Интегральные динамические модели: приближенные методы и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Сидоров, Денис Николаевич

• Сидоров, Денис Николаевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Сидоров, Денис Николаевич

Оглавление

Стр.

Введение

Часть I Интегральные динамические модели: элементы анализа

Глава 1 Линейные модели Вольтерра с кусочно-заданными

ядрами: асимптотические и численные методы

1.1 Уравнения Вольтерра I рода (скалярный случай)

1.2 Численные методы решения уравнений Вольтерра I рода

с кусочно-непрерывными ядрами

1.3 Системы уравнений Вольтерра I рода

1.4 Обобщенные решения уравнений Вольтерра I рода

1.5 Уравнения Вольтерра I рода с разрывной правой частью

Глава 2 Нелинейные динамические модели:

существование и асимптотики решений

2.1 Нелинейное уравнение Гаммерштейна

2.2 Существование и разрушение решений уравнений

Вольтерра II рода

2.3 О ветвлении решений нелинейных дифференциальных уравнений

2.4 Обобщенные решения в нелинейных моделях

Вольтерра I рода

Глава 3 Операторно-интегральные динамические модели:

существование, построение и разрушение решений

3.1 Линейные операторные уравнения Вольтерра I рода

с кусочно-заданными ядрами

3.2 Нелинейные операторные модели Вольтерра: существование и разрушение решений

3.3 Нелинейные дифференциально-операторные уравнения с вырождением

3.4 Операторные уравнения Вольтерра II рода в нерегулярном случае

3.5 Последовательные приближения решений нелинейных уравнений с векторным параметром в нерегулярном случае

Часть II Приложения интегральных преобразований в моделировании нелинейной динамики и в обработке сигналов iso

Глава 4 Идентификация полиномиальных

моделей Вольтерра

4.1 Моделирование нелинейных динамических процессов

в частотной и временной областях

4.2 Идентификация моделей Вольтерра во временной области

Глава 5 Интегральные модели в обработке сигналов

и в машинном обучении

5.1 Интегральные модели в анализе и прогнозировании временных рядов

5.2 О подавлении квазипериодического шума (муара)

5.3 Интегральные признаки в задачах машинного зрения

Заключение

Библиографический список

Основные обозначения

Предметный указатель

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные динамические модели: приближенные методы и приложения»

Введение

Интегральные уравнения и интегральные преобразования лежат в основе многих динамических моделей различных физических процессов. Именно интегральная форма является первичной в теории фудаменталь-ных физических законов сохранения. Интегральные модели динамических систем позволяют эффективно решать многие задачи прикладной математики, возникающие в энергетике, в химической промышленности, в биомедицине и в других областях науки и техники.

История развития теории интегральных уравнений и интегральных преобразований насчитывает более полутора столетий. Такие модели привлекали внимание выдающихся математиков и механиков начиная с XIX века в связи с фундаментальными вопросами естествознания. Интегральные законы сохранения лежат в основе математического моделирования проблем естествознания. Методы теории интегральных уравнений позволяют доказывать не только теоремы существования начально-краевых задач, создавать эффективные численные методы, но и стимулируют появление новых областей нелинейного анализа. В наше время теория интегральных динамических моделей стала обширной областью. Опубликовано большое количество статей и монографий (см., например, работы Н. Brunner, А. Lorenzi, H.-J. Reinhardt, А. С. Апарцина, Б. А. Бельтюкова, И. В. Войкова, М. В. Булатова, А. Л. Бухгейма, А. Ф. Вер-ланя, Ю. Е. Воскобойникова, В. В. Васина, В. К. Горбунова, А. A4. Денисова, Н. Д. Копачевского, А. С. Леонова, М. М. Лаврентьева, Н. А. Магницкого, Ю. С. Попкова, А. И. Прилепко, В. С. Сизикова, В. Д. Степанова, А. П. Хромова, В. Ф. Чистякова, А. Г. Яголы и др.) с обширной библиографией, посвященной интегральным моделям и их приложениям.

Интегральными отображениями можно описывать большое многообразие процессов в новых областях математического моделирования, связанных с машинным обучением и обработкой сигналов. Например, интегральное уравнение Фредгольма I рода

/С/ = У J К(х, у, х',у')1(х, у) dx dy' = I(x,y)

является одной из базовых математических моделей в обработке изображений. Здесь П С К2 - ограниченное множество. / Е L2(iT) - исходное (искомое) изображение, ядро К интегрального уравнения в этой модели является функцией рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF). Результатом воздействия такого интегрального оператора на изображение является 1(х,у). Например, ФРТ гауссовского типа - ядро типа свертки

К(х -х>,у~ у') = ^exp (-¿(z - x'f - ¿(у - г/)2)

описывает влияние атмосферных турбулентностей на регистрируемое изображение. Такая обратная задача в операторном виде имеет вид TI = /, где Т - линейный ограниченный оператор с незамкнутой областью значений TZ(T), I — экспериментальные данные (изображение). Известно, что в такой постановке решение уравнения Фредгольма I рода является некорректной в смысле Адамара [1; 2]. Потеря корректности связана с неограниченностью псевдообратного оператора. Задача восстановления исходного изображения - суть задача обращения свертки (деконволю-ция, deconvolution). Эффективным подходом к задаче восстановления изображений (см., например, [3-7]), сформулированной в терминах решения интегральных уравнений I рода, является регуляризация (см. А. Н. Тихонов [2], М. М. Лаврентьев [8; 9], В. К. Иванов [10]), численные методы решения некорректных задач изложены в монографии1. Можно использовать и другие подходы, например, основанные на теории возмущения линейных операторов (см., например, [11], п.22, [12], гл. 1). В рабо-

1 Тихонов, А Н Численные методы решения некорректных задач /АН Тихонов. А В Гончарский. В В Степанов. А Г Ягола — М Наука, 1990

те [5] демонстрируется эффективность регуляризованных интегральных моделей в задачах восстановления изображений в случае атмосферных турбулентностей и в медицинских изображениях конфокальной микроскопии. Совокупность одномерных интегральных уравнений Вольтерра I рода с переменными пределами интегрирования2 является ключевой моделью в задаче восстановления смазанных изображений.

Заметим, что интегральный оператор

[ K(t, s)x(s) ds (1)

J a

можно рассматривать как общее интегральное преобразование. Например, если положим а = —оо, b = +00, K(t,s) = а функции времени х и / - соответственно входным сигналом и выходным, то получим известное преобразование Фурье

/+оо 1

-7=e~itsx(s)ds = /. (2)

-ос \/27Г

Решение уравнения (2) дает нам обратное преобразование Фурье. Подобным образом задается косинус преобразование J0°° cos(ts)x(s) ds = f(t) — широко известный инструмент в обработке изображений, лежащий в основе формата сжатия JPEG. Преобразование Лапласа, преобразование Гильберта с сингулярным ядром, вейвлет преобразование, преобразование Радона - это далеко не полный ряд широко используемых на практике интегральных преобразований с различными ядрами.

Полагая в (1) а = —00, b = t, получаем известное представление линейных динамических систем в виде явной интегральной динамической модели с бесконечным запаздыванием J^ K(t, s)x(s) ds = f(t). где ядро Вольтерра К (t. s) - импульсная характеристика системы, x(t) - входной вектор, f(t) - отклик системы.

При рассмотрении более сложных систем используются и нелинейные интегральные операторы. Отметим, что в работах И. К. Даугавет и И. Беслер [13], P. M. Prenter [14], V. Istratescu показано, что широкие классы нелинейных моделей можно сколь угодно точно приблизить интегро-

2Сизиков, B.C. Обратные и прикладные задачи в Mat.Lab / В.С.Сизиков. — СПб: Изд. ЛАНЬ, 2013.

степенными операторами (см. также монографию [15]). Такие нелинейные интегральные операторы использовались уже в классических трудах А.И. Ляпунова, Л. Лихтенштейна, А. Гаммерштейна, заложивших начала методов нелинейного анализа, используемых нами в диссертации.

Многие реальные технические системы описываются моделями с обратной связью. Ряд экономических и технических систем в энергетике также являются системами с памятью. Продолжительность памяти определяется исходя из возрастных характеристик старейшей единицы оборудования, находящейся в эксплуатации. При этом ядро интегральной модели может претерпевать разрывы на эндогенных кривых запаздывания3, тем самым отражая динамику загрузки различного оборудования в производстве различной продукции.

Таким образом, возникают модели развивающихся динамических систем типа Вольтерра

с кусочно-заданным ядром К^. в). Примерами таких моделей являются модели оптимального обновления оборудования, изучаемые в монографии4. Эти модели берут начало от работ Л. В. Канторовича5 и В. М. Глуш-кова. В монографии 6 введена двухсекторная интегральная модель, использующая интегральные операторы вида

в которых ядро К^, в) определяет динамику старения системы, а функция а{Ь) - время жизни старейшей единицы оборудования, находящейся в эксплуатации в момент времени Первые работы по применению аппарата интегральных моделей типа В.М. Глушкова для моделирования

3 Hritonenko, N Turnpike and Optimal Trajectories m Integial Dynamic Models with Endogenous Delay / N Hritonenko, Yu Yatsenko // Journal of Optimization Theoiy and Applications - 2005 — Vol 127 No 1 20 — P 109-127

4Hntoncnko N Modeling and Optimization of the Lifetime of Technologies / N Hntincnko, Yu Yatsenko // Kluwer Academic Publushers, 1996

5Канторович, Л В Функциональные уравнения одно-продуктовой модели/ J1B Канторович ЛИ Горьков // ДАН СССР - 1959 - Т 129 N 4 - Р 732 - 736

6Глушков В М Моделирование развивающихся систем / В М Глушков В В Иванов В М Яненко — Москва Наука, 1983 - 350 с

to

(3)

)Сх = / K(t, s)x(s) ds. J a(t)

развития генерирующих мощностей выполнены A.C. Апарциным и продолжены в работах Е.В. Марковой, И.В. Сидлер, Ю.П. Яценко и др. Обзор теоретических разультатов и численные методы решения таких уравнений представлены в монографии7.

Использование теории интегральных операторов более общей природы

разработанной автором в монографии8, позволяет глубже понять и проследить динамику описываемого процесса в моделировании развития электроэнергетических систем (ЭЭС)9.

Теория моделей с такими операторами может позволить повысить эффективность управления техническими системами, реализовать системный подход к моделированию, обеспечив интеллектуальную поддержку при принятии управленческих решений в электроэнергетике. Используя линейные и нелинейные интегральные операторы удобно строить математические модели ввода и вывода различных генерирующих мощностей ЭЭС. Отметим, что соответствующие модели с конкретными Kt(t,s) и aL(t) позволяют учитывать не только ограничения на удельные капвложения и удельный расход топлива в момент времени i. но и коэффициенты интенсивности использования мощностей конкретных станций ЭЭС, введенных в момент времени s, сроки эксплуатации оборудования, скорость создания новых мощностей и другие технико-экономические факторы. Более того, возможна постановка различных оптимизационных (экстремальных) задач математического моделирования развития ЭЭС. Разработка таких моделей в ИСЭМ СО РАН проводилась, начиная с пионерских работ авторов отчета 1. Вместе с тем, в настоящее время возникла необходимость развития новых подходов в математическом моделировании на основе сочетания современной теории интегральных

7Apaitsyn A S Nonclassical Linear Volteria Equations of t,he First Kind /AS Apaitsyn - Waltci de Giuyter Publ 2003 - 163 p

^Сидоров, Д H Методы анализа интегральных динамических моделей теория и приложения / Д Н Сидоров — Иркутск Изд ИГУ, 2013 — 293 с

9Апарцин А С Применение нсклассических уравнении Вольтсрра I рода для моделирования развивающихся систем /АС Апарцин И В Сидлер // Лвтомат и телечех - 2013 - Т 6 - С 3 - 16

уравнений и интегральных преобразований с новейшими методами машинного обучения [16-26]. Именно с этих позиций проблемы моделирования технических систем рассмотрены во второй части диссертации.

Наряду с линейными моделями в прикладной математике интенсивно развиваются методы математического моделирования нелинейных интегральных динамических систем. Достаточно общим подходом к математическому моделированию нелинейных динамических систем типа вход-выход (выход непрерывно зависит от входа) является представление отклика системы на внешнее воздействие в виде интегро-степенного ряда Вольтерра. Перспективно pi использование операторов Гаммерштейна.

Разработка алгоритмов управления нелинейными динамическими системами с памятью является одной из актуальных производственных задач в математическом моделировании. В связи с этим, часть настоящей работы посвящена теории моделей на основе рядов Вольтерра с обратной связью и операторов Гаммерштейна (гл. 2, п. 2.1), описывающих нелинейные динамические системы с управляемой обратной связью. Такие интегральные модели, рассмотренные в гл. 2 и 3, возникают в результате применения интегро-функциональных сумм Вольтерра10, когда идентификация переходных характеристик моделируемой системы уже проведена и соответствующие интегральные уравнения построены.

