Использование принципа максимального правдоподобия при решении фазовой проблемы в кристаллографии макромолекул тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 03.00.02, кандидат физико-математических наук Петрова, Татьяна Евгеньевна

• Петрова, Татьяна Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петрова, Татьяна Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА I. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПОДХОДА ПРИ РЕШЕНИИ ФАЗОВОЙ ПРОБЛЕМЫ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КРИСТАЛЛОГРАФИИ (ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР).

1.1 Основная идея и три основных этапа вероятностного подхода к решению фазовой проблемы.

1.2 Классические прямые методы.

1.2.1 Успехи "прямых методов".

1.2.2 Проблема перебора больших фазовых наборов.

1.2.3 Принцип окрестностей и фазовые оболочки.

1.2.4 Развитие и применение прямых методов к решению структур, содержащих более ста атомов.

1.2.5 Ограниченность классических прямых методов для решения фазовой проблемы для макромолекул.

1.3 Использование статистического принципа максимального правдоподобия в рамках развития вероятностного подхода к решению фазовой проблемы для макромолекул.

1.3.1 МЕ-распредел ения.

1.3.2 Сравнение статистических гипотез. Правдоподобие.

1.3.3 Выбор априорного распределения координат атомов.

1.3.4 Проблемы, возникающие при вычислении функции правдоподобия

1.3.5 Стратегия поэтапного расширения набора известных фаз.

1.3.6 Анализ результатов.

1.4 Использование принципа максимального правдоподобия для оценки ожидаемых фазовых ошибок для приближенной атомной модели структуры.

1.5 Использование принципа максимального правдоподобия при уточнении атомной модели.

ГЛАВА II. ВЫБОР ОБЛАСТИ МОЛЕКУЛЫ. ВЫБОР АПРИОРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ АТОМОВ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ. ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОГО ПРАВДОПОДОБИЯ.

2.1 Основная идея сравнения альтернативных областей молекулы.

2.2 Выбор априорного распределения координат атомов на основе принципа максимального правдоподобия.

2.3 Выбор области молекулы среди альтернативных областей.

2.4 Обобщенное правдоподобие.

2.5 Контрольные критерии.

2.5.1 Необходимость учитывать проблему неопределенности начала координат и энантиоморфа.

2.5.2 Экспериментальные данные.

2.5.3 Тесты и результаты.

2.5.4 Контрольные функции.

ГЛАВА III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЗИЦИИ МАКРОМОЛЕКУЛЫ В

ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКЕ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ ОБОБЩЕННОГО ПРАВДОПОДОБИЯ.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Задача определения позиции молекулы может быть сведена к поиску лучшей сферической области.

3.3 Два класса возможных областей.

3.4 Поиск центра с помощью одного Гауссова атома.

3.5 Контрольные функции.

3.6 Стратегия тестов.

3.7 Тесты и результаты.

3.7.1 Комплекс аминоацил-тРНК-синтетазы с тРНК.

3.7.2 Рибосомная частица T50S.

3.7.3 Protein G.

3.7.4 РНКаза SA, у-кристаллин Illb, рибосомный фактор элонгации G.

3.8 Заключительные замечания.

ГЛАВА IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ AB-INITIO ЗНАЧЕНИЙ ФАЗ СТРУКТУРНЫХ ФАКТОРОВ ДЛЯ РЕФЛЕКСОВ НИЗКОГО РАЗРЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ ОБОБЩЕННОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

4.1 Постановка задачи.

4.2 Выбор наилучшего фазового набора среди нескольких альтернативных фазовых наборов.

4.3 Использование обобщенного правдоподобия в качестве критерия при ab-initio определении фаз низкого разрешения.

4.4 Генерация вариантов.

4.5 Контрольные функции.

4.6 Тесты и результаты.

4.6.1 Ab-initio определение фаз. Полный перебор.

4.6.2 Ab-initio определение фаз. Случайная генерация фазовых наборов

4.6.3 Сочетание критериев правдоподобия и связности.

4.6.4 Расширение набора фаз.

4.6.5 Зависимость результатов от зоны разрешения, по которой рассчитывается правдоподобие.

4.7 Заключительные замечания.

ГЛАВА V. ПОЛУЧЕНИЕ АПРИОРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ АТОМОВ АНАЛИТИЧЕСКИМ ПУТЕМ.

