Гидродинамика квантовых жидкостей в нанопористых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Лысогорский, Юрий Вячеславович

• Лысогорский, Юрий Вячеславович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Лысогорский, Юрий Вячеславович

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Введение

1.2. Двухжидкостная гидродинамическая модель сверхтекучего гелия

1.3. Нелинейное уравнение Шредингера и гидродинамика сверхтекучей жидкости

1.4. Нанопористые среды и фрактальная размерность

1.5. Квантовые системы в пространстве с ограниченной геометрией

1.6. Заключение

Глава 2. Моделирование системы гелий-аэрогель методом теории функционала плотности

2.1. Введение

2.2. Теория функционала плотности

2.3. Моделирование структуры аэрогеля

2.4. Фрактальное распределение гелия в аэрогеле

2.5. Неаддитивность энергии гелия

2.6. Заключение

Глава 3. Неэкстенсивная фрактальная двухжидкостная гидродинамическая модель Не-П

3.1. Введение

3.2. Малые неаддитивные системы

3.3. Неэкстенсивные термодинамические величины

3.4. Фракционализация термодинамических величин

3.5. Неэкстенсивная фрактальная двухжидкостная гидродинамическая модель

3.6. Заключение

Глава 4. Фрактальное уравнение Шредннгера и фрактальная гидродинамика

4.1. Введение

4.2. Фрактальное уравнение Шредингера

4.3. Галилеева неинвариантность

4.4. Фрактальное уравнение Гейзенберга

4.5. Фрактальная гидродинамическая модель

4.6. Заключение

Заключение

Публикации по теме диссертации

Литература

113

114

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гидродинамика квантовых жидкостей в нанопористых средах»

Введение

Актуальность темы исследования. В природе существуют два изотопа гелия, обладающие самой низкой температурой кипения при атмосферном давлении, равной 3.19 К для 3Не и 4.21 К для 4Не . В жидком 4Не при температуре 2.17 К, называемой также Л-точкой, происходит фазовый переход второго рода. Фазовое состояние жидкого 4Не ниже Л-точки носит название Не-11 (в то время как жидкий 4Не выше Л-точки называется Не-I). Ниже Л-точки жидкий 4Не обладает рядом необыкновенных свойств, наиболее замечательным из которых является сверхтекучесть. Сверхтекучестью называется способность жидкости протекать без трения через узкие капилляры. Первое объяснение феномену сверхтекучести было дано в рамках двухжидкостной гидродинамической модели, предложенной Ландау(см., например, [1-3]), в которой предполагается, что в Не-И одновременно существует два типа движения атомов, отождествляемых с двумя компонентами - нормальной и сверхтекучей. Причём нормальная компонента по своим свойствам сходна с обыкновенным жидким гелием, а сверхтекучая компонента не обладает вязкостью и её течение потенциально. Из двухжидкостной модели следует, что в Не-11 могут распространяться несколько видов колебаний (звуков). Это колебания плотности - давления (первый звук, нормальная и сверхтекучая компоненты колеблются в фазе) и колебания температуры - энтропии (второй звук, нормальная и сверхтекучая компоненты колеблются в противофазе). Эти колебания независимы друг от друга в объёмных образцах гелия. Позднее были получены экспериментальные доказательства существования этих типов колебаний [4-7].

В течение длительного времени, единственные примеси, которые можно было внедрить в сверхтекучий Не-11 для экспериментального изучения были растворенные атомы 3Не, ионы и электроны [8-10]. Однако с недавних пор появились способы внедрения различного рода примесей в сверхтекучую жидкость (Не-11 в нанопористой среде - аэрогеле, Не-И с внедрением атомов и молекул D2,

N2, N6, Кг, сверхтекучая жидкость в стекле Вайкор и т.д. [11]). Такие системы представляют собой уникальную возможность по изучению влияния беспорядка на квантовое макроскопическое явление сверхтекучести. В последнее время в ряде экспериментальных и теоретических исследований было показано, что квантовые жидкости на наноскопическом масштабе длин могут рассматриваться как особое состояние квантовых систем [12-18]. В частности, происходит значительное изменение фазовой диаграммы [15], и возникают необычные акустические эффекты [19], причиной которых может являться возникновение зависимых волн давления и температуры. Это связано с тем, что соответствующие характеристические длины для квантовых жидкостей лежат в диапазоне от нескольких до сотни нанометров, что по порядку совпадает с характерным масштабом ограничивающего нанопористого материала (конфайнмента). Кроме того, существенно возрастает влияние краевых эффектов, т.к. площадь поверхности конфайнмента велика и доля приповерхностных атомов увеличивается.

В работе [17] при помощи моделирования квантовыми методами Монте-Карло с использованием реалистичных потенциалов взаимодействия изучается поведение 4Не в нанопорах и каналах, и демонстрируется, что жидкость может быть рассмотрена как новое квазиупорядоченное состояние, описываемое теорией одномерной квантовой жидкости Люттингера. При этом, в случае узких пор параметр Люттингера становится большим, что свидетельствует о тенденции к затвердеванию, в то время как, для широких пор, гелий в центральной области обладает меньшим параметром Люттингера, говорящим о жидком состояние.

Экспериментальные данные свидетельствуют об изменении критического индекса £ плотности сверхтекучей компоненты гелия, помещённого в аэрогель. Изучение критического поведения сверхтекучего гелия в присутствии беспорядка с дальнодействующими фрактальными корреляциями было проведено в работе [18]. Авторы используют модель аэрогеля, представленного как зарождающийся перколяционный кластер, и проводят моделирование квантовым методом Монте-Карло. В результате было установлено, что индекс £ увеличивается от

значения 0.67 ± 0.005 для простого случая до значения 0.722 ± 0.005 в присутствие фрактально упорядоченных примесей

В работе [20] приведены экспериментальные факты, связанные с затуханием звуков, распространяющихся в Не-П , помещённом в аэрогель и продемонстрирована необходимость учёта в гидродинамических моделях сверхтекучей жидкости не только плотности аэрогеля, но и его фрактальной структуры. В связи с этим возникает вопрос о влиянии геометрических факторов (размера конфайнмента, размерности пространства нанопор, размерности твердотельных адсорбированных слоев квантовых жидкостей и т.д.) и энергетических факторов (поверхностная энергия гелия, глубина потенциала адсорбции атомов гелия в конфайнменте, неаддитивность энергии и энтропии гелия) на физические свойства квантовых жидкостей.

Цели и задачи диссертационной работы: Целями диссертационной работы являются:

• установить степень влияния геометрических и энергетических факторов нанопористого пространства на физические свойства сверхтекучего гелия в нём

• показать неэкстенсивность поведения сверхтекучего гелия в нанопористом пространстве и предложить на основе этого адекватную физическую модель для описания ряда свойств

• установить возможность появления связанных колебаний давления и температуры за счёт только геометрии нанопористого пространства

• дать теоретическое объяснение экспериментально наблюдаемым закономерностям

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• рассчитаны пространственное распределение и энергетические характери-

стики атомов сверхтекучего гелия в пространстве нанопор аэрогеля используя метод теории функционала плотности.

