Гибридные и равновесные конечно-элементные модели для прочностного анализа тонкостенных авиационных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.03, кандидат наук Абдюшев, Айдар Анварович

• Абдюшев, Айдар Анварович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Абдюшев, Айдар Анварович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, МОДЕЛИРУЮЩИЕ ОБШИВКУ

ФЮЗЕЛЯЖА ВЕРТОЛЕТА

1.1. Основные соотношения стандартной гибридной модели МКЭ

1.2. Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском прямоугольном КЭ

1.3. Вывод гибридной матрицы жесткости, реализующей чистый сдвиг в треугольном плоском КЭ

1.4. Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском Ы-узловом КЭ

1.5. Прочие плоские КЭ, применяемые при моделировании панелей обшивки подкреплённых оболочек

1.6. Универсальный алгоритм корректировки матриц жесткости четырех узловых панелей с учетом их естественной закрутки

ГЛАВА 2. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, МОДЕЛИРУЮЩИЕ

ПОДКРЕПЛЯЮЩИЙ НАБОР ФЮЗЕЛЯЖА ВЕРТОЛЕТА

2.1. Учет эксцентриситета нейтральной оси стержневых элементов

относительно расчётных узлов

2.2. Четырех узловой макроэлемент балка-стенка

2.3. Конечные элементы шпангоута переменного сечения

2.4. Элемент, соединяющий макроэлемент балка-стенка и

двух узловой КЭ шпангоута с эксцентриситетом

2.5. Статическая адаптация усилий в рёбрах подкреплённых оболочек

2.6. Тест для иллюстрации выбора КЭ мембраны "макроэлемента" балка-стенка

2.7. Тесты для иллюстрации достоверности элемента шпангоута переменной жёсткости

2.8. Проверка работоспособности макроэлементов балка - стенка

2.9. Тест, иллюстрирующий алгоритм статической адаптации усилий

в ребрах оболочки

ГЛАВА 3. РАВНОВЕСНАЯ МОДЕЛЬ РЕБРИСТОЙ ОБОЛОЧКИ В

ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

3.1. Постановка задачи

3.2. Преобразование базиса

3.3. Учёт изгиба рёбер и закрученности панели обшивки

3.4. Изгибаемое ребро переменной жесткости

3.5. Тестовые задачи

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ

МОДЕЛЕЙ

4.1. Анализ статической прочности натурных изделий

4.2. Анализ динамической прочности

4.3. Сопоставительные расчёты

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гибридные и равновесные конечно-элементные модели для прочностного анализа тонкостенных авиационных конструкций»

ВВЕДЕНИЕ

Надёжность и экономичность в эксплуатации любых конструкций во многом зависит от качества проектирования конструктивно - силовой схемы. Обеспечить надлежащее качество проектирования возможно при удобном и достоверном аппарате анализа всех параметров прочности. Если первое обеспечивается уровнем программно аппаратных средств, то второе - уровнем научных методов и моделей, заложенных в эти средства. Всё это, безусловно, справедливо и при проектировании авиационных конструкций и, в частности, фюзеляжей летательных аппаратов.

В процессе развития фюзеляжи летательных аппаратов от лёгких ферменных и неэффективных монококовых довольно быстро достигли современного уровня - подкреплённых оболочек. Ребристые оболочки являются наиболее рациональными с позиции соотношения массы и прочности конструкций. Эволюция конструкций дала толчок к развитию методов прочностного анализа. Достаточно хороший обзор аналитических методов анализа фюзеляжей ДА и их элементов имеется в [19]. Тем не менее особо хочется выделить работы В.З. Власова [35], A.A. Уманского [70] и Ю.Г. Одинокова [59], посвященные анализу НДС тонкостенных стержней, послуживших моделью для фюзеляжей JIA. Специфика анализа конструкций вертолётов указана в [54].

Достижения технологий с одной стороны и матричной алгебры [37] с другой, в середине прошлого века привело к внедрению в расчётную практику Электронно-вычислительных Машин (ЭВМ) [72] для решения задач прочности. Это, в свою очередь, повысило значимость численных методов анализа прочности, позволяющих свести решения дифференциальных уравнений к решению систем алгебраических уравнений. Одно из ведущих мест в ряде численных методов занял Метод Конечных Элементов (МКЭ). Общие теоретические и практические разработки в области МКЭ принадлежат

как зарубежным авторам: О. Зенкевич, К. Морган [42,43], Кл. Бате [76], JI. Сегерлинд [68], Д. Норри, Ж. де Вриз [55], Р. Галлагер [36] , так и отечественным авторам: JI.A. Розин [65], В.А. Постнов [61,50], H.H. Шапошников [63], В.И. Мяченков [64], М.С. Корнишин, А.И. Голованов [38]. Из ближнего зарубежья интересны работы A.C. Сахарова, И. Альтенбаха и A.C. Городецкого [51,52]. Решениям задач МКЭ в нелинейной постановке посвящена работа P.A. Хечумова и других [73].

Теоретической основой МКЭ являются вариационные принципы механики деформируемого тела, позволяющие, как уже было сказано выше, получать приближенные решения дифференциальных уравнений посредством решения систем алгебраических. Обзор различных вариационных принципов приведён в переводной книге К. Васидзу [33] и в работах отечественных авторов JI.A. Розина [66], М.С. Корнишина и А.И. Голованова [38].

Среди отечественных и зарубежных авторов необходимо выделить работы авторов, связанные с авиационной тематикой. Это работы Дж. Аргириса, С. Келси [23,24], И.Ф. Образцова, JI.M. Савельева, Х.С. Хазанова [56,57], З.И. Бурмана [29,30,31,32], М.Б. Вахитова [34].

Интенсивное продвижение науки в области МКЭ и быстрое совершенствование вычислительной техники в последней четверти 20-го века предопределило появление большого количества вычислительных комплексов и расчётных систем на ЭВМ для анализа прочности инженерных конструкций и сооружений. Выделим среди них расчётные комплексы, учитывающие, в первую очередь, интересы авиации. Из зарубежных крупных комплексов необходимо выделить NASTRAN [60,79]. Наиболее значимых результатов было достигнуто отечественными комплексами: "Система-4" (МАРС) [46], "ФРОНТ" [53], РИПАК [69], "СУМРАК" (АРС ЭРА-ПК2000) [5,30,31,32].