5.1 Постановка проблемы о поиске априорного распределения, соответствующего максимуму правдоподобия, аналитическим путем.

5.2 Приближение априорного распределения градиентом функции правдоподобия.

5.3 Карты градиента функции правдоподобия для комплекса аминоацил-тРНК-синтетазы с тРНК.

5.4 Заключительные замечания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование принципа максимального правдоподобия при решении фазовой проблемы в кристаллографии макромолекул»

Макромолекулярная кристаллография является необходимым компонентом современной структурной биологии. Знание трехмерной структуры белков и нуклеиновых кислот является ключевым для понимания ее стабильности и механизма функционирования. Во многих случаях знание структуры белка и его комплекса с ингибиторами является решающим фактором при создании противовирусных препаратов.

Первым этапом определения структуры является выращивание кристаллов и получение дифракционной картины рентгеновского, нейтронного или электронного рассеяния на кристаллах исследуемой структуры. Второй этап представляет собой определение функции, описывающей распределение электронной плотности в кристалле, по дифракционной картине. Конечный этап - построение и уточнение атомной модели исследуемого вещества. Настоящая работа посвящена разработке методов, используемых на втором этапе. Так как функция электронной плотности в кристалле является периодической, она может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье:

Дг) = ехр(-2шИ;г),

У и где V- объем элементарной кристаллической ячейки, а трехмерный вектор Ь=(ЬьЬ2,Ьз) принимает все целочисленные значения. Комплексный коэффициент Еь называется структурным фактором. Он может быть записан в виде:

Р = Т7

А ь 1 ь ет где

- это модуль структурного фактора, а гд - фаза.

Когда монохроматический рентгеновский луч падает на кристалл, определенным образом ориентированный относительно падающего луча, то рассеяние происходит в дискретных направлениях, определяемых кристаллической решеткой. Дифракционная картина, возникающая на пленке детектора, представляет собой набор пятен, называемых рефлексами, пронумерованных с помощью векторов обратной решетки Ь. Согласно кинематической теории рассеяния интенсивность каждого отдельного рефлекса пропорциональна квадрату модуля структурного фактора. Т.о. измерив интенсивность рефлексов, можно получить значения модулей структурных факторов, и чтобы определить искомую функцию электронной плотности недостает только значений фаз. Отсутствие этих значений является центральной проблемой, так называемой "фазовой проблемой", при решении неизвестной структуры. Для рефлексов общего типа (нецентросимметричных рефлексов) фаза структурного фактора может принимать любое значение в интервале от 0 до 2%. Тем не менее, в зависимости от симметрии кристалла для некоторых групп рефлексов (центросимметричных рефлексов) значение фазы может быть ограничено одним из двух возможных значений.

Основными подходами к решению фазовой проблемы для макромолекул в настоящее время являются:

• Метод множественного изоморфного замещения (Вlow & Crick, 1959)

• Метод молекулярного замещения (Perutz, 1956; Rossmann, 1972)

• Многоволновая аномальная дифракция (Hendrickson, 1991)

Однако с помощью перечисленных методов фазовая проблема далеко не всегда решается.

Для применения метода изоморфного замещения необходимо получить дифракционные данные не только от кристалла нативной структуры, но также от нескольких кристаллов ее тяжелоатомных изоморфных производных. Последние представляют собой вещества с той же самой молекулярной структурой, но с одним или несколькими тяжелыми атомами, которые могут быть либо добавлены к нативной структуре, либо могут замещать часть ее атомов. Изоморфные производные должны быть закристаллизированы в той же самой пространственной группе, что и исходная макромолекула. Если положения тяжелых атомов в полученных кристаллах могут быть определены, то на основании сравнения интенсивностей рефлексов нативной структуры и тяжелоатомных производных фазовая проблема может быть решена. Однако, использование этого метода наталкивается на большие экспериментальные трудности при получении производных, часто полученные производные обладают недостаточно высокой степенью изоморфизма, что является необходимым условием успеха метода.

