Геометрическое моделирование технологического процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.12, кандидат технических наук Емелин, Алексей Геннадьевич

• Емелин, Алексей Геннадьевич
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Емелин, Алексей Геннадьевич

Содержание.

Введение. ф

Глава 1. Модели и методы в моделировании технологического процесса фрезерования. Литературный обзор.

1.1. Общий взгляд на моделирование технологических процессов в машиностроении.

1.2. Существующие модели симуляции удаления материала.

1.3. Математические модели, используемые для определения объёма, заметаемого движущимся телом.

1.3.1. Дифференциальное уравнение заметания и его расширение.

1.3.2. Методы, использующие параметрическое и неявное представление. ф 1.3.3. Идентификация и отсечение внутренних объектов.

1.3.4. Приближённые методы построения заметаемого объёма.

1.4. Представление объёмной геометрии.

1.4.1. Модели представления геометрии.

1.4.2. Традиционные методы формирования математических моделей твёрдых тел.

1.5. Постановка задачи исследования.

Глава 2. Построение тела, заметаемого инструментом на участке траектории УП. л 2.1. Основные положения в задаче определения поверхности, заметаемой инструментом.

2.2. Построение аналитической поверхности, образованной в ходе движения инструмента.

2.2.1. Построение поверхности, заметаемой коническим инструментом.

2.2.2. Построение поверхности, заметаемой сферическим инструментом.

2.2.3. Построение заметаемой поверхности в общем случае.

2.3. Построение заметаемого объёма на одном участке траектории.

Глава 3. Построение результатов обработки для последовательности кадров.

3.1. Общий взгляд на возможность построения.

3.2. Формирование динамического BSP-дерева.

3.3. Критерий построения непротиворечивого BSP-дерева.

3.4. Уточнение.

3.5. Булевы операции.

3.5.1. Объединение деревьев.

3.5.2. Двоичное разбиение BSP-дерева.

3.5.3. Реализация булевой операции в вершинах дерева.

Глава 4. Практические результаты.

4.1. Программные модули симуляции фрезерной обработки на станках с ЧПУ.

4.2. Оценка возможностей предложенного метода.

4.2.1. Оценки скоростей выполнения разных этапов моделирования

4.2.2. Оценка возможностей булевых операций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрическое моделирование технологического процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ»

В различных отраслях промышленности применяется обработка со снятием материала (обработка резанием). Одним из основных видов этой обработки является фрезерная обработка [4], которая по своим возможностям позволяет получать детали достаточно сложной формы.

В силу своей универсальности развитие фрезерной обработки привело к появлению фрезерных станков с числовым программным управлением (ЧПУ), а в настоящее время подобные станки используются, пожалуй, на каждом крупном машиностроительном и других предприятиях.

Однако, несмотря на широкое распространение подобного класса оборудования, остаётся сложным вопрос качественного управления этими станками, в первую очередь из-за сложностей, вызванных оценкой правильности разрабатываемой управляющей программы (УП) без её выполнения непосредственно на станке.

Для решения этой проблемы ведутся разработки моделей и методов моделирования процесса фрезерной обработки [4], каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Основным инструментом для реализации этого моделирования является компьютерная техника.

В основе всех методов геометрического моделирования и имитирования фрезерной обработки лежит задача определения объёма, удаляемого инструментом в ходе обработки [37, 38, 79, 53, 83, 84]. Выделяют два главных подхода в решении указанной задачи: методы, использующие точный аналитический подход и приближённые методы.

В целом, для аналитических методов, таких как: методы, основанные на конструктивной объемной схеме представления геометрии (CGS) [65], методы, определяющие точное представление границ заметаемого объёма [82, 88, 63, 94, 44, 56], методы, использующие R-функции [80] и др. свойственны большие временные затраты и дополнительные требования к вычислительным ресурсам компьютера.

Другая категория методов - приближённые методы. В работах [54] приводятся методы, реализация которых основана на использовании специального оборудования. Авторы работ [57, 81] для решения поставленной задачи используют расширение известного алгоритма Z-буфера. Широкий круг методов приближённого построения тел, заметаемых инструментом, основывается на использовании различных полигональных сеток, задающих движущиеся объекты [53, 60, 87]. В работах [48, 61, 69, 90, 94, 91] применяются методы, основанные на кодировании цвета. Для методов, относящихся к этой категории характерно то, что при решении проблемы временных затрат за счёт уменьшения вычислительной стоимости алгоритмов возникает новый вопрос - оценка точности выполняемых построений.

