Границы возникновения режимов обобщенной и фазовой синхронизации и особенности поведения показателей Ляпунова вблизи этих границ в однонаправлено связанных потоковых системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Павлов, Александр Сергеевич

• Павлов, Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Павлов, Александр Сергеевич

Содержание

Введение

1 Взаимосвязь обобщенной и фазовой синхронизации в системе двух однонаправлено связанных хаотических осцилляторов

1.1 Режимы обобщенной и фазовой хаотической синхронизации

1.2 Границы обобщенной и фазовой синхронизации в связанных хаотических осцилляторах Ресслера

1.3 Расположение границ обобщенной и фазовой синхронизации в однонаправлено связанных генераторах Кияшко-Пиковского-Рабиновича

1.4 Влияние степени когерентности аттрактора на установление синхронизации

1.5 Выводы по главе 1

2 Соотношение обобщенной и фазовой синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на систему с периодической динамикой

2.1 Обобщенная и фазовая синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на систему с периодической динамикой

2.2 Практические приложения обобщенной синхронизации

2.3 Пути возможного совершенствования способа передачи информации на основе обобщенной синхронизации

2.4 Выводы по главе 2

3 Поведение показателей Ляпунова при установлении режимов обобщенной и фазовой хаотической синхронизации

3.1 Об использовании ляпуновских показателей для определения качественных изменений в поведении систем

3.2 Поведение условных показателей Ляпунова вблизи границ возникновения режимов обобщенной и фазовой синхронизации

3.3 Оценка старшего условного показателя Ляпунова по временной реализации

3.4 Оценка нулевого условного показателя Ляпунова по временному ряду

3.4.1 Нулевой условный показатель Ляпунова в модельных периодических системах, находящихся под действием шума

3.4.2 Поведение нулевого условного показателя Ляпунова

вблизи границы синхронизации периодических систем, находящихся под действием шума

3.4.3 Оценка нулевого условного показателя Ляпунова в хаотических системах, находящихся вблизи границы

фазовой хаотической синхронизации

3.5 Выводы по главе 3

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Границы возникновения режимов обобщенной и фазовой синхронизации и особенности поведения показателей Ляпунова вблизи этих границ в однонаправлено связанных потоковых системах»

Введение

Актуальность исследуемой проблемы

Исследование синхронизации хаотических колебаний связанных динамических систем представляется в настоящее время одной из актуальных задач современной радиофизики [1-4]. Интерес к этому феномену обусловлен как фундаментальными, так и прикладными аспектами изучения этого вопроса. В частности, хаотическая синхронизация может найти применение при скрытой передаче информации, в физических, физиологических, биологических, химических системах, при управлении хаосом в системах радиофизики и микроволновой электроники и т.д. (см., например, [5-20]). В настоящее время известны различные типы хаотического синхронного поведения связанных нелинейных систем. Это, прежде всего, полная синхронизация [21], синхронизация с запаздыванием (^-синхронизация) [22], обобщенная синхронизация [23], фазовая синхронизация [24,25], индуцированная шумом синхронизация [26,27] и др.

Среди вышеназванных типов хаотической синхронизации особый интерес представляют режимы обобщенной и фазовой синхронизации. Существует достаточно большое число работ, направленных на определение факта существования этих режимов, разработку методов их диагностики и анализа, определение количественных и качественных характеристик, выявление механизмов возникновения и изучение эффектов, имеющих место на границах этих режимов (см., например, [28-51]). В то же самое время, почти все известные работы посвящены, как правило, изучению этих типов синхронного поведения в отдельности, в то время как вопросы взаимосвязи этих режимов в литературе практически не рассматриваются. Исключение представляют работы [52-54], в которых описываются общие подходы

4

к анализу сразу нескольких типов хаотической синхронизации, последовательно сменяющих друг друга при изменении значения параметра связи, при этом каждый тип синхронного поведения рассматривается как частный случай единого типа синхронной хаотической динамики, названного синхронизацией временных масштабов (спектральных компонент). Однако, вопрос о взаимосвязи различных типов хаотической синхронизации при изменении силы связи и расстройки параметров между взаимодействующими системами, несмотря на всю значимость, до настоящего момента детально не рассматривался. Поэтому настоящая диссертационная работа нацелена на систематическое изучение поведения систем вблизи границ установления режимов фазовой и обобщенной синхронизации и содержит решение нескольких тесно связанных друг с другом задач. В частности, в диссертационной работе большое внимание уделено определению закономерностей поведения границ обобщенной и фазовой хаотической синхронизации при изменении величины параметра связи и расстройки параметров между системам и взаимосвязи между ними. Для этого рассмотрен также вопрос о трансформации спектрального состава сигнала ведомой системы при установлении этих типов хаотической синхронизации.

Режимы обобщенной и фазовой хаотической синхронизации наблюдаются, как правило, в неавтономных (например, находящихся под внешним гармоническим воздействием — режим фазовой синхронизации) и связанных (режимы обобщенной и фазовой синхронизации) хаотических системах. В то же самое время, теоретически не исключена возможность возникновения этих режимов в том случае, когда внешний хаотический сигнал воздействует на систему, демонстрирующую периодическое поведение. В частности, в работе [55] показана возможность возникновения фазовой синхронизации в данном случае и установлено, что сценарии перехода к этому режиму оказываются теми же, что и в случае двух связанных хаотических систем. Интерес представляет также режим обобщенной синхронизации в случае воздействия хаотической системы на периодическую. Изучению этого режима и его возможных практических приложений (в

частности, для скрытой передачи информации по каналам связи с высоким уровнем шумов) также посвящена настоящая диссертационная работа.