Для возможности применения метода молекулярного замещения необходимо знание модели структуры, гомологичной исследуемой структуре. Такая модель может быть выбрана из банка известных структур на основании близости ее последовательности неизвестной структуре или получена методами электронной микроскопии. Эта модель "помещается" (методами компьютерного моделирования) в кристаллическую ячейку и сначала вращается с целью определить ее наилучшую ориентацию, а затем в полученной ориентации двигается по элементарной ячейке с целью определить ее наилучшую позицию. Критерием наилучшей позиции и ориентации модели является соответствие рассчитанных и наблюдаемых дифракционных данных. Если правильные ориентация и позиция найдены, то по такой модели рассчитываются значения фаз, которые затем используются как первое приближение к решению фазовой проблемы. Успех метода во многом определяется степенью гомологичности модели исследуемой структуре, а также степенью корректности размеров модели по отношению к элементарной ячейке. Даже небольшое несоответствие модели исследуемой структуре может вызвать неудачу при поиске позиции уже ориентированной модели.

При использовании метода многоволновой аномальной дифракции длина волны падающего на кристалл луча варьируется вокруг значений приблизительно равных значениям, при которых происходит эффект резонанса, или аномальное рассеяние, для нескольких "специальных" атомов структуры. Дифракционные картины измеряются для нескольких значений длины волны падающего луча и на основании анализа разностей интенсивностей рефлексов этих картин оцениваются значения фаз. Успех многоволновой аномальной дифракции, как и изоморфного замещения во многом зависит от экспериментального получения производных с требуемыми свойствами для аномальной дифракции.

Развитие технологии: совершенствование методов кристаллизации белков, использование синхротронного излучения и совершенствование детекторов, что позволило сильно сократить время проведения эксперимента и существенно улучшить точность получаемых экспериментальных данных, использование все более мощных компьютеров для проведения необходимых вычислений, совершенствование методов генной инженерии, позволяющей получать модифицированные формы белков в случае, если исследуемая структура не поддается кристаллизации, во многом определяет то, что перечисленные методы продолжают развиваться и широко применяться в мире. Однако, наряду с этим существует огромный интерес к созданию новых подходов к решению фазовой проблемы для макромолекул.

К одному из таких направлений принадлежат исследования возможности использования для этой цели вероятностного подхода, на основе которого были созданы "прямые методы" решения низкомолекулярных структур. Непосредственное использование процедур прямых методов применительно к макромолекулам к успеху не приводит из-за принципиальных ограничений, лежащих в основе этих методов, на число атомов исследуемой структуры. Здесь необходимо создание новых методик, учитывающих качественно иную ситуацию для больших белков и макромолекулярных комплексов с числом атомов, превышающих 1000. Привлекательность идеи использования вероятностного подхода для решения макромолекулярных структур состоит в том, что фазовая проблема в рамках этого подхода решается ab-initio. Это означает, что в качестве исходных данных используются только результаты эксперимента, полученные с нативной структурой, и не требуется ни наличия модели, ни проведения дополнительных рентгеновских экспериментов.

Данная работа посвящена исследованию возможности использования статистического моделирования и принципа максимального правдоподобия при решении фазовой проблемы для макромолекул на низком разрешении. Рефлексами низкого разрешения в кристаллографии являются рефлексы, находящиеся в малоугловой зоне рассеяния. Соответствующие структурные факторы отвечают гармоникам Фурье с большими "длинами волн", передающим грубые детали объекта. Актуальность такой задачи определения фаз низкого разрешения связана с тем, что возможны два подхода к определению фаз для макромолекул. Согласно одному - ставиться задача оценить значения фаз сразу для всех рефлексов, для которых есть экспериментальные данные, а затем уточнять полученные значения. Согласно другому, сначала определяются значения фаз для рефлексов только низкого разрешения, а затем этот набор расширяется и уточняется (Xiang et al., 1993; Podjarny, Rees & Urzhumtsev, 1996; Main, 1999). Кроме того, в ряде случаев, а именно: для больших макромолекулярных комплексов, когда модель очень низкого разрешения представляет интерес сама по себе, например модель рибосомы; в случае, если не удается получить дифракционную картину высокого разрешения; в случае, когда макромолекула представляет собой смесь упорядоченных и неупорядоченных областей, например, нуклеиновые кислоты в вирусах, знание фаз низкого разрешения представляет большой интерес (Podjarny & Urzhumtsev, 1997).

