Голографическое описание топологических дефектов и термализация сильновзаимодействующих квантовых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Храмцов Михаил Александрович

  • Храмцов Михаил Александрович
  • кандидат науккандидат наук
  • 2019, ФГБУН Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
  • Специальность ВАК РФ01.04.02
  • Количество страниц 185
Храмцов Михаил Александрович. Голографическое описание топологических дефектов и термализация сильновзаимодействующих квантовых систем: дис. кандидат наук: 01.04.02 - Теоретическая физика. ФГБУН Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук. 2019. 185 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Храмцов Михаил Александрович

ла

1.1. Введение

1.2. Общая постановка задачи и формализм

1.3. Предписание ОКРШ для AdSз со статической частицей

1.4. Сравнение предписания ОКРШ для конического дефекта в AdS3 с геодезическим методом изображений. Случай целого 1 ¡А

1.5. Сравнение предписания ОКРШ для конического дефекта в AdS3 с геодезическим методом изображений. Случай нецелого 1 ¡А

1.6. Обсуждение

Глава 2. Улучшенный метод изображений для голографического описания

конических дефектов

2.1. Введение

2.2. Предварительные сведения

2.3. Предписание для двухточечной корреляционной функции

2.4. Обобщения метода изображений

2.5. Обсуждение

Глава 3. Термализация после голографического билокального квенча

3.1. Введение

3.2. Голографический двойник для билокального квенча

3.3. Геодезические в AdS3 со сталкивающимися частицами

3.4. Релаксация зацепленности к равновесию

3.5. Термализующиеся корреляторы

3.6. Обсуждение

Глава 4. Реплика-недиагональные решения в модели Сачдева-Йе-Китаева

4.1. Введение

4.2. Предварительные сведения и определения

4.3. Недиагональные седловые точки в модели с д =

4.4. Точные недиагональные седловые точки в БУХ при д = 4: численное исследование

4.5. Реплика-недиагональные решения в пределе сильной связи

4.6. Первый шаг нарушения симметрии реплик

4.7. Некоторые следствия факторизованных решений

4.8. Обсуждение

Приложение А

A.1. Перенормировки отображенных геодезических в пространстве AdSз с частицей

Приложение Б

Б.1. Геодезические и изометрии в глобальных координатах

Б.2. Геодезические в геометрии BTZ

Б.3. Лоренцевы корреляторы в термоднамическом равновесии

Приложение В

B.1. Матрицы Паризи

В.2. Действие на реплика-недиагональных решениях при конечном М

Список литературы

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Теоретическая физика», 01.04.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Голографическое описание топологических дефектов и термализация сильновзаимодействующих квантовых систем»

Введение

Современная квантово-полевая картина мира на основе стандартной модели физики элементарных частиц с высокой точностью описывает широчайший спектр явлений. Однако, имеется ряд проблем, систематическое теоретическое описание которых трудно осуществить в рамках традиционной квантовой теории поля в режиме слабой связи [1-3], когда можно было бы использовать методы теории возмущений. Исследования в рамках данной диссертации касаются двух из таких проблем.

Первой проблемой является описание неравновесного поведения квантовых систем в режиме сильной связи, в частности, термализация замкнутых квантовых систем [4-7]. Процесс термализации составляет основу большого количества явлений в квантовых и классических системах в различных областях физики. Наиболее яркими примерами являются космология ранней Вселенной [8-10], образование кварк-глюонной плазмы при столкновениях тяжелых ионов в экспериментах на ускорителях в CERN, RHIC и будущем NICA [11-13], физика сильнокоррелированных холодных атомов [14, 15]. Было установлено, что термализация замкнутых квантовых систем неразрывно связана с понятием квантового хаоса [5]. До недавних времен не было подхода, позволявшего бы производить исследования общих закономерностей термализации, за пределами отдельно взятых кван-товомеханических моделей.

Второй проблемой является информационный парадокс черных дыр и поиск его разрешения в квантовой гравитации [16-19]. Из-за того, что область под горизонтом событий черной дыры недоступна для внешних наблюдателей, обычными методами КТП нельзя проследить факт сохранения унитарности после испарения черной дыры. Информационный парадокс является более частной проблемой, чем термализация квантовых систем. Но эта проблема является крайне остро поставленной, поскольку она демонстрирует несогласованность квантовой теории поля с теорией гравитации на классическом уровне.

Голографический подход, который активно развивается последние двадцать лет, позволил связать аспекты этих двух проблем из, казалось бы, мало связанных областей физики между собой. Голографическая дуальность заключается в непертурбативном соответствии между физическими величинами в квантовой теории гравитации в (d + 1) мерном искривленном пространстве (балке) с величинами в квантовой теории поля в режиме сильной связи в плоской d-мерной границе означенного пространства. Первым и важнейшим примером голографического соответствия является соответствие AdS/CFT (анти-де Сит-

тер / конформная теория поля) [20-23], которое было открыто Малдасеной в работе [20]. В AdSd+i/CFTd теории гравитации в пространстве AdS^+i в режиме слабой связи ставится в соответствие конформная теория поля в режиме сильной связи на его d-мерной границе. Изначально [20] соответствие было сформулировано для теории суперструны типа IIB в пространстве AdS5 х S5 и N = 4 калибровочной теории супер-Янга-Миллса. Константа связи теории со стороны гравитации пропорциональна обратному числу цветов N в теории на границе. Таким образом, квазиклассический предел на гравитационной стороне соответствует пределу больших N на границе (соответственно, квантовые поправки с гравитационной стороны соответствуют поправкам к пределу больших N на границе). Это порождает вычислительную парадигму, согласно которой классическая геометрия в балке определяет поведение квантовых наблюдаемых в пределе больших N на границе. Более конкретно, геометрия пространства-времени с асимптотикой AdS определяет квантовое состояние в теории на границе, а поведение корреляционных функций и других наблюдаемых в этом квантовом состоянии в ведущем порядке квазиклассического предела определяется геометрическими объектами в балке. В частности, в работах [21,22,24-26] сформулированы и доказаны на примерах так называемые голографические "словари" (методы) для вычисления корреляционных функций в граничной теории, а в работах [27,28] дается голографическое предписание для вычисления квантовой энтропии зацепленности. Эти методы и их обобщения оказались очень полезными инструментами для вычисления и анализа поведения величин в сильновзаимодействующих квантовых теориях. Также го-лографический принцип дает новый взгляд на фундаментальные структуры теорий струн и конформных теорий поля. Голография продемонстрировала свою полезность для описания сильновзаимодействующих равновесных и неравновесных систем в физике высоких энергий, в частности столкновения тяжелых ионов и формирования кварк-глюонной плазмы [12,29,30], а также в физике конденсированного состояния [31,32]. По существу, подходы, используемые в этих приложениях, основаны на рассмотрении различных модификаций фонового пространства AdS, в частности фоновых пространств, которые нарушают асимптотическую конформную симметрию границы AdS [33-37].

Применительно к состоянию в граничной теории поля при конечной температуре го-лографический подход предполагает рассмотрение геометрии пространства AdS с черной дырой (температура Хокинга которой совпадает с температурой граничной теории) [23,38]. Поскольку решения уравнений Эйнштейна с AdS-асимптотикой, описывающие динамическое образование черной дыры, известны, голографический подход позволяет строить мо-

дели термализации путем вычисления величин в геометрии пространства-времени с образующейся черной дырой. Это главное обоснование связи термализации с гравитационной динамикой черных дыр, упомянутой ранее. Первые модели голографической термализации были предложены в работах [39,40], и с тех пор этот метод изучения термализации в сильновзаимодействующих КТП является предметом активных исследований [13,41-63]. Отдельно стоит отметить, что в работах [51-53,55,59,60,62] акцент сделан на установлении универсальных закономерностей термализации, а в работах [46,54,58] показана связь голо-графического описания термализации с областью под горизонтом черной дыры и потерей информации.

