Групповое преследование в линейных дифференциальных играх с производными дробного порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мачтакова Алёна Игоревна

• Мачтакова Алёна Игоревна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Мачтакова Алёна Игоревна

Введение

Глава 1. Групповое преследование одного убегающего в дифференциальных играх с производными дробного порядка

§1. Метод Понтрягина в линейной задаче группового преследования

с производной дробного порядка

§2. Достаточные условия поимки убегающего в линейных стационарных

дифференциальных играх с использованием разрешающих функций 24 §3. Достаточные условия разрешимости задачи преследования в линейных дифференциальных играх с простой матрицей

§4. Многократная поимка убегающего в линейных дифференциальных

играх с производными дробного порядка

§5. Групповое преследование с разными возможностями игроков .... 53 §6. Групповое преследование в линейных дифференциальных играх с производными дробного порядка в классе позиционных стратегий с поводырем

Глава 2. Преследование группы убегающих в дифференциальных играх

с производными дробного порядка

§7. Поимка хотя бы одного убегающего с использованием разрешающих

функций

§8. Нестационарная линейная задача группового преследования .... 83 §9. Достаточные условия поимки одним преследователем всех убегающих 96 §10. Достаточные условия поимки в конусе одним преследователем всех

убегающих

Заключение

Список литературы

Список обозначений

Rk — евклидово пространство размерности k,

(а, Ь) — скалярное произведение векторов а,Ь Е Rk,

||x|| — евклидова норма вектора x Е Rk,

E — единичная матрица соответствующей размерности,

Int A — внутренность множества A,

co A — выпуклая оболочка множества A,

c(A, ф) — опорная функция множества A,

то

E1/p(B,ß) = Yh r(sBp+fj,) — обобщенная функция Миттаг-Леффлера, р > 0,

s=0

ß Е R1, B — квадратная матрица,

f — производная по Капуто порядка а функции f.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Групповое преследование в линейных дифференциальных играх с производными дробного порядка»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Теория конфликтно управляемых процессов является интенсивно развивающимся разделом современной математики. В рамках данной теории изучается взаимодействие двух или более сторон, обладающих влиянием на процесс и имеющих несовпадающие или даже противоположные цели. Такие динамические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями, принято так же называть дифференциальными играми.

Настоящая работа посвящена исследованию некоторых дифференциальных игр преследования-убегания, описываемых системами уравнений с производной Капуто дробного порядка.

Идея дифференциальных игр с дробной производной относительно молода, но ее корни уходят в глубокую историю.

Теория игр как отдельная научная дисциплина зародилась в XX веке с работами Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна [27].

Первые работы по дифференциальным играм появились в начале 60-х годов XX века под авторством Г. Штейнгауза [105], Р. Айзекса [94], А. Брайтона [93], У. Флеминга [86], Б.Н. Пшеничного [50], Л.А. Петросяна [39], Н.Н. Кра-совского [18]. Сам термин «дифференциальные игры» был введен Р. Айзек-сом, а задачу преследования в дифференциальной игре впервые сформулировал Г. Штейнгауз в [105] в 1925 году.

Среди отечественных исследований по дифференциальным играм одними из первых были работы Л.А. Петросяна, в частности, кандидатская диссертация «Об одном классе игр преследования» и работа [38], где были получены условия поимки с использованием стратегии параллельного преследования.

Значительный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли школы Н.Н. Красовского и Л.С. Понтрягина. Позиционный подход, разработанный Н.Н. Красовским, является одним из ключевых в теории дифференци-

альных игр. Основные положения теории позиционных дифференциальных игр двух лиц были сформулированы Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным на основе понятия стабильного моста и правила экстремального прицеливания [19]. При этом решение задач сводится к выбору экстремальных стратегий, приводящих траекторию конфликтно управляемого процесса на терминальное множество, сохраняя ее внутри стабильного моста. Однако при исследовании реальных конфликтно управляемых процессов построение стабильных мостов затруднительно. На практике удобнее строить мосты, не являющиеся максимальными, но обладающие свойствами стабильности и позволяющие эффективно реализовы-вать процедуры управления для некоторых классов дифференциальных игр.

Позиционный подход Н.Н. Красовского был развит его учениками [19,20, 54]. Большое внимание в работах школы Н.Н. Красовского уделяется вопросам практической реализации процедур управления и численного решения прикладных задач теории дифференциальных игр [31,55].

Л.С. Понтрягиным был реализован метод альтернированного интеграла [42,44], который предоставляет достаточные условия разрешимости задачи преследования в линейной дифференциальной игре. Была предложена идея рассматривать дифференциальную игру с точки зрения одной из противоборствующих сторон, которой предоставлялась возможность строить управление, дискриминируя противника [41]. Таким образом дифференциальная игра распадается на две задачи: задача преследования с целью завершения игры и задача убегания с целью предотвращения конца игры. Л.С. Понтрягиным были созданы первый и второй методы решения задачи преследования для линейных дифференциальных игр [44]. Наиболее простым и достаточно эффективным для решения конкретных задач преследования является первый метод Л.С. Понтря-гина, дающий удобно проверяемые достаточные условия разрешимости задачи преследования в классе контрстратегий.

Достаточные условия разрешимости задачи преследования в нелинейном примере Л.С. Понтрягина получены в [28], при дополнительных ограничениях на терминальное множество — в [47]. Приближенное построение стабильных мостов в нелинейных дифференциальных играх было рассмотрено в [13,59].

Условия на параметры игры, достаточные для разрешимости задачи уклонения, получены Л.С. Понтрягиным и Е.Ф. Мищенко в [40]. При этом условия убегания формулируются геометрически, а при решении задач доказаны новые геометрические свойства решений дифференциальных уравнений.

Естественным обобщением дифференциальных игр преследования-убегания двух лиц являются задачи конфликтного взаимодействия группы преследователей с одним убегающим или группой убегающих [11,39,51]. Одной из первых работ в этом направлении, подтолкнувшей его к бурному развитию, послужила статья Б.Н. Пшеничного [49], рассматривающая задачу преследования одного убегающего группой преследователей при равных возможностях всех участников игры. Было показано, что поимка происходит тогда и только тогда, когда начальное положение убегающего принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных положений преследователей.

Ф.Л. Черноусько в работе [61] рассматривал задачу уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследующих точек, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Был построен такой способ управления, который обеспечивает уклонение от всех преследователей на конечное расстояние.

