Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость течения Куэтта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.02, доктор физико-математических наук Шалыбков, Дмитрий Александрович

• Шалыбков, Дмитрий Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шалыбков, Дмитрий Александрович

1 Введение

1.1 Краткий обзор.

1.2 Классическое течение Куэтта

1.3 Актуальность проблемы

1.4 Цели, задачи и методы исследования.

1.5 Научная новизна.

1.6 Научная и практическая ценность.

1.7 Результаты, выносимые на защиту

1.8 Структура и объем диссертации.

1.9 Список статей по теме диссертации.

2 Устойчивость течения Куэтта с осевой стратификацией плотности

2.1 Введение.

2.2 Основные уравнения и стационарное состояние.

2.3 Результаты.

3 Классическая магнитовращательная неустойчивость

3.1 Введение.

3.2 Основные уравнения и стационарное состояние.

3.3 Результаты.

4 "Устойчивость течения Куэтта при наличии азимутального магнитного поля

4.1 Введение.

4.2 Основные уравнения и стационарное состояние.

4.3 Результаты.

5 Устойчивость течения Куэтта при совместном действии устойчивой осевой стратификации плотности и азимутального магнитного поля

5.1 Основные уравнения и стационарное состояние.

5.2 Результаты.

6 Магнитовращательная неустойчивость вблизи линии Рэлея: влияние бестокового азимутального магнитного поля.

6.1 Основные уравнения и стационарное состояние.

6.2 Результаты.

7 Влияние эффекта Холла на устойчивость течения Куэтта

7.1 Основные уравнения и стационарное состояние.

7.2 Результаты.

7.2.1 Влияние эффекта Холла на классическую магнитовращатель-ную неустойчивость.

7.2.2 Влияние эффекта Холла на устойчивость течения Куэтта с азимутальным магнитным полем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость течения Куэтта»

1.3 Актуальность проблемы

Тема диссертации актуальна, поскольку исследование течения Куэтта позволяет детально понять механизмы и определить параметры таких гидродинамических и гидромагнитных неустойчивостей, как вращательная неустойчивость, стратовращатель-ная неустойчивость, магнитовращательная неустойчивость и др. Эти неустойчивости играют существенную роль во многих приложениях таких как устойчивость плазмы в магнитных ловушках, теория устойчивости аккреционных дисков, магнитогидро-динамические процессы на солнце и звездах.

1.4 Цели, задачи и методы исследования

Целями диссертации являются: а) нахождение стационарного решения для течения Куэтта под действием таких факторов, как неоднородность плотности и магнитное поле; б) получение уравнений, описывающих линейную устойчивость найденного стационарного состояния; в) разработка комплекса численных программ позволяющих, на основе полученных уравнений, найти параметры (собственные числа) линейной устойчивости стационарного состояния течения Куэтта; г) теоретическое изучение, на основе разработанного комплекса программ, свойств и параметров устойчивости течения Куэтта под воздействием таких факторов, как неоднородность плотности и магнитное поле; д) сравнение полученных теоретических данных с имеющимися экспериментальными результатами для выяснения адекватности использованных теоретических моделей и методов для описания устойчивости течения Куэтта.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие задачи:

1. Найдены стационарные решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости между вращающимися цилиндрами при наличии неоднородной плотности и магнитного поля (течение Куэтта с неоднородной плотностью и магнитным полем).

2. Получены уравнения, описывающие линейную устойчивость течения Куэтта при наличии неоднородной плотности и магнитного поля. Установлены пределы применимости полученных уравнений.

3. Методом конечных разностей проведены численные расчеты для параметров линейной устойчивости течения Куэтта при наличии неоднородной плотности и магнитного поля.

4. Проведено сравнение теоретических результатов с имеющимися экспериментальными результатами. Предложен ряд новых экспериментов для дальнейшего исследования устойчивости течения Куэтта.

