Инварианты виртуальных узлов и зацеплений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Иванов Максим Эдуардович

• Иванов Максим Эдуардович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Иванов Максим Эдуардович

1.2 Связные суммы

1.3 Бесконечное семейство связных сумм

2 Полиномиальные инварианты виртуальных узлов

2.1 Веса перекрестков

2.2 1-функции

2.3 Сглаживания классических перекрестков и инварианты

2.4 Рекуррентное построение инвариантов

2.5 (п,ш)-разностная скрученность и инварианты виртуальных узлов

2.6 Плоская ширина зацепления и инварианты 2-компонентных виртуальных зацеплений

3 Упорядочиваемость и циклическая упорядочиваемость

3.1 Гомологии групп, универсальные расширения и упорядочиваемость

3.2 Тензорные и внешние произведения групп

3.3 Группы виртуальных узлов

Заключение

Приложение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инварианты виртуальных узлов и зацеплений»

Введение

Актуальность темы исследования и степень её разработанности.

Теория узлов и зацеплений является важным направлением в современной геометрии и топологии. Работы [35], [29] отражают современное состояние этого направления. Кроме узлов в трехмерной сфере можно рассматривать различные их обобщения, такие как виртуальные узлы, узлы в 3-многообразиях, узлы коразмерности 2 и т.д. Многие идеи и методы классической теории узлов переносятся на эти обобщения, но возникают и аспекты, характерные лишь для новых теорий.

Виртуальные узлы были введены Кауфманом в 1999 г. в работе [23]. Они определяются как классы эквивалентности диаграмм, в которых кроме классических перекрестков встречается ещё один тип перекрестков, называющийся виртуальным перекрестком. Классические и виртуальные перекрестки изображены на рис. 0.1.

Эквивалентность на таких диаграммах задается с помощью классических движений Рейдемейстера (рис. 0.2) и движений, затрагивающих виртуальные перекрестки (рис. 0.3).

Рис. 0.1: Классические и виртуальные перекрестки

Рис. 0.2: Классические движения Рейдемейстера

Рис. 0.3: Движения для виртуальных перекрестков

Изучению свойств классических и виртуальных узлов, а также построению их инвариантов посвящено множество статей. Сделаем краткий обзор результатов, касающихся свойств узлов и построения инвариантов.

Одним из основных вопросов в теории узлов является вопрос распознавания узлов. Как по паре узлов определить, являются они эквивалентными или нет? Для того, чтобы различать узлы используются различные алгебраические инварианты. Удобными для вычисления и сравнения являются полиномиальные инварианты.

В 1984 году В. Джонс построил полином, который сейчас известен как полином Джонса ([20]). С этим инвариантом связан один из основных открытых вопросов в классической теории узлов — существует ли нетривиальный узел с полиномом Джонса равным 1? Конструкция полинома Джонса через скобочный полином Кауфмана естественным образом обобщается на случай виртуальных

узлов. В [23], Кауфман приводит пример нетривиального виртуального узла с полиномом Джонса равным 1. Свойства полинома Джонса для виртуальных узлов рассматривались в работах [34], [21], [17].

В 1928 году Дж. Александер ([4]) построил полиномиальный инвариант зацепления, называемый полиномом Александера. С тех пор свойства данного инварианта изучались сотнями авторов. Известны несколько подходов к его построению. С основными свойствами можно ознакомиться, например, в [31], [15]. Известны обобщения полинома Александера для виртуального случая. Построения обобщений полинома Александера и свойства новых инвариантов изучались в [5], [30].

Кроме полиномиальных инвариантов, обобщающих инварианты классических узлов, существуют и совершенно новые инварианты. Одним из таких можно назвать аффинный индексный полином Рк(¿). Он обладает следующим свойством — для любого классического узла его аффинный индексный полином равен нулю. К. Каур, М. Прабхакар и А. Веснин в [24] построили семейство полиномиальных инвариантов, называющееся ^-полиномами, обладающее тем же свойством и обобщающее аффинный индексный полином.

Наряду с полиномиальными инвариантами используются и другие конструкции. Так, одним из основных инвариантов в теории классических узлов является группа узла. Она определяется как фундаментальная группа дополнения к узлу в Б3. Под группой узла мы будем понимать группу, построенную по диаграмме, где каждой дуге соответствует порождающая в группе, а соотношения представлены на рис. 0.4.

Рис. 0.4: Соотношения в группе узла

Теорема Дж. Хоуи и Х. Шорта ([18]) говорит о том, что группы узлов являются локально индикабельными, а значит, упорядоченными. Как и в случае с

полиномами, существует обобщение понятия группы узла на виртуальный случай. В отличие от групп классических узлов несложно привести пример группы виртуального узла, в которой присутствует кручение, а значит, она не является упорядочиваемой. В связи с этим естественно возникает вопрос о том, обладают ли эти группы более слабым свойством — циклической упорядочиваемостью.