Важную роль при изучении хаотической синхронизации играют показатели Ляпунова [56-62]. В частности, для однонаправлено связанных хаотических систем известно, что переход условного нулевого показателя Ляпунова в область отрицательных значений предшествует установлению режима фазовой синхронизации [61,63], а отрицательность условного положительного ляиуновского показателя свидетельствует об установлении режима обобщенной синхронизации в исследуемой системе [56]. Этот аппарат оказывается эффективным как при изучении динамики связанных хаотических систем, так и при взаимодействии систем, демонстрирующих периодическую и хаотическую динамику. Можно утверждать, что он является универсальным средством для изучения динамики нелинейных систем, представляющих интерес для изучения.

Расчет ляпуновских показателей динамических систем не вызывает большого труда в том случае, когда оператор эволюции системы задан в явном виде: можно получить уравнения в вариациях, описывающие эволюцию малых возмущений, и применить алгоритм Бенеттина с процедурой ортогонализации Грамма-Шмидта [64]. Однако, может возникнуть необходимость, например, при обработке экспериментальных данных, в расчете показателей Ляпунова, когда единственной доступной характеристикой является временная реализация изучаемой системы. В настоящее время известно несколько методов (см., например, [65-68]), позволяющих рассчитать несколько старших показателей Ляпунова по временному ряду, однако, все они не свободны от недостатков и применяются, как правило, для подтверждения наличия хаоса в автономных системах. Применение подобных методов к связанным системам приводит к большим погрешностям расчета, а в большинстве случаев делает точную оценку ляпуновских показателей, представляющих интерес для исследования, и вовсе невозможной. Поэтому в настоящей диссертационной работе большое внимание уделяется также разработке методов оценки условных (нулевого и положительного) показателей Ляпунова по временным данным.

Таким образом, на основании вышеизложенного можно заключить, что изучение взаимосвязи режимов обобщенной и фазовой хаотической синхронизации и поведения показателей Ляпунова вблизи границ этих режимов представляет интерес для современной радиофизики, что делает тему диссертационной работы важной и актуальной.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является выявление особенностей границ возникновения режимов обобщенной и фазовой синхронизации и поведения показателей Ляпунова вблизи этих границ в однона-правлено связанных потоковых системах, разработка новых методов их анализа и определение взаимосвязи между ними.

Основными вопросами, подробно рассмотренными в диссертационной работе, являются следующие:

• исследование особенностей расположения границ обобщенной и фазовой синхронизации в однонаправлено связанных хаотических осцилляторах при изменении управляющих параметров;

• изучение трансформации спектрального состава сигнала ведомой системы при установлении режимов обобщенной и фазовой синхронизации;

• исследование возможности установления режимов обобщенной и фазовой синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на генераторы периодических колебаний;

• разработка способа скрытой передачи информации на основе обобщенной синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на генераторы периодических колебаний;

• разработка методов оценки условных показателей Ляпунова но временной реализации.

Результаты настоящей диссертационной работы позволяют выявить

особенности поведения нелинейных динамических систем, находящихся в

7

режимах обобщенной и фазовой синхронизации. Они обладают высокой степенью общности, что дает возможность распространить полученные результаты на широкий класс нелинейных систем различной природы.

Научная новизна

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в определении закономерностей поведения границ режимов обобщенной и фазовой хаотической синхронизации при изменении величины расстройки параметров между взаимодействующими системам, а также особенностей поведения показателей Ляпунова при установлении этих синхронных режимов.

Впервые получены следующие научные результаты:

• Обнаружены особенности в поведении границ режимов обобщенной и фазовой синхронизации в системе двух однонаправлено связанных генераторов Кияшко-Пиковского-Рабиновича. Показано, что в случае относительно больших значений расстройки собственных частот взаимодействующих систем возможно возникновение режима обобщенной синхронизации но сценарию, характерному для относительно слабых значений частотной расстройки.

• Исследована трансформация спектрального состава сигнала ведомой системы при установлении режимов обобщенной и фазовой синхронизации. Для изучения проявления режимов обобщенной и фазовой синхронизации на спектральном языке введены в рассмотрение количественные характеристики.

• Обнаружена обобщенная синхронизация в случае воздействия внешнего хаотического сигнала на систему с периодической динамикой. Выявлены особенности поведения границы этого режима по сравнению со случаем двух однонаправлено связанных хаотических систем.

• Обнаружена возможность использования обобщенной синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на систему с периодиче-

8

ской динамикой для скрытой передачи информации. Выявлены принципиальные достоинства предложенного способа скрытой передачи данных по сравнению с известными аналогами.

• Предложен способ оценки величины условного нулевого показателя Ляпунова по временному ряду и проведена его апробация как на неавтономных системах, демонстрирующих периодическую динамику, в присутствии шума, так и связанных хаотических системах.

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены автором лично или при его непосредственном участии. В ряде совместных работ автором выполнены все аналитические и численные расчеты. Разработка способа передачи информации на основе обобщенной синхронизации в случае воздействия внешнего хаотического сигнала на генераторы периодических колебаний осуществлялась совместно с A.A. Короновским, О.И. Москаленко, Н.С. Фроловым, А.Е. Храмовым, при этом все численные расчеты получены автором лично. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов осуществлены совместно с научным руководителем.