При решении перечисленных задач использовались методы ряда разделов теоретической физики и вычислительной математики, среди которых наиболее важными являются теория устойчивости гидродинамических и гидромагнитных систем, методы решения систем линейных дифференциальных уравнений, методы нахождения нулей функции в пространстве нескольких переменных.

1.5 Научная новизна

В диссертации впервые проведено систематическое обсуждение неустойчивости течения Куэтта при наличии неоднородной плотности и магнитного поля.

1) Впервые систематически рассмотрена неустойчивость течения Куэтта при наличии вертикальной стратификации плотности. Установлены пределы физических условий, при выполнении которых оправдано применение приближения Буссине-ска. Полученные теоретические результаты подтверждены экспериментальными данными.

2) Детальные численные расчеты подтвердили существенную зависимость неустойчивости течения Куэтта при наличии однородного осевого магнитного ноля от магнитного числа Прандтля. Эта зависимость делает невозможным наблюдение магнитоврахцательной неустойчивости при экспериментах с жидкими металлами.

3) Показано, что добавление к однородному осевому магнитному полю устойчивого бестокового азимутального магнитного поля дестабилизирует течение Куэтта вблизи линии Рэлея. Имеющиеся экспериментальные данные подтверждают теоретический вывод.

4) Впервые показано, что эффект Холла дестабилизирует течение Куэтта для любого закона вращения. Однако экспериментальная проверка этого факта требует нереалистично больших значений магнитных полей.

5) Впервые показано, что известные критерии устойчивости азимутального магнитного поля для стационарных конфигураций применимы и при наличии течения Куэтта. При этом возможны как компенсация неустойчивостей, когда сочетание неустойчивого вращения и магнитного поля приводит к устойчивому течению, так и обратная ситуация, когда комбинация устойчивого вращения и устойчивого магнитного поля приводит к неустойчивости.

6) Показано, что одновременное наличие магнитного поля и неоднородной плотности приводит к чрезвычайно сложной картине взаимодействия различных неустойчивостей.

Заключение диссертации по теме «Астрофизика, радиоастрономия», Шалыбков, Дмитрий Александрович

Заключение

Проведенное в работе исследование существенно расширяет наше понимание устойчивости течения Куэтта (1.10) при наличии осевой стратификации плотности и магнитного поля. Кратко просуммируем основные моменты, касающиеся неустойчивости течения Куэтта.

Идеальная вращающаяся жидкость устойчива но отношению к осесимметричным возмущениям, если величина углового момента возрастает по модулю с увеличением расстояния (1.26). Как уже было сказано, для течения Куэтта (1.10) критерий (1.26) принимает простой вид п > V2 • (8-1)

Общий критерий устойчивости вращающейся жидкости для асимметричных возмущений до сих пор не установлен. Тем не менее, и теоретические, и экспериментальные результаты демонстрируют, что для цилиндров, вращающихся в одном направлении, наиболее неустойчивой является осесимметричная мода. Эта неустойчивость является монотонной (вещественная часть инкремента неустойчивости равна нулю) и называется вращательной неустойчивостью. Вязкость стабилизирует вращательную неустойчивость и неидеальное течение Куэтта, которое неустойчиво в соответствии с критерием (1-26), реально теряет устойчивость только при достаточно быстром вращении (большом числе Рейнольдса). Для вращательной неустойчивости наблюдается хорошее согласие между теорией и экспериментом. Для полноты отметим, что имеющиеся теоретические результаты предсказывают, что ассиметричная неустойчивость возможна за чертой Рэлея, но не для жестких, как в течении Куэтта, а для свободных граничных условий.