При этом наиболее сложными и интересными объектами исследований в таких моделях являются нерегулярные ситуации, когда нарушается феномен единственности решения, или ограниченности оператора, происходит разрушение решения (явление «blow-up») или его ветвление в окрестностях характерных значений параметров. В такой ситуации при численном решении обычно привлекают методы регуляризации некорректных задач11, а в окрестностях критических значений параметров проводят необходимый асимптотический анализ поведения решения12. В этой области имеется много сильных результатов [12; 27-48]. Тем ни

10Вольтерра В Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнении / В Вольтерра — М Наука, 1982 - 304 с

11 Лаврентьев ММ Теория операторов и некорректные задачи / М М Лаврентьев, Л Я Савельев —Новосибирск Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1999 - 702 с

12 Козлов, В В Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений / В В Козлов С Д Фурта — М -Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 2009 — 312 с

менее, разработка приближенных методов исследования нерегулярных интегральных моделей остается одной из наиболее сложных проблем современной математики и составила важную цель исследования, проведенного в гл. 1, 2, 3. В этих главах использовались методы математического моделирования, вычислительной математики, элементы теории интегральных, дифференциальных уравнений и прикладного функционального анализа.

Хорошо известно, что приближенные методы решения нелинейных систем относятся к наиболее важным инструментам в моделировании физико-химических процессов и реальных систем индустриальной математики. Поэтому в главах 1, 2 и 3 диссертации большое внимание уделяется теории приближенных асимптотических и численных методов для ряда классов линейных и нелинейных уравнений, в том числе исследованию режимов blow-up (разрушения решения) и так называемых главных решений в смысле Л. В. Канторовича13.

Должное внимание в гл. 1-4 уделено доказательству теорем существования, приближенным методам (асимптотическим и численным) построения решений, идентификации в интегральных моделях. Таким образом, все вопросы, рассмотренные в гл. 1-4 диссертации, относятся к построению теории математического моделирования нерегулярных линейных и нелинейных систем различной природы с параметрами и сингулярностя-ми различной природы - актуальному направлению прикладной математики. Целью исследования является создание теоретических основ для построения устойчивых алгоритмов в исследовании сингулярных моделей, то есть разработка аналитических и численных методов анализа интегральных динамических систем с параметрами. В основе предлагаемой теории лежат математические модели, использующие классы нерегулярных функциональных уравнений, интегральные преобразования, методы решения обратных задач и алгоритмы машинного обучения. Цель практических приложений состоит в повышении эффективности ряда технических систем.

13 Канторович, Л В Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах / Л В Канторович В 3 By лих А Г Пинскер - М Haj ка 1950 - 548 с

В алгоритмах восстановления и анализа изображений и в методах машинного обучения ключевую роль играют дискретные аналоги непрерывных интегральных операторов [4; 49-51]. В дискретной математике и в теории обработки сигналов модели Вольтерра часто классифицируются как континуальные аналоги обобщенных полиномиальных регрессионных моделей. Используя такие модели, в гл. 5 проведен анализ новых регресионных моделей в электроэнергетике с целью распознования неустойчивых межсистемных колебаний.

В гл. 5 алгоритмы машинного обучения, использующие структурно-параметрический синтез интегральных преобразований, используются для построения прогнозных моделей электроэнергетики и в алгоритмах автоматизации контроля качества на производстве с помощью систем машинного зрения. Особое внимание уделено обработке многомерных сигналов (изображений) в системах восстановления архивов цифровых видео-последовательностей.

Объектами применения теории, построенной в гл. 4, 5 служили модели электроэнергетических систем (ЭЭС), разрабатываемые в ИСЭМ СО РАН (см. библиографию в отчете 14 и в статьях15 16), программное обеспечение систем машинного зрения17, алгоритмы обработки и реставрации видеоархивов18.

Модели, описывающие в гл. 5 комплекс таких задач, в общем случае являются нерегулярными и поэтому требуют на разных стадиях применение различных разделов как непрерывной, так и дискретной математики, методов компьютерных наук, современных методов обработки сигналов и методов решения обратных задач.

С практической точки зрения важнейшими свойствами моделей, исследуемых в диссертации, являются их адаптивность, саморегуляриза-

14Анциферов, Е Г Математические задачи энергетики (модели, методы, решения) Науч отчет / Е Г Анциферов А С Апарцин Л Т Ащепков В П Булатов - Иркутск СЭИ СО АН СССР 1987 - 286 с

15Markova ЕВ Integral models of developing electric power systems / EV Markova, IV Sidler VV Trufanov // International Journal of Energy Optimization and Engineering - 2013 - Vol 2, N 4 - P 44-58

16Voropai N I Operating conditions forecasting foi momtoung and control of electnc powei systems / N I Voropai A AI Glazunova V G Kurbatsky, D N Sidorov, V A Spiryaev N V Tomin // Innovative Smart Grid Technologies Conference Europe (ISC Г Europe), 1-13 Oci 2010, G'otcborg, Sweden 2010 - Vol I - VI -7

17Sidorov D Automatic defects classification with p-median clustering technique /D Sidorov D S W Wong I L Vasilyev S Salerno // 10th International Conference on Control Automation Robotics and Vision Hanoi 2008 - P 775 - 780

18Kokaram, А С Digital restoration systems coping with leality / А С Kokaram, D N Sidorov, J H Chenot, L Laborelh, J Biemond R Bornard, A Rares // SMPTE Motion Imaging Journal - 2003 - Vol 112, jY 7-8 - P 225 - 231

ция к изменяющимся входным данным. Такие свойства использованы в диссертации при решении прикладных задач, в том числе при создании систем машинного обучения на основе полиномиальных регрессионных моделей Вольтерра (гл. 4), в адаптивном режекторном фильтре подавления муаровых шумов в видеоархивах (п. 5.2) и в алгоритме автоматического распознования дефектов систем машинного зрения (п. 5.3).

Усложнение топологии электрических сетей, увеличение количества возобновляемых источников энергии в общей доле генерации, а также особенности либерализованного рынка электроэнергии, наряду с традиционными методами моделирования, делает необходимым искать новые подходы прогнозирования с целью повышения точности режимных параметров и характеристик в современных ЭЭС. В связи с этим, кроме функционального аналитического подхода к математическим моделям, рассмотренного в гл. 1-3, во второй части (гл. 5) в рамках приоритетной темы НИР СО РАН (НШ-4633.2010.8 и НШ-1507.2012.8) «Разработка теории, моделей и методов обоснования развития и управления функционирования структурно неоднородных электроэнергетических систем в рыночных условиях», предложены и апробированы прогнозные адаптивные модели сложных ЭЭС. Таким образом, здесь эффективным подходом оказывается использование интегральных динамических моделей и дискретных аналогов интегральных преобразований.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из двух частей и пяти глав, в которых по мере необходимости приведены и обзоры результатов других авторов в соответствующих областях.

первая часть состоит из трех глав и посвящена рассмотрению интег-ро-операторных моделей, теории соотвествующих приближенных методов с иллюстративными приложениями и численными расчетами. В моделях, рассматриваемых в первых двух главах, искомая функция зави-

сит от одной переменной, т.е. изучаются модели, содержащие обыкновенные интегральные и дифференциальные операторы. В третьей главе рассматриваются более общие интегро-операторные уравнения, т.е. соответствующие модели могут содержать интегро-дифференциальные операторы с частными производными.

В гл. 1 изложена теория линейных уравнений Вольтерра

Строятся непрерывные и обобщенные решения таких уравнений. Ключевую роль играет характеристическое показательное уравнение

72— 1

В и) := Кп(0, о) + ^(а;(0))1+^(/С(0, 0) - К1+1(0, 0)) = 0, у Е N и {0}

и функция £>(*) := ■ <*,(*)) - К1+1(1.аг{1))

В регулярном случае (.0(0) < 1), когда решение единственное, эффективные численные методы реализованы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента. Показано, что в этом случае задача является корректной по Ада-мару. В нерегулярном случае дан метод построения параметрических решений в виде логарифмо-степенных сумм.

Вторая глава посвящена анализу классов нелинейных интегральных моделей с операторами Гаммерштейна и Вольтерра. В п. 2.1 исследована нелинейная модель Гаммерштейна гг(£) = ¡^ з)д(з.и(з), А) когда соответствующее уравнение имеет несколько ветвей решений в окрестности критического значения параметра А. Используя метод построения главных членов асимптотик, предложенный в п.2.1, далее для моделей с нелинейными дифференциальными операторами общего вида предложен метод построения асимптотических решений вида х(Ь) = жо^+ г>(£).

0 < в < г < Т, /(0) = 0,

с кусочно-заданным ядром

где б > 0, хо - корень определенного полинома, v(t) = o(\t\£) при í —>• 0. Эффективность такого метода построения асимптотик демонстрируется на содержательных моделях. Например, показано, что дифференциальное уравнение \/(1 + ф)2 — = j(l + ф). возникающее при анализе модели магнитной изоляции ваккумного диода19 (здесь ф - потенциал электрического поля, j - сила тока), имеет решение вида ф(х) =

В п. 2.4 строятся обобщенные решения следующих классов нелинейных уравнений Вольтерра первого рода, возникающих при моделировании нелинейных динамических процессов типа «вход-выход» интегро-функциональными рядами Вольтерра:

N оо п

ЕХ^П / Kmj(t,sl)x(sl)dsl = f(t),

n=1 j=l ¿=1

N ос n

ЕЕ \[Кпч*х = т>

П=1 3=1 1=0

N , f ч m

E / Qm(t-s)x(s) ds =f{t),

m=i ;

í K(t, s) (x(s) + g(slx(s), s)) ds = /(¿). Jo

Решения строятся в виде х(t) = co<5(t) + ci5^^(t) + - ■ ■ + cinS^m\t)+v(t), где S(t) - функция Дирака. Регулярная функция v(t) вычисляется методом последовательных приближений, а постоянные с, находятся как решения определенных алгебраических уравнений.

В третьей главе построена теория ряда классов интегро-операторных и дифференциально-операторных моделей. Методы гл. 3 используют результаты прикладного функционального анализа (см., например, монографию 20 ) и обобщают резульаты гл 1 и 2 на случай общих уравнений в банаховых пространствах. В п. 3.1 рассмотрены линейные операторные

19Веп Abdallah, N Mathematical models of magnetic insulation / N Ben Abdallah P Dcgond et al // Rapport interne No 97 20 - Toulouse MIP Paul Sabatiei Univeisity 1997 - P 1-38

20Sidorov, N Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications Series Mathematics and Its Applications, Vol 550 / N Sidorov, В Logmov, A V Sinitsvn, M V Falaleev - Springer, 2003 - 548 p

уравнения Вольтерра с кусочно-заданным операторным ядром. Предложен метод построения решений таких уравнений, в том числе в случае, когда решение не единственное. Разработан формализм построения асимптотических приближений искомых решений обобщающий результаты гл. 1 на более широкие классы моделей. Метод построения главных решений в смысле Канторовича и оценки нижней границы возникновения режима «blow-up», изложенный в п. 2.2, модифицирован и применен в п. 3.2 для решений этой проблемы в случае нелинейного уравнения

Ф( / #i(i,5,2/(s))ds, / / K2(t,s,si,s2,y{si),y{s2))ds±ds2,... \JО J о Jo

... I "' jQ ■ ■ ■ sn,y(si),. ■ ■ y(sn)) dsi... dsn, y(t), t^ =0,

частным случаем которого является ряд известных нелинейных интегральных моделей динамических систем 21' 22. Предложен метод последовательных приближений, сходимость которого установлена с помощью исследования мажорантных интегральных и алгебраических уравнений. Даны оценки нормы решений и интервалов, на правых концах которых решения могут иметь blow-up пределы. В пп. 3.3 - 3.5 итерационные и асимптотические методы решения нерегулярных задач, изложенные во второй главе, обобщены на случай операторно-дифференциальных моделей в банаховых пространствах. При этом предполагается, что В — линейный необратимый фредгольмов оператор, а элементы {фг}" образуют базис в ker В. А именно, рассмотрена задача Коши B^j = F{u, t), u\t=o = 0. Строятся непрерывные решения в окрестности точки ветвления t = 0. Изучено нелинейное операторное уравнение Вольтерра второго рода G{u,t) + f*K(t,s,u(s))ds = 0, 0 < s < t < р, G'u{u,t)\u=0i=0 = В. В п. 3.5 изучено нелинейное операторное уравнение Bu = F(u. а(Х), ß(X)). где а'(А), ß(X) — функционалы векторного параметра А. Строятся решения и —у 0 при А —> 0. Приведены достаточные условия существования решений, доказана сходимость соответствующих итерационных методов.

21 Bclbas S A Numerical solution of multiple nonlinear Volterra integral equations / S A Belbas Yu Bulka // Applied Mathematics and Computation - 2010, Vol 217 - P 4791 - 4804

22Apaitsm A S Polynomial Voltena mtegial equations of the hist kmd and the Lainbeit function /AS Apaitsm // Proc of the Steklov Institute of Mathematics - 2013 - Vol 280 Issue 1 Suppl - P 26-38

Главные члены асимптотик решений уравнений строятся соответственно

а

в виде u(t) ~ t'!ь с>Фп и{~ eWà(A) ^ с,ф,. В каждой задаче век-

7 = 1

тор с G М" определяется из явно построенной системы нелинейных алгебраических уравнений. Рациональный показатель r/s также вычисляется явно построением диаграммы Ньютона для нелинейной части уравнения.