Практическая значимость

Диссертационная работа решает научную задачу, имеющую существенное значение для радиофизики, связанную с выявлением общих закономерностей режимов обобщенной и фазовой синхронизации как связанных хаотических систем, так и периодических генераторов, находящихся под внешним хаотическим воздействием. В качестве объектов исследования в диссертационной работе выбраны эталонные модели теории колебаний, демонстрирующие периодическую (например, автогенератор Ван дер Поля) и хаотическую (системы Ресслера, генераторы Кияшко-Пиковского-Рабиновича) динамику. Эти модели хорошо зарекомендовали себя при решении задач радиофизики, теории колебаний и нелинейной динамики, что позволяет утверждать, что результаты, описанные в диссертационной работе, могут быть обобщены на широкий класс нелинейных систем, включая

9

реальные системы радиофизической и физиологической природы. В частности, предложенный метод оценки величины условного нулевого показателя Ляпунова может быть применен для определения степени синхронности режима синхронизации, установливаемого, например, между различными областями головного мозга человека или лабораторных животных.

Кроме того, обнаруженная в рамках диссертационной работы возможность реализации обобщенной синхронизации не только в случае взаимодействия двух однонаправлено связанных хаотических систем, но и при воздействии хаотического сигнала на генераторы периодических колебаний, позволила разработать способ скрытой передачи информации на основе этого явления. В отличие от своего аналога, основанного на режиме обобщенной синхронизации хаотических систем, он позволяет ликвидировать проблему нестабильности способа при неидентичности управляющих параметров взаимодействующих систем, а также повысить устойчивость к шумам и качество передачи информации.

Результаты, изложенные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс по подготовке бакалавров и магистров по направлению "Радиофизика" в ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского".

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. В системе двух однонаправлено связанных генераторов Кияшко-Пиковского-Рабииовича в случае относительно больших значений расстройки собственных частот возможно возникновение режима обобщенной синхронизации по сценарию, характерному для относительно слабых значений частотной расстройки: в этом случае режим фазовой синхронизации реализуется также по сценарию захвата частот, однако, в отличие от случая слабых расстроек, его разрушение сопровождается потерей фазовой когерентности хаотическим аттрактором ведомой системы.

2. В случае воздействия внешнего хаотического сигнала на систему с периодической динамикой возможно возникновение режима обобщенной синхронизации, при этом порог возникновения синхронного режима сдвигается в сторону меньших значений параметра связи по сравнению со случаем двух связанных хаотических систем, если в ведомой системе не возбуждается собственная хаотическая динамика; в противном случае поведение границы обобщенной синхронизации аналогично случаю двух однонаправлено связанных хаотических систем.

3. Способ скрытой передачи информации на основе обобщенной синхронизации в случае воздействия внешнего хаотического сигнала на систему с периодической динамикой обладает следующими достоинствами по сравнению с известными аналогами, основанными на использовании обобщенной синхронизации хаотических колебаний: стабильность при неидентичности управляющих параметров генераторов принимающего устройства, высокие устойчивость к шумам и качество передачи информации.

4. Аппроксимация плотности распределения вероятности для разности фаз взаимодействующих хаотических систем, находящихся в режиме фазовой синхронизации, и неавтономных периодических осцилляторов, демонстрирующих синхронное поведение в присутствии шума, закономерностью для квадратичного отображения позволяет оценить величину условного нулевого показателя Ляпунова в закритической области значений управляющего параметра и определить степень синхронности установившегося режима.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Она содержит 110 страниц текста, включая 29 иллюстраций. Список литературы содержит 119 наименований. Во Введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы, сформулирована цель

11

работы, описаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Введение содержит основные положения и результаты, выносимые на защиту, сведения о достоверности и апробации результатов.

Первая глава диссертационной работы посвящена изложению результатов исследования режимов обобщенной и фазовой синхронизации в одно-направлено связанных потоковых системах при изменении величины расстройки параметров между ними. В начале главы дается детальное описание этих типов синхронного поведения и способов их диагностики, кратко описаны результаты, изложенные в этой главе. Последующие разделы главы посвящены результатам исследования влияния величины расстройки параметров между взаимодействующими системами и степени когерентности аттрактора на установление режимов обобщенной и фазовой сип-хропизаций в конкретных потоковых системах.

В этой главе численно получены границы режимов обобщенной и фазовой синхронизации, а также линии появления/потери фазовой когерентности хаотическим аттрактором ведомой системы для двух однонаправле-но связанных осцилляторов Ресслера и генераторов Кияшко-Пиковского-Рабиновича. Показано, что для обеих рассмотренных систем расположение границ возникновения синхронных режимов существенном образом зависит от величины расстройки между ними. При этом, в случае относительно слабой расстройки параметров режим обобщенной синхронизации наступает после режима фазовой синхронизации (возникновение фазовой синхронизации обусловлено синхронизацией основной спектральной компоненты ведомой системы, а обобщенная синхронизация возникает за счет синхронизации основной спектральной компоненты и ее субгармоник), в то время как при относительно большой расстройке фазовая синхронизация оказывается, как правило, сильнее обобщенной: В этом случае возникновение обобщенной синхронизации связано с синхронизацией двух спектральных компонент, соответствующих собственным частотам ведущей и ведомой систем, а возникновение/разрушение фазовой синхронизации происходит через появление/потерю фазовой когерентности хаотическим аттрактором ведомой системы.

Однако, в некоторых случаях, например, для двух одпонаправлено связанных генераторов Кияшко-Пиковского-Рабиновича в случае относительно больших значений расстройки собственных частот возможно возникновение режима обобщенной синхронизации по сценарию, характерному для относительно слабых значений частотной расстройки: в этом случае режим фазовой синхронизации реализуется также по сценарию захвата частот, однако, в отличие от случая слабых расстроек, его разрушение сопровождается потерей фазовой когерентности хаотическим аттрактором ведомой системы.

