Интегральные представления голоморфных функций в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярной границей и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Кривоколеско Вячеслав Павлович

• Кривоколеско Вячеслав Павлович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Кривоколеско Вячеслав Павлович

3.1 Предварительные сведения

3.2 Алгоритм вычисления интегралов по остову единичного полицилиндра в Сп

3.3 Примеры реализации алгоритма

3.3.1 Вычисление интеграла по остову единичного бицилиндра от рациональной функции с помощью его искусственной параметризации

3.4 Частные случаи предложения 3.3 при п =

4. Алгоритмы получения тождеств с полиномиальными коэффициентами и их компьютерная реализация

4.1 Алгоритмы интегрирования мономов г5 по кусочно-регулярной границе

ограниченой п-круговой линейно выпуклой области в С2, С3, С4

4.1.1 Алгоритм интегрирования голоморфных мономов г^1 г^2 по кусочно-регулярной границе ограниченной п-круговой линейно выпуклой области в С2 (п = 2)

4.1.2 Алгоритм интегрирования голоморфных мономов г 51 г^2 гпо кусочно-регулярной границе ограниченной п-круговой линейно выпуклой области в С3

4.1.3 Алгоритм интегрирования голоморфных мономов г 51 ... г^4 по кусочно-регулярной границе ограниченной п-круговой линейно выпуклой области в С4

4.1.4 Выбор програмных средств для алгоритмов

4.2 Пример для проверки программ интегрирования голоморфных мономов

по кусочно-регулярной границе ограниченной линейно выпуклой области

4.2.1 Построение проекции области и задание ее ориентации на диаграмме Рейнхарта

4.2.2 Проверка линейной выпуклости области и ее границы на кусочную регулярность

4.2.3 Нахождение и вычисление V1 - слагаемых интегрального представления

4.2.4 Получение комбинаторных тождеств

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные представления голоморфных функций в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярной границей и их приложения»

Введение

Понятие линейной выпуклости было дано в середине 30-х годов прошлого столетия в работе Бенке и Пешля [33] для областей в С2.

Область Б С Сп называется .линейно выпуклой (локально .линейной выпуклой), если для каждой точки £ дБ существует комплексно (п — 1)-мерная аналитическая плоскость, проходящая через и не пересекающая Б (в некоторой окрестности г0).

Бенке и Пешль [33] для областей в С2 (точнее в Р2) с дважды гладкой границей указали дифференциальное необходимое и отдельно достаточное условие локальной линейной выпуклости в точке £ дБ, а также доказали, что для таких областей из локальной линейной выпуклости следует и их линейная выпуклость.

В 60 - 70-х годах прошлого столетия было продолжено изучение линейно выпуклых областей в Сп.

С одной стороны, глубоко изучалась теория функций в линейно выпуклых областях в статьях Л.А. Айзенберга [1, 2], Л.Я. Макаровой, В.М. Трутнева [23], А.П. Южа-кова, Ш.А. Даутова, Б.С. Зиновьева [10] и др.

С другой стороны, появилась потребность изучения геометрического аспекта понятия линейной выпуклости.

В 1971 году в работе [44] показано, что линейно выпуклая область в Сп(п ^ 2) с гладкой границей гомеоморфна шару в Сп(п ^ 2) и каждое сечение такой области одномерной аналитической плоскостью (комплексной прямой) односвязно.

В 1972 году Ш.А. Даутов и В.А. Степаненко в работе [7] привели простой пример ограниченной линейно выпуклой, но не выпуклой области с гладкой границей.

В упоминавшейся пионерской статье Бенке и Пешля отмечалось, что существует бесконечное множество топологически различных ограниченных линейно выпуклых областей в Сп(п ^ 2) с негладкой границей.

В 1968 году А. Мартино в [38] ввел понятие линейно выпуклого .множества.

Множество называется линейно выпуклым (1гпёе1ешепЬ оапуехое), если через каждую точку его дополнения проходит комплексная гиперплоскость, не задевающая данного множества.

За такими множествами в отечественной литературе 70-х годов закрепился термин линейно выпуклые по Мартино (ЫпеектепЬ оапуехое).

Интерес к линейно выпуклым множествам был связан с проблемой описания линейных функционалов на пространстве функций, аналитических в области О С Сп, задачей о разделении особенностей, о разложении на простейшие дроби, о разрешимости дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и уравнений свертки (обзор в [11]) и некоторыми другими задачами ([14], [31]).

В работах С. В. Знаменского [12], [13] и Ю.Б. Зелинского [16] были даны ответы на эти вопросы. Положительные ответы на поставленные вопросы оказались возможны в классе сильно линейно выпуклых множеств.

Область или множество в Сп будет сильно линейно выпуклой (выпуклым), если его сечения комплексными прямыми ацикличны. Ацикличность открытого или компактного множества на комплексной прямой (двумерной плоскости) означает непустоту и связность как самого множества, а так же и его дополнения.

В работах 1991-1992 годов М. Андерсона и М. Пассаре [30], [31] было предложено такие множества называть С-выпуклыми.

Отметим, что все ограниченные линейно выпуклые области с гладкой границей в Сп являются С- выпуклыми.

В 1995 году С.В. Знаменским в [15] построен пример ограниченной С-выпуклой области в Сп, граница которой имеет аппроксимативно бесконечную (2п — 1)-мерную площадь. И была доказана теорема о том, что эта область может быть представлена в виде объединения возрастающей последовательности линейно выпуклых областей с гладкими границами.

Важно отметить что в данной работе рассматриваются области, которые не являются С- выпуклыми.

Можно отметить примеры в [54], [55] областей в С2 границы которых, имеет фрактальный характер, а они сами не являются С-выпуклыми.

Отметим, что для ограниченных линейно выпуклых областей с гладкими границами Л.А. Айзенбергом ([3], формула (8.6)) было получено интегральное представление для голоморфных функций с голоморфным ядром. Формула Коши-Фантаппье-Лере позволяет получать интегральные представления для голоморфных функций в областях с кусочно-гладкими границами.

