Гомологические размерности и полудуализирующие комплексы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Герко, Александр Александрович

• Герко, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Герко, Александр Александрович

1 Предварительные сведения

1.1 Основные классы локальных колец.

1.2 Коммутативная алгебра комплексов.

1.3 Удобные модули.

2 Полудуализирующие комплексы и Gx размерность

2.1 Общие сведения.

2.2 Структура множества полудуализирующих комплексов.

3 PCI размерность

4 СМ размерность 39 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гомологические размерности и полудуализирующие комплексы»

Гомологические методы в коммутативной алгебре являются одним из самых мощных средств в арсенале исследователя. Важная теорема о локализуемое™ свойства регулярности локального кольца является примером утверждения, которое достаточно легко доказывается гомологическими методами, при том, что доказательство, использующее только классические методы, неизвестно.

Основным моментом в доказательстве этой теоремы является утверждение о том, что проективная размерность характеризует регулярные кольца в следующем смысле: любой модуль над регулярным кольцом имеет конечную проективную размерность и, обратно, из конечности проективной размерности поля вычетов следует регулярность кольца.

Общая идея Ауслендера, высказанная им в начале 60-х, состоит в том, что модули конечной проективной размерности над (не обязательно регулярным) кольцом во многом ведут себя так же, как модули над регулярными кольцами.

Примером свойства, которое в рамках этого подхода было обобщено с модулей над регулярными кольцами на модули конечной проективной размерности ([24]), является следующее предложение: если последовательность элементов кольца R регулярна относительно модуля М, то она регулярна относительно R.

Основной мотивацией для исследования гомологических размерностей, характеризующих другие типы колец, важные для алгебраической геометрии, в частности, локально полные пересечения, кольца Горенштейна и кольца Коэна-Маколея, является поиск разумного описания модулей, свойства которых были бы аналогичны свойствам модулей над кольцами соответствующих типов.

Подобные классы модулей неоднократно возникали в разных задачах коммутативной алгебры.

Для колец Горенштейна соответствующий класс рассматривался Ауслендером и

Бриджером в [3], и задавался следующим образом: Положим G-dim М — 0, если естественное отображение М —» Hom(Hom(M, R), R) есть изоморфизм и Extгя(М, R) — 0 = ExtlR(M*, R) при г > 0. Точную нижнюю грань длин резольвент модуля М, составленных из модулей Р с G-dim Р — 0, будем обозначать через G-dim М.

Для полных пересечений соответствующий класс модулей, названных модулями конечной виртуальной проективной размерности (vpd), возник в работе Аврамова [6] при изучении свойств чисел Бетти модулей бесконечной проективной размерности. Размерность vpdRM полагалась конечной, если существует сюръективный гомоморфизм колец S —> R, где R - пополнение R в m-адической топологии, такой, что ядро гомоморфизма порождено регулярной последовательностью и pdS(M ®rR) < оо. Для (возможно) более широкого класса модулей конечной CI-размерности (см. определение 3.2), рассматривавшегося в [9] и также характеризующего полные пересечения, были доказаны некоторые утверждения, справедливость которых для виртуальной проективной размерности неизвестна, в частности, хорошее поведение при локализации. К тому же, модули конечной CI-размерности в некоторых задачах действительно демонстрируют поведение, сходное с поведением модулей над полными пересечениями. Наиболее важным примером является асимптотические свойства свободных резольвент, являющиеся главным предметом работы [9], также упомянем работы [20], [1] и [11], где с модулей над полными пересечениями на модули конечной CI-размерности обобщается формула глубины, и работу [1], где обобщается критерий свободы Ауслен-дера.

Перечисленные размерности связаны цепочкой неравенств pdfl М < Cl-diirtft М < G-dimrM, частным случаем которой при М = к является следующее утверждение: R - регулярно =» R - полное пересечение =4- R - горенштейново.

Все необходимые предварительные сведения из коммутативной и гомологической алгебры собраны в Главе 1.

