Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Бельмесова, Светлана Сергеевна

• Бельмесова, Светлана Сергеевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Бельмесова, Светлана Сергеевна

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения о динамике отображений семейства F/(x, у) = (ху, (х — д)2)

1. Общие свойства отображений семейства F/, д € [0, 2]

1.1. Рекуррентные формулы для координатных функций отображения F/n(x, у) (п > 1)

1.2. Инвариантные множества отображений семейства F/t

1.3. Существование неограниченной инвариантной кривой г/1 в квадранте

2. Замечание о невозмущенном отображении Fo

д € (0,1]

3. Основные технические результаты

3.1. Нелокальная теорема о неявной функции

для полиномиальных эндоморфизмов F/t

3.2. Доказательство существования С 1-гладкой инвариантной кривой г/2)

4. Теорема о сингулярных эндоморфизмах Морса-Смейла

Глава 3. О рождении замкнутой инвариантной кривой в семействе ^ при д = 3

5. Вспомогательные вычисления

5.1. Вычисление собственных векторов матрицы Якоби J(/(/, у}} в неподвижной точке

5.2. Дальнейшие преобразования для отображения /

6. Новый пример семейства квадратичных отображений, допускающего рождение замкнутой инвариантной кривой

Глава4. О динамике отображения следа ¥2(х,у) = (ху, (х — 2}2}

8. Построение максимальных порождающих областей

9. Плотность множества О в Од2

10. Замечание о седловых периодических точках отображения ¥2 на гипотенузе Н2

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости»

Введение

Актуальность темы. При изучении дифференциальных уравнений в трудах А. Пуанкаре введены понятия секущей и отображения последова-ния на секущей. В случае существования секущей исследование систем дифференциальных уравнений сводится к изучению отображения после-дования на ней. При этом важную роль играют инвариантные множества, среди которых выделяют, в частности, неподвижные, периодические точки и инвариантные кривые [1]. Занимаясь ограниченной задачей трех тел, А. Пуанкаре пришел к исследованию отображений кольца, сохраняющих площадь, и сформулировал теорему о существовании неподвижных точек у отображений кольца, доказанную позже Дж. Биркгофом [2].

Идеи А. Пуанкаре развивались и основоположниками КАМ-теории А. Н. Колмогоровым [3], В. И. Арнольдом [4], Ю. Мозером [5], [6]. Так, например, в работах Ю. Мозера было доказано существование инвариантных кривых у отображений кольца, сохраняющих площадь.

Метод секущей Пуанкаре широко применялся в работах ученых нижегородской математической школы: А. А. Андронова [7] - [10], Е. А. Леон-тович [8] - [10], Н. Н. Баутина [11], [12], Ю. И. Неймарка [13], Н. Ф. Отро-кова [14], Л. П. Шильникова и В. С. Афраймовича [15] и других.

Обобщением понятия инвариантной кривой является понятие инвариантного многообразия. В этой связи следует отметить работы Н. Н. Боголюбова [16], [17], Ю. А. Митропольского [16], В. А. Плисса [18].

Задача исследования полиномиальных отображений своими корням восходит к классическим работам П. Фату [19]-[21], Г. Жулиа [22], [23], изучавших рациональные и, в частности, полиномиальные отображения плос-

кости комплексного переменного. Исследования в этом направлениии проводились, например, в монографии П. Монтеля [24], в работах Г. Броли-на [25], М. В. Якобсона [26] - [28], М. Ю. Любича [29]-[32].

Классическим примером квадратичного отображения плоскости К2 является отображение Эно (х, у) ——> (у, 1 — Ьх + ау2}, где а, Ь - вещественные параметры [33], [34]. Исследованию отображения Эно и некоторых его обобщений посвящены работы С. Фридланда и Дж. Милнора [35], С. В. Гонченко [36], [37], М. Ли и М. И. Малкина [37].

Отметим наиболее близко относящиеся к данной работе статьи [38] -[40], в которых исследованы некоторые аспекты динамики отображения Лотки-Вольтерра ^(х,у) = (х(4 — х — у),ху).

Результаты численного исследования полиномиальных отображений плоскости приведены в работах Э. Лоренца [41], Я. Кеврикидиса, К. Фру-закиса [42], [43], К. Миры [43], [44] - [46], Л. Гардини [43], [45] - [46], Д. Фурнье-Прунаре [46] - [49].

В диссертации исследуется однопараметрическое семейство квадратичных отображений плоскости

F^(x,y) = (xy,(х — д)2) (О.1)

где (х; у) е К2, К2 - плоскость, д е [0, 2].

В настоящее время формируется математический аппарат для моделирования одномерных квазикристаллов [50], который основан на глубоком изучении дискретных аналогов уравнения Шредингера. Работы Дж. Бел-лисарда [51], [52], М. Бэйка [53], [54], А. Городецкого и Д. Даманика [55], [56] посвященны рассмотрению спектральных свойств дискретного оператора Шредингера. При изучении дискретных аналогов уравнения Шредингера

в работах Ю. Авишаи, Д. Беренда и В. Ткаченко [57] - [60] используется схема, с помощью которой можно продуцировать специальные отображения, получившие название отображений следа ("trace maps"). В [59] показано, что изучение коэффициентов отражения и прохождения плоской волны с заданным импульсом в поле кристаллической решетки, узлы которой образуют цепь Тью-Морса (Thue-Morse chain), приводит к рассмотрению последовательности разностных уравнений Шредингера, которая связана с исследованием динамики отображения, топологически сопряженного с отображением F2(x,y) = (xy, (x — 2)2), входящим в семейство (0.1) при д = 2.

Отметим также, что на конференции по низкоразмерностной динамике в 1993 году А. Н. Шарковским была сформулирована задача существования неограниченных ш - предельных множеств траекторий отображения

F2 [61].

В результате возникает математическая проблема изучения однопара-метрического семейства (0.1) и, в частности, отображения следа F2. Кроме того, изучение квадратичных отображений плоскости представляет научный интерес и как изучение простейшего вида нелинейности. Таким образом, тема диссертации является актуальной.