Такие формулы были получены на основе техники, развитой Г.М. Хенкиным [27], для строго псевдовыпуклых полиэдров, включающих в себя кусочно-строго псевдовыпуклые области и полиэдры Вейля, и для областей Зигеля, которые являются выпуклыми областями с негладкой границей. Указанная техника предполагает интегрирование по дополнительным параметрам над сингулярными точками границы области, а явно реализовать это интегрирование удается весьма редко. С применением указанной техники получены интегральные представления для ограниченных п-круговых линейно выпуклых областей в Сп с кусочно-регулярной границей и приложения таких представлений.

Цель диссертации состоит в:

1) получении интегральных представлений для ограниченных п-круговых линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами,

2) изучении свойств и приложений таких интегральных представлений,

3) создании алгоритмов и программ, позволяющих максимально упростить расчеты, связанные с интегрированием по границе ограниченной п-круговой линейно выпуклой области с кусочно-регулярной границей в С2, С3 и С4.

Данная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Номер теоремы, предложнения, леммы и др. включает номер главы, параграфа и порядковый номер, таблицы имеют сквозную нумерацию.

Первая глава состоит из двух параграфов.

Основными результатами первой главы являются

1) интегральное представление для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярной границей,

2) интегральное представление для ограниченных п- круговых линейно выпуклых областей с кусочно-регулярной границей.

Перейдем к изложению результатов первой главы.

Рассмотрим в пространстве Сп ограниченную линейно выпуклую область

С = { г : д1(г,г) < 0, I = 1,...,М},

где функции д1(г, г) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности замыкания этой области. Граница дС области С состоит из граней

Б1 = { г € С : д1 (г,г) = 0}, I = 1,...,М.

Будем говорить, что С имеет кусочно-регулярную границу, если на всяком непустом ребре

Б31"3 : Б31 П ... П Б3к = { С € дС : д31 ((,() = 0,..., д3к ((,() = 0}

выполняется неравенство дд31 Л ... Л дд3к = 0.

Ориентация граней Б1,... , Бм индуцирована ориентацией границы дС. Введем для мультииндекса .] = (]1, ... ,]к) обозначение

с1( Л ^ и. = =-=—.

ддп Л ... Л дд3к

При получении интегральной формулы для ограниченной кусочно-регулярной линейно выпуклой области было востребовано понятие смешанных левианов для системы функций (гиперповерхностей), предложенное А.К. Цихом [45].

Определение. Смешанным левианом порядка I = (11,... ,1к) семейства функций д1,... ,дк называется коэффициент Ь, = Ь, (д1,... , дк) в представлении

1 +... + Ак Як; Ь,..., ) = £ Ь А1,

I

П 2 П

где Яг = ^ дд д- П3- эрмитова форма, а 1г = ^ ^П3 - линейная форма, сопо-

л 3 в 3

3,.=1 3

ставленная дг.

В первом параграфе первой главы приводится теорема, доказанная в [45] в нераздельном соавторстве с А.К. Цихом.

Теорема 1.1 ([45])

Пусть С = { г : д1 (г, г) < 0, I = 1,... } - ограниченная кусочно-регулярная линейно выпуклая область в Сп. Тогда всякая функция f (г), голоморфная в области С и непрерывная на С, предстлвима в виде:

, (г) = £ (—1)" £' £ ..^п/ д1 '

к=1

(2пг)п I к

V=к I II =п-к 1 ; ^ (уд\— г

4=1

где ' означает суммирование по упорядоченным мультииндексам 3 длины к :

V =к

1 ^ ]1 < ■ ■ ■ < ]к ^ N; ^ - суммирование по мультииндексам I = (г1,...,гк)

| I | =п-к

со свойством \1\ = г1 + ... + гк = п — к; Ь1 - смешанный левиан порядка I, наконец, I! := ¿1! •... • гк!.

В случае п-круговых полиэдров функции д1 зависят только от модулей \гj \, и такие полиэдры имеют вид

С = { г : д (\г\) < 0, I = 1,...,Щ.

В этом случае интегрирование по ребрам БJ можно свести к повторному интегрированию по \БJ\ - проекциям ребер БJ на диаграмму Рейнхарта и интегрированию по

Тп = {\С \ = 1} := Ш\ = 1,..., Ы = 1}.

Во втором параграфе первой главы доказывается Теорема 1.2, имеющая приложения при дальнейших рассмотрениях.

Перед тем как сформулировать теорему, введем следущие обозначения:

, = _дд!_ д1 = °2д1

д 1 т о\^т\' д' 1 1 т Шд\(т\'

(Уд1, ) = (Уд\сI, \С\ — Сг) = ]>] д\т\ (\Ст\ — ^т)

т=1

5 Ш Ш д' I I т \+ бтдт =1, ^ ^ 0,. = 1, 0 ...

=1

=1

дЛ = _

0 д1 .. д\пI

0

\C1\sfi

0 .. д\пI

Ыд^ сц

с1п

\Сп\дп ... \(п\дм сп1 ... с

п

. , к,

'т

Д Р1-Рк 31—3 к

31 31

9|Р1 | •• • 9 |Рк |

91Р11 • • • 9 \рк |

и)з

(-1) ^ (-!)Р1+-+Рк {[?!,• ••,рк ]

Д Р1-Рк 31—3к

где = 0 и \[р1, • • • ,рк] - внешнее произведение дифференциалов ^\(1\,...,

среди которых отсутствуют дифференциалы д\(Р1 \, • • • ,д\(Рк \ •

При 1 ^ к ^ п смешанные левианы ЬI (д31 ,••• , 93к) будем находить из равенства

\гк

К -1к = К31-3к = V —-1 ••• к.--Ь (д31 ,••• ,д3к).

Приведенные выше обозначения позволяют сформулировать следующую теорему.

Теорема 1.2 ([46], [50]) Пусть С = { г : д1 (\г\) < 0, I = 1,...,И} - ограниченная кусочно-регулярная линейно выпуклая область в Сп. Тогда всякая функция f (г); голоморфная в области С и непрерывная на С, представима в С виде

п

f (г) = (—1)п£(-1)к-^ ' £ V313•

к=1 Р=к Щ=п-к

Здесь ' означает суммирование по упорядоченным мультииндексам 3 длины к : Р=к

1 ^ 31 < • • • < ]к ^ N ^ - суммирование по .мультииндексам I = (г1, • • • ,гк) со

^ ^п-к

свойством \1 \ := г1 + • • • + гк = п — к,

»" '"■ = Щп1 Ь'[Я" "-3 Ъ ! к f ( * ^ ^ ^ ? ' ^

( V: |£1=1 П ^ \< \ — i

Ь=1

где у = Л • • • Л у1, Ь1 - смешанный левиан порядка I и I! := г1! • • • • • гк!.

