Граничное управление колебаниями сферического слоя за большие и малые времена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сергеев, Сергей Андреевич

• Сергеев, Сергей Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сергеев, Сергей Андреевич

1 Введение

2 Построение вспомогательных соотношений

2.1 Определения и краткая формулировка задач

2.2 Построение вспомогательных функций.

3 Задача об управлении двумя смещениями

3.1 Формулировка задачи.

3.2 Построение вспомогательных соотношений.

3.3 Минимизация. Нахождение оптимального управления.

3.3.1 Случай А е [0, /].

3.3.2 Случай Де[1, 21]

3.3.3 Определение функций оптимального управления.

4 Задача управления третьим условием

4.1 Формулировка задачи.

4.2 Построение вспомогательных функций.

4.3 Минимизация. Нахождение оптимального управления.

4.3.1 Случай Д 6 [0, 1}.

4.3.2 Случай Дб[(, 21]

5 Управление при малых временах

5.1 Управление колебаниями двумя смещениями.

5.1.1 Постановка задачи.

5.1.2 Случай 1/2 <Т <

5.1.3 Случай 0 < Т < 1/2.

5.2 Управление двумя силами.

5.3 Достаточные условия существования граничного управления.

6 Пример необходимости интегральных условий 65 Литература

Глава 1 Введение

Многие современные технические устройства и системы работают в экстремальных условиях, поэтому в них могут возникать нежелательные и даже опасные колебания, которые надо погасить. К такому роду систем относятся высокоскоростные самолеты и другие летательные аппараты, мощные энергетические системы и т.п. С другой стороны, существуют объекты, в которых, наоборот, необходимо генерировать колебания заданных частот. Таким образом возникает два сорта задач. Первый — такой, где надо погасить колебания. Второй сорт задач связан с необходимостью возбуждения определенных колебаний. При этом часто возникает оптимизационная задача: успокоить или возбудить систему при условии минимизации затрат тех или иных ресурсов.

В чисто математическом плане такие задачи оптимизации формулируются в терминах теории краевых задач для уравнений гиперболического типа. Критерием оптимальности может быть, в общем случае, произвольный функционал, но, как правило, выбирается квадратичный, характеризующий энергию объекта, или связанный в той или иной форме с нормой функции.

Одним из первых, кто сформулировал задачи для гиперболических уравнений в терминах граничного управления, был Ж.-Л. Лионе, см. [2] и [3]. Он изучал задачу гашения колебаний для волнового уравнения в п-мерной области к моменту времени Т в зависимости от граничной функции Была показана неединственность существования таких граничных функций при моменте времени Т, большем, чем 2<Иат(0).

Лионсом был разработан метод, который позволяет изучать вопросы существования и единственности граничного управления для волнового уравнения не только в одномерном случае, но и в многомерном. В дальнейшем его ученики обобщили этот метод на другие виды гиперболических уравнений, например на квазиволновое, однородное транспортное уравнение, а также на автономные системы гиперболических уравнений.

Однако, для выяснения единственности управления в рассматриваемых нами задачах, мы будем опираться на результаты В.А. Ильина, опубликованные в [8], где доказывается единственность решения смешаной задачи для гиперболического уравнения в довольно широком классе областей при несильных требованиях на функции начальных состояний. В такой постановке единственность граничного управления является следствием результатов В.А. Ильина, полученных в указанной выше работе.

Вопросы, посвященные задачам управления, также исследовали Ф.П. Васильев и его ученики (см. [6]). В этой работе Ф.П. Васильев рассматривал вопросы двойственности в задачах управления и наблюдения. Вместе со своими учениками он подошел к конструктивному методу построения граничного управления, сначала при помощи вычислительных методов, а затем и при помощи методов рядов Фурье.

Большой цикл работ по данной теме выполнен В.А. Ильиным и его учениками. Они исследовали задачи существования граничного управления для волнового уравнения.

- В работе [9] Ильиным впервые был введен класс функций И^ЧФг), в терминах которого и решались задачи управления и оптимизации. Здесь область (5т представляет собой прямоугольник {[0 < х < х [0 < £ < Т]}, I — длина струны, а Т — финальный момент времени, опередляющий интервал, за который осуществляется управление.