Несмотря на имеющиеся результаты, в силу уже приведённых причин (сложности вычислений и проблемы оценки построения), вопрос моделирования фрезерной обработки является по-прежнему актуальным.

Работа выполнялась на кафедре "Прикладная геометрия и автоматизация проектирования" Уральского государственного технического университета (г. Екатеринбург), в сотрудничестве с ТЦ ИНТЕКС (г. Екатеринбург). Хочется отметить, что со стороны её директора к.т.н., доц. Каца Евгения Исааковича была оказана значимая помощь в техническом руководстве и сопровождении настоящей работы.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов моделирования фрезерной обработки на станках с ЧПУ.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) построить математическую модель процесса удаления материала из заготовки:

- построить аналитическое и аппроксимированное представление тел, образуемых в ходе движения фрезерного инструмента;

- реализовать методы удаления заметаемых тел из заготовки.

2) разработать программную реализацию алгоритмов.

Автор защищает

1. Математические модели представления аналитической поверхности, заметаемой в ходе движения инструмента;

2. Методы построения аппроксимации аналитического представления, допускающие динамическое уточнение результатов аппроксимации;

3. Программную реализацию симуляции удаления материала в ходе фрезерной обработки на станках с ЧПУ.

Научная новизна результатов работы заключается в следующем.

1. Построены математические модели построения поверхности, заметаемой движущимся инструментом: модели записаны в форме NURBS.

2. Разработан метод построения аппроксимированного представления тела заметаемого инструментом, который позволяет выполнять построение с изменяемой точностью.

Практическая ценность результатов работы состоит в следующем.

1. Разработана программная реализация задачи построения твёрдотельной модели, описывающей геометрическую форму результата фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Данный модуль включён в качестве ядра системы, выполняющей верификацию и симуляцию управляющих программ для станков с ЧПУ. Полученные результаты позволяют говорить о том, что применение предлагаемых алгоритмов в реализации программного средства позволяет существенно сократить временные затраты на разработку УП для станков с ЧПУ, а также повысить их качество.

2. Результаты работы автора применяются на ряде предприятий машиностроительного комплекса, что подтверждают акты внедрения.

Достоверность научных результатов и выводов обоснована применением методов теории вычислительной геометрии и компьютерной графики. Полученные результаты подтверждаются совпадением результатов расчётов с экспериментальными результатами, полученными при обработке на станках с ЧПУ.

Основные положения работы и отдельные её результаты докладывались на 4 научно-технических конференциях и 3 выставках.

По теме диссертационной работы опубликовано 9 работ, из них 2 статьи.

Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Список используемых источников составляет 97 наименований.

Заключение диссертации по теме «Системы автоматизации проектирования (по отраслям)», Емелин, Алексей Геннадьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построены математические модели процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Эти модели относятся к геометрической составляющей технологического процесса фрезерования и позволяют выполнить моделирование удаления материала из объема заготовки. Модели основываются на построении объёма, заметаемого инструментом при его движении по задаваемой, управляющей программой траектории.

2. Изложен способ формирования объёмов, заметаемых движущимся инструментом. Согласно ему, представление заметаемых объёмов производится используя BSP-деревья. В работе был предложен метод, расширяющий возможности применения стандартных BSP-деревьев в условиях моделирования процесса фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Данный метод основан на использовании введённого в настоящей работе термина, а вместе с ним и схемы построения динамического BSP-дерева. Динамическое BSP-дерево создаётся, используя условие, что участки тел, удаляемые инструментом на каждом кадре управляющей программы, могут быть разделены друг от друга одной или несколькими плоскостями. Это свойство позволяет формировать результирующее BSP-дерево, описывающее заметаемый объём, специального вида. Такое динамическое BSP-дерево при соблюдении некоторых условий п.3.3 не требует своей перестройки при добавлении в него новых участков.

Полученное твёрдотельное представление заметаемого объёма в последующем, применяя булевы операции, вычитается из тела заготовки. Выполнение этой операции позволяет получить результат удаления материала в ходе технологического процесса фрезерной обработки.

Твёрдотельная модель результата фрезерной обработки также представляется посредством BSP-дерева, что позволяет производить с результатом аффинные операции и изменение масштаба, не требующие выполнения дополнительных вычислений.