• построена расширенная двухжидкостная гидродинамическая модель, учитывающая фрактальность пространственного распределения и неэкстенсивность термодинамических величин сверхтекучего гелия в ограниченной геометрии, и показано следующее из этой модели связывание колебаний давления и температуры в Не-П

• основываясь на предположениях фрактальной квантовой механики [21], обобщены уравнения двухжидкостной гидродинамической модели, и показано следующее из этой модели связывание колебаний давления и температуры в Не-П

Научная новизна. Впервые было осуществлено компьютерное моделирование сверхтекучего 4Не в пространстве нанопор аэрогеля, представленного реалистичной моделью, методом теории функционала плотности для подтверждения с микроскопической точки зрения фрактальности пространственного распределения и неаддитивности термодинамических величин.

Была впервые построена двухжидкостная гидродинамическая модель жидкого 4Не , учитывающая одновременно фрактальность распределения гелия и неаддитивность его термодинамических характеристик.

Впервые, подход, сформулированный во фрактальной квантовой механике [21], был использован для описания квантовой системы в нанопористом пространстве, а также продемонстрирована галилеева неинвариантность получающихся уравнений и объяснён её физический смысл.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для теоретического объяснения новых экспериментальных результатов по гидродинамики сверхтекучего гелия в нано-пористых средах с фрактальной размерностью и сильноразупорядоченных пористых средах, для описания динамики бозе-эйнштейновского конденсата в разу-

порядоченном потенциале со сложной фрактальной геометрией. Также предложенные методы учёта неаддитивности термодинамических величин могут оказаться полезными при разработке моделей малых/сильнокореллированных систем с неэкстенсивной статистикой. Продемонстрированная галилеева неинвариантность уравнений фрактальной квантовой механики, а также тот факт, что подобная теория может применяться к описанию динамики в нанопористых и фрактальных средах могут предложить идею создания экспериментов с нарушением галилеевой инвариантности.

Положения, выносимые на защиту:

1. На основе компьютерного моделирования методом теории функционала плотности было установлено, что сверхтекучий гелий 4Не , помещённый в ограничивающую среду, обладающую дробной массовой размерностью на определённых масштабах (например, аэрогель), также будет обладать фрактальной размерностью на этих масштабах. Показано, что неаддитивность энергии сверхтекучего гелия в ограничивающей геометрии, определяется в основном не только удельной площадью поверхности, но и величиной адсорбирующего потенциала этой поверхности.

2. Основываясь на обобщённой двухжидкостной гидродинамической модели, была показана возможность смешивания колебаний температуры и давления в Не-П , помещённом в аэрогель только из-за фрактальности пространства пор и неэкстенсивности энергии и энтропии.

3. Впервые показана галилеева неинвариантность уравнений фрактальной квантовой механики [21] и дано физическое обоснование этому.

4. Предложено применить подход фрактальной квантовой механики [21] к описанию сверхтекучего гелия в нанопористой среде. В рамках этой модели получены уравнения колебаний в сверхтекучем гелие 4Не , приводящие к зависимым колебаниям температуры и давления.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: VIII и IX Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета (2008 и 2009 гг.); 25th International conference on Low Temperature Physics (LT25) (Amsterdam, The Netherlands, 2008); XXXV Совещание по физике низких температур (Черноголовка, 2009); QFS2009: International Symposium on Quantum Fluids and Solids (Evanston, USA, 2009); QFS2010: International Symposium on Quantum Fluids and Solids (Grenoble, France, 2010); 2nd International workshop "Statistical physics and mathematics for complex systems" (Wuhan, China, 2010); 26th International conference on Low Temperature Physics (LT26) (Beijing, China, 2011); Frontiers in Nanoscale Science & Technology (RIKEN, 2011); International Conference "Resonances in CONDENSED MATTER" devoted to the centenary of prof. S.A. Althsuler (Kazan, Russia, 2011); XXXVI Совещание по физике низких температур (Санкт-Петербург, 2012); 3d International workshop "Statistical physics and mathematics for complex systems" (Kazan, Russia, 2012); QFS2013: International Symposium on Quantum Fluids and Solids (Matsue, Japan , 2013)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 20 печатных работах, из них 7 статей в рецензируемых журналах и 13 тезисов докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причём вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка публикаций по теме диссертации и библиографии. Общий объём диссертации 124 страницы, из них 108 страницы текста, включая 11 рисунков. Библиография включает 142 наименования на 11 страницах.

В главе 1 проводится обзор основных существующих методов описания

динамики сверхтекучего гелия-4. Описывается фрактальные свойства нанопо-ристого материала аэрогеля. Рассматриваются недавние экспериментальные работы, изучающие распространение звуков в сверхтекучем гелие, помещённом в аэрогель и другие нанопористые материалы.

В главе 2 проводится моделирование сверхтекучего гелия в ограниченной геометрии с использованием метода теории функционала плотности (ТФП) [22]. На атомарном уровне проводится симуляция пористой ячейки аэрогеля методом молекулярной динамики и рассчитывается её потенциал взаимодействия с одиночным атомом гелия. Осуществляется моделирование распределения гелия методом ТФП в ряде потенциалов, имитирующих ограниченную геометрию. Демонстрируется фрактальность распределения гелия в аэрогеле, а также неаддитивность его энергии.

В главе 3 сверхтекучий гелий в нанопорах рассматривается как малая неаддитивная система. Описывается модель, основанная на двухжидкостной гидродинамической модели (ДГМ) Ландау [2] и учитывающая одновременно фрактальность и неаддитивность сверхтекучего гелия в нанопористой среде. Демонстрируется возникновение смешанности колебаний давления и температуры в сверхтекучем гелие.

В главе 4 для учёта влияния сложной структуры нанопор на сверхтекучий гелий используется подход фрактальной квантовой механики, впервые предложенной в работе Ласкина [21]. Впервые демонстрируется галилеева неинвариантность фрактальных уравнений динамики. Предлагается модифицированная фрактальная ДГМ, демонстрирующая зависимость колебаний давления и температуры.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Глава 1

Обзор литературы

1.1. Введение

С момента открытия сверхтекучести Не-Н было разработано несколько моделей для описания поведения гелия в нормальной и сверхтекучей фазах. Самой первой была двухжидкостная гидродинамическая модель [1,3, 23] сверхтекучей жидкости (ДГМ), предложенная в свое время Л.Д. Ландау, в которой Не-П условно разделялся на две компоненты - нормальную (обладающую вязкостью) и сверхтекучую (способную беспрепятственно протекать даже через очень узкие щели и отверстия). Данная модель была, по сути, феноменологической, но давала прекрасные результаты. В частности, она предсказывала существование двух типов колебаний в объёмном образце гелия (первый и второй звуки) и двух типов колебаний в ограниченном образце: третий звук в гелиевых пленках и четвертый звук в узких капиллярах. Ландау предсказал, что необходимым условием существования сверхтекучести является особенность спектра возбуждений [2], при которой кривая е = е(р) не касалась абсцисс в самом начале координат, но чтобы на кривой существовал локальный минимум. Таким свойством обладает спектр в котором возбуждениями вблизи точки р = О являются фононы, а при больших значениях импульса присутствует локальный минимум.