Разработанная в гл. 3 методика построения асимптотики использует идеи известного в нелинейном анализе метода Ляпунова-Шмидта16. Эффективность методики иллюстрируется построением асимптотик решений конкретных начально-краевых задач, в том числе возникающих в сложных нелинейных моделях механики (уравнение Осколкова-Бенджа-мина-Махони, моделирующее динамику вязкой несжимаемой жидкости, краевая задача о колебании спутника в плоскости его эллиптической орбиты)

вторая часть диссертации (гл. 4, 5) посвящена теории и приложениям интегральных моделей в электроэнергетике и в обработке многомерных сигналов. Результаты, представленные во второй части диссертации, получены в рамках рамочных проектов Евросоюза ICOEURO (рук., проф. чл.-кор. РАН Воропай Н.И., ИСЭМ СО РАН), и работы автора в компании VisionXtreme Pte Ltd холдинга ASTI Pte Ltd, Сингапур. Разработанные в этой части методы машинного обучения, основанные на дискретных аналогах интегральных моделей используются для построения прогнозных моделей и алгоритмов предупреждения аварийных (нерегулярных) ситуаций в окрестностях критических зачений параметров систем теплоэнергетики и электроэнергетики.

В четвертой главе, носящей методологический характер, описаны основные этапы идентификации нелинейных динамических систем на основе полиномиальных регрессионных моделей Вольтерра с приложением к задаче моделирования теплофизических процессов. В пятой главе предложены новые гибридные прогнозные модели, позволяющие оценивать состояние ключевых параметров режима ЭЭС, оценивать риск появления неустойчивых межсистемных колебаний. Изложена связь регресси-

онных моделей Вольтерра с полиномиальными регрессионными моделями в теории машинного обучения.

В п. 5.1 построен гибридный подход к прогнозированию нестационарных процессов, комбинирующий преобразование Гильберта-Хуанга на этапе извлечения значимых признаков исходного ряда, с нелинейным регрессионным методом опорных векторов и нейросетевым подходом. Формирование гибридной модели сводится к следующим трем блокам (см. блок-схему на рис. 5.3):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сидоров, Денис Николаевич, 2014 год

Библиографический список

[1] Hadamar, J. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique / J. Hadamar // Princeton Univ. Bull. — 1902. — Vol. 13. - P. 49-52.

[2] Тихонов, A. H. Методы решения некорректных задач / А. H. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1974. - С. 222.

[3] Image reconstruction technique and optical monitoring of the QS02237+0305 from Maidanak observatory in 2002-2003 / E. Koptelova, E. Shimanovskaya, B. Artamonov [et al] // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2005. — Vol. 356, № 1,-P. 323-330.

[4] Воскобойников, Ю. E. Устойчивый алгоритм восстановления изображения при неточно заданной аппаратной функции / Ю. Е. Воскобойников, В. А. Литасов // Автометрия. — 2006. — Т. 42, № 6. — С. 3-15.

[5] Lu, Y. Integral equation models for image restoration: high accuracy methods and fast algorithms / Y. Lu, L. Shen, Y. Xu // Inverse Problems. - 2010. - № 26. - P. 1-32.

[6] Cottet, G. H. A Volterra type model for image processing / G. H. Cottet, M. E. Ayyadi // IEEE Trans, on Image Processing. — 1998.— Vol. 7, № 3. - P. 1-32.

[7] Сизиков, В. С. Предшествующая и последующая фильтрация шумов в алгоритмах восстановления изображений / В. С. Сизиков, Р. А. Экземпляров // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2014. — Т. 89, № 1. — С. 112122.

[8] Лаврентьев, M. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / M. М. Лаврентьев. — Новосибирск: Наука, 1962. — С. 91.

[9] Lavrentiev, M. M. Some improperly posed problems in mathematical physics / M. M. Lavrentiev. — London: Springer, 1967. — P. 88.

[10] Иванов, В. К. Избранные научные труды / В. К. Иванов.— М.: Физматлит, 2008. - С. 552.

[11] Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М.: Наука, 1980. - С. 494.

[12] Lyapunov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. A. Sidorov, В. V. Loginov, A. V. Sinitsyn, M. V. Falaleev. — Boston: Kluwer Academic Publ., 2002. - P. 548.

[13] Беслер, И. О приближении нелинейных операторов полиномами Вольтерра / И. Беслер, И. К. Даугавет // Тр. Ленинградского мат. общества. - 1990. - Т. 1. - С. 53-64.

[14] Prenter, P. M. A Weierstrass theorem for real separable Hilbert spaces / P. M. Prenter // J. Appr. Theory. - 1970. - № 3. - P. 341-351.

[15] Torokhti, A. Computational Methods for Modeling of Nonlinear Systems / A. Torokhti, P. Howlett. - Elsevier Publ., 2007.

[16] Хайкин, С. Нейронные сети / С. Хайкин. — М.: Изд. дом Вильяме, 2006.-С. 1104.

[17] Нейроинформатика / А. Н. Горбань, В. Л. Дунин-Барковский, А. Н. Кирдин [и др.].— Новосибирск: Наука, 1998.

[18] Osovski, S. Nural Networks for Information Processing / S. Osovski.— Warzsava: OWPW, 1996.

[19] Franz, M. A unifying view of Wiener and Volterra theory and polynomial kernel regression / M. Franz, B. Scholkopf // Neural Comput. - 2006. - Vol. 18. - P. 3097-3118.

[20] Yan, W. Toward automatic time-series forecasting using neural networks / W. Yan // IEEE Trans. Neural Networks Learning Syst. — 2012. - Vol. 23. - P. 435—446.

[21] Adya, M. How effective are neural networks at forecasting and prediction? A review and evaluation. / M. Adya, F. Collopy // Int. J. Forecast. - 1998. - Vol. 17. - P. 481—495.

[22] Rubiolo, M. Compressing arrays of classifiers using Volterra-Neural Network: application to face recognition / M. Rubiolo, G. Stegmayer, D. Milonc // Neural Computing and Applications. — 2012. — P. 1-15.

[23] Marmarelis, V. Z. Volterra models and three-layer perceptrons / V. Z. Marmarelis, X. Zhao // IEEE Trans. Neural Networks.— 1997.— Vol. 8. - P. 1421-1433.

[24] Sandberg, I. W. Multidimentional nonlinear myopic maps, Volterra series, and uniform neural-network approximations / I. W. Sandberg // Proceedings of Workshop on Intellegent Methods for Signal Processing and Communications, Vigo, Spain, June 24-26, 1996. — Vigo: 1996. — P. 99-128.

[25] Liu, Z. A new short-term load forecasting model of power system based on HHT and ANN / Z. Liu, W. Bai, G. Chen. // Proc. Advances in Neural Networks. ISNN 2010, Shanghai, China, June 6-9, 2010, Lecture Notes in Computer Science. — Shanghai, China: 2010. — P. 448-454.

[26] Hornik, K. Multilayer feedforward networks are universal approximators / K. Hornik, M. Stinchcombe, H. White // Neural Networks. - 1989. - № 2. - P. 359-366.

[27] Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Алылин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер.— М.: Физ-матлит, 2007. - С. 736.

[28] Демиденко, В. Г. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной / В. Г. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — С. 438.

[29] Корпусов, М. О. Разрушения в неклассических нелокальных уравнениях / М. О. Корпусов, — М.: Либерком, 2011,— С. 378.

[30] Lorenzi, A. Integro-differential operator equations of the first kind of degenerate type in Banach spaces and applications to integro-differential PDEs / A. Lorenzi // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Application. — 2013. — Vol. 1. — P. 50-75.

[31] Reinhardt, H.-J. Analysis of approximation methods for differential and integral equations / H.-J. Reinhardt. — New York: Springer, 1985. — P. 398.

[32] Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht: VSP, 2003,- P. 216.

[33] Гребенников, E. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем / Е. А. Гребенников, — М.: Физматлит, 1978.

[34] Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. — М.: Наука, 1969. — С. 527.

[35] Kwatny, Н. G. Local bifurcation in power systems: theory, computation, and application / H. G. Kwatny, R. F. Fischl, С. O. Nwankpa // Proceedings of the IEEE. - 1995. - Vol. 83, № 11. - P. 1456-1483.

[36] Брюно, А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях / А. Д. Брюно.— М.: Физматлит, 1998.— С. 288.

[37] Roberts, С. A. Recent results on blow-up and quenching for nonlinear Volterra equations / C. A. Roberts // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2007. - Vol. 205, № 2. - P. 736 - 743.

[38] О'Regan, D. Nonlinear Hammerstein integral equations via local linking and mountain pass / D. O'Regan // Rend. Circ. Mat. Palermo. — 2011. - Vol. 60. - P. 357-364.

[39] Приближённое решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко [и др.].— М.: Наука, 1969,- С. 455.

[40] Апарцин, А. С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода: теория и численные методы / А. С. Апарцин. — Новосибирск: Наука, 1999. - Р. 193.

[41] Mazzieri, G. L. Existence, uniqueness and stability of minimizers of generalized Tikhonov-Phillips functionals / G. L. Mazzieri, R. D. Spies, K. G. Temperini // J. Math. Anal. Appl. - 2012. - Vol. 396. - P. 396411.

[42] Mydlarczyk, W. Blow-up solutions to a system of nonlinear Volterra equations / W. Mydlarczyk, W. Okrasinski, C. Roberts // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2005.— Vol. 301, № 1,— P. 208 - 218.

[43] Юдович, В. И. Математические модели естественных наук: учебное пособие / В. И. Юдович, — Ростов-на-Дону: Лань, 2011. — С. 335.

[44] Горбунов, В. К. Редукция линейных интегральных уравнений с равномерной погрешностью в правой части / В. К. Горбунов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1985. — Т. 25. — С. 210-223.

[45] Malolepszy, T. Blow-up conditions for nonlinear Volterra integral equations with power nonlinearity / T. Malolepszy, W. Okrasinski // Applied Mathematics Letters. - 2008. - Vol. 21, № 3. - P. 307 - 312.

[46] Zavalishin, S. T. Dynamic impulse systems: theory and applications / S. T. Zavalishin, A. N. Sesekin. — Dordrecht: Springer Academic Publ., 2010,- P. 268.

[47] Магницкий, H. А. Асимптотика решений интегрального уравнения Вольтерра первого рода / Н. А. Магницкий // ДАН СССР.— 1983. - Т. 169, № 1. - С. 29-32.

[48] Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть первая. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. — Пенза: Изд. Пензенского гос. ун-та, 2005. —

C. 377.

[49] Гонзалес, Р. Цифровая обработка сигналов / Р. Гонзалес, Р. Вудс. — Техносфера, 2005. - С. 512.

[50] Сизиков, В. С. Математические методы обработки результатов измерений / В. С. Сизиков. — СПб: Политехника, 2001.— С. 239.

[51] Favier, G. Nonlinear system modeling and identification using Volterra-PARAFAC models / G. Favier, A. Y. Kibangou, T. Bouilloc // Int. J. Adapt. Control Signal Process. - 2012. - № 26. - P. 30-53.

[52] Digital restoration systems: coping with reality / A. Kokaram,

D. Sidorov, J. H. Chenot [et al] // SMPTE Motion Imaging Journal. — 2003. - Vol. 112. - P. 225-231.

[53] Sidorov, D. N. Suppression of moiré patterns via spectral analysis / D. N. Sidorov, A. C. Kokaram // Visual Communications and Image Processing 2002, Proc. SPIE 4671,- San Jose, USA: 2002. - P. 895906.

[54] Robust and automatic digital restoration system: coping with reality / A. Kokaram, R. Bornard, D. Sidorov [et al] // International Broadasting Convention 2002, Proc. IBC. — Amsterdam, The Netherlands: 2002. — P. 405-411.

[55] Sidorov, D. N. Removing moiré from degraded video archives / D. N. Sidorov, A. C. Kokaram // Proc. of the Xlth European Conference in Signal Processing (EUSIPCO 2002). - Tolouse, France: 2002. - P. 483486.

[56] Working tools in flexible ureterorenoscopy - influence on flow and deflection: What does matter? / T. Bach, B. Geavlete, T. Herrmann, A. Gross // Journal of Endourology. - 2008. - Vol. 22. - P. 1639-1644.

[57] Interest of correlation-based automatic target recognition in underwater optical images' theoretical justification and first results. — Vol. 7678, 2010.

[58] Saveljev, V. Characteristics of moire spectra in autostereoscopic three-dimensional displays / V. Saveljev // Display Technology, Journal of. — 2011. - Vol. 7, № 5. - P. 259-266.

[59] Mesgarani, H. Theoretical investigation on error analysis of sine approximation for mixed volterra-fredholm integral equation / H. Mesgarani, R. Mollapourasl // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2013. - Vol. 53, no. 5. - P. 530-539.

[60] Kokaram, A. On missing data treatment for degiaded video and film archives: a survey and a new bayesian approach / A. Kokaram // Image Processing, IEEE Transactions on. - 2004. - Vol. 13, № 3. - P. 397415.