Несмотря на имеющиеся как экспериментальные (Withjack, Chen 1974), так и теоретические (Yavneh, McWilliams, Molemaker 2001; Molemaker, McWilliams, Yavneh 2001) указания о дестабилизации течения Куэтта устойчивой осевой стратификацией плотности, реально говорить о новой неустойчивости стало возможным только после детальных расчетов кривых нейтральной устойчивости, описанных в данной работе. Эти расчёты были подтверждены экспериментально (Le Bars, Le Gal 2007). Оказалось, что устойчивая осевая стратификация плотности стабилизирует осесиммет-ричную моду, но дестабилизирует асимметричные моды, которые становятся более неустойчивыми даже для цилиндров вращающихся в одном направлении. Наиболее i неустойчивой является мода с т = 1. Неустойчивость перестает быть монотонной (даже для осесимметричной моды) и становиться осциллирующей. Более того, эта неустойчивость дестабилизирует течение даже за чертой Рэлея. Будем называть эту неустойчивость стратовращательной неустойчивостью. Предел распространения стратовращательной неустойчивости находится между пределом Рэлея (1.26) и пределом классической магнитовращательной неустойчивости (3.1), т.е. для течения Куэтта (1-10) предел находиться, в интервале rf < fin < 1. (8.2)

Оказывается, что предел сильно зависит от величины. зазора между цилиндрами: предел тем меньше, чем'больше зазор и для широкого зазора (fj —* 0) предел стремиться к пределу Рэлея (fj2), а для узкого зазора (f¡ —> 1) предел стремиться к 1. Подобное поведение может, с одной стороны, свидетельствовать о сильной зависимости данной неустойчивости от граничных условий. Однако, с другой стороны, подобной же зависимостью обладает и классическая вращательная неустойчивость (см. (8.1)). Действительно, согласно (8.1) для зазора стремящегося к нулю (fj —> 1) неустойчивы все течения с 0 < /¿n < 1, а для широкого зазора (т) —>• 0) неустойчивы течения только с ßn < 0. Для исследования этого вопроса (о влиянии граничных условий на стратовращательную неустойчивость) приходиться выходить за рамки классического течения Куэтта. Однако получаемые результаты неоднозначны. С одной стороны, есть результаты показывающие, что стратовращательная неустойчивость исчезает в отсутствии жестких границ (Umurhan 20006). С другой стороны, есть результаты показывающие, что стратовращательная неустойчивость сохраняется и для нежестких границ при отсутствии на границах напряжений (Dubrulle, Marie, Normand, Richard, Hersant, Zahn 2005).

Однородное осевое магнитное поле, являясь устойчивым само по себе, дестабилизирует течение Куэтта. Эта неустойчивость, называемая магнитовращательной неустойчивостью, исторически является наиболее известной неустойчивостью течения! Куэтта, за исключением, пожалуй, собственно вращательной неустойчивости. Она проявляется для течений как неустойчивых, так и устойчивых в отсутствии магнитного поля. Для течений, неустойчивых без магнитного поля, критические числа Рейнольдса могут уменьшаться при наличии поля. Тем не менее, это свойство сильно зависит от величины магнитного числа Прандтля и проявляется только если Pm~ 1. Основное проявление магнитовращательной неустойчивости - это дестабилизация течений с угловой скоростью, убывающей *по модулю с возрастанием радиуса, и изменение критерия устойчивости с (1.26) на (3.1), что для течения Куэтта (1.10) дает

An > 1. (8.3)

Детальные расчеты кривых нейтральной устойчивости, проведенные в данной работе, впервые в наиболее, общем виде показали, что критические числа этой неустойчивости сильно зависят от величины магнитного числа Прандтля. Это не позволяет надеяться на экспериментальное наблюдение этой неустойчивости при экспериментах с жидкими металлами.

Детальное исследование устойчивости течения Куэтта при наличии азимутального магнитного поля, можно сказать, впервые проведено только в данной работе.