Общая постановка задач нахождения оптимального управления формулируется следующим образом: найти граничное управление, которое переводит струну из заданного начального состояния в заданное финальное за указанный промежуток времени. Были получены необходимые и достаточные условия принадлежности решения указанному классу И^1, а также необходимые и достаточные условия разрешимости таких задач и существования граничного управления.

В работах [9]-[12] были получены необходимые и достаточные условия на функции, задающие начальное и финальное состояния, при которых удается решить задачу оптимального управления. При этом были представлены аналитические формулы, выражающие явный вид оптимального управления. Было показано, что при достаточно больших временах граничное управление определяется неединственным образом, и была поставлена задача выделения оптимального.

Критерий оптимальности выбирался в зависимости от типа граничного управления и пространства, в котором оно искалось. Самый естественный выбор — это минимизация в L2 интеграла энергии, например

I(И*)]2 + W{t)}2}dt min, 1/(10 € W*[О, Т].

Однако рассматривались, как будет показано ниже, и аналогичные функционалы не только в ¿2, но и в Lp.

Много работ было посвящено нахождению управления в классах Wp(Qr), когда решение волнового уравнения искалось уже в классе W^Qt), где р — натруальное число. В работе [16] В.А. Ильин и Е.И. Моисеев доказали лемму, которая позволила переходить от минимизации функционала к поточечной минимизации функции определенного вида, что значительно продвинуло вперед методы нахождения оптимального управления в таких классах. Также в этой работе была проанализирована единственность оптимального управления в классах W^. Было показано, что оптимальное управление единственно только при р > 1. При р = 1 была продемонстрирована неединственность такого управления.

Дальнейшие методы минимизации в пространствах W^ были развиты Е.И. Моисеевым и A.A. Холомеевой в их работах [4] и [22], где авторами рассматривались вопросы оптимизации уже в пространствах . В этих работах исследуются вопросы построения оптимального управления с нулевыми и ненулевыми начальными данными при больших временах. Авторами была предложена модификация метода оптимизации в таких пространствах. Была показана неединственность оптимального управления при р — 1. В явном виде найдено оптимальное управление при р = 2, а также рассмотрены важные частные случаи оптимального управления при различных иных значениях р. Показано, что в общем случае при р ф 2 в явном виде не удается выписать оптимальное управление.

Большая работа, посвященная граничному управлению, была проведена JT.H. Знаменской (см. [7]), которая исследовала вопросы существования и единственности решения задачи для волнового уравнения в классе L2(Qr), являющимся аналогом класса Щ, но только в данном случае базовым пространством является класс Li- Были рассмотрены вопросы существования оптимального управления в классе L2, найдено значение критического момента времени T^nt, которое является пограничным случаем: если Т < Ткгй, то существет единственное граничное управление, но не для любых начальных и финальных состояний. Если же Т > 21-rîf, то такое управление существует для произвольных состояний, но определяется уже неединственным образом. Исследован вопрос существования управления в зависимости от соотношения момента времени Т и Tfcrit и получены необходимые и достаточные уловия существования управления и решения задач для уравнения для обоих возможных случаев: Т < Tkrit и Т > Tknt

Также существенная работа была проведена Е.И. Моисеевым, В.В. Тихомировым и A.A. Никитиным по изучению вопросов, связанных с наличием на границе условий третьего рода (см. [21]), или граничным управлением, заданным третьим краевым условием (см. [23]). Однако в этой работе A.A. Никитин находит оптимальное управление не из условия минимума традиционного функционала, но из минимизации интеграла иного вида.

Опираясь на методы В.А. Ильина, Е.И. Моисеева и их учеников, A.A. Алексеевым и C.B. Лексиной в работе [5] были начаты исследования существования граничного управления для систем волновых уравнений в классе C2(Qt)- Авторами были получены формулы для решения системы, дающие явный вид решения через начальные и граничные функции. Определен минимально возможный момент времени Т^и, за который возможно перевести колебательную систему из произвольного первоначального состояния в произвольное финальное. Найдены оптимальные граничные управления из классов С2[О, Т], Т > Т^и- Найдены необходимые и достаточные условия существования управления при Т < Tknt

Предложенный В.А. Ильиным метод отыскания оптимального граничного управления для волнового уравнения с определенными изменениями можно применить и для отыскания оптимального управления, когда процесс колебаний системы описывается иными, отличными от волнового, гиперболическими уравнениями. В данной работе проведены исследования вопросов существования граничного управления колебаниями трехмерного радиально-симметричного сферического слоя или, иначе, сферического осциллятора.