Цель работы состоит в исследовании динамики отображений однопа-раметрического семейства (0.1), а именно:

(1) в изучении общих свойств отображений FM, связанных с существованием специальных инвариантных множеств (в частности, некоторых инвариантных кривых) при д Е [0, 2];

(2) в полном описании неблуждающего множества ) отображений FM при д Е [0,1] и доказательстве теоремы о том, что отображение FM при

всех д е (0,1] является сингулярным эндоморфизмом Морса-Смейла;

(3) в доказательстве рождения замкнутой инвариантной кривой из эллиптической неподвижной точки при переходе параметра д через значение | и численном моделировании эволюции родившейся замкнутой инвариантной кривой при д е (2, 2), в результате которого обнаружен и описан новый сценарий разрушения замкнутой инвариантной кривой;

(4) в доказательстве существования Г2 - вполне инвариантного множества О'', представимого в виде объединения континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых и обладающего следующими свойствами: (г) в любой трубчатой окрестности произвольной кривой из О' в К2 существует континуум кривых из О', причем О' является нигде не плотным множеством в некотором подмножестве первого квадранта плоскости; (гг) любые две кривые множества О' либо не пересекаются, либо пересекаются в единственной точке1;

(5) в описании множества блуждающих точек отображения

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории динамических систем, в частности, теории дискретных динамических систем, методы функционального анализа, теории функций и топологии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Основными результатами являются: теорема Л (о том, что отображение ^ при каждом д е (0,1] представляет собой сингулярный эндоморфизм Морса - Смейла);

1 Заметим, что, во-первых, множество О' содержит линии, на которых дифференциал отображения обращается в 0; во-вторых, среди кривых множества О' существуют С1 - гладкие кривые. Поэтому множество О' не удовлетворяет определению множества со структурой локальной ламинации, приведенному в работе [64].

теорема В (о рождении замкнутой инвариантной кривой из эллиптической неподвижной точки при переходе параметра д через значение |); теорема С (о существовании F2 - вполне инвариантного множества С с описанными выше свойствами в пересечении замыкания первого квадранта с внешностью треугольника

Д2 = {(х; у) : х, у > 0, х + у < 4}

и о блуждающих точках отображения F2).

В работе проведено численное моделирование эволюции замкнутой инвариантной кривой при изменении параметра д на промежутке [|, 2), в

результате которого обнаружен и описан новый сценарий разрушения за-

|

мкнутой инвариантной кривой, родившейся при д = 3. Результаты работы и разработанные в ней методы могут применяться (и уже применяются) к исследованию различных классов дискретных (в частности, квадратичных) динамических систем на плоскости, а также могут быть использованы при создании математического аппарата физики одномерных квазикристаллов.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на 10 параграфов, списка литературы и приложения. Приведем необходимые определения.

Определение 0.1. [65, § 1.1] Множество W С К2 называется инвариантным относительно отображения F/t, если справедливо включение F/l ^) С W. Если имеет место равенство F/t (W) = W, то будем говорить, что множество W вполне инвариантно относительно отображения F/.

При любом п > 1 обозначим через F™ п-ную итерацию отображения F/,

а через ,п и ,п - первую и вторую координатные функции соответственно, то есть ^Дх у) = (/м,п(х, y), ^Дх у)).

Определение 0.2. [66, § 0.2] Точка (х0; у0) е К2 называется периодической точкой периода п е N отображения ^, если существует п е N такое, что выполнено равенство ^П(х0,у0) = (х0; у0) (при п =1 точка (х0; у0) называется неподвижной).

Точка (х0; у0) е К2 называется периодической точкой наименьшего периода п > 2, если наряду с равенством ^П(х0,у0) = (х0; у0) при всех 1 < г < п — 1 верны неравенства ^(х0,у0) = (х0; у0). Множество |(х°; у0),^м(х0,у0),..., :(х°, у0)} попарно различных точек называется периодической орбитой наименьшего периода п.

Под траекторией произвольной точки (х0; у0) е К2 относительно однозначного, но не взаимно однозначного отображения ^ будем понимать множество (х0,у0)} .

Для квадратичных отображений ^П при всех п > 1 обозначим через <(^П(х, у)) = и ^ < (^П(х, у)) матрицу Якоби и якобиан отобра-

жения ^П в любой точке (х; у) е К2 соответственно.

Из задания отображения ^ следует, что при п = 1 для матрицы Якоби справедливо равенство

ух <№(х, у)) = ( '

у 2(х — д) 0

а при любом п > 2 выполнено

/ д/1л,и(х,У) д/^,и(х,У) \

<(^п(х, у)) = ( дх ду I . (0.2)

\ дх ду /

Для нахождения мультипликаторов неподвижных точек отображения ^

наряду с матрицей Якоби <(^(х, у)) нам потребуется характеристическое

9

уравнение

Л2 - Ау - 2х(х - д) = 0. (0.3)

Характеристическое уравнение для Jу)) при п > 2 имеет вид:

Л2 _ л(%,п(x, у) + д^^^^Л +

I дх ду у

V ди ,n(x, у) д9^Лх1У1_ дд у) (04)

дх ду - ду дх

Определение 0.3. [66, § 2.1] Пусть (х0; у0) - периодическая точка наименьшего периода п > 1 отображения Fм, Л1, Л2 - корни характеристического уравнения (0.4). Тогда точка (х0; у0) называется: стоком, если |Л1;2| < 1; источником, если |Л1;2| > 1; седлом, если одно из собственных чисел Л1 или Л2 по модулю больше единицы, а другое по модулю меньше единицы.

Точки указанных трех типов образуют множество гиперболических периодических точек.

Наряду с гиперболическими периодическими точками в работе будут рассматриваться эллиптические неподвижные точки с комплексно сопряженными собственными числами, равными единице по абсолютной величине (общее определение эллиптических периодических точек имеется, например, в [65, § 8.4])

В дальнейшем нам потребуются также определения неблуждающей точки и неблуждающего множества.

Определение 0.4. [65, § 3.3] Точка (х0; у0) Е X, X С К2 называется

неблуждающей точкой непрерывного отображения ^ : X ^ X, если

для любой ее окрестности и(х0; у0) в X найдется натуральное число

п = п(х0; у0) такое, что и(х0; у0) П (и(х0; у0)) = 0.

10

Множество всех неблуждающих точек отображения ^ будем называть неблуждающим множеством и обозначать П(^>).

Точки множества X, не являющиеся неблуждающими, называются блуждающими.

Распространим определение (несингулярного) эндоморфизма Морса - Смей-ла, заданного на компактном многообразии, приведенное в [67], на случай отображений плоскости.