Будем говорить, что задана обобщенная гомологическая размерность, характеризующая класс колец П, если для любого кольца R заданы класс модулей HR и отображение H-dimR из Hr в Ъ. Перечислим некоторые из ограничений, которые разумно наложить для получения содержательного понятия.

I. k = R/m е HR <ФФ для любого Д-модуля М 6 Hr о fl 6 П.

II. М 6 Hr H-dimR М + depth М = depth R.

III. Пусть x - R - и M - регулярный элемент. Тогда М £ HR М/хМ 6 Hr/xr, и, при выполнении этих двух условий, H-dimR М = H-dimR/xRM/xM .

IV. М eBR=> Мре HRp и H-dimR М > H-dimRp Мр.

V. Если в короткой точной последовательности О—>М—>/V—►К—>0 два из трех модулей принадлежат HR, то и третий тоже обладает этим свойством; если эта точная последовательность расщепляется, то N £ HR ^Ме HR и К е HR.

Заметим, что проективная и G- размерности удовлетворяют всем этим свойствам, для виртуальной проективной размерности доказаны свойства I и II, а для Соразмерности - свойства I-IV.

Основным объектом изучения для нас является G-размерность. Хотя это понятие было введено почти 40 лет назад, интерес к нему особенно возрос в последнее десятилетие, когда этой теме было посвящено большое количество работ, в частности, см. монографию J1.B. Кристенсена ([12]). Важный круг нерешенных проблем, связанных с G-размерностью, составляют вопросы, связанные с ее поведением при заменах колец, в частности, так называемая гипотеза о транзитивности G-размерности:

Гипотеза 1 ([8]) Если ф : S —R- конечный локальный гомоморфизм конечной G-размерности (т.е. G-dim^ R < оо), то для любого R-модуля М, такого что G-dim^ М < оо, имеем G-dims М < оо.

Близкий вопрос изучался в работе [33]: оказывается, для гомоморфизмов ф конечной G-размерности специального вида, а именно, сюръективных с grade(S/ Кег ф) — G-dims(Sy Кег ф), над кольцом R естественным образом определяется так называемый "удобный"модуль (также независимо изучавшийся Х.-Б. Фоксби в [14]), и для определяемого относительно таких модулей аналога G-размерности выполнен результат типа замены колец, см. 1.55.

Тривиальными примерами "удобных"модулей являются свободный модуль ранга 1 и дуализирующий модуль, когда он существует.

Для Gk размерности относительно "удобного"модуля К выполнены аналоги свойств I-V, причем аналогом свойства I является утверждение о равносильности конечности gk-размерности поля вычетов и условия, что модуль К - дуализирующий.

В Главе 2 настоящей диссертационной работы рассматриваются комплексы, являющиеся одновременно обобщением дуализирующих комплексов и "удобных"([33]) модулей. Эти комплексы были независимо введены автором в работе [36] под названием "удобных"и JI.B. Кристенсеном в работе [13] под названием "полудуализирующих". Поскольку последнее название представляется более удачным и уже устоялось в литературе, мы будем использовать именно его.

Комплекс называется полудуализирующим (Определение 2.1), если его гомология конечно порождена и естественный морфизм R —> RHom(X, X) является изоморфизмом в производной категории. Такие комплексы возникают естественным образом при изучении локальных гомоморфизмов колец ф : S —» R конечной G-размерности, а именно, в такой ситуации /^-комплекс RHom5(i?, S) является полудуализирующим. Тривиальными примерами полудуализирующих комплексов являются свободный модуль ранга 1 и дуализирующий комплекс, когда он существует. Если полудуализирующий комплекс имеет только одну ненулевую гомологию, то с точностью до сдвига этот комплекс изоморфен удобному модулю как объект соответствующей производной категории.

В Главе 2(§ 1) были получены следующие результаты. Построена теория G-размерности, по отношению к полудуализирующему комплексу, в которой выполнены аналоги свойств I-V. Для построенной размерности выполнен результат о замене колец, аналогичный ([33, Предложение 5]), см. Теорема 2.10. Получена переформулировка гипотезы Аврамова-Фоксби в терминах полудуализирующих комплексов.