Наибольшее распространение в практике прочностных статических и динамических расчётов фюзеляжей получила балочная модель, в которой

моделью фюзеляжа принимается тонкостенная балка переменного по длине сечения. Основа модели - предписание отдельным конструктивным элементам воспринимать определённые усилия: шпангоутам - изгиб, поперечные и продольные силы в своей плоскости; стрингерам - продольное растяжение -сжатие; обшивке - воспринимать усилия сдвига. Эта схема носит название модели Эбнера - Беляева, предложивших её практически одновременно в 30-х годах прошлого века. В силу неравномерного распределения нормальных усилий в тонкой обшивке, эффективную часть площади обшивки присоединяют к площадям рёбер. При анализе балочной модели применялся принцип суперпозиции, позволяющий использовать современные методики определения усилий от разных внешних интегральных нагрузок.

Наиболее удачной моделью МКЭ для авиационных конструкций оказалась модель Аргириса [23] (рис. 1), реализующая модель Эбнера - Беляева в МКЭ в форме метода сил, на основе стационарности функционала дополнительной энергии Кастильяно. На рис. 1 показан основной набор конечных элементов модели Аргириса.

Здесь необходимо выделить закрученное трапециевидное поле обшивки, находящееся в равновесии под действием потоков сдвига, приложенного по граням. Элементы продольного набора, воспринимающие растяжение - сжатие, уравновешиваются потоком сдвига от обшивки. Изгибаемые элементы плоской балки также уравновешиваются потоком сдвига от обшивки.

Последователем Аргириса в нашей стране выступил Бурман З.И. Внедрив в расчётную практику [62,29] модель Аргириса, он и его ученики занимались постоянным совершенствованием модели. Недостаточность

?

Рис. 1. Основные конечные элементы модели Аргириса.

ресурсов ЭВМ, характерная для того времени, стимулировала развитие метода подконструкций, рассчитываемых раздельно и упруго сочленяемых в дальнейшем методом сил [21]. Тем не менее, в практике всё больше находил применение МКЭ в перемещениях на базе минимума функционала Лагранжа, который оказался более алгоритмичным и охватывал более широкий круг решаемых задач. С конца 70-х в коллективе, возглавляемом З.И. Бурманом, начались разработки по реализации подсистемы, реализующей МКЭ в форме метода перемещений.

Действительно, усложнение конструкций вертолётов не могла быть полностью охвачено моделью Аргириса, для применения которой имелся целый ряд ограничений, а именно: параллельность плоскостей шпангоутов и малая конусность конструкций. К началу 80-х годов в пакете программ были реализованы расчётные модули для анализа прочности отдельных подконструкций как в форме метода сил, так и в форме метода перемещений. На примере вертолёта МИ-26 на рис. 2 показано расчленение всей конструкции на отдельные фрагменты - подконструкции.

Наличие подсистем метода сил и метода перемещений дало толчок для развития смешанного суперэлементного метода. Этот метод был разработан для упругого сочленения подконструкций, рассчитанных разными методами [5,6,7].

В начале 90-х годов алгоритмы и программы расчётного комплекса были адаптированы для персональных ЭВМ и переписаны на языке Майкрософт Си в среде ДОС [71]. Средствами Vitamin С была создана оболочка, объединившая отдельные расчётные модули и графическую подсистему в расчётный комплекс СУМРАК ПК. При расчёте конструкции вертолёта МИ-26 (рис. 2) впервые была применена подготовка данных по фрагментно для подсистемы метода перемещений, с дальнейшим объединением в единую конструкцию - прототип фрагментарной технологии.

подконструкции.

На этом этапе программы, реализующие анализ прочности МКЭ в форме метода сил, не были адаптированы для ЭВМ PC. В конце 90-х все расчётные модули, кроме интерфейса и графической подсистемы, были адаптированы для среды ОС. В дальнейшем расчётный комплекс расширил класс решаемых задач прочности и был переименован в АРС ЭРА-ПК2000 [49].

Из всего вышесказанного следует: модель Аргириса, реализованная в подсистеме метода сил имеет понятные инженерные корни, хорошо согласуется по результатам с экспериментами [7], но может быть применена только для относительно регулярных конструкций. Подсистема метода перемещений, не смотря на свою универсальность, уступает при анализе взаимодействия между отдельными элементами при расчёте комбинированных конструкций. Так что, с момента появления подсистемы, реализующей МКЭ в форме метода перемещений, актуальной являлась задача создания модели близкой или совпадающей с моделью в подсистеме метода сил.

Актуальность работы. Анализ прочности тонкостенных каркасированных

или подкреплённых рёбрами оболочек является неотъемлемой частью этапа проектирования фюзеляжей летательных аппаратов. Поскольку окончательные решения по конструкциям принимает инженер - проектировщик, картина результатов анализа прочности должны быть "прозрачной" с точки зрения известных приёмов расчётов, выполняемых аналитически. Другими словами расчётная модель численного анализа по МКЭ должна быть максимально приближена к традиционным с одной стороны и обладать универсальной алгоритмичностью с другой.

В сочетании с фрагментарными технологиями, реализованными в АРС ЭРА-ПК2000, применение к анализу прочности инструментов численного анализа в форме МКЭ в перемещениях, максимально использующих инженерные модели и достижения аналитических методик расчёта, позволяет повысить достоверность результатов к вариантным расчётам на этапе проектирования и, как следствие, сокращает сроки его проведения.

Цель работы - построить конечные элементы для анализа фюзеляжа вертолёта в виде подкреплённых тонкостенных оболочек в перемещениях и разработать алгоритмы, позволяющие определять усилия в рёбрах, с учётом их взаимодействия с обшивкой, а также реализация этих разработок в рамках действующего расчётного комплекса АРС ЭРА-ПК2000.