3. Оценка точности полученного твёрдотельного аппроксимированного представления заметаемого объёма производится в сравнении с аналитической поверхностью, образуемой в ходе движения инструмента. Для этого были найдены простые аналитические решения в случаях, когда образующая движущегося инструмента образована участками конуса, сферы, тора.

В работе предложена схема динамического изменения точности получаемого результата. Точность построения может быть задана изначально, либо изменена после формирования результата. При этом изменение точности не приводит к полной перестройке ранее полученного результата. Это свойство существенно расширяет возможности по практическому применению предложенных методов. В случае, когда для оценки правильности работы технологического процесса достаточно грубого представления, данный результат может быть получен с меньшей точностью, которая при необходимости может быть увеличена. При этом построение результата с меньшей точностью будет требовать меньшего времени.

4. На основе предложенных методов разработано геометрическое ядро системы, выполняющей симуляцию и верификацию фрезерной обработки на станках с ЧПУ. Эта система разрабатывается компанией ТЦ ИНТЕКС (г.Екатеринбург) в сотрудничестве с кафедрами прикладной геометрии и информатики, автоматизации проектирования Уральского государственного технического университета (УГТУ-УПИ) г. Екатеринбург. Модификация системы на основе внедрения в неё указанного геометрического ядра, позволила существенно расширить возможности системы.

5. Проведены оценки работоспособности изложенных в работе методов и алгоритмов. Для этого было выполнено сравнение возможностей оперирования с твёрдотельной геометрией некоторых систем моделирования фрезерной обработки (отечественных и зарубежных). На основе этих оценок выявлен ряд преимуществ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Емелин, Алексей Геннадьевич, 2004 год

1. Абрамов И.В. Введение в машинную графику. М.: МГИУ, 2001-286 с.

2. Бахвалов Н.С. "Численные методы". М. : Наука: ФИЗМАТЛИТ, 1987. 598 с.

3. Гардан И., Люка М. Машинная графика и автоматизация конструирования. М., Мир, 1987. - 272 с.

4. Данилина Н.И. Численные методы М.: Мир, 1976 - 576с.

5. Дж. Девинпорт, И. Сире, Э. Гурнье "Компьютерная алгебра" 1991.

6. Денискин И.Ю. Особенности аппроксимации обводов параметрическими полиномами в форме Берштейна. //Электронный журнал "Прикладная геометрия". 2000. Вып. 2. №2.

7. Деряоин А.Л. "Программирование технологических процессов для станков с ЧПУ" М. Машиностроение., 1984 - 223 с.

8. Жермен-Лакур П.,Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР: Кн. 2. Пер. с франц. М.: Мир, 1889. 264 с.

9. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелое В.А. "Сплайны в инженерной геометрии". -М.: Машиностроение 1985. 156 с. УПИ:

10. Ивахненко А. Г. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1987.

11. Имитация процесса обработки детали по готовым управляющим программам для станков с ЧПУ система T-FLEX NC Tracer. -http://topsystems.kiev.ua/

12. Евгений Кац, Юрий Вахатов, Алексей Емелин, Николай Старостин, " NCManager: визуализация, контроль и редактирование программ ЧПУ". "САПР и графика" №9, 2000.

13. Климов Е.В. Графические системы САПР. М., Высшая школа, 1990. -142 с.

14. Ляшко А.Д., Ермолин Е.В. "Численные методы их применение". -1983.

15. Самохин А.Б., Самохина А.С. "Численные методы и программирование на Фортране для персонального компьютера" М. : Радио и связь, 1996. -224 с.

16. Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии М.: Машиностроение 1985 - 156с.

17. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. Идентификация и оптимальное управление. М.: Мир, 1973. - 248 с.

18. Сухих Б.И., Вайсбурд Р.А. "Вычислительная геометрия. Основные объекты и преобразования". Свердловск: УПИ, 1989. 92 с.

19. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Математические модели и вычислительные методы. М.: Наука, 1987.

20. Фадеев А.К., Фадеева "Вычислительные методы линейной алгебры" -М.: Физмат 1960. 656с.

21. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М;: Мир, 1982. 304 с.

22. Форсайт Дж., Мальком М., Моулер К. "Машинные методы математических вычислений". М.: Мир 1980. 280 с.

23. Шенен П., Коснар М., Гардан И. И др. Математика и САПР: Кн. 1. Пер. с франц. М.: Мир, 1988. 204 с.

