Инвариантные относительно движения меры на гильбертовом пространстве и их приложения к дифференциальным уравнениям для функций бесконечномерного аргумента тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Бусовиков Владимир Михайлович

• Бусовиков Владимир Михайлович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Бусовиков Владимир Михайлович

2.4 Прямой предел мер А

2.5 Симлпектическая структура и инвариантность относительно гамильтоновых преобразований

3 Тензорное произведение мер и частичное преобразование Фурье квадратично интегрируемых функций

3.1 Тензорное произведения полных конечно-аддитивных мер

3.2 Пространство квадратично-интегрируемых функций

3.3 Частичное преобразование Фурье

4 Полугруппы операторов и их генераторы. Пространства гладких функций и пространства Соболева

4.1 Производная и оператор сдвига

4.2 Полугруппа (t) сдвига на случайный гауссовский вектор

4.3 Пространства Соболева и гладких функций, теоремы вложения

4.4 Следы функций из пространства Соболева

4.5 Генератор полугруппы Ып (¿) и оператор Лапласа

4.6 Аналог формулы Гаусса для бруса

4.7 Задача Дирихле для уравнения Пуассона

5 Усреднения в импульсном представлении

5.1 Сдвиг в импульсном представлении

5.2 Усреднение сдвига в импульсном представлении

5.3 Генераторы полугрупп

5.4 Усреднение сдвигов на вектора из Ь\(£)

5.5 Общая существенная область определения генераторов полугрупп сглаживаний

6 Аппроксимация эволюции бесконечномерного квантового осциллятора

6.1 Случайные полугруппы

6.2 Аппроксимация эволюции конечномерного квантового осциллятора при помощи случайных блужданий

6.3 Формула Тейлора для гладких функций

6.4 Аппроксимация эволюции бесконечномерного квантового осциллятора

при помощи случайных блужданий

7 Заключение

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные относительно движения меры на гильбертовом пространстве и их приложения к дифференциальным уравнениям для функций бесконечномерного аргумента»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Изучение мер на топологических группах, инвариантных относительно действия группы, является актуальной задачей общей теории меры и нужна для построения гармонического анализа на группах. Также такие меры имеют разнообразные приложения в теории дифференциальных уравнений и динамических систем в статистической механике и квантовой механике. Теория инвариантных мер на локально компактных топологических группах (мер Хаара) представляет собой развитую ветвь функционального анализа и имеет богатую историю [29, 63, 31, 30, 77, 32], в то время как теория инвариантных мер на топологических группах, не являющихся локально компактными, развита в значительно меньшей мере. При этом востребованность построения такой теории обусловлена задачами статистической механики бесконечномерных гамильтоновых систем и квантовой теории поля.

Одним из основных источников сложностей, связанных с построением инвариантных мер на топологических группах, не являющихся локально компактными, является утверждение теоремы А. Вейля. Согласно этой теореме, если топологическая группа О не является локально компактной, то не существует нетривиальной счетно-аддитивной а-конечной локально конечной борелевской (т.е. содержащей в области определения а-алгебру борелевских подмножеств) левоинвариантной меры на группе О. Следовательно, не существует нетривиальной счетно-аддитивной а-конечной локально конечной борелевской трансляционно инвариантной (т.е. инвариантной

относительно сдвига на любой вектор) меры на бесконечномерном нормированном линейном пространстве.

По этой причине в статье [7] утверждается, что не существует такой функции множества в бесконечномерном пространстве, которая бы естественным образом определяла понятие объема в этом пространстве. Мы анализируем различные подходы к расширению понятия объема для бесконечномерного пространства и изучаем инвариантность относительно действия групп конечно-аддитивных мер на гильбертовом пространстве.

Интерес к конечно-аддитивным мерам на бесконечномерных пространствах связан с задачами статистической механики классических гамильтоновых систем с бесконечномерным фазовым пространством [82, 60], с задачами квантования таких гамильтоновых систем и вторичного квантования [69, 7, 93], в частности, с проблемами неоднозначности квантования, с изучением свойств динамики бесконечномерных систем классической механики и задачами квантовой теории поля. Случай бесконечномерных классических систем отличается от конечномерного тем, что для гамильтоновых систем с гладкой функцией Гамильтона и конечномерным плоским фазовым пространством со стандартной симплектической формой существует единая для всех мера Лебега на фазовом пространстве, которая в силу теоремы Лиувилля инвариантна относительно фазовых потоков. Для классических систем с бесконечномерным пространством такой единой меры, инвариантной для широкого класса гамильтоновых систем, не существует. Для каждой бесконечномерной гамильтоновой системы строится своя инвариантная мера [16] (мера Гиббса). Причем меры Гиббса даже для двух квадратичных гамильтоновых систем могут оказаться взаимно сингулярными. В частности, теорема А. Вейля утверждает отсутствие общей инвариантной меры для всех линейных непрерывных по фазовым переменным гамильтоновых систем. Исследования инвариантных относительно сдвигов мер на бесконечномерных пространствах, проводимые в диссертационной работе, востребованы в построении интегральных инвариантов бесконечномерных гамильтоновых систем, рассматриваемых в работах [85,51,82].