Определение 0.5. Эндоморфизм F : К2 ^ К2 будем называть (несингулярным2) эндоморфизмом Морса - Смейла, если

(1) неблуждающее множество П^) конечно и состоит из гиперболических периодических точек;

(2) локальное устойчивое3 Wj0oc(p) и глобальное неустойчивое Жм(д) многообразия различных периодических точек р и д пересекаются транс-версально, то есть если (х; у) Е ^0с(р) П Жм(д), то касательное пространство Т(х;у) разлагается в прямую сумму касательных пространств Т(х-у^(Ос(р), Т(х;у)Жи(д) так, что справедливо равенство Т{х]у) = Т(х;у) ^Ос(р) © Т(х;у)^ и(д).

Определение 0.6. Эндоморфизм F : К2 ^ К2 с конечным неблуждающим множеством П^) будем называть сингулярным эндоморфизмом Морса - Смейла, если выполнено хотя бы одно из следующих свойств: (1) в неблуждающем множестве П^) существует негиперболическая

2В [68] рассмотрены несингулярные потоки Морса-Смейла. По аналогии с [68] будем говорить о

несингулярных эндоморфизмах Морса-Смейла.

3В случае эндоморфизмов глобальное устойчивое многообразие точки может быть несвязным множеством. Поэтому в определении 0.5 используется локальное устойчивое многообразие. Локальным устойчивым многообразием Шгяос(р) точки р будем называть связную компоненту глобального устойчивого многообразия Шя (р) точки р, содержащую точку р [70].

периодическая точка;

(2) существуют периодические точки р' и д' е ), локальное устойчивое ^Ос(р') и глобальное неустойчивое Wи(д') многообразия которых пересекаются нетрансверсально.

Обратим внимание на то, что эндоморфизмы Морса - Смейла возникают и в других прикладных задачах (см., например, [69]).

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Глава 1 имеет подготовительный характер. В ней исследованы общие свойства отображений семейства ^ при всех д е [0, 2]. Основные результаты первой главы содержатся в теореме 0.7 (об общих свойствах отображений ^) и в теореме 0.8 (о динамике невозмущенного отображения ^0) и опубликованы в работах [71] - [78].

Обозначим через К.1 - г - ый открытый квадрант плоскости хОу, г = 1, 2,3,4.

Теорема 0.7. Пусть ^ - квадратичное отображение вида (0.1). Тогда: (0.7.1) при любых д е [0, 2] и п > 1 равенство det <(^П(х, у)) = 0 справедливо в том и только том случае, если координаты точки (х; у) удовлетворяют хотя бы одному из уравнений Дх, у) = д для некоторого 0 < г < п — 14, х = 0 или у = 0 для п > 2; в частности, при п =1 критическое множество отображения ^ состоит из прямых х = 0, х — д^

(0.7.2) для каждого д е [0, 2] справедливы включения

^(Кз) С К1, ^(К4) С К2, ^(К2) с "К2, ^(К1) с К1;5

4Условимся считать, что /м,0(х, у) = х, дм,0(х, у) = у.

5Через (•) обозначено замыкание множества (•).

(0.7.3) при любом д Е [0, 2], д =1, существуют три неподвижные точки: А1(0; д2) с мультипликаторами Л1(А1) = 0 и Л2(А1) = д2; А2(д +1; 1) с мультипликаторами А1;2(А2) = и А3(д — 1; 1) с мультиплика-

торами А1;2(Аз) = ; при этом А1(0; д2) - сток, если 0 < д < 1 и

седло, если д > 1; А2(д + 1; 1) - источник, если д > 0; А3(д — 1; 1) - седло,

о о

если 0 < д < 1, сток, если 1 < д < 2, эллиптическая точка, если д = 2 и источник, если д > 3;

при д =1 отображение F/ имеет две неподвижные точки А1(0;1) с мультипликаторами Л1(А1) = 0, Л2(А1) = 1 и источник А2(2; 1); (0.7.4) при любых д Е [0, 2] и п > 1 выполнено F/n(С0) = (0; д2), где С0 -критическая прямая х = 0; при любых д Е (0, 2] и п > 3 выполнено F/n(C/) = (0; д2), где С/ - критическая прямая х = д; (0.7.5) каково бы ни было д Е [0, 2], F/t отображает прямую х = с на прямую у = с1, где с Е К1, с1 = (с — д)2; F/n (п > 2) отображает прямую у = С2, С2 = 0 на кривую (х,у) = (Рп/(х),фп"(х)), где Рте/(х) и фте//(х) полиномы степеней п' и п" соответственно, причем п' - нечетное число, п'' - четное число; при с2 = 0 выполнено F/n(x, 0) = (0; д2); (0.7.6) при любом д Е (0, 2] существует инвариантный треугольник

Л/={(х; у): х, у > 0, 2/ + < 1}, для катетов ,х = {(х;0) : 0 < х < 2д} и ,у = {(0; у) : 0 < у < д2} которого справедливы соотношения FAt(к/;Х) = к/;У, FAt(к/;У) = (0; д2); отображение FAt на гипотенузе ^ треугольника Дм определено в силу равенства FAt(х,у) = (хд(д — х/2); (д — 2у/д)2) (см. рисунок 1) так, что образ FAt (^) гипотенузы ^ представляет собой отрезок прямой 2х + ду = д3, лежащий в треугольнике Дм и совпадающий с гипотенузой ^ в том и только том случае, если д = 2 (при этом граница дД2

13

треугольника Д2 - инвариантна);

Рисунок 1: Графики функций (х, у) = - |) и (х,у) = - 2у)2-

(0.7.7) при ^ = 2 на гипотенузе Ь,2 треугольника Д2 существует всюду плотное множество периодических точек всех периодов. В частности, единственная ¥•2 - периодическая орбита (наименьшего) периода два лежит на гипотенузе ^2;

(0.7.8) на гипотенузе Ь,2 инвариантного треугольника Д2 существует всюду плотное множество гомоклинических точек6 сужения ^^. Более того, между любыми двумя гомоклиническими точками к неподвижной точке ^(3; 1) существует хотя бы одна гомоклиническая точка к неподвижной точке Ах(0;4) и, наоборот, между любыми двумя гомоклиническими точками к неподвижной точке Ах(0;4) существует хотя бы одна гомоклиническая точка к неподвижной точке ^(3; 1); (0.7.9) отображение имеет на гипотенузе Ь,2 массивное множе-

ство точек с всюду плотными на Ь,2 траекториями, и обладает свойством полного растяжения, то есть для любого интервала I С существует номер по такой, что (I) = Л^;

(0.7.10) для каждого ^ € (0, 2] существует периодическая орбита В пе-

6Иепериодическая точка (ж*;у*) € называется гомоклинической к периодической точке (жо;уо) периода п > 1, если существует т € N такое, что (^2^)тп(ж*,у*) = (жо;уо), причем (ж*;у*) принадлежит неустойчивому многообразию 1Уи((жо;уо), (^2^)п) точки (жо;уо) [79].