[61] Belbas, S. A. Numerical solution of multiple nonlinear Volterra integral equations / S. A. Belbas, Y. Bulka // Applied Mathematics and Computation (arXiv:1101.3963v2). - 2010. - № 217. - P. 4791-4804.

[62] Horkovics-Kovats, S. Disintegration rate and properties of active pharmaceutical ingredient particles as determined from the dissolution time profile of a pharmaceutical formulation: An inverse problem / S. Horkovics-Kovats // Journal of Pharmaceutical Sciences. — 2014.— Vol. 103, № 2. - P. 456-464.

[63] Леонтьев, P. Ю. Нелинейные уравнения в банаховых пространствах с векторным параметром в нерегулярных случаях / Р. Ю. Леонтьев. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 2013.- С. 101.

[64] Маркова, Е. В. Об одной интегральной модели Вольтерра развивающихся динамических систем / Е. В. Маркова, Д. Н. Сидоров // Автомат, и телемех. — 2014. — № 3. — С. 3-13.

[65] Сидоров, Д. Н. Обобщенные решения в задаче моделирования нелинейных динамических систем полиномами Вольтерра / Д. Н. Сидоров, Н. А. Сидоров // Автомат, и телемех. — 2011. — Т. 6. — С. 127— 132.

[66] О нейросетевом подходе к прогнозированию нестационарных временных рядов на основе преобразования Гильберта-Хуанга / В. Г. Курбацкий, Д. Н. Сидоров, В. А. Спиряев, Н. В. Томин // Автомат, и телемех. - 2011. - № 7. - С. 58-68.

[67] Прогнозирование нестационарных временных рядов на основе преобразования Гильберта-Хуанга и машинного обучения / В. Г. Курбацкий, Д. Н. Сидоров, В. А. Спиряев, Н. В. Томин // Автомат, и телемех. - 2014. - Т. 5. - С. 143—158.

[68] Сидоров, Н. А. Существование и построение обобщенных решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерры первого рода / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров // Дифференциальные уравнения. — 2006. - Т. 42, № 9. - С. 1243-1247.

[69] Сидоров, Н. А. О решении операторно-интегральных уравнений Вольтерры в нерегулярном случае методом последовательных приближений / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров, А. Красник // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 882-891.

[70] Сидоров, Д. Н. Существование и разрушение главных по Канторовичу непрерывных решений нелинейных уравнений Вольтерра / Д. Н. Сидоров // Дифференциальные уравнения. — 2014. — Т. 50, Ш 9,- С. 1231-1237.

[71] Сидоров, Д. Н. О параметрических семействах решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода с кусочно-гладкими ядрами / Д. Н. Сидоров // Дифференциальные уравнения, — 2013. — Т. 49, № 2. - С. 209-213.

[72] Сидоров, Н. А. Последовательные приближения решений нелинейных уравнений с векторным параметром в нерегулярном случае / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров, Р. Ю. Леонтьев // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2012. — Т. 15. — С. 387-392.

[73] Сидоров, Д. Н. Моделирование нелинейных нестационарных динамических систем рядами Вольтерра: идентификация и приложения / Д. Н. Сидоров // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2000. - Т. 3, № 1. - С. 182-194.

[74] Васильев, И. Л. Приложение кластерного анализа к автоматическому распознаванию дефектов / И. Л. Васильев, Д. Н. Сидоров // Проблемы управления. — 2007. — Т. 4. — С. 36-42.

[75] Сидоров, Д. Н. О разрешимости систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами / Д. Н. Сидоров // Изв. вузов. Матем. - 2013. - № 1. - С. 62-72.

[76] Сидоров, Н. А. О малых решениях нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности точек ветвления / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров //Изв. ВУЗов. Матем. — 2011. — № 5. — С. 53-61.

[77] Сидоров, Н. А. О решениях интегрального уравнения Гаммерштей-на в нерегулярном случае методом последовательных приближений / Н. А. Сидоров, Д. И. Сидоров // СМЖ,- 2010,- Т. 51, № 2. — С. 404-409.

[78] Сидоров, Н. А. О последовательных приближениях решений вырожденной задачи Коши / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров // Тр. ИММ УрО РАН. - 2012. - Т. 18 (2). - С. 238-244.

[79] Sidorov, D. N. Generalized solution to the Volterra equations with piecewise continuous kernels / D. N. Sidorov // Bull. Malays. Math. Sei. Soc. - 2014. - Vol. 37, № 2. - P. 623-639.

[80] Sidorov, N. A. Generalized solutions of Volterra integral equations of the first kind / N. A. Sidorov, M. V. Falaleev, D. N. Sidorov // Bull. Malays. Math. Soc. - 2006. - Vol. 29, № 2. - P. 1-5.

[81] Sidorov, D. N. Convex majorants method in the theory of nonlinear Volterra equations / D. N. Sidorov, N. A. Sidorov // Banach J. Math. Anal. - 2012. - Vol. 6, № 1. - P. 1-10.

[82] Методы прогнозирования параметров режима электроэнергетических систем для целей мониторинга и управления / А. 3. Гамм, А. М. Глазунова, Ю. А. Гришин [и др.] // Электричество. — 2011. — № 5. - С. 12-20.

[83] Сидоров, Д. Н. О семействах решений интегральных уравнений вольтерры первого рода с разрывными ядрами / Д. Н. Сидоров // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2012. — Т. 12, № 18. - С. 44-52.

[84] Automatic defects classification with p-median clustering technique / D. N. Sidorov, S. W. Wong, I. Vasilyev, S. Salerno // Control, Automation, Robotics and Vision, 2008. ICARCV 2008. 10th International Conference on. - 2008. - P. 775 -780.

[85] Сидоров, Д. Н. Об одном классе нелинейных уравнений первого рода с однородными интегральными операторами / Д. Н. Сидоров // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2011. - Т. 4, № 1. - С. 109-117.

[86] Sidorov, D. N. Volterra equations of the first kind with discontinuous kernels in the theory of evolving systems control / D. N. Sidorov // Studia Informática Universalis. Paris: Hermann Publ. — 2011. — Vol. 9, № 3. - P. 135-146.

[87] Сидоров, H. А. О существовании и структуре решений систем нелинейных интегро-функциональных уравнений Вольтерры первого рода / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров, А. В. Труфанов // Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск. — Т. 1. — Новосибирск: 2007. - С. 1-4.

[88] Sidorov, D. N. Generalized solutions of polynomial Volterra integral equations of the 1st kind / D. N. Sidorov, N. A. Sidorov // Proceedings of 5th International IFAC Symposium Generalized Statements and Solutions of Control Problems (GSSCP-2010), September 13-17, 2010, UlaanBaator, Mongolia / Ed. by P. V. I. Gurman. — 2010. — P. 237241.

[89] Robust retrieval from compressed medical image archives / D. N. Sidorov, J.-F. Lerallut, J.-P. Cocquerez, J. Azpiroz // SPIE Proc. on Medical Imaging. - SPIE № 5748-51. - San Diego CA, USA: 2005.

[90] Sidorov, D. N. Support vector machine classification of microcalcifications in mammographic radiological images / D. N. Sidorov, I. Bitcko // Abstracts of Intl. Baikal School-Seminar "Optimization Methods and their Applications". — 2011. — P. 12.

[91] Sidorov, D. N. Non-stationary autoregressive model for on-line detection of inter-area oscillations in power systems / D. N. Sidorov, D. Panasetsky, V. Smidl // Innovative Smart Grid Technologies Conference Europe (ISGT Europe), 2010 IEEE PES, 11-13 Oct. 2010. -IEEE PES, Washington, D.C..: 2010. - P. 1-5.

[92] Сидоров, Д. H. Численное решение слабо регулярного уравнения Вольтерра первого рода / Д. Н. Сидоров, А. Н. Тында, И. Р. Муф-тахов // Вестник ЮУрГУ. Сер. мат. мод. и програм. — 2014. — Т. 7, № 3,- С. 107-115.

[93] Маркова, Е. В. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с разрывными ядрами в теории моделирования развивающихся динамических систем / Е. В. Маркова, Д. Н. Сидоров // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. — 2012.-№ 2.-С. 31-45.

[94] Сидоров, Н. А. Построение обобщенных решений нелинейных интегро-дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров, А. В. Труфанов // Вестник МАГУ. Математика, — 2005.— № 8.- С. 123-138.

[95] Sidorov, D. N. Integral equations and impulse signals in the theory of identification of nonlinear dynamic systems / D. N. Sidorov, A. I. Dreglea, N. A. Sidorov // Proceedings of Intl Conf. "Complex Systems, Intelligence and Modern Technological Applications". — Cherbourg, France: 2004. - P. 24-39.

[96] Сидоров, H. А. Асимптотические приближения решений нелинейных краевых задач с векторным параметром в окрестности точки бифуркации / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров, Р. Ю. Леонтьев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2011. — № 3,-С. 16-22.

[97] Сидоров, Н. А. Существование и структура решения интегро-функционального уравнения Вольтерра первого рода / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров, А. В. Труфанов // Известия Иркутского государственного университета. Серия математика.— 2007.— Т. 1, № 1. — С. 267-274.

[98] Sidorov, D. N. On impulsive control of nonlinear dynamical systems based on the Volterra series / D. N. Sidorov // 10th IEEE International Conference on Environment and Electrical Engineering, EEEIC. — Rome, Italy: 2011.- P. 1-3.

[99] Sidorov, N. A. Successive approximations to the solutions to nonlinear equations with a vector parameter in a nonregular case / N. A. Sidorov, D. N. Sidorov, R. Y. Leontiev // Journal of Applied and Industrial Mathematics. - 2012. - Vol. 6. - P. 387-392.

[100] Сидоров, H. А. Существование и структура решений интегро-функциональных уравнений Вольтерра первого рода / Н. А. Сидоров, А. В. Труфанов, Д. Н. Сидоров // Изв. ИГУ, сер. математика. - 2007. - № 1. - С. 267-274.

[101] Сидоров, Н. А. О разветвляющихся решениях нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров // Известия ИГУ, серия математика. — 2010.— Т. 3, № 1,— С. 92-103.

[102] Сидоров, И. А. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с кусочно-определенным ядром в банаховом пространстве / Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров // Неклассические уравнения математической физики. Сб. науч. статей, Отв. ред. А.И. Кожанов. — ИМ СО РАН, Новосибирск: 2012.- С. 405-411.

[103] The novel approach for power flow prediction based on the marginal Hilbert specrum and ANN / V. Kurbatsky, N. Tomin, D. Sidorov, V. Spiryaev // Proceedings of 5TH International conference on Liberalization and Modernization of Power Systems, Irkutsk, Russia, August 6-10, 2012 (CD). - ISEM SB RAS, Irkutsk, Russia: 2012.-P. 1-8.

[104] Применение неклассических интегральных уравнений первого рода типа Вольтерра для математического моделирования динамических систем (Часть 1) / Е. В. Маркова, Д. Н. Сидоров, С. В. Солодуша, В. А. Спиряев // Материалы III Конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М.А. Лаврентьеву. Отв. за выпуск: Е.М. Высоцкий, В.Б. Барахнин,— Новосибирск: 2003,— С. 87-92.

[105] Применение неклассических интегральных уравнений первого рода типа Вольтерра для математического моделирования динамических систем (Часть 2) / Е. В. Маркова, Д. Н. Сидоров, С. В. Солодуша, В. А. Спиряев // Материалы IV Конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М.А. Лаврентьеву в 2-х томах. Отв. за выпуск: Е.М. Высоцкий, В.Б. Барахнин. — Новосибирск: 2004,— С. 69-73.

[106] Сидоров, Д. Н. О разрешимости уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами в классе обобщенных функций / Д. Н. Сидоров // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. — 2012. — Т. 5, № 1. — С. 80-95.

[107] Сидоров, Д. Н. Метод монотонных мажорант в теории нелинейных уравнений Вольтерра / Д. Н. Сидоров, Н. А. Сидоров // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. — 2011.-Т. 4, № 1,- С. 97-108.

[108] Sidorov, D. N. Modelling of non-linear dynamic systems by Volterra series. In "Attractors, Signals, and Synergetics" / D. N. Sidorov.— Germany-USA: Pabst Science Publ., 2002. - P. 276-282.

[109] Neural networks optimization through simulated annealing for the short-term forecasting state variables of energy power systems / V. Kurbatsky, D. Sidorov, N. Tomin, V. Spiryaev // Electro (EEEC). -2012. - Vol. 2. - P. 15-24.

[110] Sidorov, D. N. Existence and destruction of Kantorovich main continuous solutions of nonlinear integral equations /D.N. Sidorov // arXiv e-prints 1302.7235. - 2013. - P. 12.

[111] Sidorov, D. N. On-line detection of inter-area oscillations using forgetting approach for power systems monitoring / D. N. Sidorov, Y. A. Grishin, V. Smidl // IEEE Proc. of The 2nd International Conference on Computer and Automation Engineering (ICCAE), 26-28 Feb. 2010, Singapore. - Vol. 3. - IEEE, Washington, D.C.: 2010,- P. 292-295.