Первые работы по табуляции классических узлов появились в конце 19 века П. Тейтом, Т. Киркманом, Ч. Литтлом ([36], [26], [27]). К настоящему времени известна табуляция всех простых узлов до 20 перекрестков ([9], [37]). Число простых узлов до 20 перекрестков включительно — 2141449886. Для виртуальных узлов известна табуляция Дж. Грина. Им протабулированны виртуальные узлы до 6 перекрестков. Узлы до 4 перекрестков с точностью до зеркальных образов и обращения ориентации представлены в таблице вместе с некоторыми своими инвариантами, всего таких узлов 117. Виртуальные узлы до 6 перекрестков представлены в виде кодов Гаусса.

В 1949 году Шуберт [33] доказал, что любой узел можно единственным образом представить как связную сумму простых узлов. Для виртуальных узлов аналогичная теорема неверна. Например, существует узел Кишино — нетривиальный виртуальный узел, являющийся связной суммой тривиальных узлов. Инварианты, распознающие этот узел, представляют особый интерес. Построение таких инвариантов — одна из задач, поставленных в [16]. Многие построенные инварианты не различают различные связные суммы

Целью данной работы является построение и изучение свойств инвариантов виртуальных узлов и зацеплений. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Найти семейство Г-полиномов для узлов из табуляции Дж. Грина. Описать классы узлов, для которых семейства этих инвариантов совпадает.

2. Построить новые инварианты узлов, обобщающие семейство Г-полиномов.

3. Исследовать операцию связной суммы виртуальных узлов и поведение инвариантов при этой операции. Найти инварианты, позволяющие различать связные суммы одних и тех же виртуальных узлов.

4. Исследовать вопрос о циклической упорядочиваемости групп. Установить признаки циклической и линейной упорядочиваемости для класса групп, включающего в себя группы виртуальных узлов.

Научная новизна.

Все результаты данной работы являются новыми. Теоретическая и практическая значимость.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты представляют интерес для специалистов в теории узлов и алгебраической топологии. Методология и методы исследования.

В работе используются методы теории узлов, основанные на их представлении диаграммами, и методы гомологической алгебры. Положения, выносимые на защиту.

1. Найдены классы виртуальных узлов с совпадающими семействами Р-полиномов. Описаны такие классы среди узлов из табуляции Дж. Грина (Теорема 1.1.6). Приведен бесконечный класс виртуальных узлов для которых Г-полиномы совпадают (Теорема 1.1.7).

2. Описано поведение Г-полиномов при операции связной суммы. Установлены достаточные условия для аддитивности Р-полиномов относительно связной суммы (Теорема 1.2.6). Доказано, что для любой пары узлов, один из которых имеет ненулевую п-разностную скрученность, существует бесконечное семейство неэквивалентных связных сумм. Построены примеры таких семейств (Теорема 1.3.2).

3. Построены последовательности семейств инвариантов, обобщающих семейство Г-полиномов (Теоремы 2.3.2, 2.5.1, 2.6.8). Доказано, что новые инварианты сильнее семейства Г-полиномов. Используя построенные инварианты получено новое доказательство нетривиальности узла Кишино (Теорема 2.3.3).

4. Установлена связь упорядочиваемости и циклической упорядочиваемости для широкого класса групп с упорядочиваемостью и циклической упо-рядочиваемостью неабелевого тензорного произведения (Теорема 3.2.5). Для каждого виртуального узла из таблицы Дж. Грина дан ответ на вопрос, является ли его группа циклически упорядочиваемой или линейно упорядочиваемой (Теорема 3.3.10).

Степень достоверности и апробация результатов.

Основные результаты докладывались на следующих конференциях:

• The 7th Chinese-Russian Conference on Knot Theory and Related Topics -2020

• The 4th International Conference "Groups and quandles in low-dimensional topology", 2021

• Геометрия и топология трехмерных многообразий, 2022 г.

• Геометрические и алгебраические методы в теории узлов, 2023 г.

• The 5th International Conference "Groups and quandles in low-dimensional topology", 2024

• The 9th China-Russia Conference on Knot Theory and Related Topics, 2023 г.

• Международная конференция "Мальцевские чтения" 2024 г.

• IV Конференция математических центров России, посвященная 300-летию СПбГУ и РАН, 2024 г.

• 10th Russian-Chinese Conference on Knot Theory and Related Topics, 2024 г.

Также результаты многократно докладывались на семинаре "Инварианты трехмерных многообразий" института математики имени С. Л. Соболева СО РАН, руководитель — чл.-корр., д.ф.-м.н. А. Ю. Веснин, на семинаре "Геометрия, топология и их приложения" института математики имени С. Л. Соболева СО РАН, руководитель — академик, д.ф.-м.н. И. А. Тайманов, и на семинаре "Теория групп" института математики имени С. Л. Соболева СО РАН, руководители — д.ф.-м.н. А. В. Васильев, д.ф.-м.н. М. А. Гречкосеева, чл.-корр. д.ф.-м.н. В. Д. Мазуров.

