Использование стохастических реконструкций для определения макроскопических свойств пористых сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Черкасов Алексей Михайлович

• Черкасов Алексей Михайлович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Черкасов Алексей Михайлович

Введение

Глава 1. Литературный обзор

1.1. Случайные гетерогенные среды

1.2. Характеризация гетерогенных сред

1.3. Реконструкция порового пространства

1.4. Информационное содержание дескрипторов

1.5. Условия реализуемости корреляционных функций

Глава 2. Стохастические реконструкции двухкомпонентных гетерогенных сред методом восстановления фазы

2.1. Введение ко второй главе

2.2. Вспомогательные результаты

2.3. Повышение размерности свёртки вращением

2.4. Фильтрация пространственных частот

2.5. Влияние размерностных эффектов на реконструкцию

2.6. Размерностные функции перехода

2.7. Построение статической размерностной функции перехода посредством усечённого гауссова поля

2.8. Адаптивная размерностная функция перехода

2.9. Реконструкция на основе имитации отжига

2.10. Моделирование течения

2.11. Образцы для реконструкции и сравнение методов

2.12. Результаты

2.13. Выводы ко второй главе

Глава 3. Условные стохастические реконструкции

3.1. Введение к третьей главе

3.2. Гибридный подход к условной реконструкции цементирующей фазы

3.3. Итеративный учёт авто- и кросс-корреляций при реконструкции цементирующей фазы

3.4. Выводы к третьей главе

Глава 4. Информационное содержание автокорреляционных функций

4.1. Введение к четвертой главе

4.2. Многомерное нормальное распределение

4.3. Определение энтропии

4.4. Собственный базис корреляционной матрицы

4.5. Энтропия гауссова поля с невозмущенной корреляционной функцией

4.6. Энтропия гауссова поля с возмущенной корреляционной функцией

4.7. Алгоритм генерации реализуемых корреляционных функций

4.8. Реализуемые возмущения для 52 и Г88

4.9. Численный эксперимент

4.10. Выводы к четвертой главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование стохастических реконструкций для определения макроскопических свойств пористых сред»

Введение

Актуальность темы исследования. Современные задачи моделирования и анализа гетерогенных сред, в частности порового пространства, осложняются ограниченной доступностью полной трёхмерной информации о внутреннем строении образцов. Получение таких данных методами компьютерной томографии или прямыми экспериментальными измерениями сопряжено с высокими временными и финансовыми затратами. Вместе с тем, двумерные срезы трёхмерной структуры, которые могут быть получены более доступными методами (например, оптической микроскопией), содержат важную информацию о минеральном составе и пространственном распределении фаз. Это делает актуальной задачу разработки стохастических методов, позволяющих по таким данным реконструировать репрезентативную трёхмерную структуру, статистически согласованную с наблюдаемыми характеристиками. Такие реконструкции позволяют с высокой достоверностью оценивать макроскопические свойства среды (например, гидродинамическую проницаемость) без необходимости прямого экспериментального восстановления полной трёхмерной структуры. В результате открываются эффективные подходы к непрямой диагностике, моделированию и прогнозированию поведения гетерогенных материалов в различных прикладных задачах.

Область реконструкции гетерогенных структур по двумерным изображениям активно развивается: используются процессно-ориентированные модели для дисперсных систем [1], стохастические методы на основе усечённых гауссовых полей [2, 3], алгоритмы восстановления фазы [4] и методы имитации отжига, включая их иерархические варианты [5, 6]. Всё шире применяются многоточечные статистические характеристики [7, 8] и генеративные нейросе-тевые модели [9]. При этом остаётся важной задача анализа информационного содержания дескрипторов и исследования степени их вырождения [10].

Степень разработанности темы исследования. Сформирован широкий спектр подходов к реконструкции структур по частичным данным: про-цессно-ориентированные модели [1], случайные поля (в частности, усечённые гауссовы поля) [2, 3], методы восстановления фазы [4] и имитации отжига [5, 6], а также методы на основе многоточечных статистик [7, 8] и генеративных моделей [9]. Продолжается развитие практик согласования реконструкций с заданными статистическими дескрипторами (например, двухточечными автокорреляционными функциями) и геометрическими ограничениями (межфазная граница, скелет твёрдой фазы). Накоплен опыт валидации реконструкций по морфологическим и гидродинамическим характеристикам. Открытым остаётся вопрос эффективной количественной оценки информационного содержания дескрипторов без дорогих вычислительных процедур полного перебора [10].