Первая глава настоящей работы содержит обзор литературы, кратко отражающий развитие идей по использованию вероятностного подхода в рентгеновской кристаллографии. Вторая глава посвящена задаче определения ab-initio области молекулы, которая является первым этапом решения фазовой проблемы при низком разрешении. Для выбора области молекулы из набора альтернативных областей предлагается критерий обобщенного правдоподобия, являющийся аналогом статистического правдоподобия,. Показано, что задача выбора наилучшей области молекулы может быть сведена к выбору априорного распределения координат атомов неизвестной структуры из некоторого класса априорных распределений. Для каждой тестируемой области значение критерия обобщенного правдоподобия оценивается с помощью специальной компьютерной процедуры. Третья и четвертая главы посвящены исследованию применения критерия обобщенного правдоподобия для выбора области молекулы из класса сферических областей, для выбора одной из нескольких альтернативных областей молекулы, полученных с помощью FAM- метода, и для выбора правильного или ближайшего к правильному фазового набора из большого количества гипотетических наборов значений фаз. Задача поиска наилучшего фазового набора может быть сведена к выбору наиболее вероятной области молекулы, и для такой задачи может быть применен критерий обобщенного правдоподобия. Т.о. все рассматриваемые задачи в главах 2-4 сводятся в конечном итоге к поиску априорного распределения координат атомов, которому соответствует максимальное значение критерия, являющегося аналогом статистического правдоподобия и оцениваемого в ходе специальной компьютерной процедуры. Последняя пятая глава посвящена попытке решить задачу поиска априорного распределения, которому бы соответствовало максимальное значение функции правдоподобия аналитическим путем. Математические выкладки вынесены в Приложения 1 и 2.

Изложенная в диссертации работа выполнялась в сотрудничестве с Лабораторией биологических структур Института генетики и молекулярной и клеточной биологии (г.Страсбург, Франция).

Работа была поддержана грантами РФФИ 94-04-12844 и 97-04-48319.

Заключение диссертации по теме «Биофизика», Петрова, Татьяна Евгеньевна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен подход к выбору области, занимаемой макромолекулой в элементарной ячейке кристалла из класса альтернативных областей, основанный на статистическом моделировании, принципе максимального правдоподобия и компьютерной процедуре Монте-Карловского типа, позволяющей оценивать величину правдоподобия. Применимость подхода продемонстрирована в тестовых расчетах на белках с известной атомной структурой.

2. Предложен метод трансформирования фазовой проблемы рентгено-структурного анализа в проблему выбора области, занимаемой макромолекулой, из класса альтернативных областей.

3. Предложен подход к ab-initio к решению фазовой проблемы при низком разрешении, основанный на фильтрации случайно сгенерированных фазовых наборов при помощи критерия отбора, являющегося аналогом статистического правдоподобия, и усреднении отобранных вариантов. С помощью предложенного подхода для тестируемых структур получены значения фаз, которые можно использовать в качестве первого приближения к решению фазовой проблемы.

4. Получены явные асимптотические формулы для совместного распределения вероятностей набора структурных факторов, пригодные для использования при работе с сильными рефлексами. Найденные формулы применены для расчета градиента функции правдоподобия и приближения априорного распределения градиентом функции правдоподобия.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Лунину В.Ю. за ясную постановку задач, постоянное руководство и внимание.

Автор благодарит к.ф.-м.н. Лунину Н.Л. за помощь при подготовке программ.

Автор выражает особую благодарность Сковороде Т.П. за участие в обсуждениях и постоянные ценные советы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петрова, Татьяна Евгеньевна, 2000 год

1. Боровков А.А. Математическая статистика. Издательство Института математики. Новосибирск, 1997.2. ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. Пер. с нем. Л.Н. Большева. Издательство Иностранной литературы. Москва, 1960.

2. Лунин В.Ю. Использование метода максимума правдоподобия для оценки ошибок при определении фаз в кристаллографии белка. Препринт НЦБИ АН СССР. Пущино, 1982.

3. Ф.Мостеллер, Р.Рурке, Дж.Томас. Вероятность. Пер. с англ. В.В. Фирсова. Москва. Изд. "Мир", 1969.

4. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М. Наука, 1987.

5. Ширяев А.Н. Вероятность. М. Наука, 1989.

6. Andersson, K.M. Positioning a protein molecule in the asymmetric unit using very low order reflections and packing restrains. (1999). J. Appl. Cryst. , 32, 530-535.