14

риода два, образованная точками В1 [ - +1 + ; ^ .т^г ) и B / - +1+-//м +. (1 + /+ 1)2 J; для мультипликаторов орбиты B вы-

у - . 2

полнены равенства Л1;2(В) = 1тл/17+16-_ так, что орбита B образована источниками; при всех д > 0 других орбит периода два нет, при д = 0 существует неограниченная кривая т = {(ж; y) Е R2 : ж2у = 1}, все точки которой, за исключением двух неподвижных точек A2(1;1), A3(-1; 1), являются периодическими периода два;

(0.7.11) при всех д Е [0, 2] существует неограниченный инвариантный квадрант D-TO = {(ж; у) : ж > д + 1,y > 1} (см. рисунок 2), для любой точки которого, за исключением неподвижной точки А2(д + 1; 1), справедливы предельные равенства lim f« п(ж, у) = lim g« п(ж, у) = +то;

П^+ТО ' n^+TO '

(0.7.12) при любом д Е [0, 2] отображение задает диффеомор-

физм множества D« ,TO на ^-(D« ,TO);

(0.7.13) при каждом д Е [0, 2] существует C1 - гладкая строго возрастающая функция у = Г-1)(ж), определенная при всех x Е [д + 1, +то) так, что Г-1)([д + 1, +то)) = [1, +то); график функции у = Г-1)(х) есть - инвариантная кривая, проходящая через источник А2(д + 1; 1) и лежащая в D« 00 •

На защиту вынесены утверждения (0.7.1), (0.7.2), (0.7.6), (0.7.11), -(0.7.13) теоремы 0.7.

Рассмотрим невозмущенное отображение

Fo(x, у) = (жу,ж2). Из утверждения (0.7.2) теоремы 0.7 следует, что исследование невозмущенного отображения F0 достаточно провести для точек первого квадран-

Рисунок 2: Некоторые инвариантные подмножества первого квадранта (рисунок приведен для ^ g (0,1)).

та K1 плоскости R2.

Основные результаты исследования невозмущенного отображения F0 сформулированы в следующем утверждении (см. [77], [78]).

Теорема 0.8. Квадратичное отображение F0 в плоскости R2 обладает следующими свойствами:

(0.8.1) имеет три неподвижные точки: Ai(0;0) с мультипликаторами Л^2(A1) = 0, A2(1;1) с мультипликаторами Л1(А2) = -1, Л2(A2) = 2 и A3(-1; 1) с мультипликаторами Л1(А3) = 2, Л2(A3) = -1; кривую т = {(ж,y) : x2y = 1}, все точки которой, за исключением неподвижных точек A2(1;1) и A3(-1;1), являются периодическими с периодом два; периодических точек периода n > 2 у F0 нет;

(0.8.2) в каждом из открытых квадрантов Ki (i = 1, 2,3, 4) существуют слоения L+ = {/++}, k = 1, 2 L- = {l-}, j = 3,4 с аналитическими слоями1 l+ = {(ж;y) : y = Х2,c> 0} в Ki, K2, и l- = {(ж;y) : y = J2,c< 0} в K3, K4 так, что слоения L+ и L+ вполне инвариантны; все точки вполне инвариантного слоя l+, за исключением неподвижных точек A2(1; 1) и

7Основные понятия топологии слоений можно найти, например, в [80].

А3(—1; 1), являются периодическими периода два;

(0.8.3) через любую точку (ж; у) Е К проходит единственная прямая = {(х; у) Е К2 : у = кж,к Е К1} так, что для любого к = 0 имеют

место равенства Ро(7к) = 71, Ро(т1) = 7к; прямая 71 является Р -

к к

вполне инвариантной так, что Р0(71) = 71;

(0.8.4) для любой точки (ж; у) Е , где = {(ж;у) : |у| < ^г} имеют

место равенства lim /0 п(ж, у) = 0, lim g0 п(ж, у) = 0;

n—+TO ' n—>-+TO '

1

x

для любой точки (ж; у) Е Q2, где Q2 = {(ж;у) : |у| > Х2} такой, что

жу > 0 имеют место равенства lim /0 п(ж, у) = lim g0 n(ж, у) = +то,

n— +TO n— +TO

если (ж; у) Е Q2 и жу < 0, то справедливы предельные равенства lim /0 ,n(ж, у) = -то, lim ^(ж, у) = +то.

n— +TO n— +TO

В главе 2 исследовано неблуждающее множество ^(F-) отображения при д Е (0, 1] и установлена справедливость следующей теоремы. Теорема A. Отображение при каждом д Е (0,1] представляет собой сингулярный эндоморфизм Морса - Смейла такой, что: (A.1) при всех д Е (0,1) неблуждающее множество ^(F-) состоит из трех неподвижных точек (стока A1(0; д2), источника А2(д + 1; 1), седла А3(д — 1; 1)) и периодической орбиты В периода два, образованной источ-

никами БЛ М +1-^+1;-и В2 м ;-

(А.2) при д =1 множество состоит из двух неподвижных то-

чек (негиперболической точки А1(0; 1), источника А2(2; 1)) и периодической орбиты Б периода два, образованной источниками Б1(2^у/2; 3 ),

Б2 (2 + з+Ъ);

(А.3) при всех д Е (0,1) локальное устойчивое многообразие Ж/0С(А1) неподвижной точки А1 пересекается нетрансверсально с глобальным

неустойчивым многообразием Wи(А3) неподвижной точки А3 по сепаратрисе, идущей из седла А3 в сток А1.

Важную роль в доказательстве теоремы А играет одна из неограниченных инвариантных кривых, проходящих через источник А2(д + 1; 1), выделяемая специальными асимптотическими условиями (вытекающими из равенства (0.5)).

Теорема 3.1. Пусть - квадратичное отображение (0.1). Тогда при

всех д Е (0,1] существует С1 -гладкая строго убывающая функция

(2)

у = Г/4)(ж), определенная при всех х Е (д, так, что

Г^2)((д, +гс)) = (0, (0.5)

график функции у = Г^2) есть Е^-инвариантная кривая, проходящая через неподвижную точку - источник А2 (д + 1; 1) и лежащая в неограниченной области (К1 \ и {А2}.