Позднее в подтверждение этому Боголюбов предложил микроскопическую модель 4Не , показывающую, что при низких температурах вблизи р = 0, спектр возбуждения имеет линейный закон дисперсии [24].

Уравнения гидродинамики Не-Н частично можно получить с точки зрения микроскопической теории, основанной на уравнение Гросса - Питаевско-го [25-27], известного также как нелинейное уравнение Шредингера [28]. В гидродинамических уравнениях, получаемых из уравнения Гросса-Питаевского, ав-

томатически появляются слагаемые, зависящие от градиента плотности, введённые ещё в работах Хиллса и Робертса [29, 30] для описания поведения плотности Не-11 вблизи стенок.

В данной главе проведен обзор наиболее распространённых методов описания динамики сверхтекучей жидкости - двухжидкостная гидродинамическая модель Ландау и нелинейное уравнение Шредингера, рассмотрены структурные свойства высокопористых материалов под названием силикатные аэрогели и приведены результаты экспериментов по распространению звуков в сверхтекучем гелие, помещённом в аэрогель.

1.2. Двухжидкостная гидродинамическая модель сверхтекучего гелия

1.2.1. Вывод уравнений двухжидкостной гидродинамики

Первая модель предложенная для описания свойств сверхтекучего гелия была предложена Ландау и носит название двухжидкостная гидродинамическая модель [1, 3]. Основные положения, на которых будет базироваться модель, заключаются в следующем. Упорядоченное движение возбуждений увлекает за собой часть жидкости, характеризующуюся «нормальной» плотностью рп. Остающаяся часть, «сверхтекучая», характеризующаяся плотностью ps = р - рп, при этом совершает независимое движение, и что очень важно, это последнее является потенциальным. Таким образом, в сверхтекучей жидкости одновременно могут происходить два независимых движения - нормальное и сверхтекучее - со скоростями соответственно \п и v,y, причём

rot ys = 0. (1.1)

Условие потенциальности сверхтекучего движения (1.1) не должно нарушаться до тех пор, пока скорости движения не достигнут критических значений, когда возникает взаимодействие нормальной и сверхтекучей частей жидко-

сти. После этих замечаний полная система гидродинамических уравнений может быть получена, исходя из одних только законов сохранения и принципа относительности Галилея.

Закон сохранения какой-либо величины имеет универсальную форму дифференциального вида: производная по времени от сохраняющейся величины равна дивергенции некоторого вектора. Закон сохранения массы жидкости связывает плотность р и поток j (импульс единицы объёма) уравнением непрерывности

^ + divj = 0. (1.2)

Закон сохранения импульса даёт уравнение движения

где Пц^ есть тензор потока импульса. Вначале мы будем рассматривать только недиссипативные процессы. Тогда движение происходит обратимым образом, и энтропия S сохраняется. Поэтому можно написать

-- + div F = 0, (1.4)

at

где F - вектор потока энтропии. В сверхтекучей жидкости возможны два движения и соответственно в гидродинамике должно быть два уравнения движения. Одним из них является уравнение (1.3), второе уравнение определяет производную по времени от v5. Поскольку rot \s = 0, то можно написать

£ + v(„4) = 0, 0.5)

где (р - некоторая скалярная функция. В дальнейшем, при выводе уравнений колебаний, мы пренебрежем квадратичным слагаемым по скорости \2S, т.к. скорость движения сверхтекучей компоненты в процессе звуковых колебаний мала по сравнению со скоростью звука.

Для определения вида неизвестных пока членов Щ, F я <р воспользуемся законом сохранения энергии, который в дифференциальной форме записывается

в виде

Л С

—+ ШуО = 0, (1.6)

где Е - энергия единицы объёма жидкости; О - поток энергии. Необходимо, чтобы неизвестные члены в уравнения (1.2,1.3,1.4,1.5) были выбраны таким образом, чтобы уравнение (1.6) выполнялось автоматически. Кроме того, мы воспользуемся принципом относительности Галилея, позволяющим выяснить зависимость всех величин от скорости у^ при заданном значении разности \п - ух.

Для дальнейшего удобно ввести новую систему отсчёта (Ко), в которой скорость движения сверхтекучей компоненты жидкости равна нулю. Система отсчёта Ко движется относительно исходной К со скоростью у^. Значения интересующих нас величин связаны в рассматриваемых системах известными, получаемыми непосредственно из принципа относительности Галилея, соотношениями:

j = pví+jo, (1.7)

п,* (1.8)

Е ру] = — + ^s}0 + Eo, (1.9)

0 (ру2 \ У2 = (-у- + + Ео 1 + у^'о + + (1.10)

р = + Г (1.11)

Здесь .¡о - импульс, П& - тензор потока импульса, Ео - энергия, q- вектор потока энергии, Г - поток энтропии в система Ко.

В системы Ко жидкость движется со скоростью \п - у5, и , очевидно, все величины С1о, тг/ь Ео, q, О могут зависеть только от указанной разности. Для энергии Ео имеет место термодинамическое тождество

¿Ео = ТйБ + ¡лс1р + (уи - V,, (1.12)

Здесь р. - химический потенциал, Т - температура. Третий член в формуле (1.12) выражает просто тот факт, что скорость есть производная энергии по импульсу, и его следует рассматривать как определение скорости у„. Из соображений

симметрии следует, что вектор jo может быть направлен только по уп - таким образом можно записать

jo = Рл(ул - v5). (1.13)

Соотношение (1.13) следует рассматривать как определение нормальной плотности рп. Из (1.7) и (1.13) следует тогда соотношение

j =PsVs+PnVn, (1.14)

где ps = р-рп.

