Гидродинамика уединённых мезомасштабных эллипсоидальных вихрей в баротропных потоках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Суетин Борис Павлович

• Суетин Борис Павлович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Суетин Борис Павлович

Введение

Глава 1. Изучение режимов поведения эллипсоидальных вихрей

§1. Необходимая формализация и постановка задачи

§2. Исследование случая вихря Кирхгофа

§3. Исследование случая эллипсоидального вихря

§4. Анализ и синтез результатов исследования

Глава 2. Исследование времени жизни мезомасштабных вихрей

§5. Уравнение времени эволюции эллипсоидальных вихрей

§6. Закономерности режима вытягивания, связанные со временем

§7. Расчёт времени эволюции для различных режимов

§8. Анализ результатов

Глава 3. Применение теории эллипсоидальных вихрей к реальным явлениям

§9. Большое Красное Пятно Юпитера

§10. Рождение вихря из филамента

Заключение

Перечень сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Классы эквивалентности картин в случае вихря Кирхгофа

Приложение Б. Классы эквивалентности картин в случае эллипсоидального вихря

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гидродинамика уединённых мезомасштабных эллипсоидальных вихрей в баротропных потоках»

Введение

Данная работа посвящена развитию теории эллипсоидальных, океанических вихрей. Океанический вихрь - это водная масса движение элементарных объёмов которой происходит не только поступательно или деформационно, но и вращательно вокруг мгновенной оси вращения.

Очевидно, что любой вихрь имеет характерный линейный, горизонтальный размер Ь, этот признак и положен в основу современной классификации [Иванов и др., 1986] вихревых движений океана. В силу того, что Земля имеет шарообразную форму и вращается, то простое сравнение вихрей между собой по линейному размеру является неинформативным. Поэтому сравнение осуществляют относительно двух параметров: глубины океана Н и радиуса

деформации Россби1 Ьк = ^ (Ы - характерное значение частоты Вясяля-Брента, f - параметр

Кориолиса). Если Ь << Н, то это мелкомасштабные вихри. Если Н < Ь < Ьк, то это мезомасштабные вихри. Если Ь~ЬК, то это синоптические вихри. Если Ь » Ьк, глобальные вихри (ринги). Следует отметь, что данная классификация является не единственной, а ряд других классификаций приведён в работе [Баранов, 1988].

Изучаемые в данной работе мезомасштабные вихри в области тропической Атлантики имеют размер ~100 км, который уменьшается с широтой и в Северном Ледовитом океане составляет ~5 км.

Другим признаком, которым обладает любое вихревое движение — это скорость поступательного и вращательного движения. Для изучаемых в данной работе мезомасштабных вихрей эти скорости составляют ~2 км/сут и ~0.4 рад/сут.

Актуальность изучения физики вихревых процессов в океане обусловлена тем, что вихри на ряду с потоками (течениями) являются важнейшими элементами динамики Мирового океана. Это один из главных механизмов горизонтального перемешивания. Вихри осуществляют перенос водных масс (тепла, соли и других веществ) на значительные расстояния. При этом в ряде случаев такой механизм перенос водных масс является единственным. А также они оказывают существенное влияние на распределение энергии в океане на разных масштабах.

1 Физический смысл данного параметра в том, что он указывает на масштаб начиная с которого нельзя пренебрегать влиянием неинерционных сил (силы Кориолиса).

Атмосферные вихри известны давно, а вот океанический вихрь - это открытие XX века. Изучение этого явления, как и большинства других физических вопросов, осуществляется по трём направлениям: теоретическое, экспериментальное (натурное и лабораторное) и численное.

За долго до того, как в эксперименте ПОЛИГОН-70 [Кошляков, Грачев, 1974], проходившем в 1970 году был зафиксирован чётко выраженный антициклонический вихрь эллипсоидальной формы с характерным размером —125 км, рядом учёных высказывались предположения о существовании океанических вихрей. Так, например, К. Россби [Rossby, 1936] полагал, что вихри с радиусом от 10 до 150 км осуществляют горизонтальное перемешивание в океане. Примерно в тоже время А. Шпильхаусом была предложена первая классификация вихрей ^р^аш, 1940]. В ней выделялись крупные вихри с диаметром 100-300 км, вихри промежуточного масштаба 30-50 км и мелкомасштабные вихри с диаметром до 5 км.

В тоже время В. Б. Штокман предполагая существование синоптических вихрей провёл в 1935 исследования в Каспийском море [Штокман, Ивановский, 1937], и позже в Чёрном море [Озмидов, 1962]. По его предложению был организован первый специализированной эксперимент по изучению океанических вихрей в 1967 [Штокман и др., 1969]. С этого момента начинается череда крупных экспериментов по исследованию вихрей океана. Среди них уже упомянутый выше ПОЛИГОН-70 (1970), МОДЕ (1973), ПОЛИМОДЕ (1977-1978), МЕЗОПОЛИГОН (1985), МАГАПОЛИГОН (1987). Эти эксперименты объяснили множество вопросов связанных с физикой океанических вихрей, а также дали богатый материал для дальнейших теоретических исследований.

На ранних периодах изучения вихрей океана применение численных методов было практически невозможным из-за весьма скудных вычислительных ресурсов. Но со временем это изменилось, в 1970-х годах появились вихредопускающие, а позже и вихреразрешающие модели, а уже в начале 1980-х создавались модели общей циркуляции атмосферы и океана [Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б., Лыкосов В.Н., 1980]. Касаясь этого вопроса нельзя не отметить значительный вклада Артёма Саркисовича Саркисяна в численное моделирование гидродинамических процессов океана. С тех пор численное изучение вихрей только набирает обороты. Актуальные численные модели позволяют исследовать роль вихрей в переносе тепла [Ушаков К.В., Ибраев Р.А., 2019]. Современные методы компьютерного исследования не ограничиваются только созданием классических численных модельной океана, они развиваются в области машинного обучения [Криницкий М.А., Вереземская П.С., 2020]. Бурное развитие компьютерного исследования обусловлено тем, что по сравнению с лабораторным, а тем более с натурным экспериментом численный эксперимент имеет существенно меньшую стоимость. В тоже время теоретическое исследование осложнено тем, что возникающие математические

модели являются столь сложными, что практические исключают возможность аналитического решения, а их дальнейшее исследование идёт по пути численного решения.

Большое количество натурных данных, полученных в упомянутых выше экспериментах, позволило качественно описать структуру мезомасштабного вихря. Она схематично представлена на Рисунке 1. В центре вихря находится ядро вихря — это область сильно завихреной жидкости, с деформируемой границей, которая индуцирует движение во внешней среде. Следует отметить, что скорость движения границы в общем случае не совпадает ни со скоростью, ни с направлением частиц внутри ядра. Иначе говоря, вихрь можно рассматривать как водяной мешок с деформируемой границей, внутри которого находится сильно завхренная жидкость и внешняя жидкость, вовлечённая в это вращение.