Отдельно рассмотрен вопрос о влиянии степени когерентности аттрактора на установление синхронизации. На примере систем Ресслера показано, что не только расстройка собственных частот взаимодействующих систем влияет на сценарии возникновения обобщенной и фазовой синхронизации, по и степень когерентности хаотических аттракторов оказывает существенное влияние на установление этих режимов. При этом, сценарии возникновения/разрушения исследуемых типов хаотической синхронизации остаются теми же, что и при изменении частотной расстройки.

Во второй главе диссертационной работы представлены результаты исследования воздействия внешнего хаотического сигнала на систему с периодической динамикой в том случае, когда ведомая система демонстрирует сложнопериодический режим. На примере систем Ресслера и генераторов Кияшко-Пиковского-Рабиновича показано, что в данном случае возможно также установление режимов обобщенной и фазовой синхронизации, причем способы диагностики, механизмы возникновения и соотношение границ этих режимов оказываются практически теми же, что и в случае однонаправлено связанных хаотических систем. Особое внимание в этой главе уделено режиму обобщенной синхронизации в случае воздействия хаотического сигнала на генераторы периодических колебаний. Установлено, что порог возникновения этого типа хаотической синхронизации сдвигается в сторону меньших значений параметра связи, как это имеет место в системах Ресслера, если в ведомой системе не возбуждается собственная хаотическая динамика. Если же возбуждение хаотической ди-

намики ведомой системы имеет место быть (как это происходит, например, в генераторах Кияшко-Пиковского-Рабиновича), поведение границы обобщенной синхронизации оказывается качественно аналогичным последнему в случае двух однонаправлено связанных хаотических систем.

Исследованы возможные практические приложения режима обобщенной синхронизации в случае воздействия внешнего хаотического сигнала на периодическую систему. Показано, что как и при взаимодействии однонаправлено связанных хаотических систем, возможно использование этого режима для скрытой передачи информации и в данном случае. Установлено, что использование генераторов периодических колебаний в принимающем устройстве позволяет ликвидировать проблему нестабильности работы способа при неидентичности управляющих параметров взаимодействующих систем, а также повысить устойчивость к шумам и качество передачи информации.

Рассмотрены пути возможного совершенствования предложенного способа передачи информации на основе обобщенной синхронизации. Показано, что добавление дополнительного генератора шума на передающую сторону канала связи, а также изменение его характеристик ложным сообщением практически не влияют на качество передачи информации, позволяя повысить конфиденциальность передачи информации указанным способом.

Третья глава диссертационной работы посвящена изучению поведения показателей Ляпунова при установлении режимов обощеиной и фазовой хаотической синхронизации. Особое внимание уделено разработке методов оценки условных (нулевого и старшего) показателей Ляпунова по временным рядам в закритической области значений параметра связи. Применение этих методов к исследуемым системам позволяет определить степень синхронности установившегося синхронного режима: абсолютная величина условного положительного ляпуновского показателя показывает степень обобщенной синхронизации, в то время как величина нулевого условного показателя Ляпунова может быть рассмотрена как степень фазовой синхронизации. Для оценки величины старшего условного ноказате-

ля Ляпунова модифицирован метод вспомогательной системы. Показано, что величина старшего условного показателя Ляпунова однозначна связана с длительностью переходного процесса, предшествующего установлению обобщенной синхронизации, оценить которую можно, как раз при помощи модификации метода вспомогательной системы. Для этого необходимо подавать один и тот же предварительно записанный сигнал па исследуемую систему дважды, тем самым первый раз имитируя ведомую систему, второй — вспомогательную, и сравнивая состояния этих систем при некоторой наперед заданной точности, определить длительность переходного процесса. Значение старшего показателя Ляпунова может быть тогда получено как обратная величина от углового коэффициента наклона графика зависимости длительности переходного процесса от логарифма точности.

Чтобы оценить условный нулевой показатель Ляпунова в закритиче-ской области значений параметра связи предложен подход, основанный на аппроксимации распределения разности фаз взаимодействующих систем, находящихся в режиме фазовой синхронизации, распределением, полученным для квадратичного отображения [69]. При этом, связь между параметрами аппроксимации определялась из условия совпадения максимумов аналитически и численно полученных распределений. Предложенный подход применен для оценки нулевого показателя Ляпунова систем как демонстрирующих периодическую динамику, в присутствии шума, так и связанных хаотических систем. Во всех случаях получено хорошее совпадение результатов предложенного метода с результатами расчета того же показателя Ляпунова при помощи алгоритма Бенеттина и процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта.

В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулированы основные результаты и выводы.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов диссертационной работы определяется физической обоснованностью выбранных моделей, использованием строгих

15

математических методов и критериев для их анализа, совпадением результатов при использовании различных методов диагностики анализируемых систем и отсутствием противоречий с уже известными, опубликованными в научной литературе результатами.

Апробация результатов и публикации

Настоящая диссертационная работа выполнена иа кафедре физики открытых систем факультета нелинейных процессов ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского".

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении научно-исследовательских работ по грантам Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты 12-02-00221-а, 14-02-31088-мол-а) и Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (соглашение № 14.В37.21.1289 от 21 сентября 2012 г., ГК № П586 от 18 мая 2010 г., П2492 от 20 ноября 2009 г.).