Особый интерес представляет применение голографического подхода в случае AdS3/CFT2-соответствии. Главной причиной этого является то, что многие вычисления осуществимы с обеих сторон соответствия. Так, для двухмерной конформной теории поля разработано множество методов, использующих свойства алгебры Вирасоро. С другой стороны, работу на гравитационной стороне соответствия существенно упрощает тот факт, что гравитация в трехмерии является топологической теорией. Поэтому решения гравитационных уравнений с отрицательной космологической постоянной представляют собой глобальные топологические дефекты в AdS3. Точнее говоря [64], они представимы в общей форме AdS'3/Г, где Г - дискретная подгруппа группы изометрий БЬ(2,К)2, а AdS'3 - подмножество AdS3, где Г действует дискретно. Топологические дефекты в AdS3, которые мы рассматриваем в данной диссертации, а именно точечные частицы [65-68, 70] и черные дыры в AdS3 [71], являются частными примерами таких решений. Геометрия пространства AdS3 позволяет использовать единый формализм для описания топологических дефектов в AdS3. Это показано в главе 3. Несмотря на то, что решения явно представимы в виде идентификаций, этот факт до сих пор не был использован для исследования тер-мализации в граничной двухмерной CFT. Центральным результатом данной диссертации, является голографическое описание термализации в граничной теории после двух точечных возбуждений. В этих вычислениях ключевую роль играет формализм топологических идентификаций в AdS3.

До сих пор мы обсуждали применение голографии в одном направлении - использование гравитационных моделей для описания квантовой теории поля в режиме сильной связи на границе. Однако голографический подход можно применять и в другую сторону - использовать поддающиеся детальному изучению полевые модели для исследования квантовой гравитации в балке. Считается, что такой подход может привести к решению ин-

формационного парадокса черных дыр [18,82,91]. Отметим, что AdS3/CFT2-соответствие также широко применяется для этих целей [58,72-82]. Однако недавно был открыт класс еще более удобных голографических квантовых моделей для решения этих задач.

Одна из таких моделей - модель Сачдева-Йе-Китаева ^УК) [83-86]. Это квантово-механическая модель N майорановских фермионов в (0 + 1)-мерии со случайным взаимодействием, которая является точно решаемой в пределе больших N в режиме сильной связи. SYK была предложена Китаевым [84] как точно решаемая модель квантовой гравитации в пространстве AdS2 и околоэкстремальных черных дыр [87] (см. обзор [88]). Эта идея обосновывается тем, что модель SYK демонстрирует эффективную приблизительную конформную симметрию в режиме сильной связи [84,85,90], и что она имеет свойство максимального квантового хаоса [84,85,89,91] в режиме сильной связи. Голдстоуновская мода, которая соответствует нарушенной конформной симметрии, совпадает с гравитационной модой в эффективном описании гравитации Джакива-Тейтелбойма в AdS2 [85-87,92-94]. Ее динамика в ведущем порядке по обратной константе связи оказалась полностью точно решаемой [93,95-99], а в ведущем порядке 1/N-разложения все корреляционные функции операторов, дуальных полям материи в балке, были также вычислены [100]. Хотя точный голографический двойник теории еще не известен, исследования с помощью модели SYK уже позволили получить важные результаты, касающиеся физики черных дыр и кротовых нор [101-103]. Цель нашего исследования этой модели - проверить предположение о реплика-диагональности ведущей седловой точки в пределе больших N и выяснить, когда оно может нарушаться. Этот вопрос существенен для голографического описания модели как в пределе больших N, так и на уровне поправок.

Цели и задачи диссертации

В данной диссертации ставились следующие цели.

• Вычислить двухточечные корреляторы скалярного оператора на границе пространства AdS3 с коническим дефектом путем решения уравнения скалярного поля в балке и использования голографического предписания ОКРШ [21, 22]. Провести сравнительный анализ результата вычисления с результатом вычисления в рамках геодезического приближения, полученного в работе [115].

• Обобщить геодезическое приближение на случай нестационарной топологической

идентификации в балке. Провести соответствующее вычисление на примере движущейся массивной частицы.

• Описать голографический двойник пространства AdS3 с черной дырой, которая образуется при столкновении двух частиц. Провести голографическую диагностику рождения черной дыры. Показать, что при рождении черной дыры BTZ после столкновения частиц в AdS3 в теории на границе происходит процесс термализации. Вычислить и описать динамику энтропии зацепленности в таком процессе термализации.

• Рассмотреть вопрос существования реплика-недиагональных решений в модели SYK. Уточнить границы применимости реплика-диагонального приближения в модели SYK. Прояснить роль реплика-недиагональных решений в микроскопической физике самой модели SYK и ее гравитационного двойника.

Методы исследования

Основным методом, который используется в данной работе, является AdS/CFT-соответствие [20,23]. В главе 1 оно используется в первоначалаьном варианте Габсера-Клебанова-Полякова/Виттена [21,22]. В главах 1,2,3, а также в параграфе 4.7.2 диссертации используется геодезическое приближение [24] для вычисления корреляционных функций, и строятся его обобщения. В главах 2, 3 используется голографическое предписание Рю-Такаянаги [27, 28] для вычисления энтропии зацепленности и взаимной информации в граничной теории. Для описания топологических дефектов в пространстве-времени AdS3 используются методы дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, а также теории групп Ли, в частности группы вЬ(2,К). Топологические идентификации описываются с помощью теории действия группы 5Х(2, К) на своем групповом многообразии. Со стороны теории поля на границе используются общие методы квантовой теории поля, а также методы конформной теории поля. Кроме них, в главе 4 применяются методы физики конденсированного состояния и теории спиновых стекол: метод реплик, анзац Паризи и динамическая теория среднего поля. В диссертации используются методы численного решения алгебраических уравнений, а также интегро-дифференциальных уравнений в главе 4.

Основные результаты и их новизна

На защиту выдвигаются следующие основные положения.

1. С помощью голографического подхода Габсера-Клебанова-Полякова/Виттена (ОКРШ) вычислена двухточечная корреляционная функция в теории, дуальной пространству AdS3 с коническим дефектом. Построено решение задачи Дирихле для уравнения скалярного поля в этом пространстве. Показано, что в частном случае, когда пространство является орбифолдом, коррелятор совпадает с коррелятором в конформной теории поля. Произведен сравнительный анализ результата вычисления ОКРШ с коррелятором, получающимся в результате геодезического приближения, что позволило уточнить границы применимости последнего в случае присутствия топологических дефектов в гравитационном двойнике.

2. Построено обобщение голографического геодезического приближения в пространстве AdS3 для вычисления корреляторов на случай наличия дефектов, которое применимо для произвольных временных интервалов и учитывает ге-предписание. Произведено вычисление двухточечного коррелятора по этому предписанию на примере случая массивной движущейся частицы в AdS3.

3. Показано, что сталкивающиеся безмассовые частицы, образующие черную дыру в пространстве AdS3, реализуют точно решаемую голографическую модель термализации замкнутой квантовой системы в результате эволюции неоднородного возбужденного начального состояния. Получены явные формулы, описывающее термализацию энтропии зацепленности в таком процессе. Проанализирована динамика зацепленности в сравнении с другими моделями термализации. Показано, что в неравновесном режиме при больших временах система теряет память о нарушении трансляционной симметрии в начальном состоянии, и что голографическое вычисление явно связывает эту потерю памяти с геометрией внутри черной дыры.

4. В модели термализации, дуальной образованию черной дыры при столкновении частиц, голографически вычислена взаимная информация и проанализирована ее динамика. В рамках геодезического приближения вычислены двухточечные корреляторы. Показано, что при учете наматывающихся геодезических они чувствительны к неравновесным эф-

фектам поздних времен термализации всей системы в целом.