Такая структура позволяет объяснить ряд наблюдений, например, тот факт, что вихрь переносит воду из места своего рождения практически без перемешивания на тысячи километров [Иванов, Парамонов 1980]. Это объясняется наличием сильного градиента завихренности на границе ядра вихря, который затрудняет унос частиц жидкости из ядра и проникновение внешних частиц в ядро.

окружающаяся фоновая жидкость

Рисунок 1. Схематичное строение мезомасштабного вихря Задачи, возникающие при исследовании океанических вихрей весьма различны, но их можно разделить на три дихотомические пары: задачи возникновения и исчезновения вихрей,

задачи собственной и относительной динамики, задачи взаимодействия с течениями и взаимодействия с другими вихрями. Такая классификация выделяет огромные области знаний над развитием которых работает множество людей, поэтому произвести исчерпывающее, хрестоматийное указание ключных идей и их авторов по каждой из тем не представляется возможным в рамках данного введения. Поэтому ниже указываются работы преимущественно отечественной океанологической школы.

Разумеется, что как только были обнаружены вихри океана, возник вопрос о том, как они возникают. На сегодняшний день известны различные механизмы возникновения вихрей: меандрирование крупных течений [Григорьев, Иванов, Кубряков, Шапиро, 2001], бароклинная неустойчивость, и ряд других [Журбас, Ох, Пака, 2002]. А также, вихри могут возникать в областях стоков крупных рек [Зацепин 2017]

Вопрос о том, как и почему исчезают вихри океана также является актуальным. Известно, что вихрь может исчезать, не только при взаимодействии с материками, но и в открытом океане. Механизмы внутренней неустойчивости вихрей освещены в работах [Козлов, Макаров, Соколовский, 1986], [Шапиро, 1987]. С другой стороны, исчезновение вихрей можно рассматривать, как конец их времени существования [Сутырин, 2020], при таком подходе ключевой вопрос этой темы «Почему вихри исчезают?» меняет свою форму на «Почему вихри живут так долго?», но содержание остаётся неизменным.

Движение вихря можно рассматривать в разных системах отсчёта: в системе отсчёта, связной с центром масс вихря и в системе, связанной с центром масс Земли. Очевидно, что выбор системы связан с исследуемыми вопросами. Например, исследуя перемещение вихря на большие расстояния или с целью точного предсказания его траектории необходимо учитывать влияние ^-эффекта [Анисимов, Дианский 2008], [Резник, 2010]. С другой стороны, существует широкий круг вопросов для исследования, которого нет необходимости учитывать ^-эффект [Каменкович, Ларичев, 1981], [Жмур, 2010].

В процессе своей эволюции вихрь может взаимодействовать с другим вихрем, и далеко не всегда они имеют одинаковую природу [Рыжов Кошель, 2011]. Кроме других вихрей, вихри могут взаимодействовать с течениями [Гряник, Доронина 1997], [Коротенко, 2015].

Разумеется, при изучении вихрей большую роль играет развитие теории классической гидродинамики, так, например, работы В. Ф. Козлова заложили основы контурной динамики [Козлов, Ярощук, 1986].

Представленная выше классификация задач справедлива не только для монопольных вихревых образований, но и для дипольных, а также для вихревых ансамблей. Впервые дипольные вихревые образования (грибовидные течения) были описаны как самостоятельные структуры в работах К.Н, Фёдорова и А.И. Гинзбург [Гинзбург, Фёдоров, 1984 а, б]. Развитие

теории таких течений можно найти в работах [Афанасьев и др., 1989; Афанасьев, Воропаев, 1989 а, б; и др.].

Изучаемая в данной работе задача находится на пересечении задач о взаимодействии вихря с течением и задач о собственной динамике вихря, её ключевой особенностью является то, что она осуществляется преимущественно аналитическими методами. Рассмотрим данное направление более подробно.

Первой неотъемлемой предпосылкой теоретического (аналитического) рассмотрения вихрей в потоках является наличие пригодной для этого математической модели. К началу XX века такая модель уже была - это плоский вихрь Кирхгоффа. Именно на примере вихря Кирхгоффа С.А. Чаплыгин в 1948 изучал деформацию вихря потоком с постоянным сдвигом [Чаплыгин, 1948]. Но океанические вихри существенно трёхмерны и двумерное приближение далеко не всегда хорошо их описывает. Исследование плоского вихря в неоднородном потоке, линейным по координатам осуществил японец С. Кида в 1981 [Kida, 1981]. Он показал, что в этом случае граница вихря имеет три режима поведения: неограниченное вытягивание, нутационное колебание и вращение. Кроме физических результатов им был получен и важный методический результат, а именно была указана система координат в которой удобно рассматривать задачу.

Для количественного, а не только качественного описания океанических вихрей требовалась теория, которая бы учитывала ограниченность вихрей в вертикальном направлении, стратификацию и вращение. Такая теория была создана В.В. Жмуром и его учениками [Жмур, Панкратов 1989] и развита с соавторами [Жмур, Панкратов, 1990 а, б, в; Жмур Щепёткин, 1991, 1992; Zhmur, Рапка^, 1990, 1991; Zhmur, Shcepetkin, 1991 а, Ь]. Подробное описание основных моментов данной теории необходимо для понимания настоящей работы, но дано оно будет несколько позже.

Следует отметить, что исследование вопросов поведения эллипсоидальных вихрей в течениях ведётся не только теоретическими методами, но и методами компьютерного моделирования. Так, например, в работе ^ап^ Dritschel, 2015] рассматривается эллипсоидальный вихрь во вращающейся стратифицированный жидкости за пределами квазигеострофического приближения, для исследуемых вихрей число Россби ~1.

Кроме рассмотренной выше работы Д. Г. Дритчела, следует отметить ряд других его работ [Reinaud, Dritschel, 2019, 2018], посвящённых исследованию устойчивости тороидальных вихрей и слиянию вихрей.

Следует также отметить работу Г.К. Коротаева, вышедшую к пятидесятилетию эксперимента «П0ЛИГ0Н-70» [Коротаев, 2020]. В данной работе динамика вихря рассматривается на ^-плоскости, анализируются данные спутниковых наблюдений, а также

освещается вопрос о времени существования вихрей. В работе отмечается расхождение данных наблюдений с теорией в части оценки времени жизни вихрей. Возможно, это несоответствие удастся объяснить на основе результатов этой работы.

Завершая обзор литературы, следует отдельно обсудить основы теории эллипсоидальных вихрей, предложенной В.В. Жмуром, ввиду их высокой важности для данной работы. Ниже, будет кратко описан вывод системы уравнений, описывающей поведение геострофического эллипсоидального вихря во внешнем потоке. Подробный вывод этой системы можно найти в работе [Жмур, 2010] в параграфе 2.2.

Ключевым допущением и приближением теории эллипсоидальных вихрей является квазигеострофичность, другими словим требуется малость числа Россби

Яо = — << 1 (где и — характерная горизонтальная скорость) и справедливость приближения f-

плоскости. Это означает, что для частиц выполняется закон сохранения потенциальной завихренности (1), записанный ниже в терминах давления р.