Публикации и личный вклад автора.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [41], [39], [38], [40]. Все статьи опубликованы в журналах, которые индексируются в Web of Science и Scopus и входят в "Белый список", один из которых имеет уровень К1. Статьи [40], [38] опубликованы в журналах из квартиля Q2 в соотвествии с Scimago

Journal Rank. Все результаты диссертации получены лично соискателем. В работе [41] А.Ю. Веснину принадлежит постановка задачи, им написано введение. В работе [38] А.Ю. Веснину принадлежит постановка задачи, идея использования различных типов сглаживания, им скорректированы некоторые доказательства. В работе [38] А. Гилл и М. Прабхакар построили пример семейства виртуальных узлов, которые не различаются F-полиномом, но различаются его обобщением, построенным с использованием плоской ширины узла, ими написана существенная часть введения. Структура и объем диссертации.

Объем диссертации составляет 68 страниц. Работа содержит введение, три главы, заключение, приложение с таблицей виртуальных узлов и их F-полиномов, список литературы, состоящий из 41 источника. Главы диссертации подразделяются на параграфы. Определения, леммы, теоремы, следствия и замечания имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая цифра — номер параграфа в текущей главе, третья — номер в текущем параграфе. Благодарности.

Соискатель выражает благодарность своему научному руководителю А. Ю. Веснину за обсуждение задач и поддержку в работе.

Глава 1

Связные суммы и полиномиальные инварианты

1.1 Е-полином виртуальных узлов

Далее в этой главе под О мы будем понимать ориентированную диаграмму виртуального узла, а С (О) — множество его классических перекрестков. Знак классического перекрестка с € С (О) определяется, как показано на рис. 1.1 и обозначается sgn(c).

\/

/\ /\

sgn(c) = +1 sgn(c) = —1 Рис. 1.1: Знаки перекрестков.

Раскраска Ченга была введена в [12]. Она сопоставляет каждой дуге в диаграмме О целое число, такое, что в окрестности перекрестков диаграммы О эти числа подчиняются правилу, изображенному на рис. 1.2. Под дугой мы понимаем ребро между двумя соседними перекрестками, при движении согласно ориентации.

Ь + 1 а — 1 Ь + 1 а — 1 Ь а

Рис. 1.2: Раскраска дуг.

Л. Кауфман доказал в [22, Предложение 4.1], что для ориентированной диаграммы виртуального узла такая раскраска существует. Дуге а в диаграмме

Б можно сопоставить число Л (а) = ^ сЕО(а) ^п(с), где О(а) обозначает множество таких перекрестков, что при движении вдоль ориентации, начиная с дуги а, они впервые встречаются как проходы "над".

Определение 1.1.1 ([12]). Для классического перекрестка с Е С (Б) индекс перекрестка 1п^с) определяется равенством

Ind(c) = sgn(c)(a — Ь — 1) (1.1)

где а и Ь приходят из раскраски Ченга.

В [32], С. Сато и К. Танигучи определили п-скрученность. Для каждого ненулевого целого числа п п-разностная скрученность ^(Б) ориентированной диаграммы узла Б определяется как сумма знаков по всем перекресткам индекса п. Полученное число является инвариантом ориентированного виртуального узла. С помощью п-скрученности был определён новый инвариант.

Определение 1.1.2 ([24]). Для натурального п Е N п-разностная скрученность Б, обозначаемая как V ^(Б), определяется как разность п-скрученности и (—п)-скрученности

УЛ(Б) = Л(Б) — ^п(Б).

Лемма 1.1.3 ([24]). Пусть диаграмма Б- получена из Б обращением ориентации, а Б* получена переключением всех классических перекрестков. Тогда

V Л(Б*) = VJn(Б) и У^(Б—) = —V Зп(Б).

Для перекрестка с Е С(Б) мы рассматриваем сглаживания, изображенные на рис. 1.3, зависящие от ориентации на дугах. Оба сглаживания мы будем называть сглаживаниями против ориентации.

—> 4 * и —^ ^ /

Рис. 1.3: Сглаживания против ориентации.

В этой главе с помощью Бс мы обозначаем диаграмму, полученную из Б сглаживанием против ориентации в перекрестке с. Ориентация на Бс индуцирована сглаживанием. Так как Б — диаграмма виртуального узла, то и Бс диаграмма виртуального узла.

Определение 1.1.4 ([24]). Для натурального числа п п-ый Е-полином для

диаграммы О определяется как

КБ(М)= ^ sgn(c)íInd(c)£VJ"(Бс)

сеС (Б)

— ^ sgn(c)£VJ«(Dc) — ^ sgn(c)£VJ«(D),

ееТп(В) г4Тп(В)

где Тп(О) = {с е С (О) : ^,]п(Вс)1 = ^Хп(В)1}.