Цели и задачи диссертационной работы:

1. Исследовать различные подходы к реконструкции трёхмерных структур по ограниченным двумерным данным для выбора наиболее эффективного.

2. Разработать вычислительные подходы к условной реконструкции структур при наличии априорных ограничений.

3. Предложить методы генерации корреляционных функций случайных полей и методики внесения в них контролируемого возмущения.

4. Исследовать возможность аналитической оценки информационного содержания структурных дескрипторов без использования прямого перебора всех возможных состояний.

Научная новизна.

1. В отличие от классических стохастических подходов, основанных на имитации отжига и генерации усечённых гауссовых полей, предложен алгоритм восстановления фазы преобразования Фурье, одновременно сохраняющий автокорреляционную функцию и структуру межфазной границы.

2. Реализована возможность условной реконструкции компонентов гетерогенной среды при заданной геометрии ранее реконструированных компонентов

с помощью авто- и кросс-корреляционных функций.

3. Разработан и апробирован метод для внесения случайных и контролируемых возмущений в корреляционные функции случайных полей.

4. Предложен подход к количественной оценке степени вырождения корреляционных дескрипторов (информационного содержания) на основе методов теории информации, преобразования Карунена-Лоэва и теории малых возмущений, позволяющий выявлять наиболее информативные участки корреляционных функций без проведения ресурсоёмких вычислений.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость заключается в развитии методов стохастической реконструкции гетерогенных структур по двумерным изображениям и в анализе информативности дескрипторов, применяемых в обратных задачах реконструкции. Практическая значимость состоит в создании вычислительно эффективного алгоритма восстановления трёхмерной структуры, применимого к реальным микроскопическим данным, что позволяет оценивать фильтрационно-ёмкостные свойства без прямых измерений. Результаты внедрены в рамках проекта «Роснефть-Цифровой керн» (модуль «Стохастическая реконструкция»).

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработан эффективный адаптивный подход к реконструкции трёхмерной структуры гетерогенной среды по двумерным сечениям; показано, что получаемые реконструкции воспроизводят морфологические дескрипторы и гидродинамические характеристики с высокой точностью (до 93%).

2. Разработан алгоритм условной реконструкции аморфной фазы по двумерным сечениям при фиксированном гранулярном скелете.

3. Разработан алгоритм генерации реализуемых корреляционных функций случайного гауссового поля с возможностью их локальных возмущений при сохранении реализуемости.

4. Разработан подход к оценке вырождения автокорреляционной функции на основе энтропии Шеннона, преобразования Карунена-Лоэва и теории ма-

лых возмущений, позволяющий выявлять информативные участки поля и количественно оценивать информационное содержание дескрипторов гетерогенной структуры.

Методология и методы исследования. Методология основана на стохастическом моделировании гетерогенных сред и анализе корреляционных дескрипторов. Основной численный инструмент — алгоритм восстановления фазы преобразования Фурье для реконструкции трёхмерной структуры по двумерным сечениям с согласованием автокорреляционных функций и геометрии межфазной границы. Для оценки вырождения дескрипторов применяются методы теории информации (энтропия Шеннона), преобразование Карунена-Лоэва и теория малых возмущений. Численные расчёты выполнялись на языках Matlab и Julia.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность обеспечивается строгим обоснованием методологии, воспроизводимостью численных расчётов и согласованностью с физическими свойствами моделируемых структур. Алгоритмы протестированы на синтетических и реальных данных; восстановленные структуры соответствуют ожидаемым статистикам и прони-цаемостям. Предсказанные фильтрационно-ёмкостные характеристики валиди-рованы лабораторными испытаниями.

Апробация результатов выполнена на следующих конференциях:

1. Доклад «Adaptive phase recovery method for three-dimensional porous media reconstruction from its bi-dimensional thin-section», Международная конференция InterPore, онлайн, 2021.

2. Доклад «Реконструкция структуры трёхмерного порового пространства по двумерным срезам методом восстановления фазы», Всероссийская научная конференция с международным участием «Фундаментальный базис инновационных технологий нефтяной и газовой промышленности», Секция «Цифровая модернизация нефтегазового комплекса», Москва, 2022.

3. Доклад «Адаптивный метод восстановления фазы для реконструкции

трёхмерной структуры порового пространства по двумерному срезу», 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Секция флюидодинамики и сейсмо-акустики, Долгопрудный, 2022.

