin Al_:=Al_rb; A2_:=A2_rb end; if i<=l then

begin B11 :=B 11_1; kl_:=kl_l; k2_:=k2_l; B21 :=B21_1; mu 1 m[i]:=l-kl_*h_/2; mu2m[i]:= 1 -k2_*h_/2; mulp[i]:=l+kl_*h_/2; mu2p[i]:=l+k2_*h_/2 ;

end

else

begin B11 :=B1 l_r; kl_:=kl_r; k2_:=k2_r; B21 :=B21_r; mu 1 m[i] := 1 -kl_*h_/2; mu2m[i] :=1 -k2_*h_/2; mulp[i]:=l+kl_*h_/2; mu2p[i]:=l+k2_*h_/2; end;

begin B11:=B1 l_r; kl_:=kl_r; k2_:=k2_r; B21:=B21_r; mulm[i]:=l-kl_*h_/2; mu2m[i]:=l-k2_*h_/2;

mulp[i]:=l+kl_*h_/2;mu2p[i]:=l+k2_*h_/2; end;

lamí lm[i,l+i*M]:=kx/Al_; lamí lm[i,3+i*M]:=B12; lamí lm[i,5+i*M]:=kl_; lam21 m[i, 1 +i*M]:=-B 12; lam21 m[i,3+i*M]:=kx/A 1_; lam31 m[i, 1 +i*M] :=-kl_; lam31 m[i,5+i*M] :=kx/A 1_;

lam22m[i, 1 +i*M] :=B21; lam22m[i,3+i*M] :=kf/A2_; lam22m[i,5+i*M] :=k2_; lamí2m[i, 1 +i*M]:=kf/A2_; lamí 2m[i,3+i*M]:=-B21;

lam32m[i,3+i*M]:=-k2_; lam32m[i,5+i*M] :=kf/A2_; lamílp[i,2+i*M]:=kx/Al_; lamílp[i,4+i*M]:=B12; lamí lp[i,6+i*M]:=kl_; lam21p[i,2+i*M]:=-B12; lam21p[i,4+i*M]:=kx/Al_; lam3 lp[i,2+i*M]:=-kl_; lam31p[i,6+i*M]:=kx/Al_;

lam22p[i,2+i*M]:=B21; lam22p[i,4+i*M]:=kf/A2_; lam22p[i,6+i*M]:=k2_; laml2p[i,2+i*M]:=kf/A2_; laml2p[i,4+i*M]:=-B21;

lam32p[i,4+i*M] :=-k2_; lam32p[i,6+i*M] :=kf/A2_; Bet 1 [i,l +i *M] :=-1 /h_; Bet 1 [i,2+i*M] :=1 /h_; Bet2[i,3+i*M]:=-l/h_; Bet2[i,4+i*M]:=l/h_;

Bet3m[i,5+i*M]:=-3/h_; Bet3m[i,6+i*M] :=-l/h_; Bet3m[i,7+i*M] :=4/h_; Bet3p[i,5+i*M]:=l/h_; Bet3p[i,6+i*M]:=3/h_; Bet3p[i,7+i*M]:=-4/h_; for 1:=1 to Ns do begin

eelm[i+(l-l)*4,l+i*(Ns+l)]:=kx/Al_; eelp[i+(l-l)*4,l+l+i*(Ns+l)]:=kx/Al_; ee2m[i+(l-1 )*4,l+i*(Ns+1)] :=kf/A2_; ee2p[i+(l-1 )*4,1+1 +i*(Ns+1)] :=kf/A2_; if h[l,k,kfi]>0 then ee3 [i+(l-1 )*4,l+i*(Ns+1)] :=-1 /h[l,k,kfi]

else ee3 [i+(l-1 )*4,l+i*(Ns+1)] :=0; if h[l,k,kfi]>0 then ee3[i+(l-l)*4,l+l+i*(Ns+l)]:=l/h[l,k,kfi] else ee3 [i+(l-1 )*4,1+1 +i*(Ns+1)] :=0;

end {1}; end {i};

