Гомологии и деформации некоторых градуированных алгебр и супералгебр Ли векторных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Кочетков, Юрий Юрьевич

• Кочетков, Юрий Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кочетков, Юрий Юрьевич

Введение Стр. 2.

Глава 0.

Основные понятия. Стр. 13.

Глава 1.

Алгебра К(1,1). Стр. 20.

Дополнение А.

Деформации Ь\. Стр. 34.

Глава 2.

Деформации алгебры Ь2(]У) Стр. 38.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гомологии и деформации некоторых градуированных алгебр и супералгебр Ли векторных полей»

Актуальность темы. Гомологическая теория градуированных алгебр и супералгебр Ли насчитывает более 30 лет интенсивного развития. За это время были разработаны основные методы изучения гомологий и найдены гомологические характеристики многих важных и интересных объектов [21]. Выявились, однако, и принципиальные трудности теории: однообразие и относительная элементарность используемых методов и высокая комбинаторная сложность доказательств. Часто (например, в случае Ьх-подалгебр алгебры Витта \¥ или супералгебры К( 1,1)) поведение размерностей групп гомологий совершенно очевидно, но доказательство казалось бы очевидного утверждения трудно или вообще неизвестно.

К началу 90-х годов были описаны (ко) гомологии алгебры полиномиальных векторных полей от п переменных Шп и некоторых ее подалгебр. Гомологические свойства подалгебр Ь^ этих алгебр были изучены лишь для алгебры (т.е. для алгебры Витта Ш): описание Я*(1^), к > 1, было дано в работах Л.Гончаровой [2] и Ф.Вайнштейна [1], а описание Н*{Ь\,М), где М — т.н. дифференциальный модуль, в работе Фейгина-Фукса [20]. Кроме того, был достигнут существенный прогресс в описании гомологий с тривиальными коэффициентами и деформаций конечномерных супералгебр векторных полей [13].

Нерешенными остались задачи описания (ко) гомологий с нетривиальными коэффициентами алгебр Ли векторных полей с числом переменных ^ 2, описания (ко) гомологий подалгебр Ь^ таких алгебр и описания (ко) гомологий с нетривиальными коэффициентами подалгебр Ьк С И7!, к > 2, а, также некоторые задачи о конечномерных супералгебрах Ли векторных полей. Задача вычисления (ко) гомологий подалгебр Ьк алгебр 1¥п представляется безнадежной уже для алгебры И^- Для ее подалгебры гамильтоновых векторных полей на плоскости доказана лишь частичная теорема конечности [22]. Но для К( 1,1) — супералгебры Ли формальных векторных полей от одной четной и одной нечетной переменной — задача представляется более доступной.

Суммируя, можно сказать, что первоочередные задачи гомологической теории (супер) алгебр Ли векторных полей — это описание гомологий с тривиальными коэффициентами подалгебр Ь^ алгебр Ли формальных векторных полей от двух переменных и описание деформаций таких алгебр, а также описание (ко)гомологий с нетривиальными коэффициентами (в том числе деформаций) подалгебр Ьк С И7!. Недавно Д.Фукс и А.Фиаловски [18] дали полное описание деформаций подалгебры С И^.А в своей следующей работе [19] они предложили процедуру построения базы миниверсальной деформации данной алгебры Ли. Применение этой техники к алгебре 1/1 С позволило дать более прозрачное доказательства основного результата их предыдущей работы. Следующий по сложности объект — это подалгебра Ь2 С ]¥\. Однородные деформации (т.е. деформации, отвечающие однородным в смысле градуировки коциклам) были впервые изучены автором и Постом [10]. В недавней работе Поста и Фиаловски [15] были обобщены результаты работы [10] и была предпринята попытка дать описание базы миниверсальной деформации алгебры Ь2- Эту попытку нельзя считать вполне удачной: описание базы столь громоздко, что понять геометрию базы из этого описания нельзя. Этот результат показывает, что надежды, возлагавшиеся на метод Фиаловски-Фукса, вряд ли обоснованы.

В приложениях особенно важны три задачи: задача о соотношениях, задача об одномерных центральных расширениях и задача о деформациях. Среди задач о когомологиях с нетривиальными коэффициентами задача о деформациях самая важная, в том числе и потому, что алгебры Ли векторных полей играют заметную роль в физике, и деформации таких алгебр имеют отчетливый физический смысл. Задача о соотношениях сводится к вычислению второй группы гомологий с тривиальными коэффициентами, задача об одномерных центральных расширениях — к вычислению второй группы когомологий с тривиальными коэффициентами, задача о деформациях — к вычислению второй группы когомологий с коэффициентами в присоединенном представлении. Описание соотношений позволяет понять структуру бинарной операции — скобки в алгебре Ли, т.е. насколько алгебра отличается от свободной. Центральные расширения и деформации позволяют строить новые алгебры Ли, интересные для приложений (как, например, алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры Витта И^).

Особый интерес вызывает изучение гомологических свойств ниль-потентных подалгебр градуированных алгебр Ли (т.е. линейных оболочек однородных элементов степени > к, к ^ 1). Во-первых нильпотентность позволяет изучать бинарную операцию в "чистом" виде, следя за образующими и игнорируя элементы неположительной степени; во-вторых знание (ко)гомологий ниль-потентной подалгебры позволяет находить гомологии самой алгебры с нетривиальными коэффициентами, используя спектральные последовательности. Как отмечал Ф.Вайнштейн [1], вычислить группу Щ(Ьк) — задача той же сложности, что и вычислить все группы Нп(Ьк). Чисто комбинаторные рассуждения, которых достаточно для вычисления групп Н2(Ьк,-), не работают в случае высших (ко)гомологий.

Цель работы.

Целью работы является вычисление гомологий и изучение деформаций ряда классических (супер) алгебр Ли формальных векторных полей и их подалгебр.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 80 страницах и состоит из введения и шести глав. Библиография включает 23 наименования.