[112] Hybrid model for short-term forecasting in electric power system / V. Kurbatsky, D. Sidorov, N. Tomin, V. Spiryaev // J. of Machine Learning and Computation. - 2011. - Vol. 2, № 5. - P. 138-147.

[113] Application of meta-heuristic optimization algorithms in electric power systems / N. I. Voropai, A. Z. Gamm, A. M. Glazunova [et al] // Meta-heuristics optimization algorithms in engineering, business, economics, and finance. - Malaysia: IGI Global, 2013. - P. 564-615.

[114] Hybrid genetic algorithms for forecasting power systems state variables / V. Kurbatsky, N. Tomin, D. Sidorov, V. Spiryaev // Power Tech (POWERTECH), 2013 IEEE Grenoble. - 2013. - P. 1-6.

[115] Application of two stages adaptive neural network approach for short-term forecast of electric power system / V. G. Kurbatsky, D.N. Sidorov, V. A. Spyryaev, N. V. Tomin // Proc. of the International conference EEEIC'll. - Rome, Italy: 2011.

[116] The hybrid model based on the Hilbert-Huang transform and neural networks for forecasting short-term operation conditions of power system / V. G. Kurbatsky, D. N. Sidorov, V. A. Spyryaev, N. V. Tomin // Proc. of the International Conference PowerTech'2011.— Trondheim, Norway: 2011.

[117] Short-term forecasting parameters of EPS for systems of operating and emergency control / V. G. Kurbatsky, D. N. Sidorov, V. A. Spyryaev,

N. V. Tomin // "Actual Trends in Development of Power Systems Protection and Automation", 30 May - 3 June 2011. SPb, Russia.— SPb, Russia: 2011,- P. 44-45.

[118] Сидоров, Д. H. Программный комплекс численного решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывным ядром: свидетельство 2012616439.— Правообладатель ФГБОУ ВПО "Иркутский государственный университет". Реестр программ для ЭВМ. — 2013. — заявл. 26.02.2013, зарегистр. 03.06.2013.

[119] Сидоров, Д. Н. Адаптивный режекторный фильтр по подавлению муарового шума в цифровых изображениях: свидетельство 2013611329. — Правообладатель ФГБОУ ВПО "Иркутский государственный университет". Реестр программ для ЭВМ. — 2013. — заявл. 21.11.2012, зарегистр. 09.01.2013.

[120] Сидоров, Д. Н. Методы анализа интегральных динамических моделей: теория и приложения / Д. Н. Сидоров; Под ред. М. В. Фа-лалеев. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 2013. - С. 293.

[121] Глушков, В. М. Моделирование развивающихся систем / В. М. Глушков, В. В. Иванов, В. М. Яненко. — М.: Физматлит, 1983. — С. 351.

[122] Denisov, А. М. On a special Volterra integral equation of the first kind / A. M. Denisov, A. Lorenzi // Boll. Un. Mat. Ital. В. — 1995,- Vol. 7, № 9. - P. 443-457.

[123] Hritonenko, N. Mathematical modeling in economics, ecology and the environment / N. Hritonenko, Y. Yatsenko. — Holland: Kluwer Academic Publushers, 1999. - P. 249.

[124] Hritonenko, N. Applied mathematical modelling of engineering problems / N. Hritonenko, Y. Yatsenko. — Holland: Springer, 2003. — P. 286.

[125] Яценко, Ю. П. Интегральные модели систем с управляемой памятью / Ю. П. Яценко. — Киев: Наукова думка, 1991. — С. 220.

[126] Hritonenko, N. Modeling and optimization of the lifetime of technologies / N. Hritonenko, Y. Yatsenko. — Holland: Kluwer Acadcmic Publushers, 1996. - P. 252.

[127] Апарцин, А. С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода в моделировании развивающихся систем / А. С. Апарцин, И. В. Сидлер // Автоматика и телемеханика. — 2013. — № 6. — С. 3-16.

[128] Hritonenko, N. Turnpike and optimal trajectories in integral dynamic models with endogenous delay / N. Hritonenko, Y. Yatsenko //J. Optim. Theory Appl. - 2005. - Vol. 127, № 1. - P. 1371-1379.

[129] Markova, E. V. On models of developing systems and their applications / E. V. Markova, I. V. Sidler, V. V. Trufanov // Automation and Remote Control - 2011.- Vol. 72, № 7.- P. 13711379.

[130] Применение интегральных уравнений Вольтерра для моделирования стратегий перевооружений электроэнергетики / А. С. Апарцин, И. В. Караулова, Е. В. Маркова [и др.] // Электричество. — 2005. — № 10. - С. 69-75.

[131] Sidorov, D. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and Control / D. Sidorov.— Singapore, London: World Scientific Publ., 2014. — Vol. 87 of World Scientific Series on Nonlinear Science. Series A. — P. 244.

[132] Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков.— Пенза: Изд. Пензенского гос. ун-та, 2004,- С. 297.

[133] Evans, G. С. Integral equation of the second kind with discontinuous kernel / G. C. Evans // Transactions of the American Mathematical Society. - 1910. - Vol. 11, № 4. - P. 393-413.

[134] Сизиков, В. С. Инфракрасная томография горячего газа: математическая модель активно-пассивной диагностики /B.C. Сизиков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2013. — Т. 6 (88). — С. 1-17.

[135] Сизиков, В. С. О решении некорректных, неклассических, нестандартных и сингулярных интегральных уравнений / В. С. Сизиков // Труды международной конференции "Интегральные уравнения - 2009". — Институт проблем моделирования в энергетике им. Г. Е. Пухова НАН Украины, Киев, Украина: 2009. — С. 17-21.

[136] Khromov, А. P. Integral Operators with Discontinuous Kernel on Piecewise Linear Curves / A. P. Khromov // Sbornik: Mathematics.— 2006. - Vol. 197, № 11. - P. 115-142.

[137] Korotkov, V. В. Linear functional equations of the first, second, and third kind in l2 / V. B. Korotkov // Siberian Mathematical Journal. — 2013. — № 6.- P. 1029-1036.

[138] Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гель-фонд. — М.: Физматлит, 1959,— С. 400.

[139] Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, — Москва: Наука, 1976.

[140] Маркова, Е. В. Численные методы решения неклассических линейных уравнений Вольтерра первого рода и их приложения. Дис. работа канд. физ.-мат. наук / Е. В. Маркова. — Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. - С. 100.

[141] Караулова, И. В. Применение интегральных моделей для исследования стратегий обновления генерирующих мощностей в электроэнергетике. Дис. работа канд. тех. наук / И. В. Караулова. — Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2006,- С. 112.

[142] Micke, A. The treatment of integral equations with discontinuous kernels using product type quadrature formulas / A. Micke // Computing. - 1989. - Vol. 42. - P. 207-223.

[143] Karaulova, I. V. On one optimal control problem in the Glushkov integral models / I. V. Karaulova, E. V. Markova // CD Proceedings of Forth International Conference Inverse Problems: Identification, Design and Control, July 2-6, 2003. - MAI: 2003. - P. 45-55.

[144] Boikov, I. V. Approximate solution of nonlinear integral equations of the theory of developing systems / I. V. Boikov, A. N. Tynda // Differential Equations. - 2003. - Vol. 9, № 39. - P. 1277-1288.

[145] Верлань, А. Ф. Интегральные уравнения. Методы. Алгоритмы / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. — Киев: Наукова Думка, 1986.

[146] Эльсгольц, Л. Э. Качественные методы в математическом анализе / Л. Э. Эльсгольц. - Москва: URSS, 2006. - С. 304.

[147] Иманалиев, М. И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода / М. И. Иманалиев. — Фрунзе: Илим, 1981. — С. 143.

[148] Toshio, U. Some notes on linear Fredholm integral equations of the first kind / U. Toshio, H. Imsik, T. Terashi. — Tokyo: Research Inst, of Science and Technology, Nihon Univ., 1977.

149] Хал мот, П. Теория меры / П. Халмош. — М.: ИЛ, 1952. — С. 291.

150] Логинов, Б. В. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации / Б. В. Логинов, Н. А. Сидоров // Мат. сб. — 1991.— Т. 182, № 5.-С. 681-691.

151] Сидоров, Н. А. Регуляризация простых решений нелинейных уравнений в окрестности точек ветвления / Н. А. Сидоров, В. А. Тре-ногин // Сиб. мат. ж. - 1978. - Т. 20, № 1. - С. 180-183.

152] Moore, G. The numerical threatment of non-trivial bifurcation points /

G. Moore // Numer. Funct. Anal. Optim. — 1980,- Vol. 2, № 6.— P. 441-472.

153] Keller, H. B. Numerical solution of bifurcation and nonlinear problems /

H. B. Keller. Applications of bifurcation theory. — New York: Academpress, 1977.

154] Yang, Z. Blow-up behavior of Hammerstein-type delay Volterra integral equations / Z. Yang, H. Brunner // Frontiers of Mathematics in China. - 2013. - Vol. 8. - P. 261-280.

155] Канторович, Л. В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах / Л. В. Канторович, Б. 3. Вулих, А. Г. Пинскер. — Ленинград: ГИТТЛ, 1950. - С. 546.

156] Апарцин, А. С. Эквивалентные нормы в теории полиномиальных уравнений Вольтерра первого рода / А. С. Апарцин // Известия Иркутского гос. унив. Математика. — 2010. — Т. 1, К2 2. — С. 19-29.

157] Ильин, В. А. Математический анализ. В 2-х томах / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. X. Сендов. — М.: Наука, 1979.

158] Вулих, Б. 3. Краткий курс теории функции вещественной переменной / Б. 3. Вулих. - М.: Физматлит, 1973. - С. 350.

159] Шилов, Г. Е. Интеграл, мера и производная. Общая теория / Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич. — М.: Физматлит, 1967. — С. 219.

160] Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт, - М.: Наука, 1979,- С. 170.

161] Abdullah, N. В. Mathematical models of magnetic insulation / N. В. Abdullah, P. Degond, F. Mehats // Rapport Interne, No. 97.20 MIP (Université Poul Sabatier). — Toulouse, France: 1997. — P. 1-38.

[162] Еругин, Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. — Минск: Наука и Техника, 1972. — С. 664.

[163] Колдингтон, Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. А. Колдингтон, Н. Левинсон.— М.: Иностранная литература, 1958. - С. 474.

[164] Lichtenstein, L. Vorlesungen über einige klassen nichtlinearer integralgleichungen und integro-differentialgleichungen nebst anwendungen / L. Lichtenstein.— Berlin: Julius Springer, 1931.

[165] Владимиров, В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров, - М.: Мир, 1979,- С. 318.

[166] Треногин, В. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения /

B. А. Треногин. - М.: Физматлит, 2009.- С. 311.

[167] Апарцин, А. С. Полилинейные интегральные уравнения Вольтерра первого рода: элементы теории и численные методы / А. С. Апарцин // Известия ИГУ, серия математика. — 2007. — № 1. — С. 13-42.

[168] Канторович, Л. В. О функциональных уравнениях / Л. В. Канторович // Уч. зап. ЛГУ - 1937. - Т. 3, № 7.

[169] Барбашин, Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барба-шин. - М.: Наука, 1967. - С. 223.

[170] Горбунов, В. К. Метод нормальной сплайн-коллокации / В. К. Горбунов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1989. - Т. 29. - С. 212-224.

[171] Gorbunov, V. К. A method of normal splines for linear DAEs on the number semi-axes / V. K. Gorbunov, V. Y. Sviridov // Applied Numerical Mathematics. - 2009. - Vol. 59. - P. 655-670.

[172] Ахмедов, К. Т. Аналитический метод Некрасова-Назарова в нелинейном анализе / К. Т. Ахмедов // УМН,- 1957,- Т. 12, № 4.—

C. 135-158.

[173] Сидоров, Н. А. Точки бифуркации решений нелинейных уравнений / Н. А. Сидоров, В. А. Треногин // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения / Под ред. В. А. Треногин, А. Ф. Филиппов, — М.: Физматлит, 2003, — С. 464.

[174] Козлов, В. В. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений / В. В. Козлов, С. Д. Фурта.— М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009. — С. 312.

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

Брюно, А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А. Д. Брюно.— М.: Наука, 1979.— С. 255.

Al'shin, А. В. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations / A. B. Al'shin, M. 0. Korpusov, A. G. Sveshnikov. Series in nonlinear analysis and applications. — Berlin: De Gruyter Publ., 2011, — P. 648.

Kiselev, A. V. The similarity problem for non-self-adjoint operators with absolutely continuous spectrum / A. V. Kiselev, M. M. Faddeev // Functional Analysis and Its Applications.— 2000.— Vol. 34 (2).— P. 140-142.

Вольмир, А. Устойчивость деформируемых систем / А. Вольмир. — M.: Наука, 1967,- С. 984.

Dolezal, V. Dynamics of Linear Systems / V. Dolezal. — Prague: Academia, 1967. - P. 244.

Fréchet, M. Sui les Fonctionnelles Continues / M. Fréchet // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1910. — Vol. 27. — P. 193-216.

Веников, В. A. Кибернетические модели электрических систем / В. А. Веников, О. А. Суханов, — М.: Энергоиздат, 1982, — С. 325.