5/ 1 \ др д ( 1 \ др д ( 1 \

Т^ьР + дгМ^д*р) + дхду\Аьр + дгТШ* дгР) — аудх\АкР + д*вЧ2д*Р) = 0 (1)

Где, Аь лапласиан по горизонтальным координатам, В - число Бургера, N - частота Вяйсяля-Брента, которая полагается неизменной. Очевидно, что если ввести замену (2),

1

ц = Апр + дг^ц^дгр (2)

др др и учесть, что — есть не что иное, как скорость вдоль оси х, а — — скорость вдоль оси у, то

уравнение (1) примет вид (3), а это ни что иное, как закон сохранения величины, q в явном виде, которая называется потенциальной завихренностью по Россби.

% = 0 (3)

Справедливость приближения /-плоскости означает, что не учитывается ^-эффект. С одной стороны, это приводит к тому, что при описании движения вихря не будет учитываться западный дрейф, что негативно скажется на описании движения вихря в глобальном масштабе: исчезнут волны Россби, излучаемые вихрем во время дрейфа, а также может возникнуть сильное различи между теоретической и реальной траекторией вихря.

С другой стороны, пренебрегая ^-эффектом нарушение баланса слагаемых внутри самого вихря будет не очень сильным. В работе [McWilliams, 1976] показано, что для вихрей открытого

океана из-за значительного фонового горизонтального сдвига (Г~10-6 -н 10-5 -1) локальный

баланс в уравнении переноса вихря таков, что ^-эффект не оказывает значительно влияния. Тут также следует отметить работу К.Н. Фёдорова и А.И. Гинзбург [Fedorov, Ginzburg, 1986],

которые исследуя экспериментальные данные (как натурные, так и лабораторные), показали, что в реальных локализованных вихрях ^-эффект играет существенно меньшую роль, чем нелинейность.

На практике, используемое приближение /-плоскости означает, что данную теорию лучше применять для процессов происходящих в некоторой окрестности вихря (2-3 характерных размера вихря), чем для описания процессов в глобальном масштабе.

Если провести рассуждения, аналогичные излагаемым ниже, для вихря в покоящемся океане, то можно получить функцию угловой скорости вихря (4). Это угловая скорость с которой вращается вихрь в отсутствии внешнего течения.

ш(а,Ъ,с) =

L, .fb.a\.. лЧ( Nc \2. Л <4>

а — у1—у2 Nc [ jldjl

2

X i 1 \ ~ у у

Uy = U°(t)+Y2(t)x-e1(t)y ( )

Где, а,Ъ,с - полуоси ядра вихря эллипсоидальной формы, о — у1 — у2 разница потенциальной завихренности внутри и вне ядра, Подробный вывод формулы (4) можно найти всё в той же работе [Жмур, 2010] в параграфе 1.2.

_> т

Рассмотрим произвольное баротропное течение океана U = (Ux, Uy, 0) . Разложим его в степенной ряд до квадратичных членов, он примет вид (5).

Ux = U°(t) + ei(t)x — Yi(t)y Jy = U°(

Это максимально общая запись плоского, линейного по координатам течения несжимаемой жидкости. Здесь, х,у - неподвижные горизонтальные координаты, вертикальная ось выбрана так, чтобы поверхности моря соответствовало значение z = 0, а направлена она была вниз. Величины U°, Uy, е1, у1, у2 - функции времени. В дальнейшем потребуется, чтобы в течении сохранялась потенциальная завихренность частиц, это налагает на данные функции единственное требование: у1+у2 = const.

Поместим в поток (5) вихрь с ядром полуэллипсоидальной формы. Граница которого при z > 0 задаётся выражением (6).

(х — xo(t))cos0(t) + (у — y0(t))sinO(t)\

F(x,y,z,t) =

a(t) I

2 2 (6) Ш—1=

| f—(x — x0(t))sine(t) + (y — y0(t))cosd(t)\ +/_M2_1 = 0

Ъ(1) ) \с(г),

Где, а,Ъ,с - полуоси, х0,у0, 0 - координаты центра эллипсоида, в - угол наклона оси эллипсоида к оси х. Допустим, что потенциальная завихренность одинакова для всех частиц ядра,

обозначим её о. Постоянство потенциальной завихренности в ядре не является каким-то домыслом или произволом такое свойство было отмечено при исследовании линзы «Шарон» в работе [Rossby, Schults, 1991]. Таким свойством обладали вихревые образования и в арктическом бассейн [Мап1еу, Нипк^, 1985, D'Asaro, 1988].

Решение любой задачи гидродинамики подразумевает решение системы уравнений Навье-Стокса в том или ином приближении. Другими словами, требуется найти поля скоростей, давления и ряда других величин в зависимости от выбранного приближения. И в этом смысле рассматриваемая задача (о поведении эллипсоидального вихря в баротропном потоке) не исключение. Интересующее нас приближение - это приближение Буссинеска. Хорошо известен метод, когда рассматриваемая система обезразмеривается, в результате чего возникает два безразмерных параметра: число Россби-Кибеля и число Бургера. Выполнение условия квазигеострофичности, позволяет рассмотреть число Россби Яо, как малый параметр и разложить в асимптотический ряд по Я о все искомые величины. Формально можно рассмотреть нулевое, первое, второе и т.д. приближения, но если ограничиться только нулевым и первым, то окажется, что для нулевого приближения можно получить уравнение на давление (1), а все остальные неизвестные величины через давление выражаются.

Таким образом, для определения всех представляющих интерес гидродинамических параметров задачи, необходимо в первую очередь определить поле давления р. В рассматриваемой задаче поле давления складывается из невозмущённого поля давления р0 течения (5) и возмущения поля давления вихрем, которое обозначим р-^ Давление р0 определяется из геострофических соотношений и задаётся выражением (7).

р0 = РГ (и°х — и°у — е-ху + П(Х 2+У )) (7)

Для записи уравнения на р1 необходимо воспользоваться законом сохранения потенциальной завихренности (1). Потенциальная завихренность потока есть у1 + у2, а потенциальная завихренность ядра о. Тогда на границе ядра существует скачок потенциальной завихренности о — (у1 + у2). Это позволяет записать уравнение (8) на р1.

( 0, для всех точе вне ядра

{( о — у1 — у2)р[, для всех точе внутри ядра (8)

Также, к (8) следует добавить условие твёрдой крышки на поверхности, которое даст ещё Эр п

одно уравнение — = 0.

Сформулированная задача для р1 эквивалентна задачи о гравитационном поле эллипсоида. Поэтому можно сразу записать её решение. Для точек вне ядра, р1 задаётся функцией (9).

