Геометрический подход к решению задачи оптимального синтеза стационарных гладких систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Кондратьев, Геннадий Вячеславович

• Кондратьев, Геннадий Вячеславович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кондратьев, Геннадий Вячеславович

ВВЕДЕНИЕ б

1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Общие математические подходы к решению задач оптимального управления

1.2. Постановка задачи синтеза оптимальной обратной связи для стационарных гладких конечномерных систем с интегральным функционалом на полубесконечном отрезке времени

1.3. Двойственные методы в задаче синтеза оптимальной обратной связи

1.4. Синергетическая теория управления

1.5. Замечания об управляемости и устойчивости

1.6. Выводы и основные задачи исследования

2. ГЛАДКИЕ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ КАК АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

2.1. Гладкие многообразия, отображения, подмногообразия

2.2. Касательный функтор

2.3. Векторные поля и формы

2.4. Внешние дифференциальные системы

2.5. Классификация отображений в группу и в однородное пространство

2.6. Связности

2.7. Выводы

3. ТЕОРИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ЗАДАЧЕЙ СИНТЕЗА

3.1. Геометрия фазового пространства

3.1.1. Фазовое пространство, подмногообразия и основные инфинитезимальные структуры

3.1.2. Скобка Пуассона и первые интегралы

3.1.3. Точные решения уравнения Гамильтона-Якоби в задаче синтеза оптимальной обратной связи

3.1.4. Фазовый портрет гамильтоновой системы, ассоциированной с однозначно решаемой задачей оптимальной стабилизации

3.1.5. Качественная оценка чувствительности замкнутой системы оптимального управления по отношению к изменению параметров модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрический подход к решению задачи оптимального синтеза стационарных гладких систем управления»

Актуальность темы

Проблема синтеза оптимальной обратной связи для широкого класса систем является фундаментальной, важной, до конца не решенной проблемой. Сложность решения проблемы связана с тем, что управляющие воздействия, являясь функцией состояния системы, удовлетворяют обычно сложной системе дифференциальных уравнений с нестандартными граничными условиями. Автор предлагает новые концепции и методы разрешения существующих сложностей для стационарных гладких конечномерных систем управления.

Идея обратной связи, четко сформулированная Н.Винером, очертившим понятие кибернетической системы, является одной из наиболее фундаментальных и плодотворных идей современного теоретико-системного взгляда на мир. Смысл петли обратной связи заключается в создании автономной системы, корректирующей свое собственное состояние, исходя из этого же состояния, в соответствии с теми или иными признаками. Обратная связь является фундаментальным свойством, обеспечивающим автономное существование системы в рамках определенного качества. Ввиду разнообразия встречающихся систем, точная теория обратной связи в значительной мере не унифицирована. Более того, даже для отдельных хорошо математически определенных классов систем, где такая теория могла бы иметь место, она всё ещё отсутствует. Таким широким классом, описывающим многие физико-технические объекты, является класс стационарных гладких конечномерных систем. До некоторых пор почти единственными применявшимися на практике методами синтеза оптимальной обратной связи для гладких нелинейных объектов были: метод линеаризации системы в окрестности положения равновесия и метод синтеза оптимальной обратной связи заданной структуры. Представляет интерес создание более современных методов решения задачи синтеза, в том числе получение точных аналитических решений для некоторых типов систем. В данной работе выполнены исследования по применению инвариантных геометрических методов для решения проблемы синтеза оптимальных стационарных гладких систем. Развитый здесь геометрический подход является конструктивным и перспективным для синтеза оптимальных систем широкого класса. Цель исследования на основе хорошо развитого, ранее не применявшегося в данной области, аппарата гамильтоновой механики, дифференциально-алгебраической геометрии, групп Ли преобразований разработка теории геометрических объектов, связанных с задачей оптимальной стабилизации; разработка математического аппарата, непосредственно используемого при решении задачи синтеза; создание новых эффективных численно-аналитических методов синтеза оптимальной и субоптимальной обратной связи; объединение всех предложенных методов в общую концепцию геометрического анализа и формализация вычислительных средств, что позволит по-новому и более глубоко подойти к решению известных проблем; выявление соответствия: (тип системы) -н- (наиболее адекватные способы решения).

Методы исследования: методы гамильтоновой механики; дифференциально-алгебраическая геометрия; алгебра; группы Ли преобразований; теория инвариантов геометрических объектов.