Созданные в диссертации конструкции позволяют на плоском бесконечномерном

фазовом пространстве со стандартной симплектической формой создавать неотрицательные конечно-аддитивные меры, инвариантные относительно гамильтоновых потоков широкого класса гамильтоновых систем. В частности, все построенные меры инвариантны относительно фазовых потоков, порожденных всеми линейными непрерывными гамильтонианами, а также всеми плотно определенными квадратичными гамильтонианами. Инвариантность относительно такой группы симплектоморфизмов важна для квантования по Дираку бесконечномерных гамильтоновых систем, поскольку в силу теоремы ван Хова ([96], с.125) квантование по Дираку именно такой алгебры функций Гамильтона может служить ее представлением в пространстве функций на конфигурационном пространстве, квадратично интегрируемых по инвариантной относительно группы симплектоморфизмов мере.

Таким образом, изучение инвариантных мер на топологических группах, не являющихся локально компактными (в частности, на бесконечномерных нормированных линейных пространствах), требует либо рассмотрения инвариантности относительно некоторой подгруппы топологической группы (см. [75]), либо отказа от одного или нескольких свойств меры, перечисленных в теореме Вейля. В связи с этим при изучении трансляционно инвариантных мер на бесконечномерных банаховых пространствах под мерой понимают аддитивную функцию множества, заданную на некотором кольце подмножеств пространства, но не обладающую одним или несколькими свойствами, упомянутыми в формулировке теоремы А. Вейля (см. [8, 26, 90, 79, 88]). Известны различные реализации этой идеи.

а) Р. Бейкер, А.П. Киртадзе, Д.В.Завадский и др. В работах [8, 26, 79] исследованы трансляционно инвариантные меры на бесконечномерных топологических векторных (в частности, банаховых) пространствах числовых последовательностей, являющиеся счетно аддитивными и борелевскими, но не являющиеся а-конечными и локально конечными.

б) О.Г. Смолянов, Н.Н. Шамаров, М.Г. Шелаков. В работе [93] изучались обобщенные трансляционно инвариантные меры как трансляционно инвариантные функционалы на пространстве пробных функций типа пространства Шварца. Такие функционалы обладают и ротационной инвариантностью, но остался открытым вопрос

о существовании меры как аддитивной функции на кольце подмножеств, связанной с введенными функционалами.

в) В.Ж. Сакбаев. В работах [90, 88] изучаются трансляционно инвариантные а-конечные и локально конечные меры на сепарабельном банаховом пространстве, не являющиеся борелевскими и счетно аддитивными. Трансляционно инвариантные меры на гильбертовом пространстве, рассмотренные в работах [90, 88], строятся как аддитивные функции множества на некотором кольце подмножеств гильбертова пространства, зависящем от выбора ортонормированного базиса (ОНБ) в этом пространстве. При этом они не являются ротационно инвариантными. В работе [49] описана конечно-аддитивная мера на бесконечномерном вещественном гильбертовом пространстве, инвариантная относительно сдвига на любой вектор и относительно любого ортогонального преобразования (т.е. ротационно инвариантная), являющаяся локально конечной и а-конечной, но не являющаяся счетно-аддитивной и борелевской (т.е. не все борелевские множества входят в кольцо, на котором определена мера).

В диссертации развивается анализ, основанный на построении конечно-аддитивных инвариантных относительно групп преобразований мер, предложенных в работах В.Ж. Сакбаева. Строится такой новый класс мер, что каждая мера из этого класса инвариантная относительно гамильтоновых преобразований, порождаемых широким классом гамильтонианов на бесконечномерном фазовом пространстве.

Случайные блуждания — полезный математический инструмент, который нашел успешное применение в физике, дифференциальных уравнениях, информатике, биологии и других областях. Квантовые случайные блуждания строятся с использованием композиций некоммутирующих случайных операторов. Квантовые случайные блуждания были представлены в основополагающей работе [2] с приложениями в квантовой оптике. С тех пор были получены различные математические результаты. В [43] уравнением Ланжевена описываются две явно решаемые модели квантовых случайных процессов: для «свободной» квантовой броуновской частицы и для квантового броуновского гармонического осциллятора. Статья [5] посвящена описанию модели квантового шума, порождаемой последовательностью повторяющихся квантовых взаимодействий с цепочкой внешних систем. Анализ этой модели сводится

к анализу композиций взаимно независимых случайных унитарных операторов. Сходимость последовательностей случайных блужданий в этой и подобных моделях изучались в [9, 48]. Случайные блуждания применяются для анализа локализации Андерсона [3, 21].

Квантовое уравнение Ланжевена с квантовым пуассоновским случайным процессом, полученное в пределе низкой плотности [1, 45], тесно связано со декогеренцией при столкновении [25]. В [6] модели открытых квантовых случайных блужданий по графам изучались как цепи Маркова операторов, соответствующие различным открытым квантовым системам. Эта модель квантового случайного блуждания по графам изучалась в [22], где было показано, что статистика положения узла не термализуется в стандартном смысле. В частности, было показано, что квантовые блуждания по графам фуллеренов представляют собой контрпример к гипотезе о том, что подсистемы уравновешиваются состоянию Гиббса [36, 37]. Поведение квантовомеханического распределения вероятностей положения, наблюдаемого в конечномерном пространстве, при большом времени, когда последовательность унитарных обновлений задается независимой одинаково распределенной (и^.) последовательностью случайных матриц, изучалось в работах [33, 35, 34]. Зависимость свойств квантовых случайных блужданий от свойств координатного пространства изучалась в работе [61]. Анализ и сравнение квантовых и классических дискретных и непрерывных случайных блужданий проводились в [58, 62].