Заметим, что основой моделирования рёбер подкреплённых оболочек являются двух узловые КЭ стержней и балок. Для этих элементов, независимо от совместной или равновесной постановки, энергия деформации учитывается точно. Таким образом, основным фактором, отвечающим за качество расчётов, является модель работы обшивки.

Таким образом, научная новизна работы заключается в построении двух моделей для анализа подкреплённых оболочек МКЭ в перемещениях при единой базе входных данных. Совместная модель на базе гибридных сдвиговых элементов обшивки с уточнённым алгоритмом статической адаптации приближается к действительному состоянию снизу по полной энергии. Модель

с равновесными элементами обшивки приближается к действительному результату сверху. Определена количественно энергетическая дистанция между этими моделями.

Практическая ценность работы заключена в том, что все предлагаемые разработки реализованы в рамках расчётного комплекса АРС ЭРА-ПК2000, применённого на этапе проектирования в КБ ОАО "Казанский вертолётный завод". Внедрение разработок повысило достоверность результатов анализа статической и динамической прочности при проектировании. На защиту выносятся:

1. Гибридная матрица жёсткости плоского выпуклого n-угольного КЭ, реализующего чистый сдвиг в декартовой системе координат.

2. Универсальный алгоритм "закрутки" плоских четырехузловых КЭ, построенный на базе метода наименьших квадратов.

3. Набор конечных элементов, моделирующих любые формы изгибаемых шпангоутов.

4. Алгоритм статической адаптации - статически эквивалентного преобразования усилий в рёбрах, предписывающий равновесную работы с обшивкой.

5. Четырёх узловой конечный элемент сдвиговой обшивки, позволяющий учесть равновесие с подкрепляющими рёбрами.

Внедрение результатов. Разработанные алгоритмы были реализованы в рамках комплекса АРС ЭРА-ПК2000 и применялись в расчётной практике конструкторских бюро КНПП "Вертолёты МИ" и ОАО "Казанский вертолётный завод".

Апробация работы: Основные результаты работы неоднократно докладывались на ежегодных научно - технических конференциях Казанского государственного архитектурно - строительного университета (КИСИ, КГ АСА) в 1982 - 2007 гг. В период с 1982 по 1988 г. результаты работы докладывались

во Всесоюзных и Международных конференциях. В полном объёме работа докладывалась на расширенном семинаре J1HMO ИММ КНЦ РАН в октябре 2013 г.

Основное содержание работы изложено в 16 печатных работах [1 - 12, 14,15,18,49]. Из них - одна монография и одна публикация из списка рецензируемых изданий, рекомендованных ВАК.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 79 наименований и приложения; содержит 103 страницы машинописного текста, 6 таблиц, 54 рисунка.

Краткое содержание работы.

В первой главе, посвящённой конечным элементам моделирующим обшивку, указывается на необходимость привлечения гибридной постановки для вывода матрицы жёсткости сдвиговых панелей обшивки. Кратко описывается вариационная постановка на базе обобщённого функционала Кастильяно. Рассматривается алгоритм построения гибридных матриц жёсткости простейших по форме конечных элементов, реализующих постоянный сдвиг в некоторой декартовой системе координат. Проводится обобщение алгоритма на плоский N-угольный конечный элемент.

Проводится краткий обзор прочих конечных элементов, применяемых в АРС ЭРА - ПК2000 для моделирования элементов конструкций фюзеляжа вертолёта.

Для учёта естественной закрученности панелей обшивки, на базе метода наименьших квадратов предлагается универсальный алгоритм уравновешивания матриц жёсткости плоских конечных элементов, построенный на базе метода наименьших квадратов.

Вторая глава посвящена исключительно конечным элементам, моделирующим изгибаемые рёбра подкреплённых оболочек. Вначале указывается на необходимость учёта эксцентриситета нейтральной оси изгибаемых рёбер — шпангоутов и срединной плоскости обшивки. Предлагается

матричный алгоритм статически эквивалентного переноса расчётных узлов изгибаемых двух узловых КЭ в точки с эксцентриситетом. Рассматриваются зависимости, как для усилий, так и для перемещений.

Для возможности включения в расчётную модель изгибаемых элементов большой строительной высоты или с расчётными сечениями с углом наклона к оси, далёким от 90 градусов, предлагается двух поясной четырёх узловой элемент балка - стенка, созданный суперпозицией балочных поясов, расположенных с эксцентриситетом относительно расчётных узлов и плоских трёх узловых КЭ оболочки. В качестве обоснования принимается равенство моментов инерции составного и исходного сечения. Такой же подход при вычислении моментов инерции принят при получении матрицы жёсткости изгибаемого элемента шпангоута переменной (по линейному закону) высоты. Далее приводятся два алгоритма получения матрицы жёсткости элемента передаточного элемента, позволяющего стыковать двух поясные четырёх узловые элементы с двух узловыми КЭ. Оба алгоритма позволяют исключать из общей системы узлы, с зависимыми перемещениями. Первый алгоритм использует дополнительные уравнения связи перемещений, второй - уже известный алгоритм статически эквивалентного переноса.

Далее указывается на то, что разрывность полей напряжений (усилий) в методе перемещений приводит при формальном анализе к неприемлемым эпюрам. Для исправления этой картины предлагается проводить анализ усилий в рёбрах, рассматривая их в совокупности с сопряжёнными элементами обшивки. Проводя сечения по панелям вдоль осей рёбер и предписывая равновесное состояние, получаем картину усилий, соответствующую схеме Эбнера - Беляева. Здесь мы предполагаем, что окончательное усилие в рёбрах получается суперпозицией усилий от решения в перемещениях и от сдвигающих потоков (напряжений) в панелях.

Приводятся решения ряда тестовых задач, демонстрирующих состоятельность предложенных элементов и методов.