7. Andersson, K.M., Hovmóller, S. Phasing Proteins at Low Resolution (1996). Acta Cryst. D52, 1174-1180.

8. Andersson, K.M., Hovmóller, S. (1997). Seventeenth European Crystallograthic Meeting. Lisboa-Portugal, 24/28 August 1997. Programme book of abstracts, 54.

9. Blow, D.M. & Crick, F., H., C. The Treatment of Errors in the Isomorphous Replacement Method (1959). Acta Cryst. 12, 1195-1202.

10. Bricogne G. Maximum Entropy and the Foundations of Direct Methods. (1984). Acta Cryst. A40, 410-445.

11. Bricogne G. A Bayesian Statistical Theory of the Phase Problem. I. A Multichannel Maximum-Entropy Formalism for Constracting Generalized Joint Probability Distributions of Structure Factors. (1988). Acta Cryst. A44, 517-545.

12. Bricogne G. Efficient Sampling Methods for Combinations of Signs, Phases, Hyperphases, and Molecular Orientations. (1997). Methods in Enzymology, volume 276. Macromolecular Crystallography, part A, edited by Charles W. Carter, Jr. ,424-448.

13. Bricogne G. & Gilmore C.,J. A Multisolution Method of Phase Determination by Combined Maximization of Entropy and Likelihood. I. Theory, Algorithms and Strategy. (1990). Acta Cryst. A46, 284-297.

14. Briinger A.T. Free R value: A Novel Statistical Quantity for Assessing the Quality of Crystal Structures. (1992) Nature(London), v.355, 472-475.

15. Cochran, W. Relations between the phases of the structure factors. (1955). Acta Cryst. 8, 473-478.

16. Derrick, J.P., Wingley, D.B. The Third Igg-Binding Domain from Streptococcal Protein G: An Analysis by X-ray Crystallography of the Structure Alone and in a Complex with Fab (1994). J.Mol.Biol., 243, 906.

17. De Titta, G., Weeks, C., Thuman, P., Miller, R. & Hauptman, H. Structure solution by minimal function phase refinement and Fourier filtering. I. Theoretical basis. (1994). Acta Cryst. A50, 203-210.

18. Doublie, S., Xiang, S., Gilmore C.,J. & Bricogne G. Overcoming Non-Isomorphism by Phase Permutation and Likelihood Scoring: Solution of the TrpRS Crystal Structure. (1994). Acta Cryst. A50, 164-182.

19. Germain, G. & Woolfson, M.M. On the application of phase relationships to complex structures. (1968) Acta Cryst B24, 91-96.

20. Germain, G., Main, P. & Woolfson, M.M. On the application of phase relationships to complex structure. II. Getting a good start. (1970) Acta Cryst B26, 274-285.

21. Giacovazzo, C. A General Approach to Phase Relationships: The Method of Representations (1977). Acta Cryst. A33, 934-944.

22. Giacovazzo, C. The method of representations of structure seminvariants. II. New theoretical and practical aspects (1980). Acta Cryst. A36, 362-372.

23. Gilmore, C.,J., Bricogne, G. & Bannister, C. A Multisolution Method of Phase Determination by Combined Maximization of Entropy and Likelihood. II. Application to small molecules. (1990). Acta Cryst. A46, 297-308.

24. Gilmore C.,J. Maximum Entropy and Bayesian Statistics in Crystallography: a Review of Practical Applications. (1996). Acta Cryst. A52, 561-589.

25. Gilmore C.,J. & Bricogne G. MICE Computer Program (1997). Methods in Enzymology, volume 276. Macromolecular Crystallography, part A, edited by Charles W. Carter, Jr. ,65-78.

26. Hauptman, H. On the identity and estimation of those cosine invariants, cos(cpi + (Pm + 9n + 9PX which are probably negative (1974a). Acta Cryst. A30, 472476.

27. Hauptman, H. On the theory and estimation of the cosine invariants cos(cpi + <Pm + 9n + cpP) (1974b). Acta Cryst. A30, 822-829.

28. Hauptman, H. A joint probability distribution of seven structure factors (1975a). Acta Cryst. A31, 671-679.

29. Hauptman, H. A new method in the probabilistic theory of the structure invariants (1975b). Acta Cryst. A31, 680-687.

30. Hauptman, H. Probabilistic theory of the structure invariants: extension to the unequal atom case with application to neutron diffraction (1976). Acta Cryst. A32, 877-882.