Вопросы, возникающие в связи с колебаниями сферы, тесно связаны с процессами, протекающими во многих приложениях физики. Например, радиально-симметрические колебания сферы возникают во многих задачах акустики. Подобные задачи являются модельными и рассматриваются в различных акустических системах, например в [20] рассматривается подобная задача для распространения сферических звуковых волн в пространстве или в среде.

При условиях радиальной симметрии потенциал скорости сферической волны будет удовлетворять следующему уравнению колебаний uH(r, t) - \[r2ur(r, i)]r = 0.

Помимо акустики вопросы связанные с колебаниями сферы и сферического осциллятора возникают в физике плазмы. Например в [1] рассматриваются колебания газо-электронного облака в плазме при условии радиальной симметрии. Появляются подобные задачи и в электромагнетизме. Уже в 1894 Аугусто Риги (итал. Augusto Righi) разработал новый метод получения электромагнитных волн, основанный на колебаниях сферического осциллятора. Подобные идеи были положены в разработку кристаллического осциллятора, применяющегося в радиоэлектронике и основанного на колебаниях сферы из пьезоэлемента для создания электрического сигнала заданной частоты1.

Задаче на граничное управление колебаниями шара В.А. Ильин посвятил две работы, в которых исследовался вопрос о существовании управления и такого минимального интервала времени, за который возможно такое управление.

В работе [14] рассматривалось граничное управление колебаниями шара при малых временах, а именно при Т < 2R, где R — радиус шара, при условии существования конечной энергии решения. В этой работе управление искалось в классе W2(Bt), где Вт = {[О, R] х [О, Т]}, а Т обозначает финальный момент времени, к которому необходимо завершить управление. Было доказано, что если Т < 2R, то управление определяется единственным образом. Причем, если Т строго меньше 2R, то управление существует при выполнении дополнительных условий.

В более ранней работе В.А. Ильина [13] было получено необходимое условие принадлежности решения уравнения колебаний шара указанному классу W2, а именно: ограниченность интеграла энергии решения и выполнение следующего соотношения

Иш[г u(r, ¿)] = О i—> для почти всех моментов времени t £ [0, Т].

В настоящей работе рассматриваются колебания трехмерного сферического слоя в условиях радиальной симметрии, описывающиеся уже упоминавшимся уравнением ~2 [rV(r, t))r = в прямоугольнике Вт = {[0 < R\ < г < R2] х [0 < t < Т]}, где R\ и R2 — радиусы внутренней и внешней сфер соответственно, финальный момент времени Т равен 2ml + A (см. [25], [26]). Здесь Д — произвольное число из интервала [0, 21], I — R2 — R\ — ширина слоя, m G N U {0}.

Управление колебаниями такого слоя сосредоточено на сферах. На сфере с радиусом {г = ведется управление при помощи функции f¿(t), а на сфере с радиусом

1 Кристаллический осциллятор представляет собой электрическую цепь, в которой используются резонансные колебания сферы из пьезоэлемента для точного модулирования заданной частоты в цепи. Подобные устройства используются для создания точного часового сигнала в электронике и цифровых приборах и стабилизации частот в радиоприемниках и передатчиках. Наиболее распространенный пьезоэлемент, который используется в осцилляторе — кварц, откуда и идет название кристаллический осциллятор. г = R2} задано управление u(t). Традиционно рассматриваются задачи отыскания граничного оптимального управления {/¿(i), переводящего этот слой за время

Т из произвольного начального состояния {</?(г), в произвольное финальное r), ipi(r)}. В настоящей работе, в отличие от предыдущих, оптимальное управление находится из условия минимизации более общих видов функционалов, связанных с нормой функций.

Вторая

глава диссертации посвящена построению необходимых дополнительных функций. Также в ней формулируются основные исследуемые задачи и кратко формулируются методы их решения с основными моментами, использующимися в этих методах. Вводятся необходимые определения функционального класса, обощенных решений. •

В третьей главе данной работы рассматривается задача об управлении колебаниями при помощи смещения u(R1, t) = /i(i), u(R2, t) = u(t) при достаточно большом времени Т, таком, что управление определено неоднозначно.