В третьей главе продолжено исследование взаимодействия ребра и обшивки в схеме, рассчитываемой в перемещениях. С этой целью рассмотрена дискретная модель четырёхугольной панели, подкреплённой по контуру стержневыми элементами. В панели действует постоянное поле касательных напряжений, в рёбрах - суперпозиция постоянных усилий и усилий, находящихся в равновесии с потоком сдвига, определяемого постоянным сдвигом, приходящемся на соответствующее ребро. Таким образом, исходный базис неизвестных силовых факторов содержит пять компонент. Методом решения задачи выбрана полная система уравнений строительной механики. Показан полный ход решения этой задачи безотносительно узловой нагрузки. В процессе решения в матрице податливости образуются ненулевые элементы, характеризующие взаимную работу компоненты базиса постоянного усилия в ребре и усилия зависимого от сдвигающих напряжений. Далее указывается возможность перехода к другому базису, для которого матрица податливости сводится к диагональной матрице. Поскольку матрица обратная диагональной матрице податливости тоже является диагональной, появляется возможность получать вклад в общую матрицу жёсткости от отдельных элементов. Показывается, что вклад в общую матрицу жёсткости от рёбер в новом базисе есть ни что иное как матрица жёсткости ферменного элемента. А в полученной матрице жёсткости панели учтено равновесие с рёбрами. Далее рассматривается применимость равновесной модели для всех уже описанных компонент.

Приводятся решения тестовых задач, демонстрирующих работу равновесной модели в перемещениях

В четвёртой главе приводятся примеры практического применения разработанных элементов и алгоритмов. Приводятся расчётные схемы и некоторые результаты статического анализа модификаций вертолётов МИ8. Приводятся некоторые результаты динамического анализа, полученные при проектировании вертолёта "АНСАТ".

Поскольку алгоритмы, реализующие МКЭ в перемещениях в АРС ЭРА-ПК2000, имеют общее назначение, в завершение главы приводятся решения задач, выходящих за рамки авиационных конструкций.

Основные выводы по выполненной работе сформулированы в заключении.

Практическая и основные теоретические работы выполнены в отраслевой лаборатории систем автоматизированного проектирования и расчёта на прочность вертолётных конструкций ОНИЛ-9 при кафедре строительной механики Казанского государственного архитектурно-строительного университета (КИСИ, КГ АСА) под руководством доктора технических наук Бурмана З.И. и кандидата технических наук Лукашенко В.И.

ГЛАВА 1. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, МОДЕЛИРУЮЩИЕ ОБШИВКУ ФЮЗЕЛЯЖА ВЕРТОЛЕТА

При моделировании работы фюзеляжа летательного аппарата методом конечных элементов, в соответствии со схемой Эбнера - Беляева, элементы обшивки фюзеляжа должны воспринимать чистый сдвиг в некоторой двумерной ортогональной системе координат. Известны алгоритмы получения сдвиговой жёсткости четырёх узловой закрученной панели обшивки [45]. Поиск более общего подхода привёл автора к следующему решению. Использование для сдвигового конечного элемента формулировки в перемещениях в стандартной постановке, основанной на принципе минимума функционала Лагранжа, наталкивается на противоречие при рассмотрении обобщенных дифференциальных уравнений равновесия в плоском КЭ. При числе узлов в элементе больше или равно четырем и изопараметрической формулировке плоского поля перемещений, порядок аппроксимирующих полиномов для перемещений таков, что первая производная от них, определяющая напряжения имеет порядок не ниже первого. Таким образом, при "чистом" сдвиге и при отсутствии объемных сил возникает противоречие, например:

der dt dv

—^ н--— = 0 н--— ф О

dx dy dy

Справиться с подобным противоречием позволяет гибридная формулировка на базе обобщенного функционала Кастильяно [33,38], позволяющая иметь порядок полиномов напряжений отличным от порядка первых производных полиномов перемещений.

1.1.

Основные соотношения стандартной гибридной модели МКЭ

Принимаем основные обозначения по работе [30,39]. Напряжения в элементах:

{<}, ••■•л<)} (1-1)

Функция дополнительной энергии деформации запишется:

В(сту) = У2{аУ[В){*} (1.2)

Где {<г}т =[(7^ ауу а22 сгху аХ2 ]; [5] - соотношения упругости.

Дифференциальные уравнения равновесия запишем в виде:

*„+?,=<> о-3)

И статические граничные условия:

Т1=Т1 е (1.4)

Здесь Г, = <туп], а п] - направляющие косинусы внешней нормали к .

Статические условия в напряжениях на границах между элементами:

Т,м+Т^= 0 тю=<г?п?, (1.5)

Очевидно, что направляющие косинусы внешней нормали п\

00 _ _п(Ь)

Переходим к формулировке принципа минимума дополнительной энергии деформации. Если функции в (1.1) подобраны так, что выполняются требования (1.3-1.5), то для принципа минимума дополнительной энергии деформации функционал запишется так:

пс = I м - Я7^. о-6)

К

Здесь 5И - область задания кинематических граничных условий. Функционал (1.6) формулирует равновесную модель. В качестве варьируемых параметров здесь выступают .

Функционал модифицированного принципа дополнительной энергии деформации Кастильяно получим по формуле:

Пмс=Пс-^Саь (1.7)

Где СаЬ = {т'а} + Т,(Ь) )сК> - условия сопряжения на межэлементных границах,

добавленные с помощью неопределенных множителей Лагранжа и,. Знак "-" поскольку мы имеем дело с дополнительной энергией.

Опустим дальнейшие выводы и математические доказательства описанные в [39]. Для упрощения, положим, что статические и кинематические граничные условия приложены в узлах расчетной схемы и не будем рассматривать температурные деформации. Ниже приведем алгоритм построения только гибридной матрицы жесткости отдельного КЭ после принятия упрощающих гипотез.

Запишем в матричном виде для КЭ:

здесь {а} - вектор напряжений, {Д} - вектор неизвестных параметров, [Р] -матрица аппроксимирующих функций, Уа - область занимаемая КЭ. Тогда усилия {5} на границе ЯаЬ КЭ выражаются через параметры:

} - вектор неизвестных узловых перемещений, [I] - матрица интерполирующих функций. Тогда гибридная матрица податливости КЭ:

М = ¿К

(1.8)

Вектор перемещений на границе КЭ:

{и} = [Ц-{д,}

(1.9)

(1.10)

(1.11)

к

Трансформирующая матрица образуется интегрированием по границе:

(1.12)

Матрица жесткости конечного элемента определяется по формуле:

[^млчяг-т

А искомые параметры напряжений определим:

(1ЛЗ)

[Р]■{/?} = [Р] [Я]"1 -[Т]■{<?,}

(1.14)

1.2. Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг в плоском

прямоугольном КЭ

Рассмотрим в двумерной декартовой системе координат плоский прямоугольный элемент, стороны которого параллельны координатным осям (рис. 1.1).