5. В модели Сачдева-Йе-Китаева ^УК) построены новые реплика-недиагональные решения уравнений седловой точки при больших N. В режиме сильной связи модели SYK получены аналитические реплика-недиагональные решения в пределе нулевого числа реплик. На этих решениях вычислена регуляризованная свободная энергия, и показано, что существуют реплика-недиагональные решения, для которых она ниже, чем у стандартного диагонального решения.

Все полученные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Исследования, проведенные в рамках настоящей работы, носят чисто теоретический характер. Тем не менее, методы и подходы, разработанные в главах 1,2,3 имеют непосредственное применение к описанию неравновесных явлений, в частности термализации в замкнутых квантовых системах, что обсуждается в главе 3. Полученная модель тер-мализации после т.н. билокального квенча (двух высокоэнергетических возбуждений) в двухмерной системе имеет динамику зацепленности, которая точно решаема, но при этом имеет богатую структуру. Наиболее интересным применением для данной модели может являться использование в качестве игрушечной модели столкновения тяжелых ионов. Актуальной является проблема теоретического описания экспериментально наблюдаемой кварк-глюонной плазмы, которая образуется и термализауется после столкновения двух тяжелых ионов. Модель, описанная в главе 3, может стать шагом к такому описанию, где тяжелые ионы представляются высокоэнергетическими возбуждениями, а термализация системы соответствует образованию кварк-глюонной плазмы [13]. Другими интересными возможными применениями модели билокального квенча являются экспериментальные исследования физики холодных атомов, а точно решаемая динамика зацепленности может быть очень полезной при потенциальном применении в области квантовой информации и квантовых вычислений. Стоит также заметить, что модели типа SYK, которая обсуждается в главе 4, также допускают экспериментальную реализацию, и результаты, полученные в главе 4, касаются величин, которые могут быть измерены экспериментально.

Другая сфера возможных применений открывается при рассмотрении голографиче-ского принципа в противоположном направлении - от игрушечных моделей КТП к гравитации. Модель билокального квенча демонстрирует некоторые новые свойства, которые

связывают особенности неравновесного поведения квантовой зацепленности с геометрией пространства с образующейся черной дырой, включая регион под будущим горизонтом. Это подсказывает новые подходы к исследованию информационного парадокса черных дыр в динамическом контексте. Помимо этого, нами также были получены новые решения в модели SYK, которую можно использовать как игрушечную голографическую модель черной дыры, в главе 4. Новые седловые точки в модели при больших N напрямую несут информацию о вкладах в функциональный интеграл дуальной теории, которые нужно учитывать для описания гравитации на квантовом уровне. В частности, в недавних работах [101-103] демонстрируется, что решения, подобные нашим, играют ключевую роль в описании хаотического поведения квантовой гравитации и потери информации в равновесном контексте. Таким образом, результаты, полученные в настоящей диссертации, также имеют непосредственное отношение к проблемам квантовой гравитации и черных дыр.

Публикации

Результаты, перечисленные выше, опубликованы в 5 работах в международных рецензируемых журналах [104-108]:

1. I. Ya. Aref'eva and M. A. Khramtsov, "AdS/CFT prescription for angle-deficit space and winding geodesies," JHEP 1604, 121 (2016) [arXiv:1601.02008 [hep-th]]

2. M. Khramtsov, "Holographic dictionary and defects in the bulk," EPJ Web Conf. 125, 05010 (2016).

3. I. Ya. Aref'eva, M. A. Khramtsov and M. D. Tikhanovskaya, "Improved image method for a holographic description of conical defects," Theor. Math. Phys. 189, no. 2, 1660 (2016) [Teor. Mat. Fiz. 189, no. 2, 296 (2016)] [arXiv:1604.08905 [hep-th]]

4. I. Ya. Aref'eva, M. A. Khramtsov and M. D. Tikhanovskaya, "Thermalization after holographic bilocal quench," JHEP 1709, 115 (2017) [arXiv:1706.07390 [hep-th]]

5. I. Aref'eva, M. Khramtsov, M. Tikhanovskaya and I. Volovich, "On replica-nondiagonal large N saddles in the SYK model," EPJ Web Conf. 191, 06007 (2018)

Апробация результатов

Результаты докладывались автором на семинарах отдела теоретической физики Математического института им. Стеклова РАН, на семинаре отдела квантовой теории поля

Физического института им. Лебедева РАН, а также докладывались и были представлены на следующих международных конференциях:

1) Международная сессия-конференция Отделения ядерной физики отделения физических наук РАН, ОИЯИ, Дубна, Россия, 2016.

2) 19ая международная конференция по физике высоких энергий "Кварки 2016," Пушкин, Россия, 2016.

3) Конференция "Струны 2016," Университет Циньхуа, Пекин, Китай, 2016.

4) Международная конференция "Новые направления в математической и теоретической физике," Математический институт Стеклова, Москва, Россия, 2016.

5) Конференция "Струны 2017," Тэль-Авив, Израиль, 2017.

6) Международная конференция "КХД при ненулевой барионной плотности," НИЦ "Курчатовский институт," Москва, Россия, 2017.

7) Конференция "Струны 2018," Окинавский институт науки и технологий, Окинава, Япония, 2018.

8) Международная школа по теоретической физике фонда "Базис" "Теория многих тел и квантовая информация," Московская обл., Россия, 2018.

9) Международная конференция "Современная математическая физика. Владими-ров-95," Математический институт Стеклова, Москва, Россия, 2018.

Содержание диссертации по главам Глава 1

Данная глава посвящена голографическим корреляторам в теории, дуальной пространству AdS3 с коническим дефектом.

Раздел 1.1 содержит конкретное введение в задачу, решаемую в главе.

Раздел 1.2 содержит краткое описание геометрии AdS3 с массивной статической частицей, которая привносит дефицит угла. Также кратко описывается лоренцево предписание GKPW в случае пустого пространства AdS3. Мы также рассматриваем эффект от конического дефекта на теорию на границе с позиции асимптотических симметрий, а также

разбираем геодезическое приближение для пространства с дефицитом угла в отношении с общим голографическим словарем.

Раздел 1.3 посвящен вычислению двухточечных корреляторов с помощью предписания ОКРШ в двойнике AdS3 с дефицитом угла.

В разделе 1.4 изучается специальный случай, когда пространство является Zí.-орбифолдом. В этом случае на границе сохраняется конформная симметрия. Результат вычисления ОКРШ сравнивается с методом изображений для геодезического приближения.

В разделе 1.5 проводится сравнительный анализ пространственной и временной зависимостей корреляторов, полученных из предписания ОКРШ и геодезического приближения, в случае общего дефицита угла.

В разделе 1.6 приводятся результаты главы и обсуждаются их интерпретация и открытые вопросы.

Глава 2

Данная глава посвящена обобщению геодезического приближения для вычисления голографических корреляторов в лоренцевой сигнатуре на случай движущихся топологических дефектов в балке.

Раздел 2.1 содержит конкретное введение в задачу, решаемую в главе.

В разделе 2.2 мы вводим составляющие метода изображений и отражающее отображение на границе, которое нужно для продолжения геодезического приближения во времениподобную область.

В разделе 2.3 представлена формулировка обобщенного предписания для вычисления двухточечных голографических корреляторов через геодезический метод изображений. Мы демонстрируем результаты, которые дает предписание, в случае AdS3 со статическим и движущимся коническими дефектами.

В разделе 2.4 мы обсуждаем некоторые обобщения нашего метода изображений, в частности случай AdS3 с несколькими частицами и предписание для голографической энтропии зацепленности.

В разделе 2.5 содержится обсуждение результатов.