4. Доклад «Применение теории возмущений для вычисления информационной энтропии случайных гауссовых полей с зашумленной автокорреляционной функцией», Международная конференция «Синхротронное излучение и лазеры на свободных электронах СИ и ЛСЭ», Новосибирск, 2024.

5. Доклад «Автокорреляционные функции пористых сред как инструмент для оценки их информационного содержания и реконструкции», VIII Всероссийская конференция молодых учёных с международным участием «Почвоведение: Горизонты будущего», Москва, 2024.

6. Доклад «Исследование различных дескрипторов границы порового пространства для его реконструкции методом восстановления фазы», 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 2024.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 4 международных рецензируемых журналах, а также в 6 тезисах докладов конференций. По результатам диссертации зарегистрирован 1 результат интеллектуальной деятельности:

1. R. Azin, F. Kazemi, S.T. Hosseini, A. Navidi, S. Osfouri, A.M. Cherkasov, A. Khlyupin, K.M. Gerke, M.V. Karsanina. 3D-Printed Synthetic Core Plugs: Advancing Laboratory Simulations for Enhanced Oil Recovery // Results in Engineering, 2025, Vol. 26, P.105077.

2. D.A. Kulygin, A. Khlyupin, A. Cherkasov, R.A. Sirazov, D. Gafurova, Y.I. Gilmanov, K.V. Toropov, D.V. Korost, K.M. Gerke. Pore-scale simulations help in overcoming laboratory limitations with unconsolidated rock material: A multi-step reconstruction based on scanning electron and optical microscopy data // Advances in Water Resources, 2024, Vol. 190, P. 104754.

3. A. Cherkasov, K.M. Gerke, A. Khlyupin. Towards effective information content assessment: Analytical derivation of information loss in the reconstruction

of random fields with model uncertainty // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2024, Vol. 633, P. 129400.

4. A. Cherkasov, A. Ananev, M. Karsanina, A. Khlyupin, K. Gerke. Adaptive phase-retrieval stochastic reconstruction with correlation functions: Three-dimensional images from two-dimensional cuts // Physical Review E, 2021, Vol. 104, № 3, P. 035304.

5. «Модуль «Стохастическая реконструкция» ПК «РН-Цифровой керн» 1.0» (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, номер свидетельства: RU 2024616133 от 18.03.2024, авторы: Васильев Р.В., Герке К.М., Капков А.А., Постников В.В., Черкасов А.М., Хлюпин А.Н., Карсанина М.В.).

Личный вклад автора. Все включённые в диссертацию результаты получены лично автором. Автор принимал участие в постановке задач, разработке методов и алгоритмов, программной реализации, вычислительных экспериментах, обработке и анализе результатов, а также в подготовке публикаций.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из обзора литературы, четырёх глав, заключения, списка сокращений и библиографии.

В первой главе представлен обзор литературы, посвящённый моделированию и реконструкции гетерогенных структур. Рассмотрены примеры природных и синтетических гетерогенных сред, введены основные математические дескрипторы (двухточечные корреляциионные функции, функции линейного пути, распределения ближайших соседей), а также обсуждена проблема реализуемости и вырождения дескрипторов сложных систем.

Во второй главе изложен вычислительно эффективный метод реконструкции трёхмерной структуры по двумерным изображениям на основе алгоритма восстановления фазы преобразования Фурье. Рассмотрены вопросы повышения размерности, применения частотной фильтрации и адаптивных переходных функций; описан базовый вариант метода и его возможности для реконструкции бинарных структур.

В третьей главе разработаны условные стохастические реконструкции

многокомпонентных сред. Предложен гибридный алгоритм восстановления глинистой фазы при фиксированном гранулярном скелете, сочетающий вероятностное моделирование и восстановление фазы преобразования Фурье. Представлена процедура совместного учёта автокорреляционных и кросс-корреляционных функций, а также пространственных ограничений, реализуемых через строгие геометрические условия и итерационные циклы. Разработана схема бинаризации, обеспечивающая сохранение долей фаз. Приведены псевдокоды алгоритмов и продемонстрированы примеры их применения к синтетическим и реальным данным.

В четвёртой главе исследуется информационное содержание различных корреляционных дескрипторов. Разработан аналитико-численный подход к оценке вклада отдельных участков автокорреляционной функции в общее информационное содержание. Проведён численный анализ восприимчивости информационной энтропии к локальным возмущениям, показано, какие зоны функции оказывают наибольшее влияние, и сформулированы подходы к оценке применимости различных дескрипторов для реконструкции гетерогенных сред.