Идея дальнейшего вывода состоит в следующем. Дифференцируем энергия Е по времени и выражаем все производные от термодинамических величин, j и ys - по времени, использую уравнения (1.2,1.3,1.4,1.5). Затем вычисляем div Q, использую формулу (1.10), и подставляем dE/dt и div Q в уравнение (1.6). После значительных сокращений получаем

div q = -(mV)vi + (v„-vi)(Vm)+jo(yn-vJ),V)vn + + (jo ~ S(yn - v,)) -p)- V7Xf - 5(v„ - v,)) + + divQT+jofi). (1.15)

При этом вместо введен другой тензор

mik = nik + [Eq -TS -рр- (v„ - y„ j0)] 6ik. (1.16)

При отсутствии диссипации энергии величины т,ь q, f и ц> являются функциями термодинамических переменных и скоростей и не зависят от их производных по времени и координатам. Это обстоятельство позволяет однозначным образом получить из (1.15) выражение для искомых величин

Щк = j0i(Vnk ~ Vsk),

f = S(yn-ys), <P =

q = Tf + pjo - (v„ - v5, Vj)jo + (\n - vs)(v„jo)- (1.17)

Далее окончательно получаем

F = f + Svs = Svn, (1.18)

Пл = PVsiVsk + Vsijok + Vnkjoi -

- [Eo-TS-A*P-(v„-v„jo)]«Jflfc, (1.19)

Q = |/i + у j do + pv,) + STvn + vn(vj о). (1.20)

Выражение, стоящее в квадратных скобках в (1.19), представляет собой полное давление, которое, по определению, равно производной от полной энергии жидкости по объёму при постоянных полной массе, полной энтропии и полном импульсе относительного движения

d(E0V)

Р = --^Г = ~Е° + TS+W + <У» ~ v„j0). (1.21)

Подставив полученные выражения для F,<p и П,* в уравнения (1.3, 1.4, 1.5), получим полную систему уравнений сверхтекучей жидкости в рамках двухжид-костной гидродинамической модели.

^ + divj = 0, (1.22)

^ + v.div j + (jV)v, + jodiv v„ + (v„V)j0 + Vp = 0, (1.23)

Щ- + div S\n = 0, (1.24)

at

f + v(f+„) = 0. (..25)

Тензор потока импульса Щ с учётом (1.14) можно переписать в виде

Щ = PnVniVnk + PsVsiVsk + pSik, (1.26)

где первый член представляет собой поток импульса нормального движения, а второй - поток импульс сверхтекучего движения.

1.2.2. Распространение звука в сверхтекучей жидкости

В звуковой волне скорости vn и vs предполагаются малыми по сравнению со скоростью звука, а термодинамические величины почти равными равновесным

значениям. Распространение звука в Не-П описывается системой гидродинамических уравнений (1.22, 1.23, 1.24, 1.25), которая в данном случае может быть линеаризована. После линеаризации указанные уравнения приобретают вид

д(рсг) dt

др — + div j dt J = o, (1.27)

+ pcrdiv v„ = 0, (1.28)

= 0, (1.29)

= 0, (1.30)

где было обозначено S = стр. Исключив из уравнений (1.27) и (1.29) импульс j, в результате получим

S-W оз.)

Далее из трёх уравнений (1.28), (1.29) и (1.30) исключим скорости \п и ys. Для этого продифференцируем по времени уравнение (1.28), а к уравнениям (1.29) и (1.30) применим операцию div . Исключив из полученных таким образом уравнений члены ^div v„ и ^div vs, получим

psAp - Ар + ^¿(pcr) = 0. (1.32)

Выразим в этом уравнении производную с помощью уравнения (1.31) и воспользуемся термодинамическим тождеством

dp = -crdT + -dp - ^(vn - ys)d(yn - ys). (1.33)

P P

В итоге находим

д2о- ps

О-34)

дР- рп

Уравнения (1.31) и (1.34) определяют изменения термодинамических величин в звуковой волне.

Перейдем в указанных уравнениях к независимым переменным риТ, которые представим в виде р = ро + р',Т = То + Т'. Величины с индексом нуль есть

равновесные значения, а со штрихом - их изменения в звуковой волне. Тогда уравнения (1.31) и (1.34) запишутся как

Ф зу дРд2г

дсгдгр' дсгд'-Г о-гр,

+ = (1'3б)

Эта система дифференциальных уравнений является линейной и однородной, и потому её решение можно искать в виде бегущей в некотором направлении плоской волны с фиксированной частотой. Поскольку общее решение может быть представлено как суперпозиция плоских волн, то возникает вопрос о разнице между фазовой и групповой скоростью распространения этих колебаний. Однако, экспериментальные данные [31-33] свидетельствуют, что для волновых векторов к от 0 до 0.7 А-1 закон дисперсии е = е(к) линейный, т.е. фазовая и групповая скорости совпадают.

В плоской волне величины р' и Т' изменяются по закону (ось х

выбираем в направлении распространения волны, ш - частота, и - скорость звука). При таком законе изменения величин р' и Т система уравнений (1.35)-(1.36) переходит в

+ ■ 0 (1-38)

Условием совместности этих уравнений является равенство нулю их определителя. Раскрывая указанный определитель, получаем биквадратное уравнение

4д(сг,р) 21д(т п,р5др\ р5 2

и \ I дт' ^ д + = (1-39)

д(Т,р) \дТ рпдр) рп

где - определитель Якоби. Это уравнение после несложных преобразований

приобретает вид

и4 - и2

т) +Чг)

[др/г Рп \дсг}рА

+ Рп0' [до) [др)т ('1'40')

Уравнение (1.40) определяет две возможные скорости звука в Не-11. Коэффициент теплового расширения {jjf)p у Не-11 аномально мал. Поэтому согласно известным термодинамическим соотношениям теплоемкости Ср и Су в Hell практически можно считать равными. Но в таком случае производные {jj~)T и (jfj^ , связанные соотношением (ф)^ = ^ с большой степенью точности также можно считать равными. Это обстоятельство значительно упрощает уравнение (1.40), его корни в этом случае равны

= с= ihr • (1-41)

Первый корень определяет скорость обычного (первого) звука в Не-П . С такой скоростью согласно уравнению (1.31) распространяются в Не-П колебания давления (плотности). Второй корень м2 определяет скорость так называемого второго звука. Согласно уравнению (1.34) с такой скоростью в Не-П распространяются колебания температуры (энтропии), которые также можно рассматривать как волны сжатия и разрежения в газе возбуждений.

Остановимся подробнее на физической природе обоих видов звуковых волн. Рассмотрим плоскую звуковую волну, в которой все переменные величины пропорциональны еш^~х/и\ Обозначая штрихом переменные части соответствующих величин, получим из (1.27)-(1.30) систему алгебраических уравнений, которую можно переписать в удобном для анализа виде:

р' = и2р' = и], (1.43)

Г = фсг-^^). (1.44)

СГ1Рз СР

Полученные уравнения устанавливают связь между колебаниями различных величин в звуковых волнах двух типов. Для каждого типа звуковых волн следует подставить соответствующие значения скорости звука щ или иг из (1.41) и (1.42). Волны первого звука представляют собой колебания плотности р, если прене-

бречь тепловым расширением; колебания температуры в них вообще отсутствуют. Согласно (1.44) в этом случае уи = у5. Другими словами, в волнах первого звука гелий движется как целое, т.е. нормальная и сверхтекучая части колеблются вместе. Волны первого звука, очевидно, аналогичны обычному звуку в обычных средах. В волнах второго звука испытывают колебания температура и энтропия. Давление же и плотность в рассматриваемом приближении не колеблются. Тогда из (1.43) следует, что у = р5у5 + р„уп = 0. В такого рода колебаниях нормальная и сверхтекучая части совершают движение навстречу друг другу так, что суммарный поток вещества в каждый момент времени отсутствует.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лысогорский, Юрий Вячеславович, 2013 год

Литература

1. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: Том 6. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Физматлит, 2003.— 736 с.

2. Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — М.: Физматлит, 2004.— 496 с.

3. Халатников, И. М. Теория сверхтекучести / И. М. Халатников. — М.: Наука, 1971.-320 с.

4. Chase, С. Е. Ultrasonic measurements in liquid helium / С. E. Chase // Proc. Roy. Soc. A. - 1953.-V. 220.-P. 116.

5. Van Itterbeek, A. Measurements on the velocity of ultrasonic waves in liquid helium / A. Van Itterbeek, G. Forrez, M. Teirlinck // Physica. — 1957. — V. 23, no. 6.-P. 905.

6. Wilks, J. The properties of liquid and solid helium / J. Wilks. — Clarendon Press Oxford, 1967.- 703 pp.

7. Пешков, В. П. О втором звуке в гелии II / В. П. Пешков // ЖЭТФ. — 1960. — Т. 38.-С. 799.

8. Freezing and lambda curves of 3He-4He mixtures / С. Le Pair, K. W. Taconis, R. De Bruyn Ouboter, P. Das // Physica. — 1962. — V. 28, no. 3. — P. 305.

9. Atkins, K. R. Ions in liquid helium / K. R. Atkins // Phys. Rev.- 1959.- V. 116, no. 6.-P. 1339.

10. Baym, G. Mobility of the electron bubble in superfluid helium / G. Baym, R. G. Barrera, C. J. Pethick // Phys. Rev. Lett. - 1969. — V. 22, no. 1.- P. 20.

11. Novel sound phenomena in superfluid helium in aerogel and other impure su-perfluids / P. Brusov, P. Brusov, G. Lawes et al. // Phys. Lett. A. — 2003.— V. 310, no. 4.-P. 311.

12. Superfluid critical behavior in 4He filled porous media / G. K. S. Wong, P. A. Crowell, H. A. Cho, J. D. Reppy // Phys. Rev. Lett.- 1990.- V. 65, no. 19.-P. 2410.

13. Porosity dependence of sound propagation in liquid-4He-fIlled aerogel / K. Mat-sumoto, Y. Matsuyama, D. A. Tayurskii, K. Tajiri // JETP Lett. - 2004. - V. 80, no. 2.-P. 109.

14. Bose-Einstein condensation in liquid 4He in Vycor / R. T. Azuah, H. R. Glyde, R. Scherm et al II J. Low. Temp. Phys. - 2003. - V. 130. - P. 557.

15. Shirahama, K. Localized Bose-Einstein condensation of 4He confined in nanoporous media / K. Shirahama, K. Yamamoto, Y. Shibayama // Journal of the Physical Society of Japan. — 2008. — V. 77, no. 11, — P. 1011.

16. Shirahama, K. Superfluidity of He confined in nanoporous media / K. Shirahama, K. Yamamoto, Y. Shibayama // Low Temperature Physics.— 2008.— V,-34.-P. 273.

17. Del Maestro, A. 4He Luttinger liquid in nanopores / A. Del Maestro, M. Bonin-segni, I. Affleck // Phys. Rev. Lett. - 2011. - V. 106, no. 10. - P. 105303.

18. Moon, K. Critical behavior of superfluid 4He in aerogel / K. Moon, S. M. Girvin // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V. 75, no. 7. - P. 1328.

19. McKenna, M. J. Observation of a second-sound-like mode in superfluid-filled aerogel / M. J. McKenna, T. Slawecki, J. D. Maynard // Phys. Rev. Lett.— 1991.-V. 66, no. 14.-P. 1878.

20. Possible sound mode conversion in "superfluid 4He-97% open aerogel" system / K. Matsumoto, H. Tsuboya, K. Yoshino et al. // J. of Low Temp. Phys. — 2007. — V. 148, no. 5-6.-P. 615.

21. Laskin, N. Fractional quantum mechanics / N. Laskin // Phys. Rev. E. — 2000. — V. 62, no. 3.-P. 3135.

22. Structural and dynamical properties of superfluid helium: A density-functional approach / F. Dalfovo, A. Lastri, L. Pricaupenko et al. // Phys. Rev. B. — 1995. — V. 52, no. 2.-P. 1193.

23. Тилли, Д. P. Сверхтекучесть и сверхпроводимость: Пер. с англ. / Д. Р. Тилли, Д. Тилли. - М.: Мир, 1977. - 304 с.

24. Боголюбов, Н. К теории сверхтекучести / Н. Боголюбов // Изв. АН СССР. — 1947.-Т. И, №23.-С. 77.

25. Gross, Е. P. Structure of a quantized vortex in boson systems / E. P. Gross // Nuovo Cimento Series 10.- 1961, — V. 20, no. 3.- P. 454.

26. Gross, E. P. Hydrodynamics of a superfluid condensate / E. P. Gross // Journal of Mathematical Physics. - 1963.- V. 4.- P. 195.

27. Pitaevskii, L. P. Vortex lines in an imperfect Bose gas / L. P. Pitaevskii // Sov. Phys. JETP. — 1961.-V. 13, no. 2.- P. 451.

28. Coste, С. Nonlinear Schrödinger equation and superfluid hydrodynamics / С. Coste // Eur. Phys. J. В. - 1998,- V. 1.- P. 245.

29. Hills, R. Healing and relaxation in flows of helium II - I Generalization of Landau's equations / R. Hills // Int. J. of Eng. Sei.— 1977.— V. 15, no. 5.— P. 305.

30. Hills, R. N. Healing and relaxation in flows of helium II. part II. First, second, and fourth sound / R. N. Hills, P. H. Roberts // J. Low Temp. Phys.- 1978.— V. 30.-P. 709.

31. Henshaw, D. G. Energy-momentum relation in liquid helium by inelastic scattering of neutrons / D. G. Henshaw // Phys. Rev. Lett. — 1958. — V. 1. — P. 127.

32. Palevsky, H. Excitation of rotons in helium II by cold neutrons / H. Palevsky, K. Otnes, К. E. Larsson // Phys. Rev. - 1958.- V. 112, no. 1.- P. 11.

33. Excitations in liquid helium: neutron scattering measurements / J. L. Yarnell, G. P. Arnold, P. J. Bendt, E. C. Kerr // Phys. Rev.- 1959.- V. 113, no. 6.-P. 1379.

34. Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases / F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, S. Stringari // Rev. Mod. Phys. - 1999. - V. 71, no. 3. — P. 463.

35. Mandelbrot, В. B. The fractal geometry of nature / В. B. Mandelbrot. — Henry Holt and Company, 1983. — 468 pp.

36. Федер, E. Фракталы: пер. с англ. / Е. Федер.— М.: Мир, 1991.— 254 с.