Теорема 1.1.5 ([24]). КБинвариант ориентированного виртуального узла.

К-полиномы табулированных виртуальных узлов были вычислены автором в [41]. Таблица с К-полиномами для табулированных узлов представлена в приложении.

Теорема 1.1.6. Семейство К-полиномов разбивает 117 узлов из таблицы Дж. Грина на 65 групп, которые можно различать между собой значением К-полиномов. Аффинный индексный полином разбивает таблицу на 37 групп.

Теорема 1.1.7. Существует бесконечное семейство ориентированных виртуальных узлов, имеющих одинаковые К-полиномы.

Доказательство. Рассмотрим ориентированную диаграмму виртуального узла О1 с одним виртуальным и тремя классическими перекрестками а1, в и 7, представленную на рис. 1.4. Применяя сглаживание против ориентации в классических перекрестках, мы получим три ориентированные диаграммы виртуальных узлов , и , изображённые на рис. 1.4.

7

7

7

Рис. 1.4: Диаграммы виртуальных узлов О1, , О

11

а\

и .

Легко вычислить значения, представленные в таблице 1.1. Таким образом, Т = {аьв,7} и (М) = КБ 1 (М) = — + 2 — Г1. Диаграмма О1 естественным образом обобщается до диаграммы Ок с нечётным числом к классических перекрестков, как показано на рис. 1.5 для к = 3.

1

Таблица 1.1: Значения sgn, и V Зп для диаграмм с рис. 2.2.

sgn УЛ, п е N

Б1 sgn(а ^п(7 )= = 1 ]nd(а — 1 ш(в —1 ]nd(7 )= = 0 У^Б1) = 0 1 —1

да, ^п(7 = 1 ]nd(в 1 ]nd(7 = 1 УЛ^) = 0 —11

sgn(а ^п(7 )= = —1 ]nd(а —1 Ind(Y )= = —1 У^^) = 0 1

л; sgn(а sgn(в )== = 1 ]nd(а — 1 ]nd(в )== = 1 У^^) = 0 —1

Рис. 1.5: Диаграмма узла Б3.

Легко проверить, что все вычисления для диаграммы Б3 дают те же результаты, что и для диаграммы Б1, с тем же поведением в пересечениях в и 7 соответственно, а также с тем же поведением в а1, а2,а3 диаграммы Б3, как и в а1 диаграммы Б1. Аналогичные рассуждения работают для любого нечётного к. Таким образом, для любого нечётного к > 1 для ориентированной диаграммы виртуального узла Бк имеем (£,.£) = к(£,.£) = — + 2 — £-1. □

1.2 Связные суммы

Связная сумма двух диаграмм виртуальных узлов К и М определяется следующим образом: на каждой из диаграмм выбирается отмеченная точка, после чего отмеченные дуги диаграмм соединяются, как показано на рис. 1.6. Полученная диаграмма виртуального узла обозначается К#М.

Рис. 1.6: Связная сумма диаграмм

Предложение 1.2.1. Пусть к и т перекрестки из С (К) и С (М) соответственно, к1 и т - перекрестки, отвечающие им в С (К#М). Тогда

М^к) = Ы^к1) и М^т) = М^т/).

Доказательство. Зафиксируем А и В как на рис. 1.7 и рассмотрим раскраску Ченга для связной суммы.

в

М

Рис. 1.7: Отмеченные точки в связной сумме диаграмм

Обозначим через На и Нв суммы знаков всех классических перекрестков, встречаемых как проходы "над" при движении по диаграмме от точки А к точке В.

На =5^ sgn(c), Нв = sgn(c)

сеО(А)пСм сеО (В )п Ск

Для любых дуг а С К и в С М мы можем найти раскраску Ченга Л (а1) и Л (в1) соответствующих дуг а1, в1 С К#М:

Л(а1) = sgn(c) = На + ^ sgn(c) = На + ^ sgn(c) = Л(а) + На

сеО(а') сеО (а')пСк сеО(а)

Л(вО =5^ ^п(с) = Ьв + ^п(с) = ^в + ^ sgn(c) = Л(в) + Не

сеО(в') сеО(в')пСм сеО(в)

Таким образом, значение раскраски каждой дуги в связной сумме сдвигается на константу, определяемую второй компонентой в сумме.

Ш(С) = sgn(c/)(a/ — У — 1) = sgn(c) ((а + Л) — (Ь + Л) — 1) = Ш(с)

□

Следствие 1.2.2. Имеет место следующее равенство:

УЛ(К #М) = УЛ(К) + VJn(M).

Доказательство. Так как индексы и знаки сохраняются при взятии связной суммы и X} ^п(с) не зависит от выбора диаграммы, то мы получаем адди-

1пё(с)=п

тивность для VJn. □

Предложение 1.2.3. Имеют место следующие равенства:

VJn ((К#М)к) = VJn(Kk) ± VJn(M)

и

VJn ((К#М)т) = VJn(Мт) ± VJn(K), где знак зависит от индуцированной ориентации.