24. Шикин Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Полигональные модели. М.: Диалог - МИФИ, 2000. - 464 с.

25. Шпур Г., Краузе Ф. Автоматизированное проектирование в машиностроении. -М.: Машиностроение, 1988. 647 с.

26. Яглом И.М. Математические структуры и математические модели. М.: Наука, 1980.

27. Abdel-Malek, К. and Yeh, H.J., "Determining Intersection Curves Between Surfaces of Two Solids," Computer-Aided Design, Vol. 28, No. 6-7, pp. 539549 (1996).

28. Abdel-Malek, К. and Yeh, H. J., "On the Determination of Starting Points for Parametric Surface Intersections," Computer-Aided Design, Vol. 29, No. 1, pp.21-35 (1997).

29. Abdel-Malek, K. and Yeh, H.J., "Geometric Representation of the Swept Volume Using Jacobian Rank Deficiency Conditions", Computer Aided Design, Vol. 29, No. 6, pp. 457-468 (1997).

30. Abdel-Malek, K., Yang, J., Blackmore, D., Joy, K., " Swept Volumes: Foundations, Perspectives, and Applications", International Journal of Shape Modeling.

31. Abdel-Malek, K. and Othman, S., "Multiple sweeping using the Denavit-Hartenberg Representation Method", Computer-Aided Design, Vol. 31, pp. 567-583 (1999).

32. Abdel-Malek, K., Yang, J., Blackmore, D., "Closed-form swept volume of implicit surfaces",Proceedings of the 26th ASME Design Automation Conference, Baltimore, MD (2000).

33. Abdel-Malek, K. and Yang, J., "Method and Code for the Visualization of Multivariate Solids", Proceedings of the 26th ASME Design Automation Conference, Baltimore, MD (2000).

34. Ahn, JC, Kim, MS, Lim, SB, "Approximate general sweep boundary of 2D curved object", CVGIP: Computer Vision Graphics and Image Processing, Vol. 55, pp. 98-128 (1997).

35. Al-Daccak, M.J., Angeles, J., "Reduced calculation of volumetric properties of sweep-generated solids", ASME (Publication) DE Computer-Aided and Computational Design Advances in Design Automation v 19 pt 1, pp. 157-162(1989).

36. Akin, J. E., Computer-Assisted Mechanical Design, Prentice Hall, Englewod Cliffs, NJ (1990).

37. Andrew S. Winter and Min Chen "Image-Swept Volumes" -EUROGRAPHICS 2002 / G. Drettakis and H.-P. Seidel Volume 21 (2002), Number 3

38. Bajaj, C.L., Hoffman, C.M., Lynch, R.E., and Hopcroft, J.E.H., "Tracing Surface Intersections," Computer Aided Geometric Design, Vol. 5, pp. 285-307 (1988).

39. Barnhill, R.E. and Kersey, S.N., "A Marching Method for Parametric Surface/Surface Intersection," Computer Aided Geometric Design, Vol. 7, pp. 257-280 (1989).

40. Barnhill, R.E., Farin, G., Jordan, M., and Piper, B.R., "Surface/surface Intersection," Computer Aided Geometric Design, Vol. 4, pp. 3-16 (1987).

41. Blackmore, D., Leu, M. C., "A differential equation approach to swept volumes", Proceedings of Rensselaer's 2nd International Conference on Computer Integrated Manufacturing, pp. 143-149 (1990).

42. Blackmore, D.; Leu, M.C., "Analysis of swept volume via Lie groups and differential equations", International Journal of Robotics Research, v 11 n 6, pp. 516-537(1992).

43. Blackmore, D., Leu, M.C., Shih, F., "Analysis and modeling of deformed swept volumes", Computer Aided Design, 26(4), 1994, 315-326.

44. Blackmore, D., Leu, M.C., Wang, L.P., Jiang, H., 1 "Swept volumes: a retrospective and prospective view", Neural, Parallel & Scientific Computations, Vol. 5,81-102(1997).

45. Blackmore, D., Leu, M.C., Wang, L.P., "Sweep-envelope differential equation algorithm and its application to NC machining verification", Computer Aided Design, v 29 n 9, pp. 629-637 (1997).

46. Blackmore, D., Samulyak, R., Leu, M.C., "Trimming swept volumes", Computer Aided Design, v 31 n 3, pp. 215-223 (1999).