37. Mandelbrot, В. В. How long is the coast of Britain / В. B. Mandelbrot // Science.- 1967.-V. 156, no. 3775.-P. 636.

38. Hausdorff, F. Dimension und äußeres maß / F. Hausdorff// Mathematische An-nalen. — 1918.- V. 79, no. 1-2.- P. 157.

39. Besicovitch, A. S. Sets of fractional dimensions (v): On dimensional numbers of some continuous curves / A. S. Besicovitch, H. D. Ursell // Journal of the London Mathematical Society. — 1937. — V. 1, no. 1. — P. 18.

40. Falconer, K. Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications / K. Falconer. - Wiley, 2003. - 368 pp.

41. Theiler, J. Estimating fractal dimension / J. Theiler // J. Optical Society America A. - 1990. - V. 7, no. 6. - P. 1055.

42. Nigmatullin, R. R. A fractal pore model for Archie's law in sedimentary rocks / R. R. Nigmatullin, L. A. Dissado, N. N. Soutougin // J. of Phys. D: Appl. Phys. — 1992.-V. 25, no. l.-P. 32.

43. Reichenauer, G. Characterization of Si02, RF and carbon aerogels by dynamic gas expansion / G. Reichenauer, C. Stumpf, J. Fricke // Journal of Noncrystalline Solids. - 1995.- V. 186.- P. 334.

44. Kistler, S. S. Coherent expanded aerogels and jellies. / S. S. Kistler//Nature. — 1931.-V. 127.-P. 741.

45. Kistler, S. S. Coherent expanded-aerogels / S. S. Kistler // The Journal of Physical Chemistry. — 1932. — V. 36, no. 1. — P. 52.

46. Guinness records names JPL's aerogel world's lightest solid.— NASA Jet Propulsion Laboratory. — 2002.

47. Schmidt, M. Applications for silica aerogel products / M. Schmidt, F. Schwert-feger // Journal of Non-Crystalline Solids. - 1998. - V. 225. - P. 364.

48. Hrubesh, L. W. Aerogel applications / L. W. Hrubesh // Journal of Non-Crystalline Solids. - 1998.- V. 225,- P. 335.

49. Gesser, H. D. Aerogels and related porous materials / H. D. Gesser, P. C. Goswa-mi // Chemical Reviews. - 1989. - V. 89, no. 4. — P. 765.

50. Dagan, G. Titanium dioxide aerogels for photocatalytic decontamination of aquatic environments / G. Dagan, M. Tomkiewicz // The Journal of Physical Chemistry. - 1993. - V. 97, no. 49. - P. 12651.

51. Porto, J. V. Correlated disorder in a p-wave superfluid / J. V. Porto, J. M. Parpia // Phys. Rev. B.- 1999.— Jun.— V. 59, no. 22.- P. 14583.

52. Schaefer, D. W. Structure of random porous materials: silica aerogel / D. W. Schaefer, K. D. Keefer// Phys. Rev. Lett. - 1986,- V. 56.- P. 2199.

53. Disorder and the superfluid transition in liquid 4He / M. H. W. Chan, K. I. Blum, S. Q. Murphy et al. // Phys. Rev. Lett. - 1988. - V. 61, no. 17. - P. 1950.

54. Phase diagram of 3He-4He mixture in aerogel of 87% porosity / J. Yoon, N. Mulders, L. W. Hrubesh, M. H. W. Chan // Czechoslovak Journal of Physics. — 1996.-V. 46, no. l.-P. 157.

55. Superfluid transition of 4He in ultralight aerogel / J. Yoon, D. Sergatskov, J. Ma et al. // Phys. Rev. Lett. - 1998,- V. 80, no. 7.- P. 1461.

56. Tamon, H. Control of mesoporous structure of silica aerogel prepared from TMOS / H. Tamon, T. Sone, M. Okazaki // Journal of Colloid and Interface Science. - 1997.-V. 188, no. l.-P. 162.

57. Tamon, H. Preparation of silica aerogel from TEOS / H. Tamon, T. Kitamura, M. Okazaki // Journal of Colloid and Interface Science.— 1998.— V. 197, no. 2.—P. 353.

58. Fricke, J. Aerogels: production, characterization, and applications / J. Fricke, T. Tillotson // Thin Solid Films. - 1997.- V. 297, no. 1-2.- P. 212.

59. Forest, V. Chemical and structural evolution of silica alcogels during their formation: Acoustical study / V. Forest, T. Woignier // J. of Sol-Gel Sci. Tech. — 1998,-V. 13.-P. 329.

60. Silica aerogel supported catalysts for Fischer-Tropsch synthesis / B. Dunn, P. Cole, D. Covington et al. // Appl. Catal. A: General.— 2005.— V. 278, no. 2.-P. 233.

61. Bose-Einstein condensate in a random potential / J. E. Lye, L. Fallani, M. Mod-ugno et al. // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V. 95, no. 7. — P. 070401.

62. Kim, E. Probable observation of a supersolid helium phase / E. Kim, M. Chan // Nature. - 2004. - V. 427, no. 6971. - P. 225.

63. Disorder, Supersolidity, and Quantum Plasticity in Solid Helium 4 / S. Balibar, A. D. Fefferman, A. Haziot, X. Rojas // J. Low Temp. Phys. - 2012, — V. 168, no. 3-4.-P. 221.

64. Kim, D. Y. Absence of supersolidity in solid helium in porous Vycor glass / D. Y. Kim, M. H. W. Chan // Phys. Rev. Lett.- 2012,- V. 109, no. 15.-P. 155301.

65. Yamamoto, K. Thermodynamic evidence for nanoscale Bose-Einstein condensation in 4He confined in nanoporous media / K. Yamamoto, Y. Shibayama, K. Shirahama // Phys. Rev. Lett. - 2008. - V. 100, no. 19. - P. 195301.

66. Yamamoto, K. Heat capacity of liquid 4He confined in a nanoporous glass / K. Yamamoto, Y. Shibayama, K. Shirahama // J. Low Temp. Phys. — 2008. — V. 150, no. 3-4.-P. 353.

67. Excitations of nanoscale quantum liquids under pressure and the Bose glass phase / J. Bossy, J. V. Pearce, H. Schober, H. R. Glyde // Phys. Rev. B.— 2008.- V. 78, no. 22.- P. 224507.

68. Cheng, Z. G. Threefold reduction in thermal conductivity of Vycor glass due to adsorption of liquid 4He / Z. G. Cheng, M. H. W. Chan // New Journal of Physics. - 2013. - V. 15, no. 6. - P. 063030.

69. Superfluid density from heat-pulse propagation near the A line in 4He-aerogel systems / N. Mulders, R. Mehrotra, L. S. Goldner, G. Ahlers // Phys. Rev. Lett. — 1991.-V. 67.-P. 695.

70. Pressure dependence of the sound velocity of 4He in aerogel / M. Nishikawa, K. Yoshino, S. Abe et al. // Journal of Physics and Chemistry of Solids. — 2005. - V. 66, no. 8. - P. 1506.