Доказательство. Заметим, что (К#М)к является связной суммой Кк и М с подходящим выбором ориентации на М и V Зп меняет свой знак при обращении ориентации на диаграмме. Из следствия 1.2.2, VJn((K#M)к) = VJn(Кк) ± VJn(M). Аналогичные рассуждения доказывают равенство VJn ((К#М)т) = VJn(Mm) ±VJn(K). □

Теорема 1.2.4. Пусть VJn(K) = VJn(M) = 0. Тогда (М) аддитивен относительно операции связной суммы:

ГК #м (М) = ГК (М) + ГП (М).

Доказательство. Если VJn(K) = VJn(M) = 0 то из аддитивности VJn мы знаем, что VJn(K#М) = 0, тогда

VJn ((К#М)к) = VJn(Кк) ± VJn(M) = VJn(Kk)

и

VJn ((К#М)т) = VJn(Mm) ± VJn(K) = VJn(Mm).

Заметим, что ТК(М#К) = ТК(М) иТП(К). Так как знаки и индексы не меняются при связной сумме

К£#М(М)= ^ sgn(c)tInd(c)£VJ«(Dc) — ^ sgn(c)£VJ«(Dc) сеС(Б) сеТ„(Б)

^ sgn(c)-VJn(D) = sgn(c)tInd(c)£VJ«(Dc) — ^ sgn(c)£VJ«(Dc)

сет„(Б) \сеСк сеТпПСк

г^ивА + (у- sgn(c)tInd(c)^VJ«(Dc)

^ sgn(c)-VJn(D) ] + ( ^ sgn(c)íInd(c¥ сет„иСм / ХсеСм

^ sgn(c)£VJ"(Dc) — ^ sgn(c)-VJn(D) ] = (М) + КМ(М), сеТппСм сетпиСк )

где О = К#М. □

Следствие 1.2.5. Пусть VJn(K) =0 и М - классический узел, тогда

КК #М (М) = КП (М).

Доказательство. Все классические узлы плоско тривиальны, поэтому КМ(£, -) = 0 и V Л(М) = 0. Тогда К£#м(*, -) = КК(*, -). □

Теорема 1.2.6. Пусть VJn(K) = 0 и К - фиксированная компонента в связной сумме, т.е. мы зафиксировали диаграмму К и отмеченную точку на ней. Пусть М1 и М2 - произвольные диаграммы узла М. Тогда

Кк #М1 = ^ #м2 Доказательство. Рассмотрим К-полином для К#М1.

^#М1

^ sgn(c)tInd(c)-VJn(Dc) — ^ sgn(c)-VJn(Бс) — ^ sgn(c)-VJn(D) ксеСк сеТпПСк сфТпиСм

+ ( ^ sgn(c)tInd(c)-VJn(Dc) — ^ sgn(c)-VJn(Dc) — ^ sgn(c)-VJn(D) ксеСм с€ТпПСм с€Тп иСк

где Б = КТак как К зафиксирован, при замене М1 на М2, значение первой скобки умножается на ^^^Ь^Л^. Так как М1 и М2 - диаграммы одного и того же узла, получаем, что VJn(M1) = VJn(M2) и СК(К#М1) = СК(К#М2). Условие VJn(K) = 0 влечет

VJn(K#Ml) = VJn(K#M2) = VJn(M),

V ^п((К ) = VJn ((М1 )т!),

V ^п((К ) = VJn ((М2 )т2 ).

Вторая скобка до и после смены диаграммы совпадает с ГМ (£,-) и ГМ2 (£,-) соответственно. Из инвариантности Г-полиномов мы заключаем, что ГЩ (¿,-0 = (М) и следовательно ГК#М! (¿, -) = ГЩ#М2 (¿, -). □

1.3 Бесконечное семейство связных сумм

Теорема 1.3.1. Пусть К2 является диаграммой, полученной из диаграммы К1 с помощью Я11, а с1 и с2 - новые перекрестки. Пусть М некоторая фиксированная диаграмма виртуального узла, т.ч. VJn(M) = 0. Для целых чисел в и г определим множество С8,г (Б) = {с Е С (Б) : 1п^с) = в, VJn(Dc) = г}. Если существуют такие в и г, что С8,г (К2) = {с1,с2} тогда К1#М и К2#М представляют отличные друг от друга узлы.

(а) К\#М (Ь) К2#М

Рис. 1.8: Связные суммы.

Доказательство. Так как с1 и с2 - перекрестки, полученные при движении ИЛ, мы знаем, что

в^(С1) = 8§п(с2) , Ш(С1) = Ш(с/) и VJn (К2с!) = VJn(K2c2).