Азимутальное магнитное поле усложняет проблему тем, что может быть неустойчиво само по себе (без вращения). Это так называемая пинчевая неустойчивость. Таким образом, комбинация азимутального магнитного поля и вращения создает сложную картину взаимодействия вращательной неустойчивости и пинчевой неустойчивости. В зависимости от параметров, наиболее неустойчивой является либо мода с азимутальным волновым числом равным нулю, либо мода с азимутальным волновым числом равным 1. Отметим два интересных факта, касающихся этого случая. Во-первых, это компенсация неустойчивостей, когда комбинация неустойчивого вращения и неустойчивого магнитного поля могут дать устойчивое течение. Во-вторых, это противоположное явление, когда комбинация устойчивого вращения и устойчивого магнитного поля приводят к так называемой азимутальной магнитовращатель-ной неустойчивости. Отметим, что азимутальная магнитовращательная неустойчивость также может взаимодействовать и с пинчевой неустойчивостью, и с вращательной неустойчивостью, создавая сложную картину взаимодействия различных неустойчивостей (Rüdiger, Hollerbach, Schultz, Elstner 2007). Детальные расчеты кривых нейтральной устойчивости, выполненные в данной работе позволили установить, что свойства устойчивости диссипативного течения Куэтта с азимутальным магнитным полем можно классифицировать в соответствии с хорошо известными критериями устойчивости стационарного азимутального магнитного поля. Кроме того, было показано, что свойства азимутальной магнитовращательной неустойчивости практически такие же, что и классической магнитовращательной неустойчивости (зависимость от магнитного числа Прандтля, дестабилизация течений с уменьшающейся по модулю величиной угловой скорости), кроме того, что азимутальная магниовраща-тельная неустойчивость является асимметричной (гп = 1). Экспериментальная реализация интересных режимов при наличии азимутального магнитного поля требует организации токов внутри самой жидкости, что, по-видимому, представляет некоторую проблему.

Ситуация с винтовым магнитным полем еще более сложная. Детальное изучение этого случая еще ждет своего часа. В данной работе было только показано, что добавление устойчивого бестокового азимутального магнитного ноля к осевому однородному магнитному полю приводит к существенному уменьшению критических чисел Рейнольдса вблизи линии Рэлея. Это так называемая винтовая магнито-вращательная неустойчивость. Специально для наблюдения этой неустойчивости были поставлены эксперименты (Rüdiger, Höllerbach, Stefani, Gundrum, Gerbeth, Rosner 2006; Stefani, Gundrum, Gerbeth, Rüdiger, Schultz, Szklarski, Hollerbach, 2006; Stefani, Gerbeth, Gundrum, Szklarski, Ruediger, Hollerbach 2008), результаты, которых интерпретируются авторами как подтверждение винтовой магнитовращатель-ной неустойчивости. Тем не менее, подобная интерпретация подвергается сомнению (Liu, Goodman, Ji 2007; Liu 2008), а наблюдаемая неустойчивость объясняется как результат транзиентного усиления мод от граничных слоев, а не глобальной неустойчивости. Таким образом, на сегодняшний день вопрос остается открытым и находиться в стадии активного изучения.

Наиболее перспективным с точки зрения дестабилизации течения Куэтта является эффект Холла. Расчеты, выполненные в данной работе для однородного осевого магнитного поля, впервые продемонстрировали, что под действием этого эффекта происходит дестабилизация течения Куэтта с любым законом вращения. Этот же эффект имеет место и для азимутального магнитного поля. Основным препятствием, как для лабораторной реализации, так и для проявления этого эффекта в природных условиях, является необходимость наличия слишком большой напряженности магнитного поля. Отметим, что чувствительность устойчивости вращения замагничен-ной жидкости к изменению закона Ома является, по-видимому, универсальной чер-юй. Так, результаты работы (Mikhailovskii, Vladimirov, Lominadze, Tsypin, Churikov, Erokhin, Galvao 2008) продемонстрировали, что изменение закона Ома из-за наличия в плазме пылевой составляющей также приводит к дестабилизации вращения с произвольным профилем угловой скорости.