Результаты первой главы (теоремы 1.1, 1.2) опубликованы в работах [45, 46, 50]. Теорема 1.1 [45] доказана в неразрывном сотрудничестве с А.К. Цихом. Теорема 1.2 опубликована в работах [46] и [50], а также в монографии [53].

Вторая глава состоит из пяти параграфов.

Основными результатами второй главы являются следующие результаты.

1. Доказано, что каждой ограниченной полной линейно выпуклой области

С = {г Е Сп : дг(\г\) < 0, I = 1,...,М}

с кусочно-регулярной границей соответствует серия комбинаторных тождеств с полиномиальными коэффициентами.

2. Приведены примеры, показывающие, что ограниченным п-круговым линейно выпуклым областям с кусочно-регулярной границей в С2 и С3, которые не являются полными, также соответствуют комбинаторные тождества с полиномиальными коэффициентами.

3. Получены обобщения полученных комбинаторных тождеств. Вторая глава состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе Второй главы рассматриваются геометрические критерии, с помощью которых устанавливаем, является ли п-круговая область линейно выпуклой, причем для п-круговых областей в С2 этот критерий очень нагляден на диаграмме Рейнхарта.

Обозначим \С\ = п(С) — образ в М+ множества С С Сп при проектировании

п : (г1, ...,гп) ^ (\г1\,..., \гп\).

Отметим, что для п-кругового множества п-1 (\С\) = С. Пусть комплексная плоскость

V = {г = (г1,... ,гп) Е Сп : + ... + а^п + с = 0}

проходит через точку ..., (п) Е дС, (т. е. с = — (а1(1 +... + ап(п)) и не пересекает п-круговую область С С Сп (является касательной). Тогда все комплексные плоскости семейства

{V} = {а^в^1 + ... + апгпеф + с = 0, 0 ^ фт < 2п,т =1,...,п}

не будут пересекать (будут касательными комплексными плоскостями к области) области С в точках ((1в-гф1,... , (пв-гф") ее границы. Отсюда следует, что {V} является п-круговым множеством, что позволяет находить взаимное рассположение {V} и С

в Сп с помощью диаграммы Рейнхарта (К+), рассматривая множества \С\ = п(С) и

{V }\ = п(^}).

В [39, предложение 4.3] дано описание проекции V\ = п(V). Она задается системой неравенств:

/

++ \а 1 \\г1 \ — \а2\\г2\ — \аз\\гз\ — ... — \ап\\гп\ — \с\ ^ 0, — \а1\\г1 \ + \а2\\г2\ — \аз\\гз\ — ... — \ап\\гп\ — \с\ ^ 0,

\V \

— \а1\\г1 \ — \а2\\г2\ — \аз\\гз\ — ... — \ап\\гп\ + \с\ ^ 0.

Тогда и {V}\ = п({V}) = V\.

Эта система неравенств "разбивает" точки К+ на п +1 непересекающиеся части:

+ Ы\г1\ — \а2\\г2\ — \аз\\гз\ — ... — К\\гп\ — \с\ > 0, (Щ) — \а1 \\г1 \ + Н\г2\ — \аз\\гз\ — ... — К\\гп\ — \с\ > 0, (П2)

— \а1 \\г1 \ — \а2\\г2\ — \аз\\гз\ — ... + \ап\\гп\ — \с\ > 0, (Пп)

— \а1 \\г1 \ — \а2\\г2\ — \аз\\гз\ — ... — \ап\\гп\ + \с\ > 0. (Пп+1)

На диаграмме Рейнхарта множество \С\ = п(С) принадлежит не более чем одной из п +1 частей, на которые "разбивает" \{V}\ = п(^}) диаграмму Рейнхарта. Если ат = 0, то Пт = 0. Если с = 0, то Пп+1 = 0.

Пусть дан набор комплексных гиперплоскостей

VI = {г = (г1,...,гп) Е Сп : амг1 + ... + а^г-п + с = 0}, г = 1,...,к.

Обозначим (Пр); множество точек М+, задаваемое неравенством — ^дЦг^ — \а;,2\\г2\ — ... — \а£,(^-1)\\гр-1\ + \а4)р\\гр\ — \а;,(р+1)\\гр+1 \ — ... — \а4)п\\гп\ — \с;\ > 0. Если для связного п-кругового множества С его \С\-проекция в М+ принадлежит (ПР1 )1 П ... П (П№)к, то набору V1,... ,Vk; С соответствует набор (р1,... , рк), где 1 ^ р; ^ п + 1.

Определение. ([51]) Пусть дано связное п-круговое множество С и комплексные гиперплоскости V; = {г Е Сп : ацг1 + ... + а;,пгп + = 0}, г = 1,... ,к не пересекают, С. Обозначим {V;} = {г Е Сп : а^е^1 г1 + ... + а^е^гп + с = 0}, 0 < фг ^ 2п,

I = 1,... ,п. Определим N-значную вектор-функцию

Т ({VI},{Ук }; С) = Т (Уъ..., Ук; С) := (рь ..., рк),

если |С| С (Пр )г и Пр = 0, í Значения вектор-функции Т (У1,... ,Ук; С) =

(р1,... , рк) всегда существуют.

Во втором параграфе Второй главы также приводятся утверждения (лемма 2.1 и лемма 2.2), позволяющие доказать

Теорема 2.1 ([51]) Пусть комплексные гиперплоскости Уг = {аг,1.1 + ... + аг,п.п + сг = 0}, t = 1,... ,к не пересекают связное ограниченное п-круговое .множество С С Сп и Т (У1,... ,Ук; С) = (п +1,... ,п + 1). Тогда для натуральных к1,..., Нк, $1} ... }

1 [ [ _1_

(2™)п ' . . ' Ы ^ к, , , , , , ^ 6 ... Сп

I 1=1 | I=1 &1 .. .?пм!(аМ^1 6 + ... + агп^п + Сг)1г*

г=1

.ц (~1)11+-+1" у 1

. . . и и. / у

1 " • п ГМ Ьк СГ1 Гк

С1 ...°к Г1+...Гк=11+...+1п 4 " к

кп

хПП Е ...а

г=1 т=1 ¡г,1+...+1г,п=тг ¡1,т+...+1г,т=1

% + г - 1)! 1,п

¡г, 1! ...кЛЪ - 1)! ^1 ^

В третьем параграфе Второй главы рассматриваются полные ограниченные линейно выпуклые области с кусочно-регулярной границей в Сп.