В такой постановке функции управления ищутся в классе И^О, Т] и минимизируется функционал от производных этих функций:

J{a2[Rlß'(t)}2 + b2[R2u'(t)]2}dt, о где a и 6 — произвольные, отличные от нуля, константы.

При стандартных предположениях на начальные, финальные и граничные функции: <р(г), </?!(г) е R2], ф{г), ф^г) € L2[Ru R2], ц{0) = ip{Rx), ß(T) = cpx{R0, ¿'(О) = <p(R2), u(T) = <pi(R2), получены явные формулы, описывающие управление {/¿(¿), ^(i)}. Показано, что функции управления в данном случае представляют собой сумму линейной и периодической функций.

В четвертой главе рассматривается управление воздействием силами на обе сферы: uT{r 1, t) + ~u(Ri, t) = ß{t), ur(R2, t) + -^-u{R2, t) = u(t), li\ Л также при достаточно больших значениях Г, гарантирующих неединственное управление.

Задание управлений подобным образом дает возможность учитывать влияние силы в процессе управления и является наиболее актуальным в физических приложениях. Здесь функции ß(t) и v{t) ищутся уже в классе Ь2[0, Т] и при этом минимизируется функционал от самих этих функций:

J{a2[Rlfi(t)]2 + b2[R2u(t)}2}dt о где аи5 - также произвольные, отличные от нуля, константы.

В этом случае, также при стандартных предположениях на начальные и финальные функции: <р(г), <р1(г) е ИЩ, Ф(г), фг(г) € Ь2[Яи Я2], управление */(£)} выписывается в явном виде. Однако, в отличие от задачи, рассмотренной в главе 3, сами функции управления уже не будут представлять собой сумму линейной и периодической функции. Кроме того, сами эти функции также не являются периодическими, но таковой уже является их линейная комбинация, с^Ях/хф + Ь2^"^)» с периодом 21.

Отдельный практический интерес представляют собой задачи, связанные с управлением за малый временной интервал. В работах В.А. Ильина [11] и [12] были полностью исследованы вопросы существования граничного управления колебаниями струны смещением либо на одном конце, при условии закрепления второго, т.е. о, г) = ¿¿(г), г) = о, либо одновременнно на обоих концах струны, а именно и(о, г) = /х(г), и(1, г) =

Также в работе П.А. Рево и Г.Д. Чабакаури [24] были рассмотрены аналогичные вопросы сущестования граничного управления смещением на одном конце при свободном втором: о, г) = /х(г), их{1, г) = о, при малом выборе момента времени Т.

Для таких постановок задач граничного управления было определено критическое значение времени Т^ц- Кроме этого были получены необходимые и достаточные условия существования управления, которым должны подчиняться начальные и финальные условия, если Т < Т^и, и Для таких интервалов времени показана единственность искомого граничного управления.

В пятой главе проводится исследование аналогичного вопроса о существовании граничного управления при малых временах. Рассмотрено два варианта управления колебаниями сферического слоя: управление на двух сферах либо силой иг(Лг, г) + -¿-«(Ль г) = (¿{г), мг(я2, г) + *) = л-1 Щ либо смещением и(Яг, г) = /г(*), «(Да, = Кг).

В обоих задачах определения управления промежуток времени меньше или равен критического, который, в данном случае, равен /, т.е. ширине слоя. Для обоих случаев найдены необходимые и достаточные условия существования граничного управления, которые накладываются на начальные и финальные данные. Всего таких условий три.

Первое и второе условия задаются на отрезках: тч>\{т) - (г - тыг - т) + ЯтШ - № +2ХЯХ + Т)г т—Т

У ртр1(р)с1р+ ! рФШр = 0, г <= [Дх + Г, Я2].

Я1+Т Й гМг) - (Г + Т)<р(г + Т) - (Я2 - -Т) + Я2</>(Я2)

- I рФхШр+ I рФ{р)^р = о, г е [ль д2 - т]. г т+Т

Третье условие эквивалентно необходимому и достаточному условию, которое возникает при управлении за критический промежуток времени:

Я2 К-1+7 Д 2 Л1+7'

J рфх{р)йр+ J рфх(р)йр+ I рф{р)(1р-)г J рф(р)(1р = ИгМИг) - ЯМЯг) + Я2^(Я2) - Я2<^(Я2) + № + Т)^! + Т)

-(Ях + + Г) + (Я2 - Т)^(Я2 - Т) - (Я2 - 7>(Я2 - Т).