В работе [10] Н.Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия уклонения одного убегающего от встречи с группой преследователей при условии, что убегающий и преследователи обладают простым движением, и множество управлений каждого из игроков — один и тот же выпуклый компакт. Кроме того, Н.Л. Григоренко ввел понятие многократной поимки [9], происхо-

дящей, если заданное число преследователей ловит убегающего, а также получил достаточные условия многократной поимки убегающего. В самом простом случае условие многократной поимки представимо следующим образом: если при исключении из дифференциальной игры любого преследователя будет осуществляться поимка убегающего [49], то в исходной игре будет происходить двукратная поимка; если при исключении из дифференциальной игры любых двух преследователей будет осуществляться поимка убегающего, то в исходной игре будет происходить трехкратная поимка и так далее.

Активное развитие теории дифференциальных игр в последние десятилетия неразрывно связано работами таких исследователей, как А.А. Азамов [1], Э.Г. Альбрехт [2], А.С. Банников [5], В.Д. Батухтин [4], А.И. Благодатских [6], М.С. Габриелян [7], П.Б. Гусятников [12], В.И. Жуковский [15], Р.П. Иванов [16], А.Ф. Клейменов [17], А.В. Кряжимский [21], А.Б. Куржанский [22], В.Н. Лагунов [23], Ю.С. Ледяев [24], В.В. Мазалов [25], Е.Ф. Мищенко [26], М.С. Никольский [29], Ю.С. Осипов [30], В.В. Остапенко [46], В.С. Пацко [31], Н.Н. Петров [37], Н.Никандр. Петров [32], Л.А. Петросян [39], Б.Б. Рихсиев [51], И.С. Раппопорт [48], Н.Ю. Сатимов [52], А.И. Субботин [19,106], Н.Н. Субботина [53], В.И. Ухоботов [56], В.Н. Ушаков [58], А. Фридман [87], А.Г. Чен-цов [60], Ф.Л. Черноусько [61], А.А. Чикрий [63], Л.С. Чиркова [68], С.В. Чистяков [69], К.А. Щелчков [71], E.N. Barron [74], L.D. Berkovitz [75], A. Blaquiere, F. Gerard, G. Leitmann [76], P. Cardaliaguet, M. Quincampoix, P. Saint-Pierre [78], R.J. Elliott, N.J. Kalton [84], L.C. Evans, H. Ishii [85], J. Lewin [96], A.A. Melikyan [99], E. Roxin [103], W. Rzymowski [104], W. Chodun [80] и многих других.

Одновременно с этим стоит отметить, что теория дробного исчисления также имеет богатую историю [101,112]. Первые идеи дробного исчисления появились еще в XVII веке с работами Г.В. Лейбница и И. Ньютона. Однако систематическое развитие этой области началось лишь в XIX веке с работами Ж. Лиувилля и Б. Римана.

В последние десятилетия дробное исчисление нашло широкое применение в моделировании различных динамических систем, что повысило интерес к данной теории и привлекло внимание многих исследователей. Дифференциальные уравнения с производными дробного порядка стали применяться для математического моделирования процессов в различных областях знаний [82,107], в частности, в физике [57,110], механике [70,72], инженерии [83], биологии [89,97], экономике [111]. Эти работы показали, что дифференциальные уравнения с производными дробного порядка могут более точно моделировать реальные процессы, особенно в системах с памятью и нелокальными эффектами, по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такое свойство уравнений делает их удобными для использования в моделировании сложных процессов, характеризующихся эффектами последействия.

В 2000-х годах появились первые работы по дифференциальным играм с дробными производными. С тех пор это направление является активно развивающейся областью исследований. Исследователи работают над развитием новых математических моделей, алгоритмов для поиска оптимальных стратегий и приложений в различных областях, учитывающих особенности дробных производных и их влияние на динамику игры.

Несмотря на активное развитие, дифференциальные игры с производной дробного порядка представляют собой малоизученную, а потому перспективную область исследований, которая имеет потенциал для решения сложных задач в различных областях. Как упоминалось ранее, конфликтно управляемые процессы, которые описываются системами дифференциальных уравнений с производными дробного порядка, стали рассматривать сравнительно недавно. В этой связи стоит отметить статьи А.А. Чикрия и его учеников [62,66], которые исследуют задачи сближения с терминальным множеством для конфликтно управляемых процессов, динамика которых описывается при помощи различных видов дробных производных, таких как классические дробные про-

изводные Римана-Лиувилля, регуляризованные дробные производные Капуто и секвенциальные производные Миллера-Росса. На сегодняшний день исследованы некоторые задачи преследования-убегания, в основном, при использовании метода разрешающих функций [63]. Так, в работе [3] А.С. Банниковым рассматривается задача уклонения убегающего от группы преследователей при наличии фазовых ограничений. Изучаются задачи управления системами дробного порядка в условиях помех [88,95], а также задачи динамического восстановления действующих на систему дробного порядка неизвестных внешних воздействий [108, 109]. М.И. Гомоюновым в работе [8] для антагонистической дифференциальной игры двух лиц, в которой движение динамической системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением с дробной производной Капуто порядка а Е (0,1), было доказано существование цены игры и седловой точки игры с использованием метода экстремального сдвига на сопутствующие точки и учетом специфики систем дробного порядка. В [92] рассматриваемая дифференциальная игра изучалась в классах стратегий управления с поводырем, а для построения оптимальных стратегий игроков использовались подходящие аппроксимации [90] конфликтно-управляемых систем с дробными производными.

Приведенный выше обзор литературы обосновывает актуальность тематики диссертации. Исследования дифференциальных игр преследования-убегания набирают популярность. В то же время, рассматриваемые в диссертации дифференциальные игры не были вполне изучены ранее, а полученные результаты являются новыми.

В настоящей работе важную роль играет использование для описания задачи производной Капуто — одного из видов дробной производной, которая обобщает классическое понятие производной на нецелые порядки. Она позволяет описывать процессы, где скорость изменения величины зависит не только от текущего момента, но и от её истории.

Дробные производные, в том числе производная Капуто, находят применение в дифференциальных играх, где динамика системы описывается дробными дифференциальными уравнениями, учитывающими память системы, т.е. влияние предыдущих состояний на текущее поведение. Такое свойство производных дробного порядка оказывается полезным и удобным для описания сложных систем, где влияние прошлого может быть значительным. При этом, если от дифференциальных уравнений с производными дробного порядка перейти к эквивалентным интегральным уравнениям, то в интегральном операторе появится ядро, зависящее от разности аргументов, которое задается степенной функцией с отрицательным показателем. Это требует корректировки старых, а также поиска новых подходов для исследования игровых задач с дробными производными.

Дробные производные могут обеспечить более точное описание динамики системы по сравнению с классическими дифференциальными уравнениями и открывают новые возможности для исследования динамики систем с нелинейной зависимостью от времени.