Так как полная область С Е Сп вместе с точкой = (г°,... ,.п) содержит и

все точки . = (г1,...,гп) : |.1| ^ |.°|,..., 1г„\ ^ I.п|, то она является п-круговой

и

содержит начало координат.

Если комплексной плоскость (V) не пересекает полную область С, то на диаграмме Рейнхарта |С| содержит начало координат и относительно V| только множество Пп+1 содержит начало координат.

В третьей параграфе Второй главы применением теорем 1.2 и 2.1 доказывается теорема о том, что каждой полной ограниченой п-круговой линейно выпуклой области с кусочно-регулярной границей в Сп соответствует серия комбинаторных тождеств.

Теорема 2.2 ([50]) Для натуральных значений в1, • • • ,вп каждой ограниченной полной линейно выпуклой области С с кусочно-регулярной границей, где

С = {г е Сп : 91(\г\) < 0, I = 1,•••,N}, соответствует комбинаторное тождество с биномиальными коэффициентами

к

к1

где

1 = (—1)п££ П& + п)Щг1,...Тк; 3к ,1к)

к=1 Рк=к ^^п-к^+.-.+Тк=81+...+8п t=1

ЧП....П; 3 Л )= [ к ,, ^^^' ,„+„+, X

Л п(9?1'|\С1! + ■■■+¡да

Е ••• Е Е ••• Е П ■ ■ ■ ■■ р

11,1+...+Н,г=г1 1к,1 + •••+1к,п=Тк ¡1,1 +...+1к,1=81 ¡1 ,п + ...+1к,г=8г ^=1

к (3\)к1- ••(3\)к

■ ! ■ ! Р

ЧЛ! • • • Н,п!

В третьем параграфе Второй главы доказывается теорема Теорема 2.3 ([46]) При 0 < а < 1, 0 < в < 1 справедливы следующие тождества:

+ 52 + 1)! (—1)т АЛ /ц _ а)82+т+1 _ 082+ш+1\

+ т + 1 \ т ) в '

в^в2! ^ в2 + т +М т,

1 2 ш=0 2 х '

- (1 — а)82+1 £ (в2 + т)сШ — в*+' £ (82 тт) (1 — в)ш•

ш=0 т ш=0 т

1 + у^ (—1)ш АЛ — ау2 +ш+1 — в32+Ш+1Л

в1^! г,в2 + т +Ат) ^ '

ш=0

- (1 — аУ2+1 V (82 + т)аш + (1 — в)^1+1 V (81 + т) вш,

тт

ш=0 ш=0

8\ (—1)ш АЛ ,,

а)

1 - (в1 + в2 + 1)! £ ^^ АЛ {{1 — а)82 +ш+1 — в82+ш+1} +

в1!в2! в2 + т т и 7 И '

ш=0

а81+1 £ {в1 т т)а — а)ш + в£ + т) (1 — в)ш■

ш=0 ш=0

и Следствие 2.3 ([46]) При т = 0, • • • в1 справедливы следующие соотноше-

ния:

в2 + т ^-^ш (в1 + в2 + 1)!^ (—1)к АЛ [к

в2 ) в1!в2! ^ в2 + к + М к) Vт

к=ш

Отметим, что при условии а + [3 = 1 из тождества (2) или (3) теоремы 2.3 получается тождество

1 - t (" mm)(i -Q)m+(i - *r+i £ C2 m m)a"'

m=0 ^ ' m=0 ^ '

В статье Д. Цайлбергера (Zeilberger D.,[43] p. 487) приводится следующее тождество из теории дилатаций

(n+;- - ру + £ (n+•- - Р). = L

i=0 ^ ' i=0 ^ '

При n = 2 это тождество несколько в измененном виде встречается в квантовой физике и приводится в статье В.М. Шелковича [42].

В начале мая 2015 года профессор S. Damjanovic из Белграда обратил мое внимание на ряд статей. Так, например, в статье 1960 года "John Smith's problem" (Math. Gazette 44 (1960), 253-260) [34] авторов T.W. Chaundy and J.E. Bullard доказывается тождество

1 - (1 - X)n+1 t (n +kk\xk + xm+1 t (m+ fc) (1 - x)k, (*) k=0 ^ ' k=0 ^ ' которое в дальнейшем было названо их именами.

Заметим, что тождество T.W. Chaundy and J.E. Bullard получается из четвертого тождества теоремы 2.3 при условии а + [3 = 1.

В статьях [40], [41], посвященных тождеству Chaundy and Bullard, также приводится история математических рассмотрений, относящихся к этому тождеству.

При рассмотрении примера интегрирования голомофных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной линейно выпуклой области в C3, было получено комбинаторное тождество, приведенное в теореме 2.4.

Теорема 2.4 При 0 < aj < 1, а1 + а2 + а3 < 1 и Sj Е Z+,j = 1, 2, 3 справедливо следующее тождество

\si+iST- (si±k±0L KJ

S2 S3

(1 - а - азГ+^Е aka3+

k=0 1=0 '

+(1 - ai - a,)S2+1(S2s± k,±aka3+

k=0 1=0 2' ' '

11 12

+(1 - а, - а.Г+'ЕЕ ака2-

к=0 1=0 3! ! !

($1++ 1)! ^ (-1)тст) {л - 11+т+1 г*1+т+1, х

$1!«2! „51 + т +1\\ 1 - аз) \1 - аз

т=0

13

х (1 - азГ+12+2^( к )аз

51 + 52 + к + 1\ к ка

к=0

(„ I „ I 1 М 13 I Л\т(1з\ ( / \ 12+т+1/ \ 12+т+1"

5 + 5з + 1)^ (-1) и (аз \ _(_ан_] |х

52^з! п $2 + т + 1\\ 1 - а^ \1 - а1

т=0

11

х(1 - а1)12+1з+2 5 + 5з + к + Лак+ к=0 к

т аз а1

(51 + 5з + 1)! а / а х^+1

т=0

--т - ■ | - - | -

у ^ т к -

51!5з! т=° 51 + т + 1\\ 1 - а2 ] \Д - а2

х(1 - а2)и+1з+2 £ (51 + 5з+ к + 1) к=0 ^ ' (51 + 52 + 5з + 2)! Г1-а2-аз Г1-аз-х

X

... . . х11 у12 (1 - х - у)1:з йхйу = 1.