Интересным является вопрос о возможности получения любого полудуализирующего комплекса при помощи описанного выше индуцирования. Для дуализирующих комплексов соответствующий вопрос составляет содержание гипотезы Шарпа:

Гипотеза 2 ([26]) Если R- локальное кольцо, X - дуализирующий комплекс, то существует кольцо S и сюръективпый гомоморфизм ф : S —> R такой, что RHomS(R, S) ~ X.

Эта гипотеза была доказана Т. Кавасаки в работе [21]. Здесь показывается, что аналогичное утверждение также верно для удобных модулей (см. 4.8), то есть для полудуализирующих комплексов с единственной ненулевой гомологией.

Далее в Главе 2(§2) исследуется вопрос о существовании нетривиальных полудуализирующих комплексов (отличных от свободного модуля ранга 1 и дуализирующего комплекса). Для модулей соответствующий вопрос был поставлен Е.С. Голодом в [34]. Первый нетривиальный пример удобного модуля был построен Х.-Б. Фоксби в [15].

Легко показать, что коэн-маколеев тип (см. Определение 1.32) удобного модуля должен быть делителем коэн-маколеева типа кольца. В настоящей работе для любого наперед заданного типа т строится пример кольца, над которым для любого делителя т, существует соответствующий полудуализирующий модуль (см. 2.22). Для этого примера структура множества построенных полудуализирующих модулей идентична структуре множества всех подмножеств конечного множества мощности равной количеству простых делителей т.

Гипотетически и в общем случае должна иметься похожая структура. Пусть Kj -удобный модуль, соответствующий некоторому подмножеству I с {1,. ,п}. Для построенного в 2.22 примера верно следующее утверждение: I С J GKjdim Kj < со. Для последнего свойства есть аналог и в общем случае, что позволяет ввести на множестве полудуализирующих комплексов естественное бинарное отношение. Отношение является симметричным и рефлексивным, вопрос о транзитивности открыт и непосредственно связан с вопросом о транзитивности G-размерности, сформулированным выше. Тем не менее, поиск аналогов соотношений, выполненных для описанного примера, позволяет получить несколько важных следствий для общей ситуации. Наиболее интересным является аналог соотношения I С J => Kj ~ Kj <g) Kj\j, который в общем случае приводит к построению по паре полудуализирующих комплексов и Х2, таких, что GxadimXi < оо, следующего изоморфизма в производной категории: ®lr ИНотд^ьХа).

Далее рассматривается задача классификации полудуализирующих комплексов над кольцами Коэна-Маколея. Для таких колец любой полудуализирующий комплекс является удобным модулем (в смысле соответствующей производной категории), см. Предложение 2.33. Классификация удобных модулей над полным кольцом сводится к случаю кольца глубины 0 (см. Предложение 2.34), в частности, в коэн-маколеевом случае, к случаю артиновых колец. Для артиновых колец рассматриваются базисные системы полудуализирующих модулей, аналогичные набору К^,., К{п} в примере. На длину такой базисной системы выполнено естественное ограничение в терминах минимальной степени максимального идеала, обращающейся в 0 (Предложение 2.40), при достижении которого ряд Бетти кольца становится рациональным. Это ограничение также является строгим и выполнено как равенство для примера 2.22. Далее рассматриваются кольца, для которых это ограничение выполнено как равенство (Определение 2.44). Численные инварианты (ряды Бетти и Басса поля вычетов) таких колец оказываются идентичны соответствующим численным инвариантам кольца из примера. Для случая колец с ш3 = 0 также имеет место козюлевость (см. Предложение 2.58) и равенство длин кольца и нетривиальных полудуализирующих модулей (Предложение 2.53).