Производная Капуто, как один из инструментов дробного исчисления, расширяет возможности моделирования динамических систем, особенно в контексте дифференциальных игр. Она позволяет учитывать память системы и описывать процессы с нелинейной зависимостью от времени. Однако, использование дробных производных требует преодоления определенных трудностей, связанных с решением дробных дифференциальных уравнений.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является изучение дифференциальных игр преследования-убегания с участием одного или нескольких преследователей и одного или нескольких убегающих. При этом управления игроков описываются уравнениями, содержащими дробную по Ка-путо производную.

Для достижения цели исследования были поставлены задачи поиска условий разрешимости следующих дифференциальных игр:

1. поимка и многократная поимка одного убегающего группой преследователей,

2. уклонение одного убегающего от встречи с группой преследователей в игре с разными возможностями игроков,

3. поимка одного убегающего группой преследователей в классе позиционных стратегий с поводырем,

4. поимка заданного числа убегающих одним преследователем.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации дополняют теорию дифференциальных игр преследования-убегания и могут быть использованы при дальнейшем исследовании задач управления системами дробного порядка.

Методология и методы исследования. В работе были использованы методы теории дифференциальных игр с дробными производными, математической теории управления и выпуклого анализа.

Положения, выносимые на защиту. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. получены достаточные условия поимки одного убегающего группой преследователей в задаче с дробной по Капуто производной произвольного порядка с использованием подхода Понтрягина и метода разрешающих функций,

2. получены достаточные условия уклонения одного убегающего от группы преследователей в задаче с дробной по Капуто производной произвольного порядка в предположении, что игроки обладают разными возможностями,

3. получены достаточные условия поимки одного убегающего группой преследователей в задаче с дробной по Капуто производной порядка а Е (0,1) в классе позиционных стратегий с поводырем,

4. получены достаточные условия поимки группы убегающих одним преследователем в задаче с дробной по Капуто производной порядка а Е (0,1), причем дифференциальная игра задается стационарной системой дифференциальных уравнений.

Степень достоверности и апробация результатов. Степень достоверности полученных результатов подтверждается строгостью математических доказательств. Результаты диссертации обсуждались на внутреннем семинаре кафедры дифференциальных уравнений Удмуртского государственного университета, а также представлялись в докладах на следующих научных конференциях:

• Международная научная студенческая конференция МНСК-2019 (Новосибирск, 2019),

• International Conference Dedicated to the Memory of Professor Vladimir Zubov (Санкт-Петербург, 2020),

• Международная (53-я всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2022),

• Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа - 2022» (Уфа, 2022),

• Международная (54-я всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2023),

• Международная конференция «Динамические системы: устойчивость, управление, дифференциальные игры», посвященная 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского (Екатеринбург, 2024),

• Международная (56-я всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2025).

Публикации. Материал диссертации опубликован в 22 научных работах [113-120,122-135]. Из них 7 изданы в научных журналах категории К1 [113-119], включенных в Перечень рецензируемых научных изданий ВАК или приравненных к ним. Работа [120] опубликована в сборнике трудов международной научной конференции и проиндексирована в международной реферативной базе данных Springer, 7 работ [125,127,130-132,134,135] — в сборниках трудов конференций, 7 работ [122-124,126,128,129,133] — в тезисах докладов конференций. Также получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [121].

Исследования по теме диссертации проводились в рамках грантов Российского научного фонда (проект 21-71-10070) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 20-01-00293), а также при поддержке Мино-брнауки РФ в рамках государственного задания № 075-00232-20-01 (проект 0827-2020-0010).

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из опубликованных в соавторстве работ в диссертацию включены только результаты автора. В работах, выполненных в соавторстве c научным руководителем [113,115-119], Н.Н. Петрову принадлежат постановки задач и общая схема их исследования, формулировки и доказательства результатов принадлежат автору диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав, объединяющих 10 параграфов, заключения и

списка литературы. Общий объем диссертации составляет 130 страниц, библиографический список включает 135 наименований. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация формул двойная: в первой позиции указывается номер параграфа, в котором приведена формула, во второй — порядковый номер формулы в этом параграфе. Нумерация теорем, лемм, утверждений, следствий, предположений, замечаний, примеров сквозная. Все используемые обозначения объяснены в списке обозначений или в тексте диссертации там, где впервые встречаются.

Краткое содержание диссертации. В первой главе рассматриваются задачи преследования одного убегающего группой преследователей. В первом параграфе получены достаточные условия поимки убегающего на целевом множестве группой преследователей, использующих подход Понтрягина. Во втором и третьем параграфах к изучению задач о поимке применяется метод разрешающих функций. Приведены достаточные условия поимки убегающего в классе квазистратегий в случае, когда дифференциальная игра описывается уравнениями, содержащими производную произвольного порядка (во втором параграфе), а также более сильные условия поимки в случае производной порядка а Е (0,1) (в третьем параграфе). В четвертом параграфе получены достаточные условия многократной поимки убегающего несколькими преследователями, причем не обязательно одновременной. В пятом параграфе рассмотрены задачи преследования-убегания. Получены достаточные условия поимки на нулевом и ненулевом терминальных множествах, причем управления игроков выбираются на некотором замкнутом шаре с центром в произвольной точке и на произвольном компакте соответственно. Для исследуемой дифференциальной игры также было получено условие уклонения убегающего от поимки. В шестом параграфе рассмотрена дифференциальная игра в классе позиционных стратегий с поводырем. Предполагается, что игроки, управления которых описываются

системой-поводырем, используют квазистратегии. Получено достаточное условие поимки убегающего хотя бы одним из преследователей.

Во второй главе рассматривается конфликтное взаимодействие одного или группы преследователей с группой убегающих. В седьмом и восьмом параграфах получены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего группой преследователей в стационарной и нестационарной линейных задачах соответственно. Предполагается, что каждый преследователь выбирает для поимки одного из убегающих, жестко скоординированных между собой. В девятом параграфе получены достаточные условия поимки одним преследователем всей группы убегающих при равных возможностях игроков. При этом дифференциальная игра описывается системой с нулевой или простой матрицей. Поимка каждого из убегающих происходит последовательно. В десятом параграфе рассмотрена поимка одним преследователем группы убегающих в конусе.

В параграфах с первого по восьмой результаты, полученные для дифференциальных игр с обыкновенными производными, были расширены на случаи с производной дробного порядка по Капуто. В последних двух параграфах рассмотрены дифференциальные игры, описываемые уравнениями с дробными производными и обладающие свойствами, которыми не обладают дифференциальные игры, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Теоретические результаты проиллюстрированы соответствующими примерами.

В заключении кратко описаны основные результаты, полученные в диссертации, и намечены перспективы дальнейших исследований в этом направлении.