Представленные результаты неоднократно докладывались на различных научных конференциях и семинарах и отражены в тезисах докладов: научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (СГУ, Саратов, 2011-2012) [70], конференции для молодых ученых "Presenting Academic Achievements to the World" (СГУ, Саратов, 2012) [71], VII Всероссийской конференции молодых ученых "Наноэлектроника, на-нофотоника и нелинейная физика" (СФ ИРЭ РАН, Саратов, 2012) [72], X Международной школы "ХАОС-2013" (СГУ, Саратов, 2010) [73], Международной научно-технической конференции, приуроченной к 50-летию МРТИ-ВГУИР (БГУИР, Минск, 2014) [74]. Всего 5 публикаций в трудах конференций.

Результаты работы опубликованы в центральных реферируемых научных журналах, таких как "Журнал технической физики" [75], Письма в журнал технической физики [76,77], Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика [78] (всего 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ для

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Павлов, Александр Сергеевич, 2014 год

Список литературы

[1] А. С. Пиковский, A4. Г. Розенблюм, Ю. Курте, Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление, М.: Техносфера, 2003.

[2] В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций., Издательский Дом "Интеллект", 2009.

[3] V. S. Anishchenko, V. V. Astakhov, А. В. Neiman, Т. Е. Vadivasova, L. Schimansky-Geier, Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development., 2nd Edition, Springer, 2007.

[4] S. Boccaletti, J. Kurths, G. V. Osipov, D. L. Valladares, С. S. Zhou, The synchronization of chaotic systems, Physics Reports 366 (2002) 1-101.

[5] L. Glass, Synchronization and rhythmic processes in physiology, Nature (London) 410 (2001) 277-284.

[6] Д. Э. Постнов, С. К. Хан, Механизм противофазной синхронизации в моделях нейронов, Письма в ЖТФ 25 (4) (1999) 11-18.

[7] V. S. Anishchenko, A. G. Balanov, N. В. Janson, N. В. Igosheva, G. V. Bordyugov, Entrainment between heart rate and weak nonlinear forcing, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (10) (2000) 2339-2348.

[8] P. S. Landa, A. Rabinovitch, Exhibition of intrinsic properties of certain systems in response to external disturbances, Phys. Rev. E 61 (2) (2000) 1829-1838.

[9] A. Hramov, A. Koronovskii, V. Ponomarenko, M. Prokhorov, Detection

of synchronization from univariate data using wavelet transform, Physical

98

Review E (Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics) 75 (5) (2007) 056207.

[10] A. R. Kiselev, V. I. Gridnev, M. D. Prokhorov, A. S. Karavaev, О. M. Posnenkova, V. I. Ponomarenko, B. P. Bezruchko, V. A. Shvartz, Evaluation of 5-year risk of cardiovascular events in patients after acute myocardial infarction using synchronization of 0.1-hz rhythms in cardiovascular system., Annals of Noninvasive Electrocardiology 17 (3) (2012) 204-213.

[11] P. Parmananda, Generalized synchronization of spatiotemporal chemical chaos, Phys. Rev. E 56 (1997) 1595-1598.

[12] J. P. Lachaux, et al., Studying single-trials of the phase synchronization activity in the brain, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (10) (2000) 24292439.

[13] D. J. DeShazer, R. Breban, E. Ott, R. Roy, Detecting phase synchronization in a chaotic laser array, Phys. Rev. Lett. 87 (4) (2001) 044101.

[14] А. С. Дмитриев, А. И. Паиас, Динамический хаос: новые носители информации для систем связи, М.: Физматлит, 2002.

[15] Д. И. Трубецков, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Синхронизация распределенных автоколебательных систем электронно-волновой природы с обратной волной, Изв. вузов. Радиофизика XLVII (5-6) (2004) 343-372.

[16] P. Bob, М. Palus, М. Susta, К. Glaslova, Eeg phase synchronization in patients with paranoid schizophrenia, Neuroscience Letters 447 (2008) 73-77.

[17] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации, Успехи физических наук 179 (12) (2009) 1281-1310.

[18] M. Teplan, К. Susmakova, М. Palus, М. Vejmlka, Phase synchronization in human eeg during audio- visual stimulation, Electromagnetic Biology and Medicine 28(1) (2009) 80-84.

[19] V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov, A. S. Karavaev, D. D. Kulminskiy, An experimental digital communication scheme based on chaotic time-delay system, Nonlinear Dynamics 74 (2013) 1013-1020.

[20] V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov, A. S. Karavaev, A. R. Kiselev, V. I. Gridnev, B. P. Bezruchko, Synchronization of low-frequency oscillations in the cardiovascular system: Application to medical diagnostics and treatment, Eur. Phys. J. Special Topics 222 (2013) 2687-2696.

[21] L. M. Pecora, T. L. Carroll, Synchronization in chaotic systems, Phys. Rev. Lett. 64 (8) (1990) 821-824.

[22] M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 78 (22) (1997) 4193-4196.

[23] N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. Tsimring, H. D. I. Abarbanel, Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems, Phys. Rev. E 51 (2) (1995) 980-994.

[24] В. С. Анищенко, Д. Э. Постнов, Эффект захвата фазовой частоты хаотических колебаний. Синхронизация странных аттракторов., Письма в ЖТФ 14 (6) (1988) 569.

[25] A. S. Pikovsky, М. G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronisation in regular and chaotic systems, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (10) (2000) 2291-2305.

[26] S. Fahy, D. R. Hamann, Transition from chaotic to nonchaotic behavior in randomly driven systems, Phys. Rev. Lett. 69 (5) (1992) 761-764.