Данилов, Л. В. Теория нелинейных электрических цепей / Л. В. Данилов, П. Н. Матханов, Е. С. Филиппов. — Ленинград: Энергоиздат, 1990. - С. 256.

Дейч, А. М. Методы идентификации динамических объектов / А. М. Дейч. - М.: Энергия, 1979. - С. 240.

Kolding, Т. Е. High order Volterra series analysis parallel computing / T. E. Kolding, T. Larsen // International Journal of Circuits Theory and Applications. — 1997. — Vol. 25.

Apartsyn, A. S. Mathematical modelling of the dynamic systems and objects with the help of the Volterra integral series / A. S. Apartsyn // EPRI-SEI joint seminar, Beijing, China. - Beijing: 1991. - P. 117-132.

[186] Применение интегростепенных рядов Вольтерра к моделированию динамики теплообменников / А. С. Апарцин, Э. А. Таиров, С. В. Со-лодуша, Д. В. Худяков // Изв. РАН, Энергетика. — 1994.— Т. 3.— С. 138-145.

[187] Солодуша, С. В. Построение интегральных моделей нелинейных динамических систем с помощью рядов Вольтерра / С. В. Соло-душа // Диссертационная работа по спец. 05.13.16 на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н., СЭИ СО РАН. - Иркутск: 1995,- С. 1-153.

[188] Apartsyn, A. S. Modeling of nonlinear dynamic systems with Volterra polynomials: elements of theory and applications / A. S. Apartsyn, S. V. Solodusha, V. A. Spiryaev // International Journal of Energy Optimization and Engineering. — 2013. — Vol. 2, № 4. — P. 16-43.

[189] Таиров, E. А. Нелинейное моделирование динамики теплообмена в канале однофазного парогениратора / Е. А. Таиров // Изв. АН СССР: Энергетика и транспорт. — 1989. — Т. 1. — С. 150-156.

[190] Апарцин, А. С. К идентификации ядер Вольтерра для моделирования нестационарных динамических систем / А. С. Апарцин, Д. Н. Сидоров // Тез. X Байкальской школы Методы оптимизации и их приложения. - СЭИ СО РАН, Иркутск, Россия: 1995. - С. 235-236.

[191] Апарцин, А. С. Новые классы многомерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода, возникающие при моделировании нестационарных динамических систем / А. С. Апарцин, Д. Н. Сидоров // Тез. II Сибирского конгресса ИНПРИМ-96, 25 - 30 июня 1996, Новосибирск. — ИМ СО РАН, Новосибирск, Россия: 1995. — С. 4-5.

[192] Апарцин, А. С. К теории моделирования нелинейных динамических систем на основе функциональных рядов Вольтерра / А. С. Апарцин, Д. Н. Сидоров // Тез. международного семинара «Нелинейное моделирование и управление», 24-27 июня, 1997, Самара. — СГУ, Самара, Россия: 1997. - С. 12-13.

[193] Apartsyn, A. S. То identification of integral models of nonlinear dynamic systems / A. S. Apartsyn, D. N. Sidorov, S. V. Solodusha // Proceedings of III International Conference "Identification of Dynamical systems and Inverse problems Moscow-St.Petersburg. — Moscow-St. Petersburg: 1998.-P. 167-175.

[194] Sidorov, D. N. Existence and construction of the unique solution of the one class of the first kind Vol terra integral equation /D.N. Sidorov / / Conference on differential equation and their application, EQUADIFF-9, Enlarged Abstracts, August 25- 29, 1997. — Brno, Czech Republic: 1997,- P. 176-177.

[195] Sidorov, D. N. About integral model of nonlinear dynamic systems /

D. N. Sidorov // ICIAM-99, Book of Abstracts, Edinburg. — Edinburg, UK: 1999.- P. 310-311.

[196] Bedrosian, E. The output properties of Volterra systems (nonlinear systems with memory) driven by harmonic and Gaussian inputs /

E. Bedrosian, S. O. Rice // Proc. IEEE. - 1971. - Vol. 59. - P. 16881707.

[197] Volterra, V. Theory of functionals and of integral and integro-differential equations / V. Volterra. — New York: Dover Publ., 2005. — P. 226.

[198] He, S. A neural approach for control of nonlinear systems with feedback linearization / S. He, K. Reif, R. Unbehauen // IEEE Transaction on Neural Networks. - 1998. - Vol. 9. - P. 1409-1421.

[199] Треес, X. В. Синтез оптимальных нелинейных систем управления / X. В. Треес. - М.: Мир, 1964. - С. 167.

[200] Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский, А. В. Покровский, — М.: Наука, 1983.— С. 271.

[201] Rugh, W. J. Nonlinear system theory: the Volterra / Weiner approach / W. J. Rugh. - Baltimore: John Hopkins Press, 1981,- P. 330.

[202] Brocken, R. W. Convergence of Volterra series on infinite intervals and bilinear approximations / R. W. Brocken // Nonlinear systems and applications / Ed. by V. Lakshmikantam. — NY: Academic Press, 1977. - P. 23-33.

[203] Юмова, JI. Л. О ветвлении решений одного интегрального уравнения / Л. Л. Юмова // Приближенные методы анализа. Межвуз. Сб. Научн. тр. - ИГПА, Иркутск, Россия: 1997,- С. 171-190.

[204] Crouch, Р. Е. Dynamical realization of finite Volterra series / P. E. Crouch // SIAM Journal of Control and Optomization. — 1981.— Vol. 19, № 2. - P. 177-202.

[205] Crouch, P. E. Volterra series resolution of input-output differential equations / P. E. Crouch, F. Lamnabhi-Lagarrigue // Proc. European Control Conf., Grenoble, France, 1991.— Grenoble, France: 1991. — P. 1800-1802.

[206] Винер, H. Нелинейные задачи в теории случайных процессов / Н. Винер. - М.: ИЛ, 1961. - С. 158.

[207] Wiener, N. Nonlinear problems in random theory / N. Wiener. — NY: The Technology Press, M.I.T. and J. Wiley and Sons Inc., 1958. — P. 140.

[208] Щербаков, M. А. Алгоритм вычисления ядер Винера нелинейных систем в частотной области / М. А. Щербаков // Кибернетика и вычислительная техника: Респ. межвед. сб. науч. тр. — Киев: Наукова думка, 1988,- С. 51-58.

[209] Shcherbakov, М. A. Fast estimation of Wiener kernels of nonlinear systems in the frequency domain / M. A. Shcherbakov // Proc. of the IEEE Signal Processing Workshop on High-Order Statistics. Alberta, Canada, July, 1997. - Alberta: 1997. - P. 203-206.

[210] Brilliant, D. A. Theory of analysis of nonlinear systems. Technical Report 345. Research laboratory of electronics / D. A. Brilliant. — Massachusetts: MIT, 1958.

[211] Sandberg, I. W. On Volterra expansion for time-varying nonlinear systems / I. W. Sandberg // IEEE Trans. Circuits and Systems. — 1983. - Vol. 30. - P. 61-67.

[212] Chua, L. O. Nonlinear oscillation via Volterra series / L. O. Chua, Y. S. Tang // IEEE Trans. Circuits and System. - 1982. - Vol. 29.-P. 150-168.

[213] Немуры, H. Идентификация динамических систем / H. Немуры.— Вильнюс: Минтис, 1974. — С. 284.

[214] Каминскас, В. Статистические методы в индентификации динамических систем / В. Каминскас, А. А. Немура. — Вильнюс: Минтис, 1975. - С. 197.

[215] Gabor, D. An universal nonlinear filter, predictor and simulator which optimizes itself by a learning process / D. Gabor, W. P. L. Wilby, R. A. Woodcock // Proc. of the Inst. Electr. Engrs, Part B: Electronic and Communication Engineering, B108, No.40.— England: IEE, 1961.

[216] Пинчук, В. М. Частотный подход к синтезу конечных дискретных функциональных рядов Вольтерра для целей прогноза / В. М. Пинчук, Jl. М. Бойчук // Автоматика. — 1984. — Т. 2. — С. 42-47.

[217] Пупков, К. А. Функциональные ряды в теории нелинейных систем / К. А. Пупков, В. И. Капалин, А. С. Ющенко. — М.: Наука, 1976. — С. 448.

[218] Пупков, К. А. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов / К. А. Пупков, Н. А. Шмы-кова.— М.: Машиностроение, 1982.— С. 149.

[219] Щербаков, М. А. Цифровая полиномиальная фильтрация: теория и приложения / М. А. Щербаков. — Пенза: Изд-во ПГТУ, 1997. — С. 35.

[220] Maas, S. A. Analysis and optimization of nonlinear microwave circuits by Volterra-series analysis / S. A. Maas // Microwave Journal.— 1990.-Vol. 33,- P. 245-251.

[221] Hsieh, M. Parameter estimation using Volterra series / M. Hsieh, P. Rayner // IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP'98). - Seattle: 1998,- P. 49-53.

[222] Non-linear dynamic system modelling based on modified Volterra series approaches / D. Mirri, G. Iuculano, P. A. Traverso [et al] // Measurement. - 2003. - Vol. 33, № 1. - P. 9 - 21.

[223] Shcherbakov, M. A. A parallel architecture for adaptive frequency-domain Volterra filtering / M. A. Shcherbakov // Proc. IEEE Digital Signal Processing Workshop. -Loen, Norway, Sept., 1996.— Leon, Norway: 1996. - P. 203-206.

[224] On the use of equality constraints in the identification of Volterra-Laguerre models / C. Diouf, M. Telescu, P. Cloastre, N. Tanguy // IEEE Signal Processing Letters. - 2012. - Vol. 12, № 19. - P. 857860.

[225] Soni, A. S. Control-relevant system identification using nonlinear Volterra and Volterra-Laguerre models / A. S. Soni. — Pittsburg, USA: PhD Thesis: Pittsburg Univ., 2006. - P. 185.

[226] Khawar, J. Volterra kernel identification of MIMO aeroelastic system through multiresolution and multiwavelets / J. Khawar, W. Zhigang, Y. Chao // Computational Mechanics.— 2012,— Vol. 49, № 4.— P. 431-458.

[227] Галин, Н. М. Метод решения одного класса нелинейных задач теплообмена при изменяющихся граничных условиях / Н. М. Галин // Теплоэнергетика. - 1981. - Т. 4. - С. 55-56.

[228] Александровский, Н. М. Методы определения динамических характеристик нелинейных объектов / Н. М. Александровский, А. М. Дейч // Автоматика и телемеханика. — 1968. — Т. 1. — С. 167-188.

[229] Александровский, Н. М. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами / Н. М. Александровский, С. В. Егоров, Р. Е. Кузин.— М.: Энергия, 1973. — С. 272.

[230] Давиденко, К. Я. Представление и реализация функционалов в управляющих вычислительных машинах методом разложения в ряд Вольтерра / К. Я. Давиденко // Вопросы машинной кибернетики. - 1973. - Т. 1. - С. 42—47.

[231] Щербаков, М. А. Параллельная реализация цифровых фильтров Вольтерра в частотной области / М. А. Щербаков // Автоматика и вычислительная техника. — 1996. — № 6. — С. 35-44.

[232] Doyle, F. J. Identification and control using Volterra models / F. J. Doyle, R. K. Pearson, B. A. Ogunnaike. — Germany: Springer Publ., 2002,- P. 314.

[233] Pearson, R. K. Identification of structurally constrained second-order Volterra models / R. K. Pearson, B. A. Ogunnaike, F. J. Doyle // IEEE Trans, on Signal Processing. - 1996.- Vol. 44, № 11,— P. 2837-2846.

[234] The identification of nonlinear models for process control using tailored plant-friendly input sequences / R. S. Parker, D. Heemstra, F. J. Doyle [et al] // J. Proc. Control. — 2001. — № 11.- P. 237-250.

[235] Doyle, F. J. Nonlinear model-based control using second-order Volterra models / F. J. Doyle, B. A. Ogunnaike, R. K. Pearson // Automatica. — 1995,- № 31.- P. 697-714.

[236] Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем / Ю. С. Попков, О. Н. Киселев, Н. Г. Петров, Б. JI. Шму-льян,- М.: Энергия, 1976,- С. 439.

[237] Мармарелис, В. 3. Анализ физиологических систем: белый шум / В. 3. Мармарелис, П. 3. Мармарелис, — М.: Мир, 1981,— С. 480.

[238] Larsen, Т. Theory of non-linear noisy netwoks and systems / T. Larsen.— Aalborg, Denmark: Aalborg University Publ., 1997. — P. 334.

[239] Cherry, J. A. Distortion analysis of weakly nonlinear filters using Volterra series / J. A. Cherry. — Ottawa: Carleton University, 1994.

[240] Kundert, K. S. The designer guide to SPICE and SPECTRE / K. S. Kundert. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997. — P. 382.

[241] Alper, P. Consideration of the discrete Volterra series / P. Alper // IEEE Trans. Atom. Control. - 1965. - Vol. 10, № 3. - P. 34-46.