= (о — у1 — у2)рГаЬМс | 1 ((х — х0(1))созв(1) + (у — у0(1))зтв(1))2

4

Г

а2 +(

т \2\

(—(х — ХоЮ^Шф + (у — УоЮ)созв(У)2 {/г)

С2 +(

Ъ2+(

Где Л > 0, является корнем уравнения (10) ((х — хо(О)со50(О + (у — Уо(Ъ)зтв(г)У

/Щ

а2 + Л

(Ы

(—(х — х0(1))5тв(1) + (у — у0(1))со5в(1))2 {/

(И

(10)

=1

Ъ2+Л с2+Л

Если положить Л = 0, то функция (9) будет задавать поле р1 на границе и внутри ядра. Следует отметить, что полученное решение соответствует эллипсоиду, а не полуэллипсоиду т.к. условие твёрдой крышки при = 0 выполняется автоматически.

Теперь, зная давление можно вычислить возмущения поля скорости в течении. Для их оно будет задаваться выражением (11),

о

(у1 + у2) N

— аЪ — с

2

N Г

г!

—(х — х0(^)з1пв(^ + (у — у0(^)со5в(^ йр

Ъ2 + р

(11)

а для иу выражением (12).

и.

о — (у1+у2)М Г —(х — х0(1))зтв(1) + (у — у0(1))созв(1) йр

2

N Г ■аЪ — с !

' х

а2 + р

(12)

На границе рассматриваемого полуэллипсоида (6) должно выполняться кинематическое условие (13).

дР

дР

дР

-д!+(их + их)д^+(иу + иу)д^ = 0

(13)

Используя выражения (5), (6), (11), (12) и выполнив необходимые преобразования условие (13) можно привести к виду (14).

А1х + А2у + А3ху + А4х2 + А5у2 + А6г2 = 0 (14)

Приравнивая к нулю все коэффициенты АI, которые являются выражениями от е 1,у1,у2, а,Ъ, с, в можно получить шесть условий. Из условий на А1и А2можно показать, что центр вихря движется со скоростью внешнего потока. Из оставшихся условий можно поучить четыре соотношения (15).

х

сю

сю

( (ïi - ï2)sin2O\ à = b( -e^oslO +----)

b = al e^oslQ —

(ïi — Ï2)sin2O\

x 2 ) (15)

с = 0

л Г и Л , Ï1+Ï2 à2+b2 ( . __ , (ïl—ï2)cos20\

O = ш(а,Ь,с) +------=-prl e^inlO +----)

2 a2 — b2 \ 2 y

Здесь, точкой обозначена производная по времени, а ш(а,Ь,с) есть угловая скорость вращения эллипсоидального вихря при отсутствии внешнего поля скорости, задаваемая выражением (4). Из данных соотношений видно, что вертикальная полуось не изменяется, а при изменении горизонтальных выполняется соотношение ab = const. Следовательно, площадь произвольного горизонтального сечения вихря не изменяется со временем. Кроме этого, объём вихря тоже неизменен т.к. abc = с ons t.

Введя в рассмотрение две новые величины, относительное удлинение по горизонтали, задаваемое выражением (16)

а b

(16)

и параметр вертикальной сплюснутости ядра К, задаваемый формулой (17),

к - Nc

f^ab

а также учитывая, что с = с ons t систему (15) можно записать в виде (18).

е = 2е e^oslO — е(у1 — y2)sin2d

ё = а(а, Ь.О+ЦИ — + ^ — rt™2") (18)

При наличии течения вида (5) следует ожидать деформацию ядра вихря. Но если предположить, что коэффициенты е 1,у1,у2 не зависят от времени, то тогда можно связать систему координат с центром ядра вихря и повернуть её на угол а так, чтобы у1 = у2. Тогда будут справедливы следующие соотношения (19).

0 , (Y1— y2)cos2a е 1cos2 а +----= 0

(У1—У2)$т2а ( ) е = e^osla-----(19)

Y1 + Y2

Y=—r~

В этой системе координат система (18) примет вид (20).

г = 2еесоз2в

£2 + г ■ ™ (20) а2 — 1'

\в = ш(а) + у — е——-зт2в

Данная система описывает поведение эллипсоидального вихря в баротропном потоке. Учитывая, что мы находимся в системе связанной с центром эллипсоида, а также то, что в любой момент времени вихрь имеет форму эллипса, то для описания его формы достаточно всего двух параметров это угол в и относительное удлинение вихря по горизонтали г = р В основном текст

работы будет произведёт анализ данной системы в результате, которого будет показано, что эллипсоидальный вихрь в баротропном потоке имеет три режима поведения, он может совершать колебание или вращение в горизонтальной плоскости, а также неограниченно вытягиваться.

Цели и задачи диссертации:

1. Дальнейшее развитие теории мезомасштабной изменчивости океана и применения её к реальным условиям атмосферы и океана.

2. Развитие теории эллипсоидальных вихрей, в части определения условий при которых реализуются различные режимы поведения мезомасштабных вихрей океана.

3. Исследование временных характеристик различных режимов поведения мезомасштабных вихрей.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. впервые поставлена и решена задача о различных типах поведения эллипсоидальных вихрей в баротропных течениях.

2. Представлена карта областей поведения эллипсоидальных вихрей в удобных безразмерных координатах.

3. Оценены характерные времена эволюции вихрей на всех режимах поведения.

4. Создана модель Большого Красного Пятна Юпитера, позволившая связать воедино все физические характеристики вихря и потока, в котором он находится.

Научная и практическая значимость. В работе было осуществлено исчерпывающее исследование режимов поведения уединённых эллипсоидальных мезомасштабных вихрей. Что позволило продвинуть теорию эллипсоидальных вихрей. В частности, были получены достаточные условия неограниченного вытягивания мезомасштабных вихрей. На основе чего удалось указать районы Мирового океана, где следует ожидать вытягивание вихрей в вихревые нити. Это позволило лучше понять способы перераспределения энергии в океане по различным масштабам и показать роль вытягивающихся вихрей в динамике океана.

Методология и методы исследования. Данная работа строится в первую очередь на строгой математической формализации задачи и классических, аналитических методах

исследования. Численные методы привлекаются скорее, как технические средства, нежели, как средства анализа результатов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Впервые построена карта областей поведения эллипсоидальных вихрей для произвольного значения параметра вертикальной сплюснутости ядра (обобщена на трёхмерный случай работа С. Кида), и на её основе дана оценка доли вытягивающихся, мезомасштабных вихрей Мирового океана.

2. Показано, что характерное, безразмерное время для всех режимов поведения мезомасштабных вихрей океана одинаково по порядку величины: 1 < et < 10, а размерное время в зависимости от коэффициента деформации е варьируется от нескольких дней до месяца.

3. Построена бароклинная модель Большого Красного Пятна Юпитера, на основе которой рассчитан вертикальный размер вихря, хорошо согласующийся с результатами наблюдений.

4. Предложено объяснение явления возникновения мезомасштабного вихря из филамента, и показано, что в таком процессе вихрь в области состояния максимальной локализации проводит большую часть времени всего своего существования.

Степень достоверности с одной стороны, достоверность результатов обусловлена применяемой методологией исследования, с другой стороны, её достоверность подтверждается согласованием теоретических и экспериментальных данных, представленных в Главе 3. Корме этого, за последние два года материалы исследования докладывались в различных университетах и институтах, а также на международных конференциях.