Приложение описывает схему перенормировки геодезических, которая учитывает изо-метрию идентификации дефекта.

Глава 3

Данная глава посвящена голографическому описанию термализации двухмерной конформной теории поля после двух мгновенных точечных возбуждений в начальном состоянии. Глава использует результаты предыдущих глав.

Раздел 3.1 содержит конкретное введение в задачи, решаемые в главе.

В разделе 3.2 сначала вводятся обозначения и базовые объекты, необходимые для описания гравитационного двойника рассматриваемому процессу термализации. Затем описывается геометрия пространства AdS3 с двумя сталкивающимися безмассовыми точечными частицами, которые образуют черную дыру при столкновении.

В разделе 3.3 в геометрии, введенной в предыдущем разделе, исследуются геодезические с границы на границу, которые необходимы для голографических вычислений. Доказываются несколько утверждений об их поведении в отношении к топологическим идентификациям, внесенным сталкивающимися частицами.

В разделе 3.4 результаты предыдущего раздела применяются к пространству-времени, описанному в параграфе 3.2.2 в координатах BTZ с тем, чтобы осуществить го-лографическое вычисление энтропии зацепленности и взаимной информации. В деталях исследуется временная динамика зацепленности, обсуждаются ее характерные режимы, универсальные свойства и особенности.

В разделе 3.5 вычисляются и исследуются двухточечные корреляционные функции в рамках геодезического приближения.

В разделе 3.6 приводятся результаты главы и обсуждаются их интерпретация и открытые вопросы.

Приложение содержит явные формулы для параметризации геодезических в глобальных и BTZ координатах, координатные формулы для действия изометрий в глобальных координатах, а также сведения о лоренцевых корреляторах в теории при конечной температуре, дуальной черной дыре BTZ.

Глава 4

Данная глава посвящена исследованию реплика-недиагональных решений в модели SYK.

Раздел 4.1 содержит конкретное введение в задачи, решаемые в главе.

В разделе 4.2 вводится усредненная по беспорядку статистическая сумма для М ре-

плик SYK. Дается обзор свойств реплика-диагональной седловой точки в SYK. Обсуждается непертурбативный характер точных реплика-недиагональных седловых точек.

Раздел 4.3, посвящен квадратичному (свободному) варианту модели. Получены аналитические точные реплика-недиагональные решения. Обсуждаются их свойства, в частности, вклад в репличную статистическую сумму.

Раздел 4.4 посвящен численному исследованию точных реплика-недиагональных решений во взаимодействующей четвертичной версии модели. Приводится описание численного метода построения решений. На построенных решениях вычисляется действие и анализируется вклад этих решений в репличную статистическую сумму. Также делается замечание о пределе большого числа реплик.

В разделе 4.5 мы переходим к построению и исследованию реплика-недиагональных решений в пределе сильной связи модели SYK. Производится разделение переменных в уравнениях седловой точки. Обсуждается общий подход к построению решений, используя анзац Паризи. Выводятся общие выражения для редуцированных уравнений движения, классического действия и свободной энергии на решениях в пределе нулевого числа реплик. Строится простейшее недиагональное решение.

Похожие диссертационные работы по специальности «Теоретическая физика», 01.04.02 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Храмцов Михаил Александрович, 2019 год

Список литературы

1. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, "Введение в теорию квантованных полей." - Наука, 1984.

2. А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, "Введение в квантовую теорию калибровочных полей." - Наука, 1988.

3. С. Вайнберг, "Квантовая теория поля." - Физматлит., 2003.

4. Д. Н. Зубарев, "Неравновесная статистическая термодинамика," - Наука, 1971.

5. M. Srednicki, "Chaos and quantum thermalization," Physical Review E, 50(2), p.888 (1994) [cond-mat/9403051].

6. R. Nandkishore and D. A. Huse, "Many body localization and thermalization in quantum statistical mechanics," Ann. Rev. Condensed Matter Phys. 6, 15 (2015) [arXiv:1404.0686 [cond-mat.stat-mech]].

7. L. D'Alessio, Y. Kafri, A. Polkovnikov and M. Rigol, "From quantum chaos and eigenstate thermalization to statistical mechanics and thermodynamics," Adv. Phys. 65, no. 3, 239 (2016) [arXiv:1509.06411 [cond-mat.stat-mech]].

8. S. W. Hawking and I. G. Moss, "Supercooled Phase Transitions in the Very Early Universe," Phys. Lett. 110B, 35 (1982) [Adv. Ser. Astrophys. Cosmol. 3, 154 (1987)].

9. Д. С. Горбунов и В. А. Рубаков, "Введение в теорию ранней Вселенной," 2009

10. J. Chluba and R. A. Sunyaev, "The evolution of CMB spectral distortions in the early Universe," Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 419, no. 2 (2011): 1294-1314.

11. I. Aref'eva, "Holography for Heavy-Ion Collisions at LHC and NICA. Results of the last two years," EPJ Web Conf. 191, 05010 (2018).

12. I. Ya. Aref'eva, "Holographic approach to quark-gluon plasma in heavy ion collisions," Phys. Usp. 57, 527 (2014).

13. I. Ya. Aref'eva, "Formation time of quark-gluon plasma in heavy-ion collisions in the holographic shock wave model," Teor. Mat. Fiz. 184, no. 3, 398 (2015) [Theor. Math. Phys. 184, no. 3, 1239 (2015)] [arXiv:1503.02185 [hep-th]].

14. R. Islam, R. Ma, P. M. Preiss, M. E. Tai, A. Lukin, M. Rispoli, M. Greiner, "Measuring entanglement entropy in a quantum many-body system," Nature 528, no. 7580 (2015): 77.

15. A. M. Kaufman, R. Schittko, M. Rispoli, M. Greiner, P. M. Preiss, M. E. Tai, A. Lukin, "Quantum thermalization through entanglement in an isolated many-body system,"

Science, 353, p.794, 2016. [arXiv: 1603.04409]

16. S. W. Hawking, "Particle Creation by Black Holes," Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975) Erratum: [Commun. Math. Phys. 46, 206 (1976)].

17. S. D. Mathur, "The Information paradox: A Pedagogical introduction," Class. Quant. Grav. 26, 224001 (2009) [arXiv:0909.1038 [hep-th]].

18. D. Harlow, "Jerusalem Lectures on Black Holes and Quantum Information," Rev. Mod. Phys. 88, 015002 (2016) [arXiv:1409.1231 [hep-th]].

19. J. Polchinski, "The Black Hole Information Problem," arXiv:1609.04036 [hep-th].

20. J. M. Maldacena, "The Large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231-252 (1998), [hep-th/9711200].

21. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from noncritical string theory," Phys. Lett. B428, 105-114 (1998), [hep-th/9802109].

22. E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253-291 (1998), [hep-th/9802150].

23. O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri and Y. Oz, "Large N field theories, string theory and gravity," Phys. Rept. 323, 183 (2000) [hep-th/9905111].

24. V. Balasubramanian and S. F. Ross, "Holographic particle detection," Phys. Rev. D 61, 044007 (2000) [hep-th/9906226].

25. T. Banks, M. R. Douglas, G. T. Horowitz and E. J. Martinec, "AdS dynamics from conformal field theory," hep-th/9808016.

26. K. Skenderis and B. C. van Rees, "Real-time gauge/gravity duality: Prescription, Renormalization and Examples," JHEP 0905, 085 (2009) [arXiv:0812.2909 [hep-th]].

27. S. Ryu and T. Takayanagi, "Holographic derivation of entanglement entropy from AdS/CFT," Phys. Rev. Lett. 96, 181602 (2006) [hep-th/0603001].

28. V. E. Hubeny, M. Rangamani and T. Takayanagi, "A Covariant holographic entanglement entropy proposal," JHEP 0707, 062 (2007) [arXiv:0705.0016 [hep-th]].