Теорема 3.1 имеет нелокальный характер. Подчеркнем также, что необходимость специального рассмотрения инвариантной кривой 1 ^ связана с отсутствием даже частичной гиперболичности отображения в произвольной окрестности источника А2(д + 1; 1) (см. далее § 3).

С использованием инвариантной кривой Г^2) построено разбиение первого квадранта К1 плоскости К2 и описано асимптотическое поведение траекторий принадлежащих ему точек. При каждом д Е (0,1] в К1 определим множества:

= {(х;У) Е К1 : х Е (д, +^),У > гм2)(х)}; = {(х; у) Е К1 : 0 <х < д + 1,0 <у< г£2)(х)}. Теорема 4.1. Пусть - квадратичное отображение вида (0.1), д Е (0,1]. Тогда

(4.1.1) множества D« то и D Äi инвариантны относительно F«;

(4.1.2) для любой точки (ж; у) Е D Äi, за исключением периодической орбиты B периода два и всевозможных ее прообразов, справедливы равенства lim /-„(ж, у) = 0, lim g«п(ж, у) = д2;

n— +TO n— +TO

(4.1.3) для любой точки (ж; у) Е D то справедливы равенства

lim /-п(ж, у) = +то, lim д-Дж, у) = +то.

n— +TO n— +TO

Теорема 4.1 и утверждения (0.7.2), (0.7.3), (0.7.12) теоремы 0.7 позволяют убедиться в том, что отображение F« при всех д Е (0,1] представляет собой сингулярный эндоморфизм Морса - Смейла.

Результаты исследования отображений семейства F« при д Е (0,1] детально изложены в работах [81] - [88].

В семействе отображений F- может родиться и замкнутая инвариантная кривая. В главе 3 доказано, что при переходе параметра д через значение | в однопараметрическом семействе F« из эллиптической неподвижной точки А3(д — 1; 1) рождается замкнутая инвариантная кривая (см. теорему B) [89] - [91].

Обозначим через г(д) = д/2д — 2 и ф(д) = arctg^/8д — 9 соответственно радиус и аргумент комплексного числа Л1(А|) = 1+гл/8-—9 (см. утверждение (0.7.3) теоремы 0.7).

Теорема B. Отображение F3 обладает следующими свойствами: (B.1) r'(|) = 0;

(B.2) 3) = 1, для k = 1, 2,3,4.

При этом существует окрестность эллиптической неподвижной точки A3( 1; 1), в которой единственная замкнутая инвариантная кривая рождается из неподвижной точки A3(1; 1) при прохождении парамет-

ра д через значение 3.

Техника доказательства теоремы В основана на использовании метода нормальных форм. Метод нормальных форм рассматривался в работах А. Пуанкаре [1], Дж. Биркгофа [2], К. Л. Зигеля [6], В. И. Арнольда [4], Л. П. Шильникова [92] и других.

Бифуркация Андронова-Хопфа впервые была описана А. А. Андроновым и Е. А. Леонтович в статье [8]. В. И. Арнольд привел детальное объяснение механизма бифуркации Андронова-Хопфа (для систем класса дифференциальных уравнений) с использованием деформации в версаль-ных семействах векторных полей [93] - [95].

Рассмотрения теоремы В имеют локальный характер. Теорема В показывает, что семейство Ем доставляет новый, неизвестный ранее, пример однопараметрического семейства отображений плоскости, допускающего бифуркацию рождения замкнутой инвариантной кривой из эллиптической неподвижной точки.

В Приложении к данной работе приведены результаты численного эксперимента по нелокальному изучению деформаций инвариантной кривой, родившейся при д = | из эллиптической неподвижной точки А3(д — 1; 1) при изменении параметра д на интервале (|, 2). При этом обнаружен и описан новый сценарий разрушения замкнутой инвариантной кривой [91] (ср., например, с [15]). Сравнение результатов, полученных при численном моделировании эволюции замкнутой инвариантной кривой в семействе Ем, с результатами работ [41] - [42] показывает, что сценарий разрушения замкнутой инвариатной кривой, описанный в приложении, имеет общие черты со сценарием, описанным в [42], [43], такие, как потеря гладкости инвариантной кривой, появление точек ветвления. Отличие от работ [42], [43] заключается в том, что в данном сценарии разрушения ин-

20

вариантной кривой появляется одномерный континуум, содержащий замкнутые дуги-петли.

В главе 4 доказано существование Е2 - вполне инвариантного множества С, представимого в виде объединения континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых и обладающего свойствами сформулированными выше. В главе 4 описано и некоторое подмножество, состоящее из блуждающих точек отображения Е2. Результаты главы 4 детально изложены в работах [96] - [101].

Для формулировки основного результата главы 4 нам потребуются следующие множества:

Сд2 = {(х;у) Е К1 : х + у > 4} , Сд2 = {(х; у) Е К1 : х + у> 4},

С = СД2 П ^ Е—¿(Д^)),

2

¿=0

где Е2 ¿(Я2,то) - ¿-ый полный прообраз множества и множество

С = Сд2 \ С.

Теорема С. [100] Непустое множество (С открыто и всюду плотно в Са2 и состоит из блуждающих точек отображения Е2. Множество С представляет собой объединение континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых таких, что любые две кривые множества С либо не пересекаются в Сд2, либо пересекаются в единственной точке, лежащей на гипотенузе треугольника Д2. В любой трубчатой окрестности произвольной кривой из С в Сд2 существует континуум

кривых из С, причем С является нигде не плотным множеством в

Сд2.

В главе 4 доказано также существование множества, гомеоморфного канторову дисконтинууму на гипотенузе инвариантного треугольника Д2. В этом множестве всюду плотны седловые периодические точки отображения Р2, являющиеся источниками относительно Р1^2. Существование данного множества приводит к неизвестному ранее эффекту: во множестве С П СД всюду плотно множество кривых, траектории точек которых притягиваются к указанному множеству, гомеоморфному канторову дисконтинууму, и всюду плотно множество кривых, траектории точек которых покоординатно уходят в

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бельмесова, Светлана Сергеевна, 2016 год

Литература

[1] Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями . - М. - Л.: ОГИЗ, 1947.

[2] Биркгоф Дж. Д. Динамические системы . - М. - Л.: Гостехиздат, 1941.

[3] Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движений для малых возмущений функции Гамильтона // ДАН СССР (N. S.) -1954. - Т. 98. - С. 527 - 530.