Основные результаты работы проходили апробацию на следующих научных конференциях и семинарах:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Суетин Борис Павлович, 2023 год

Список литературы

1. Иванов Ю.А., Корт В.Г., Монин А.С. О мезомасштабных неоднородностях океана. // Докл. АН СССР. — 1986. — Т.286, № 3. — С. 706-09.

2. Баранов Е.И. Структура и динамика вод системы Гольфстрима. М.: Гидрометеоиздат,

— 1978. — С. 207.

3. Кошляков М.Н., Грачёв Ю.М. Среднемасштабные течения на гидрофизическом полигоне в тропической Атлантике // Атлантический гидрофизический ПОЛИГОН-70. М.: Наука, — 1974. — С. 163-180.

4. Rossby T. Dynamics of steady ocean in the light of experimental fluid mechanics // Pap. Phys. Oceanogr. Met. — 1936. — Vol. 5, N 1. — P. 26.

5. Spilhaus A.F. A detailed study of the surface layers of the ocean in the nuborhood of the Gulf Stream with the end of rapid measuring hydrographic instruments // J. Mar. Res. — 1940. — Т. 3. — P. 51-75.

6. Штокман В.В., Ивановский И.И. Результаты стационарного изучения течений у западного берег Среднего Каспия // Метеорология и гидрология. — 1937. — №5. — С. 154-160.

7. Озмидов Р.В. Статистические характеристики горизонтальной макротурбулентности в Чёрном море // Тр. ИОАН СССР. — 1962. — Т. 60. — С. 114-129.

8. Штокман В.В., Кошляков М.Н., Озмидов Р.В. и др. Длительные измерения пространственной и временной изменчивости физических полей на океанических полигонах как новый этап в исследовании океана // ДАН СССР. — 1969. — Т. 186, №5.

— С. 1070-1073.

9. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б., Лыкосов В.Н., Бобылева И.М., Галин В.Я., Перов В.Л. Математическая модель общей циркуляции атмосферы и океана // ДАН СССР. — 1980. — Т. 253, — № 3, С. 577-581.

10. Ушаков К.В., Ибраев Р.А., 2019. О роли вихрей в глобальном меридиональном переносе тепла океана // Доклады академии наук. — 2019. — Т. 486, № 2. — C. 243246.

11. Krinitskiy M., Verezemskaya P., Elizarov S., Gulev S. Machine learning method for the detection of polar lows in satellite mosaics: major issues and their solutions // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. — 2020. — T. 606. — С. 012025-012025.

12. Иванов А. Ф., Парамонов А.Н. Эволюция индивидуального циклонического вихря // Синоптические вихри в океане. Киев: Наук. думка. — 1980. — С. 107-114.

13. Григорьев А.В., Иванов В.А., Кубряков А.И., Шапиро Н.Б. Антициклонический вихрь рингового типа на свале глубин северо-западной части Чёрного моря // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. Сб. научн. Трудов МГИ НАН Украины: - Севастополь. — 2001. — С. 57-61.

14.ЖурбасВ.М., ОхИ.С., ПакаВ.Т. Генерация мезомасштабных циклонических вихрей в Балтике при затоках североморских вод // Океанология. — 2002. — Т.42. — № 6. — С. 805-814.

15. Зацепин А.Г., Завьялов П.О., Баранов В.И., Кременецкий В.В., Недоспасов А.А., Поярков С.Г., Очередник В.В. О ветровом механизме трансформации линзы опреснённых речным стоком вод в Карском море // Океанология. — 2017. — Т. 57, № 1. — С.5-12.

16. Козлов В.Ф., Макаров В.Г., Соколовский М.А. Численная модель бароклинной неустойчивости осесимметричных вихрей в двухслойном океане // Изв. АН СССР. ФАО. — 1986. — Т. 22. — С. 868-874.

17. Сутырин Г.Г. Каким образом океанические вихри могут быть столь долгоживущими // Морской гидрофизический журнал. — 2020. — Т. 36, № 6. — С. 740-756.

18. Анисимов М.В, Дианский Н.А. Физический механизм западного дрейфа рингов фронтальных течений в океане // Океанология. — 2008. — Т. 48, № 3. — С. 325-332.

19. Резник Г.М. Динамика локализованных вихрей на бета-плоскости // Изв. РАН. ФАО.

— 2010. — Т. 46, № 6. — С. 846-860.

20. Каменкович В.М., Ларичев В.Д., Харьков Б.В. Бароклинная квазигеострофическая модель для анализа синоптических вихрей в открытой облатси океана // Океанология.

— 1981. — Т. 21. — С. 949-958.

21. Жмур В.В. Мезомасштабные вихри океана. - М.: ГЕОС. — 2011. - С. 290.

22. Рыжов Е.А., Кошель К.В. Вентилирование области топографического вихря захваченным свободным вихрем // Изв. РАН. ФАО. — 2011. — Т. 47. — С. 845-857.

23. Коротенко К.А. Моделирование мезомасштабной циркуляции Черного моря // Океанология. — 2015. — Т. 5, № 6. — С. 909-915.

24. Козлов В.Ф., Ярщук Е.В. Численное моделирование структурных переходов в плоском сдвиговом слое // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1986. — Т. 5. — С. 43-46.

25. Гинзбург А.И., Фёдоров Л.Н. Эволюция течений в океане // Докл. АН СССР. — 1984а.

— Т. 276, вып. 2. — С. 481-484.

26. Гинзбург А.И., Фёдоров Л.Н. Грибовидные течения в океане (по данным анализа спутниковых изображений) // Исследование Земли из космоса. — 1984. — Т. 3. — С. 18-26.

27. Афанасьев Я.Д., Воропаев С.И. Спиральная структура грибовидных течений в океане // Докл. АН СССР. — 1989а. — Т. 308, вып. 1. — С. 179-183.

28. Афанасьев Я.Д., Воропаев С.И. Модель грибовидных течений в стратифицированной жидкости при кратковременном воздействии источника импульса // Изв. АН СССР. ФАО. — 1989б. — Т. 25, вып. 8. — С. 843-851.

29. Афанасьев Я.Д., Воропаев С.И., Филиппов И.А. Модель грибовидных течений в стратифицированной жидкости при непрерывном воздействии источника импульса // Изв. АН СССР. ФАО. — 1989. — Т. 25, вып. 7. — С. 741-750.

30. ЧаплыгинА.С. Собрание сочинений. Т. 2. М.: Гостехиздат. — 1948. — С. 643.

31. Kida S. motion of an Elliptic Vortex in Uniform shear. flow // J. phys. Soc. Japan. — 1981.

— Т. 50, вып. 10. — С. 3517-3520.

32. Жмур В.В., Панкратов К.К. Динамика эллипсоидального приповерхностного вихря в неоднородном потоке // Океанология. — 1989. — Т. 29, вып. 2. — С. 205-211.