51!52!5з!

/ а.1 о а2

Заметим, что величины а1, а2, аз связаны с параметрами области равенствами а1 = а1а, а2 = а2Ь, аз, = а1с.

Отметим, что при условии а1 + а2 + аз = 1 должно выполняться тождество:

,11+1 (51 + к + к / , 12 + 1 (52 + к + О' к А

а1

^^ (51 + к + ¡)! к , 12 + 1 ^^ (52 + к + I)! к ,

£ Е 5.|кЦ| ^аз + °2*+ £ Е 521*1» ^аз +

к=0 1=0 1 к=0 1=0

+«?+' ££ ака2 . 1.

к=0 1=0 з'

В четвертом параграфе Второй главы доказывается обобщение Теоремы 2.4 ([48]), причем из доказательства следует, что Теорема 2.4 справедлива при любых комплексных значениях параметров а1, а2, аз.

Важно отметить, что обобщение теоремы было дано в статье [48] с тремя авторами, где леммы 2.14 и 2.15 были доказана автором диссертации.

В статье 2011 года Г.П. Егорычевым [9] была доказана теорема

Если комплексные параметры г1,... ,гп удовлетворяют соотношению

г1 + ... + .п =1, 16

то для любых значений параметров = 0,1, 2, • • • справедливо следующее

тождество

82

в1 + Е 1=1 з

•••Т.Г = г) г? •• г'п + ••• +

г1 Ь •• ЬМз2,•3-

81 8г-1

(

квп,-1, • • • ,—п—1

••• £ ( вп + Е*=га3 )г11 ••• г— = 1•

31=0 3г-1=0

В пятом параграфе Второй главы приводится теорема, доказанная в [49] в нераздельном соавторстве с Е.К. Лейнартасом.

Теоремы 2.5 ([49]) Если \г1\ + • • • + \г8—1\ < 1 и г1 + г2 + • • • + гп = 1, то для 1 = 1, ••• ,п справедливы следующие тождества

£ ^' - 1,

где В¡83 = {в е Z+ : в» < в»,•••, в—1 < в—^в] = в, ,вэ+1 < в^+1, • • •, вп < вп} и

т = (в1 + •••+вп)!

в! в1! ••• вп! •

и дается ее вероятностное истолкование.

Заметим, что для ц = 1 множество В^ состоит из конечного числа точек, а для 1 > 1 - из бесконечного.

Результаты второй главы (теоремы 2.1, 2.2, 2.3, 2.5) опубликованы в работах [51, 50, 46, 49]. Теорема 2.5 в работе [49] доказана в неразрывном сотрудничестве с Е.К. Лейнартасом. Обобщение теоремы 2.4 в работе [48] получено в соавторстве с Г.П. Егорычевым и М.Н. Давлетшиным, причем леммы 2.14 и 2.15 принадлежат В.П. Кривоколеско.

Третья глава посвящена вычислению интегралов от рациональных функций с параметрами и особенностями на комплексных гиперплоскостях, которые являются составной частью интегрального представления Теоремы 2.1, то есть интегралов вида:

1 Г ¡(0 %

3(г1 ,•• • , гп) =

( ) = ^ П (а3,1г1^1 + • • • + а3,пгп£,п + с3У ^

3=1

где точка г = (г1,• •• , гп) е Сп (параметры г1, • • • , гп) принадлежит ограниченному связному п-круговому множеству С и комплексные гиперплоскости

V = {г е Сп: а3,1г1 + • • • + а3,пгп + 03 = 0}, 3 = 1, • • • ,т,

не пересекают О, f (£) — функция, голоморфная ([47]) в п-круговой окрестности остова единичного полициндра {|£ | = 1} = {|£1| = 1,..., |£п| = 1} и в£/£ = ^/£1... в£п/£п] числа ¿1,... ,Ьт € Мп.

Основными результатами третьей главы являются следующие.

1. С помощью диаграммы Рейнхарта дана геометрическая иллюстрация, показывающая многообразие вариантов ответов при вычислении интегралов .](г1,... , гп).

2. Сформулирован метод (алгоритм) вычисления интегралов такого типа.

3. При т =2 вычислен такой интеграл для случаев (п + 1, к), 1 ^ к ^ п. (Пока не рассмотрен случай (к, к), 1 ^ к ^ п.)

Третья глава состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе Третьей главы приводятся предварительные сведения.

Во втором параграфе Третьей главы приводятся метод вычисления интегралов рассматриваего вида.

В третьем параграфе Третьей главы приводятся результаты (леммы (3.1)-(3.3) из [51]), позволяющие доказать следующие предложения.

Предложение 3.1 ([51]) Пусть комплексные гиперплоскости

V = {г : аг + ... + а^п + с = 0}, V = {г : Ьг + ... + Ьпгп + в = 0}

не пересекают связное ограниченное п-круговое множество О С Сп и для некоторого 1 ^ р ^ п вектор-функция Т(V, О) = (р,п +1). Тогда для натуральных значений и, V и мономов вида

&

р

р где вр ^ и + |з1 + ..[р].. + впI

- £п

п

£Т ..[р]..£п

голоморфных в п-круговой окрестности остова единичного полицилиндра, интеграл

1 г_#_=

(2пг)п ] (аг^ + ... + апгп£п + с)™^^ + ... + Ь^п£п + в)*£[р]*[р £ К I=1

1 г[р]£р] (—1)и+1 1 -вр

' X

в? • (и — 1)!(v — 1)! г3рр арр ви+ \1 -£р

оо

^ /с\^ (ц + и + |в[р]| — вр + V — 1)!(ц + и — 1)!

Х в) ^ Х

х Е +" +и - О {^Г"'х

г=тах[0, «р —(/и+м)] / \ р/

х У -ТГ7-^ПГаН1 Лар]..а1^ Ь{1—Н1..[Ьр]..Ь3п"—к".