71. Biot, M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range / M. A. Biot // J. Acoust. Soc. Am.— 1956.— V. 28.-P. 168.

72. Biot, M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Higher frequency range / M. A. Biot // J. Acoust. Soc. Am. — 1956. — V. 28.-P. 179.

73. Biot, M. A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media / M. A. Biot // The Journal of the Acoustical Society of America. — 1962.-V. 34.-P. 1254.

74. Biot, M. A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media / M. A. Biot // J. of Appl. Phys. - 1962.- V. 33, no. 4.- P. 1482.

75. Beamish, J. R. Sound velocity in helium-filled porous Vycor glass / J. R. Beamish, A. Hikata, C. Elbaum // Phys. Rev. B. — 1983. — V. 27. - P. 5848.

76. Warner, K. Frequency dependence of sound propagation in superfluid-filled porous media / K. Warner, J. R. Beamish // Phys. Rev. B.— 1994.— V. 50, no. 21.-P. 15896.

77. Feynman, R. P. Quantum mechanics and path integrals / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. - McGraw-Hill New York, 1965. - V. 13. - 365 pp.

78. Ceperley, D. M. Quantum monte carlo / D. M. Ceperley, B. Alder // Science. — 1986,-V. 231.-P. 555.

79. Ceperley, D. M. Path integrals in the theory of condensed helium / D. M. Ceperley // Reviews of Modern Physics. — 1995. — V. 67, no. 2. — P. 279.

80. Ceperley, D. M. Path-integral computation of the low-temperature properties of liquid 4He / D. M. Ceperley, E. L. Pollock // Phys. Rev. Lett. - 1986.- V. 56, no. 4.-P. 351.

81. Nakayama, A. Path integral Monte Carlo study on the structure and absorption spectra of alkali atoms (Li, Na, K) attached to superfluid helium clusters / A. Nakayama, K. Yamashita // The Journal of Chemical Physics. — 2001.— V. 114.-P. 780.

82. Boninsegni, M. Path integral Monte Carlo simulation of isotopic liquid helium mixtures / M. Boninsegni, D. M. Ceperley // Phys. Rev. Lett. — 1995.— V. 74, no. 12.-P. 2288.

83. Superfluid state of 4He on graphane and graphene-fluoride: Anisotropic roton states / M. Nava, D. E. Galli, M. W. Cole, L. Reatto // J. of Low Temp. Phys. — 2013.-V. 171, no. 5-6.-P. 699.

84. Shin, H. Effects of 3He impurities on the superfluid response of the 4He monolayer on a C20 molecule / H. Shin, Y. Kwon // The Journal of chemical physics. — 2013.-V. 138.-P. 064307.

85. Kim, B. Structural and superfluid properties of the 4He monolayer on a C28 molecule / B. Kim, Y. Kwon // J. of Low Temp. Phys. - 2013.- V. 171, no. 5-6.-P. 599.

86. Hohenberg, P. Inhomogeneous electron gas / P. Hohenberg, W. Kohn // Phys. Rev. - 1964.-V. 136, no. 3B.-P. B864.

87. Kohn, W. Self-consistent equations including exchange and correlation effects / W. Kohn, L. J. Sham // Phys. Rev. - 1965.- V. 140, no. 4A. — P. A1133.

88. Nunes, G. S. Density functional theory of the inhomogeneous Bose-Einstein condensate / G. S. Nunes // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 1999.- V. 32, no. 17.- P. 4293.

89. Timmermans, E. Variational Thomas-Fermi theory of a nonuniform Bose condensate at zero temperature / E. Timmermans, P. Tommasini, K. Huang // Phys. Rev. A. - 1997. - V. 55, no. 5. - P. 3645.

90. Madelung, E. Quantum theory in hydrodynamic form / E. Madelung // Z. Phys. - 1926. - V. 40. - P. 322.

91. Inhomogeneous liquid 4He: A density functional approach with a finite-range interaction / J. Dupont-Roc, M. Himbert, N. Pavloff, J. Treiner // J. of Low Temp. Phys. - 1990. - V. 81, no. 1 -2. - P. 31.

92. Berloff, N. G. Nonlocal nonlinear Schrödinger equations as models of superfluidity / N. G. Berloff// J. Low Temp. Phys.- 1999.- V. 116, no. 5-6.-P. 359.

93. Eloranta, J. Structure and energetics of He bubble-states in superfluid He / J. Elo-ranta, N. Schwentner, V. A. Apkarian // The Journal of Chemical Physics. — 2002.-V. 116.-P. 4039.

94. Eloranta, J. A time dependent density functional treatment of superfluid dynamics: Equilibration of the electron bubble in superfluid He / J. Eloranta, V. A. Ap-karian // The Journal of chemical physics. — 2002. — V. 117. — P. 10139.

95. Excited electron-bubble states in superfluid 4He: A time-dependent density functional approach / D. Mateo, D. Jin, M. Barranco, M. Pi // The Journal of Chemical Physics. - 2011. - V. 134. - P. 044507.

96. Density functional calculations for 4He droplets / M. Casas, F. Dalfovo, A. Lastri et al. // Zeitschrift fur Physik D Atoms, Molecules and Clusters. — 1995. — V. 35, no. l.-P. 67.

97. Grimm, R. C. Monte-Carlo solution of Schrodinger's equation / R. C. Grimm, R. G. Storer// Journal of Computational Physics. - 1971. — V. 7, no. 1. — P. 134.

98. Anderson, J. B. A random-walk simulation of the Schrodinger equation: H3 / J. B. Anderson // The Journal of Chemical Physics. - 1975.- V. 63.- P. 1499.

99. Aichinger, M. A fast configuration space method for solving local Kohn-Sham equations / M. Aichinger, E. Krotscheck // Computational Materials Science. — 2005.-V. 34, no. 2.-P. 188.

100. Cooley, J. W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series / J. W. Cooley, J. W. Tukey // Mathematics of computation.— 1965.— V. 19, no. 90.-P. 297.

101. Plimpton, S. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics / S. Plimpton // Journal of Computational Physics.— 1995.— V. 117, no. 1.— P. 1.

102. Ng, T. Y. A molecular dynamics study of the thermal conductivity of nanoporous silica aerogel, obtained through negative pressure rupturing / T. Y. Ng, J. J. Yeo, Z. S. Liu // Journal of Non-Crystalline Solids.— 2012.- V. 358, no. 11.— P. 1350.

103. Theiler, J. Estimating fractal dimension / J. Theiler // J. Opt. Soc. Am. A.— 1990.-V. 7, no. 6.-P. 1055.

104. Talu, O. Reference potentials for adsorption of helium, argon, methane, and krypton in high-silica zeolites / O. Talu, A. L. Myers // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. — 2001.— V. 187.— P. 83.

105. Kresse, G. Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set / G. Kresse, J. Furthmuller // Phys. Rev. B. — 1996. — V. 54, no. 16.-P. 11169.