В заключении подведены итоги работы, сформулированы основные результаты и обозначены направления дальнейших исследований.

Полный объём диссертации составляет 122 страницы, включая 41 рисунок. Список литературы содержит 80 наименований.

11

Глава 1 Литературный обзор

В данной главе вводятся базовые понятия и инструменты, используемые в диссертации для численного моделирования случайных гетерогенных сред. Особое внимание уделяется статистическим дескрипторам микроструктуры (включая одно- и двухточечные корреляционные функции, функции ближайших соседей и др.), а также методам стохастической реконструкции (усечённые гауссовы поля, восстановление фазы, многоточечные статистики, имитация отжига, генеративные модели). Отдельно рассматриваются информационное содержание корреляционных функций и необходимые условия их реализуемости, что формирует методологическую основу последующих глав.

1.1. Случайные гетерогенные среды

В общем случае гетерогенный материал представляет собой среду, состоящую из областей с различными локальными состояниями, включая, например, составные вещества композитов или различные фазы одного и того же вещества, как в случае поликристаллов [11]. Пористые среды представляют собой класс композитов [12, 13], в которых одна из фаз представлена порами; эти поры позволяют фильтровать через поры один и более флюидов - что является ключевым свойством для описания множества практически ценных процессов, таких как добыча нефти и газа [14, 15, 16, 17, 18], ирригация почв [19, 20, 21], работа фильтров [22, 23] и многие другие. Особый научный интерес представляют системы, в которых характерный размер таких областей значительно превышает молекулярные масштабы (что обеспечивает наличие макроскопических свойств), но остается существенно меньше характерного размера всего макроскопического образца. В этом диапазоне масштабов гетерогенный материал может рассматриваться как континуальная среда на микроуровне, что позволя-

ет применять методы классического континуального анализа для описания его макроскопических или эффективных свойств [24].

1.1.1. Примеры гетерогенных сред

Анализ подобных сред позволяет классифицировать их по различным параметрам, включая фазовый состав [25, 26], размер гетерогенных включений [27], а также их химические и физические свойства [28]. Однако в рамках настоящего исследования основное внимание уделяется анализу пространственной организации таких сред. Пример таких структур показан на рисунке 1.1: сверху вниз представлены синтетические материалы — коллоидные системы сфер разного размера, волокнистая армированная или же состоящая из трёх взаимопроникающих фаз (карбид бора, алюминий и керамика) металлокерамика, а также природные — песчаник Фонтенбло, губчатая кость и эритроциты[11].

Такие структуры можно условно разделить на гранулированные [1], характеризующиеся дискретными зерноподобными элементами, и аморфные [29], не имеющие явной зернистой организации. Особый интерес представляют аморфные структуры, так как их поведение может быть описано в терминах континуальных или усечённых полей.

1.2. Характеризация гетерогенных сред

Макроскопические свойства материалов напрямую связаны с их внутренней структурой. Однако простые средние характеристики по образцу, такие как пористость или проницаемость [13], не всегда позволяют адекватно описать эти свойства, поскольку не отражают пространственное распределение и взаимное расположение фаз. Для учёта этих особенностей используются микроструктурные дескрипторы — статистические характеристики, определяемые как усреднённые по ансамблю возможных реализаций (или, в предположении эргодичности, по всему объёму образца) функции от пространственного распре-

Рисунок 1.1— Синтетические случайные гетерогенные материалы. Сверху вниз: коллоидная система твёрдых сфер двух разных размеров, волокнистый армированный цермет и взаимопроникающий трёхфазный цермет, состоящий из карбида бора (чёрные области), алюминия (белые области) и другой керамической фазы (серые области). Природные случайные гетерогенные материалы. Сверху вниз: песчаник Фонтенбло, ячеистая структура губчатой кости и эритроциты [11].

деления фаз. К числу таких дескрипторов относятся, в частности, п-точечные функции вероятности [30, 31, 32] для описания непрерывных полей, а также характеристики, связанные с явной границей между компонентами, например функции корреляции поверхности или функции ближайших соседей [33, 34, 35]. В дальнейшем будут рассмотрены основные примеры подобных дескрипторов.