Изучение устойчивости течения Куэтта при одновременном действии неоднородной плотности и магнитного поля, впервые выполненное в данной работе, находиться, можно сказать, ещё в самом начале. Однако уже первые результаты, продемонстрировали чрезвычайно сложную картину взаимодействия сразу нескольких неустой-чивостей: стратовращательной неустойчивости, азимутальной магнитовращательной неустойчивости и пинчевой неустойчивости. В целом можно сказать, что устойчивая осевая стратификация плотности, как правило, стабилизирует неустойчивости, вызванные магнитным полем. С другой стороны, магнитное поле (при не слишком больших значениях напряженности), как правило дестабилизирует стратовращательную неустойчивость.

Наконец, трудно обойти молчанием возможные приложения, полученных в диссертации результатов. Представляется очевидным, что рассмотренные в работе неустойчивости могут иметь место в любых природных объектах, где присутствуют дифференциальное вращение совместно с магнитным полем или неоднородностью плотности. По мнению автора, трудно найти пример астрофизического объекта, где бы указанные факторы отсутствовали. Этим фактом определяется актуальность и важность рассмотренной в работе проблемы.

Наиболее известный пример астрофизического объекта, который фактически .и инициировал настоящее исследование - аккреционные диски. Хорошо известно, что при учете только дифференциального вращения аккреционные диски устойчивы. Однако, любой из рассмотренных в работе факторов может приводить к неустойчивости аккреционных дисков. Действительно, согласно Рисункам 2.3,' 2.4, 2.7, даже для самой слабой из рассмотренных неустойчивостей - стратовращательной неустойчивости - неустойчивость распространяется дальше линии квазикеплеровского вращения и, соответственно, аккреционный диск с кеплеровским законом вращения будет неустойчивым но отношению к стратовращательной неустойчивости (см. однако, выше замечание о зависимости предела стратовращательной неустойчивости от величины зазора между цилиндрами). Дестабилизация аккреционного диска посредством магнитовращательной неустойчивости даже еще более вероятна (именно с осознания этого факта, как уже говорилось, и началось возрождение интереса к механизму магнитовращательной неустойчивости). Тем не менее, с точки зрения автора, наиболее перспективным источником неустойчивости аккреционных дисков является азимутальное магнитное поле с его пинчевой и азимутальной магнитовращательной неустойчивостями и эффект Холла, который, однако, требует наличия достаточно больших магнитных полей.

Несмотря на все вышесказанное, автор считает своим долгом предостеречь от прямого применения, полученных в работе результатов, к иным, чем течение Куэтта физическим объектам. Несмотря на общий характер, который имеют рассмотренные в работе неустойчивости, специфика каждого конкретного объекта может приводить в каждом конкретном случае к существенным деталям в реализации той или иной неустойчивости и требует выполнения дополнительного детального исследования.

Автор выражает глубокую признательность соавторам работ, результаты которых вошли в диссертацию, сотрудникам сектора теоретической астрофизики ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН и сотрудникам сектора космических магнитных нолей Института Астрофизики Потсдама, поддержкой которых автор пользовался на протяжении всего времени выполнения работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шалыбков, Дмитрий Александрович, 2010 год

1. Велихов Е.П., 1959, ЖЭТФ, 36, 1398.

2. Кадомцев В.Б, 1963, Вопросы теории плазмы, Ред. Леонтовича M А, 2, 132.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., 1986, Теоретическая физика т.6 Гидродинамика (Москва, Наука).

4. Тассуль Ж.-Л., 1982, Теория вращающихся звезд, (Москва, Мир).

5. Шалыбков Д., 2009, УФН, 179, 971.