Глава 1. Групповое преследование одного убегающего в дифференциальных играх с производными дробного порядка

§1. Метод Понтрягина в линейной задаче группового преследования с производной дробного порядка

Определение 1 (см. [77]). Пусть r — 1 < а < r, r Е N, функция f имеет на [0, то) абсолютно непрерывные производные до порядка (r — 1) включительно. Производной по Капуто порядка а функции f называется функция D(a)f вида

(Dia)f)(t)=г^Ъ) / (t—^ где г(в)=Ге—ттe—i dT

Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс (дифференциальную игру G(n + 1)) с участием n преследователей Pi,...,Pn и одного убегающего E, описываемый системой вида

D(ai)Zi = + Вгиг — CiV, иг Е Ui, v Е V, (1.1)

где i Е I = {1,... ,n}, zi Е Rki, ai Е (ri — 1,ri), ri — натуральные числа, Ai — квадратные матрицы порядка ki х ki, Bi,Ci — прямоугольные матрицы порядка ki х qi, ki х q соответственно, Ui С Rqi, V С Rq — компакты. При t = 0 заданы начальные условия

z(1)(0) = z0i, l = 0,...,ri — 1, i Е I. (1.2)

Терминальные множества Mi, i Е I, имеют вид Mi = M1 + Mf, где M1 — линейное подпространство Rki, Mf — выпуклый компакт из L1 — ортогонального дополнения к M1 в Rki. Считаем, что z0 Е Mi для всех i Е I.

Пусть v : [0, +то) ^ V — измеримая функция. Предысторией vt(•) в момент t функции v будем называть сужение функции v на [0, t]. Измеримая функция v: [0, +то) ^ V называется допустимой, если v(t) Е V для всех t Е [0, +то).

Определение 2. Будем говорить, что задана квазистратегия Ы. преследователя Р., если определено отображение и.(£, , ставящее в соответствие начальным данным г° = (г°, г € 1,1 = 0,..., г. — 1), моменту £ и произвольной предыстории управления г^) убегающего Е измеримую функцию и.(£) = £,г°,г^)) со значениями в и¿.

Определение 3. В игре С(и + 1) происходит поимка, если существуют момент Т > 0 и квазистратегии Ы\,...,Ып преследователей Р1,... , Рп такие, что для любой измеримой функции г(-), г(£) € V, £ € [0,Т], существуют момент т € [0,Т] и номер в € I, для которых га(г) € Ыа.

Определение 4. Пусть А, В — подмножества Мк. Разностью по Минков-скому множеств А и В называется множество

А—В = {с : с + В С А}.

Введем следующие обозначения:

п. : ^ Ь1 — оператор ортогонального проектирования; V — размерность Ь1;

Рг — 1

£(£) = ^ £ £1М (А.£а ,1 + 1)4 ^¿(£, т) = (£ — т Г—(А.(£ — т Г ,а), 1=°

Д = {(£, т) : £ ^ 0, т € [0, £]}.

Предположение 1. Существуют матричные функции Д.(£,т), (£,т) € Д, порядка к. х к. измеримые по (£,т), такие что для всех (£,т) € Д непусты множества

*

Ж.(£, т) = пг^(£, т )В.иг— п. Д(£, т )^(£, т V.

Введем многозначное отображение

И.2 (£) = И?— п.(Д(£,т) — Е) ^¿(£, т )С^т.

°

Предположение 2. Для всех г € I, £ ^ 0 имеет место

г2

М?(£) = 0.

Возьмем измеримый селектор 7«(£,т) Е ^(£,т). Определим далее

Пг(^) = Пг^г(^) + / 7г(*,Т) ¿Т. ./0

Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1, 2 и существуют номер I Е I и момент Т > 0, для которых существует 7/(Т,т) Е Ж(Т,т), такой что П/(Т) Е М2(Т). Тогда в игре С(п + 1) происходит поимка.

Доказательство. Рассмотрим многозначные отображения

и2(т, V) = [щ/ Е и : п/я(Т, Т)В/и/ - п/А/(Т, т)Я/(Т, т)С/V - 7/(Т, т) = 0} .

Из предположения 1 следует, что и2(т, V) = 0 для всех т Е [0, Т], V Е V. В силу теоремы измеримого выбора [73], в Ц/(т, V) существует хотя бы один измеримый селектор щ/(т, V). Задаем управление преследователя Р/, полагая

щ(*) = и2(ММ), * Е [0,Т].

Управления остальных преследователей задаем произвольным образом. Получаем

т

п/г/(Т) = п/£/(Т) + I(п/Я/(Т, т)В/щ/(т) - п/Я/(Т,т)С/и(т)) ¿т =

0

т

= П/(Т) + У(п/Я/(Т, т)В/щ/(т) - п/А/(Т, т)Я/(Т,т)С/и(т) - 7/(Т,т)) ¿т + 0

т

+ 1 (п/А/(Т, т)Я/(Т, т)С/и(т) - п/Я/(Т, т)С/И/(т)) ¿т = 0

т

= П/(Т) + I(п/А/(Т, т)Я/(Т, т)С/И(Т) - п/Я/(Т,т)С/и/(т)) ¿т С 0

т

С М/2(Т)+ [ п/ (А/(Т, т) - Е)Я/(Т, т)С/^Т = М/2. 0

Теорема доказана. □

Теорема 2. Пусть выполнены предположение 1 и следующие условия:

1. Для всех г Е I размерность подпространств Ь1 одна и та же;

2. Существуют момент Т > 0 и векторы п Е Ь1, г Е I такие, что

2а) ) Е п + / ^(Т,т) ¿г,

./о

26) для любой допустимой функции -и(-) существует номер I Е I, такой

что

Т

[ п (Д (Т,т) - Е)^ (Т, т)С ^(г) ¿т Е + М2. о

Тогда в игре С(п + 1) происходит поимка.

Доказательство. Рассмотрим многозначные отображения

иг(Т,т, V) = {и Е и : пг^(Т,т- пгД(Т,т)^(Т,т)С^(т) - 7г(Т,т) = о}.

иг(Т, т, V) = 0 для всех г Е I, т Е [£0,Т], V Е V. Следовательно, по теореме измеримого выбора [73], у иг(Т,т,V) существует хотя бы один измеримый селектор и*(Т, т, V). Задаем управления преследователей Рг, г Е I, полагая иг(т) = и*(Т,т,V(т)), г Е I. Покажем, что данные управления преследователей гарантируют поимку убегающего. Решение задачи Коши (1.1), (1.2) имеет вид [65]

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мачтакова Алёна Игоревна, 2025 год

Список литературы

1. Азамов, А.А. О задаче убегания по заданной кривой / А. А. Азамов // Прикладная математика и механика. — 1982. — Т. 46, вып. 4. — С. 694-696.

2. Альбрехт, Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр / Э.Г. Альбрехт // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2000. — Т. 6, № 1. — С. 27-38.

3. Банников, А.С. Уклонение от группы преследователей в задаче группового преследования с дробными производными и фазовыми ограничениями / А. С. Банников // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2017. — Т. 27, вып. 3. — С. 309-314.