lamílm[0,l+3*M]:=l/dx/Al_lb; lamí lm[l,l+2*M]:=l/dx/Al_lt; lam 11 m[2,1+1 *M]:=- 1/dx/A l_rt; lam 11 m[3,1 +0*M]:=- 1/dx/A 1 _rb; lam21m[0,3+3*M]:=l/dx/Al_lb; lam21m[l,3+2*M]:=l/dx/Al_lt;

lam21 m[2,3+1 *M]:=- 1/dx/Al_rt; lam21 m[3,3+0*M]:=-1 /dx/Al_rb; lam31m[0,5+3 *M]:=1/dx/A l_lb; lam31m[l,5+2*M]:=l/dx/Al_lt; lam31 m[2,5+1 *M]:=-l/dx/Al_rt; lam31m[3,5+0*M]:=-l/dx/Al_rb; lam 12m[0,l+l*M]:= l/df/A2_lb; lam 12m[ 1,1 +0*M]:=-1 /df/A2_lt; lam 12m[2,l+3*M]:=-1 /df/A2_rt; lam 12m[3,1 +2 *M] 1 /df/A2_rb; lam22m[0,3+l*M]:=l/df/A2_lb; lam22m[l,3+0*M]:=-l/df/A2_lt; lam22m[2,3+3*M]:=-l/df/A2_rt; lam22m[3,3+2*M]:=l/df/A2_rb; lam32m[0,5+1 *M]:=l/df/A2_lb; lam32m[ 1,5+0*M]:=-l/df/A2_lt; lam32m[2,5+3*M]:=-l/df/A2_rt; lam32m[3,5+2*M]:=l/df/A2_rb; lamllp[0,2+3*M]:=l/dx/Al_lb; lamllp[l,2+2*M]:=l/dx/Al_lt; laml lp[2,2+l*M]:=-l/dx/Al_rt; laml lp[3,2+0*M]:=-l/dx/Al_rb; lam21p[0,4+3*M]:=l/dx/Al_lb; lam21p[l,4+2*M]:=l/dx/Al_lt; lam21p[2,4+1 *M]:=- 1/dx/Al_rt; lam2lp[3,4+0*M]:=- 1/dx/Al_rb; lam31 p[0,6+3*M]:=1 /dx/A 1 _lb; lam3lp[l,6+2*M]:=1 /dx/Aljt; lam31p[2,6+l*M]:=-l/dx/Al_rt; lam31p[3,6+0*M]:=-l/dx/Al_rb; lam 12p[0,2+1 *M] := 1 /df/A2_lb; lam 12p[ 1,2+0*M] :=-1 /df/A2_lt; laml2p[2,2+3*M]:=-l/df/A2_rt; laml2p[3,2+2*M]:=l/df/A2_rb; lam22p[0,4+l*M]:=l/df/A2_lb; lam22p[l,4+0*M]:=-l/df/A2_lt; lam22p[2,4+3*M]:=-1 /df/A2_rt; lam22p[3,4+2*M]:=l/df/A2_rb; lam32p[0,6+1 *M]:=1 /df/A2_lb; lam32p[l,6+0*M]:=-l/df/A2_lt; lam32p[2,6+3*M]:=-l/df/A2_rt; Iam32p[3,6+2*M]:=l/df/A2_rb; for 1 := 1 to Ns do begin

ee 1 m[0+(l-1 )*4,l+3 * (Ns+1)] :=1 /dx/A 1 Jb; eelm[l+(l-l)*4,l+2*(Ns+l)]:=l/dx/Al_lt; ee 1 m[2+(l-1 )*4,1+1 *(Ns+1)] :=-1 /dx/A 1 _rt; eelm[3+(l-l)*4,l+0*(Ns+l)]:=-l/dx/Al_rb; ee 1 p[0+(l-1 )* 4,1+1+3 * (Ns+1)] :=1 /dx/A 1 _lb; eelp[l+(l-l)*4,l+l+2*(Ns+l)]:=l/dx/Al_lt; ee 1 p [2+(l-1 )* 4,1+1+1 * (Ns+1)] :=-1 /dx/A 1 _rt; eelp[3+(l-l)*4,l+l+0*(Ns+l)]:=-l/dx/Al_rb;