33. Жмур В.В., Панкратов К.К. Динамика мезомасштабного вихревого образования в поле течения крупного интенсивного вихря // Океанология. — 1990а. — Т. 30, вып. 2. — С. 170-178.

34. Жмур В.В., Панкратов К.К. Стационарные квазигеострофические вихри с неоднородным распределением потенциальной завихренности в ядре // Океанология.

— 1990б. — Т. 30, вып. 3. — С. 378-385.

35. Жмур В.В., Панкратов К.К. Дальнее взаимодействие ансамбля квазигеострофических эллипсоидальных вихрей. Гамильтонова формулировка // Изв. АН СССР. ФАО. — 1990в. — Т. 26, вып. 9. — С. 972-981.

36.ЖмурВ.В. ЩепёткинА.Ф. Эволюция эллипсоидального вихря в стратифицированном океане в приближении f-плоскости // Изв. АН СССР. ФАО. — 1991. — Т. 27, № 5. — С. 492-503.

37.Жмур В.В. Щепёткин А.Ф. Взаимодействие двух бароклинных вихрей. Тенденция к сближению и слиянию // Изв. АН СССР. ФАО. — 1992. — Т. 28, № 5. — С. 538-511.

38. Zhmur V.V., Pankratov K.K. A dynamics of vortices with ellipsoidal form of a core in stratified ocean. Fifth colloquium on the Modelling of oceanic vortices. — 1990.

39. Zhmur V.V., Pankratov K.K. A dynamics of desinglarized quasigeostrophic vortices // Physics of Fluids A. Fluid Dynamics. — 1991. — Т. 3, № 5. — С. 1464.

40. Zhmur V.V., ShchepetkinA.F. Nonlinear evolution of quasigeostrophic vortices in horizontal and vertical shear flows in stratified ocean // IAMAP Symposium. — 1991. — № 6. — С. 103.

41. Zhmur V.V., Shchepetkin A.F. Interaction of baroclinic quasigeostrophic vortices in a continuously stratified ocean // IAMAP Symposium. — 1991. — № 6. — С. 104.

42. Tsang, Yue-Kin, Dritschel, D.G. Ellipsoidal vortices in rotating stratified fluids: beyond the quasi-geostrophic approximation // Journal of Fluid Mechanics. — 2015. — Т. 762. — С. 196-231.

43. Reinaud J.N. Dritschel, D.G. The stability and nonlinear evolution of quasi-geostrophic toroidal vortices // Journal of Fluid Mechanics. — 2019. — Т. 863. — С. 60-78.

44. Reinaud J.N. Dritschel, D.G. The merger of geophysical vortices at finite Rossby and Froude number // Journal of Fluid Mechanics. — 2018. — Т. 848. — С. 388-410.

45. Коротаев Г. К. Структура и кинематика синоптических вихрей в океане: теория и современные наблюдения // Морской гидрофизический журнал. — 2020. — Т. 36, № 6. —С. 757-780.

46. McWilliams T.C. Maps from the Mid-Ocean Dynamics Experimental: Part I. Geostrophic streamfunction // J. Phys. Oceanogr. —1976. — Т. 6, № 6. — С. 810-827.

47. McWilliams T.C. Maps from the Mid-Ocean Dynamics Experimental: Part II. Potential vorticity and its conservation // J. Phys. Oceanogr. — 1976. — Т. 6, № 6. — С. 828-861.

48. Fedorov K.N., GinsburgA.I. «Mashroom-like» currents (vortex dipoles) in the ocean and in a laboratory tank // Annales Geophys. —1986. — Т. 4В, 5. — С. 507-516.

49. Rossby T, Schults T.K. Kinematic and dynamics of Mediterranean Salt lens // J. Physical oceanogr. — 1991. — Т. 21, № 5. — С. 79-892.

50. Manley T.O., HunkinsK. Mesoscale eddies of arctic ocean // J. Geopliys. Res. —1985. — Т. C3, № 90. — С. 4911-4930.

51. D'Asaro E.A. Observation of small eddies in the Beaufort Sea // J. Geopliys. Res. — 1988. — Т. 93, № 66. — С. 6669-6684.

52. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. - 6-е изд. дополн. - М.: МЦНМО, 2012. -XVIII+703c.

53. Жмур В.В. Мезомасштабные вихри океана // Москва: ГЕОС, 2011. - 384 с.

54. Зинченко В. А., Гордеева С. М., Собко Ю. В., Белоненко Т. В. Мезомасштабные вихри Лофотенской котловины по спутниковым данным // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. — 2019. — № 12 (3). — С. 46-54. — DOI: 10.7868/S2073667319030067.

55. Belonenko T. V., Zinchenko V. A., Fedorov A. M., Budyansky M. V., Prants S. V., Uleysky M. Y. Interaction of the Lofoten Vortex with a Satellite Cyclone // Pure and Applied Geophysics. — 2021. № 178. — С. 287-300. — DOI: 10.1007/s00024-020-02647-1.

56. Fedorov A. M., Belonenko T. V. Interaction of mesoscale vortices in the Lofoten Basin based on the GLORYS database // Russian Journal of Earth Sciences. — 2020. — № 20. —С. ES2002. — DOI: 10.2205/2020ES000694.

57. Gordeeva S. M., Zinchenko V. A., Koldunov A. V., Raj R. P., Belonenko T. V. Statistical analysis of long-lived mesoscale eddies in the Lofoten basin from satellite altimetry // Advances in Space Research. — 2020. — № 68 (2). — С. 364-377. — DOI: 10.1016/j.asr.2020.05.043.

58. Жмур В.В, Белоненко Т.В., Новосёлова Е.В., Суетин Б.П. // Условия трансформации мезомасштабного вихря в субмезомасштабную вихревую нить при вытягивании его неоднородным баротропным потоком // Океанология. - 2023а, — Т. 63, №2. — С. 200210.

59. Жмур В.В, Белоненко Т.В., Новосёлова Е.В., Суетин Б.П. // Приложение к реальному океану теории трансформации мезомасштабного вихря в субмезомасштабную вихревую нить при вытягивании его неоднородным баротропным течением// Океанология. - 2023б, — Т. 63, № 2. — С.211-223.

60. Суетин Б.П., Жмур В.В., Чхетиани О.Г. // Бароклинная модель Большого Красного Пятна Юпитера// Изв. РАН. ФАО. — 2023. — №3. — С.286-298.

61. Sushil Shetty, Philip S. Marcus Changes in Jupiter's Great Red Spot (1979-2006) and Oval BA (2000-2006) // Icarus. — 2010. — Т. 210, № 1. — С. 182-201.

62. MichaelH. Wong, Philip S. Marcus Evolution of the Horizontal Winds in Jupiter's Great Red Spot From One Jovian Year of HST/WFC3 Maps // AGU Research letter. — DOI: 10.1029/2021GL093982.

63. Peter L. Read, Peter J. Gierasch. Mapping potential-vorticity dynamics on Jupiter. II: the Great Red Spot from Voyager 1 and 2 data // Q.J.R. Meteorol. Soc. — 2006. — Т. 132. — С. 1605-1625.