[27] R. Toral, C. R. Mirasso, E. Hernandez-Garsia, O. Piro, Analytical and numerical studies of noise-induced synchronization of chaotic systems, Chaos 11 (3) (2001) 665-673.

[28] В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, Д. Э. Постнов, М. А. Сафонова, Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса, Радиотехника и электроника 36 (1991) 338.

[29] Н. D. I. Abarbanel, N. F. Rulkov, М. М. Sushchik, Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach, Phys. Rev. E 53 (5) (1996) 4528-4535.

[30] M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 76 (11) (1996) 1804-1807.

[31] L. Kocarev, U. Parlitz, Generalized synchronization, predictability, and equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems, Phys. Rev. Lett. 76 (11) (1996) 1816-1819.

[32] U. Parlitz, L. Junge, W. Lauterborn, L. Kocarev, Experimental observation of phase synchronization, Phys. Rev. E 54 (2) (1996) 21152117.

[33] A. S. Pikovsky, G. V. Osipov, M. G. Rosenblum, M. Zaks, J. Kurths, Attractor-repeller collision and eyelet intermittency at the transition to phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 79 (1) (1997) 47-50.

[34] E. Rosa, E. Ott, M. H. Hess, Transition to phase synchronization of chaos, Phys. Rev. Lett. 80 (8) (1998) 1642-1645.

[35] K. Pyragas, Properties of generalized synchronization of chaos, Nonlinear Analysis: Modelling and Control IMI (3) (1998) 101-129.

[36] K. J. Lee, Y. Kwak, Т. K. Lim, Phase jumps near a phase synchronization transition in systems of two coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 81 (2) (1998) 321-324.

[37] Z. Zheng, G. Hu, Generalized synchronization versus phase synchronization, Phys. Rev. E 62 (6) (2000) 7882-7885.

[38] I. Z. Kiss, J. L. Hudson, Phase synchronization and suppression of chaos through intermittency in forcing of an electrochemical oscillator, Phys. Rev. E 64 (4) (2001) 046215.

[39] A. Shabunin, V. Demidov, V. Astakhov, V. S. Anishchenko, Information theoretic approach to quantify complete and phase synchronization of chaos, Phys. Rev. E 65 (5) (2002) 056215.

[40] S. Boccaletti, E. Allaria, R. Meucci, F. T. Arecchi, Experimental characterization of the transition to phase synchronization of chaotic CO2 laser systems, Phys. Rev. Lett. 89 (19) (2002) 194101.

[41] M. S. Baptista, T. P. Silva, T. P. Sartorelli, I. L. Caldas, E. Rosa, Phase synchronization in the perturbed chua circuit, Phys. Rev. E 67 (5) (2003) 056212.

[42] A. Uchida, K. Higa, T. Shiba, S. Yoshimori, F. Kuwashima, H. Iwasawa, Generalized synchronization of chaos in He-Ne lasers, Phys. Rev. E 68 (1) (2003) 016215.

[43] L. Zhao, Y. C. Lai, R. Wang, J. Y. Gao, Limits to chaotic phase synchronization, Europhysics Letters 66 (3) (2004) 324-330.

[44] В. С. Анищенко, Т. E. Вадиваеова, Взаимосвязь частотных и фазовых характеристик хаоса. Два критерия синхронизации, Радиотехника и электроника 49 (1) (2004) 123.

[45] А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, Intermittent generalized synchronization in unidirectionally coupled chaotic oscillators, Europhysics Lett. 70 (2) (2005) 169-175.

[46] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Generalized synchronization: a modified system approach, Phys. Rev. E 71 (6) (2005) 067201.

[47] S. Guan, С. H. Lai, G. W. Wei, Bistable chaos without symmetry in generalized synchronization, Phys. Rev. E 71 (3) (2005) 036209.

[48] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, S. Boccaletti, Ring intermittency in coupled chaotic oscillators at the boundary of phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 97 (2006) 114101.

[49] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, Two types of phase

synchronization destruction, Phys. Rev. E 75 (3) (2007) 036205.

102

[50] В. S. Dmitriev, A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, A. V. Starodubov, D. I. Trubetskov, Y. D. Zharkov, First experimental observation of generalized synchronization phenomena in microwave oscillators, Physical Review Letters 102 (7) (2009) 074101.

[51] О. I. Moskalenko, A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, A. A. Ovchinnikov, Effect of noise on generalized synchronization of chaos: theory and experiment, Europhysics Journal В 82 (1) (2011) 69-82.

[52] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, An approach to chaotic synchronization, Chaos 14 (3) (2004) 603-610.

[53] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, О. I. Moskalenko, Synchronization of spectral components and its regularities in chaotic dynamical systems, Phys. Rev. E 71 (5) (2005) 056204.

[54] A. Shabunin, V. Astakhov, J. Kurths, Quantitative analysis of chaotic synchronization by means of coherence, Phys. Rev. E 72 (1) (2005) 016218.

[55] О. И. Москаленко, Переход к фазовой синхронизации в случае воздействия внешнего хаотического сигнала на систему с периодической динамикой, Письма в ЖТФ 33 (19) (2007) 72-79.

[56] К. Pyragas, Conditional Lyapunov exponents from time series, Phys. Rev. E 56 (5) (1997) 5183-5188.

[57] R. M. Diinki, Largest lyapunov-exponent estimation and selective prediction by means of simplex forecast algorithms, Phys. Rev. E 62 (5) (2000) 6505-6515.

[58] R. Porcher, G. Thomas, Estimating lyapunov exponents in biomedical time series, Phys. Rev. E 64 (1) (2001) 010902(R).