Аналогично, для перекрестков с1 и с/ в связной сумме

sgn(c/1) = sgn(c/2) и Ind(c/1) = Ind(c/2).

Рассмотрим сглаживания в перекрестках с1 и с/. Они индуцируют различные ориентации на М, следовательно

VJn((K2#M)с!) = VJn(К/С!) - VJn(М)

и

VJn((K2#M )с2 ) = V ^п(К2с!) + VJn(M).

Эти выражения не сокращаются друг с другом в ГК2#м(¿,-). Так как они могут сократится только со слагаемыми, соответствующими перекресткам из С5,г(К2), а других перекрестков в этом множестве нет, то мы получаем #м(¿,-) =

Теорема 1.3.2. Для любых двух узлов К, М таких, что VJs(M) = 0 для некоторого в Е М, существует бесконечное число неэквивалентных связных сумм К и М.

Доказательство. Построим такое семейство явно. Пусть К произвольная диаграмма узла К и М некоторая фиксированная диаграмма узла М. Пусть Кп является диаграммой, полученной из К как на Рисунке 1.9.

Рис. 1.9: Диаграмма Кп узла К.

Так как перекрестки с и ^ были получены движением ИЛ, мы получаем

sgn(Ci) = — sgn(q), Ш(с*) = ) и VJs (КПсг) = VJs (Кп^).

Теперь вычислим Ind(ci). Начиная двигаться по диаграмме от дуги а, мы впервые встречаем перекресток с при прохождении его "над", а ^ при прохождении "под". Все с^ и qj• для 3 < г впервые встречаются при прохождении "под", а для 3 > г - при прохождении "над", но так как у них разные знаки, то

а = sgn(ci) = 1.

Начиная с дуги Ь, перекрестки ^ и qj• впервые встречаются при прохождении "под" если 3 > г. Для 3 < г перекрестки qj• впервые встречаются при прохожде-ниия "под", а ^ - при прохождении "над", поэтому

Ь = (г — ) = г — 1,

Ind(ci) = sgn(ci )(а — Ь — 1) = 1 — г + 1 — 1 = —г + 1.

Теперь мы рассмотрим связную сумму диаграмм Кп#М и сглаживания в перекрестках cК и qК. Сглаживания ^ и qК индуцируют различную ориентацию на М. Диаграммы представлены на Рисунке 1.10, 1.11 и 1.12. Тогда, для достаточно больших п и любых к > т > п мы получаем

Ккк #М (М) = ККт #М

так как единственные перекрестки индекса —к + 1 - это перекрестки c/k и qk, но они не сокращаются друг с другом.

Рис. 1.10: Связная сумма Kn#M.

Рис. 1.11: Связная сумма Kn#M .

Глава 2

Полиномиальные инварианты виртуальных узлов

2.1 Веса перекрестков

Будем говорить, что п-компонентное зацепление Ь упорядочено, если каждой его компоненте взаимно однозначно сопоставлено число от 1 до п. Упорядоченные виртуальные и плоские виртуальные зацепления определяются аналогично. Узлы являются упорядоченными 1-зацеплениями.

Две упорядоченные ориентированные диаграммы виртуальных зацеплений эквивалентны, если одну из другой можно получить конечной последовательностью обобщенных преобразований Рейдемейстера.

Пусть V будет обозначать подмножество всех упорядоченных ориентированных зацеплений со следующим свойством. Если Б Е V, то любая диаграмма, полученная из Б с помощью обобщенных движений Рейдемейстера, переключения перекрестков, обращения ориентации или переупорядочивания компонент зацепления тоже принадлежит V. Такое множество V мы будем называть регулярным множеством диаграмм. Соответствующие этому множеству зацепления мы будем называть регулярным множеством упорядоченных ориентированных виртуальных зацеплений. Забывая о порядке или типе классического перекрестка, мы получаем регулярные множества неупорядоченных и плоских виртуальных зацеплений соответственно.

Определение 2.1.1. Пусть С - абелева группа и и : С(V) ^ С - функция, присваивающая значение и (с) в группе С классическим перекресткам всех диаграмм из регулярного множества V. Функцию и будем называть весом, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

(С1) функция и локальна, т.е. если В' получена из В обобщенным преобразованием Рейдемейстера так что перекресток с Е В не участвует в этом преобразовании и с' Е В' - соответствующий перекресток в новой диаграмме, то и(с') = и (с);

(С2) пусть В' получена из В преобразованием ШП. Затронутые перекрестки а, 6, с Е В имеют веса и(а), и (6) и и (с), а перекрестки а', 6', с' Е В' имеют веса и(а'), и(6') и и(с'), см. рис. 2.1, тогда и(а') = и(а), и(6') = и(6) и и(с') = и(с).

\_/ V/

/с\ / \

Рис. 2.1: Движение ШП.