Новые научные результаты: развита геометрическая теория синтеза оптимальной обратной связи для стационарных гладких конечномерных систем управления; разработан инструментарий для решения задачи синтеза оптимальной стабилизации; представлены новые методы синтеза оптимальной обратной связи, допускающие эффективную численно-аналитическую реализацию (метод бихарактеристик для уравнения Гамильтона-Якоби восстановления лагранжева многообразия с заданными начальными условиями; метод первых интегралов и эволюционных симметрий для вычисления сепаратрис гамильтоновой системы; метод разложения аналитической функции Беллмана-Ляпунова в ряд Тейлора в окрестности начала координат; метод деформации алгебраического решения уравнения Гамильтона-Якоби в голономное; метод дифференцирования вдоль гамиль-тонова векторного поля; описаны системы с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова; описана алгебраическая структура первых интегралов гамильтоновой системы в задаче оптимальной стабилизации; разработаны алгоритмы синтеза оптимальной и субоптимальной обратной связи для гладких нелинейных систем; предложен ряд приёмов аналитического интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби); представлена классификация систем оптимального управления по типам, для каждого из которых предложены наиболее адекватные методы решения задачи синтеза.

Практическая ценность полученных результатов предложен гибкий, широкого спектра действия, целостный аппарат решения задачи АКОР; разработаны методы аналитического конструирования оптимальных и субоптимальных регуляторов для нелинейных конечномерных систем; для систем с квадратичным гамильтонианом предложен комплекс методов решения задачи синтеза (метод первых интегралов, метод дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, метод дифференциальных продолжений уравнения Гамильтона-Якоби); для систем с гамильтонианом, близким к квадратичному, предложен метод малого параметра восстановления потенциальной функции; для систем с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова предложен метод отыскания точного решения задачи оптимальной стабилизации; предложен метод решения задачи оптимальной стабилизации для систем с вырожденной функцией Беллмана-Ляпунова; разработан универсальный численно-аналитический алгоритм синтеза оптимальной обратной связи для систем с невырожденной потенциальной функцией (метод бихарактеристик); предложен ряд аналитических методов интегрирования уравнений Беллмана и Гамильтона-Якоби (метод отыскания инволю-тивной системы дифференцирований; метод первых интегралов и эволюционных симметрий; метод приведения к вполне интегрируемой системе внешних дифференциальных уравнений; метод продолжения функции Беллмана-Ляпунова на пространство большей размерности); формализован метод Колесникова А.А. синтеза оптимальной обратной связи для систем с функционалом специального вида.

Результаты, выносимые на защиту: теория геометрических объектов, связанных с задачей оптимальной стабилизации; аппарат исследования систем оптимального управления и синтеза оптимальной обратной связи; методы синтеза оптимальной обратной связи для предложенных в работе типов систем.

Апробация работы и публикации По материалам диссертации были сделаны сообщения на V Всесоюзном Совещании по управлению многосвязными системами (г.Тбилиси, 1984 г.); на V Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (г.Казань, 1985 г.); на VII Всесоюзном Совещании-семинаре школы молодых ученых и специалистов по современным проблемам автоматического управления (г.Минск, 1987 г.); на X Всесоюзном Совещании-семинаре школы молодых ученых и специалистов по современным проблемам автоматического управления (г.Омск, 1989г.); на IX научной конференции молодых ученых и специалистов Волго-Вятского региона (г.Горький, 1989 г.); на IX Всесоюзном Совещании по проблемам управления (г.Ташкент, 1989 г.); на VI Международном Симпозиуме по автоматическому управлению и информатике SACCS'98 (Румыния, г.Яссы, 1998 г.). Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-20].

Содержание работы В главе 1 дается обзор состояния проблемы оптимального управления конечномерными системами и ставится задача оптимальной стабилизации для стационарных гладких конечномерных систем.

В главе 2 приводятся сведения из теории гладких многобразий, необходимые для проводимых в работе описаний и вычислений (тензорные расслоения, пучки векторных полей и форм, внешние дифференциальные системы, связности).

В главе 3 излагаются теория и приложения геометрии фазового пространства (анализируется алгебраическая структура первых интегралов и сепаратрис гамильтоновой системы, на основании чего формулируется способ вычисления лагранжева многообразия потенциальной функции; рассматривается метод первых интегралов и эволюционных симметрий; описывается метод бихарактеристик для восстановления лагранжева многообразия потенциальной функции; показывается возможность разложения аналитической функции Беллмана-Ляпунова в ряд Тейлора и эффективного вычисления коэффициентов ряда в окрестности особой точки; рассматривается внешняя дифференциальная система, связанная с задачей оптимальной стабилизации; приводятся алгоритмы синтеза оптимального и субоптимального управления); далее излагается концепция поля экстремалей и метод Колесникова А.А. синтеза оптимальной обратной связи, а также способы вычисления дифференциальных инвариантов потенциальной функции в некоторых частных случаях (вычисляются дифференциальные инварианты функции Беллмана-Ляпунова линейно-квадратичной задачи; дается определение невырожденной потенциальной функции, как эквидистантной функции евклидова пространства; рассматривается способ получения дифференциальных инвариантов с помощью подходящего изоморфизма дифференциальных алгебр).