4. Батухтин, В.Д. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре сближения / В. Д. Батухтин // Доклады Академии наук СССР. — 1972. — Т. 207, № 1. — С. 11-14.

5. Благодатских, А.И. Одновременная многократная поимка при наличии защитников убегающего / А. И. Благодатских, А. С. Банников // Известия ИМИ УдГУ. — 2023. — Т. 62. — С. 10-29.

6. Благодатских, А.И. Синхронная реализация одновременных многократных поимок убегающих / А. И. Благодатских // Известия ИМИ УдГУ.

— 2023. — Т. 61. — С. 3-26.

7. Габриелян, М.С. Игровые задачи о встрече с целевыми множествами / М. С. Габриелян, А. И. Субботин // Прикладная математика и механика.

— 1979. — Т. 43, вып. 2. — С. 204-208.

8. Гомоюнов, М.И. Экстремальный сдвиг на сопутствующие точки в позиционной дифференциальной игре для системы дробного порядка / М. И. Гомоюнов // Труды ИММ УрО РАН. — 2019. — Т. 25, № 1. — С. 11-34.

9. Григоренко, Н.Л. Задача преследования несколькими объектами / Н. Л. Григоренко // Труды математического института АН СССР. — 1984.

— Т. 166. — С. 61-75.

10. Григоренко, Н.Л. Игра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего / Н. Л. Григоренко // Вестник МГУ. Серия вычислительная математика и кибернетика. — 1983. — № 1. — С. 41-47.

11. Григоренко, Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами / Н. Л. Григоренко. — М.: Изд-во Московского ун-та, 1990. — 197 с.

12. Гусятников, П.Б. Теория дифференциальных игр / П. Б. Гусятников. — М.: МФТИ, 1982. — 99 с.

13. Двуреченский, П.Е. Алгоритмы вычисления операторов Минковского и их применение в дифференциальных играх / П. Е. Двуреченский, Г. Е. Иванов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Т. 54, № 2. — С. 224-255.

14. Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М.Джрбашян. — М.: Наука, 1966. — 672 с.

15. Жуковский, В.И. Линейно-квадратичные дифференциальные игры / В. И. Жуковский, А. А. Чикрий. — Киев: Наукова думка, 1994. — 320 с.

16. Иванов, Р.П. Простое преследование-убегание на компакте / Р. П. Иванов // ДАН СССР. — 1980. — Т. 254, № 6. — С. 1318-1321.

17. Клейменов, А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры / А. Ф. Клейменов. — Екатеринбург: Наука, 1993. — 185 с.

18. Красовский, Н.Н. Игровые задачи о встрече движений / Н. Н. Красовский. — М.: Наука, 1970. — 420 с.

19. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. — М.: Наука, 1974. — 455 с.

20. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата / Н. Н. Красовский. — М.: Наука, 1985. — 519 с.

21. Кряжимский, А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения / А. В. Кряжимский // Доклады АН СССР. — 1978.

— Т. 239, № 4. — С. 779-782.

22. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А. Б. Куржанский. — М.: Наука, 1977. — 392 с.

23. Лагунов, В.Н. Введение в дифференциальные игры / В. Н. Лагунов. — Вильнюс: Институт математики и кибернетики, 1979. — 342 с.

24. Ледяев, Ю.С. Регулярные дифференциальные игры со смешанными ограничениями на управления / Ю. С. Ледяев // Труды математического института АН СССР. — 1985. — Т. 167. — С. 207-215.

25. Мазалов, В.В. Математическая теория игр и приложения / В. В. Мазалов.

— 3-е изд.— СПб.: Лань, 2017. — 448 с.

26. Мищенко, Е.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр / Е. Ф. Мищенко // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1971. — № 5. — С. 3-9.

27. Нейман, Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. Нейман, О. Моргенштерн. — М.: Наука, 1970. — 708 с.

28. Никольский, М.С. Одна нелинейная задача преследования / М. С. Никольский // Кибернетика. — 1973. — № 2. — С. 92-94.

29. Никольский, М.С. Первый прямой метод Л. С. Понтрягина в дифференциальных играх / М. С. Никольский. — М.: Издательство МГУ, 1984. — 65 с.

30. Осипов, Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием / Ю. С. Осипов // Доклады АН СССР. — 1971. — Т. 196, № 4. — С. 779-782.

31. Пацко, В.С. Численное решение дифференциальных игр на плоскости / В. С. Пацко, В. Л. Турова. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. — 77 с.

32. Петров, Н.Н. Двукратная поимка скоординированных убегающих в задаче простого преследования / Н. Н. Петров // Вестник Удмуртского универ-

ситета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2023. — Т. 33, вып. 2. — С. 281-292.

33. Петров, Н.Н. К задаче группового преследования в дифференциальной игре с дробными производными, фазовыми ограничениями и простой матрицей / Н. Н. Петров // Дифференциальные уравнения. — 2019. — Т. 55, № 6. — С. 857-864.

34. Петров, Н.Н. Об управляемости автономных систем / Н. Н. Петров // Дифференциальные уравнения. — 1968. — Т. 4, № 4. — С. 607-617.

35. Петров, Н.Н. О дифференциальной игре «казаки-разбойники» / Н. Н. Петров, Н. Никандр. Петров // Дифференциальные уравнения. — 1983. — Т. 19, № 8. — С. 1366-1374.

36. Петров, Н.Н. Одна задача группового преследования с дробными производными и фазовыми ограничениями / Н. Н. Петров // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2017.

— Т. 27, вып. 1. — С. 54-59.

37. Петров, Н.Н. О существовании значения игры преследования / Н. Н. Петров // Доклады АН СССР. — 1970. — Т. 190, № 6. — С. 1289-1291.

38. Петросян, Л.А. Дифференциальные игры на выживание со многими участниками / Л. А. Петросян // Доклады АН СССР. — 1965. — Т. 161, № 2. — С. 285-287.

39. Петросян, Л.А. Дифференциальные игры преследования / Л. А. Петросян.

— Л.: Ленинградский госуниверситет, 1977. — 232 с.

40. Понтрягин, Л.С. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх / Л. С. Понтрягин, Е. Ф. Мищенко // Дифференциальные уравнения. — 1971. — Т. 7, № 3. — С. 436-445.

41. Понтрягин, Л.С. Избранные научные труды. Т. 2 / Л. С. Понтрягин. — М.: Наука, 1988. — 575 с.

42. Понтрягин, Л.С. К теории дифференциальных игр / Л. С. Понтрягин // Успехи математических наук. — 1966. — Т. 21, вып. 4. — С. 219-274.

43. Понтрягин, Л.С. Линейная дифференциальная игра убегания / Л. С. Понтрягин // Труды математического института АН СССР. — 1971. — Т. 112.