47. Chappel I. Т., „The use of vectors to simulate material removed by numerically controlled milling", Computer AidedDesign, Vol. 15, No. 3, pp.156158, (1983).

48. Chou, C.J., Lee, Y.S., "A shape generating approach for multi-axis machining G-buffer models," Computer Aided Design, Vol. 31, pp. 761-776 (1999).

49. Dobkin David, Guibas Leonidas, Hershberger John, Shoeyink Jack "An Efficient Algoritm for Finding the CSG Representation of a simple polygon" -Digital, September 10, 1989.

50. Elber, G. and Kim, M.S., "Offsets, sweeps, and Minkowski sums", Computer-aided Design, Vol. 31 (3), pp. 163 (1999).

51. Adam Finkelstein "Solid Modeling", Princeton University COS 426, Spring 2003'

52. Georg Glaeser, Eduard Groller "Efficient Volume-Generation During the Simulation of NC-Milling"

53. T. van Hook, "Real Time Shaded NC Milling Display", Computer Graphics, Vol. .20, No. 4, (Proc. SIGGRAPH'86), pp.15-20 (1986).

54. Hoffman, С M, "Geometric and Solid Modeling, An Introduction", Morgan Kaufman, Ic., San Mateo, CA, 1989.

55. Hu, Z.J., and Ling, Z.K., "Swept volumes generated by the natural quadric surfaces", Comput. &Graphics, 20(2), 1996, 263-274.

56. Hui K.C., "Solid sweeping in image space- application in NC simulation", The Visual Computer, Vol.10, pp.306-316 (1994).

57. Y. Huang, J.H. Oliver, "NC Milling Error Assessment and Tool Path Correction", Computer Graphics Proceedings, Conference Proceedings July 24-19, 1994, (Proc. SIGGRAPH '94), pp. 287-294.

58. R.B. Jerard, R.L. Drysdale, K. Hauck, J. Magewick, and B. Schaudt, "Methods for Detecting Errors in NumericallyControlled Machining of Sculptured

59. Surfaces", IEEE Computer Graphics and Applications , 0272-1716/89, pp.2639 (1989).

60. Jerard R.B, Hussaini S. Z., Drysdale R.L., and Schaudt В., "Approximate methods for simulation and verification ofnumerically controlled machining programs", The Visual Computer , Vol. 5, pp.329-348 (1989).

61. Johnstone J.K., and Williams J.P., "A rational model of the surface swept by a curve EUROGRAPHICS'95,Vol.14, pp.77-88 (1995).

62. J&L Associates BspSolid v 1.2 -http://www.ncf.carleton.ca/~ds755/BspSolid.htm

63. Karen (Liping) Wang "AN N2LOGN ALGORITHM FOR GENERATING SWEPT SOLIDS IN NC VERIFICATION" Department of Mechanical Engineering The City College of the City University of New York New York, NY 10031

64. Karim Abdel-Malek, Jingzhou Yang, Denis Blackmore "On Swept Volume Formulations: Implicit Surfaces" EUROGRAPHICS 2001 / A. Chalmers and T.-M. Rhyne Volume 20 (2001), Number 3.

65. Y. Kawashima, K. Itoh, T. Ishida, S. Nonaka, and K. Ejiri, "A flexible quantitative method for NC machining verification using a space-division based solid model", The Visual Computer , Vol. 7, pp.149-157 (1991).

66. Kieffer, J., and Litvin, Т., "Swept volume determination and interference detection for moving 3-D solids", Transactions of the ASME, Journal of Mechanical Design, 113,1991, 456-453.

67. Kim, M.S., Moon, S.R., "Rotational sweep volumes of objects bounded by algebraic curves", Proceedings of the 1990 IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp. 311-316. (1990).

68. Leu, M C.; Wang, L; Blackmore, D, "Verification program for 5-axis NC machining with general APT tools", CIRP Annals Manufacturing Technology, v 46 n 1 1997, pp. 419-424.

69. Ch. Liu, and D.M. Esterling et al. „Dimensional Verification of NC Machining Profiles Using Extended Quadtrees", Computer Aided Design, Vol. 28, No. 11, pp.845-842 (1996).

70. Madrigal, C. and Joy, KI, "Generating the Envelope of a Swept Trivariate Solid," Proceedings of the IASTED International Conference on Computer Graphics and Imaging, Palm Springs, California, October 25-27 (1999).