64. David S. Choi, Don Banfield Velocity and vorticity measurements of Jupiter's Great Red Spot using automated cloud feature tracking // Icarus. — 2007. — Т. 188. № 1. — С. 35-46.

Приложение А. Классы эквивалентности картин в случае вихря

Кирхгофа

При изучении множества картин интегральных кривых, задаваемых уравнением (А.1),

£ у£ — 1 £ /(£ + 1)2\

г = ^-7б + 1-т +—п-гЫ , ) (А.1)

£2 — 1 а£ + 1£2 — 1\4£'

У

и порождаемое изменением параметра - в пределах от —ю до +ю, возникла задача их

классификации. Для этого в §1 были определены классы эквивалентности кривых Ь^ и классы эквивалентности картин интегральных кривых . Данное приложение содержит результаты такой классификации:

у

• Разбиение прямой параметра - на подмножества, каждое из которых соответствует своему классу эквивалентности картин. Рисунок А1.

• Описание всех, возникающих классов эквивалентности картин интегральных кривых. Рисунки А.2-А.5.

• Описание всех, возникающих классов эквивалентности кривых. Таблица А.5. Следует отметить, что, во-первых, на Рисунках А.2-А.5 отсутствуют численные значения

по координатным осям, это объясняется тем, что на рисунках изображены классы эквивалентности, а не конкретные представители этих классов. На этих рисунках вертикальная пунктирная линяя задаётся уравнением £ = 1, ось абсцисс обозначена сплошной серой линией, а асимптота к которой стремятся все кривые задана красным пунктиром. Во-вторых, под каждым рисунком находится таблица в которой содержатся описание классов эквивалентности кривых, присутствующих на картине. Сведение этих таблиц в одну Таблицу А.5 по сути есть предъявление всех классов эквивалентности кривых, возникающих в задаче.

Т у

-0.25 0 -

^ у

Рисунок А1. Разбиение прямой параметра - на подмножества, каждое из которых соответствует своему классу эквивалентности картин

-у

На рисунке А1 видно, что ось параметра - разбивается на четыре непересекающихся

подмножеств:

у

£7

- < -0.25. Рисунок А.2.

• 0.25 < ^ < 0. Рисунок А.З.

• у = 0. Рисунок А.4.

• у > 0. Рисунок А.5.

у

С формальные точки зрения точку - = 0 нельзя выделять в отдельный класс

эквивалентности, это следует из того, как эти класс были определены, но эта точка весьма важна для исследования, поэтому она рассмотрена отдельно. На Рисунке А.4, который ей соответствует не отмечена асимптота т.к. она совпадает с осью абсцисс.

В таблице А.1 описаны, присутствующие на рисунке А.2, классы эквивалентности кривых.

Li lim e^l-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

l4 — от 0 — 1 +/—

L1 0 0 — 0 —

L13 + от 1 0 —

Таблица А.1. Классы эквивалентности кривых, присутствующих на рисунке А.2

Рисунок А.3. Класс эквивалентности картин при -0.25 0

В таблице А.2 описаны, присутствующие на рисунке А.2, классы эквивалентности кривых.

Li lim e^l-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

L4 — от 0 — 1 +/—

Ls — от 1 1

L7 — от 2 1

L2 0 1 1

Lii +от 1 2

Ll2 + от 1 1

L13 + от 1 0 —

Таблица А.2. Классы эквивалентности кривых, присутствующих на рисунке А.3

У

Рисунок А.4 Класс эквивалентности картин при - = 0

В таблице А.3 описаны, присутствующие на рисунке А.4, классы эквивалентности кривых.

Нт £^1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿6 — от 1 —/+ 1 +/—

¿3 0 0 + 1

¿8 0 + 2

¿9 0 + 1

¿10 0 + 0 —

Таблица А.3. Классы эквивалентности кривых, присутствующих на рисунке А.4

Рисунок А.5. Класс эквивалентности картин при у > 0

В таблице А.4 описаны, присутствующие на рисунке А.5, классы эквивалентности кривых.

¿1 Нт £^1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿6 — от 1 —/+ 1 +/—

¿3 0 0 + 1

¿8 + от 0 + 2

¿9 + от 0 + 1

¿10 + от 0 + 0 —

Таблица А.4. Классы эквивалентности кривых, присутствующих на рисунке А.5

Теперь сведём все перечисленные классы эквивалентности кривых в единую таблицу А.5.

Li lim e^i-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

Li 0 0 — 0 —

L2 0 1 1

L3 0 0 + 1

L4 — от 0 — 1

Ls —от 1 1

Le —от 1 1

L7 —от 2 1

Ls +от 0 + 2

l9 +от 0 + 1

L10 +от 0 + 0 —

Lii +от 1 2

L12 +от 1 1

L13 +от 1 0 —

Таблица А.5. Классы эквивалентности кривых, возникающих в случае Кирхгофа

Приложение Б. Классы эквивалентности картин в случае эллипсоидального вихря

При изучении множества картин интегральных кривых, задаваемых уравнением (В.1),

■¡2

£ 7 £ — 1 £ Г Д2 — 1 К Г Д^Д

У = ^-+---7 + -7 I -^—ТТ I . ^Д

г2 —1 аг + 1 £2 — 1) Д2 2) ^ ^ (Б1)

1 0 |(Д2 + (Д + 1)Д + 1) (К2+Д)

У

и порождаемое изменением параметров - и К в пределах от —от до +от, возникла задача их классификации. Для этого в §1 были определены классы эквивалентности кривых и классы эквивалентности картин интегральных кривых Х. Данное приложение содержит результаты такой классификации:

У

• Разбиение плоскости параметров (К, -) на подмножества, каждое из которых соответствует своему классу эквивалентности картин. Рисунок Б1.

• Описание всех, возникающих классов эквивалентности картин интегральных кривых. Рисунки Б.2-Б.9.

• Описание всех, возникающих классов эквивалентности кривых. Таблица Б9. Прежде, чем перейти к представлению результатов необходимо сделать несколько

поясняющих комментариев.

Во-первых, на рисунке Б1 рассматривается только правая полуплоскость т.к. физический смысл имеют только К > 0. Но исследование, проделанное в §3 позволяет без труда осуществить разбиение всей плоскости.

Во-вторых, на Рисунках Б.2 - Б.9 отсутствуют численные значения по координатным осям, это объясняется тем, что на рисунках изображены классы эквивалентности, а не конкретные представители этих классов.

В-третьих, под каждым рисунком находится таблица в которой содержатся описание классов эквивалентности кривых, присутствующих на картине. Сведение этих таблиц в одну таблицу Б.9 по сути есть предъявление всех классов эквивалентности кривых, возникающих в задаче.

со

У

Рисунок Б.1. Плоскость параметров (К, -), разделённая на области, каждой из которых соответствует свой класс эквивалентности картин На рисунке Б.1 видно, что плоскость параметров (К, -) разбивается на восемь непересекающихся подмножеств:

• точка (0, 0). Обозначен сиреневым цветом. Соответствующая картина

интегральных кривых представлена на Рисунке Б.2.