1.2.1. Гетерогенная среда как реализация случайного поля

Образец той или иной гетерогенной среды можно рассматривать как реализацию некоторого случайного поля ¥(г), где г — вектор на плоскости для двухмерных структур или в объёме для трёхмерных.

Данный общий случай имеет два практически значимых частных подхода: и аргумент, и принимаемые значения У(г) могут быть дискретизированы с приемлемой точностью, что позволяет использовать электронно-вычислительные машины для хранения дискретизованных структур и выполнения численных операций над ними.

В этом случае г = (х,у,х)т, где х\у\х = {1,... ,Ых\у\г} обозначает равномерную сетку пространственных координат, покрывающих микроструктуру. Здесь без ограничения общности шаг координаты вектора по трём направлениям Ах = Ау = Аг = 1 принят за единичный. В свою очередь, дискретизация значения поля в точке У(г) = {У\,... , Ут} позволяет представить поле в виде т индикаторных функций:

... Г 1, если ¥(г) =

1«(г) = Г (1.1)

I 0, иначе.

Такое описание можно воспринимать и как многокомпонентную структуру, где !(г) соответствует г-му компоненту. Такая структура может быть подвергнута покомпонентному анализу с использованием методов характеризации, которые исходно определены для каждого из компонентов по отдельности. Вопрос влияния компонентов друг на друга рассмотрен более подробно в разделе 2.

Индикаторная функция границы г) определяется как

В(г)(г) = \У1(г)(г)\.

(1.2)

и принимает ненулевые значения, когда г находится на границе раздела. В случае двух компонентов граница будет общей для обоих компонентов:

В этом и других случаях, когда номер компонента не является значимым для задачи, индекс (г) будет опускаться. Таким образом, реализация некоторой случайной структуры может быть описана набором случайных полей У (г), 1(г),

1.2.2. Коррелятор случайного поля

Теперь, когда случайная гетерогенная структура описана в терминах случайных полей, её характеризация сводится к анализу их свойств. Реализация поля 1(г), например, на сетке с числом узлов п, представляет собой п совместно распределённых случайных величин 1(г&), где г^ € {г!, г2,..., гп}. Вероятность такого события определяется п-точечной функцией вероятности 5^г)(г1, г2,..., гп) (п-точечным коррелятором индикаторной функции), что в данном случае эквивалентно вероятности всем индикаторным функциям в соответствующих точках пространства принимать значение 1 одновременно:

5ЦгЬ г2, . . . , гп) = (1(г1)1(г2) . . . 1(гп)> = Р {1(г1) = 1, 1(г2) = 1, . . . , 1(гп) = 1} .

по ансамблю реализаций случайного поля. Аналогично вводятся п-точечные корреляторы полей У (г) и В (г); в частности, обозначает п-точечную автокорреляционную функцию границы (сокращение от

(1.3)

В (г).

^"(гьг2,..., г„) = (В(-){г1)В(,)(г2)... В«(г„)}

(1.5)

Сп(гь г2,..., г„) = (¥(г)(г1}¥(г)(г2)... ¥«(гп)) (1.6)

1.2.3. Одно- и двухточечные корреляторы

Вычисление п-точечных корреляторов зачастую с одной стороны оказывается избыточным, а с другой — вычислительно затратным. Так, например, 51 равна среднему значению соответствующего поля

ад мвд}, (1.7)

что имеет смысл доли соответствующего компонента. Двухточечная автокорреляционная функция в свою очередь равна

52(гЬ Г2) = (1(Г1)1(Г2)} = Р {1(Г1) = 1, 1(Г2) = 1} . (1.8)

Широко распространён случай стационарных полей — таких, что их автокорреляционная функция зависит от разности г = г1 — г2. В таком случае 52(т) = (1(г)1(г + г)}. В случае изотропного поля автокорреляционная функция зависит лишь от модуля аргумента сдвига: 52 = 52(|т|). Фактически, она имеет смысл вероятности двум точкам принадлежать соответствующему компоненту, находясь на расстоянии г.