Показано, что квантовый мультипольный шум в неопределенных метрических псевдогильбертовых пространствах появляется в поправках к квантовому броуновскому движению [46]. В [38], непрерывные случайные блуждания во времени были применены к моделированию непрерывных квантовых измерений, что дало новое дробное по времени уравнение квантовой фильтрации эволюции и, таким образом, новое дробное уравнение для открытых квантовых систем. Неоднозначность процедуры квантования рассматривалась как источник случайности квантового гамильтониана в [27]. Квантовые случайные блуждания как композиции независимо распределенных случайных квантовых динамических полугрупп изучались в [28].

В работе [93] предлагался альтернативный подход к работе с мерой. А именно,

обобщенной мерой предлагалось называть произвольный непрерывный линейный функционал на выбранном множестве пробных функций. Используя такой подход удалось построить пространства интегрируемых и квадратично интегрируемых функций, инвариантных отностильно ортогональных преобразований (но не сдвигов), на котором корректно определено полное преобразование Фурье. Данный подход далее развивался в [52], в которой вводится трансляционно инвариантная мера, позволяющая изучать самосопряженные операторы умножения на функцию и дифференцирования в пространстве функций бесконечномерного аргумента.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация содержит новые результаты о построении мер на бесконечномерных пространствах, инвариантных относительно групп. Эти результаты развивают теорию инвариантных конечно-аддитивных мер на группах, не являющихся локально компактными.

Помимо указанной теоретической значимости инвариантных мер на бесконечномерных пространствах важна их роль в практических приложениях - изучении дифференциальных уравнений для функций бесконечномерного аргумента, получении унитарных представлений групп нелинейных преобразований бесконечномерных пространств, развитии теории функций бесконечномерного аргумента.

Введенная в диссертации трансляционная конечно-аддитивная мера позволила построить такие пространства квадратично интегрируемых по этой мере функций, в которых оператор Лапласа-Вольтерра, полученный при помощи усреднения гауссовских случайных блужданий, является самосопряженным оператором. Отметим важность установленного свойства, Уравнение диффузии в бесконечномерном пространстве изучались в ряде работ разнообразными методами [14, 15, 47], но в большинстве этих работ свойство самосопряженности оператора Лапласа не используется. Однако в построенных в работе пространствах самосопряженность оператора Лапласа возникает естественным образом. Отметим также работу [52], в которой также доказывается самосопряженность оператора умножения на функцию и дифференцирования в пространстве функций бесконечномерного аргумента при помощи трансляционно

инвариантности меры.

Объекты и цели исследования

В диссертации исследовано пространство квадратично интегрируемых по трансляционно инвариантной мере комплекснозначных функций, которое является инвариантным относительно группы сдвигов.

Конечно-аддитивные меры, несмотря на некоторые свои особенности, являются эффективным аппаратом при исследовании задач оптимального управления [95] и теории квантовых структур [17], возникающих при исследовании множества сингулярных квантовых состояний [87, 4, 67] и при построении теории квантовых измерений наблюдаемых с непрерывным спектром [54].

Конечно-аддитивные меры такие, как мера Фейнмана, применяются для получения представлений решений начально-краевых задач для эволюционных дифференциальных уравнений посредством континуальных интегралов [92]. При изучении случайных блужданий и диффузии в гильбертовом пространстве естественно использовать трансляционно и ротационно инвариантные меры поскольку эти свойства меры отражают однородность и изотропность пространства, в котором происходит случайное блуждание.

Введение трансляционно инвариантных конечно-аддитивных мер на гильбертовом пространстве позволило связать с гауссовским случайным вектором самосопряженный оператор в пространстве квадратично интегрируемых по трансляционно инвариантной мере функций (см. [80]), являющийся бесконечномерным аналогом оператора Лапласа.

Несмотря на такие особенности конечно-аддитивных мер, как отсутствие теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и теоремы Фубини, в пространстве функций, квадратично интегрируемых по конечно-аддитивной мере, в диссертационной работе определены аналоги пространств Соболева и пространств гладких функций, для которых были получены теоремы вложения [73], теоремы о следах [19], сформулированы краевые задачи в бесконечномерных областях и предложены вариационные методы их решения [18].

Трансляционно инвариантные меры и построенные с их помощью функциональные пространства использовались для постановки и решения (в том числе, вариационными методами) задачи Дирихле для уравнения Пуассона в бесконечномерном кубе.

Рассматривается унитарное представление в гильбертовом пространстве функций, квадратично интегрируемых по мере, инвариантной относительно группы преобразований пространства аргументов функций. Изучаются свойства непрерывности в сильной операторной топологии унитарного представления.

История вопроса и новизна результатов

Вопросы существования мер на конечномерном евклидовом пространстве, инвариантных относительно групп преобразований, стали интенсивно изучаться с развитием функционального анализа в работах Лебега, Банаха, Тарского и Хаусдорфа.