? Ъ

А Ь

¿1

71

¿1

«7»

У.Ъ

Я

I/

Рис. 1.1. Прямоугольный сдвиговой элемент Требуемая функция напряжений имеет вид:

о- =

Эта функция, для удовлетворения условия (1.3) при /, =0 должна иметь вид:

а = [Р]/3 = {\}р . Удельная энергия деформации: Ц/ = % о'Во, где В = + 1 ^ а

■ 1 Е

V

коэффициент Пуассона и Е - модуль упругости Юнга. Гибридная матрица податливости по (1.11):

2 2 2(1 + 2аЬ(\ + уу

Н = \Р ТВРС1У = / | р - ' с1хс1у =

аЬ 2 2

—---

2аЬ(\ + V)/

Здесь I - постоянная толщина КЭ.

(1.15)

(1.16)

' п23

С

s2i

а

s 12

А

а

п12

а

л 34

О

.934

а

.i 14

«14

Рис. 1.2. Напряжения по границе прямоугольного КЭ

534 = -ta ; rí> RM =-t.

Усилия на границе, на сторонах КЭ (рис. 1.2):

2 = ; Rl2 = • 523 = taxy; => R2i = /.

5М =t<Txy; => RH =t. Перемещения по границе КЭ апроксимируются линейно. Параллельно осям х,£: и.. = ±0.5(qXJ -qxl)% ±0.5(qxi+ qxj), £е[-1; 1]. Параллельно осям у, r,\ utJ = ±0.5{qy] - qyl )tj ± 0.5(qy¡ + qyj), rj g [-1; Ij. Полагая вектор перемещений: q = {qxl qyl qx2 qv2 qxZ qy3 qxi qy4}, согласно (1.10) имеем:

Ln = 0.5[0; 1 -n\ 0 1 + //; 0; 0; 0; O] Z23=0.5[0; 0; 0; l + £ 0; 0; O]

¿34=0.5[0; 0; 0; 0; 0; -(1 -7); 0; -(I + /7)] Iu=0.5[-(l + #); 0; 0; 0; 0; 0; -(!"<?); О]. Заметим, что в (1.12) можно представить: [Г] = ^[Ти ], тогда, с учетом знаков:

[Ти]='2[0; -Ь 0; -Ъ 0; 0; 0; о] [Г23] = ^[0; 0; а; 0; а; 0; 0; О] [Г34] = ^[0; 0; 0; 0; 0; 6; 0; b]

[Ти] = ^[-а- 0; 0; 0; 0; 0;

а

0]

[Л = -[-а; -Ъ\ а; -Ь; а\ Ь; -а; Ь\

Наконец, согласно (1.13):

Е

а = Рр = РН Т

АаЬ{\ + у)

[- а; -Ъ\ а\ - Ъ\ а; Ъ\ - <з; Ь\{

К =

Е1

Ш{\ + V)

а2 аЬ -а2 аЪ - а1 - аЬ а2 - аЪ

аЪ Ъ2 - аЬ Ъ1 -аЪ -Ь1 аЪ -Ъ2

-а2 - аЬ а2 - аЬ 2 а аЪ -а2 аЬ

аЪ Ъ2 - аЪ Ъ2 - аЬ -Ъ2 аЬ -Ъ2

- а2 - аЬ а2 - аЪ а2 аЪ -а2 аЬ

- аЬ -Ъ2 аЪ -Ъ2 аЬ Ь2 - аЬ Ь2

а2 аЪ -а' аЪ -а2 - аЬ 2 а' - аЪ

- аЪ -Ь2 аЬ -Ъ2 аЪ Ъ2 -аЪ Ъ2

1.3. Гибридная матрица жёсткости, реализующая чистый сдвиг

в треугольном плоском КЭ

Рассмотрим в плоской декартовой системе координат треугольный трёх узловой элемент (рис. 1.3а). Ось X проходит параллельно стороне 1-3 треугольного КЭ.

Чу 2

Рис. 1.3. Треугольный трёхузловой КЭ со стороной 1 -3 параллельно оси X

Здесь также имеют место соотношения (1.8) и (1.11), тогда:

с т , 2SL(l + v)í

Н= Г PTBPdV = ^±--

J р

V л

Str - площадь треугольного КЭ. Погонные усилия на границе (рис. 1.36):

5,2 =í[(Jil2 сгя12]; => Rl2 = t[Cos2a -Sin2a -2Sina-Cosa\', S 23 = t [<Jm an 23 ]; => i?23 - 4Co5 2 ß-Sin2 ß ISinß • Co^ |

oj; =**13=í[-1 0]

Аппроксимацию перемещений по границе осуществляем по линейному закону:

\

Cosa

L12 -

г \

1 _ х — xi V х2 — х, j

ч

{ \

X - X V х2 — Xj у

Sin а

í \ \-lZh

\ Уг ~Ух) { \ У-у 1

Sin а —-Cosa

^23 —

0 0 о о

г х_х \

V Х3~Х2)

f _ \

j X Xj

1-

^ У 2 У\) г

Cosa

(х2 х,) b-^-Sina

(у Sina 0 0

(У2 ~Ух) (.У ~Ух)

(х2 Xj)

(У2 - Ух)

Cosa 0 0

Cosß -Sinß

1-

V

Аз —

х3 х2

í х _ х \

V хг — Хх j

У-Уз

V У 2 ~ Уз ( \

2 У~Уз V У 2 — Уъ

о

/ _ л j _ Х — Хх

\ хз — хх ;

Sinß

(х - х2) (х3 — х2)

Cosß

(У~ Уз) ginß

(У2 - Уз)

Cosß — ~ Xl\ Sinß ^- ^Cosß

(х3 х2) 0 0 -

0 0 О

{у2-Уз)

Далее по аналогии:

Г = ^[*23 У 32 *31 0 Х12 ^21 ]> ГДе Хц И уц =У,~УГ

Далее несложно получить матрицы К и а.