[59] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, О. I. Moskalenko, Are generalized synchronization and noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators?, Phys. Lett. A 354 (5-6) (2006) 423-427.

[60] К. Thamilmaran, D. V. Senthilkumar, A. Venkatesan, M. Lakshmanan, Experimental realization of strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced electronic circuit, Phys. Rev. E 74 (2006) 036205.

[61] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, M. K. Kurovskaya, Zero Lyapunov exponent in the vicinity of the saddle-node bifurcation point in the presence of noise, Phys. Rev. E 78 (2008) 036212.

[62] A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, V. A. Maksimenko, О. I. Moskalenko, Computation of the spectrum of spatial lyapunov exponents for the spatially extended beam-plasma systems and electron-wave devices, Physics of Plasmas 19 (8) (2012) 082302.

[63] G. V. Osipov, В. Ни, C. S. Zhou, M. V. Ivanchenko, J. Kurths, Three types of transitons to phase synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 91 (2) (2003) 024101.

[64] G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, J. M. Strelcyn, Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. P.I. Theory. P. II. Numerical application, Meccanica 15 (1980) 9-30.

[65] A. Wolf, J. Swift, H. L. Swinney, J. Vastano, Determining lyapunov exponents from a time series, Physica D 16 (1985) 285.

[66] J. P. Eckmann, S. O. Kamphorst, D. Ruelle, D. Gilberto, Lyapunov exponents from a time series, Phys. Rev. A 34 (6) (1986) 4971-4979.

[67] С. П. Кузнецов, Динамический хаос, серия "Современная теория колебаний и волн", М.: Физматлит, 2001.

[68] 10. А. Передерий, Метод оценки спектра ляпуновских показателей по временной реализации, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 20 (1) (2012) 99-104.

[69] А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, А. А. Ovchinnikov, S. Boccaletti, Length distribution of laminar phases for

type-I intermittency in the presence of noise, Phys. Rev. E 76 (2) (2007) 026206.

[70] А. С. Павлов, Обобщенная синхронизация в случае воздействия хаотического сигнала на систему с периодической динамикой, Нелинейные дни в Саратове для молодых-2012. Материалы научной школы-конференции, 2012, сс. 156-159.

[71] A. S. Pavlov, Boundary of generalized synchronization in two unidirectionally coupled tunnel diode generators,, Papers from the conference for young scientists "Presenting Academic Achievements to the World", 2013, pp. 93-98.

[72] А. С. Павлов, Влияние характеристик ведомой системы па установление обобщенной синхронизации, Тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нанофотоннка и нелинейная физика", 2012, сс. 106-107.

[73] А. С. Павлов, О. И. Москаленко, Метод оценки нулевого показателя Ляпунова по временному ряду, Материалы X Международной школы-конференции "Хаотические автоколебания и образование структур", 2013, с. 87.

[74] О. И. Москаленко, А. А. Короновский, А. С. Павлов, Н. С. Фролов, А. Е. Храмов, Способы скрытой передачи информации на основе хаотической синхронизации, Международная научно-техническая конференция, приуроченная к 50-летию МРТИ-БГУИР. Материалы конференции. Часть I, 2014, сс. 245-246.

[75] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. С. Павлов, Н. С. Фролов, А. Е. Храмов, Обобщенная синхронизация в случае воздействия хаотического сигнала на периодическую систему, Журнал технической физики 84 (5) (2014) 1-8.

[76] О. И. Москаленко, А. С. Павлов, Граница обобщенной синхронизации в системе двух однонаправленно связанных генераторов на туннельном диоде, Письма в ЖТФ 37 (23) (2011) 45-52.

105

[77] О. И. Москаленко, А. С. Павлов, Способ оценки нулевого условного показателя Ляпунова но временному ряду, Письма в ЖТФ 40 (12) (2014) 66-72.

[78] А. С. Павлов, Взаимосвязь обобщенной и фазовой синхронизации в системе двух однонанравленно связанных хаотических осцилляторов, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 20 (1) (2012) 91-98.

[79] Ю. И. Кузнецов, И. И. Мигулин, И. И. Минакова, Б. А. Си льнов, Синхронизация хаотических колебаний, Доклады Академии Наук СССР 275 (6) (1984) 1388.

[80] В. С. Афраймович, H. Н. Веричев, М. И. Рабинович, Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах, Изв. вузов. Радиофизика XXIX (9) (1986) 1050.

[81] П. С. Ланда, М. Г. Розенблюм, О синхронизации распределенных автоколебательных систем, Доклады Академии Наук 324 (1) (1992) 63-38.

[82] P. S. Landa, M. G. Rosenblum, Synchronization and chaotization of oscillations in coupled self-oscillating systems, Appl. Mech. Rev. 46 (7) (1993) 414-426.

[83] В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, и др., Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах, М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

[84] О. И. Москаленко, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Хаотическая синхронизация. Фундаментальные аспекты и практические приложения в информационно-телекоммуникационных системах, LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH and Co.KG, Dudweiler Landstr. 99, 66123 Saarbrucken, Germany, 2011.

[85] E. Sitnikova, A. E. Hramov, V. V. Grubov, A. A. Ovchinnkov, A. A. Koronovsky, On-off intermittency of thalamocortical oscillations in the

electroencephalogram of rats with genetic predisposition to absence epilepsy, Brain Research 1436 (2012) 147-156.

[86] A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences, Cambridge University Press, 2001.