71. Maekawa, Т., "An overview of offset curves and surfaces", Computer-aided Design, Vol. 31 (3), pp. 165-173 (1999).

72. Menon, J.P., Robinson, D.M. "Advanced NC verification via massively parallel raycasting, " ASME manufacturing Review, Vol. 6, 141-154 (1993).

73. Menon, J.P., Voelcker, H.B. "Toward a comprehensive formulation of NC verification as a mathematical and computational problem", Proceedings of the 1992 Winter Annual Meeting of ASME, Vol. 59, Anaheim, С A, pp. 147-164(1992).

74. Naylor Bruce, "Constructing Good Partitioning Trees", AT&T Bell Laboratories, Murray Hill, NJ

75. Naylor Bruce, Amanatidest John, William Thibaultf "Merging BSP Trees Yields Polyhedral Set Operation" Computer Graphics, Volume 24, Number 4, August 1990, pp. 116-124.

76. Olfe, D. В., Computer Graphics for Design, From Algorithms to Autocad, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995.

77. Peters, J., Nasri, A., "Computing Volumes of Solids Enclosed by Recursive Subdivision", Computer Graphics Forum, Vol. 16(3), pp. 89-94 (1994).

78. Predator VIRTUAL CNC™ http://predator-soflware.com

79. David Roth, Sanjeev Bedi, Fathy Ismail, Stephen Mann. "Surface Swept by a Toroidal Cutter 5-Aixes Machining Submitted to CAD" x

80. Rvachev V.L., "Methods of Logic Algebra in Mathematical Physics", Kiev: Naukova Dumka Publishers, p259,(1974).

81. Saito Т., and Takahashi Т., "NC Machining with G-Buffer method", Computer Graphics, Vol. 25, No. 4, (Proc.SIGGRAPH '91), pp.207-216 (1991).

82. Sourin A.I., and Pasko A.A., "Function Representation for Sweeping by a Moving Solid", IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, Vol. 2, No. 2, March 1996, pp.11-18 (1996)

83. Stephen Mann, Sanjeev Bedi "Generalization of the Imprint Method for Swept Surface Generation"

84. Stephen Mann, Sanjeev Bedi "The Swept Surface of an Elliptic Cylinder" -University of Waterloo Waterloo, Ontario, N2L 3G1 CANADA

85. Stephen A. Ehmann and Ming C. Lin "Accurate and Fast Proximity Queries Between Polyhedra Using Convex Surface Decomposition" Department of Computer Science, University of North Carolina, Chapel Hill, U. S. A.

86. Yang M. and Lee E., "NC verification for wire-EDM using an R-map", Computer Aided Design, Vol. 28, No. 9,pp.733-740 (1996).

87. Yun C. Chung, Jang W. Park, Hayong Shin, Byong K. Choi. "Modeling the surface swept by a generalized cutter for NC verification" Compute Aided Designer, 30(8): 583-594, 1998.

88. VERICUT Module: Machine Simulation, Optimize NC Programs, Verify NC Programs http://www.vericut.com/

89. Voelker H.B., and Wang K.K., "The Role of Solid Modeling for Swept Volume of Moving Solids." SAE TechnicalPaper no. 810195, Feb. 1981.

90. Wang S.W. and Kaufmann A., "Volume Sculpting" ACM Symposium on Interactive 3D-Graphics, Monterey CA., pp. 151-156.

91. Wang, G., Sun, J. and Hua, X., "The sweep-envelope differential equation algorithm for general deformed swept volumes", Computer Aided Geometric Design, Vol. 17, pp. 399-418 (2000).

92. Wang, W.P. and Wang, K.K., "Real-time verification of multi-axis NC programs with raster graphics", Proc.IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, pp. 166-171 (1986).

93. Wang, W.P., Wang, K.K., "Geometric modeling for swept volumes of moving solids", IEEE Computer Graphics and Applications, 6(12), 1986, 8-17.

94. Weld, J.D.; Leu, M.C., "Geometric representation of swept volumes with application to polyhedral objects", International Journal of Robotics Research, Vol. 9 n 5, pp. 105-117(1990).

95. Wellman, B.L., "Technical Descriptive Geometry", McGraw-Hill Book Company, New York, (1957).

96. M. Yang and E. Lee, "NC verification for wire-EDM using an R-map", Computer Aided Design, Vol. 28, No. 9,pp.733-740 (1996).