(С3) Если диаграмма В' получена из В смешанным преобразованием Рейдемейстера, затронутый перекресток с Е В имеет вес и (с), а соответствующий ему перекресток с' Е В' имеет вес и'(с'), см. рис 2.2, тогда и'(с') = и (с).

Рис. 2.2: Движение БУ.

Определение 2.1.1 можно рассматривать как обобщение Аксиом Хордового Индекса из работы [11].

Определение 2.1.2. Пусть и : С(Р) ^ С функция веса. Пусть В' получена из В с помощью Ш1 и а, в - затронутые перекрестки. Если и(в) = —и(а), то мы говорим, что и нечетный вес и пишем, что и Е Ж^. Если и(в) = и(а), то мы говорим, что и чётный вес и пишем и Е Ж^6"-.

Для пары функций и, V : С (В) ^ С, где С - абелева группа, мы можем определить сумму весов:

(и + v)(c) = и(с)+ v(c) (2.1)

Если О - кольцо, то можно определить произведение

(и * ^) = и(фМ. (2.2)

Таким образом WQ образует группы, а и еп - подгруппы. Множество Жъ со сложением и умножением определенным выше образует кольцо, а Же становится Жъ-модулем с очевидным умножением, которое мы будем обозначать "*".

Для каждого п € и любого гомоморфизма ^ : О1 ^ О2 абелевых групп композиция п' = ^ о п является весом п' € .

Мы также допускаем случаи, когда веса определены не для всех перекрестков на диаграмме.

Определение 2.1.3. Подмножество С'(Р) С С(Р) называется согласованным, если характеристическая функция 1с(г>) : С(Р) ^ {0,1} С Ъ множества С'(Р) является четным весом.

Пример 2.1.4. Для положительных целых 1, ] рассмотрим регулярное множество диаграмм упорядченных ориентированных виртуальных зацеплений с числом компонент не меньше, чем п, где п = тах{г, 3}. Пусть С(РЬп) состоит из перекрестков, которые принадлежат компоненте 1, а Су (РЬп) состоит из перекрестков, которые принадлежат компонентам 1 и ] одновременно. Характеристические функции этих множеств являются четными весами.

Функции веса для согласованных подмножеств С(Р) могут быть определены следующим образом.

Определение 2.1.5. Пусть С'(Р) С С(Р) согласовано. Тогда п' : С'(Р) ^ О вес, определенный на перекрестках из С'(Р) если п' удовлетворяет (С1) - (С3) для всех перекрестков из С'(Р).

Замечание 2.1.6. Если С'(Р) С С(Р) согласовано, и п' : С'(Р) ^ О вес, тогда п' может быть продолжен до п : С(Р) ^ О

.п'М, c € С'(Р),

=

0, иначе.

2.2 Т-функции

Пусть С'(Р) и С''(Р) согласованные подмножества С(Р). Предположим, что определены веса V : С'(Р) ^ С1 и и : С''(Р) ^ С2 такие, что V Е и

и Е . Мы можем считать, что С''(Р) подмножество С'(Р). В противном

случае заменим V на её продолжение С(Р) как в Замечании 2.1.6 и возьмем С'(Р) = С (Р).

Пусть С Р обозначает множество всех регулярных диаграмм упо-

рядоченного ориентированного виртуального зацепления Ь, а и : С'(Р) ^ С будет весом. Для В Е обозначим через Я(и,В) множество весов и(с),

где с - классический перекресток в В, который можно устранить с помощью преобразования Ш. Возьмем объединение по всем диаграммам Ь:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванов Максим Эдуардович, 2026 год

Список литературы

1. С. Д. Бродский. Уравнения над группами и группы с одним определяющим соотношением // Сиб. матем. журн. — 1984. — Т. 25, № 2. — С. 84—103.

2. С. Д. Желева. О циклически упорядоченных группах // Сиб. матем. журн. — 1976. — Т. 17, № 5. — С. 1046—1051.

3. Ю. В. Кузьмин. Группы заузленных компактных поверхностей и центральные расширения // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 2. — С. 81—102.

4. Alexander J. W. Topological invariants of knots and links // Transactions of the American Mathematical Society. — 1928. — Т. 30. — С. 275—306.

5. Alexander invariants for virtual knots / Boden H. U., Dies E., Gaudreau A. I., Gerlings A., Harper E., Nicas A. J. // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 2015. — Т. 24, № 03. — С. 1550009.

6. Blyth R. D., Fumagalli F., Morigi M. Some structural results on the non-abelian tensor square of groups // Journal of Group Theory. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 83—94.

7. Brown R., Johnson D., Robertson E. Some computations of non-abelian tensor products of groups // Journal of Algebra. — 1987. — Т. 111, № 1. — С. 177—202.

8. Brown R., Loday J.-L. Van Kampen theorems for diagrams of spaces // Topology. — 1987. — Т. 26, № 3. — С. 311—335.

9. Burton B. A. The Next 350 Million Knots // 36th International Symposium on Computational Geometry (SoCG 2020). Т. 164. — Dagstuhl, Germany : Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum fur Informatik, 2020. — 25:1—25:17. — (Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs)).