В 1923 году С. Банах доказал существование конечно-аддитивной меры, которая определена на а-кольце всех ограниченных подмножеств евклидовых пространств М^, < = 1, 2, так что эта мера инвариантна относительно любой изометрии ([42], стр. 81). Как показывает анализ свойств меры Лебега (существование неизмеримых по Лебегу подмножеств отрезка), счетно-аддитивной меры с такими же свойствами не существует. Следовательно, конечно-аддитивные меры на конечномерном пространстве могут допускать инвариантность относительно более широкой группы, чем счетно-аддитивные меры.

Рузевич поставил вопрос о существовании конечно-аддитивной меры на конечномерном евклидовом пространстве, инвариантной относительно изометрий, и отличной от кратной мере Лебега.

В 1923 году Банах дал утвердительный ответ на этот вопрос для М1 и М2. Для

с помощью п > 3, отрицательный ответ на вопрос Рузевича был дан в [41, 56] - в екклидовом пространстве размерности п > 3 всякая конечно-аддитивная мера, нормированная на единицу на единичном кубе и инвариантная относительно движений, совпадает с мерой Лебега.

Исследования, проводимые в диссертации, развивают проблему Рузевича на случай бесконечномерных евклидовых пространств и дают положительный ответ на вопрос о существовании конечно-аддитивной меры на сепарабельном гильбертовом пространстве, нормированной на единицу на единичном кубе и инвариантной относительно сдвигов и симплектических ортогональных преобразований в ситуации, в которой не существует меры Лебега.

Изучение инвариантных мер в фазовом пространстве бесконечномерной гамильтоновой системы важно для статистической механики бесконечномерных систем. Меры Гиббса бесконечномерных гамильтоновых уравнений (включая нелинейное уравнение Шредингера, нелинейное волновое уравнение, уравнение Клейна - Гордона и уравнение Кортевега - де Вриза) изучаются в работах [57, 66, 16, 78]. Мера Гиббса каждой рассматриваемой гамильтоновой системы инвариантна по отношению к потоку, генерируемому этой системой. Однако меры Гиббса гамильтоновой системы могут быть сингулярными по отношению к другой даже в классе гауссовых мер, являющихся мерами Гиббса квадратичных гамильтоновых систем.

Инвариантная мера гамильтонова потока, отличная от меры Гиббса, может быть предложена на основе полной интегрируемости гамильтоновой системы, допускающей координаты угла действия [65, 23]. В статьях [59, 60], напротив, для построения координат угла-действия для купмановского представления гамильтоновой системы используется счетно-аддитивная инвариантная мера. Инвариантные меры полезны для построения гидродинамического подхода к классическим и квантовым интегрируемым системам [64].

В работе [10] изучались меры на алгебрах операторов, инвариантные относительно некоторых групп преобразований, и свойства "операторных интервалов" нескольких видов. Такие интервалы были исследованы и в работах [70], [11].

Цели и задачи

Целью данной работы является развитие теории инвариантных мер на бесконечномерных гильбертовых пространствах. Задачи при проведении научных изысканий ставились следующие:

1. Разработать общую конструкцию для построения конечно-аддитивных мер на сепарабельном гильбертовом пространстве, инвариантных относительно сдвигов, обобщающую известные ранее конструкции построения таких мер.

2. Установить связь между построенными мерами и мерами Лебега и Жордана на конечномерных пространствах.

3. Изучить оператор Лапласа - Вольтерры в пространстве функций, квадратично

интегрируемых по введенным инвариантным мерам.

4. Поставить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве функций, интегрируемых по построенной конечно-аддитивной мере, в элементарной области гильбертового пространства и исследовать ее решения.

5. Исследовать возможность аппроксимации полугруппы, порожденной оператором Лапласа - Вольтерры, при помощи случайных сдвигов.

Методология и методика исследований

В диссертации методы классического анализа в конечномерном евклидовом пространстве переносятся на случай бесконечномерного пространства. Строится аналог трансляционно инвариантной меры на бесконечномерном пространстве, получаемой как бесконечное произведение мер Лебега на конечномерных пространствах. В силу теоремы А. Вейля некоторое из свойств меры Лебега необходимо принести в жертву при задании такой меры. Как и в работах [90, 88] строится инвариантная мера, не обладающая свойством счетной аддитивности. Применяется схема построения бесконечного произведения мер, подобная рассмотренной в теореме Колмогорова [74], упрощенная отказом от свойства счетной аддитивности меры. Результатом становится конечно-аддитивная неотрицательная трансляционно инвариантная мера на бесконечномерном пространстве. С помощью построенного конечно-аддитивного аналога меры Лебега задаются пространства Лебега интегрируемых функций, в которых изучаются операторы сдвига аргумента, дифференцирования и умножения на функцию. Изучение таких операторов и связанных с ними дифференциальных уравнений приводит к построению пространств Соболева, анализу следов функций на подпространствах, краевым задачам. Тем самым, для функций бесконечномерного аргумента развиты классические методы многомерного анализа, позволяющие описать усреднения случайных блужданий в гильбертовом пространстве с помощью бесконечномерного оператора Лапласа-Вольтера.