[4] Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической механике // УМН. - 1963. - 18:6 (114). - С. 81 -192.

[5] Moser J. On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus // Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Phys. K1. - 1962. - 11a, №1. -P. 1 - 20.

[6] Мозер Ю. КАМ-терия и проблемы устойчивости . - И.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2001.

[7] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981.

[8] Андронов А. А., Леонтович Е. А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра// Ученые записки ГГУ. - 1937. - Вып. 6.

[9] Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. - М.: Наука, 1966.

[10] Андронов А. А. Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1967.

[11] Баутин Н. Н. Об одном дифференциальном уравнении, имеющем предельный цикл // ЖТФ. - 1939. - Т.9., Вып. 7.

[12] Баутин Н. Н. О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр // Матем. сб. - 1952. - Т.30(72), Вып. 1.

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24

25

26

27

Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1972.

Отроков Н. Ф. О числе предельных циклов дифференциального уравнения // Матем. сб. - 1954. - Т.34 (76), №1. - С. 127 - 144.

Афраймович В. С., Шильников Л. П. Принцип кольца и задача взаимодействия двух автоколебательных систем // ПММ. - 1977. -Т. 42, №4. - С. 618 - 627.

Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Физматгиз, 1963.

Аносов Д. В. О вкладе Н. Н. Боголюбова в теорию динамических систем // УМН. - 1994. - Т. 49, №5 (299). - С. 5 - 20.

Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений - М.: Наука, 1977.

Fatou P. Sur les solutions uniforme de certains equations fonctionnelles// C.R. Acad. Sci. Paris. - 1906. - V. 143. - P. 546 - 548.

Fatou P. Sur les equations fonctionnelles // Bull. Soc. Math. France. -1919. -V. 47. - P. 161 - 217.

Fatou P. Sur l'iteration analitique et les substitutions permutables // J. Math. Pure Appl. - 1924. - V. 3. - P. 1 - 49.

Julia G. Memoire sur l'iteration des fonctions rationnelles// J. Math. Pure Appl. - 1918. - V. 8. - P. 47 - 245.

Julia G. Memoire sur la permutabilité des fractions rationnelles// Ann. scient. Éc. Norm. Sup.(3) - 1922. - V. 39. - P. 131 - 215.

Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций. - М. -Л.: ОНТИ, 1936.

Brolin H. Invariant sets under iteration of rational function// Arkiv of Math. - 1968. - 6. - P. 103 - 144.

Якобсон М. В. Структура полиномиальных отображений на особом множестве // Матем. сб. - 1968. - Т. 77, №1. - С. 105 - 124.

Якобсон М. В. К вопросу о классификации полиномиальных эндоморфизмов плоскости// Матем. сб. - 1969. - Т.80, №3. - С. 365 - 387.

Якобсон М. В. К вопросу о топологической классификации рациональных отображений римановой сферы // УМН. - 1973. - Т.28, Вып. 72. -С. 247 - 248.

[29] Любич М. Ю. О типичном поведении траекторий рационального отображения сферы// ДАН СССР. - 1982. - Т.268, №1. - С. 29 - 32.

[30] Любич М. Ю. Некоторые свойства неустойчивых рациональных отображений сферы // Методы качеств. теории дифф. ур. - 1983. -С. 70 - 86.

[31] Любич М. Ю. Динамика рационального преобразования: топологическая картина// УМН. - 1986. - Т.41. - Вып.4(250). - С. 35 - 95.

[32] Lyubich M. Dynamics of quadratic polynomials, I-II / M. Lyubich // Acta Mathematica. - 1997. - V.178. - P. 185 - 297.

[33] Henon M. Numerical study of quadratic area preserving mapping // J. Appl. Math. - 1969. - V.27. - P. 291 - 312.

[34] Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Comm. Math. Phys. - 1976. - V.50. - P. 69 - 77.

[35] Friedland S. Dynamical properties of plane polynomial automorphisms // Ergod. Th. and Dynam. Sys. - 1989. - V.9. - P. 67 - 99.

[36] Гонченко С. В., Гонченко В. С. О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомо-клиническими касаниями // Динам. сист. и смежные вопросы геометрии. Сборник статей. Посвящается памяти академика А. А. Болибру-ха. М., Наука. Труды МИАН. - 2004. - Т.244 - С. 87 - 144.

[37] Gonchenko S., Li M.-C., Malkin M. Generalized Henon maps and Smale horseshoes of new types // Int. J. of Bifurcation and Chaos. - 2008. -V.18, №10. - P. 3029 - 3052.

[38] Swirszcz G. On a certain map of a triangle // Fund. Math. - 1998. -V.155. - P. 45 - 57.

[39] Balibrea F., Guirao J. G., Lampart M., Llibre J. Dynamics of a Lotka-Volterra map// Fund. Math. - 2006. - V.191. - P. 265 - 279.

[40] Malicky, P. Interior periodic points of Lotka-Volterra map // J. of Differ. Equations and Appl. - 2012. - V.18, № 4. - P. 553 - 567.

[41] Lorenz E. N. Computational chaos - a prelude to computational instability // Physica D. - 1989. - V.35. - P.299 - 317.

[42] Frouzakis C. E., Gardini L., Kevrekidis I. G., Millerioux G., C. Mira On some properties of invariant sets of two-dimentional noninvertible maps // Int. J. of Bifurcation and Chaos. - 1997. - V. 7, № 6. - P. 1167 - 1194.

[43] Frouzakis C. E., Kevrekidis I. G., Peckham B. B. Aroute computational chaos revisited: noninvertibility and the breakup of an invariant circle // Physica D. - 2003. - V. 177. - P. 101 - 121.

[44] Mira C. Chaotic dynamics from the one-dimensional endomophism to the two-dimensional diffeomorphism. - Singapore: World Scientific, 1987.

[45] Mira C., Gardini L., Barugola A., Cathala J.-C.Chaotic dynamics in two-dimensional noninvertible maps // World Sci. Ser. on Nonlin. Science. Ser. A. - 1996. - V.20. - 622 p.

[46] Gardini L., Fournier-Prunaret D., Mira C. Some contact bifurcations in two-dimensional examples // Grazer Math. Ber. - 1997. - V.334. - P. 77 -96.

[47] Fournier-Prunaret D., Lopez-Ruiz R. Basin bifurcations in two-dimensional logistic map// Grazer Math. Ber. - 2004. - V.346. - P. 123 -136.