— С. 30-63.

44. Понтрягин, Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования / Л. С. Понтрягин // Математический сборник. — 1980. — Т. 112, № 3. — С. 307-330.

45. Попов, А.Ю. Распределение корней функции Миттаг-Леффлера /

A. Ю. Попов, А. М. Седлецкий // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2011. — Т. 40. — С. 3-171.

46. Пшеничный, Б.Н. Дифференциальные игры / Б. Н. Пшеничный,

B. В. Остапенко. — Киев: Наукова думка, 1992. — 259 с.

47. Пшеничный, Б.Н. Достаточные условия конечности времени преследования / Б.Н. Пшеничный, Н.Б. Шишкина // Прикладная математика и механика. — 1985. — Т. 49, вып. 4. — С. 517-523.

48. Пшеничный, Б.Н. Об одной задаче группового преследования / Б. Н. Пшеничный, И. С. Раппопорт // Кибернетика. — 1979. — № 6. — P. 145-146.

49. Пшеничный, Б.Н. Простое преследование несколькими объектами / Б. Н. Пшеничный // Кибернетика. — 1976. — № 3. — С. 145-146.

50. Пшеничный, Б.Н. Структура дифференциальных игр / Б. Н. Пшеничный // Доклады АН СССР. — 1969. — Т. 184, № 2. — С. 285-287.

51. Рихсиев, Б.Б. Дифференциальные игры с простым движением / Б. Б. Рих-сиев. — Ташкент: Издательство Фан, 1989. — 232 с.

52. Сатимов, Н.Ю. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих / Н. Ю. Сатимов, М. Ш. Маматов // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т. 14, № 7.

— С. 1208-1214.

53. Субботин, А.И. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры / А. И. Субботин, Н. Н. Субботина // Доклады АН СССР. — 1978. — Т. 243, № 4. — С. 862-865.

54. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А. И. Субботин, А. Г. Ченцов. — М.: Наука, 1981. — 288 с.

55. Токманцев, Т.Б. Численная аппроксимация стабильных мостов в дифференциальных играх на конечном промежутке времени / Т.Б. Токманцев, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков // Теория управления и теория обобщенных решений Гамильтона-Якоби. Труды семинара. —Екатеринбург. ИММ УрО РАН. — 2006. — № 1. — С. 294-302.

56. Ухоботов, В.И. Дифференциальная игра с простым движением / В. И. Ухо-ботов // Известия вузов. Математика. — 1991. — № 8. — С. 69-72.

57. Учайкин, В.В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с.

58. Ушаков, В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения / В. Н. Ушаков // Известия АН СССР: Техническая кибернетика. — 1980. — № 4. — С. 29-36.

59. Ушаков, В.Н. К решению задачи управления с фиксированным моментом окончания / В. Н. Ушаков, А. А. Ершов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2016. — Т. 26, вып. 4. — С. 543-564.

60. Ченцов, А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени / А. Г. Ченцов // Математический сборник. — 1976. — Т. 99, № 3. — С. 394-420.

61. Черноусько, Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей / Ф. Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. — 1976. — Т. 40, № 1. — С. 14-24.

62. Чикрий, А.А. Игровые задачи для линейных систем дробного порядка / А. А. Чикрий, И. И. Матичин // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2009. — Т. 15, № 3. — С. 262-278.

63. Чикрий, А.А. Конфликтно управлямые процессы / А. А. Чикрий. — Киев: Наукова думка, 1992. — 383 с.

64. Чикрий, А.А. Метод разрешающих функций в теории конфликтно-управляемых процессов / А. А. Чикрий, И. С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2012. — № 4. — С. 40-64.

65. Чикрий, А.А. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка / А. А. Чикрий, И. И. Матичин // Доповщ Нацюнально1 академп наук Украши. — 2007. — № 1. — С. 50-55.

66. Чикрий, А.А. О линейных конфликтно управляемых процессах с дробными производными / А. А. Чикрий, И. И. Матичин // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2011. — Т. 17, № 2. — С. 256-270.

67. Чикрий, А.А. Структура образов многозначных отображений в игровых задачах управления движением / А. А. Чикрий, К. В. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 2. — С. 65-78.

68. Чиркова, Л.С. Уклонение от встречи в конусе в дифференциальной игре третьего порядка / Л. С. Чиркова // МТИП. — 2014. — Т. 6, № 3. — С. 93-104.

69. Чистяков, С.В. К решению игровых задач преследования / С. В. Чистяков // Прикладная математика и механика. — 1977. — Т. 41, вып. 5. — С. 825-832.

70. Шитикова, М.В. Обзор вязкоупругих моделей с операторами дробного порядка, используемых в динамических задачах механики твердого тела / М. В. Шитикова // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 2022. — № 1. — С. 3-40.

71. Щелчков, К.А. Относительная оптимальность в нелинейных дифференциальных играх с дискретным управлением / К. А. Щелчков // Математический сборник. — 2023. — Т. 214, № 9. — С. 161-174.

72. Atanackovic, T.M. Fractional calculus with applications in mechanics: wave propagation, impact and variational principles / T. M. Atanackovic, S. Pilipovic, B. Stankovic, D.Zorica. — Hoboken: John Wiley & Sons, 2014.

— 406 p.

73. Aubin, J.P. Set-valued analysis / J. P. Aubin, H. Frankowska. — Boston: Birkhauser, 1990. — 461 p.

74. Barron, E.N. Differential games with maximum cost / E. N. Barron // Nonlinear Analysis. Theory, Methods & Applications. — 1990. — Vol. 14, no. 11.

— P. 971-989.

75. Berkovitz, L.D. Characterization of the values of differential games / L. D. Berkovitz // Applied Mathematics and Optimization. — 1988. — Vol. 17.

— P. 177-183.

76. Blaquiere, A. Quantitative and qualitative games / A. Blaquiere, F. Gerard, G. Leitmann. — New York: Academic Press, 1969. — 172 p.

77. Caputo, M. Linear model of dissipation whose q is almost frequency independent-II / M. Caputo // Geophysical Journal International. — 1967.

— Vol. 13. — P. 529-539.

78. Cardaliaguet, P. Set-valued numerical analysis for optimal control and differential games / P. Cardaliaguet, M. Quincampoix, P. Saint-Pierre // Stochastic and Differential Games. — 1999. — P. 177-247.

79. Chikriy, A.A. Measurable many-valued maps and their selectors in dynamic pursuit games / A. A. Chikriy, I. S. Rappoport // Journal of Automation and Information Sciences. — 2006. — Vol. 38, no. 1. — P. 57-67.

80. Chodun, W. Differential games of evasion with many pursuers / W. Chodun // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1989. — Vol. 142,

issue 2. — P. 370-389.