ee2m[0+(l-1 )*4,1+1 * (Ns+1)] :=1 /df/A2_lb; ee2m[ 1 +(1-1 )* 4,1+0* (Ns+1)] :=-1 /df/A2_lt; ee2m[2+(l-1 )* 4,1+3 * (Ns+1)] :=-1 /dtfA2_rt; ee2m[3+(l-l)*4,l+2*(Ns+l)]:=l/df/A2_rb; ee2p[0+(l-1 )* 4,1+1+1 * (Ns+1)] :=1 /df/A2_lb; ee2p [ 1 +(1-1 )* 4,1+1+0* (Ns+1)] :=-1 /df/A2_lt; ee2p[2+(l-1 )* 4,1+1 +3 * (Ns+1)] :=-1 /df/A2_rt; ee2p[3+(l-1 )*4,1+1 +2*(Ns+1)] :=1 /df/A2_rb; end {1};

for i:=0 to 3 do for j:=l to 4*M do begin

ellm[i,j]:=mulm[i]*laml lm[i,j]; el lp[i,j]:=mulp[i]*laml lp[i,j];

e22m[i,j]:=mu2m[i]*lam22m[i,j]; e22p[i,j]:=mu2p[i]*lam22p[i,j];

e 12m[i,j] :=mu 1 m[i] * lam 12m[i,j]+mu2m[i] *lam21 m[i,j];

el2p[i,j]:=mulp[i]*laml2p[i,j]+mu2p[i]*lam21p[i,j];

el3[i,j]:=(mulm[i]+mulp[i])/2*betl[i,j]+(lam31m[i,j]+lam31p[i,j])/2;

e23[i,j]:=(mu2m[i]+mu2p[i])/2*bet2[i,j]+(lam32m[i,j]+lam32p[i,j])/2;

end;

for j:=l to 4*M do begin

R0[l,j]:=(el lm[0,j]+el lm[l,j]+el lm[2,j]+el lm[3,j])/4; R0[2 j]:=(el lp[0 j]+el lp[l j]+el lp[2,j]+el lp[3,j])/4; R0[3,j]:=(e22m[0,j]+e22m[l,j]+e22m[2,j]+e22m[3,j])/4; R0[4,j]:=(e22p[0,j]+e22p[l,j]+e22p[2,j]+e22p[3,j])/4; R0[7,j]:=(el2m[0,j]+el2m[l,j]+el2m[2,j]+el2m[3,j])/4; R0[8,j]:=(el2p[0,j]+el2p[l,j]+el2p[2,j]+el2p[3,j])/4; R0[9,j]:=(el3[0,j]+el3[l,j]+el3[2,j]+el3[3,j])/4; R0[10,j]:Ke23[0,j]+e23[l,j]+e23[2,j]+e23[3,j])/4; Rl[5,j]:=(-e23[0,j]-e23[l,j]+e23[2,j]+e23[3,j])/4; R2[5,j]:=(-el3[0,j]+el3[l,j]+el3[2,j]-el3[3,j])/4; R0[5,j]:=(e33m[0,j]+e33m[l,j]+e33m[2,j]+e33m[3,j])/4;

R0[6,j]Ke33p[0,j]+e33p[l,j]+e33p[2,j]+e33p[3,j])/4;

RI [ 1 J] :=(-e22m[0,j]-e22m[ 1 ,j]+e22m[2,j]+e22m[3 ,j])/4;

Rl[2,j]:K-e22p[0,j]-e22p[lj]+e22p[2,j]+e22p[3j])/4;

Rl[3,j]:=(-e33m[0,j]-e33m[l,j]+e33m[2,j]+e33m[3j])/4;

Rl[4,j]:=(-e33p[0,j]-e33p[lJj]+e33p[2,j]+e33p[3,j])/4;

R2[l,j]:=(-el lm[0,j]+el lm[l,j]+el lm[2,j]-el lm[3,j])/4;

R2[2,j]:=(-ellp[0,j]+ellp[l,j]+ellp[2,j]-ellp[3j])/4;

R2[3,j]:=(-e33m[0,j]+e33m[lj]+e33m[2,j]-e33m[3j])/4;

R2[4,j]:K-e33p[0,j]+e33p[l,j]+e33p[2,j]-e33p[3,j])/4;

R12[l,j]:=(e33m[0,j]-e33m[l,j]+e33m[2j]-e33m[3,j])/4;