6. Andereck C.D., Liu S.S., Swinney H.L., 1986, J. Fluid Mech., 164, 155.

7. Baibus S.A., 2003, Ann. Rev. Astron. Astrophys., 41, 555.

8. Baibus S.A., Hawley J.F., 1991, Astrophys. J., 376, 214.

9. Baibus S.A., Hawley J.F., 1998, Rev. Mod. Phys., 70, 1.

10. Baibus S.A., Terquem C., 2001, Astrophys. J., 552, 235.

11. Bernstein I.B., Frieman E.A., Kruskal M.D., Kulsrud R.M., 1958, Proc. Roy. Soc. London A 244, 17.

12. Billant P., Gallaire F., 2005, J. Fluid Mech. 542, 365.

13. Blaes O.M., Glatzel W., 1986, Mon. Not. R. Astron. Soc., 220, 253.

14. Bondeson A., Iacono R., Bhattacharjee A., 1987, Phys. Fluids, 30, 2167.

15. Boubnov B.M., Gledzer E.B., Hopfinger E.J., 1995, J. Fluid Mech., 292, 333.

16. Brahme A., 1970, Physica Scripta, 2, 108.

17. Brevdo L., Bridges T.J., 1997, Proc. R. Soc. Lond. A, 453, 1345.

18. Caton F., Janiaud B., Hopfinger E.J., 2000, J. Fluid Mech., 419, 93.

19. Chandrasekhar S., 1961, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability (Oxford: Clarendon).

20. Chang T., Sartory W., 1967, Proc. Roy. Soc. London A, 301, 451.

21. Chanmugam G., Mon. Not. R. Astron. Soc., 1979, 187, 769.

22. Chen C.-K., Chan M., 1998, J. Fluid Mech., 366, 135.

23. Chossat P., Iooss G., 1994, The Couette-Taylor problem (New York: SpringerVerlag).

24. Couette M., 1890, Ann. de Chim. et de Phys., 21, 433.

25. DiPrima R.C., Swinney H.L., 1979, in Hydrodynamic Instabilities and the Transition to Turbulance, Topics in Applied physics, 45, 139, (Berlin: Springer-Verlag).

26. Donnelly R.J., Caldwell D.R., 1964, J. Fluid Mech., 19, 257.

27. Donnelly R.J., Ozima M., 1960, Phys. Rev. Lett., 4, 497.

28. Donnelly R.J., Ozima M., 1962, Proc. R. Soc. London A, 266, 272.

29. Drazin P.G, Raid W.H, 1981, Hydrodynamic stability (Cambridge: Cambridge Univ. Press).

30. Dubrulle B., Dauchot O., Daviaud F., Longaretti P.-Y., Richard D., Zahn J.-P., 2005, Phys. Fluids, 17, 095103.

31. Dubrulle B., Marie L., Normand Ch., Richard D., Hersant F., Zahn J.-P., 2005, Astron. Astroph., 429, 1.

32. Dutcher C.S., Muller S. J., 2007, Phys. Rev. E, 75, 047301.

33. Edmonds F., 1958, Phys. Fluids, 1, 30.

34. Fricke K.J., Smith R.C., 1971, Astron. Astroph. 15, 329.

35. Frieman E., Rotenberg M., 1960, Rev. Mod. Phys., 32, 898.

36. Goodman J., Ji H., 2002, J. Fluid Mech., 462, 365.

37. Goldreich P., Narayan R., 1985, Mon. Not. R. Astron. Soc., 213, 7p.

38. Hassard B., Chang T., Ludford G., 1972, Proc. R. Soc. London A, 327, 269.

39. Herron I.H., Ali H.N., 2002, Quat. Appl. Math., 61, 279.

40. Hollerbach R., Fournier A., 2004, in MHD Couette Flow, AIP conference proceedings, 733, 114, (ed. Rosner R., Rüdiger G., Bonanno A.)1. Ney York: Melville).