10. Charlap L. Bieberbach Groups and Flat Manifolds. — Springer New York, 1986. — (Universitext (Berlin. Print)).

11. Cheng Z. The Chord Index, its Definitions, Applications, and Generalizations // Canadian Journal of Mathematics. - 2021. - T. 73, № 3. - C. 597-621.

12. Cheng Z, Gao H. A polynomial invariant of virtual links // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 2013. - T. 22, № 12. - C. 1341002.

13. Clay A., Rolfsen D. Ordered Groups and Topology. - 2016.

14. Clay A., Ghaswala T. Circularly ordering direct products and the obstruction to left-orderability // Pacific Journal of Mathematics. - 2021. - T. 312, № 02. -C. 401-419.

15. Crowell R., Fox R. Introduction to Knot Theory. - Springer New York, 2012. -(Graduate Texts in Mathematics).

16. Fenn R., Kauffman L., Manturov V. Virtual knot theory-unsolved problems // Fundamenta Mathematicae. - 2005. - T. 188. - C. 293-323.

17. Furlow V., Ganzell S., Robinson M. Derivatives of Jones polynomials detect delta moves in virtual knots // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. -2022. - T. 31, № 12. - C. 2250082.

18. Howie J., Short H. B. The Band-Sum Problem // Journal of The London Mathematical Society-second Series. - 1985. - C. 571-576.

19. Ichimori A. Ribbon torus knot presented by virtual knots, Master's Thesis, Osaka City University. - 2011.

20. Jones V. F. R. A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras // Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. - 1985. - T. 12, № 1. - C. 103-111.

21. Kamada N., Nakabo S., Satoh S. A virtualized skein relation for Jones polynomials // Illinois Journal of Mathematics. - 2002. - T. 46, № 2. - C. 467475.

22. Kauffman L. H. An affine index polynomial invariant of virtual knots // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 2013. - T. 22, № 04. - C. 1340007.

23. Kauffman L. H. Virtual Knot Theory // European Journal of Combinatorics. -1999. - T. 20, № 7. - C. 663-691.

24. Kaur K, Prabhakar M., Vesnin A. Two-variable polynomial invariants of virtual knots arising from flat virtual knot invariants // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 2018. - T. 27, № 13. - C. 1842015.

25. Kim S.-G. Virtual knot groups and their peripheral structure // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 2000. — Т. 09, № 06. — С. 797—812.

26. Kirkman T. P. XVII.—The Enumeration, Description, and Construction of Knots of Fewer than Ten Crossings // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1884. — Т. 32, № 2. — С. 281—309.

27. Little C. On Knots with a Census for Order Ten. Т. 7. — 1885. — С. 27—43.

28. Maeda T. Knot groups as commutator extension, Master Thesis (in Japanese), Kwansei Gakuin Univ. — 1977.

29. Manturov V. Knot Theory. — Taylor & Francis Group, 2020.

30. Mellor B. Alexander and writhe polynomials for virtual knots // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 2016. — Т. 25, № 08. — С. 1650050.

31. Rolfsen D. Knots and Links. — Publish or Perish, 1976. — (Mathematics lecture series).

32. Satoh S., Taniguchi K. The writhes of a virtual knot // Fundamenta Mathe-maticae. — 2014. — Т. 225, № 0. — С. 327—341.

33. Schubert H. // Sitzungsber Heidelberger Akad. Wiss, Math.-Naturwiss. Klasse. — 1949.

34. Silver D. S., Williams S. G. On a class of virtual knots with unit Jones polynomial // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 2004. — Т. 13. — С. 367—371.

35. Sossinsky A. Knots, Links and Their Invariants: An Elementary Course in Contemporary Knot Theory. — American Mathematical Society, 2023. — (Student Mathematical Library).

36. Tait P. G. On knots I, II, III // Scientific papers. — 1898. — Т. 1. — С. 273—347.

37. Thistlethwaite M. B. The enumeration and classification of prime 20-crossing knots // Algebraic & Geometric Topology. — 2025. — Т. 25.

Работы автора по теме диссертации

38. Gill A., Ivanov M., Prabhakar M., Vesnin A. Recurrent Generalization of F-Polynomials for Virtual Knots and Links // Symmetry. — 2022. — Т. 14, № 1, 15.

39. Ivanov M. Connected sum of virtual knots and F-polynomials // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 2021. - T. 30, № 10. - C. 2140002.

40. Ivanov M. Non-abelian tensor product and circular orderability of groups // Topology and its Applications. - 2024. - T. 358. - C. 109111.

41. Ivanov M., Vesnin A. F-polynomials of tabulated virtual knots // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. - 2020. - T. 29, № 08. - C. 2050054.