Видно, что чем меньше момент времени Т, тем жестче первые два условия по отношению к начальным и финальным функциям.

Отдельного упоминания заслуживает случай, когда момент времени Т строго равен критическому. В этом случае первое и второе условия существования граничного управления, указанные выше, вырождаются, и остается лишь одно необходимое и достаточное условие существования управления:

У рШр) + Ф(р)]4р = Я1ЫД1) - (^(Ях)] + я2ыя2) - *>№)]•

При этом необходимо заметить, что в случае управления смещением к этим условиям добавляется еще и условие совпадения следов на границе:

ОН^Ях), р(Т) = ^(Ях), ^(0) = ¥>(Я2), =

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сергеев, Сергей Андреевич, 2010 год

1. Dvornikov М., Dvornikov S. Electron gas oscillations in plasma. Theory and applications. //Advances in Plasma Physics Research, 2007, vol. 5, pp. 197-212

2. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed sustems. // SIAM Review, vol. 30, N 1, p. 1-68.

3. Lions J.-L. On the controllability of distributed systmes. //Proc. of National Academy of Science of USA, vol. 94, p. 4828-4835, May, Applied Mathematics.

4. Moiseev E.I., Kholomeeva A.A. Optimization of the boundary control of string vibrations in the excitation problem with a fixed endpoint in the class Wf. //Differential Equations, 2009, vol. 45, No 5, pp. 1-5

5. Андреев А.А., Лексина С.В. Система волновых уравнений с граничным управлением первого рода. //Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия, 2008, N 2(61), с. 10 21.

6. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. //Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, N 11, с. 1893-1900

7. Знаменская JI.H. Управление упругими колебаниями. //Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2004 г., 176 с.

8. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. //Успехи математических наук, 1960, т. 15, вып. 2, с. 97-154

9. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени. //Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, N 11, с. 1517-1534

10. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце. //Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, N 12, с. 1640-1659

11. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. //Дифференциальные уравнения, 2000, т. 36, N 11, с. 1513-1528

12. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. //Дифференциальные уравнения, 2000, т. 36 N 12, с. 16701686

13. Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара. //Труды МИАН, 2001, т. 232, с. 144-155

14. Ильин В.А. Граничное управление сферически-симметричными колебаниями шара при условии существования конечной энергии. //ДАН 2003, т. 392, N 3, с. 309-312

15. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Минимизация интеграла от модуля производной граничного управления, возведенного в произвольную степень р > 1. //Дифференциальные уравнения, 2006, т. 42, N 11, с. 1633-1644

16. Ильин В.А. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничных управлений смещениями на двух концах струны. // Дифференциальные уравнения, 2007, т. 43, N 11, с. 1528-1544

17. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация управления на двух концах струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промежуток времени. // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, N 1, с. 89-110

18. Ильин В.А. О независимости оптимальных граничных управнений колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий. //Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, N 3, с. 383-389

19. Крендалл Ирвинг Б. Акустика. //Пер. с англ. 4-е издание, Москва, Издательство "Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009 г., 168 с.

20. Моисеев Е.И., Тихомиров В.В. О волновом процессе с конечной энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом закреплении на другом.// Нелинейная динамика и управление, 2005, вып. 5, с. 42-52

21. Моисеев Е.И., Холомеева A.A. Оптимизация граничного управления смещением на одном конце струны при закрепленном втором конце в классе W^ //Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, N 7, с. 941-946

22. Никитин A.A. О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим и первым краевыми условиями. //Дифференциальные уравнения, 2007, т. 43, N 12, с. 16921700

23. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обощенного решения волнового уравнения с конечной энергией. //Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, N 8, с. 1082-1095

24. Сергеев С.А. К задаче об оптимальном граничном управлении колебаниями сферического слоя. //Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, N 10, с. 1480-1491

25. Сергеев С.А. К задаче об оптимальном граничном управлении специальным третьим краевым условием колебаниями сферического слоя. // Дифференциальные уравнения, 2010, том 46, N 1, с. 129 138