41. Hollerbach R., Rüdiger G., 2005, Phys. Rev. Lett., 95, 124501.

42. Howard L.N., Gupta A.S., 1962, J. Fluid Mech. 14, 463.

43. Hua B.L., Le Gentü S., Orlandi P., 1997, Phys. Fluids, 9, 365.

44. Jenny M., Nsom B., 2007, Phys. Fluids, 19, 108104.

45. Ji H., Burin M., Schartman E., Goodman J., 2006, Nature, 444, 343.

46. Ji H., Goodman J., Kageyama A., 2001, Mon. Not. R. Astron. Soc., 325, 1.

47. Kurzweg U., 1963, J. Fluid Mech., 17, 52.

48. Kubotani H., Miyama S.M., Sekiya M., Kojima Y., 1989, Prog. Theor. Phys., 82, 523.

49. Langford W.F., Tagg R., Kostelich E. J., Swinney H.L., Golubitsky M., 1988, Phys. Fluids, 31, 776.

50. Le Bars M., Le Gal P., 2007, Phys. Rev. Lett., 99, 064502.

51. Leblanc S., Le Due A., 2005, J. Fluid Mech., 537, 433.

52. Liu W., 2008, Phys. Rev. E, 77, 056314.

53. Liu W., Goodman J., Ji H., 2007, Phys. Rev. E, 76, 016310.

54. Longaretti P.-Y., 2003, Phys. Lett. A, 320, 215.

55. Lundquist S., 1951, Phys. Rev., 83, 307.

56. Mahajan S.M., Krishan S., 2008, Astroph. J., 682, 602.

57. Mallock A., 1888, Proc. R. Soc. London A, 45, 126.

58. Mallock A., 1896, Phil. Trans. R. Soc. London A, 187, 41.

59. Manela A., Frankel I., 2007, J. Fluid Mech., (588), 59.

60. Michael D., 1954, Mathematika, 1, 45.

61. Mikhailovskii A.B., Vladimirov S.V., Lominadze J.G., Tsypin V.S., Churikov A.P., Erokhin N.N., Galvao L.M.R, 2008, Phys. Plasmas, 15, 014504.

