Геометрия псевдооктавных пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Кузуб, Наталья Михайловна

• Кузуб, Наталья Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузуб, Наталья Михайловна

Введение

1 Строение и геометрические свойства структурной группы

1.1 Тождество альтернативности

1.2 Изоморфизмы градуированных алгебр

1.3 Форма Киллинга.

1.4 Алгебра Ли д^.

1.5 Обобщенная алгебра.

2 Кривые в псевдооктавном пространстве

2.1 Неизотропные кривые псевдооктавного пространства

2.2 Кривые псевдооктавного пространства с изотропными касательными

2.3 Изотропные кривые псевдооктавного пространства с вполне изотропными соприкасающимися плоскостями.

3 Гиперповерхности в псевдооктавном пространстве

3.1 Шестимерные подмногообразия с положительно определенной нормалью.

3.2 Шестимерные подмногообразия с отрицательно определенной нормалью.

3.3 Погружение, задающее поверхность с положительно определенной нормалью

3.4 Погружение, задающее поверхность с отрицательно определенной нормалью

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия псевдооктавных пространств»

Еще в начале XIX века возникла идея о классификации геометрических дисциплин не только по типу исследуемых объектов или по аппарату исследования, но и по подлежащим изучению свойствам геометрических объектов. Однако точную формулировку эта идея получила лишь в так называемой ''Эрлангенской программе"Ф. Клейна, в которой устанавливается, что в каждой геометрической дисциплине должны изучаться те свойства фигур, которые инвариантны относительно соответствующей группы преобразований. Первоначально эта программа рассматривалась как основная программа развития дифференциальной геометрии. Но идеи Ф. Клейна не смогли охватить всех аспектов развития геометрии.

В своей знаменитой лекции '' О гипотезах, лежащих в основании геометрии" немецким математиком Б. Риманом была предложена плодотворная идея "'многообразия''. Этим было положено начало новой геометрии. Сейчас риманова геометрия является очень важной и достаточно разработанной частью дифференциальной геометрии многообразий. Дифференциальная геометрия многообразий изучает различные инфи-нитезимальные структуры на многообразии и их связи со структурой самого многообразия.

Работами С. Ли и В. Киллинга было положено новое перспективное направление в исследовании римановых пространств. Предметом исследования этих пространств становится изучение группы Ли, которая является группой движений этих пространств. Римановы пространства часто обладают достаточно богатой группой движений, и это оказывается очень полезным при их исследовании. Если группа движений действует транзитивно, то изучение геометрии этих пространств можно свести к вопросам теории групп Ли. В свою очередь, описание группы Ли в значительной части сводится к изучению соответствующей алгебры Ли инфинитезимальных движений, определяемых как поля скоростей однопараметрических подгрупп этой группы.

Хотя идея Ф. Клейна, когда рассматривается G-пространство, то есть множество вместе с заданной группой G его преобразований, оказалась недостаточно полной для описания различных геометрий - но она, в свою очередь, сыграла важную роль в дифференциальной геометрии многообразий. Если группа G действует транзитивно на каком-то множестве, то возникает однородное пространство. Изучение геометрии таких пространств, наиболее богатых различными геометрическими инвариантами, сводится к всестороннему описанию соответствующей группы Ли. Многие инфинитезимальные структуры на многообразиях, такие как тензорные поля различного типа, появились как инварианты группы движений того или иного однородного пространства.

Основы алгебраической теории групп Ли были заложены Э. Карта-ном, который построил теорию представлений полупростых групп Ли, еще теснее связал группы Ли с дифференциальной геометрией, создав так называемый метод внешних форм, который позволил ему разрешать проблему совместности уравнений Пфаффа. В дифференциальной геометрии многомерных пространств им дан метод подвижного репера, который в соединении с методом внешних форм является эффективным и в определенном смысле универсальным средством решения проблем локальной дифференциальной геометрии. Вопрос о существовании решения систем уравнений, рассмотренных Картаном, играет ключевую роль при доказательстве основных теорем, описывающих различные классы геометрических объектов.

Можно сказать, что развитие локальной дифференциальной геометрии пространств происходит уже около трехсот лет. В процессе ее развития усложняются изучаемые в ней геометрические объекты, совершенствуются ее методы. На ее основе путем обобщений и аналогий построены и современная "геометрия в целом", и, так называемая, глобальная геометрия. Глобальная геометрия изучает не только пространства произвольной размерности и многооборазия весьма сложного устройства, но и, более того, в ней происходит разрыв с принятым ранее соглашением ограничиться рассмотрением свойств пространств в достаточно малой окрестности точки (локальность). "Геометрия в целом" сводит до минимума требования гладкости, то есть дифференци-руемости функций, которыми она оперирует.