У

• К2: интервал К = 0, - £ (0, +от). Обозначен чёрным цветом. Соответствующая картина интегральных кривых представлена на Рисунке Б.3.

• К3: область первой четверит, лежащая между осью ординат и кривой /3+. Обозначена коричневым цветом. Соответствующая картина интегральных кривых представлена на Рисунке Б.4.

• К4: кривая р+ = Р+(К), выходящая из начала координат и строго монотонно

У

стремящаяся к горизонтальной асимптоте - « 3.863. Обозначена синим цветом. Соответствующая картина интегральных кривых представлена на Рисунке Б.5.

• Х5: область первой четверит между кривой р+ и осью абсцисс. Обозначена жёлтым цветом. Соответствующая картина интегральных кривых представлена на Рисунке Б.6.

У

• К6: интервал К £ (0,+от), - = 0. Обозначен красным цветом. Соответствующая картина интегральных кривых представлена на Рисунке Б.7.

• Х7: область между осью абсцисс и кривой /_. Обозначена зелёным цветом. Соответствующая картина интегральных кривых представлена на Рисунке Б.8.

• Х8: область четвёртой четверти между кривой /_ = /_(К) и осью ординат, включающая, как кривую /_, так и отрицательные значения оси ординат. Кривая /_ =

у

/_(К), выходит из начала координат и строго монотонно стремится к асимптоте - =

0,25. Обозначена оранжевым цветом. Соответствующая картина интегральных кривых представлена на Рисунке Б.9.

у

С формальные точки зрения интервал К £ (0, +от), - = 0 нельзя выделять в отдельный

класс эквивалентности, это следует из того, как эти класс были определены, но этот интервал весьма важен для исследования, поэтому она рассмотрена отдельно. На Рисунке Б.7, который ему соответствует не отмечена асимптота т.к. она совпадает с осью абсцисс.

На Рисунках Б.2 - Б.8 изображена плоскость (г, 5ш2б) чёрная пунктирная линяя соответствует вертикальной асимптоте £ = 1, красная пунктирная линяя соответствует асимптоте, серя горизонтальная линяя обозначает ось абсцисс.

Рисунок Б.2 Класс эквивалентности картин соответствующий X В таблице Б.1 описаны, присутствующие на рисунке Б.2, классы эквивалентности кривых.

¿1 Нт Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿11 — от 0 — 0 +

¿1 0 + от 0 0

¿18 0 + 0 —

Таблица Б.1. Классы эквивалентности кривых, представленные на рисунке Б.2

Рисунок Б.3 Класс эквивалентности картин соответствующий Ж2

В таблице Б.1 описаны, присутствующие на рисунке Б.2, классы эквивалентности кривых.

Нт £^1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿8 — от 1 —/+ 0 +

¿3 0 0 + 0 +

¿16 + от 0 + 1

¿18 + от 0 + 0 —

Таблица Б.2. Классы эквивалентности кривых, представленные на рисунке Б.3

Рисунок Б.4 Класс эквивалентности картин соответствующий Ж3

В таблице Б. 1 описаны, присутствующие на рисунке Б.2, классы эквивалентности кривых.

к Нш £->1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿8 — 00 1 -/+ 0 +

¿3 0 0 + 0 +

¿16 + 00 0 + 1 -/+

¿15 + 00 0 + 2

¿17 + 00 0 + 1 -/-

¿18 + 00 0 + 0 —

Таблица Б.З. Классы эквивалентности кривых, представленные на рисунке Б.4

Рисунок Б.5 Класс эквивалентности картин соответствующий Х4

В таблице Б.1 описаны, присутствующие на рисунке Б.2, классы эквивалентности кривых.

¿1 Нт £^1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿8 — от 1 —/+ 0 +

¿3 0 0 + 0 +

¿15 + от 0 + 2

¿17 + от 0 + 1

¿18 + от 0 + 0 —

Таблица Б.4. Классы эквивалентности кривых, представленные на рисунке Б.5

Рисунок Б.6 Класс эквивалентности картин соответствующий Ж5

В таблице Б. 1 описаны, присутствующие на рисунке Б.2, классы эквивалентности кривых.

к Нш £->1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿8 — 00 1 -/+ 0 +

¿7 — 00 1 -/+ 1

¿4 0 0 + 1

¿15 + 00 0 + 2

¿17 + 00 0 + 1 -/-

¿18 + 00 0 + 0 —

Таблица Б.5. Классы эквивалентности кривых, представленные на рисунке Б.6

Рисунок Б.7 Класс эквивалентности картин соответствующий Кв

В таблице Б. 1 описаны, присутствующие на рисунке Б.2, классы эквивалентности кривых.

к Нш £->1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿8 — 00 1 -/+ 0 +

¿7 — 00 1 -/+ 1

¿4 0 0 + 1

¿15 + 00 0 + 2

¿17 + 00 0 + 1 -/-

¿18 + 00 0 + 0 —

Таблица Б.6. Классы эквивалентности кривых, представленные на рисунке Б.7

Рисунок Б.8 Класс эквивалентности картин соответствующий Ж7

В таблице Б. 1 описаны, присутствующие на рисунке Б.2, классы эквивалентности кривых.

к Нш £->1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿11 — 00 0 — 0 +

¿10 — 00 0 — 1

¿7 — 00 1 1

¿6 — 00 2 1

¿2 0 1 1

¿12 + 00 1 2

¿13 + 00 1 1 -/-

¿14 + 00 1 +/- 0 —

Таблица Б.7. Классы эквивалентности кривых, представленные на рисунке Б.8

Рисунок Б.9 Класс эквивалентности картин соответствующий Ж8

В таблице Б.1 описаны, присутствующие на рисунке Б.2, классы эквивалентности кривых.

Нт £^1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿11 — от 0 — 0 +

¿10 — от 0 — 1

¿5 0 0 — 0 —

¿14 + от 1 0 —

Таблица Б.8. Классы эквивалентности кривых, представленные на рисунке Б.9

Теперь сведём все перечисленные классы эквивалентности кривых в единую таблицу Б.9.

Нт £^1-0 Число нулей функции Знаки функции Число нулей производной Знаки производной

¿1 0 + от 0 +от 0

¿2 0 1 +/— 1 +/—

¿3 0 0 + 0 +

¿4 0 0 + 1

¿5 0 0 — 0 —

¿6 —от 2 1

¿7 —от 1 1

¿8 — от 1 0 +

¿9 — от 1 1

¿10 — от 0 — 1

¿11 — от 0 — 0 +

¿12 + от 1 2

¿13 + от 1 1

¿14 + от 1 0 —

¿15 + от 0 + 2

¿16 + от 0 + 1

¿17 + от 0 + 1

¿18 + от 0 + 0 —

Таблица Б.7. Классы эквивалентности кривых, представленные на рисунке Б.8