[87] V. S. Anishchenko, V. Astakhov, A. Neiman, Т. E. Vadivasova, L. Schimansky-Geier, Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Developments, Springer-Verlag, Heidelberg, 2001.

[88] K. Pyragas, Weak and strong synchronization of chaos, Phys. Rev. E 54 (5) (1996) R4508-R4511.

[89] S. Guan, Y. C. Lai, С. H. Lai, Effect of noise on generalized chaotic synchronization, Phys. Rev. E 73 (2006) 046210.

[90] M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Phase synchronization in driven and coupled chaotic oscillators, IEEE Transactions on Circuits and Systems I 44 (10) (1997) 874-881.

[91] A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, G. V. Osipov, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving, Physica D 104 (4) (1997) 219-238.

[92] M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Locking-based frequency measurement and synchronization of chaotic oscillators with complex dynamics, Phys. Rev. Lett. 89 (26) (2002) 264102.

[93] А. А. Короновский, M. К. Куров.ская, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Два сценария разрушения режима хаотической фазовой синхронизации, ЖТФ 77 (1) (2007) 21-29.

[94] А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, О. I. Moskalenko, Generalized synchronization onset, Europhysics Letters 72 (6) (2005) 901-907.

[95] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Граница возникновения режима обобщенной синхронизации хаотических осцилляторов, Радиотехника и электроника 52 (8) (2007) 949-960.

107

[96] О. И. Москаленко, Синхронизация спектральных компонент в системах с однонаправленной связью, Журнал технической физики 80 (8) (2010) 1-7.

[97] В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, Г. И. Стрелкова, Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний, М.-Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2008.

[98] Т. Е. Вадивасова, В. С. Анищенко, Г. А. Окрокверцхов, А. С. Захарова, Статистические свойства мгновенной фазы зашумленных периодических и хаотических автоколебаний, Радиотехника и электроника 51 (5) (2006) 580-592.

[99] А. А. Короиовский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, О механизмах, приводящих к установлению режима обобщенной синхронизации, ЖТФ 76 (2) (2006) 1-9.

[100] А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, Generalized synchronization in coupled Ginzburg-Landau equations and mechanisms of its arising, Phys. Rev. E 72 (3) (2005) 037201.

[101] О. I. Moskalenko, A. A. Koronovskii, A. E. Hramov, Generalized synchronization of chaos for secure communication: Remarkable stability to noise, Phys. Lett. A 374 (2010) 2925-2931.

[102] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Скрытая передача информации на основе режима обобщенной синхронизации в присутствии шумов, Журнал технической физики 80 (4) (2010) 1-8.

[103] J. Terry, G. VanWiggeren, Chaotic communication using generalized synchronization, Chaos, Solitons and Fractals 12 (2001) 145-152.

[104] K. Murali, M. Lakshmanan, Secure communication using a compound signal from generalized synchronizable chaotic systems, Phys. Lett. A 241 (1998) 303-310.

[105] А. А. Короновский, О. И. Москаленко, П. В. Попов, А. Е. Храмов, Способ скрытой передачи информации, основанный на явлении обобщенной синхронизации, Известия РАН. Серия физическая 72 (1) (2008) 143-147.

[106] Б. Скляр, Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение, М., 2003.

[107] Е. С. Побережский, Цифровые радиоприемные устройства, М., 1987.

[108] S. P. Kuznetsov, D. I. Trubetskov, Chaos and hyperchaos in a backward-wave oscillator, Radiophysics and Quantum Electronics 47 (5,6) (2004) 341-355.

[109] S. P. Kuznetsov, Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the smale-williams type, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 144101.

[110] D. S. Goldobin, A. S. Pikovsky, Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise, Phys. Rev. E 71 (4) (2005) 045201 (R).

[111] D. S. Goldobin, A. S. Pikovsky, Synchronization of self-sustained oscillators by common white noise, Physica A 351 (2005) 126-132.

[112] M. Chavez, D. U. Hwang, A. Arnann, H. G. E. Hentschel, S. Boccaletti, Synchronization is enhanced in weighted complex networks, Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 218701.

[113] A. E. Hramov, A. E. Khramova, A. A. Koronovskii, S. Boccaletti, Synchronization in networks of slightly nonidentical elements, IJBC 18 (3) (2008) 258-264.

[114] О. I. Moskalenko, A. A. Koronovskii, A. E. Hramov, S. Boccaletti, Generalized synchronization in mutually coupled oscillators and complex networks, Phys. Rev. E 86 (2012) 036216.

[115] A. Uchida, R. McAllister, R. Meucci, R. Roy, Generalized synchronization of chaos in identical systems with hidden degrees of freedom, Phys. Rev. Lett. 91 (17) (2003) 174101.

[116] В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, Г. А. Окрокверцхов, Г. И. Стрелкова, Корреляционный анализ режимов детерминированного и за-шумленного хаоса, Радиотехника и электроника 48 (7) (2003) 824.

[117] V. S. Anishchenko, Т. Е. Vadivasova, G. I. Strelkova, Instantaneous phase method in studying chaotic and stochastic oscillations and its limitations., Fluctuation and Noise Letters 4 (1) (2004) L219-L229.

[118] V. S. Anishchenko, G. A. Okrokvertskhov, Т. E. Vadivasova, G. I. Strelkova, Mixing and spectral-correlation properties of chaotic and stochastic systems: Numerical and physical experiments, New Journal of Physics 7 (2005) 76-113.

[119] А. С. Захарова, Т. E. Вадивасова, В. С. Анищенко, Влияние шума на автогенератор спирального хаоса, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 14 (5) (2006) 44-61.