R12[2,j]:=(e33p[0,j]-e33p[l,j]+e33p[2,j]-e33p[3,j])/4;

end;

for 1:=1 to 4*(Ns+l) do for j:=l to Ns do

begin

Re0[l+(j-l)*5,l]:=(eelm[0+(j-l)*4,l]+eelm[l+(j-l)*4,l]

+ee 1 m[2+(j-l )*4,l]+ee 1 m[3+(j-1 )* 4,l])/4;

Re0[2+(j-1 )*5,1] :=(eelp[0+(j-l )*4,l]+ee lp[l+(j-1 )*4,1]

+eelp[2+(j-l)*4,l]+eelp[3+(j-l)*4,l])/4;

Re0[3+(j-l)*5,1] :=(ee2m[0+(j-l)*4,l]+ee2m[ 1+G -1 )*4,1]

+ee2m[2+(j-1 )*4,l]+ee2m[3+(j-1 )*4,l])/4;

Re0[4+(j-l)*5,l]:=(ee2p[0+(j-l)*4,l]+ee2p[l+(j-l)*4,l]

+ee2p[2+(j-l)*4,l]+ee2p[3+(j-l)*4,l])/4;

Re0[5+(j-l)*5,l]:=(ee3[0+(i-l)*4,l]+ee3[l+(j-l)*4,l]+ee3[2+(j-l)*4,l] +ee3 [3+(j- l)*4,l])/4;

Rel[l+(j-l)*5,l]:=0; Rel[2+(j-l)*5,l]:=0;

Re 1 [3+G -1 )* 5,1] :=(-ee2m[0+(j-l )*4 ,l]-ee2m[ 1+G -1 )*4Д]

+ee2m[2+(j-l)*4,l]+ee2m[3+(j-l)*4,l])/4;

Re 1 [4+G -1 )* 5,1] :=(-ee2p[0+(j -1 )*4,l]-ee2p[ 1 +(j-1 )*4,1]

+ee2p[2+(j-l )*4J]+ee2p[3+G-1 )*4,l])/4;

Rel[5+G-l)*5,l]:=(-ee3[0+G-l)*4,l]-ee3[l+G-l)*4,l]+ee3[2+G-l)*4,l] +ee3[3+G-l)*4,l])/4;

Re2[3+(j-l)*5,l]:=0; Re2[4+(j-l)*5,l]:=0;

Re2[l+(j-l)*5J]:=(-eelm[0+(j-l)*4J]+eelm[l+(j-l)*4J]+eelm[2+(j-l)*4,l]

-eelm[3+(j-l)*4,l])/4; Re2[2+(j-l)*5,l]:=(-eelp[0+(j-l)*4,l]+eelp[l+(j-l)*4,l]+eelp[2+(j-l)*4,l]

- eelp[3+(j-l)*4,l])/4; Re2[5+(j-l)*5,l]:=(-ee3[0+(j-l)*4,l]+ee3[l+(j-l)*4,l]+ee3 [2+(j-l)*4,l]

-ee3[3+(j-l)*4,l])/4; Rel2[l+(j-l)*5,l]:=0; Rel2[2+(j-l)*5,l]:=0; Rel2[3+(j-l)*5,l]:=0; Rel2[4+(j-l)*5,l]:=0;

Rel2[5+(j-l)*5,l]:=(ee3 [0+(j-l)*4,l]-ee3[l+(j-l)*4,l]+ee3[2+(j-l)*4,l] -ee3[3+(j-l)*4,l])/4;

end;

DoneVector(mulm,4,sizeofreal); Done Vector(mu2m,4,sizeofreal); DoneVector(mulp,4,sizeofreal); Done Vector(mu2p,4,sizeofreal); DoneMatrix(laml lm,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(laml2m,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(lam2 lm,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(lam22m,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(lam3 lm,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(lam32m,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(laml lp,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(lam 12p,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(lam2lp,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(lam22p,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(lam3 lp,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(lam32p,4,4*M, sizeofreal);