Тем не менее, классическая дифференциальная геометрия сохраняет большое значение и как отправная точка для обобщений и аналогий, и как объект для апробирования новых методов, поскольку она теснейшим образом связана с многочисленными прикладными проблемами. Вот почему и сейчас многие геометры во всем мире продолжают разработку проблем локальной дифференциальной геометрии.

При решении проблем локальной дифференциальной геометрии используется метод внешних форм Картана. Это метод, созданный Э. Кар-таном [35], [36], [37], [38], включает в себя использование внешних форм в теории подвижного репера. С. П. Фиников подробно описал его в своей монографии [75]. Эта монография и сейчас популярна среди геометров, использующих метод внешних форм Картана в своей работе. Позднее было предложено более современное изложение этого метода. Многие авторы, например, А. М. Васильев [10], [11], М. Haimovici [95], выделяли алгебраическую основу метода, другие, например, Г. Ф. Лаптев [52], [53], [54], расспространяя его на весьма общие геометрические теории, отказались при этом от первоначальной идеи - полной канонизации репера, немедленно приводящей к полной системе инвариантов, ограничились разысканием систем величин (геометрические объекты, тензоры и так далее), не являющихся инвариантами, но позволяющих конструировать последние, не проводя до конца канонизацию репера.

К сожаления эти исследования так и не получили монографического оформления.

Следует отметить, что наиболее полное и доступное изложение этой темы приведено в работах Р. Н. Щербакова [82], [83], [85], которые, с одной стороны, содержат более современное и более простое изложение основных идей метода Картана, а с другой - показывают его применение на сравнительно простом геометрическом материале.

В данной диссертационной работе метод внешних форм Э. Картана используется при канонизации репера наиболее важных геометрических образов - кривых и гиперповерхностей в семимерном пространстве, структурной группой которого является группа Группа является особой простой некомпактной группой Ли (нормальной формой комплексной группы Ли

Вообще говоря, интерес к структурным группам G2 проявляют во всем мире. В большинстве случаев &2-структуры рассматриваются на семимерных римановых многообразиях. Например, в работах Th. Fried-rich и его соавторов [92], а также в работах F. М. Cabrera [88], [89], D. Joyse [97], [98], A. Gray [91]. Значительно реже эти структуры рассматриваются на псевдоримановых многообразиях. Тем не менее в работе I. Kath [99] изучаются почти параллельные (?2структуры на псевдоримановых многообразиях сигнатуры (3,4).

В семимерном пространстве эта геометрия наиболее подходящая для исследования, так как в случае структурных групп малой размерности касательные пространства .многообразий и подмногообразий чрезмерно неизотропны. В то же время в случае большой структурной группы, например 5Х(7), имеется мало инвариантов и геометрия оказывается малосодержательной. В случае произвольной размерности ортогональная и конформная группы наиболее оптимальны в этом смысле. Но в семимерном пространстве исключительное значение имеют компактная форма и нормальная некомпактная форма группы Ли G2. Эта группа удобна также с точки зрения использования необходимых компьютерных вычислений потому, что другие особые группы (такие как F\ размерности 52 со стандартным представлением размерности 26) требуют значительно более долгих и сложных вычислений.

Поэтому вполне естественным является интерес к углубленному изучению пространств не только со структурной группой G2, но и со структурной группой GI

Целью диссертационной работы является изучение геометрии подмногообразий в семимерном пространстве, структурной группой которого является особая некомпактная группа Ли G£ (нормальная форма комплексной группы Ли G^)

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузуб, Наталья Михайловна, 2004 год

1. А. Барут, Р. Рончка. Теория представлений групп и её приложения. Т.1, М.: Мир, 1980.

2. А. Барут, Р. Рончка. Теория представлений групп и её приложения. Т.2, М.: Мир, 1980.

3. Р. Бишоп, Р. Криттенден. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.

4. Я. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. М.: Мир, 1976.

5. Я. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Главы IV-VI. М.: Мир, 1972.

6. Я. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Главы VII-VIII. М.: Мир, 1978.

7. Я. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Глава IX. М.: Мир, 1986.

8. Я. Бурбаки. Элементы математики. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М., 1962.

9. Б. Л. Ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1979.

10. А. М. Васильев. Диффернциальная алгебра как аппарат дифференциальной геометрии. // Труды геометрического семинара ВИНИТИ, 1, 1966, 33-62.

11. А. М. Васильев. Инволютивные дифференциальные алгебры. // Сибирский матем. ж., 9, №4, 1968, 757-772.