62. Molemaker M.J., McWilliams J.C., Yavneh I., 2001, Phys. Rev. Lett., 86, 5270.

63. Montgomery D., 1992, Plasma Phys. Controlled Fusion, 34, 1157.

64. Newcomb W.A., 1960, Annals of Phys., 10, 232.

65. Ogilvie G.I., Pringle J.E., 1996, Mon. Not. R. Astron. Soc., 279, 152.

66. Rayleigh Lord, 1917, Proc. R. Soc. London A, 93, 148.

67. Roberts P., 1965, Appendix to paper Donnelly and Schwarz, Proc. Roy. Soc. A, 283, 550.

68. Rüdiger G., Arlt R., Shalybkov D., 2002, Astron. Astroph., 391, 781.

69. Rüdiger G., Hollerbach R., Geliert M., Schultz M., 2007, Astron. Nachr., 328, 1158.

70. Rüdiger G., Hollerbach R., Schultz M., Elstner D., 2007, Mon. Not. R. Astron. Soc., 377, 1481.

71. Rüdiger G-, Hollerbach R., Schultz M., Shalybkov D., 2005, Astron. Nachrichten, 326, 409.

72. Rüdiger G., Hollerbach R., Stefani F., Gundrum Т., Gerbeth G., Rosner R., 2006, Astrophys. J. Lett., 649,1145.

73. Rüdiger G., Kitchatinov L., 2005, Astron. Astroph., 434, 629.

74. Rüdiger G., Schultz M., Mond M., Shalybkov D., 2009, Astron. Nachrichten, 330, 12.

75. Rüdiger G., Schultz M., Shalybkov D., 2003, Phys Rev. E, 67, 046312.

76. Rüdiger G., Schultz M., Shalybkov D., Hollerbach R., 2007, Phys. Rev. E, 76, 056309.

77. Rüdiger G., Shalybkov D., 2002, Phys. Rev. E, 66, 016307.

78. Rüdiger G., Shalybkov D., 2004, Phys. Rev. E, 69, 016303.

79. Rüdiger G-, Shalybkov D., 2008, J. of Phys.: Conf. Ser., 137, 012018, 2008.

80. Rüdiger G., Shalybkov D., 2009, Astron. Astrophys., 493, 375.

81. Sano Т., Stone J.M., 2002a, Astrophys. J., 570, 314.

82. Sano Т., Stone J.M., 2002b, Astrophys. J., 577, 534.

83. Schultz-Grunow F., 1959, Z. Angew. Math. Mech., 39, 101.

84. Shalybkov D., 2005, J. of Phys.: Conf. Ser. 14, 55.

85. Shalybkov D., 2006, Phys. Rev. E, 73, 016302.

86. Shalybkov D., 2007a, Phys. Rev. E, 75, 047302.

87. Shalybkov D., 2007b, Phys. Rev. E, 76, 027302.

88. Shalybkov D., Rüdiger G., 2004, in MHD Couette flows: Experiments and Models, AIP conference proceeedings 733, eds. R. Rosner, G. Ruediger, A. Bonanno, 165177.

89. Shalybkov D-, Rüdiger G., 2005, Astron. Astrophys., 438, 411.

90. Shalybkov D., Rüdiger G., Schultz M., 2002, Astron. Astrophys., 395, 339.

91. Sisan D., Mujica N., Tillotson WA., Huang Y.M., Dorland W., Hassam A.B., Antonsen T.M., Lathrop D.P., 2004, Phys. Rev. Lett., 93, 114502.

92. Soundalgekar V., Ali M., Takhar H., 1994, Int. Jörn. Energy Res., 18, 689.

93. Stefani F., Gerbeth G., Gundrum Th., Szklarski J., Ruediger G., Hollerbach R., 2008, Astr. Nachr., 329, 652.

94. Stefani F., Gundrum Th., Gerbeth G., Rüdiger G., Schultz M., Szklarski J., Hollerbach R., 2006, Phys. Rev. Lett., 97, 184502.

95. Suydam B.R., 1958, Proc. Second United Nat. Int. Conf. on the Peacefull uses of Atomic Energy (United Nations, Geneva), 31, 157.

96. Synge J.L., 1933, Trans. R. Soc. Can., 27, 1.

97. Synge J.L., 1938, Proc. Roy. Soc. London A, 167, 250.

98. Tagg R., 1994, Nonlin. Sei. Today, 4, 1.

99. Tayler E.J., 1960, Rev. Mod. Phys., 32, 907.

100. Tayler R.J., 1961, Plasma Phys. (J. Nucl. Energ. C), 3, 266.

101. Tayler R.J., 1973, Mon. Not. R. Astron. Soc., 161, 365.

102. Tayler R.J., Hopgood F., 1963, Plasma Phys. (J. Nucl. Energ. C), 5, 355.

103. Taylor G.I., 1923, Phil. Trans. R. Soc. London A, 223, 289.

104. Taylor G.I., 1936, Proc. R. Soc. London A, 157, 546.

105. Thorpe S.A., 1966, Notes on 1966 Summer Geophysical Fluid Dynamics (Woods Hole Oceanographic Institute, Woods Hole) p. 80

106. Umurhan O.M., Mon. Not. R. Astron. Soc., 2006, 365, 85.

107. Velikhov E.P., Ivanov A.A., Lakhin V.P., Serebrennikov K.S., 2006, Phys. Lett. A, 356, 357.

108. Wang C., Blokland J.W.S., Keppens R., Goedbloed J.P., 2004, J. Plasma Phys., 70, 651.

109. Wang Z., Si J., Liu W., Li H., 2008, Phys. Plasmas, 15, 102109.

110. Wardle M., 1999, Astrophys. J., 307, 849.

111. Wendl M.C., 1999, Phys. Rev. E, 60, 6192.

112. Willis A.P., Barenghi C.F., 2002, Astron. Astroph., 388, 688.

113. Withjack E.M., Chen C.F., 1974, J. Fluid Mech., 66, 725.

114. Yavneh I., McWilliams J.C., Molemaker M.J., 2001, J. Fluid Mech., 448, 1.