[48] Fournier-Prunaret D., Lopez-Ruiz R. Complex behavior in a discrete coupled logistic model for the symbolic interaction of two species // Math. Biosci. Eng. - 2004. - №1. - P. 307 - 324.

[49] Fournier-Prunaret D. DDynamical behaviour in DPCM system with an order 2 predictor. Case of a constant input// Circuits, System and Signal Processing, special issue on "Applications of Chaos in Communications. -2005.- Vol. 24(5). - P. 615 - 638.

[50] Векилов, Ю. Х., Черников М. А. Квазикристаллы // УФН. - 2010. -Т. 180. - С. 561 - 586.

[51] Bellisard J. Spectral properties of Schrodinger's operator with a Thue-Morse potential // Number Theory and Phisics (Les Houches, 1989), Springer Proc. Phys, Springer, Berlin. - 1990. - № 47. - P. 140 - 150.

[52] Bellisard J., Bovier A., Ghez J.-M. Gap labelling theorems for one-dimensional discrete Schrodinger operators // Rev. Math. Phys. - 1992. -№ 4. - P. 1 - 37.

[53] Baake M., Grimm U., Joseph D. Trace maps, invariants, and some of their applications // Int. J. Modern Phys. - 1993. - B 7. - P. 1527 - 1550.

[54] Baake M., Roberts J. The dynamics of trace maps in hamiltonian mechanics (Torun, 1993) // NATO Adv. Sci. Inst. Ser. B Phys., Plenum, N.Y. - 1994. - V.331. - P. 275 - 285.

[55] Damanik D., Gorodetski A. Hyperbolicity of the trace map for the weakly coupled Fibonacci hamiltonian // Nonlinearity. - 2009. - V.22 - P. 123 -143.

[56] Damanik D., Gorodetski A. The spectrum of the weakly coupled Fibbonacci hamiltonian// Elect. Research Announcements. in Math. Sci. - 2009. -V.16. - P. 23 - 29.

[57] Avishai Y., Berend D. Transmission through a one-dimensional Fibonacci sequence of 6-function potentials// Physical Review B.- 1990. - V.41(9). -P. 5492 - 5499.

[58] Avishai Y., Berend D. Transmission through a Fibonacci chain// Physical Review B. - 1991. - V.43(9). - P. 6873 - 6879.

[59] Avishai Y., Berend D. Transmission through a Thue-Morse chain// Phys. Rev. B. - 1992. - V. 45. - P. 2717 - 2724.

[60] Avishai Y., Berend D., Tkachenko V. Trace maps// Int. J. of Modern Physics B. - 1997. - V. 11(30). - P. 3525 - 3542.

[61] Problem list "Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. Tagungsbericht 20/1993,"In: Low Dimensional Dynamics, 25.04.1.05.1993. - Р. 17.

[62] Thurston W. P. Three dimensional geometry and topology. - Princeton: Princeton University Press, V. 1 (Princeton Math. Ser.; V. 35). - 1997.

[63] Жужома Е. В. Качественная структура динамических систем и слоений, определяемая нелокальным асимптотическим поведением инвариантных многообразий на универсальных накрывающих: дисс.... доктора физ.-мат. наук: 01.01.02. - Н. Новгород, 2001 г.

[64] Anosov D. V., Zhuzhoma E. V. Nonlocal asymptotic behavior of curves and leaves of laminations on universal coverings // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2005. - V. 249. - P. 1 - 221.

[65] Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем . - М.: Факториал, 1999.

[66] Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. - М.: Мир, 1975.

[67] Brin M., Pesin Ya. On Morse-Smale endomorphisms // American Math. Soc. Transl. - 1996. - V. 171, № 2. - P. 35 - 45.

[68] Azimov D.Round handles and non-singular Morse-Smale flows// Annals of Mathematics - 1975. - V. 102. - P. 41 - 54.

[69] Afraimovich V., Pesin Ya. Travelling waves in lattice models of multi-dimensional and multi-component media: I. General hyperbolic properties// Nonlinearity. - 1993. - V. 6. - P. 429 - 455.

[70] Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. - Киев: Наукова Думка, 1986.

[71] Бельмесова С. С. О неограниченных траекториях одного квадратичного отображения плоскости // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 10-15 июля 2006. - С. 40 - 41.

[72] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. Об однопараметрическом семействе квадратичных отображений плоскости// Труды 50-ой науч. конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII Управление и прикладная математика. Т.1. Москва - Долгопрудный, Россия, 23 - 27 ноября, 2007. - С. 8 - 11.

[73] Бельмесова C. C. Исследование динамики одного однопараметриче-ского семейства квадратичных отображений плоскости// Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, Россия, 16 -19 декабря, 2007. - С. 31 - 34.

[74] Бельмесова С. С. Предельное поведение траекторий некоторых полиномиальных отображений плоскости// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 27 июня-2 июля, 2008. - С. 39-41.

[75] Бельмесова С. С. Асимптотические свойства траекторий одного семейства квадратичных отображений плоскости // Труды 51-ой науч. конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Ч. VII Управление и прикладная математика. Т. 1. Москва - Долгопрудный, Россия, 23 - 26 ноября, 2008. - С. 100 - 101.

[76] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. О неограниченных траекториях одного квадратичного отображения плоскости //Совр. матем. и ее приложения. Тбилиси: АН Грузии, инст-т кибернетики. - 2008. - Т.53. -С. 48 - 57. Англ. пер.: Bel'mesova S.S., Efremova L. S. On unbounded trajectories of a certain quadratic mapping of the plane// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2009. - V. 157, № 3. - P. 433 - 441.

[77] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. Об асимптотическом поведении траекторий некоторых квадратичных отображений плоскости// Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященная 110 - ой годовщине со дня рождения И. Г. Петровского. Сборник тезисов. Москва, 30 мая - 4 июня, 2011. - C. 151 - 152.

[78] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. Об инвариантных множествах некоторых квадратичных отображений плоскости// Вестник ННГУ. Серия Математика. - 2012. - № 2(1). - С. 152 - 158.

[79] Block L. Homoclinic points of mapping of the interval// Proc. Am. Math. Soc. - 1978. - V.72, № 3. - P. 576 - 580.

[80] Тамура И. Топология слоений. - М.: Мир, 1979.

[81] Belmesova S. S. On the unbounded invariant curves of some polynomial maps// Annales Universitatis Paedagogic Cracoviensis, Studia Mathematica VII(2009). Report of meeting 13ICFEI, Male Ciche, Poland, September 13-19, 2009. - P. 120.