[242] Дейч, A. M. Некоторые вопросы представления динамических свойств нелинейных объектов рядом Вольтерра. Экспериментально - статистические методы исследования многофакторных процессов / А. М. Дейч // Труды МЭИ. - 1966. - Т. 67.

[243] Schetzen, М. Measurement of the kernels of a nonlinear system of finite order / M. Schetzen // Intl J. Control. - 1965,- Vol. 1-15, № 3.-P. 251-263.

[244] Sidorov, N. A. Nonlinear operator equations with a functional perturbation of the argument of neutral type / N. A. Sidorov, A. V. Trufanov // Differential Equations. - 2009. - Vol. 45, № 12. - P. 18401844.

[245] Boyn, S. Fading mamory and the problem of approximating nonlinear operators with volterra series / S. Boyn, L. O. Chua // IEEE Trans. Circuits and Systems. - 1985. - Vol. 32, № 11. - P. 1150-1161.

[246] Chua, L. O. Frequency domain analysis of nonlinear systems: General theory / L. O. Chua, C. Y. Ng // IEE Journal on Electronic Circuits and Systems. - 1974. - Vol. 4. - P. 165-185.

[247] Kolding, Т. E. Hovsa. High order Volterra series analysis. Version 2.1. Technical Report R-95-1002 / Т. E. Kolding, T. Larsen. - Aalborg: Aalborg University Publ., 1995. - P. 90.

[248] Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. - М.: Наука, 1991. - С. 432.

[249] Iatrou, М. Modeling of nonlinear nonstationary dynamic systems with novel class of artificial neural networks / M. Iatrou, T. W. Berger, V. Z. Marmarelis // IEEE Transaction on Neural Networks. — 1999. — Vol. 10. - P. 327-339.

[250] Marmarelis, V. Z. Practicable identification of nonstationary nonlinear systems / V. Z. Marmarelis // Proc. Inst. Elect. Eng.— 1981. — Vol. 5.- P. 211-214.

[251] Apartsyn, A. S. Some ill-posed problems and their application in energy research / A. S. Apartsyn // Sov. Tech. Rev. A Energy. Harwood Acad. Publ. - 1992. - Vol. 6, № 1. - P. 288-292.

[252] Сидоров, Д. H. О существовании и единственности решений одного класса двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода / Д. Н. Сидоров // Приближенные методы анализа. Межвуз. Сб. научн. тр. — Иркутск: Изд-во гос. пед. ун-та, 1997. — С. 130-140.

[253] Сидоров, Д. Н. Моделирование нелинейных теплообменных процессов интегро-функциональными рядами Вольтерра / Д. Н. Сидоров // Системные исследования в энергетике. — Иркутск, ИСЭМ СО РАН: 1999. - С. 208-215.

[254] Lamm, Р. К. Numerical solution of first-kind Volterra equations by sequential Tikhonov regularization / P. K. Lamm, L. Elden // SIAM J. Numer. Anal. - 1997. - Vol. 34. - P. 1432-1450.

[255] Brunner, H. The numerical solution of Volterra equations / H. Brunner, P. J. V. D. Houwen. - North-Holland: CMCS, 1986. - P. 588.

[256] Kythe, P. Computational Methods for Linear Integral Equations / P. Kythe, P. Puri. - Basel: Birkhauser Basel, 2002. - P. 508.

[257] Дмитриев, В. И. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма первого рода / В. И. Дмитриев, Е. В. Захарова // Вычисл. методы и программирование, Изд-во МГУ. — 1968. - Т. 10. - С. 49-54.

[258] Апарцин, А. С. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра первого рода методом квадратурных сумм / А. С. Апарцин, А. Б. Бакушинский // Дифференц. и интегр. ур-ния. (Иркут. гос. ун-т). - 1972. - Т. 1. - С. 248-258.

[259] Уайлд, Д. Д. Методы поиска экстремума / Д. Д. Уайлд. — М.: Наука, 1967,- С. 268.

[260] Щербинин, М. С. Оптимизация потребления энергоресурсов турбокомпрессором М-1 ЭП-300 с использованием программно-вычислительного комплекса / М. С. Щербинин // Науч.-технич. всстн. ОАО НК Роснефть. - 2010. - № 3. - С. 36-39.

[261] Таиров, Э. А. Интегральная модель нелинейной динамики паро-генерируюгцего канала на основе аналитических решений / Э. А. Таиров, В. В. Запов // Вопросы атомн. науки и техн. Сер. физика ядерных реакторов. — 1991. — № 3. — С. 14-20.

[262] Таиров, Э. А. Нелинейное моделирование динамики теплообмена в канале с однофазным теплоносителем / Э. А. Таиров, В. В. Запов // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, — 1989,— № 1,— С. 150156.

[263] Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М.: Наука, 1961.— С. 703.

[264] Linz, P. Analytical and numerical methods for Volterra equations / P. Linz. - US: SIAM, 1985. - P. 227.

[265] Сидоров, Д. H. Моделирование нелинейных динамических систем рядами Вольтерра: идентификация и приложения / Д. Н. Сидоров // Диссертация на соискание уч. ст. к.ф.-м.н. по спец. 05.13.16,- Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999,- С. 150.

[266] Mercer, J. Functions of positive and negative type, and their connection with the theory of integral equations / J. Mercer // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. — 1909. — Vol. 209. — P. 415-446.

[267] A novel hybrid approach to forecasting power system parameters using Hilbert-Huang transform and machine learning / V. Kurbatsky, N. Tomin, D. Sidorov [et al] // arXiv:1404.2353. — 2014.

[268] Brockwell, P. J. Introduction to time series and forecasting / P. J. Brockwell, R. A. Davis. - NY: Springer-Verlag, 2002. - P. 432.

[269] Fan, J. Nonlinear time series: nonparametric and parametric methods / J. Fan, Q. Yao. - New York: Springer-Verlag, 2003. - P. 576.

[270] Осовский, С. Нейронные сети для обработки информации / С. Осовский. — М.: Финансы и кредит, 2004. — С. 344.

[271] Zhang, G. P. Forecasting with artificial neural networks: The state of the art / G. P. Zhang, В. E. Patuwo, M. Hu // Int. J. Forecasting.— 1998. - Vol. 14. - P. 35-62.

[272] Heravi, S. Linear versus neural network forecasts for European industrial production series / S. Heravi, D. R. Osborn, C. R. Birchenhall // Int. J. Forecast. - 2004. - Vol. 20. - P. 435—446.

[273] Вапник, В. H. Узнавание образов при помощи обобщенных портретов / В. Н. Вапник, А. Я. Лернер // Автоматика и телемеханика. — 1963.-Т. 24,- С. 12—25.

[274] Вапник, В. Н. Теория распознавания образов / В. Н. Вапник, А. Я. Червоненкис. — М.: Наука, 1974,— С. 416.

[275] Вапник, В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным / В. Н. Вапник, - М.: Наука, 1979. - С. 448.

[276] Cover, Т. Geometrical and statistical properties of systems of linear inequalities with applications in pattern recognition / T. Cover // IEEE Trans. Electron. Comput. - 1965. - Vol. 14. - P. 326-334.

[277] The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis / N. E. Huang, S. Zheng, R. L. Steven [et al] // Proc. Royal Soc. London, Ser. A: Math., Phys. and Engineer. Sci. - 1998. - Vol. 454, № 1971. - P. 903-995.

[278] Горбань, A. H. Нейроинформатика / A. H. Горбань, В. Л. Дунин-Барковский, Е. М. Миркес. — Новосибирск: Наука. Изд. СО РАН, 1998,- С. 296.

[279] Yun, Z. RBF neural network and ANFIS-based short-term load forecasting approach in real-time price environment / Z. Yun // IEEE Trans, in Power Systems. - 2008. - Vol. 23, № 3. - P. 853-858.

[280] Боровиков, В. П. Нейронные сети. STATISTICA Neural Networks: Методология и технологии современного анализа данных / В. П. Боровиков. — М.: Горячая Линия - Телеком, 2008. — С. 392.

[281] Algorithm 778: L-BFGS-B, Fortran subroutines for large scale bound constrained optimization / C. Zhu, С. V. Byrd, P. Lu, J. Nocedal // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1997. — Vol. 23, № 4. - P. 550-560.

[282] Айзерман, M. А. Метод потенциальных фунций в теории обучения машин / М. А. Айзерман, Э. М. Браверман, Л. И. Розоноэр.— М.: Наука, 1970. - С. 385.

[283] Morozov, V. A. Methods for solving incorrectly posed problems / V. A. Morozov. — NY: Springer-Verlag, 1984. — P. 257.

[284] Нестеров, Ю. Е. Введение в выпуклую оптимизацию / Ю. Е. Нестеров. - М.: МЦНМО, 2010. - С. 262.

[285] Friedman, J. Н. Stochastic gradient boosting / J. H. Friedman // Comput. Statist. Data Anal. — 2002. - Vol. 38. - P. 367—378.

[286] Breiman, H. Random forests / H. Breiman // Machine Learning. — 2001,-Vol. 45.- P. 5-32.

[287] A hybrid ARIMA and neural network model for short-term price forecasting in deregulated market / P. Areekul, T. Senjyu, H. Toyama, A. Yona // IEEE Trans. Power Syst. - 2010. - Vol. 25. - P. 524-530.

[288] Шумков, Д. С. Разработка и исследование методов прогнозирования на основе SVM-моделей: дисс. канд. тех. наук: 05.13.18. / Д. С. Шумков. — СПб: С.-Петерб. гос. ун-т информац. технологий, механики и оптики, 2009.

[289] Team, R. D. С. R: A Language and Environment for Statistical Computing / R. D. C. Team. — Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing, 2012. www.R-project org.

[290] Flandrin, P. On empirical mode decomposition and its algorithms / P. Flandrin, G. Rilling, P. Goncalves // IEEE Signal Proc. Lett.-2004. - Vol. 11, № 2. - P. 112-114.

[291] Mathews, V. Polynomial signal processsing / V. Mathews, G. Sicuranza. - New York: Wiley Publ., 2000. - P. 452.

[292] Kekatos, V. Sparse Volterra and polynomial regression models: recoverability and estimation / V. Kekatos, G. B. Giannakis // IEEE Trans, on Signal Processing. - 2011. - Vol. 59, № 12. - P. 5907-5920.

[293] Nonlinear predictive control of smooth nonlinear systems based on Volterra models. Application to a pilot plant / J. K. Gruber, C. Bordons, R. Bars, R. Haber // International Journal of Robust and Nonlinear Control. - 2011. - Vol. 20. - P. 1817-1835.

[294] Расин, Д. Непараметрическая эконометрика: вводный курс / Д. Расин // Квантиль. - 2008. - Т. 4. - С. 7-56.

[295] Analytical investigation of large-scale use of static VAR compensation to aid damping of inter-area oscillations / A. R. Messina, S. D. Olguin, S. C. A. Rivera, D. Ruiz-Vega // Proceedings of the Seventh International Conference on AC-DC Power Transmission (Conf. Publ.

No. 485), 28-30 November 2001,- IEEE, Washington, D.C..: 2001.— P. 187-192.

[296] Banejad, M. Identification of damping contribution from power system controllers / M. Banejad.— Queensland: Queensland University of Technology. PhD Thesis, 2004. - P. 191.

[297] Zhijian, L. Analytical investigation of large-scale use of static VAR compensation to aid damping of inter-area oscillations / L. Zhijian, S. Hongchun, Y. Jilai // International Symposium on Intelligent Information Technology Application Workshops, Los Alamitos, CA, USA. - IEEE Computer Society, Washington, D.C..: 2008,- P. 205208.

[298] Korba, P. Real-time monitoring of electromechanical oscillations in power systems: first findings / P. Korba // Generation, Transmission and Distribution, IET. - 2007. — Vol. 1, № 1. — P. 80-88.

[299] Hauer, J. Application of Prony analysis to the determination of modal content for measured power system response / J. Hauer // IEEE Trans, on Power Systems. — 1991. — Vol. 6, № 3. — P. 1062-1068.

[300] Ledwich, G. Modal estimates from normal operation of power systems / G. Ledwich, E. Palmer // Power Engineering Society Winter Meeting, 2001. IEEE. - Vol. 2,- IEEE, Washington D.C.: 2001,- P. 1527 -1531.

[301] Estimation electro-mechanical parameters using frequency measurements / M. Hemmingsson, O. Samuelsson, K. Pedersen, A. Nielsen // Power Engineering Society Winter Meeting, 2001.— Vol. 3.- IEEE, Washington, D.C.: 2001.- P. 1172-1177.

[302] Korba, P. Detection of oscillations in power systems using Kaiman filtering techniques / P. Korba, M. Larsson, C. Rehtanz // Proceedings of IEEE Conference on Control Applications, 23-25 June 2003. - IEEE, Washington, D.C.: 2003. - P. 183-188.

[303] Smi'dl, V. The variational Bayes method in signal processing / V. Smidl, A. Quinn. — Germany: Springer. Series: Signals and Communication Technology, 2006. - P. 248.

[304] Kulhavy, R. On duality of regularized exponential and linear forgetting / R. Kulhavy, F. J. Kraus // Transactions of the American Mathematical Society. - 1996. - № 32. - P. 1403-1415.