81. Diethelm, K. The analysis of fractional differential equations / K. Diethelm. — Berlin: Springer, 2010.

82. Diethelm, K. Trends, directions for further research, and some open problems of fractional calculus / K. Diethelm, V. Kiryakova, Yu. Luchko, J. A. T. Machado, V. E. Tarasov // Nonlinear Dynamics. — 2022. — Vol. 107. — P. 3245-3270.

83. Dzielinski, A. Some applications of fractional order calculus / A. Dzielinski, D. Sierociuk, G. Sarwas // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences. — 2010. — Vol. 58, no. 4. — P. 583-592.

84. Elliott, R.J. The existence of value in differential games / R. J. Elliott, N. J. Kalton. — American Mathematical Society, 1972. — 67 p.

85. Evans, L.C. Differential games and nonlinear first order PDE on bounded domains / L. C. Evans, H. Ishii // Manuscripta Mathematica. — 1984. — Vol. 49. — P. 109-139.

86. Fleming, W.H. The convergence problem for differential games / W. H. Fleming // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1961. — No. 3. — P. 102-116.

87. Friedman, A. Differential Games / A. Friedman. — New York: Wiley Interscience, 1971. — 354 p.

88. Gao, Z. Active disturbance rejection control for nonlinear fractional-order systems / Z. Gao // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2016. — Vol. 26, no. 4. — P. 876-892.

89. Glockle, W.G. A fractional calculus approach to self-similar protein dynamics / W. G. Glockle, T. F. Nonnenmacher // Biophysical Journal. — 1995. — Vol. 68, no. 1. — P. 46-53.

90. Gomoyunov, M.I. Approximation of fractional order conflict-controlled systems / M. I. Gomoyunov // Progress in Fractional Differentiation Applications — 2019. Vol. 5, № 2. — C. 143-155.

91. Gomoyunov, M.I. Fractional derivatives of convex Lyapunov function and control problems in fractional order systems / M. I. Gomoyunov // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2018. — Vol. 21, issue 5. — P. 1238-1261.

92. Gomoyunov, M.I. Solution to a zero-sum differential game with fractional dynamics via approximations / M. I. Gomoyunov // Dynamic Games and Applications — 2020. — Vol. 10, issue 2. — P. 417-443.

93. Ho, Y.C. Differential games and optimal pursuit-evasion strategies / Y. C. Ho, A. Bryson, S. Baron // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1965. — Vol. 10, no. 4. — P. 385-389.

94. Isaacs, R. Differential games: a mathematical theory with applications to warfare and pursuit, control and optimization / R. Isaacs. — John Wiley & Sons, New York, 1965. — 384 p.

95. Jajarmi, A. A new approach for the nonlinear fractional optimal control problems with external persistent disturbances / A. Jajarmi, M. Hajipour, E. Mohammadzadeh, D. Baleanu // Journal of the Franklin Institute. — 2018. — Vol. 355, no. 9. — P. 3938-3967.

96. Lewin, J. Differential games: theory and methods for solving game problems with singular surfaces / J. Lewin. — New York: Springer, 1994. — 242 p.

97. Magin, R.L. Fractional calculus in bioengineering / R. L. Magin. — Connecticut: Begell House, 2006. — 684 p.

98. Matychyn, I. Game-theoretical problems for fractional-order nonstationary systems / I. Matychyn, V. Onyshchenko // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2023. — Vol. 26. — P. 1031-1051.

99. Melikyan, A.A. Generalaized characteristics of first order PDEs: applications in optimal control and differential games / A. A. Melikyan. — Boston: Birkhauser, 1998. — 310 p.

100. Petrov, N.N. Multiple capture of given number of evaders in linear recurrent differential games / N. N. Petrov, N. A. Solov'eva // Journal of Optimization

Theory and Applications. — 2019. — Vol. 182, no. 1. — P. 417-429.

101. Podlubny, I. Niels Henrik Abel and the birth of fractional calculus / I. Podlubny, R. L. Magin, I. Trymorush // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2017. — Vol. 20, no. 5. — P. 1068-1075.

102. Pollard, H. The completely monotonic character of the Mittag-Leffler function Ea(—x) / H. Pollard // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1948. — Vol. 54, issue 12. — P. 1115-1116.

103. Roxin, E. Axiomatic approach in differential games / E. Roxin // Journal of Optimization Theory and Applications. — 1969. — Vol. 3, no. 3. — P. 153-163.

104. Rzymowski, W. Method of construction of the evasion strategy for differential game with many pursuers / W. Rzymowski // Roszpr. mat. — 1986. — No. 247.

105. Steinhaus, H. Definitions for a theory of games and pursuit / H. Steinhaus // Mysl Academika. — 1925. — Vol. 1, no. 1. — P. 13-14.

106. Subbotin, A.I. Generalized solutions of first order PDEs: the dynamical optimization perspective / A. I. Subbotin. — Boston: Birkhauser, 1995. — 314 p.

107. Sun, H. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering / H. Sun, Y. Zhang, D. Baleanu, W. Chen, Y. Chen // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2018. — Vol. 64. — P. 213-231.

108. Surkov, P.G. Dynamical estimation of a noisy input in a system with a Caputo fractional derivative. The case of continuous measurements of a part of phase coordinates / P. G. Surkov // Mathematical Control and Related Fields. — 2023. — Vol. 13, no. 3. — P. 895-917.

109. Surkov, P.G. Real-time reconstruction of external impact on fractional order system under measuring a part of coordinates / P. G. Surkov // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2021. — Vol. 381. — Art. no. 113039.

110. Tarasov, V.E. Fractional dynamics: applications of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media / V. E. Tarasov. — Berlin: Springer, 2010. — 505 p.

111. Tarasov, V.E. On history of mathematical economics: application of fractional calculus / V. E. Tarasov // Mathematics. — 2019. — Vol. 7, no. 6. — Art no. 509.

112. Valerio, D. Some pioneers of the applications of fractional calculus / D. Valerio, J. T. Machado, V. Kiryakova // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2014. — Vol. 17. — P. 552-578.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

113. Мачтакова, А.И. К линейной задаче группового преследования с дробными производными / А. И. Мачтакова, Н. Н. Петров // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2022. — Т. 28, № 3. — С. 129-141. —

ВАК К1; WoS (ESCI), Scopus, MathSciNet, RSCI. Переводная версия:

Machtakova, A.I. On a Linear Group Pursuit Problem with Fractional Derivatives / A. I. Machtakova, N. N. Petrov // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2023. — Vol. 319, no. 1. — P. S175-S187. — WoS (SCIE), Scopus, MathSciNet, zbMATH, Springer.