[82] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. О динамике квадратичных отображений плоскости некоторого однопараметрического семейства, близких к невозмущенному // Труды 52-ой науч. конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Ч. VII Управление и прикладная математика. Т.1. Москва - Долгопрудный, Россия, 27 - 30 ноября, 2009. - С. 165 - 167.

[83] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. О неограниченной инвариантной кривой и асимптотическом поведении траекторий квадратичных отображений некоторого однопараметрического семейства// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2-7 июля, 2010. -С. 44 - 45.

[84] Belmesova S. S. On the unbounded invariant curves of some quadratic mappings in the plane// European Conf. on Iteration Theory. Abstracts. Nant, France. September 12-17, 2010. P. 9.

[85] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. О квадратичных отображениях некоторого однопараметрического семейства, близких к невозмущенному// Труды МФТИ. - 2010. - Т.2, №2 - С. 46 - 57.

[86] Belmesova S. S. Continuous branches of preimages of critical lines and asymptotic behavior of some quadratic mappings in the plane // Sixth Intern. Conf. on Dynamic Systems and Applications. Morehouse College, Atlanta, Georgia, USA. May 25 - 28, 2011. P. 62.

[87] Бельмесова С. С. Эндоморфизмы Морса-Смейла, содержащиеся в од-нопараметрическом семействе квадратичных отображений плоскости // Труды 55-ой науч. конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Управление и прикладная математика. Т. 1. Москва - Долгопрудный - Жуковский, Россия, 19-25 ноября, 2012. - C. 18-19.

[88] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. Об однопараметрическом семействе квадратичных отображений плоскости, содержащем эндоморфизмы Морса-Смейла // Известия вузов. Математика. - 2013. -№ 8. - С. 80 - 85. Англ. перевод: Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). - 2013. - 57:8. - P. 70 - 74.

[89] Belmesova S. S., Efremova L. S., Fournier-Prunaret D. Invariant curves of quadratic maps of the plane from the one-parameter family containing the trace map// Intern. conf. of diff. equation and dynam. system. Abstract. Suzdal, June 29 - Jule 4, 2012. P. 190 - 191.

[90] Belmesova S. S., Efremova L. S., Fournier-Prunaret D. On the birth and destruction of the closed invariant curve in the one-parameter family of quadratic maps in the plane// Intern. conf."Analysis and

singularities"dedicated to the 75th anniversary of V. I. Arnold. Abstracts. Steklov Mathem. Institute of the RAS, Moscow, Russia. December 17-21, 2012. P. 116 - 117.

[91] Bel'mesova S. S., Efremova L. S., Fournier-Prunaret D. Invariant curves of quadratic maps of the plane from the one-parameter family containing the trace map// ESAIM: Proceedings and surveys. - 2014. - V. 46, P. 98 - 110.

[92] Шильников Л. П., А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1 . - М.-И.: Институт компьютерных исследований, 2004.

[93] Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений - М.: Наука, 1978.

[94] Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений - И.: Ижев. республ. типография, 2000.

[95] Арнольд В. И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонанса и версальные деформации эквивариантных векторных полей// Функциональный анализ и его приложения. - 1977. - Т.11., Вып. 2. -C. 1 - 10.

[96] Belmesova S. S., Efremova L. S. On the concept of the integrability for discrete dynamics systems: criterion, applications to the mathematical problems of quasicrystal physics// Proceedings of NOMA'13. Workshop. Zaragoza, Spain. September 3-4, 2013. P. 13 - 14.

[97] Bel'mesova S. S. Sharkovskii problems for the invariant triangle of one trace map// Inter. conf. on diff. equat. and dynam. syst. Abstracts. Suzdal, July 04 - 09, 2014. P. 193.

[98] Bel'mesova S. S. On Dynamics of the Trace Map//The Seventh Intern. Conf. on Differential and Functional Differential Equations. Abstracts. Moscow, August 22 - 29, 2014. P. 15 - 16.

[99] Bel'mesova S. Sharkovsky problems of one trace map//20th European Conference on Iteration Theory. Abstracts. Lagow, Poland, September 14 - 20, 2014. P. 6 - 7.

[100] Bel'mesova S. S., Efremova L. S. On the Concept of Integrability for Discrete Dynamical Systems. Investigation of Wandering Points of Some Trace Map// Nonlinear maps and their applications. - 2015. - V. 112. -P. 127 - 158.

[101] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. Об обобщении понятия интегрируемости и его применении в изучении одного отображения сле-да//Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии. Тезисы докладов. Казань, 26 июня - 2 июля 2016. P. 111.

[102] Li M.-C., Malkin M. Bounded nonwandering sets for polynomial mappings //J. Dynam. Control Syst. - 2004. - Vol.10, № 3. - P. 377 - 389.

[103] Брин М. И., Песин Я. Б. Частично гиперболические динамические системы // Изв. АН СССР. Сер. Математика - 1974. - Т. 38, вып. 1. -С. 170 - 212.

[104] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ . - М.: Мир, 1989.

[105] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и фун-ционального анализа. - М.: Наука, 1976.

[106] Куратовский К. Топология : учебник: [в 2 т.]. Т. 1 . - М.: Мир, 1966.

[107] Куратовский К. Топология : учебник: [в 2 т.]. Т. 2. - М.: Мир, 1969.

[108] Grigorchuk R. I., Zuk A. The Lamplighter group as a group generated by a 2-state automation, and its spectrum // Geometriae Dedicata. - 2001. -V.87. - P. 209 - 244.

[109] Еругин Н. П. Неявные функции . - Л.: Изд-во Ленингр. универ-та, 1956.

[110] Ефремова Л. С. Дифференциальные свойства и притягивающие множества простейшего косого произведения отображений интервала // Матем. сб. - 2010. - 201:6. - С. 93 - 130.

[111] Сухинин М. Ф. Избранные главы нелинейного анализа. - М.: РУДН, 1992.

[112] Kuznetsov Yuri A. Elements of applied bifurcation theory, Second Edition. Applied Math. Sci . - N.Y.: Springer, 1998.

[113] Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения . - М.: Наука, 1982.

[114] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ : учебник: [в 2 ч.]. Ч. II. - М.: Наука, 1976.

[115] Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.: Мир, 1980.

[116] Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1. - М.: ФАЗИС, 1997.

[117] Зорич В. А. Математический анализ, Т. 2. - М.: Наука, 1984.

[118] Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974.