29. J. Casalderrey-Solana, H. Liu, D. Mateos, K. Rajagopal and U. A. Wiedemann, "Gauge/String Duality, Hot QCD and Heavy Ion Collisions," book:Gauge/String Duality, Hot QCD and Heavy Ion Collisions. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2014 [arXiv:1101.0618 [hep-th]].

30. O. DeWolfe, S. S. Gubser, C. Rosen and D. Teaney, "Heavy ions and string theory," Prog. Part. Nucl. Phys. 75, 86 (2014) [arXiv:1304.7794 [hep-th]].

31. S. A. Hartnoll, C. P. Herzog and G. T. Horowitz, "Holographic Superconductors," JHEP

0812, 015 (2008) [arXiv:0810.1563 [hep-th]].

32. S. Sachdev, "Condensed Matter and AdS/CFT," Lect. Notes Phys. 828, 273 (2011), [arXiv:1002.2947 [hep-th]].

33. I. Kanitscheider, K. Skenderis and M. Taylor, "Precision holography for non-conformal branes," JHEP 0809, 094 (2008) [arXiv:0807.3324 [hep-th]].

34. U. Gursoy, E. Kiritsis, L. Mazzanti and F. Nitti, "Langevin diffusion of heavy quarks in non-conformal holographic backgrounds," JHEP 1012, 088 (2010) [arXiv:1006.3261 [hep-th]].

35. U. Gursoy and E. Kiritsis, "Exploring improved holographic theories for QCD: Part I," JHEP 0802, 032 (2008) [arXiv:0707.1324 [hep-th]].

36. U. Gursoy, E. Kiritsis and F. Nitti, "Exploring improved holographic theories for QCD: Part II," JHEP 0802, 019 (2008) [arXiv:0707.1349 [hep-th]].

37. A. Buchel, J. G. Russo and K. Zarembo, "Rigorous Test of Non-conformal Holography: Wilson Loops in N=2* Theory," JHEP 1303, 062 (2013) [arXiv:1301.1597 [hep-th]].

38. E. Witten, "Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 505 (1998) [hep-th/9803131].

39. U. H. Danielsson, E. Keski-Vakkuri and M. Kruczenski, "Black hole formation in AdS and thermalization on the boundary," JHEP 0002, 039 (2000) [hep-th/9912209].

40. S. B. Giddings and S. F. Ross, "D3-brane shells to black branes on the Coulomb branch," Phys. Rev. D 61, 024036 (2000) [hep-th/9907204].

41. V. Balasubramanian et al., "Holographic Thermalization," Phys. Rev. D 84, 026010 (2011) [arXiv:1103.2683 [hep-th]].

42. J. Aparicio and E. Lopez, "Evolution of Two-Point Functions from Holography," JHEP 1112, 082 (2011), [arXiv:1109.3571 [hep-th]].

43. J. Abajo-Arrastia, J. Aparicio and E. Lopez, "Holographic Evolution of Entanglement Entropy," JHEP 1011, 149 (2010) [arXiv:1006.4090 [hep-th]].

44. V. Keranen, E. Keski-Vakkuri and L. Thorlacius, "Thermalization and entanglement following a non-relativistic holographic quench," Phys. Rev. D 85, 026005 (2012), [arXiv:1110.5035 [hep-th]].

45. E. Caceres and A. Kundu, "Holographic Thermalization with Chemical Potential," JHEP 1209, 055 (2012) [arXiv:1205.2354 [hep-th]].

46. V. Balasubramanian et al., "Thermalization of the spectral function in strongly coupled two dimensional conformal field theories," JHEP 1304, 069 (2013) [arXiv:1212.6066 [hep-

th]].

47. I. Aref'eva, A. Bagrov and A. S. Koshelev, "Holographic Thermalization from Kerr-AdS," JHEP 1307, 170 (2013) [arXiv:1305.3267 [hep-th]].

48. V. E. Hubeny and M. Rangamani, "A Holographic view on physics out of equilibrium," Adv. High Energy Phys. 2010, 297916 (2010) [arXiv:1006.3675 [hep-th]].

49. T. Albash and C. V. Johnson, "Evolution of Holographic Entanglement Entropy after Thermal and Electromagnetic Quenches," New J. Phys. 13, 045017 (2011) [arXiv:1008.3027 [hep-th]].

50. S. Lin, "Holographic thermalization with initial long range correlation," Phys. Rev. D 93, no. 2, 026007 (2016) [arXiv:1511.07622 [hep-th]].

51. H. Liu and S. J. Suh, "Entanglement Tsunami: Universal Scaling in Holographic Thermalization," Phys. Rev. Lett. 112, 011601 (2014) [arXiv:1305.7244 [hep-th]].

52. H. Liu and S. J. Suh, "Entanglement growth during thermalization in holographic systems," Phys. Rev. D 89, no. 6, 066012 (2014) [arXiv:1311.1200 [hep-th]].

53. Y. Z. Li, S. F. Wu, Y. Q. Wang and G. H. Yang, "Linear growth of entanglement entropy in holographic thermalization captured by horizon interiors and mutual information," JHEP 1309, 057 (2013) [arXiv:1306.0210 [hep-th]].

54. T. Hartman and J. Maldacena, "Time Evolution of Entanglement Entropy from Black Hole Interiors," JHEP 1305, 014 (2013) [arXiv:1303.1080 [hep-th]].

55. V. E. Hubeny and H. Maxfield, "Holographic probes of collapsing black holes," JHEP 1403, 097 (2014) [arXiv:1312.6887 [hep-th]].

56. V. Ziogas, "Holographic mutual information in global Vaidya-BTZ spacetime," JHEP 1509, 114 (2015) [arXiv:1507.00306 [hep-th]].

57. H. Casini, H. Liu and M. Mezei, "Spread of entanglement and causality," JHEP 1607, 077 (2016) [arXiv:1509.05044 [hep-th]].

58. T. Anous, T. Hartman, A. Rovai and J. Sonner, "Black Hole Collapse in the 1/c Expansion," JHEP 1607, 123 (2016) [arXiv:1603.04856 [hep-th]].

59. M. Mezei and D. Stanford, "On entanglement spreading in chaotic systems," JHEP 1705, 065 (2017) [arXiv:1608.05101 [hep-th]].

60. M. Mezei, "On entanglement spreading from holography," JHEP 1705, 064 (2017) [arXiv:1612.00082 [hep-th]].

61. D. S. Ageev and I. Y. Aref'eva, "Waking and scrambling in holographic heating up," Teor. Mat. Fiz. 193, no. 1, 146 (2017) [Theor. Math. Phys. 193, no. 1, 1534 (2017)]

[arXiv:1701.07280 [hep-th]].

62. D. S. Ageev and I. Y. Aref'eva, "Holographic Non-equilibrium Heating," JHEP 1803, 103 (2018) [arXiv:1704.07747 [hep-th]].

63. J. Erdmenger, D. Fernandez, M. Flory, E. Megias, A. K. Straub and P. Witkowski, "Time evolution of entanglement for holographic steady state formation," JHEP 1710, 034 (2017) [arXiv:1705.04696 [hep-th]].

64. A. Maloney and E. Witten, "Quantum Gravity Partition Functions in Three Dimensions," JHEP 1002, 029 (2010) [arXiv:0712.0155 [hep-th]].

65. S. Deser, R. Jackiw, and G. 't Hooft, "Three dimensional Einstein gravity: dynamics of flat space Ann. Phys. 152 (1984) 220

66. S. Deser and R. Jackiw, "Three-Dimensional Cosmological Gravity: Dynamics of Constant Curvature," Ann. Phys. 153 (1984) 405.