\ни=г ЬР!^ + и - 8р + т)!(8 - Ь)[р]! п 1

Предложение 3.2 ([51]) Пусть комплексные гиперплоскости

V = [г : аг + ... + а^п + с = 0}, V = [г : Ьг + ... + Ь^п + й = 0}

не пересекают связное ограниченное п-круговое .множество С С Сп и для некоторого 1 ^ р ^ п вектор-функция Т(V, V; С) = (р,п +1). Тогда для натуральных значений и, V и мономов вида

¿Эр £р

где, 8р ^ и + в + ..[р].. + Зп|,

£Г ..[р].&

голоморфных в п-круговой окрестности остова единичного полицилиндра, интеграл

1 г_&_^ =

(2пг)п ] (а 1X1^1 + ... + а^п£п + с)и(Ь^ + ... + Ь^п£п + д)£[р]«[р] £ 1?1=1

г«1 ..[гр]..гп1 (—1)«р—м—\«[Р]\с«р—и—\«[р]\ = х

х ^ (^у (д + V - 1)!(д + вр - [в[р]| - 1)! х

д=о

й) (д + вр - и - |в[р]|)!

х Е г+д+аР-1в[р]1- Л {оРУ—1з[р]1+г х

г=тах[0, \ «[р]\— д] ^ Г / \Ьр

Т! 1

х ^ Н[р]!(д -Ш1 + г)!(в - Ь)[р]! ^ Ь'11—Н1^п^

\Н[р]\=г

Предложение 3.3 ([51]) Пусть комплексные гиперплоскости

V = [г : аг + ... + а^п + с = 0}, V = [г : Ьг + ... + Ь^п + й = 0}

не пересекают связное ограниченное п-круговое множество С С Сп, а для некоторого 1 ^ р ^ п вектор-функция Т(V, V; С) = (р,п +1). Тогда для натуральных значений и, V и мономов вида

1

е«1 ...&

голоморфных в п-круговой окрестности остова единичного полицилиндра, интеграл

1 [ _1_=

(2ш)п ] (агггСг + ... + апгп^п + + ... + Ъпгп^п + ¿)"£* £

Iе I=1

= ^ ( Ьр- Iй —У^_1_У ( с у ( ЬР. У х

р \ар) I * I (V - 1)!(и - 1)! ¿Л ¿) \ар)

х ^^^^ (-1)^ Ъ?У V См + и + |в| + v - 1)!(г + у + и - 1)! х ар

^( 1) ^ а?) ^ + и + в? + г)Щр]!(в - к)[р]!

р=0

ха*1 ..[а?]..аП™Ь^-1 ..[Ь?]..ЬПп-К где, 0 ^ ^ ^ в1, ..[р].., 0 ^ К ^ вп.

В третьем параграфе Третьей главы приводится пример вычисления интеграла с помощью его исскуственной параметризации:

Т = _^ / / _¿Ыз_= Т(1 1)

1 (2пг)Ч У £Г+1£?+1(36 + £2 + 1)(£1 + 2£2 + 4) 1 (1^ ГДе I ?11 = 1 I ?2 | =1

1 Г Г 1 ¿£1 ¿£2

1 (*1,*2)

(2пг)2 ] У £Г£*2 (3£1^1 + £2¿2 + 1X6*1 + 2£2*2 + 4) £1 £2 ' I ?11 = 1 I 6 I =1

Применяя далее предложение 3.3 получим

ц-!)*!^1 у ( 1 (1\р (у + г)! (т + в1 + в2 + 1)!

Т(*1,**) = г*1 - > (-1)р -

3 24+2*1+*2 \12 1^у ' и/ м!г! (т + в1 + г + 1)!(в2 - г)!'

т=0 V / р=0 \ / 1 \ / \ /

Нахождение таких интегралов тесно связано с вычислением интегралов, встречающихся в теореме 1.2. В этой теореме нужно находить интегралы, где величины а-,г = а-г((), с- = с-((), ] = 1,...,п,Ь = 1,... ,п и точка ( = ((1,... ,(п) € дС -границе области С.

В силу линейной выпуклости области С и гладкости функций д1 (£)С, I = 1,... , N, задающих ее границу, значения вектор-функции Т (V-,... ,У-к; С) = (рj1,... ,р-к) на каждом ребре 371'-'7к, 1 ^ ]1 < . . . < ]к ^ N для к = 1,...,п, не меняются при интегрировании по этим ребрам.

В статье [51] высказана гипотеза о возможности записи результатов предложений 3.1 - 3.3 в виде суммы конечного числа слагаемых. В монографии [53] гипотеза была потверждена (замечание 3.9, стр.120 -121) при рассмотрении частных случаев.

В четвертом параграфе Третьей главы приводятся результаты (предложение 3.4 и предложение 3.5), позволяющие записать ответ в предложении 3.3 помощью конечного числа слагаемых при п = 2; и = V = 1.

Отметим, что схема их доказательства позволяет получить ответ и для других натуральных значений и и V. Результаты параграфа 3.4 легли в основу программы [58], позволяющей вычислять интегралы .](г1, г2) для заданного значения г = (г1, г2).

Результаты третьей главы (предложения 3.1 - 3.5 и леммы 3.1 - 3.5) опубликованы в работе [51].

Четвертая глава состоит из трех параграфов и посвящена компьютеризации расчетов при интегрировании голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной п-круговой линейно выпуклой области в С2, С3, С4.

В первом параграфе Четвертой главы приводятся алгоритмы интегрирования голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной п-круговой линейно выпуклой области в С2, С3, С4.

Во втором параграфе Четвертой главы приводится тестовый пример, демонстрирующий работу программ интегрирования голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной п-круговой линейно выпуклой области в С2.

В третьем параграфе Четвертой главы приводится набор формул, небходи-мых для составления программ интегрирования голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной п-круговой линейно выпуклой области в С3, С4.

Для ограниченной, двоякокруговой, линейно выпуклой области в С2, с кусочно-регулярной границей, заданной линейными ограничениями, написаны четыре программы ([56] - [59]), получившие свидетельства о государственной регистрации и которые являются собственностью Сибирского федерального университета.