Положения, выносимые на защиту

1. Предложен общий метод построения произведения трансляционно инвариантных конечно-аддитивных мер на конечномерных пространствах, являющийся

трансляционно инвариантной конечно-аддитивной мерой на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве.

2. Для класса трансляционно инвариантных мер доказана их представимость в виде тензорного произведения меры Жордана на конечномерном подпространстве на изоморфную копию исходной меры на ортогональном дополнении.

3. Доказана самосопряженность оператора Лапласа - Вольтерры в пространстве квадратично интегрируемых по введенным инвариантным мерам функций и описана его область определения.

4. Разработаны вариационные методы решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве функций, интегрируемых по построенной конечно-аддитивной мере, в элементарной области бесконечномерного пространства.

5. Доказана сходимость последовательности композиций случайных сдвигов к полугруппе, порожденной оператором Лапласа - Вольтерры.

Научная новизна

Предложенная общая конструкция меры на бесконечномерном пространстве, построенная по произведению конечномерных мер, включает в себя подходы, изложенные в работах Бейкера, Киртадзе, Сакбаева и Завадского, и является новой. Новый подход позволяет построить меру, относительно которой будут измеримы брусы, грани которых лежат в произвольном полукольце и имеют произвольную меру, тогда как перечисленные выше авторы работали с конкретными частными случаями.

Для конечно-аддитивных мер в общем случае неверна теорема Фубини. Полученный результат о представлении некоторых построенных мер в виде тензорного произведения себя на меру Жордана позволяет сводить двойной интеграл к повторным в выделенном частном случае, что не всегда верно для конечно-аддитивных мер. Для конкретных мер этот результат, очевидно, является новым.

Для оператора Лапласа — Вольтерры в исследуемых пространствах интегрируемых функций впервые удалось описать область определения и установить его самосопряженность.

Для элементарных бесконечномерных областей разработан вариационный метод описания решений задач Дирихле для уравнения Пуассона. Постановка данной задачи на бесконечномерном пространстве имела место, например, в работах [55, 14]. Однако в данной работе впервые, насколько известно автору, была существенно использована самосопряженность оператора Лапласа. Для исследуемых конечно-аддитивных мер, инвариантных относительно сдвига, задача Дирихле для уравнения Пуассона была поставлена впервые.

Результаты о сходимости последовательности композиции случайных сдвигов к полугруппе, порожденной оператором Лапласа, были ранее получены для квадратично интегрируемых функций на (см. [44]). Для исследуемых пространств они были доказаны впервые.

Степень достоверности полученных в диссертации результатов обеспечивается строгостью приведенных доказательств, многочисленными выступлениями на семинарах и конференциях, а также публикациями в рецензируемых изданиях, которые индексируются базами научных данных. Результаты, приведенные в диссертации, опубликованы в 8 работах, из них 6 индексируются в Scopus и Web Of Science.

Глава 2

Построение мер на бесконечномерных пространствах, инвариантных относительно сдвига

Для удобства читателя в этой главе мы будем по возможности придерживаться следующего соглашения: если похожие объекты определены и в конечномерном пространстве, и в бесконечномерном, и они обозначаются одной буквой, то то конечномерный объект будет выделен тильдой.

2.1 Общая конструкция меры на Е = 12 по конечномерным мерам и полукольцам

В этом параграфе мы приведем довольно общую конструкцию конечно-аддитивной трансляционно инвариантной меры на бесконечном сепарабельном гильбертовом пространстве, относительно которой измеримы произведения конечномерных множеств из наперед заданного семейства. При этом мера их произведения будет равна произведению мер граней, причем в качестве мер граней может быть выбрана произвольная конечно-аддитивная трансляционно инвариантная мера.

Обозначим стандартный ортонормированный базис (ОНБ) в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве Е = 12 за Е = (е1,е2,...). Обозначим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бусовиков Владимир Михайлович, 2024 год

Список литературы

[1] Accardi L., Pechen A. N., Volovich I. V. Quantum stochastic equation for the low density limit // Journal of Physics A: Mathematical and General. —2002. —Vol. 35, no. 23. — P. 4889-4902.

[2] Aharonov Y., Davidovich L., Zagury N. Quantum random walks // Physical Review A. — 1993. — Vol. 48, no. 2. —P. 1687.

[3] Aizenman M., Simone W. Random operators. Disorder effects on quantum spectra and dynamics. Graduate Studies in Mathematics. —Providence, RI: American Mathematical Society, 2015.

[4] Amosov G. G., Sakbaev V. Zh. Geometric properties of systems of vector states and expansion of states in Pettis integrals // St. Petersburg Mathematical Journal. — 2016. — Vol. 27, no. 4.—P. 589-597.

[5] Attal S., Dhahri A. Repeated quantum interactions and unitary random walks // Journal of Theoretical Probability. — 2010. — Vol. 23. — P. 345-361.

[6] Attal S., Petruccione F., Sabot C., Sinayskiy I. Open quantum random walks // Journal of Statistical Physics. —2012. — Vol. 147, no. 4. —P. 832-852.

[7] Averbuh V. I., Smoljanov O. G., Fomin S. V. Generalized functions and differential equations in linear spaces. I. Differentiable measures // Tran Moscow Math Soc, Vol 241971. —1974.—P. 140.