В главе 4 приводятся различные типы систем оптимального управления, классифицированные по определенным признакам (классы систем с квадратичным гамильтонианом, с гамильтонианом, близким к квадратичному, с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова, гладких систем общего вида с невырожденой функцией Беллмана-Ляпунова, с аналитической функцией Беллмана-Ляпунова, с вырожденной потенциальной функцией, с известными (или легко выделяемыми) первыми интегралами или эволюционными симметриями, с функционалом Колесникова).

В главе 5 рассматриваются некоторые обобщения геометрического подхода к задаче синтеза на случай бесконечномерных пространств состояния и управления.

Изложение теоретического материала сопровождается примерами конструирования систем оптимального управления.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кондратьев, Геннадий Вячеславович

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Основное внимание в работе было уделено точному решению задачи оптимальной стабилизации и исследованию инвариантных свойств потенциальной функции. На основе этих свойств был разработан ряд методов восстановления функции Беллмана-Ляпунова и, следовательно, закона оптимальной обратной связи. Все методы являются общими, применимыми к произвольным гладким системам управления и доведены до уровня практического использования. В работе: представлена теория геометрических объектов, связанных с задачей оптимальной стабилизации (теория фазового пространства, поля экстремалей в задаче на безусловный экстремум, совместимый с уравнениями связей, дифференциальных инвариантов функции Беллмана-Ляпунова); разработан определенный инструментарий исследования систем оптимального управления и синтеза оптимальной обратной связи; описаны инвариантные свойства функции Беллмана-Ляпунова, используемые для отыскания точных решений задачи оптимальной стабилизации: топологические (функция Беллмана-Ляпунова является почти изолированным корнем уравнения Гамильтона-Якоби в пространстве всех решений данного уравнения, определенных в окрестности начала координат, позволяющее эффективно восстанавливать эту функцию с помощью достаточного числа симметрий уравнения Гамильтона-Якоби; лагранжево многообразие функции Беллмана-Ляпунова представляет сепаратрису устойчивых точек гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей оптимальной стабилизации); алгебро-геометрические (идеал n-мерного лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова является свободнопорожденным ранга п, инвариантным относительно дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, ассоциированного с задачей оптимальной стабилизации, и содержащим некоторые отмеченные элементы алгебры гладких функций на фазовом пространстве; для систем с квадратичным гамильтонианом образующие идеала лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова являются линейными однородными определенного вида, что позволяет их эффективно вычислять; для систем с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова и систем с вырожденной функцией Беллмана-Ляпунова получены последовательности внешних дифференциальных форм, содержащиеся в дифференциальном идеале лагранжева многообразия и позволяющие эффективно восстанавливать его); аналитические (имеется эффективный алгоритм вычисления коэффициентов разложения аналитической функции Беллмана-Ляпунова в ряд Тейлора в начале координат пространства состояний; график градиента функции Беллмана-Ляпунова однозначно восстанавливается интегрированием гамильтоновой системы с подходящими начальными условиями); сформулированы прикладные методы синтеза оптимальной обратной связи, такие как метод бихарактеристик восстановления лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова, метод первых интегралов и обобщенных симметрий, метод дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, метод деформации алгебраического решения уравнения Гамильтона-Якоби в голономное на полубесконечном отрезке, алгебраический метод синтеза субоптимального управления заданной структуры, метод приведения уравнения Гамильтона-Якоби к вполне интегрируемой системе внешних дифференциальных уравнений, формализм поля экстремалей в задаче на безусловный экстремум, совместимый с уравнениями связей, метод дифференциальных инвариантов потенциальной функции; получена серия явных первых интегралов для систем с квадратичным гамильтонианом, определяющая уравнения лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова; приведена классификация систем оптимального управления по типам, для каждого из которых предложены адекватные методы решения задачи синтеза (системы с квадратичным гамильтонианом, решаемые методом дифференцирования вдоль га-мильтонова векторного поля; системы с гамильтонианом, близким к квадратичному, с использованием метода малого параметра; системы с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова и вырожденной функцией Беллмана-Ляпунова, решаемые методом конструирования внешних дифференциальных уравнений, описывающих лагранжево многообразие потенциальной функции; гладкие системы общего вида с невырожденной функцией Беллмана-Ляпунова, рассчитываемые методом бихарактеристик для уравнения Гамильтона-Якоби; системы с аналитической потенциальной функцией, допускающей эффективное разложение в ряд Тейлора; системы с легко выделяемыми первыми интегралами или эволюционными симметриями; системы с функционалом Колесникова, решаемые методом отыскания достаточного числа первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа в задаче на безусловный экстремум); выделено свойство гиперболичности гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей синтеза оптимального регулятора; предложен регулярный алгоритм синтеза для классической задачи оптимальной стабилизации с ассоциированным гиперболическим гамильтонианом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа относится к классу исследований по применению инвариантных геометрических методов в теории оптимального управления.