31. Hauptman, H. A Sequence of Nested Neighborhoods of the Structure Invariant cph+(pk+9i+ <pm (1977). Acta Cryst. A33, 553-555.

32. Hauptman, H. & Karle, J. The probability distribution of the magnitude of a structure factor: II. The non-centrosimmetric crystal. (1953). Acta Cryst. 6, 136.

33. Hauptman, H. & Karle, J. Seminvariants for centrosymmetric space groups with conventional centered cells. (1959). Acta Cryst. 12, 93-97.

34. Harris, G.W. Fast Ab-initio Calculation of Solvent Envelopes for Protein Structures. (1995). Acta Cryst., D51, 695-702.

35. Hasek, J. & Schenk, H. On the Comparison of Different Sets of Structure-Factor Phases (1992). Acta Cryst. A48, 693-695.

36. Hendrickson, W., A. Determination of macromolecular structures from anomalous diffraction of synchrotron radiation (1991). Science 254, 51-58.

37. Hienerman, J.J.L. The Use of Structural Information in the Phase Probability of a Triple Product. (1977). Acta Cryst. A33, 100-106.

38. Jaynes, E.T. Informational Theory and Statistical Mechanics (1957). Physical Review, v. 106,num. 4, 620-630.

39. Karle, J. & Karle, I.L. An application of the symbolic addition method to the structure of L-arginine dihydrate. (1964). Acta Cryst. 17, 835-842.

40. Karle, J. & Karle, I.L. Symbolic addition procedure for phase determination for centrosymmetric and noncentrosymmetric crystals. (1966). Acta Cryst. 21, 849-859.

41. Karle, J. & Hauptman, H. A theory of phase determination for the four types of non-centrosymmetric space groups 1P222, 2P22, 3Pj2, 3P22. (1956). Acta Cryst. 9, 635-651.

42. Karle, J. & Hauptman, H. Seminvariants for non-centrosymmetric space groups with conventional centered cells. (1961). Acta Cryst. 14, 217-223.

43. Klug, A. Joint Probability Distribution of Structure Factors and the Phase Problem. (1958). Acta Cryst. ,11, 515-543.

44. Kraut, J. The Shape of the Chymotrypsinogen Molecule from X-Ray Diffraction (1958). Biochim. Bioph. Acta, 30, 265-270.

45. Lunin, V.Y. The likelihood based choice of priors in statistical approaches to the phase problem. (1998). Direct Methods for Solving Macromolecular Structures, edited by S.Fortier, pp.451-454. Kluwer Academic Publishers.

46. Lunin, V.Y., Lunina, N.L. The Map Correlation Coefficient for Optimally Superposed Maps. (1996) Acta Cryst., A52, 365-368.

47. Lunin, V.Y. & Skovoroda, T.P. R-Free Likelihood Based Estimates of Errors for Phases Calculated from Atomic Models (1995) Acta Cryst., A51, 880-887.

48. Lunin, V.Y. & Urzhumtsev, A.G. Improvement of Protein Phases by Coarse Model Modification. (1984) Acta Cryst., A40, 269-277.

49. Lunin, V.Y. & Urzhumtsev, A.G. Maximal Likelihood refinement. It works, but why? (Seminar notes). (1999) CCP4 Newsletter on Protein Crystallography, N. 37, 14-28.

50. Lunin, V.Y., Urzhumtsev, A.G. & Skovoroda, T.P. Direct Low-resolution Phasing from Electron-Density Histograms in Protein Crystallography. (1990). Acta Cryst. A46,540-544.

51. Lunin, V.Y. & Woolfson, M.M. Mean Phase Error and the Map Correlation Coefficient. (1993) Acta Cryst., D49, 530-533.

52. Main, P. Towards an ab-initio method for the determination of macromolecular crystal structures. (1999). Collected Abstracts, XVIIIth IUCr Congress & General Assembly, 4-13 August 1999, Glasgow, Scotland, M12.BB.001, 183.

53. Miller, R. & Weeks, C.M. Shake-and-bake: applications and advances. (1998). Direct Methods for Solving Macromolecular Structures, edited by S.Fortier, pp.389-400. Kluwer Academic Publishers.