[8] Baker R. "Lebesgue measure" on // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1991.—Vol. 113, no. 4.—P. 1023-1029.

[9] Belton A. C. Quantum random walks and thermalisation // Communications in Mathematical Physics. —2010.—Vol. 300.—P. 317-329.

[10] Bikchentaev A. M., Sakbaev V. Zh. On the systems of finite weights on the algebra of bounded operators and corresponding translation invariant measures // Lobachevskii Journal of Mathematics. —2019. — Vol. 40. — P. 1039-1044.

[11] Bikchentaev A. M., Sukochev F. A. When weak and local measure convergence implies norm convergence // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2019. — Vol. 473, no. 2.—P. 1414-1431.

[12] Bogachev V. I. Gaussian measures. No. 62. — American Mathematical Soc., 1998.

[13] Bogachev V. I., Smolyanov O. G. Real and functional analysis. — Springer, 2020.

[14] Bogdanskii Y. V. Dirichlet problem for the Poisson equation with an essentially infinite-dimensional elliptic operator // Ukrainian Mathematical Journal. — 1994. — Vol. 46, no. 7.—P. 878-884.

[15] Bogdanskii Y. V. Laplacian with respect to a measure on a Hilbert space and an L-version of the Dirichlet problem for the Poisson equation. // Ukrainian Mathematical Journal. — 2012. — Vol. 63, no. 9. —P. 1336-1348.

[16] Bourgain J. Periodic nonlinear Schrodinger equation and invariant measures // Communications in Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 166. —P. 1-26.

[17] Bratteli O., Robinson D. W. Operator algebras and quantum statistical mechanics: Volume 1: C*-and W*-Algebras. Symmetry Groups. Decomposition of States. — Springer Science & Business Media, 2012.

[18] Busovikov V. M., Sakbaev V. Zh. Dirichlet problem for Poisson equation on the rectangle in infinite dimensional Hilbert space // Applied Mathematics and Nonlinear Sciences. — 2020. — Vol. 5, no. 2. — P. 329-344.

[19] Busovikov V. M., Sakbaev V. Zh. Shift-Invariant Measures on Hilbert and Related Function Spaces // Journal of Mathematical Sciences. —2020. — Vol. 249. — P. 864-884.

[20] Busovikov V. M., Sakbaev V. Zh. Invariant measures for Hamiltonian flows and diffusion in infinitely dimensional phase spaces // International Journal of Modern Physics A. — 2022. — Vol. 37, no. 20n21. —P. 2243018.

[21] Chaturvedi M., Srivastava V. RandomDwalk theory for localization // International Journal of Quantum Chemistry. — 1983. — Apr. — Vol. 23, no. 4. —P. 1463-1468.

[22] Dhamapurkar S., Dahlsten O. Quantum walks as thermalizations, with application to fullerene graphs // arXiv preprint arXiv:2304.01572. — 13.12.2023.

[23] Domrin A. Real-analytic solutions of the nonlinear Schrodinger equation // Transactions of the Moscow Mathematical Society. — 2014. — Vol. 75. —P. 173-183.

[24] Engel K.-J., Nagel R., Brendle S. One-parameter semigroups for linear evolution equations. — Springer, 2000. — Vol. 194.

[25] Filippov S. N., Semin G. N., Pechen A. N. Quantum master equations for a system interacting with a quantum gas in the low-density limit and for the semiclassical collision model//Physical Review A. — 2020. — Vol. 101, no. 1.—P. 012114.

[26] Gill T., Kirtadze A., Pantsulaia G., Plichko A. Existence and uniqueness of translation invariant measures in separable Banach spaces // Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. —2014. — Vol. 50, no. 2. — P. 401-419.

[27] Gough J., Orlov Y. N., Sakbaev V. Z., Smolyanov O. G. Random quantization of Hamiltonian systems //Doklady Mathematics / Springer. — 2021. — Vol. 103. —P. 122-126.

[28] Gough J., Orlov Y. N., Sakbaev V. Z., Smolyanov O. G. Markov approximations of the evolution of quantum systems // Doklady Mathematics. — 2022. — Vol. 105, no. 2. — P. 92-96.

[29] Haar A. Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme // Mathematische Annalen. — 1911.—Vol. 71, no. 1.—P. 38-53.

[30] Hewitt E., Ross K. A. Abstract harmonic analysis. 2. Structure and analysis for compact groups, analysis on locally compact Abelian groups. — Springer, 1970.

[31] Hewitt E., Ross K. A. Abstract harmonic analysis: volume I: structure of topological groups integration theory group representations. — Springer Science & Business Media, 2012.—Vol. 115.

[32] Heyer H., Mirantseva V., Molchanova S. et al. Probability measures on locally compact groups. —1981.

[33] Joye A. Random time-dependent quantum walks // Communications in Mathematical Physics. —2011.—Vol. 307, no. 1.—P. 65-100.

[34] Joye A. Dynamical localization for d-dimensional random quantum walks // Quantum Information Processing.—2012.—Vol. 11, no. 5.—P. 1251-1269.

[35] Joye A., Merkli M. Dynamical localization of quantum walks in random environments // Journal of Statistical Physics. — 2010. — Vol. 140, no. 6. — P. 1025-1053.