12. М. В. Васильева. Бесконечные группы Ли и их геометрические приложения. М., 1975.

13. Е. Ю. Веремеенко, П. Я. Грушко. О некоторых геометрических объектах в семимерном пространстве с фундаментальной группой G1. // Известия вузов. Матем., №7, 1995.

14. Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: Эдиториал УРСС, 1995.

15. И. П. Волобуев, Ю. А. Кубышин. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

16. Р. М. Гейделъман. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах. // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. М., 1967.- С. 323-374.

17. Г. Георгиев. Замечания в связи с Картановской теорией подвижного репера и с ее некоторыми приложениями. // An. stiint. Univ. Iasi, 13 sec. Ia, 1967, 329-348.

18. К. Годбийон. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 1998.

19. М. Гото, Ф. Гроссханс. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.

20. Ф. Гриффите. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 1999.

21. П. Я. Грушко, Н. М. Кузуб. Геометрические структуры, индуцированные на гиперповерхностях псевдооктонионных пространств. // Труды по геометрии и анализу.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2003.-с. 242-255.

22. П. Я. Грушко, Н. М. Кузуб. О псевдоевклидовом варианте алгебры октав. // Сборник научных трудов Иркутского государственного университета "Дифференциальная геометрия обобщенных пространств с фундаментальной группой".- Иркутск: ИГУ, 1998.- С. 15-29.

23. П. Я. Грушко, Н. М. Кузуб. Структура почти произведения на шестимерных подмногообразиях алгебры обобщенных октав. // Тезисы докладов международной конференции по геометрии и топологии. -Украина, Черкассы: ЧИТИ, 2001.- С. 32-33.

24. Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия. М., 1956.

25. Н. Джекобсон. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

26. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия: Методы и приложения. T.l. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

27. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия: Методы и приложения. Т.2. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

28. В. П. Дьяков. Mathematica 4. СПб: Питер, 2001.

29. К. А. Желваков, А. М. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. Кольца близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

30. Д. П. Желобенко. Компактные группы Ли и их представления. М., 1970.

31. Д. П. Желобенко, А. И. Штерн. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983.

32. А. Картан. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М., 1971.

33. Э. Картан. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М., 1962.

34. Э. Картан. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М., 1949.

35. Э. Картан. Риманова геометрия в ортогональном репере. М., 1960.

36. Э. Картан. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. М., 1963.

37. А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978.

38. Г. В. Корнеев. Тензорное исчисление. М.: МФТИ, 2000.

39. А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Линейная алгебра. Ч II. М., 2000.-42. А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. Ч III. М., 2000.

40. X. Крафт. Геометрические методы в теории инвариантов. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 2000.

41. Я. М. Кузуб. Аналог теоремы Бонне в псевдооктавном пространстве. // Труды Второй Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе.- Иркутск: ИГПУ, 2003.- С. 103-107.

42. Я. М. Кузуб. Кривые в семимерном псевдооктавном пространстве. // Студент и научно технический прогресс*'. Сборник тезисов докладов студентов и аспирантов ИГУ.- Иркутск: ИГУ, 1998.- С. 54.

43. Я. М. Кузуб. Обобщение алгебры дифференцирований октав. // Тезисы докладов Всесибирского конгресса женщин-математиков ( к 150-летию со дня рождения С.В. Ковалевской). Красноярск, 2000.-С. 110.

44. Я. М. Кузуб. О геометрии в семимерном пространстве с обобщенной октавной структурой. // Материалы Всероссийской молодежной научной школы-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре.- Казань, 1998,- С. 185-192.

45. Я. М. Кузуб. Репер изотропных кривых в псевдооктавных пространствах. // Труды Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе.- Иркутск: ИГПУ, 1999.- С. 182-185.

46. Я. М. Кузуб. Шестимерные подмногообразия алгебры обобщенных октав. // Тезисы докладов II Всесибирского конгресса женщин- математиков (в день рождения С.В. Ковалевской).- Красноярск, 2002.-С. 115-116.

47. А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

48. Г. Ф. Лаптев. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. // Труды Московского матем. общ-ва, 2, 1953.-С. 275-382.

49. Г. Ф. Лаптев. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. // Труды геометрического семинара ВИНИТИ, 1, 1966.- С. 139-189.

50. Г. Ф. Лаптев. Структурные уравнения главного расслоеного многообразия. // Труды геометрического семинара ВИНИТИ, 2, 1969.-С. 161-178.

51. С. Ленг. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М.: Наука, 1970.

52. А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.