67. S. Deser, R. Jackiw, "Classical and Quantum Scattering on a Cone," Commun.Math.Phys. 118 (1988) 495

68. G. 't Hooft, "Quantization of point particles in (2+1)-dimensional gravity Class. Quant. Grav. 13 (1996) 1023.

69. H. J. Matschull and M. Welling, "Quantum mechanics of a point particle in (2+1)-dimensional gravity," Class. Quant. Grav. 15, 2981 (1998) [gr-qc/9708054].

70. H. J. Matschull, "Black hole creation in (2+1)-dimensions," Class. Quant. Grav. 16, 1069 (1999) [gr-qc/9809087].

71. M. Banados, C. Teitelboim and J. Zanelli, "The Black hole in three-dimensional spacetime," Phys. Rev. Lett. 69, 1849 (1992) [hep-th/9204099].

72. A. L. Fitzpatrick, J. Kaplan and M. T. Walters, "Universality of Long-Distance AdS Physics from the CFT Bootstrap," JHEP 1408 (2014) 145 [arXiv:1403.6829 [hep-th]].

73. J. M. Maldacena, "Eternal black holes in anti-de Sitter," JHEP 0304, 021 (2003) [hep-th/0106112].

74. S. H. Shenker and D. Stanford, "Black holes and the butterfly effect," JHEP 1403, 067 (2014) [arXiv:1306.0622 [hep-th]].

75. X. L. Qi and Z. Yang, "Butterfly velocity and bulk causal structure," arXiv:1705.01728 [hep-th].

76. B. Czech, J. L. Karczmarek, F. Nogueira and M. Van Raamsdonk, "The Gravity Dual of a Density Matrix," Class. Quant. Grav. 29, 155009 (2012) [arXiv:1204.1330 [hep-th]].

77. X. Dong, D. Harlow and A. C. Wall, "Reconstruction of Bulk Operators within the

Entanglement Wedge in Gauge-Gravity Duality," Phys. Rev. Lett. 117, no. 2, 021601 (2016) [arXiv:1601.05416 [hep-th]].

78. Y. Sekino and L. Susskind, "Fast Scramblers," JHEP 0810, 065 (2008) [arXiv:0808.2096 [hep-th]].

79. N. Lashkari, D. Stanford, M. Hastings, T. Osborne and P. Hayden, "Towards the Fast Scrambling Conjecture," JHEP 1304, 022 (2013) [arXiv:1111.6580 [hep-th]].

80. B. Freivogel, R. A. Jefferson, L. Kabir, B. Mosk and I. S. Yang, "Casting Shadows on Holographic Reconstruction," Phys. Rev. D 91, no. 8, 086013 (2015) [arXiv:1412.5175 [hep-th]].

81. V. E. Hubeny, H. Maxfield, M. Rangamani and E. Tonni, "Holographic entanglement plateaux," JHEP 1308, 092 (2013) [arXiv:1306.4004 [hep-th]].

82. A. L. Fitzpatrick, J. Kaplan, D. Li and J. Wang, "On information loss in AdS3/CFT2," JHEP 1605, 109 (2016) [arXiv:1603.08925 [hep-th]].

83. S. Sachdev and J. Ye, "Gapless spin fluid ground state in a random, quantum Heisenberg magnet," Phys. Rev. Lett. 70, 3339 (1993) [cond-mat/9212030].

84. A. Kitaev, доклады в KITP в 2015: http://online.kitp.ucsb.edu/online/entangled15/kitaev/, http://online.kitp.ucsb.edu/online/entangled15/kitaev2/

85. J. Maldacena and D. Stanford, "Remarks on the Sachdev-Ye-Kitaev model," Phys. Rev. D 94, no. 10, 106002 (2016) [arXiv:1604.07818 [hep-th]].

86. A. Kitaev and S. J. Suh, "The soft mode in the Sachdev-Ye-Kitaev model and its gravity dual," JHEP 1805, 183 (2018) [arXiv:1711.08467 [hep-th]].

87. J. Maldacena, D. Stanford and Z. Yang, "Conformal symmetry and its breaking in two dimensional Nearly Anti-de-Sitter space," PTEP 2016, no. 12, 12C104 (2016) [arXiv:1606.01857 [hep-th]].

88. G. Sarosi, "AdS2 holography and the SYK model," PoS Modave 2017, 001 (2018) [arXiv:1711.08482 [hep-th]].

89. J. Maldacena, S. H. Shenker and D. Stanford, "A bound on chaos," JHEP 1608, 106 (2016) [arXiv:1503.01409 [hep-th]].

90. S. Sachdev, "Bekenstein-Hawking Entropy and Strange Metals," Phys. Rev. X 5, no. 4, 041025 (2015) [arXiv:1506.05111 [hep-th]].

91. J. Polchinski and V. Rosenhaus, "The Spectrum in the Sachdev-Ye-Kitaev Model," JHEP 1604, 001 (2016) [arXiv:1601.06768 [hep-th]].

92. K. Jensen, "Chaos in AdS2 Holography," Phys. Rev. Lett. 117, no. 11, 111601 (2016)

[arXiv:1605.06098 [hep-th]].

93. J. Engelsoy, T. G. Mertens and H. Verlinde, "An investigation of AdS2 backreaction and holography," JHEP 1607, 139 (2016) [arXiv:1606.03438 [hep-th]].

94. A. Jevicki, K. Suzuki and J. Yoon, "Bi-Local Holography in the SYK Model," JHEP 1607, 007 (2016) [arXiv:1603.06246 [hep-th]].

95. D. Bagrets, A. Altland and A. Kamenev, "Sachdev-Ye-Kitaev model as Liouville quantum mechanics," Nucl. Phys. B 911, 191 (2016) [arXiv:1607.00694 [cond-mat.str-el]].

96. T. G. Mertens, G. J. Turiaci and H. L. Verlinde, "Solving the Schwarzian via the Conformal Bootstrap," JHEP 1708, 136 (2017) [arXiv:1705.08408 [hep-th]].

97. D. Stanford and E. Witten, "Fermionic Localization of the Schwarzian Theory," JHEP 1710, 008 (2017) [arXiv:1703.04612 [hep-th]].

98. V. V. Belokurov and E. T. Shavgulidze, "Exact solution of the Schwarzian theory," Phys. Rev. D 96, no. 10, 101701 (2017) [arXiv:1705.02405 [hep-th]].

99. V. V. Belokurov and E. T. Shavgulidze, "Correlation functions in the Schwarzian theory," JHEP 1811, 036 (2018) [arXiv:1804.00424 [hep-th]].

100. D. J. Gross and V. Rosenhaus, "All point correlation functions in SYK," JHEP 1712, 148 (2017) [arXiv:1710.08113 [hep-th]].

101. J. S. Cotler et al, "Black Holes and Random Matrices," JHEP 1705, 118 (2017) [arXiv:1611.04650 [hep-th]].

102. J. Maldacena and X. L. Qi, "Eternal traversable wormhole," arXiv:1804.00491 [hep-th].

103. P. Saad, S. H. Shenker and D. Stanford, "A semiclassical ramp in SYK and in gravity," arXiv:1806.06840 [hep-th].

104. I. Ya. Aref'eva and M. A. Khramtsov, "AdS/CFT prescription for angle-deficit space and winding geodesics," JHEP 1604, 121 (2016) [arXiv:1601.02008 [hep-th]].

105. M. Khramtsov, "Holographic dictionary and defects in the bulk," EPJ Web Conf. 125, 05010 (2016).

106. I. Ya. Aref'eva, M. A. Khramtsov and M. D. Tikhanovskaya, "Improved image method for a holographic description of conical defects," Theor. Math. Phys. 189, no. 2, 1660 (2016) [Teor. Mat. Fiz. 189, no. 2, 296 (2016)] [arXiv:1604.08905 [hep-th]].