1. Программа [59] - проверки линейной выпуклости бикруговой, ограниченной области в С2 с кусочно-регулярной границей, заданной линейными ограничениями.

2. Программа [57] - интегрирования г«1 г«2 по границе, заданной линейными уравнениями, ограниченной, бикгруговой, линейно выпуклой области в С 2 (случай 1-есть точки с нулевыми координатами),

3. Программа [56] - интегрирования мономов г«1 г«2 по границе, заданной линейными уравнениями, ограниченной, бикгруговой, линейно выпуклой области в С2 (случай

II-нет точек с нулевыми координатами).

4. Программа [58]- вычисления интегралов по остову единичного бицилидра в C2 от произведения линейных рациональнных дробей с параметрами.

Программа [56] написана совместно с П. П. Белым в нераздельном соавторстве.

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 статьях [44], [45] -[49], [51]—[55], входящих в перечень рецензируемых изданий, рекомендованных ВАК, и четырех программах, имеющих государственную регистрацию [56]-[59].

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих конференциях: Всесоюзном симпозиуме по теории голоморфных функций многих комплексных переменных (Красноярск, 1969); Всесоюзной конференции по теории функций комплексного переменного (целые и мероморфные функции и функции многих переменных) (Харьков, 1971); Семинаре по теории функций Института физики СО АН СССР им Л.В. Киренского (1969 - 1973); Городском семинаре по многомерному комплексному анализу в Красноярском государственном университете (1995 - 2003); Международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, 2002); Втором российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Москва, 2008); Международной конференции "Аналитические функции многих комплексных переменных" (Красноярск, 2009); Украинском математическом конгрессе (Киев, 2009); 1053 встрече Американского математического общества (Бока Ратон, Флорида, США, 2009 г.); Международной конференции многих комплексных переменных, посвященной 80-летию профессора Жозефа Сичака (Краков, 2011 г.); Четвертом российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, 2012); Летней школе-коференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России (Ярославль, 2013 г.); Международной конференции "Multidimentional complex analysis and differential equations" (Красноярск, 2014); VI Российско-Армянском совещании по математическому анализу, математической физике и аналитической механике (Ростов-на-Дону 2016); Международной конференции по геометрическому анализу, посвященной 95-летию со дня рождения академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, Академгородок, 2024).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кривоколеско Вячеслав Павлович, 2025 год

Список литературы

[1] Айзенберг Л.А. О разложении голоморфных функций многих комплексных переменных на простейшие дроби// Сиб. матем. журнал. 1967. Т.13, №5. С. 1224-1242.

[2] Айзенберг Л.А. Линейная выпуклость в Cn и разделение особенностей голоморфных функций//Ви11. Acad. Pol. Sc., ser. math. 1967. Т.15, № 7. С. 487-495.

[3] Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

[4] Александров А.Д. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы // Матем. сб. 1938. № 2. С. 227-251.

[5] Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

[6] Буземан Г. Выпуклые поверхности. М.: Наука, 1968.

[7] Даутов Ш.А., Степаненко В.А. Простой пример ограниченной линейно выпуклой, но невыпуклой области с гладкой границей// Голоморфные функции многих комплексных переменных. Красноярск: Институт физики СО АН СССР, 1972. С. 175-179.

[8] Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977.

[9] Егорычев Г.П. Комбинаторное тождество из теории интегральных представлений в Cn// Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2011. Т.4, № 4. С. 32-44.

[10] Зиновьев Б.С. Аналитические условия и некоторые вопросы аппроксимации линейно выпуклых областей с гладкими границами в пространстве Сга//ВИНИТИ. 1970. № 1743-70.

[11] .Знаменский С.В. Сильная линейная выпуклость// Комплексный анализ и математическая физика. Красноярск: Институт физики им. Л.В. Киренского СО АН СССР, 1988. С. 39-52.

[12] Знаменский С.В. Геометрический критерий сильной линейной выпуклости // Функц. анализ и его приложения. 1979. Т.13, № 3. С. 83-84.

[13] Знаменский С.В. Сильная линейная выпуклость. I. Двойственность пространств голоморфных функций//Сиб. матем. журнал, 1985. Т.26, № 3. С. 31-43.

[14] Знаменский С. В. Томография в пространствах аналитических функционалов // ДАН СССР. Т. 312., №5, 1990. - С. 1037-1040.

[15] Знаменский С. В. Пример сильно линейно выпуклой области с неспримляемой границей // Мат. заметки. Т. 57., выпуск 6, 1995. - С. 851-861.

[16] Зелинский Ю. Б. О геометрических критериях сильной линейной выпуклости // ДАН СССР. Т. 261., №1, 1981. - С. 11-13.

[17] Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Том II. Геометрия. М.: Наука, 1987.

[18] Лейнартас Е. К. Многомерная композиция Адамара и суммы с линейными ограничениями на индексы суммирования//Сиб. матем. журнал, 1989. Т. 30, № 2. С. 102-107.

[19] Лере Ж. Дифференциальное и интегральное исчисление на комплексном аналитическом многообразии. М.: Мир, 1961.

[20] Манзон Б.М. Maple V Pover Edition. М.: Наука, 1998.

[21] Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков// УМН. 1998. Т. 53, № 6(324). С. 53-128.

[22] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

[23] Трутнев В.М. Инвариантные подпространства и сюрьективность дифференциальных операторов//Исследования по линейным операторам и теории функций / 99 задач линейного и комплексного анализа. Л.: Наука, 1978. С. 128-129.

[24] Уиттл П. Вероятность. М.: Наука, 1982.

[25] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.1. - М.: МИР,

1984.

[26] Хенкин Г.М. Интегральное представление функций голоморфных в строго псевдовыпуклых областях и некоторые приложения//Матем. сб. 1969. Т.120, № 78. С. 611-632.

[27] Хенкин Г. М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе // ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.

1985. Т.7. С. 23-125.

[28] Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988.

[29] Шелкович В. М., Южаков А.П. Структура одного класса асимптотических распределений В. К. Иванова// Изв. вузов. Матем. 1991. № 4. С. 70—73.

[30] Andersson M. Unuque linearly convex support of an analytical functional// Preprint № 1991-15/ISSN0347-2809, Goteborg. 1991. P. 1-16.