[36] Kempe J. Quantum random walks: an introductory overview // Contemporary Physics. — 2003. — Vol. 44, no. 4. — P. 307-327.

[37] Kempe J. Quantum random walks: an introductory overview // Contemporary Physics. — 2009. — Vol. 50, no. 1. —P. 339-359.

[38] Kolokoltsov V. N. Continuous time random walks modeling of quantum measurement and fractional equations of quantum stochastic filtering and control // arXiv preprint arXiv:2008.07355. — 17.08.2020.

[39] Kuo H. Gaussian Measures in Banach Spaces, Lectures Notes in Mathematics, SpringerVerlag, Berlin. — 1975.

[40] Magenes E., Lions J. L. Problèmes aux limites non homogènes et applications. — 1968.

[41] Margulis G. A. Some remarks on invariant means // Monatshefte fur Mathematik. — 1980. — Vol. 90. —P. 233-235.

[42] Natanson I. P. Theory of real variable functions // M.," Nauka. — 1974.

[43] Oksak A. I., Sukhanov A. D. Representation of quantum Brownian motion in the collective coordinate method // Theoretical and Mathematical Physics. — 2003. — Vol. 136. — P. 994-1021.

[44] Orlov Y. N., Sakbaev V. Zh., Zavadsky D. V. Operator random walks and quantum oscillator//Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2020. —Vol. 41. —P. 676-685.

[45] Pechen A. N. Quantum stochastic equation for a test particle interacting with a dilute Bose gas // Journal of Mathematical Physics. —2004. — Vol. 45, no. 1. —P. 400-417.

[46] Pechen A. N., Volovich I. V. Quantum multipole noise and generalized quantum stochastic equations // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. — 2002. — Dec. —Vol. 05, no. 04.—P. 441-464.

[47] Remizov I. D. Explicit formula for evolution semigroup for diffusion in Hilbert space // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. —2018. — Vol. 21, no. 04.—P. 1850025.

[48] Sahu L. Quantum random walks and their convergence to Evans-Hudson flows // Proceedings Mathematical Sciences. — 2008. — Vol. 118, no. 3. —P. 443-465.

[49] Sakbaev V. Zh. Flows in infinite-dimensional phase space equipped with a finitely-additive invariant measure//Mathematics. — 2023. — Vol. 11, no. 5.—P. 1161.

[50] Sakbaev V. Zh., Smolyanov O. G. Feynman calculus for random operator-valued functions and their applications // Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. —2018. —Vol. 160, no. 2. —P. 373-383.

[51] Savchin V., Budochkina S., Gondo Y., Slavko A. On the connection between first integrals, integral invariants and potentiality of evolutionary equations // Eurasian Mathematical Journal. — 2018. — Vol. 9, no. 4. —P. 82-90.

[52] Shelakov M. Extension of the Generalized Lebesgue-Feynman-Smolyanov Measure on a Hilbert Space // Russian Journal of Mathematical Physics. —2023. —Vol. 30, no. 1. — P. 114-125.

[53] Shiryaev A. N. Probability. — MCCME, 2007.

[54] Srinivas M. D. Collapse postulate for observables with continuous spectra // Communications in Mathematical Physics. — 1980. — Vol. 71, no. 2. — P. 131-158.

[55] Statkevych V. M. Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator. // Ukrainian Mathematical Journal. — 2012. — Vol. 64, no. 2. — P. 262-272.

[56] Sullivan D. For n>3 there is only one finitely additive rotationally invariant measure on the n-sphere defined on all Lebesgue measurable subsets. — 1981.

[57] Sy M., Yu X. Global well-posedness and long-time behavior of the fractional NLS // Stochastics and Partial Differential Equations: Analysis and Computations. — 2022. — Vol. 10, no. 4.—P. 1261-1317.

[58] Venegas-Andraca S. E. Quantum walks: a comprehensive review // Quantum Information Processing. —2012.—Vol. 11, no. 5.—P. 1015-1106.

[59] Volovich I. V. Remarks on the complete integrability of quantum and classical dynamical systems // arXiv preprint arXiv:1911.01335. — 04.11.2019.

[60] Volovich I. V. Complete integrability of quantum and classical dynamical systems // p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. — 2019. — Vol. 11. — P. 328-334.

[61] Wang C., Wang C. Higher-dimensional quantum walk in terms of quantum Bernoulli noises // Entropy. —2020. — Vol. 22, no. 5. —P. 504.

[62] Weickert B. Infinite-dimensional complex dynamics: a quantum random walk // Discrete and Continuous Dynamical Systems. — 2001. — Vol. 7, no. 3. —P. 517-524.

[63] Weil A. L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications. — 1951.

[64] Yoshimura T., Spohn H. Collision rate ansatz for quantum integrable systems // SciPost Physics. —2020. —Vol. 9, no. 3.—P. 040.

[65] Zakharov V. E., Shabat A. B. A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. I //Funktsional'nyi Analiz i egoPrilozheniya. — 1974. — Vol. 8, no. 3.—P. 43-53.

[66] Zhidkov P. E. On invariant measures for some infinite-dimensional dynamical systems // Annales de l'IHP Physique théorique. — 1995. — Vol. 62. — P. 267-287.