Полученные результаты, как индивидуально, так и в сочетании, могут быть полезны при решении задачи оптимальной стабилизации движения.

Геометрический подход, проясняя изучаемую ситуацию, является конструктивным и перспективен для дальнейшего использования в гладких задачах оптимального управления (описание полного набора дифференциальных инвариантов потенциальной функции; классификация систем оптимального управления по топологическому типу фазового портрета гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей оптимальной стабилизации; конструкция симплектических связностей, инвариантных относительно гамильтонова векторного поля; эффективные методы вычисления сепаратрис гамильтоновой системы и конструирования эволюционных симметрий уравнения Гамильтона-Якоби и т.д.).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кондратьев, Геннадий Вячеславович, 2000 год

1. Кондратьев Г.В. Аппарат внешних форм в исследовании нелинейных систем, сб. "Современные проблемы автоматического управления: Тезисы докладов VII Всесоюзного Совещания-семинара школы молодых ученых и специалистов", Минск, 1987, с.19

2. Кондратьев Г.В. Теорема Рашевского-Чжоу как критерий слабой управляемости конечномерных систем, линейных по управлению, сб. "Математическое моделирование в задачах механики и управления", Волгоград, 1990, с.32-34

3. Кондратьев Г.В. Достаточное условие управляемости нелинейных систем, сб. "Системы управления, преобразования и отображения информации", Рязань, 1984, с.42-45

4. Кондратьев Г.В. Управляемость нелинейных систем, в сб. "Управление многосвязными системами: Тезисы докладов V Всесоюзного Совещания", Тбилиси, 1984, с.76-77

5. Кондратьев Г.В. Построение областей достижимости конечномерных динамических систем, сб. "Оптимальное управление в механических системах: Тезисы докладов V Всесоюзной конференции", Казань, 1985, с.73

6. Кондратьев Г.В., Мисевич П.В. Построение информативной области для нелинейных систем при помощи уравнения Фокера-Планка-Колмогорова, "Тезисы докладов V Всесоюзной конференции по проблемам управления развитием систем (КУРС-5)", ноябрь 1988, с.34

7. Кондратьев Г.В. Класс систем с ивариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова, сб. "Системы обработки информации и управления", Н.Новгород, 1995, с.41-44

8. Кондратьев Г.В., Жукова М.И. Один метод синтеза оптимальной обратной связи для нелинейных систем, сб. "Математическое моделирование в задачах механики и управления", Волгоград, 1990, с.59-64

9. Кондратьев Г.В., Жукова М.И. Синтез оптимальной обратной связи в реальном времени, в сб. "IX научная конференция молодых ученых и специалистов Волго-Вятского региона: Тезисы докладов", Горький, 1989, с.10

10. Кондратьев Г.В. Синтез оптимальной обратной связи в задаче АКОР, в сб. "Проблемы управления: Тезисы докладов IX Всесоюзного Совещания", Ташкент, 1989, с.11

11. Кондратьев Г.В., Беляев Е.И. Синтез нелинейных дискретных систем управления при неполном наблюдении вектора состояния, статья в сб. "Системы управления, преобразования и отображения информации", Рязань, 1984, с.30-33

12. Кондратьев Г.В. Методы решения задачи оптимальной стабилизации для стационарных гладких конечномерных систем управления, кандидатская диссертация, Н. Новгород, 1998, 76 с.

