Гладкость сумм кратных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Антонов, Алексей Петрович

• Антонов, Алексей Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Антонов, Алексей Петрович

1. Введепне

1.1. Исторня вопроса

1.2. Постановка задачн

2. Вспомогательные результаты. Нормы некоторыхтригонометрическнх нолиномов в прострапствах L

3. Обобщение теоремы Конюшкова в пространствах

3.1. Случай сметанного модуля непрерывности 2G

3.2. Случай нолного модуля непрерывностн

4. Многомерный аналог теоремы Лоренца

4.1. Случай сметанного модуля ненрерывностн

4.2. Случай полного модуля ненрерывностн

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гладкость сумм кратных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами»

1.1. История вопроса Работа посвящена изучению взаимосвязи новедения коэффициентов тригонометрических рядов многих неремеиных и гладкости сумм этих рядов внространствах Ц и Вначале введем некоторые обозначення.Тогда uj{6) называется модулем ненрерывностн.Пусть Г.,„ — множество всех т - мерных векторов из О и 1. Если 77/7,Г/,/,, 7 = (7ь • • •, 7т), то положим |7| = Zl7(- Обозначим(=1Ai(/, X, h)= 5 ] (Определение 3, Пусть функция /(х) £ Lp(T'"), 1 < р < оо, где Ь^ о = В тех случаях, когда вид вектора а ясен из контекста, будем обозначатьих Lip(a, р) и Lip(a;) соответственно.Кроме того, можно ввестн понятие полного модуля непрерывности.Одномерные классы П^ рассмат]:)нвалнсь П. Л. Ульяновым в работе [11|,В тех случаях, когда смешанный модуль непрерывности не доиускаеттпредставления a;(^i, , . . , 5„г) = YI ^i{^j)-> будем называть его смешанныммодулем ненрсрывностн обш,его вида.Сиравед,л11ва следующая теорема, доказаниая Харди и Литтльвудо.м.Теорема А.а) Пуетъ функция f {yi) имеет, ряд Фурье ^ an{f)e^^^- Тогда если 1 <I I G N ' "р<2и /(х) Е ЬДГ"), то56) Пусть 2 < р < оо и числа {«п}пе№" таковы, чтоVтогда найдется /(х) £ Lp(T'"') такая, что для любого п 6= «п и ||/||р < с(р, m)Jp{a).Для m = 1 докагттельство этой теоремы можно найти в кииге [6], а длят > 1 его можно получнть нрихменением иидукции.Кроме того Хардп и Лнттльвуд заметили, что в одномерном случае, длясорядов ^ а„е''"'''', где ai > ^2 ^ • • • > О, а,( —> О при п —> оо справедлнв п• « = 1более сильный результат, а пменно : с учетом выше перечисленных условийдля того, чтобы f{x) G Lp(T), 1 < р < оо, необходимо и достаточно,чтобы выполнялось условиесоЫ''^ < 00.Для кратного случая возможны разлнчиые онределення монотонностн.Ряды с коэффициентами, монотонными но Хардн являются достаточноузким классом рядов. Например, сферическое ядро Дирихле ненринадлежит этому классу.Утверждение теоремы Дьяченко было обобщено Драгошанским иаанизотронный случай.Теорема (Драготапский [4]). Пусть размерность т — 2, а вектор р =[Vi: Vi) • ide Pi, p2 > 1, таков, что дляр = max{pi, р2, 2} справедливонеравенст,во— 4 :с < 0.Pi Р2 РТогда для любого полиномаQ(x) =(Щ, П2)-(1, 1)С коэф)ф)ициентами а^, монотонно убывающими по каэ/сдому направлению,справедлива оценка| |Q(x)||p<c(p)Jp(a), где9Также верны обратные теоремы. ЫаиримерТеорема (Дьяченко [13]). Пуетъ т > 2, I < р < оо, /(х) Е Lp(T™)00и ^ а„е'"^ — её ряд Фурье, и коэффициенты монотонно убывают по11=1каэюдому направлению. Тогда0 0Позднее Нурсултанов [9] обобщил этот результат на более пифокийкласс рядов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Антонов, Алексей Петрович, 2007 год

1. Н. К. Бари, Б. С. Стечкин Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций, Тр. Моск. матем. о-ва, Д'а5 (1956), стр. 486 - 522.

2. II. К. Бари Тригонометрические ряды, Москва, "Физматгиз" (1961).

3. Т. М. Вуколова, М. И. Дьяченко Оценки норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно монотонными коэффициентами, Изв. ВУЗ (серия Математика), №7 (1994), стр. 20 28.

4. О. С. Драгошанский Анизотропные нормы ядер Дирихле и некоторые другие нормы тригонометрических полиномов, Мат. Заметки, том G7, выпуск 5 (2000), стр. 686 701.

5. М. И. Дьяченко Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах L/;, Мат. Сборник, том 184, №3 (1993), стр. 3 20.

6. А. Зигмунд Тригонометрические ряды, Москва, "Мир" (1965), том 2.

7. А. А. Конюшков О классах Липшица, Изв. Ак. Наук СССР, №21 (1957), стр. 423 448.

8. С. М. Никольский Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва, "Наука" (1977).

9. Е. Д. Нурсултанов О коэффициентах кратных рядов Фурье из Lv пространств, Изв. РАН (серия Математика), том 64, № 1 (2000), стр. 95 122.10J А. Ф. Тиман Теория приближений функций действительного переменного, Москва, "Физматгиз" (1960).

10. Г1. Л. Ульянов Вложение некоторых классов функций Щ, Изв. Ак. Наук СССР, №32 (1968), стр. 649 686.

11. П. Л. Ульянов О некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов, Успехи матем. наук, .№8 (1953), выпуск 6, стр. 133 141.

12. М. I. D'jachenko Multiple trigonometric scries with lexicographically monotone coefficients, Anal Math., том 16, выпуск 3 (1990). стр. 173 190.

13. G. G. Lorcntz Fourier-Koeffizienten unci Funktionenklassen, Math. Z., том 51, №2 (1948), стр. 135 149.

14. F. Moricz On double cosine, sine and Walsh series with monotone coeffitiens, Proc. Amer. Math. Sci., том 109, №2 (1990), стр. 417 435.

15. А. П. Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Изв. вуз. Матем. 2007. А"24. стр. 21 29.

16. А. П. Антонов Гладкость сумм двойных тригонометрическихрядов с монотонными коэффициентами, Вести. Моск. ун та. Матем. Механ. 2004. .V5. стр. 26 - 33.

17. Л. П. Антонов О классах И ИШи Wm для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Материалы международной конференции "Теория функций и вычислительные методы", Астана, 2007. стр. 35 37.

18. А. П. Антонов О классах Lip(a, р) для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Материалы Воронежской зимней школы, Воронеж, 2007. стр. 12 -13.

19. А. П. Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Тезисы докладов 13 й Саратовской зимней школы, Саратов, 2006. стр. 15 - 16.

20. А. П. Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского, Том 23, Казань, 2004. стр. 79 80.