В Главе 3 настоящей работы рассматриваются альтернативные, через совокупность модулей нулевой размерности, подходы к определению размерности, характеризующей полные пересечения. В результате получается расширение класса модулей конечной CI-размерности, удовлетворяющее свойству V. Также приводится более простое, чем в [5], доказательство теоремы о том, что локализация полного пересечения есть снова полное пересечение.

В Главе 4 рассматривается размерность, характеризующая кольца Коэна-Маколея, для которой выполнены свойства I-IV, а также верно следующее: класс модулей конечной СМ-размерности включает в себя класс модулей конечной Gk размерности для любого удобного модуля К. В доказательстве используется новая характеризация удобных модулей при помощи G-горенштейново связанных идеалов.

Автор хотел бы воспользоваться случаем и поблагодарить Е.С. Голода за внимание к работе, проявленное на всех стадиях ее подготовки, и многочисленные ценные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Герко, Александр Александрович, 2004 год

1. Araya Т., Yoshino Y. Remarks on a depth formula, a grade inequality and a conjecture of Auslander // Communications in Algebra. 1998. V. 26. P. 3793-3806.

2. Araya Т., takahashi R., Yoshino Y. Homological invariants associated to semi-dualizing bimodules // preprint, 2002.

3. Auslander M., Bridger M. Stable module theory // Mem. AMS. 1969. V. 94.

4. Auslander M., Ding S., Solberg 0. Liftings and Weak Liftings of Modules // J. Alg. 1993 V. 156 P. 273-397.

5. Абрамов JI.JI. Плоские морфизмы полных пересечений // Докл. Акад. Наук СССР. 1975. Т. 225. С. 11-14.

6. Avramov L.L. Modules of finite virtual projective dimension // Invent. Math. 1989. V. 96. P. 71-101.

7. L. L. Avramov and H.-B. Foxby Homological Dimensions of Unbounded Complexes // J. Pure Appl. Algebra. 1991. V. 71 P. 129-155.

8. Avramov L.L., Foxby H.-B. Ring homomorphisms and finite Gorenstein dimension // Proc. London. Math. Ann. 1997. V. 307. P. 241-270.

9. Christensen L.W. Gorenstein Dimensions // Springer-Verlag, Berlin, 2000, Lecture Notes in Mathematics Vol. 1747.13. chrrstensen L.W. Semi-dualizing complexes and their Auslander categories // Trans. Amer. Math. Soc. 2001. V. 353 N 5. P. 1839-1883.

10. Foxby H.-B. Gorenstein modules and related modules // Math, scand. 1973. V. 31. P. 267-284.

11. H.-B. Foxby unpublished notes // 1987.

12. Gulliksen Т.Н. A change of the ring theorem, with applications to Poincare series and intersection multiplicity // Math. Scand. 1974. V. 34. P. 167-183.

13. Gulliksen Т.Н. A homological characterization of local complete intersections // Compositio Math. 1973. V. 23. P. 251-255.

14. R. hartshorne Residues and duality // Lecture Notes in Mathematics no. 12, Springer-Verlag, Berlin, 1971.

15. C. Huneke, L. sega and A. Vraciu Vanishing of Ext and Tor over some Cohen-Macaulay local rings // Illinois J. Math., 2004.

16. Iyengar S. Depth for Complexes, and intersection theorems // Math. Z. 1999. V. 230. P. 545-567.

17. Kawasaki, Takesi On Macaulayfication of Noetherian schemes // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. V 352. N 6. P 2517-2552.

18. V. Ma§ek Gorenstein Dimension of Modules // arXiv:math.AC/9809121.

19. M. Nagata Local rings // Wiley, New York, 1962.

20. Peskine C., Szpiro L. Dimension projective finie et cohomologie locale // Publ. Math. I.H.E.S. 1972. V. 42. P. 47-119.

21. Sather-Wagstaff S. Semidualizing modules and the divisor class group, preprint, 2004.

22. Абрамов Л.Л., строгалов с.с., тодоров А.Н. Модули Горенштейна // Успехи Мат. Наук. 1972. v. 27. n 4. р. 199-200.