13. Kondrat'ev V.V., Kondrat'ev G.V., Kondrat'ev M.I. Optimal stabilization systems with degenerate function Lyapunov, ibidem, pp.22-23

14. Kondrat'ev V.V., Kondrat'ev G.V., Kondrat'ev M.I. Alternate method of analytical designing of optimal governors for linear systems with quadratic functional, ibidem, pp.24

15. Кондратьев Г.В., Кондратьева М.И. Задача оптимальной стабилизации для систем с вырожденной функцией Ляпунова, сб. "Системы обработки информации и управления", Н.Новгород, 1998, с.16-18

16. Кондратьев Г.В., Кондратьева М.И. Метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов для систем с квадратичным гамильтонианом, сб. "Системы обработки информации и управления", Н.Новгород, 1998, с.19-23

17. Кондратьев Г.В. Геометрическая теория синтеза оптимальной обратной связи для стационарных гладких конечномерных систем управления, монография, Н. Новгород, 1998, 125 с.

18. Кондратьев Г.В., Кондратьев В.В. Свойство изолированности лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова в задаче оптимальной стабилизации, ДАН, 2000, т.370, ном. 3, с.303-305

19. Винер Н. Кибернетика, М.: Наука, 1983, 340 с.

20. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами, М.: Мир, 1978, 316 с.

21. Янг Л.Ч. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, М.: Мир, 1974, 488 с.

22. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами, М.: Радио и связь, 1982, 392 с.

23. Спиди К.,Браун Р., Гудвин Д. Теория управления, М.: Мир, 1973, 247 с.

24. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления, Л.: Энергия, 1977, 280 с.

25. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М.: Наука, 1969, 424 с.

26. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление, М.: Издательство физико-математической литературы, 1961, 228 с.

27. Буслаев B.C. Вариационное исчисление, Издательство Ленинградского университета, 1980, 287 с.

28. Коша А. Вариационное исчисление, М.: Высшая школа, 1983, 279 с.

29. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления, М.: Наука, 1966, 307 с.

30. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов, М.: Физматгиз, 1961, 384 с.

31. Беллман Р. Динамическое программирование, М.: Иностранная литература, 1960, 400 с.

32. Чаки Ф. Современная теория управления, М.: Мир, 1975, 424 с.

33. Красовский Н.Н. О выборе параметров оптимальных устойчивых систем, М.: Изд-во АН СССР, 1960, 10 с.

34. Зубов В.И. Лекции по теории управления, М.: Наука, 1975, 495 с.

35. Красовский А.А. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование, М.: Наука, 1973, 558 с.

36. Крутько П.Д. Функции Ляпунова в обратных задачах динамики управляемых систем, Изв. АН СССР, техническая кибернетика, 1983, N 4, 168-177 с.

37. Летов A.M. Математическая теория процессов управления, М.: Наука, 1981, 255 с.

38. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем, М.: Мир, 1971, 398 с.

39. Мерриэм К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью, М.: Мир, 1967, 548 с.

40. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова, М.: Наука, 1977,400 с.

41. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления, М.: Наука, 1972, 574 с.

42. Красовский Н.Н. Теория управления движением, М.: Наука, 1968, 475 с.

43. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления, М.: Мир, 1977, 650 с.

44. Антомонов Ю.Г. Синтез оптимальных систем, Киев.: Нау-кова думка, 1972, 320 с.

45. Гёльднер К., Кубик С. Нелинейные системы управления, М.: Мир, 1987, 365 с.

46. Колесников А.А. Аналитическое конструирование оптимальных нелинейных систем, Таганрог, 1984, 72 с.

47. Колесников А.А. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления, М.: Энергоатомиздат, 1987, 160 с.

48. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления, статья в сб. "Математические методы в теории систем", М.: Мир, 1979, 134-173 с.

49. Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления, статья в сб. "Математические методы в теории систем", М.: Мир, 1979, 174-220 с.

50. Беляев Е.И. Численно-аналитический метод синтеза оптимальных и субоптимальных алгоритмов управления нелинейными объектами, диссертация, Горький, 1986, 154 с.

51. Рей У. Методы управления технологическими процессами, М.: Мир, 1983, 368 с.

52. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, М.: Наука, 1974, 431 с.

53. Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия, М.: Наука, 1986, 759 с.

54. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, М.: Физматгиз, 1947, 354 с.

55. Лич Дж.У. Классическая механика, М.: Иностранная литература, 1961, 172 с.

56. Ланцош К. Вариационные принципы механики, М.: Мир, 1965, 408 с.

57. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике, М.: Наука, 1966, 300 с.

58. Добронравов В.В. Основы аналитической механики, М.: Высшая школа, 1976, 263 с.

59. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики, Итоги науки и техники, Динамические системы, том 3, 1985, 303 с.

60. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, М.: Наука, 1990, 238 с.

61. Кириллов А.А. Элементы теории представлений, М.: Наука, 1978, 343 с.

62. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными, М.: Мир, 1990, 536 с.

63. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М.: Мир, 1989, 637 с.

64. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике, М.: Наука, 1983, 280 с.

65. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии, Труды геометрического семинара, том 1, 1966, 139-190 с.

66. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях, Итоги науки и техники, Проблемы геометрии, том 9, 1979, 246 с.

67. Колесников А.А., Гельфгат А.Г. Проектирование многокритермальных систем управления промышленными объектами, М.: Энергоатомиздат, 1993, 304 с.

68. Колесников А.А. Синергетическая теория управления, М.: Энергоатомиздат, 1994, 343 с.

69. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств, М.: Наука, 1979, 255 с.

70. Grasse К.A. Structure of the boundary of the attainable set in sertain nonlinear systems, "Math. Syst. Theory", 18, 1, 1985, 5777 c.

71. Гороховик С.Я. Достаточные условия локальной управляемости нелинейных систем управления, в сб. "Управление многосвязными системами: Тезисы докладов V Всесоюзного Совещания" , Тбилиси, 1984, 74-75 с.

72. Левит М.Ю. О некоторых вопросах локальной и глобальной управляемости нелинейных систем, в сб. "Управление многосвязными системами: Тезисы докладов V Всесоюзного Совещания", Тбилиси, 1984, 72-73 с.

73. Furi М., Nistri P., Pera М.Р., Zezza P.L. Topological methods for the global controllability of nonlinear systems, J. Optim. Theory and Appl.", 45, 2, 1985, 231-256 c.

74. Колесников А.А. От кибернетики к синергетике, статья в журнале "Научная мысль Кавказа", 1, 1996, 22-29 с.

75. Колесников А.А. Синергетическая концепция энергосберегающего управления природно-техническими системами, статья в журнале "Научная мысль Кавказа", 3, 1996, 17-29 с.

76. Колесников А.А., Вавилов О.Т. Единая концепция задач оптимального управления, статья в сб. РАЕН "Синтез алгоритмов сложных систем", вып. 9, М, 1977, 18-24 с.

77. Красовский А.А. Проблемы физической теории управления, статья в журнале "Автоматика и телемеханика", 11, 1990, 3-28 с.

78. Бредон Г. Теория пучков, М.: Наука, 1988, 312 с.

79. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, М: Мир, 1976, 284 стр.

80. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, том 1, М.: Наука, 1981, 344 с.

81. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, том 2, М.: Наука, 1981, 414 с.

82. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения, М.: Мир, 1975, 348 с.

83. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли, М.: Мир, 1987, 302 с.

84. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий, М.: Мир, 1967, 203 с.

85. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий, М.: Мир, 1967, 335 с.

86. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии, М.: Мир, 1970, 412 с.

87. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях, М.: Мир, 1971, 232 с.

88. Спивак М. Математический анализ на многообразиях, М.: Мир, 1968, 164 с.

89. Шутц Б. Геометрические методы математической физики, М.: Мир, 1984, 303 с.

90. Хирш М. Дифференциальная топология, М.: Мир, 1979, 280 с.

91. Шевалле К. Теория групп Ли, М.: Иностранная литература, 1948, 315 с.

92. Шевалле К. Алгебраические группы, М.: Иностранная литература, 1948, 207 с.

93. Васильев A.M. Теория дифференциально-геометрических структур, М.: МГУ, 1987, 190 с.

94. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения, М.: МГУ, 1962, 237 с.

95. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана, М.: ОГИЗ, 1948, 432 с.

96. Гриффите Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление, М.: Мир, 1986, 360 с.

97. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом, М.: Мир, 1971, 343 с.

98. Чжэнь Ш. Комплексные многообразия, М.: Иностранная литература, 1961, 240 с.

99. Бурбаки Н. Гомологическая алгебра, М.: Наука, 1987, 182 с.

100. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, М.: Мир, 1973, 188 с.

101. Abraham, Marsden, Ratiu Tensor analysis on Banach manifolds, Springer-Verlag, 879 c.

102. Perko L. Ordinary differential equations and dynamical systems, Springer-Verlag, 570 c.

103. Katok A., Haselblatt B. Modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1072 c.

104. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1978, 356 с.1. ЛЙО?£КАim-b-oi