107. I. Ya. Aref'eva, M. A. Khramtsov and M. D. Tikhanovskaya, "Thermalization after holographic bilocal quench," JHEP 1709, 115 (2017) [arXiv:1706.07390 [hep-th]].

108. I. Ya. Aref'eva, M. A. Khramtsov, M. D. Tikhanovskaya and I. V. Volovich, "On replica-nondiagonal large N saddles in the SYK model EPJ Web of Conferences 191, 06007 (2018);

109. I. Aref 'eva, M. Khramtsov, M. Tikhanovskaya and I. Volovich, "Replica-nondiagonal solutions in the SYK model," arXiv:1811.04831 [hep-th].

110. R. Callan, J. Y. He and M. Headrick, "Strong subadditivity and the covariant holographic entanglement entropy formula," JHEP 1206, 081 (2012) [arXiv:1204.2309 [hep-th]].

111. V. Balasubramanian, B. D. Chowdhury, B. Czech and J. de Boer, "Entwinement and the emergence of spacetime," JHEP 1501, 048 (2015) [arXiv:1406.5859 [hep-th]].

112. K. B. Alkalaev and V. A. Belavin, "Monodromic vs geodesic computation of Virasoro classical conformal blocks," Nucl. Phys. B 904, 367 (2016) [arXiv:1510.06685 [hep-th]].

113. I. Ya. Aref'eva and A. A. Bagrov, "Holographic dual of a conical defect," Theor. Math. Phys. 182, 1 (2015) [Teor. Mat. Fiz. 182, 3 (2014)].

114. I. Aref'eva, A. Bagrov, P. Saterskog and K. Schalm, "Holographic dual of a time machine," Phys. Rev. D 94, no. 4, 044059 (2016) [arXiv:1508.04440 [hep-th]].

115. D. S. Ageev, I. Ya. Aref'eva and M. D. Tikhanovskaya, "(1+1)-Correlators and moving massive defects," Theor. Math. Phys. 188, no. 1, 1038 (2016) [Teor. Mat. Fiz. 188, no. 1, 85 (2016)] [arXiv:1512.03362 [hep-th]].

116. D. S. Ageev and I. Ya. Aref'eva, "Holographic instant conformal symmetry breaking by colliding conical defects," Theor. Math. Phys. 189, no. 3, 1742 (2016) [Teor. Mat. Fiz. 189, no. 3, 389 (2016)] [arXiv:1512.03363 [hep-th]].

117. J. M. Izquierdo and P. K. Townsend, "Supersymmetric space-times in (2+1) adS supergravity models," Class. Quant. Grav. 12 (1995) 895 [gr-qc/9501018].

118. J. S. Dowker, "Quantum Field Theory on a Cone J. Phys. A 10, 115 (1977)

119. M. O. Katanaev and I. V. Volovich, "Theory of defects in solids and three-dimensional gravity," Annals Phys. 216, 1 (1992).

120. C. A. B. Bayona, C. N. Ferreira and V. J. V. Otoya, "A Conical deficit in the AdS(4)/CFT(3) correspondence," Class. Quant. Grav. 28, 015011 (2011) [arXiv:1003.5396 [hep-th]].

121. M. Smolkin and S. N. Solodukhin, "Correlation functions on conical defects," Phys. Rev. D 91, no. 4, 044008 (2015) [arXiv:1406.2512 [hep-th]].

122. T. W. B. Kibble, "Topology of Cosmic Domains and Strings," J. Phys. A 9, 1387 (1976).

123. D. V. Fursaev, "Physical effects of massless cosmic strings," Phys. Rev. D 96, no. 10, 104005 (2017) [arXiv:1707.02438 [gr-qc]].

124. I. Ya. Aref'eva, "Colliding Hadrons as Cosmic Membranes and Possible Signatures of Lost Momentum," Springer Proc. Phys. 137, 21 (2011) [arXiv:1007.4777 [hep-th]].

125. V. Balasubramanian, P. Kraus and A. E. Lawrence, "Bulk versus boundary dynamics in anti-de Sitter space-time," Phys. Rev. D 59, 046003 (1999) [hep-th/9805171].

126. I. Kirsch, "Generalizations of the AdS / CFT correspondence," Fortsch. Phys. 52, 727 (2004), hep-th/0406274.

127. M. Araujo, D. Arean, J. Erdmenger and J. M. Lizana, "Holographic charge localization at brane intersections," JHEP 1508, 146 (2015) [arXiv:1505.05883 [hep-th]].

128. I. Ya. Aref'eva, A. A. Slavnov, L. D. Faddeev, "Generating functional for the S-matrix in gauge theories," Theor. Math. Phys. 1974, V 21, pp 1165-1172

129. J. de Boer, M. M. Sheikh-Jabbari and J. Simon, "Near Horizon Limits of Massless BTZ and Their CFT Duals," Class. Quant. Grav. 28, 175012 (2011) [arXiv:1011.1897 [hep-th]].

130. A. A. Bytsenko, L. Vanzo and S. Zerbini, "Quantum correction to the entropy of the (2+1)-dimensional black hole," Phys. Rev. D 57, 4917 (1998) [gr-qc/9710106].

131. V. Balasubramanian, A. Naqvi and J. Simon, "A Multiboundary AdS orbifold and DLCQ holography: A Universal holographic description of extremal black hole horizons," JHEP 0408 (2004) 023 [hep-th/0311237].

132. D. Harlow and D. Stanford, "Operator Dictionaries and Wave Functions in AdS/CFT and dS/CFT," arXiv:1104.2621 [hep-th].

133. V. Balasubramanian, P. Kraus and M. Shigemori, "Massless black holes and black rings as effective geometries of the D1-D5 system," Class. Quant. Grav. 22, 4803 (2005) [hep-th/0508110].

134. N. Benjamin, E. Dyer, A. L. Fitzpatrick, A. Maloney and E. Perlmutter, "Small Black Holes and Near-Extremal CFTs," JHEP 1608, 023 (2016) [arXiv:1603.08524 [hep-th]].

135. D. T. Son and A. O. Starinets, "Minkowski space correlators in AdS / CFT correspondence: Recipe and applications," JHEP 0209, 042 (2002) [hep-th/0205051].

136. K. Osterwalder and R. Schrader, "Axioms For Euclidean Green's Functions," Commun. Math. Phys. 31, 83 (1973). K. Osterwalder and R. Schrader, "Axioms for Euclidean Green's Functions. 2.," Commun. Math. Phys. 42, 281 (1975).

137. M. Luscher and G. Mack, "Global Conformal Invariance in Quantum Field Theory," Commun. Math. Phys. 41, 203 (1975).

138. P. Calabrese and J. L. Cardy, "Evolution of entanglement entropy in one-dimensional systems," J. Stat. Mech. 0504, P04010 (2005) [cond-mat/0503393].

139. P. Calabrese and J. Cardy, "Quantum quenches in 1+2 dimensional conformal field theories," J. Stat. Mech. 1606, no. 6, 064003 (2016) [arXiv:1603.02889 [cond-

mat.stat-mech]].

140. M. Nozaki, T. Numasawa and T. Takayanagi, "Holographic Local Quenches and Entanglement Density," JHEP 1305, 080 (2013) [arXiv:1302.5703 [hep-th]].

141. C. T. Asplund and A. Bernamonti, "Mutual information after a local quench in conformal field theory," Phys. Rev. D 89, no. 6, 066015 (2014) [arXiv:1311.4173 [hep-th]].

142. C. T. Asplund, A. Bernamonti, F. Galli and T. Hartman, "Holographic Entanglement Entropy from 2d CFT: Heavy States and Local Quenches," JHEP 1502, 171 (2015) [arXiv:1410.1392 [hep-th]].