DoneMatrix(betl ,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(bet2,4,4 * M, sizeofreal); DoneMatrix(bet3m,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(bet3p,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(el lm,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(e 12m,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(e22m,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(el lp,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(e 12p,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(e22p,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(e 13,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(e23,4,4*M, sizeofreal) end DoneMatrix(e33m,4,4*M, sizeofreal); DoneMatrix(e33p,4,41*M, sizeofreal); DoneMatrix(ee 1 m,4*Ns,4*(Ns+1 ), sizeofreal); DoneMatrix(eelp,4*Ns,4*(Ns+l), sizeofreal); DoneMatrix(ee2m,4*Ns,4*(Ns+l), sizeofreal); DoneMatrix(ee2p,4*Ns,4*(Ns+l), sizeofreal); DoneMatrix(ee3,4*Ns,4*(Ns+1 ), sizeofreal); end;

Procedure PsiZap(k,kfi: integer; dx,df: real; Rlt,R2t,R12t: pVectorll;

var PsiO,Psi 1 ,Psi2,Psi 12: pCubeRl 11); {Процедура построения трехмерного массива (нелинейная составляющая деформационных соотношений)} var N1, i, j, rx, rf,l, 11,1 2,13,14, Im: integer;

h_, Al_, A2_, kl_, k2_, Bl, B2, kx, kf, г, B12, B22, Bll, B21, Al_l, Al_r, A2_l, A2_r, B21_l, B21_r, Bl 1_1, Bl l_r, kl_l, kl_r, k2_l, k2_r : real; Q: pMatrixCubeROOl 11;

Tim, Tip, T2m, T2p, Lim, L2m, Lip, L2p, Olm, Olp, 02m, 02p, Bel, Be2, ВеЗт, ВеЗр: PCubeROOl;

begin N1:=M*4; if structure-patch'

then for i:=2 to ns-1 do h_:=h[i,k,kfi]+h_ else for i:=l to ns do h_:=h_+h[i,k,kfi]; A1 _1 :=A 1 [k-1 ,kfi]; Al_r:=Al [k,kfi]; A2_l :=A2 [k-1 ,kfi]; A2_r:=A2[k,kfi]; kl_l:=kl [k-1 ,kfi]/4; kl_r:=kl [k,kfi]/4; k2_l :=k2 [k-1 ,kfi]/4; k2_r:=k2[k,kfi]/4; B2 l_l:=-rol [k-1 ,kfi]/4; B2 l_r:=-rol [k,kfi]/4; B1 l_l:=-ro2[k-l,kfi]/4; B1 l_r:=-ro2[k,kfi]/4; B12:=0; B22:=0;

InitCube(T 1 m,2,2,N 1,SizeOfReal); InitCube(Tlp,2,2,Nl,SizeOfReal); InitCube(T2m,2,2,Nl ,SizeOfReal); InitCube(T2p,2,2,Nl ,SizeOfReal); InitCube(L 1 m,2,2,Nl,SizeOfReal); InitCube(Llp,2,2,Nl,SizeOfReal); InitCube(L2m,2,2,Nl,SizeOfReal); InitCube(L2p,2,2,Nl,SizeOfReal); InitCube(01 m,2,2,N 1 ,SizeOfReal); InitCube(01p,2,2,Nl,Size0fReal); InitCube(02m,2,2,Nl ,SizeOfReal); InitCube(02p,2,2,Nl ,SizeOfReal); InitCube(Bel,2,2,Nl,SizeOfReal); InitCube(Be2,2,2,Nl,SizeOfReal); InitCube(Be3m,2,2,Nl ,SizeOfReal); InitCube(Be3p,2,2,Nl ,SizeOfReal); InitMatrixCube(Q,3,3,N2,Nl ,N1 ,Sizeofreal); for 11 :=0 to 1 do for 12:=0 to 1 do for i:=0 to 3 do begin

if (i=0) or (i=l) then kx:=-l/2/dx else kx:=l/2/dx; if (i=0) or (i=3) then kf:=-l/2/df else kf:=l/2/df; if (i=0) or (i=3) then rx:=-1 else rx:=l; if (i=0) or (i=l) then rf:=-l else rf:=l; if (11=0) and (12=0) then r:=l; if (11=1) and (12=0) then r:=rf; if (11=0) and (12=1) then r:=rx;

if (11=1) and (12=1) then r:=rx*rf; if 11=1 then kx:=0; if 12=1 then kf:=0; if i<=l then

begin B21:=B21_1; kl_:=kl_l; k2_:=k2_l; a2_:=a2_l; B11:=B11_1; al_:=al_l;

end

else

begin B21:=B21_r; kl_:=kl_r; k2_:=k2_r; a2_:=a2_r;