106. Perdew, J. P. Generalized gradient approximation made simple / J. P. Perdew, K. Burke, M. Ernzerhof// Phys. Rev. Lett. - 1996.- V. 77, no. 18.- P. 3865.

107. Ядерная магнитная релаксация 3He в контакте с аэрогелем выше температуры Ферми / А. В. Клочков, В. В. Кузьмин, К. Р. Сафиуллин и др. // Письма в ЖЭТФ. - 2008. - Т. 88, № 12. - С. 944.

108. Heterogeneous adsorption potential of 3Не in silica aerogel and its influence on magnetic relaxation of 3He / E. M. Alakshin, R. R. Gazizulin, A. V. Klochkov et al. // arXiv preprint arXiv: 1012.2461. — 2010.

109. Lehtovaara, L. Efficient numerical method for simulating static and dynamic properties of superfluid helium / L. Lehtovaara, T. Kiljunen, J. Eloranta // Journal of Computational Physics. — 2004. — V. 194, no. 1. — P. 78.

110. Solvation of triplet rydberg states of molecular hydrogen in superfluid helium / T. Kiljunen, L. Lehtovaara, H. Kunttu, J. Eloranta // Phys. Rev. A. — 2004. — V. 69, no. l.-P. 012506.

111. Possible canonical distributions for finite systems with nonadditive energy / C. Ou, W. Li, J. Du et al. // Physica A. - 2008. - V. 387, no. 23. - P. 5761.

112. Enss, C. Low-Temperature Physics / C. Enss, S. Hunklinger. — Springer, 2005. — 574 pp.

113. Специальный выпуск Comptes Rendus Physique. - 2006. - Vol. 7. -Pp.307-470.

114. Tsallis, C. Possible generalization of Boltzman-Gibbs statistics / C. Tsallis // J. of Stat. Phys. - 1988. - V. 52. - P. 479.

115. Terletskii, I. P. Statistical Physics / I. P. Terletskii.— North-Holland Pub. Co, 1971.-279 pp.

116. Plastino, A. R. Information theory, approximate time dependent solutions of Boltzmann's equation and Tsallis' entropy / A. R. Plastino, A. Plastino // Phys. Lett. A. - 1994.-V. 193, no. 3.-P. 251.

117. Hasegawa, H. Bose-Einstein and Fermi-Dirac distributions in nonextensive quantum statistics: Exact and interpolation approaches / H. Hasegawa // Phys. Rev. E. - 2009. - V. 80, no. 1. - P. 011126.

118. Hasegawa, H. The interpolation approach to nonextensive quantum statistics / H. Hasegawa // Physica A. - 2010. - V. 389, no. 12. - P. 2358.

119. Hasegawa, H. Non-extensive thermodynamics of transition-metal nanoclusters / H. Hasegawa // Progress in materials science. — 2007. — V. 52, no. 2. — P. 333.

120. Зарипов, Р. О термодинамическом равновесии неэкстенсивных систем / Р. Зарипов // Журнал технической физики. — 2006. — Т. 76, № И. — С. 1.

121. Зарипов, Р. Принципы неэкстенсивной статистической механики и геометрии мер беспорядка и порядка / Р. Зарипов. — Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2010. — 404 с.

122. Tsallis, С. Introduction to nonextensive statistical mechanics: approaching a complex world / C. Tsallis. — Springer, 2009. — 382 pp.

123. Renyi, A. On measures of information and entropy / A. Renyi // Proceedings of the fourth Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability. — I960.-P. 547.

124. Abe, S. Heat and entropy in nonextensive thermodynamics: transmutation from Tsallis theory to Renyi-entropy-based theory / S. Abe // Physica A. — 2001.— V. 300, no. 3.-P. 417.

125. Nonextensive thermodynamic relations / S. Abe, S. Martinez, F. Pennini, A. Plastino // Phys. Lett. A. - 2001. - V. 281, no. 2-3. - P. 126.

126. Tsallis, C. The role of constraints within generalized nonextensive statistics / C. Tsallis, R. Mendes, A. R. Plastino // Physica A.— 1998,- V. 261, no. 3.— P. 534.

127. Tarasov, V. E. Continuous medium model for fractal media / V. E. Tarasov // Phys. Lett. A. - 2005. - V. 336, no. 2. - P. 167.

128. Tarasov, V. E. Fractional hydrodynamic equations for fractal media / V. E. Tarasov // Annals of Physics. - 2005. - V. 318, no. 2. - P. 286.

129. Tarasov, V. E. Fractional Dynamics: Application of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media / V. E. Tarasov.— Springer, 2011. — 450 pp.

130. Klafter, J. Fractional Dynamics: Recent Advances / J. Klafter, S. C. Lim, R. Metzler.- World Scientific, 2011. — 532 pp.

131. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск: Наука и техника, 1987, — 688 с.

132. Samko, S. G. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications / S. G. Samko, A. A. Kilbas, О. I. Marichev.— Gordon and Breach, 1993. — 1006 pp.

133. West, B. Physics of Fractal Operators / B. West, M. Bologna, P. Grigolini. — Springer, 2003. - 354 pp.

134. Khintchine, A. Y. Sur les loi stables / A. Y. Khintchine, P. Lévy // CR Acad. Sci. Paris. - 1936. - V. 202. - P. 374.

135. Gardiner, C. W. Handbook of Stochastic Methods: For Physics, Chemistry, and the Natural Sciences (Springer Series in Synergetics) / C. W. Gardiner. — Springer-Verlag, 1986. — 442 pp.

136. Laskin, N. Fractional Schrodinger equation / N. Laskin // Phys. Rev. E. — 2002. - V. 66, no. 5. - P. 56108.

137. Laskin, N. Levy Flights over Quantum Paths / N. Laskin // Comm. in Nonlin. Sci. and Num. Sim. - 2007. - V. 12, no. 1. - P. 2.

138. Laskin, N. Principles of Fractional Quantum Mechanics / N. Laskin // Arxiv preprint arXiv: 1009.5533.— 2010.— no. 2.— P. 31.

139. Fractional approach, quantum statistics, and non-crystalline solids at very low temperatures / E. K. Lenzi, B. F. de Oliveira, N. G. C. Astrath et al. // The European Physical Journal B. - 2008. — V. 62, no. 2. — P. 155.

140. Nonlocal effects on the thermal behavior of non-crystalline solids / E. K. Lenzi, N. G. C. Astrath, R. Rossato, L. R. Evangelista // Brazilian Journal of Physics. — 2009. - V. 39, no. 2A. - P. 507.

141. Greenberger, D. M. Inadequacy of the usual galilean transformation in quantum mechanics / D. M. Greenberger // Phys. Rev. Lett. — 2001.— V. 87, no. 10.— P. 100405.

142. Laskin, N. Generalized classical mechanics / N. Laskin // The European Physical Journal Special Topics. - 2013. - V. 222, no. 8. - P. 1929.