[305] Optimized Bayesian dynamic advising: theory and algorithms / M. Kârny, J. Bohm, T. V. Guy [et al]. — Germany: Springer Publ., 2006. - P. 546.

[306] Wu, J. Estimation electro-mechanical parameters using frequency measurements / J. Wu // Materials of CIGRE Regional Conference "Monitoring of Power System Dynamics Performance". — CIGRE, 21, Moscow: 2006.-P. 12-17.

[307] Kundur, P. Power system stability and control / P. Kundur, N. J. Balu, M. G. Lauby.- NY: McGraw Hill, 1994,- P. 1176.

[308] Amidror, I. The theory of the moiré phenomena / I. Amidror. — Dortreht: Kluwer Academic Publ., 2000. — P. 462.

[309] Kokaram, A. C. Motion picture restoration / A. C. Kokaram. — Germany: Springer-Verlag, 1998.

[310] Oster, G. The science of moiré patterns / G. Oster. — USA: Edmund Scientific Co., 1964,- P. 40.

[311] Theocaris, P. S. Moiré fringes in strain analysis / P. S. Theocaris.— UK: Pergamon Press, 1963. - P. 426.

[312] Takasaki, H. Moiré topography / H. Takasaki // Applied Optics. — 1970. - Vol. 9, № 6. - P. 1467-1472.

[313] Nishijima, Y. Moiré patterns: their application to refractive index and refractive index gradient measurements / Y. Nishijima, G. Oster // Jour, of the Optical Society of America. — 1964. — Vol. 54. — P. 1—5.

[314] Kallenberg, R. H. Film into video: a guide to merging the technologies / R. H. Kallenberg, G. D. Cvjetnicanin. — US: Focal Press, 1994.

[315] Oster, G. Theoretical unterpretation of moiré patterns / G. Oster, M. Wasserman, C. Zwerling // Jour. Of the Optical Society of America. - 1964. - Vol. 54. - P. 169-175.

[316] Hentschel, C. Video moiré cancellation filter for high-resolution CRTs / C. Hcntschel // IEEE Transactions on Consumer Electronics. — 2001. — Vol. 47, № 1. - P. 16-24.

[317] Yaroslavsky, L. P. Fundamentals of digital optics / L. P. Yaroslavsky, M. Eden. — Boston: Birkhauser, 1996.

[318] Cho, N. I. Adaptive line enchancement by using an IIR lattice notch filter / N. I. Cho, C.-H. Choi, S. U. Lee // IEEE Trans, on Acust., Speech, Signal Processing. - 1989. - Vol. 37, № 4. - P. 585-589.

[319] Design of two-dimentional adaptive digital notch filters / T. Hinamoto, N. Ikeda, S. Nishimura, A. Doi // 5th International Conference on Signal Processing (WCCC-ICSP 2000). - 2000. - P. 538-542.

[320] Pei, S.-C. Two dimensional IIR digital notch filter design / S.-C. Pei, C.-C. Tseng // IEEE Trans, on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. - 1994. - Vol. 41, № 3. - P. 227-231.

[321] Aizenberg, I. Frequency domain median-like filter for periodic and quasi-periodic noise removal / I. Aizenberg, C. Butakoff // Proc. SPIE: Image Processing: Algorithms and Systems 2002. — San Jose, USA: 2002,- P. 46-57.

[322] Nonlinear frequency domain filter for quasi-periodic noise removal / I. Aizenberg, C. Butakoff, J. T. Astola, K. Egiazarian // Spectial Methods and Multirate Signal Processing (SMMSP'2002), Proc. of TICSP Workshop. - Toulouse, France: 2002. - P. 147-153.

[323] Weeks, A. R. Fundamentals of electronic image processing / A. R. Weeks. - NY: SPIE Optical Engineering Press, 1996. - P. 570.

[324] Petrov, Y. P. Well-posed, ill-posed, and intermediate problems with applications / Y. P. Petrov, V. S. Sizikov. — Leiden: De Gruyter, 2005. - P. 234.

[325] Сизиков, В. С. Обратные прикладные задачи и MatLab / В. С. Сизиков. - СПб: Лань, 2011,- С. 256.

[326] Heinzel, G. Spectrum and spectral density estimation by the discrete Fourier transform, including a comprehensive list of window functions and some new flat-top windows / G. Heinzel, A. Rudiger, R. Schilling // Preprint of Max Planck Institute (MPI) fur Gravitationsphysik / Laser Interferometry und Gravitational Wave Astronomy. — 2002. — Vol. ID395068.0. - P. 1-84.

[327] Лукин, А. Введение в цифровую обработку сигналов (математические основы). Методическое пособие / А. Лукин. — М.: МГУ, 2002. — С. 44.

[328] Mery, D. Automatic detection of welding defects using texture features / D. Mery, M. A. Berti // CTIP2003 Proceedings. - CTIP2003 Proceedings, Berlin. - Berlin: 2003. - P. 676-681.

[329] Kunttu, I. Efficient fourier shape descriptor for industrial defect images using wavelets / I. Kunttu, L. Lepisto, A. Visa // SPIE Optical Engineering Letters. - 2005. - Vol. 44, № 8. - P. 345-351.

[330] Niskanen, M. Wood inspection with non-supervised clustering / M. Niskanen, O. Silven, H. Kauppinen // Machine Vision and Applications Journal. - 2003. - Vol. 13, № 4-6. - P. 275-285.

[331] Ho, B. SEM ADC (Auto Defect Classification): How it improves the cost of ownership without risk of yield loss / B. Ho, M. Inokuchi // Advanced Semiconductor Manufacturing Conference, 2007. ASMC 2007. IEEE/SEMI. - IEEE, Washington, D.C.: 2007. - P. 293-298.

[332] Scholkopf, B. Advances in kernel methods. Support vector learning / B. Scholkopf, C. J. C. Burges, A. J. Smola. - The MIT Press, 1999. — P. 376.

[333] Kariv, O. An algorithmic approach to network location problems, ii: the p-medians / O. Kariv, L. Hakimi // Operations Research. — 1979. — Vol. 37, № 3. - P. 539-560.

[334] p-median problem: A survey of metaheuristic approaches / N. Mladenovic, J. Brimberg, P. Hansen, J. Perez // European Journal of Operations Research. - 2007. - Vol. 179, № 3. - P. 927-939.

[335] Avella, P. Computational study of large-scale p-median problems / P. Avella, A. Sassano, I. Vasil'ev // Mathematical Programming. — 2007. - Vol. 109. - P. 89-114.

[336] Resende, M. G. C. A hybrid heuristic for the p-median problem. / M. G. C. Resende, R. F. F. Werneck //J. Heuristics. - 2004. - Vol. 10, № 1,- P. 59-88.

[337] Hansen, P. Variable neighbourhood decomposition search / P. Hansen, N. Mladenovic, D. Perez-Brito // Journal of Heuristics.— 2001.— Vol. 7. - P. 335-350.

[338] Marshall, S. Review of shape coding techniques / S. Marshall // Image and Vision Computing. - 1989. - Vol. 7, № 4. - P. 281-294.

[339] Iivarinen, J. Shape recognition of irregular objects. — In SPIE Proceedings: Intelligent Robots and Computer Vision XV. — 1996.

[340] Papoulis, A. Probability, Random Variables and Stochastic Processes / A. Papoulis. - NY: McGraw-Hill, 1991,- P. 575.

[341] Hu, M. Visual pattern recognition by moment invariants / M. Hu // IRE Trans. Information Theory. - 1962. - Vol. 8, № 1. - P. 179-187.

[342] Ohanian, P. Performance evaluation for four classes of textural features / P. Ohanian, R. Dubes // Pattern Recognition. — 1992. — Vol. 25. - P. 819-833.

[343] Kumar, A. Defect detection in textured materials using gabor filters / A. Kumar, G. K. H. Pang // IEEE Transactions on Industry Applications. - 2001. - Vol. 32, № 2. - P. 425-440.

[344] Tamura, H. Texture features corresponding to visual perception / H. Tamura, S. Mori, T. Yamawaki // IEEE Transactions on Systems, Man and Cypernetics. - 1978. - Vol. 8. - P. 460-472.

[345] Bradley, P. S. Feature selection via concave minimization and support vector machines / P. S. Bradley, O. L. Mangasarian // Machine Learning Proceedings of the Fifteenth International Conference (ICML'98), San Francisco, California / Ed. by J. Shavlik. - 1998. — P. 82-90.

[346] Fung, G. Semi-supervised support vector machines for unlabeled data classification / G. Fung, O. L. Mangasarian // Optimization Methods and Software. - 2000. - Vol. 1, № 15. — P. 29-44.

[347] Hansen, P. Cluster analysis and mathematical programming / P. Hansen, B. Jaumard // Mathematical Programming.— 1997.— Vol. 79. - P. 191-215.

[348] Mulvey, J. M. Cluster analysis: an application of lagrangian relaxation / J. M. Mulvey, H. P. Crowder // Management Science.— 1979,— Vol. 25. - P. 329-340.

[349] Vinod, H. D. Integer programming and the theory of groups / H. D. Vinod // Journal of the American Statistical Association. — 1969. — Vol. 6.- P. 506-519.

[350] Rao, M. R. Cluster analysis and mathematical programming / M. R. Rao // Journal of the American Statistical Association.— 1971.— Vol. 6. - P. 622-626.

[351] Kochetov, Y. Computationally difficult instances for the uncapacitated facility location problem / Y. Kochetov, D. Ivanenko // Metaheuristics: progress as real solvers / Ed. by T. I. et al. — Springer, 2005. — P. 351— 367.

[352] Tailllard, E. Heuristics methods for large centroids clustering problems / E. Tailllard // Journal of heuristics. — 2003.— Vol. 9.— P. 51-73.

[353] Beasley, J. E. Lagrangean heuristics for location problems / J. E. Beasley // EJOR. - 1993. - Vol. 65. - P. 383-399.

[354] Senne, E. Lagrangean/surrogate heuristics for p-median problems / E. Senne, L. Lorena // Computing Tools for Modeling, Optimization and Simulation: Interfaces in Computer Science and Operations Research / Ed. by M. Laguna, J. L. Gonzalez-Velarde. — Kluwer Academic Publishers, 2001.- P. 115-130.

[355] Senna, E. A branch-and-price approach to p-median location problems / E. Senna, L. Lorena, M. Pepeira // Computers and Operations Research. - 2005. — Vol. 32, № 6. — P. 1655-1664.

[356] Belt ran, C. Solving the p-median problem with a semi-lagrangian relaxation / C. Beltran, C. Tadonki, J. Vial // Computational Optimization and Applications. - 2006. - Vol. 35, № 2. - P. 239-260.

[357] Solving large p-median clustering problems by primal-dual variable neighborhood search / P. Hansen, J. Brunberg, D. Urosevic, N. Mladenovic // Data Mining and Knowledge Discovery. — 2009. — Vol. 19, № 3. - P. 351-375.

[358] An aggregation heuristic for large scale p-median problem / P. Avella, M. Boccia, S. Salerno, I. Vasilyev // Computers & Operations Research. - 2012. - Vol. 39, № 7. - P. 1625 - 1632.

[359] Nemhauser, G. L. Integer and combinatorial optimization / G. L. Nemhauser, L. A. Wolsey. - Willey, 1988. - P. 784.

[360] Joachims, T. Learning to classify text using support vector machines / T. Joachims. - Springer, 2002. - Vol. 668.

[361] Chang, C.-C. LIBSVM: A library for support vector machines / C.-C. Chang, C.-J. Lin // ACM Transactions on Intelligent Systems and Technology. - 2011. - Vol. 2. - P. 21-27.

Основные обозначения

Мп - множество действительных п-мерных векторов N - множество натуральных чисел Е\, Е2 - банаховы пространства

С{Е\ —Е2) - множество линейных ограниченных операторов, действующих из Е\ в Е2

А £ С(Е\ —>• Е2) - линейный ограниченный оператор из Е\ в Е2 Ьр(а,Ь) - пространство Лебега с нормой ЦжЦ^ = сИ

О(В) - область определения оператора В Я(В) - область значений оператора В

О (п)

С[о,т] ~ пространство п раз непрерывно дифференцируемых функций заданных на компакте [0,Т], ж(0) = О

С[о.т] ~~ пространство непрерывных функций, заданных на компакте [О, Т]

С{С[т £[о,т]) ~~ пространство линейных непрерывных операторов, действующих из С[о,т] в С[о.т]

С([о.т]:Е), ^[о т) ~ пР0стРанстВ0 абстрактных непрерывных функций, заданных на компакте [0.Т] со значениями в банаховом пространстве Е

^[о т] ~~ пространство положительных непрерывных функций, заданных на компакте [0, Т]

Б - замыкание области В

сИтЛТ(В) - число линейно независимых решений однородного уравнения Вх = 0

В* - сопряженный оператор

В* 6 С(Е2 —»• Е{) - сопряженный оператор действующий из Е2 в Е{, где Е2: Е{ - пространства, сопряженые к Е2 и Е\.

И{В), КегВ - множество решений линейного однородного (операторного) уравнения Вх = О

5(0, г) - шар в нормированном пространстве с центром в нуле и радиусом г