53. Н. М. Остину. О канонизации репера погруженного многообразия. // Rev. roumaine math, pures et appl., 7, № 2, 1962.- C. 231-240.

54. А. В. Погорелое. Лекции по дифференциальной геометрии. Харьков, 1955.

55. Л. С. Понтрягин. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

56. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987.

57. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1988.

58. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.

59. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия. М.: Факториал, 1998.

60. П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1956.

61. П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Мир, 1967.

62. Б. А. Розенфельд. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966.

63. Б. А. Розенфельд. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969.

64. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.

65. С. Стернберг. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.

66. Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 2000.

67. И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. T.l. М., 1948.

68. И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т.2. М., 1948.

69. Ж. Фае ар. Курс локальной дифференциальной геометрии. М., 1960.

70. Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

71. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М., 1948.

72. Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

73. П. Халмош. Конечномерные векторные пространства. М.: Физмат-гиз, 1963.

74. Д. Шварц. Дифференциальная геометрия и топология. М.: Мир, 1970.

75. Л. Шварц. Комплексные аналитические многообразия. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 2000.

76. К. Шевалле. Теория групп Ли. М., 1958.

77. Г. Е. Шилов. Математический анализ: функции нескольких вещественных переменных. Ч 1-2. М.: Наука, 1972.

78. Р. Н. Щербаков. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск, 1960.

79. Р. Н. Щербаков. Линейчатая дифференциальная геометрия трехмерного пространства. // Итоги науки. Алгебра. Геометрия. Топология. 1965, М., 1967.- С. 265-321.

80. P. H. Щербаков. Об исследованиях по дифференциальной геометрии, выполненных в Томске. // Итоги исследований по математике и механике за 50 лет. Томск, 1968, 71-79.

81. Р. Н. Щербаков. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. Томск, 1973.

82. В. И. Шуликовский. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М., 1963.

83. Е. Вопап. Sur les varietes riemanniennes a groupe d'holonomie G2 ou Spin(7). // C.R.Acad.Sci.- Paris 262, 1966.- p. 127-129.

84. F. M. Cabrera. On Riemannian manifolds with (^-structure. // Bolletino U.M.I. (7) 10-A, 1996.- p. 99-112.

85. F. M. Cabrera, M. D. Monar, A. F. Swan. Classification of G2-Structures. // J. London Math. Soc. 53, 1996.- p. 407-416.

86. S. S. Chern. The geometry of G-structures. // Bull. Amer. Math. Soc., 72, p. 167-219.

87. M. Fernandez, A. Gray. Rimannian Manifolds with Structure Group G2. 11 Ann.di Math. Рига ed Appl. 32, 1982.- p. 19-45.

88. Th. Friedrich, I. Kath, A. Moroianu, U. Semmelmann. On nearly parallel G^-structures. // J. Geom. Phys. 23, 1997.- no. 3-4, p. 259286.

89. P.Ja. Grushko, N.M. Kouzoub. About pseudohermitean submanifolds in octonion space. // International Congress on Differential Geometry in memory of Alfred Gray.- Spane, Bilbao, 2000.- p. 55-57.

90. P.Ja. Grushko, N.M. Kouzoub. About pseudohermitean submanifolds in octonion space. // Proceedings of the fourth International Mathematical Symposium "Symbolic computations. New horizons''. Japan, Tokio, 2001.- p. 269-276.

91. M. Haimovici. Sur integration des systemes differentilles exterieurs. Anali di Matem. pura ed appl., 60, 1962.- p. 285-363.

92. N. Jacobson. Cayley numbers and normal simple Lie algebras of type G. // Duke Math. J., № 5, 1939.- p. 775-783.

93. D. Joyse. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy III, J. Differential Geom. 43, 1996.- p. 291-328.

94. D. Joyse. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy G<i. // II, J. Differential Geom. 43, 1996.- p. 329-375.

95. I. Kath. (j^-Stuctures on pseudo-Riemannian manifolds. // J.Geom.Phys., 27, 1998.- p. 155-177.

96. N.M. Kouzoub, P.J a. Grushko. Bonnet Theorem in Octonion Geometry. // Abstracts of short communications and poster sessions of International Congress of Mathematicians. -China, Beijing, 2002.- p. 66-67.

97. R. Reyes. Some special geometries defined by Lie groups. // Thesis, Univ. Oxford, 1993.

98. S. Sternberg, I. Singer. The infinite group of Lie and Cartan. // J. de Analyse Math.,1965.- v.15, p.1-114.

99. A. Svec. Cartan's Method of Specialization of Frames. // Чехословацкий матем. ж., 16(91), 1966.- p. 552-599.136