54. Moras D., Lorber B., Romby P., Ebel J.-P., Giegé R., Lewitt-Bentley A., Roth M. Yeast tRNAAsp-Aspartyl-tRNA Synthetase: The Crystalline Complex. (1983). J.Biomol. Structure & Dynamics 1,209-223.

55. Perutz, M.E. Isomorphous Replacement and Phase Determination in Non-centrosymmetric Space Groups. (1956) Acta Cryst., 9, 867-873.

56. Podjarny, A.D., Rees, B. & Urzhumtsev, A.G. Density Modification in X-ray Crystallography. (1996). In Methods in Molecular Biology, 56, 205-226.

57. Podjarny, A.D., Schevitz, R.W. & Sigler, P. Phasing low resolution macromolecular structure factors by matricial direct methods. (1981) Acta Cryst., A37, 662-668.

58. Podjarny, A.D. & Urzhumtsev, A.G. Low-resolution Phasing. (1997). Methods in Enzymology, volume 276. Macromolecular Crystallography, part A, edited by Charles W. Carter, Jr., 641-658.

59. Podjarny, A.D., Urzhumtsev, A.G. & Lunin, V.Y. Model based very low resolution phasing. (1998). Direct Methods for Solving Macromolecular Structures, edited by S.Fortier, pp.421-431. Kluwer Academic Publishers.

60. Read, R.J. Improved Fourier coefficients for maps using phases from partial structures with errors (1986) Acta Cryst., A42, 140-149.

61. Read, R.J. Structure-factor probabilities for related structures (1990) Acta Cryst., A46, 900-912.

62. Read, R.J. Model Phases: Probabilities and Bias (1997). In Methods in Enzymology, Academic Press, San Diego., Charles W., Carter, Jr., R.M.Sweet, eds.,277,part B, 110-128.

63. Rossmann, M.G. (1972). The Molecular Replacement Method., Gordon & Breach; New York, London, Paris.

64. Shannon, C., E. & Weawer, W. (1949) The Mathematical Theory of Communication. University of Illinois Press, Urbana, USA.

65. Sevcik, J., Dodson, E. & Dodson, G.G. Determination and restrained least -squares refinement of the structures of ribonuclease Sa and its complex with 3'-guanylic acid at 1.8 Ä resolution. (1991) Acta Cryst., B47, 240-253.

66. Urzhumtsev, A.G., Skovoroda, T.P. & Lunin, V.Y. A procedure compatible with X-PLOR for the calculation of electron-density maps weighted using an R-free-likelihood-based approach. (1996) J. Appl. Cryst., 29, 741-744.

67. Urzhumtsev, A.G., Podjarny, A.D. & Navaza, J. On the solution on the molecular replacement problem at very low resolution. (1994). J. CCP4 ESF-EACBM Newslett. Protein Crystallogr. 30, 29-36.

68. Urzhumtsev, A.G., Podjarny, A.D. On the Solution of the Molecular-Replacement Problem at Very Low resolution: Application to Large Complexes. (1995). Acta Cryst. A51, 888-895.

69. Urzhumtsev, A.G., Vernoslova, E.A. & Podjarny, A.D. Approaches to very low resolution phasing of the ribosome 50S particle from Thermus thermophilus by Few-Atoms-Models and Molecular Replacement methods. (1996). Acta Cryst. D52, 1092-1097.

70. Weeks, C., De Titta, G., Hauptman, H. ,Thuman, P. & Miller, R. Structure solution by minimal function phase refinement and Fourier filtering. II. Implementation and applications. (1994). Acta Cryst. A50, 210-220.

71. White, P. & Woolfson, M.M. The Application of Phase Relationships to Complex Structures. VII. Magic Integers. (1975). Acta Cryst., A29, 133-137.

72. Wilson, A.,J.,C. The Probability Distribution of X-ray Intensities. (1949). Acta Cryst., 2, 318-321.

73. Woolfson, M.M. Structure Determination by the Method of Permutation Syntheses. (1954). Acta Cryst., 7, 65-67.

74. Woolfson, M.M. Direct Methods from Birth to Maturity. (1987). Acta Cryst., A43, 593-612.

75. Xiang, S., Carter, C.W., Jr., Bricogne, G. & Gilmore, C.J. Entropy Maximization Constrained by Solvent Flatness: a New Method for Macromolecular Phase Extension and Map Improvement (1993). Acta Cryst., D49, 193-212.1. Si