Однако, в рассмотренном нами случае сторона 1-3 треугольного КЭ была параллельна оси X. Рассмотрим более общий случай: когда сторона 1-3 с осью X образует некоторый угол у (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Треугольный трех узловой КЭ в общем случае.

Отличие от предыдущего случая будет в матрицах по стороне 1 -3:

Аз =

1-

Ч

\

■ X

Cosy, -Sin у; -

1 /

Лз = = [- <TVj.S

/ Л

Siny,

( \

1- ' -J'l Cosy,

-J'j

Оз - *1 ) (х-х,)

Cosy, -

(х3 X])

Siny,

(У ~ У\) (Уз -Ух) (У ~ Ух) (Уз ~Ух)

Siny Cosy

После интегрирования и объединения получим:

Т = — [х23 у32 х31 уи х

12

У 21

Учитывая, что

2Str - х32 ■ у21 х2| • у32 - А

123

запишем:

К

x23 X 23 У 32 х23х3] Х23У]3 х23х12 Х 23^21

"V32 У 32 У32Х3\ УъгУи У32Х\2 ^32^21

Et x23x31 У 32X 31 х2 А31 -"-313^13 х3]х12 •"-31^21

4Am(l + v) ^23^13 Уз2У,з х31з^13 У\з У\3Х\2 УъУя

x23x12 У 32Х12 Х3]Х,2 у |3х]2 г2 12 Х12Ун

Заключение диссертации по теме «Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов», Абдюшев, Айдар Анварович

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1). Как основа инженерной модели Эбнера - Беляева в гибридной формулировке получен универсальный конечный элемент, реализующий напряжения постоянного сдвига в некоторой декартовой системе координат.

2). Предложен универсальный алгоритм, позволяющий применять плоские мембранные и сдвиговые конечные элементы при моделировании закрученной обшивки для анализа прочности сложных по форме ребристых оболочек.

3). Получен набор конечных элементов, позволяющих моделировать изгибаемые рёбра сложных по форме подкреплённых оболочек.

4). Предложен практический алгоритм статической адаптации усилий в рёбрах, позволяющий трактовать результаты анализа прочности ребристых оболочек в соответствии со схемой Эбнера - Беляева.

5). Получен конечный элемент тонкой сдвиговой обшивки, точно учитывающий энергию взаимодействия с ребрами.

6.) Все предложенные разработки реализованы в рамках расчётного комплекса АРС ЭРА-ПК2000.

В заключение можно заметить:

В работе, при формировании равновесной модели, не была использована податливость сдвиговой плоской панели, предложенной Аргирисом согласно инженерному подходу (трапециевидная панель, уравновешенная по граням потоками сдвига). При желании можно получить в перемещениях модель, полностью соответствующую модели, используемой в методе сил. Однако, на наш взгляд, указанный в работе подход более универсален.

Добавка в податливость сдвиговых панелей формулирует количественно энергетическую "дистанцию" между равновесной (рассмотренной в главе 3) и совместной моделью с гибридными сдвиговыми КЭ моделями (глава 1),

применяемой ранее. Как известно, первая модель приближается к действительному состоянию "сверху", вторая - "снизу" по перемещениям по отношению к действительной конструкции. Не исключено, что регулирование этой добавки приведет к более точным результатам для рассмотренного класса конструкций.

Универсальность алгоритмов МКЭ в перемещениях, заложенных в программы, открытость комплекса для пополнения, реализованная матричная алгебра делает АРС ЭРА-ПК2000 хорошим инструментом как для простого анализа прочности [13], так и для параметрических исследований научного характера [16,17].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абдюшев, Айдар Анварович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абдюшев A.A. (соавторы Бурман З.И., Кордончик Д.М.) Суперэлементный расчёт подкреплённых оболочек на прочность, устойчивость и собственные колебания // Тез. Докл. Всесоюзной конференции "КОРПУС-83"/ - Николаев, 1983. - с. 48.

2. Абдюшев A.A. (соавторы Бурман З.И., Кордончик Д.М.) Анализ прочности, устойчивости и собственных колебаний подкреплённых оболочек методом суперэлементов // Тез. Докл. III Национальной конференции по устойчивости и колебаниям деформируемых систем. - София, НРБ, 1984. - с.4.

3. Абдюшев A.A. (соавторы Бурман З.И., Кордончик Д.М.) Анализ прочности, устойчивости и собственных колебаний сложных конструкций суперэлементным методом // Тез. Докл. IX Дальневосточной научно-технической конференции по повреждениям и эксплуатационнй надёжности судовых конструкций. - Владивосток, 1984. - с. 192-194.

4. Абдюшев A.A. (соавторы Бурман З.И., Кордончик Д.М.) Программный комплекс для конечно-элементных расчётов конструкций с использованием различных вариационных принципов. Тезисы докладов V всесоюзной конференции по статике и динамике пространственных конструкций. Киев КИСИ 1985.

5. Абдюшев A.A. (соавторы Бурман З.И., Десятник Г.А., Кордончик Д.М.) Опыт применения пакета прикладных программ "Суперэлементный метод расчёта авиационных конструкций" и его совершенствование // Прочность конструкций летательных аппаратов: Межвузовский сб. - Казань: КАИ, 1986. - с.79-84.

6. Абдюшев A.A. (соавторы Артюхин Г.А., Зархин Б.Я., Кордончик Д.М., Лукашенко В.И., Шаихов И.А.) Пакет прикладных программ "СУМРАК" для расчётов на статику, собственные и вынужденные колебания тонкостенных

комбинированных конструкций. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции "Численная реализация физико-механических задач прочности", Горький, 1987.

7. Абдюшев A.A. (соавторы Бурман З.И., Кордончик Д.М., Шаихов И.А.) Программный комплекс для конечноэлементных прочностных статических и динамических расчётов конструкций и сооружений с использованием различных вариационных принципов. Тезисы. XI международный конгресс по вопросам применения математики в технических науках. Веймар, ГДР, т.2, 1987. - с.13-15.