114. Мачтакова, А.И. Линейная задача группового преследования с дробными производными и разными возможностями игроков / А. И. Мачтакова // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. — 2023. — Т. 62. — С. 43-55. — ВАК; К1: WoS (ESCI), Scopus, MathSciNet, zbMATH.

115. Мачтакова, А.И. О двух задачах преследования группы убегающих в дифференциальных играх с дробными производными / А. И. Мачтакова,

Н. Н. Петров // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2024. — Т. 34, № 1. — С. 65-79. — ВАК; К1: WoS (ESCI), Scopus, MathSciNet, zbMATH, RSCI.

116. Петров, Н.Н. Групповое преследование в задаче с дробными производными в классе позиционных стратегий с поводырем / Н. Н. Петров, А. И. Мачта-кова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2022. — Т. 32, № 1. — С. 94-106. — ВАК; К1: WoS (ESCI), Scopus, MathSciNet, zbMATH, RSCI.

117. Петров, Н.Н. Линейная задача группового преследования с дробными производными, простыми матрицами и разными возможностями игроков / Н. Н. Петров, А. И. Мачтакова // Дифференциальные уравнения. — 2023.

— Т. 59, № 7. — С. 933-943. — ВАК; К1: zbMATH, RSCI. Переводная версия:

Petrov, N.N. Linear Group Pursuit Problem with Fractional Derivatives, Simple Matrices, and Different Possibilities of Players / N. N. Petrov, A. I. Machtakova // Differential Equations. — 2023. — Vol. 59, no. 7. — P. 933-944. — WoS (SCIE), Scopus, MathSciNet, zbMATH, Springer.

118. Петров, Н.Н. О задаче преследования группы скоординированных убегающих в игре с дробными производными / Н. Н. Петров, А. И. Мачтакова // Дифференциальные уравнения. — 2025. — Т. 61, № 1. — С. 116-132. — ВАК; К1: zbMATH, RSCI.

119. Machtakova, A.I. Matrix resolving functions in the linear group pursuit problem with fractional derivatives / A. I. Machtakova, N. N. Petrov // Ural Mathematical Journal. — 2022. — Vol. 8, no. 1. — P. 76-89. — ВАК; К1: Scopus, MathSciNet, zbMATH.

Другие публикации, включенные в международные базы данных

120. Machtakova, A.I. Pursuit of Rigidly Coordinated Evaders in a Linear Problem with Fractional Derivatives, a Simple Matrix, and Phase Restrictions / A. I. Machtakova, N. N. Petrov // Stability and Control Processes : Proceedings of the 4th International Conference Dedicated to the Memory of Professor Vladimir Zubov. — Springer, 2022. — C. 391-398.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

121. Мачтакова, А.И. Программа для определения поимки в некоторых задачах группового преследования // Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022617670. Дата регистрации: 25.04.2022.

Материалы научных конференций

122. Бичурина, А.И. Об одной задаче группового преследования через Интернет / А. И. Бичурина // МНСК-2017: Материалы 55-й Международной научной студенческой конференции. — Новосибирск: Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, 2017. — С. 14.

123. Бичурина, А.И. Одна задача группового преследования с дробными производными / А. И. Бичурина // МНСК-2018: Материалы 56-й Международной научной студенческой конференции. — Новосибирск: Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, 2018. — C. 58.

124. Мачтакова, А.И. Одна задача группового преследования с дробными производными / А. И. Мачтакова // МНСК-2019: Материалы 57-й Международной научной студенческой конференции. — Новосибирск: Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, 2019. — C. 66.

125. Петров, Н.Н. К задаче группового преследования в дифференциальных играх с дробными производными / Н. Н. Петров, А. И. Мачтакова, А. Я. Нарманов // Устойчивость, управление, дифференциальные игры (SCDG2019): Материалы Международной конференции, посвященной 95-летию со дня рождения академика Н. Н. Красовского. — Екатеринбург : ИММ УрО РАН, 2019. — C. 255-259.

126. Мачтакова, А.И. Простое групповое преследование жестко скоординированных убегающих в задаче с дробными производными и фазовыми ограничениями / А. И. Мачтакова // МНСК-2020 : Материалы 58-й Международной научной студенческой конференции. — Новосибирск: Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, 2020. — C. 40.

127. Петров, Н.Н. Преследование группы убегающих в задаче с дробными про-изводствеными и фазовыми ограничениями / Н. Н. Петров, А. И. Мачтакова // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби (CGS'2020): Материалы III Международного семинара, посвященного 75-летию академика А.И. Субботина. — Екатеринбург : ИММ УрО РАН, 2020. — C. 249-252.

128. Петров, Н.Н. О некоторых задачах группового преследования с дробными производными /Н.Н. Петров, А. И. Мачтакова // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики: Материалы VI Международной научной конференции. Институт прикладной математики и автоматизации - филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук». — Нальчик: Принт Центр», 2021. — C. 158.

129. Мачтакова, А.И. Об одной линейной задаче группового преследования с дробными производными / А. И. Мачтакова // Современные проблемы математики и ее приложений: Тезисы докладов Международной (53-й

Всероссийской) молодёжной школы-конференции. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, УрФУ, 2022. — C. 98.

130. Петров, Н.Н. К линейной задаче группового преследования с дробными производными / А. И. Мачтакова, Н. Н. Петров // Теория оптимального управления и приложения (OCTA 2022): Материалы Международной конференции. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2022. — C. 165-169.

131. Петров, Н.Н. Многократная поимка убегающего в задаче с дробными производными в классе позиционных стратегий с поводырем / Н. Н. Петров, А. И. Мачтакова // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого): Материалы XVI Международной научной конференции. — Москва: ИПУ РАН, 2022. — C. 344-347.

132. Петров, Н.Н. Об одной задаче группового преследования с дробными производными / Н. Н. Петров, А. И. Мачтакова // Уфимская осенняя математическая школа: Материалы международной научной конференции. — Уфа: ФГБОУ ВО «УУНиТ», 2022. — C. 225-227.

133. Мачтакова, А.И. Об одной задаче группового преследования с дробными производными / А. И. Мачтакова // Современные проблемы математики и ее приложений: Тезисы докладов Международной (54-й Всероссийской) молодёжной школы-конференции. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, УрФУ, 2022. — C. 96-97.

134. Мачтакова, А.И. К задаче группового преследования с дробными производными / А. И. Мачтакова, Н. Н. Петров // Математика в современном мире: материалы II всероссийской научно-практической конференции, посвященной 160-летию со дня рождения видного российского математика Д.А. Граве. — 2023. — C. 71-74.

135. Мачтакова, А.И. О преследовании группы скоординированных убегающих в дифференциальной игре с дробными по Капуто производными / А. И. Мачтакова // Динамические системы: устойчивость, управление,

дифференциальные игры: Материалы Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2024. — С. 217-220.