143. P. Caputa, M. Nozaki and T. Takayanagi, "Entanglement of local operators in large-N conformal field theories," PTEP 2014, 093B06 (2014) [arXiv:1405.5946 [hep-th]].

144. D. V. Fursaev, "Entanglement Renyi Entropies in Conformal Field Theories and Holography," JHEP 1205, 080 (2012) [arXiv:1201.1702 [hep-th]].

145. P. Caputa, J. Simón, A. Stikonas and T. Takayanagi, "Quantum Entanglement of Localized Excited States at Finite Temperature," JHEP 1501, 102 (2015) [arXiv:1410.2287 [hep-th]].

146. P. Caputa, J. Simon, A. Stikonas, T. Takayanagi and K. Watanabe, "Scrambling time from local perturbations of the eternal BTZ black hole," JHEP 1508, 011 (2015) [arXiv:1503.08161 [hep-th]].

147. C. T. Asplund, A. Bernamonti, F. Galli and T. Hartman, "Entanglement Scrambling in 2d Conformal Field Theory," JHEP 1509, 110 (2015) [arXiv:1506.03772 [hep-th]].

148. M. Rangamani, M. Rozali and A. Vincart-Emard, "Dynamics of Holographic Entanglement Entropy Following a Local Quench," JHEP 1604, 069 (2016) [arXiv:1512.03478 [hep-th]].

149. M. Rozali and A. Vincart-Emard, "Comments on Entanglement Propagation," JHEP 1706, 044 (2017) [arXiv:1702.05869 [hep-th]].

150. J. R. David, S. Khetrapal and S. P. Kumar, "Universal corrections to entanglement entropy of local quantum quenches," JHEP 1608, 127 (2016) [arXiv:1605.05987 [hep-th]].

151. X. Bai, B. H. Lee, L. Li, J. R. Sun and H. Q. Zhang, "Time Evolution of Entanglement Entropy in Quenched Holographic Superconductors," JHEP 1504, 066 (2015) [arXiv:1412.5500 [hep-th]].

152. A. Jevicki and J. Thaler, "Dynamics of black hole formation in an exactly solvable model," Phys. Rev. D 66, 024041 (2002) [hep-th/0203172].

153. I. Bengtsson,"Anti de Sitter Space," http://www.fysik.su.se/ ingemar/Kurs.pdf

154. I. Ya. Aref'eva, A. A. Bagrov and E. A. Guseva, "Critical Formation of Trapped Surfaces in the Collision of Non-expanding Gravitational Shock Waves in de Sitter Space-Time,"

JHEP 0912, 009 (2009) [arXiv:0905.1087 [hep-th]].

155. H. Iwaniec, "Spectral methods of automorphic forms," Vol. 53. Providence: American Mathematical Society, 2002.

156. A. C. Wall, "Maximin Surfaces, and the Strong Subadditivity of the Covariant Holographic Entanglement Entropy," Class. Quant. Grav. 31, no. 22, 225007 (2014) [arXiv:1211.3494 [hep-th]].

157. M. Headrick, V. E. Hubeny, A. Lawrence and M. Rangamani, "Causality & holographic entanglement entropy," JHEP 1412, 162 (2014) [arXiv:1408.6300 [hep-th]].

158. E. Keski-Vakkuri, "Bulk and boundary dynamics in BTZ black holes," Phys. Rev. D 59, 104001 (1999) [hep-th/9808037].

159. I. Ya. Aref'eva, A. A. Bagrov and E. O. Pozdeeva, "Holographic phase diagram of quark-gluon plasma formed in heavy-ions collisions," JHEP 1205, 117 (2012) [arXiv:1201.6542 [hep-th]].

160. P. Kraus, H. Ooguri and S. Shenker, "Inside the horizon with AdS / CFT," Phys. Rev. D 67, 124022 (2003) [hep-th/0212277].

161. E. Hijano, P. Kraus and R. Snively, "Worldline approach to semi-classical conformal blocks," JHEP 1507, 131 (2015) [arXiv:1501.02260 [hep-th]].

162. K. B. Alkalaev, "Many-point classical conformal blocks and geodesic networks on the hyperbolic plane," JHEP 1612, 070 (2016) [arXiv:1610.06717 [hep-th]].

163. E. J. Lindgren, "Black hole formation from point-like particles in three-dimensional anti-de Sitter space," Class. Quant. Grav. 33, no. 14, 145009 (2016) [arXiv:1512.05696 [gr-qc]].

164. Y. Gu, X. L. Qi and D. Stanford, "Local criticality, diffusion and chaos in generalized Sachdev-Ye-Kitaev models," JHEP 1705, 125 (2017) [arXiv:1609.07832 [hep-th]].

165. A. M. Garcia-Garcia and J. J. M. Verbaarschot, "Spectral and thermodynamic properties of the Sachdev-Ye-Kitaev model," Phys. Rev. D 94, no. 12, 126010 (2016) [arXiv:1610.03816 [hep-th]].

166. A. Georges, O. Parcollet and S. Sachdev, "Quantum fluctuations of a nearly critical Heisenberg spin glass," Phys. Rev. B 63 (Apr., 2001) 134406 [cond-mat/0009388].

167. W. Fu and S. Sachdev, "Numerical study of fermion and boson models with infinite-range random interactions," Phys. Rev. B 94, no. 3, 035135 (2016) [arXiv:1603.05246 [cond-mat.str-el]].

168. S. Caracciolo, M. A. Cardella and M. Pastore, "Remarks on replica diagonal collective field condensations in SYK," arXiv:1807.10213 [hep-th].

169. J. Ye, "Two indices Sachdev-Ye-Kitaev model," arXiv:1809.06667 [cond-mat.str-el].

170. G. Gur-Ari, R. Mahajan and A. Vaezi, "Does the SYK model have a spin glass phase?," JHEP 1811, 070 (2018) [arXiv:1806.10145 [hep-th]].

171. D. Harlow and D. Jafferis, "The Factorization Problem in Jackiw-Teitelboim Gravity," arXiv:1804.01081 [hep-th].

172. M. Mezard and G. Parisi, "Replica field theory for random manifolds," LPTENS-90-28.

173. M. Mezard, G. Parisi and M. Virasoro, "Spin Glass Theory and beyond," World Scientific, 1987

174. R. Gurau, "The it prescription in the SYK model," arXiv:1705.08581 [hep-th].

175. H. Wang, D. Bagrets, A. L. Chudnovskiy and A. Kamenev, "On the replica structure of Sachdev-Ye-Kitaev model," arXiv:1812.02666 [hep-th].

176. I. Aref'eva and I. Volovich, "Notes on the SYK model in real time," Theoret. and Math. Phys., 197:2 (2018), 1650-1662, [arXiv:1801.08118 [hep-th]].

177. J. L. van Hemmen and R. G. Palmer, "The replica method and a solvable spin glass model," Journal of Physics A: Mathematical and General 12, 4 (1979)

178. D. Sherrington and S. Kirkpatrick, "Solvable Model of a Spin-Glass," Phys. Rev. Lett. 35, 1792 (1975).

179. D. Anninos, T. Anous and F. Denef, "Disordered Quivers and Cold Horizons," JHEP 1612, 071 (2016) [arXiv:1603.00453 [hep-th]].

180. D. J. Gross and V. Rosenhaus, "A Generalization of Sachdev-Ye-Kitaev," JHEP 1702, 093 (2017) [arXiv:1610.01569 [hep-th]].

181. A. Khrennikov, A. Radyna, "Eigenvalues and Invertibility of Parisi Matrices. Ultramentric Group Point of View", Advanced Studies in Contemporary Mathematica, 8, 95-102 (2004)

182. C. De Dominicis, I. Giardina, "Random fields and spin glasses: a field theory approach," Cambridge University Press, 2006.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.