8. Абдюшев A.A. Об одной несовместимости конечноэлементной модели для расчёта на прочность подкреплённых оболочек типа фюзеляжа JIA. Внутрикамерные процессы в энергетических установках. Акустика, диагностика. Тезисы докладов и сообщений на 4-м научно-техническом семинаре. КВВКУ РВ, 1992.

9. Абдюшев A.A. Численный подход при конечно-элементном анализе напряжённого состояния элементов шпангоута с учётом их равновесия с обшивкой. Тезисы докладов 51 республиканской научной конференции. Казань, КГ АСА, 1999.

10. Абдюшев A.A. Набор программ для динамического анализа конструкций от вынуждающих нагрузок, имеющих гармонический характер. Тезисы докладов 52 республиканской научной конференции. Казань, КГ АСА, 2000.

11. Абдюшев A.A. (соавтор: Доронин М.М.) Реализация алгоритма определения динамических реакций конструкций в упругой стадии при произвольном нагружении. Графическая подсистема ППП ЭРА-ПК2000 визуализации результатов динамического анализа. //Материалы 53 республиканской научной конференции. Сборник научных трудов аспирантов. - Казань, КГАСА, 2001. - с. 43-49.

12. Абдюшев A.A. Матрица жёсткости конечного элемента шпангоута JIA с линейно изменяющейся высотой сечения с учётом переменности по длине угла ориентации главных центральных осей. Тезисы докладов 54 республиканской

конференции. Казань, КГ АСА, 2002.

13. Абдюшев A.A. (соавторы Галимшин P.A., Маннапов А.З.) Исследование прочностных свойств элементов башни Сююмбеки. Фэн Ьэм Тел (журнал на татарском языке). Казань, ООО "Мастер Лайн", 2004. - с. 69-73.

14. Абдюшев A.A. Двухпоясной конечный элемент, интерпретирующий работу шпангоута большой строительной высоты. Тезисы докладов 57 республиканской научной конференции. Казань, КГ АСУ, 2005.

15. Абдюшев A.A. Моделирование подкрепленной оболочки в АРС ЭРА-ПК2000. Известия КазГАСУ. Казань: Изд-во КГАСУ, №2(8)/2007 г., стр. 26-34.

16. Абдюшев A.A. (соавтор Якупов Н.М.) Параметрическое исследование лечащих накладок средствами расчетного комплекса ЭРА-ПК2000 // Известия КГАСУ. №2 (8) / 2007. С. 61-64.

17. Абдюшев A.A. (соавтор Якупов Н.М.) Исследование влияния активных и пассивных лечащих накладок на напряженно-деформированное состояние панели с трещиной // Вестник Казанского государственного технического университета, 2010. № 4 (60). С. 5 - 9.

18. Абдюшев A.A. Принцип построения расчетной модели равновесных с ребрами подкрепленных оболочек для линейного анализа МКЭ в перемещениях. // Известия ВУЗов. Авиационная техника. 2013, №2. с. 8-14.

19. Авдонин A.C., Фигуровский В.И. Расчёт на прочность летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1985. - 440с.

20. Агнистиков И.М., Бурман З.И. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек, ч. II. Система матричного программного обеспечения для численной реализации метода конечных элементов на ЕС ЭВМ. /КИСИ. Казань, 1982. - 104с. Деп. в ВИНИТИ 16.02.1982, №699 - 82.

21. Аксенов О.М.,Бурман З.И. Суперэлементный метод расчета фюзеляжа вертолета.- Известия ВУЗов, Авиационная техника, 1977, 1 2, с. 12-17.

22. Аксёнов О.М., Сучков В.Н. Суперэлементный анализ тонкостенных каркассированных систем. Сборник научных трудов. Казань: изд-во КГ АС А,

1996 г., стр. 27-32.

23. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета с применением матриц. -М.: Стройиздат, 1968.

24. Аргирис Дж., Келси С. Расчет фюзеляжей произвольного поперечного сечения и произвольного закона изменения, сечений вдоль оси. //Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем /Пер. с англ, под ред. Филина А.П. - JL: Судпромгиз, 1961. - с.421-653.

25. Артюхин ГА. Методы и алгоритмы генерации данных для подсистемы автоматизированного проектирования подкрепленных оболочек. - Дисс. канд. техн. наук, - Киев, 1985. - 158с.

26. Артюхин Ю.П. Строительная механика в пакетах "Mathematica" и "ANSYS". Учебное пособие. - Казань: Изд-во КГУ, 2009 - 120с.

27. Астахов М.Ф. Справочная книга по расчету самолета на прочность. - М.: Оборонгиз, 1954. - 702с.

28. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. /Пер. с англ. - М.: Стройиздат, 1982. - 448с.

29. Бурман З.И., Лукашенко В.И. Тимофеев М.Т. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методом конечных элементов с применением ЭЦВМ. Казань: Изд. КГУ, 1973. - 569с.

30. Бурман З.И., Аксенов О.М., Лукашенко В.И., Тимофеев М.Т. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек. М.: Машиностроение, 1982.-256с.

31. Бурман З.И., Десятник Г.А. Расчет на прочность авиационных конструкций смешанным суперэлементным методом. //Авиационная техника. Известия высших учебных заведений. - Казань, 1984, №2. - с.89-91.

32. Бурман З.И., Артюхин Г.А. Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. - М.: Машиностроение, 1988. - 256с.

33. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер.

с англ. - М.: Мир, 1987. - 542 с.

34. Вахитов М.В. Введение в метод конечных элементов строительной механики летательных аппаратов. Казань 1994. - 84с.

35. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Гостехтеориздат, 1949. - 784 с.

36. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. /Пер. с англ. - М.: Мир,

1984.-428с.

37. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц. - 4-е изд. - М.: Наука, 1988. - 552с.

38. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань: Изд-во Казанского физ.-тех. Ин-та, 1989. -269с.

39. Десятник Г.А. Смешанный суперэлементный метод расчёта фюзеляжа вертолёта на прочность. - Дисс. канд. тех. наук, - Казань, 1982 - 144с.