[67] Амосов Г. Г., Бикчентаев А. М., Сакбаев В. Ж. О крайних точках множеств в пространствах операторов и пространствах состояний // Труды Математического института имени ВА Стеклова. — 2024. — Vol. 324. —P. 10-23.

[68] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. —Рипол Классик, 1979.

[69] Березин Ф. А. Невинеровские континуальные интегралы // Теоретическая и математическая физика. — 1971. — Vol. 6, no. 2. —P. 194-212.

[70] Бикчентаев А. М. О выпуклых замкнутых в топологии сходимости по мере множествах измеримых операторов // Доклады Академии наук / Федеральное государственное бюджетное учреждение "Российская академия наук". — 2018. — Vol. 483.—P. 11-14.

[71] Бусовиков В. М. Свойства одной конечно-аддитивной меры на /р, инвариантной относительно сдвигов // Труды Московского физико-технического института. — 2018. — Vol. 10, no. 2 (38). —P. 163-172.

[72] Бусовиков В. М., Завадский Д. В., Сакбаев В. Ж. Квантовые системы с бесконечномерным координатным пространством и преобразование Фурье // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. —2021. —Vol. 313. —P. 33-46.

[73] Бусовиков В. М., Сакбаев В. Ж. Пространства Соболева функций на гильбертовом пространстве с трансляционно инвариантной мерой и аппроксимации полугрупп // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2020. — Vol. 84, no. 4.—P. 79-109.

[74] Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. —М.: наука, 1975. — Vol. 320.

[75] Вершик А. М. Существует ли мера Лебега в бесконечномерном пространстве? // Труды Математического института имени ВА Стеклова. — 2007. — Vol. 259. — P. 256-281.

[76] Глазатов В. А., Сакбаев В. Ж. Меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно некоторых гамильтоновых потоков // Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения. —2021. —P. 26-27.

[77] Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах//М.: Мир. — 1965. —Vol. 275.—P. 844.

[78] Гуревич Б. М. О гиббсовских случайных полях, инвариантных относительно бесконечночастичной гамильтоновой динамики // Теоретическая и математическая физика. — 1992. — Vol. 90, no. 3. —P. 424-459.

[79] Завадский Д. В. Инвариантные относительно сдвигов меры на пространствах последовательностей // Труды Московского физико-технического института. — 2017. — Vol. 9, no. 4 (36). — P. 142-148.

[80] Завадский Д. В., Сакбаев В. Ж. Диффузия на гильбертовом пространстве, снабженном трансляционно и ротационно инвариантной мерой // Труды Математического института имени ВА Стеклова. — 2019. — Vol. 306. — P. 112-130.

[81] Като T. Теория возмущений линейных операторов. — 1972.

[82] Козлов В. В. О квантовании линейных систем дифференциальных уравнений с квадратичным инвариантом в гильбертовом пространстве // Успехи математических наук. —2021.—Vol. 76, no. 2 (458).—P. 177-178.

[83] Козлов В. В., Смолянов О. Г. Гамильтонов подход к вторичному квантованию // Доклады Академии наук / Федеральное государственное бюджетное учреждение" Российская академия наук". — 2018. — Vol. 483. —P. 138-142.

[84] Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными. — Бином. Лаб. знаний, 2005.

[85] Савчин В. М., Чинь Ф. Т. О потенциальности, дискретизации и интегральных инвариантах бесконечномерных систем Биркгофа // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2024. — Vol. 24, no. 2. —P. 184-192.

[86] Сакбаев В. Ж. О спектральных аспектах регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения // Труды Математического института имени ВА Стеклова.—2008.—Vol. 261.—P. 258-267.

[87] Сакбаев В. Ж. О множестве квантовых состояний и его усредненных динамических преобразованиях // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2011. — no. 10.—P. 48-58.

[88] Сакбаев В. Ж. Случайные блуждания и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов и поворотов // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». — 2017. — Vol. 140.—P. 88-118.

[89] Сакбаев В. Ж. Случайные блуждания и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов и поворотов // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». — 2017. — Vol. 140.—P. 88-118.

[90] Сакбаев В. Ж. Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов // Теоретическая и математическая физика. — 2017. — Vol. 191, no. 3. —P. 473-502.

[91] Сакбаев В. Ж. Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов // Теоретическая и математическая физика. — 2017. — Vol. 191, no. 3. —P. 473-502.

[92] Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы, 2-е перераб. и сущ. доп. изд // Ленанд, М. — 2015.

[93] Смолянов О. Г., Шамаров Н. Н. Квантование по Шрёдингеру бесконечномерных гамильтоновых систем с неквадратичной функцией Гамильтона // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. — 2020. — Vol. 492. — P. 65-69.

[94] Сонис М. Г. О некоторых измеримых подпространствах пространства всех последовательностей с гауссовой мерой // Успехи математических наук. — 1966. — Vol. 21, no. 5 (131). — P. 277-279.

[95] Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. — Наука, 1981.

[96] Харт Н. Геометрическое квантование в действии. — 1985.

[97] Хренников А. Ю. Симплектическая геометрия на бесконечномерном фазовом пространстве и асимптотическое представление квантовых средних гауссовыми функциональными интегралами // Известия Российской академии наук. Серия математическая. —2008. —Vol. 72, no. 1.—P. 137-160.