Bll:=Bll_r; al_:=al_r; end;

Tlm[ll,12,l+i*M]:=r*kl_; Tlm[ll,12,5+i*M]:=-kx*r/Al_-r*Bl 1; Tlp[ll,12,2+i*M]:=r*kl_; Tlp[ll,12,6+i*M]:=-kx*r/Al_-r*Bl 1; T2m[l 1,12,3+i*M] :=r*k2_; T2m[l 1,12,5+i*M] :=-kfr/A2_-r*B22; T2p[ll,12,4+i*M]:=r*k2_; T2p[ll,12,6+i*M] :=-kfr/A2_-r*B22;

Llm[ll,12,3+i*M]:=r*B12; Llm[ll,12,l+i*M]:=r*kx/Al_+r*Bl 1; Llm[ll,12,5+i*M]:=r*kl_;

Llp[l 1,12,4+i*M]:=r*B12; Llp[l 1,12,2+i*M]:=r*kx/Al_+r*B 11; Llp[ll,12,6+i*M]:=r*kl_;

L2m[l 1,12,1 +i*M]:=r*B21; L2m[l 1,12,3+i*M]:=r*kf/A2_+r*B22; L2m[l 1,12,5+i*M] :=r*k2_;

L2p[l 1,12,2+i*M]:=r*B21; L2p[l 1,12,4+i*M]:=r*kf/A2_+r*B22; L2p[l 1,12,6+i*M] :=r*k2_;

Olm[l 1,12,3+i*M]:=r*kx/Al_+r*B 11; Olm[l 1,12,1 +i*M]:=-r*B 12; Olp[l 1,12,4+i*M]:=r*kx/Al_+r*B 11; Olp[l 1,12,2+i*M]:=-r*B 12; 02m[l 1,12,l+i*M]:=r*kf/A2_+r*B22; 02m[l 1,12,3+i*M]:=-r*B21; 02p[l 1,12,2+i*M] :=r*kf/A2_+r*B22; 02p[l 1,12,4+i*M] :=-r*B21; Be 1 [11,12,1 +i*M] :=-r/h_/4; Be 1 [11,12,2+i*M] :=r/h_/4; Be2[l 1,12,3+i*M]:=-r/h_/4; Be2[l 1,12,4+i*M] :=r/h_/4; Be3m[l 1,12,5+i*M] :=-3*r/h_/4; Be3m[l 1,12,6+i*M] :=-r/h_/4; Be3m[ll,12,7+i*M]:=4*r/h_/4;

Be3p[ll,12,5+i*M]:=r/h_/4; ВеЗр[11,12,6+i*M] :=3*r/h_/4; Be3p[ll,12,7+i*M]:=-4*r/h_/4; end;

for 11 :=0 to 1 do for 12:=0 to 1 do for 13:=0 to 1 do for 14:=0 to 1 do begin

for i:=l to N1 do for j :=1 to i do begin

Q[ll+13,12+14,l,ij]:=Q[ll+13,12+14,l,ij]+ 1/4*

(Tlm[ll,12,i]*Tlm[13,14,j]+Tlm[ll,12,j]*Tlm[13,14,i]+

Llm[ll,12,i]*Llm[13,14,j]+Llm[ll,12,j]*Llm[13,14,i]+

01m[ll,12,i]*01m[13,14,j]+01m[ll,12,j]*01m[13,14,i]);

Q[11 +13,12+14,2,i,j] :=Q[11 +13,12+14,2,i,j]+ 1 /4*

(Tlp[ll,12,i]*Tlp[13,14,j]+Tlp[ll,12,j]*Tlp[13,14,i]+ .

Llp[ll,12,i]*Llp[13,14,j]+Llp[ll,12,j]*Llp[13,14,i]+

01p[ll,12,i]*01p[13,14,j]+01p[ll,12,j]*01p[13,14,i]);

Q[ll+13,12+14,3,ij]:=Q[ll+13,12+14,3,i,j]+ 1/4*