40. Зархин Б.Я. Бурман Я.З. К автоматизированному расчету динамической реакции конструкций на основе разложения по векторам Ланцоша/КИСИ. Казань, 1987.- 14с. Деп. в ВИНИТИ 7.12.1987, № 8782-В87.

41. Зархин Б.Я. Математическое и программное обеспечение диалоговой подсистемы динамического расчета для автоматизированного проектирования фюзеляжей вертолетов. - Дисс. канд. техн. наук, -Казань, 1989.-176с.

42. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике /Пер. с англ. - М.: Мир, 1975.-541с.

43. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. /Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 318с.

44. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений /Пер с англ. М.: Стройиздат, 1979. - 320с.

45. Комаров В.А., Пересыпкин В.П. Сдвиговой конечный элемент для четырехугольных закрученных панелей обшивки. //Прикладные проблемы прочности и пластичности. Куйбышев, 1977, Выпуск 7. - с. 130-136.

46. Комплекс программ "Система-4" по расчету авиационных конструкций на прочность методом конечного элемента /Кудряшов А.Б., Снисаренко Т.Е., Чубань В.Д. и др. //Пространственные конструкции в Красноярском крае. -Красноярск: КПП, 1978. - с. 73-80

47. Кордончик Д.М. Метод подконструкций для расчёта собственных колебаний и устойчивости фюзеляжа вертолёта. Дисс. канд. Тех. наук, Казань 1988.- 139с.

48. Лукашенко В.И., Сладков A.B. Технология фрагментарного представления расчетных моделей при исследовании тонкостенных подкрепленных оболочек. //Авиационная техника. Известия ВУЗов. -Казань, 1999, №3. - с. 20-22.

49. Лукашенко В.И., Абдюшев A.A., Доронин М.М., Нуриева Д.М., Сладков A.B. Экспертиза, расчет, анализ пространственных конструкций. АРС ЭРА-ПК2000. Казань: Изд-во КГАСУ, 2006. 320с.

50. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений /Постнов В.А. и др. - Л.: Судостроение, 1979. - 288с.

51. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений /Городецкий A.C. и др. - М.: Транспорт, 1981. - 143с.

52. Метод конечных элементов в механике твердых тел /Под общей ред. Сахарова A.C. и Альтенбаха И. Киев: Вища школа: Головное издательство, 1982. -480с.

53. Минькович В.И., Кравец В.И. Комплекс программ "ФРОНТ" для расчета по МКЭ тонкостенных подкрепленных пространственных конструкций на ЕС ЭВМ //Комплексный расчет зданий и сооружений с применением ЭВМ. - Киев: КИСИ, 1978. - с. 73-78.

54. Михеев P.A. Прочность вертолётов. - М.: Машиностроение, 1984. - 280с.

55. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов /Пер. с англ. -М.: Мир, 1981.-304с.

56. Образцов И.Ф. Вариационные метолы расчёта тонкостенных авиационных конструций. -М.: Машиностроение, 1966. - 392с.

57. Образцов И.Ф., Савельев JIM., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М.: Высшая школа, 1985.-392с.

58. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механики сплошных сред. /Пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 464с.

59. Одиноков Ю.Г. Расчет самолета на прочность. - М.: Машиностроение, 1973.-392с.

60. Пересыпкин. В.П. Интерфейс и конечные элементы системы MSC.NASTRAN FOR WINDOWS. Учебное пособие. - Самара, СГАУ им. С.П.Королёва, 2002. - 70с.

61. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. - JL: Судостроение, 1977. - 279с.

62. Разработка, сопровождение и эксплуатация автоматизированных вычислительных комплексов для расчетов фюзеляжей вертолетов на прочность при проектировании. Отчет о хоздоговорной научно-исследовательской работе /Бурман З.И. и др. - № гос. регистрации 81071099.-Казань, 1965.-396с.

63. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость /Шапошников H.H. и др. - М.: Машиностроение, 1981. - 311с.

64. Расчёты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник; Под общ. Ред. МяченковаВ.И. - М.: Машиностроение, 1989. - 520 с

65. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977. - 129с.

66. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем.- Ж.: Изд-во ЛГУ,1978.- 223 с.

67. Салахиев P.P. Алгоритмы и программное обеспечение автоматизации расчетов при проектировании тонкостенных конструкций на персональных ЭВМ на базе метода конечных элементов. - Дисс. канд. техн. наук, -Казань, 1997.-138с.

68. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов /Пер. с англ. - М.:: Мир, 1979.-392с.

69. Система автоматизации расчета и проектирования авиационных конструкций РИПАК /Комаров В.А., Пересыпкин В.П. и др. //Тез. докл. И Всесоюзной конф. "Современные проблемы строительной механики и прочности JIA", Куйбышев: - КуАИ, 1986. - с.134-135.

70. Уманский А.А. Строительная механика самолёта. - М.: Оборонгиз, 1961. — 529с.

71. Уэйт М., Прата С., Мартин Д. Язык С. руководство для начинающих /Пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-512с.

72. Хант П.М. Электронная вычислительная машина в расчетах самолетных конструкций //Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем /Пер. с англ., под ред. А.П. Филина. - JL: Судпромгиз, 1961.

73. Хечумов Р.А., Кеплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. - М.: Изд. АСВ, 1994.

74. Чирас А.А. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1989, 255с.

75. Allman D.J. A compatible triangular element including vertex rotations for plane elasticity analysis // Comput. & Struct., 19, 1-8, 1984.

76. Bathe Kl. - J. Finite element procedures in engineering analysis. Prenice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632, - 735p.

77. Bergan P.G. Plane stress analysis using the finite element method. Triangular element with 6 parameters at each node, Division of Structural Mechanics, The Norwegian Institute of Technology, Tronheim, Norway, 1967.

78. Przemieniecky I.S. Theory of Matrix structural analysis. - N.Y.: McGraw-Hill, 1968.-468p.

79. Robert S. Lahey, Mark P. Miller and Michael Reymond MSC/NASTRAN Version 68/ Reference manual. The MacNeal-Schwendler corporation. April 1994. Printed in USA.