[31] Andersson M., Passare M. Complex Kergin interpolation and Fantappie transform // Mathematische Zeitschrift. 1991. V. 208. P. 257-271.

[32] Andersson M, Passare M, Sigurdsson R. Complex convexity and analitic functionals 1//Science Institute University of Iceland Dunhaga 3 IS Reykjavik June 1995. 71 p.

[33] Behnke H., Peschl E. Zur Theorie der Funktionen mehreren komplexer Veränderlichen. Konvexitat in bezug auf analytische Ebenen im kleinen und grossen //Math. Ann. 1935. 111, № 1. P. 158-177.

[34] Chaundy T.W. and Bullard J.E. (1960). John Smith's problem. Math. Gazette 44(1960). P. 253-260.

[35] Daubeacheis Ingrid Ten Lectures on Wavelets, SIAM, Philadelphia, 1992.

[36] Kiselman C.O. A differential inequality characterizing weak lineal convexity// Math. Ann. 1998. T. 311. P. 1-10.

[37] Martineau A. Sur la topologie des espaces des fonctions holomorphes// Math. Ann. 1966. 163, № 1. P. 62-68.

[38] Martineau A. Sur la notion d'ensemble fortement lineelement convexce // Anais. Acad. Brasil. Ciens., V.4., №4, 1968. - P. 427-435.

[39] Forsberg M., Passare M., Tsikh A. Laurent Determinants and Arrangements of Hyperplane Amoebas //Advances in Mathematics. 2000. 151. P. 45-70.

[40] Koornwinder Tom H. and Schlosser Michael J. (2008). On an identity Chaundy and Bullard. I. Indag. Math. (N.S) 19(2008). P. 239-261.

[41] Koornwinder Tom H. and Schlosser Michael J. (2013). On an identity Chaundy and Bullard. II. More history. Indag. Math. (N.S) 24(2013). P. 174-180.

[42] Shelkovich V.M. Algebra of distributions with a point singular support// ДАН СССР. 1982. Т.267, №1. С. 53-57.

[43] Zielberger D. On an identity of Daubeachies. Amer. Math. Monthly 100 (1993), bottom of p. 487.

Работы автора по теме диссертации

[44] Южаков А. П., Кривоколеско В. П. Некоторые свойства линейно выпуклых областей с гладкими границами в Сп//Сиб. матем. журнал, 1971. Т. 12, № 2. С. 452458.

[45] Кривоколеско В.П., Цих А.К. Интегральные представления в линейно выпуклых полиэдрах//Сиб. матем. журнал 2005. Т.46, № 3. С. 579-593.

[46] Кривоколеско В.П. Интегральные представления в линейно выпуклых полиэдрах и некоторые комбинаторные тождества//Журнал СФУ. Серия «Математика и физика». 2009. 2(2). С. 176-188.

[47] Зиновьев Б.С. Кривоколеско В.П. Определение голоморфной функции многих комплексных переменных// Вестник ИГЭУ. 2011. № 2. С. 90-93.

[48] Davletshin M. N., Egorychev G. P., Krivokolesko V. P. Calculation of multiple combinatorial sums in the theory of holomorphic functions in Cn// Advances in Applied Mathematics. 2012. Vol. 48. P. 446-456.

[49] Кривоколеско В.П., Лейнартас Е.К. О тождествах с полиномиальными коэффи-циентами//Изв. Иркут. гос. ун-та. Серия Математика. 2012. Т.5, № 3. С. 56-63.

[50] Krivokolesko V.P. Method for Obtaining Combinatorial Identities with Polynomial Coefficients by the Means of Integral Representations//Журнал СФУ. Серия «Математика и физика». 2016. 9(2). С. 192-201.

[51] Кривоколеско В.П. О вычислении одного класса интегралов от рациональных функций с параметрами и особенностями на комплексных гиперплоскостях//Тр. ИММ Уро РАН. 2018. Т. 24, №2. С. 123-140.

[52] Егорычев Г.П., Кривоколеско В.П. Computation of an Integral of a Rational Function over the Skeleton of Unit Polycylinder in Cn by Means of the Mellin Transform // Журнал СФУ. Серия «Математика и физика». 2018. 11(3). С. 364-369.

[53] Кривоколеско В.П. Исчисление комбинаторных тождеств с помощью интегральных представлений //Красноярск. СФУ. 2019. 177 с.

[54] Кривоколеско В.П. О линейно выпуклых областях Гартогса в C2 имеющих фрактальную структуру//Прикладная математика & физика. 2022. Т. 54. №2. С. 81-88.

[55] Krivokolesko V.P. On Linearly Convex Hartogs Domains in C2 with a Fractal Structure"// Mathematical Notes. 2023. Vol. 114(5). P. 875-882.

Программы для ЭВМ

[56] Белый П.П., Кривоколеско В.П. Интегрирование zS1 z22 по границе, заданной линейными уравнениями, ограниченной, бикруговой, линейно выпуклой области в С2 (сл. I - нет точек с нулевыми координатами) // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018617227. - Дата государственной регистрации в Реестре программдля ЭВМ 21 июня 2018 г. Правообладатель: Федеральное государственное автономное учреждения высшего образования «Сибирский федеральный университет».

[57] Кривоколеско В.П. Интегрирование zS1 z22 по границе, заданной линейными уравнениями, ограниченной, бикгруговой, линейно выпуклой области в

С2

(сл. II -

есть точки с нулевыми координатами) // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018617297. - Дата государственной регистрации в Реестре программдля ЭВМ 21 июня 2018 г. Правообладатель: Федеральное государственное автономное учреждения высшего образования «Сибирский федеральный университет».

[58] Кривоколеско В.П. Вычисление интегралов по остову единичного бицилиндра в С2 от произведения линейных рациональных дробей с параметрами // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018617496. -Дата государственной регистрации в Реестре программдля ЭВМ 25 июня 2018 г. Правообладатель: Федеральное государственное автономное учреждения высшего образования «Сибирский федеральный университет».

[59] Кривоколеско В.П. Проверка линейной выпуклости бикруговой, ограниченной области в С2 с кусочно-регулярной границей, заданной линейными ограничениями // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018617497. - Дата государственной регистрации в Реестре программдля ЭВМ 25 июня 2018. Правообладатель: Федеральное государственное автономное учреждения высшего образования «Сибирский федеральный университет».