Двухточечная автокорреляционная функция границы здесь и далее сокращённо обозначена как Г88:

^(гЬ Г2) = {Б(Г1)Б(Г2)} . (1.9)

1.2.4. Двухточечные корреляторы для дискретного поля

Особый практический интерес представляет вычисление автокорреляционных функций для полей, заданных на трёхмерной решётке, как показано в разделе 2. Для вектора г = (х,у,х)т, где х = 1,...,ЫХ, у = 1,...,ЫУ, ^ = 1,...,Ыг на равномерной сетке, при фиксированном г обозначим 1(г)(г)

как 1г. Вычисление автокорреляционной функции поля 1г в таком случае можно осуществить суммированием, например, с учётом периодических граничных условий /г+(ЛТя,0,0) = !т+(0,Жу,0) = !т+(0,0,ЛГг) =

^ = Е ^ ^ (ио)

Можно видеть, что [52] т имеет такую же размерность (Ых,Ыу), как и /г. В то время как в уравнении (1.8) усреднение производилось по ансамблю реализаций случайного поля, в данном случае вычисляется среднее по одной конкретной реализации. Такое пространственное усреднение нередко служит хорошим приближением автокорреляционной функции, однако оно не всегда точно отражает её статистические свойства. Для более надёжной оценки может потребоваться вычисление аналогичных сумм для множества различных реализаций и последующее усреднение полученных автокорреляционных функций. Такое ансамблевое усреднение позволяет получить более корректное приближение истинной автокорреляционной характеристики случайного поля. Расчёт тройной суммы по определению оказывается вычислительно затратным. Однако эта сложность может быть преодолена с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). В соответствии с теоремой Винера-Хинчина [36, 37] автокорреляционная функция выражается через обратное преобразование Фурье спектральной плотности, что позволяет вычислить её с помощью БПФ [4]:

1 2 ) = яХл^уЖ|РРТ(1' >1. (1Л1)

Пример бинарного поля и его из работы [4] приведён на рисунке 1.2.

1.2.5. Функция линейного пути

В работе [38] введена функция линейного пути Ь(г), описывающая вероятность того, что отрезок длины ^ полностью содержится в одной компоненте. В

Рисунок 1.2— Слева — пример реализации бинарного поля, справа — результат вычисления ]т этой реализации поля. Иллюстрации приведены из работы [4].

отличие от стандартной двухточечной корреляции 52(г), этот дескриптор чувствителен к связности компонент и отражает наличие протяжённых однородных областей. Авторы показали, что Ь(х) эквивалентна площади (или объёму) проекции компоненты на линию, что иллюстрируется на схематическом примере (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3— Геометрическая интерпретация функции линейного пути Ь(г) по [38]: вероятность нахождения отрезка длины г в одной компоненте эквивалентна доле её проекции на линию.

Для систем полностью проницаемых сфер получены точные аналитические выражения Ь(х) при любой размерности, а для непроницаемых сфер — приближённые формулы, проверенные методом Монте-Карло [38]. Функция Ь(х) убывает с ростом ^, что отражает снижение вероятности нахождения длинных однородных сегментов.

1.2.6. Функции ближайших соседей

При анализе случайных гетерогенных сред полезно рассматривать не только стандартные корреляционные функции ^(г), но и так называемые функции ближайших соседей. Эти характеристики дают информацию о вероятности нахождения ближайшей частицы (или ближайшей пустоты) на заданном расстоянии и, в отличие от усреднённых корреляций, чувствительны к локальной топологии и связности структуры.

В работе [39] были введены два типа таких функций. Функция ближайших соседей от пустоты Ну (г ) описывает вероятность того, что для произвольной точки пространства ближайшая частица находится на расстоянии между г и г + <1г. Эта функция напрямую связана с распределением размеров пустот и характеризует микропористость среды. Функция ближайших соседей от частицы Нр(г) определяет вероятность того, что ближайший сосед для выбранной частицы расположен на расстоянии между г и г + <1г, отражая пространственную организацию системы частиц.

Обе функции могут быть выражены через так называемые вероятности исключения:

Ну и = - ^, Нр (,) = - , (1.12)

где Еу(г) — вероятность того, что сферическая область радиуса г, помещённая в случайное место, пуста, а Ер(г) — вероятность того, что сфера радиуса г, построенная вокруг центра частицы, не содержит других центров.

На рисунке 1.4 представлены области, соответствующие определениям Ну (г )

и Нр(г), которые описывают распределение расстояний до ближайшего соседа. Эти функции особенно информативны при исследовании пористых сред и композитов, поскольку позволяют учитывать распределение размеров пустот и характер взаимного расположения частиц.

Рисунок 1.4— Геометрическая схема для определения функций ближайших соседей: (я) от пустоты Ну(г); (Ь) от частицы НР(г) согласно [39].

1.3. Реконструкция порового пространства

Гетерогенные структуры представляют собой класс многофазных материалов, играющий ключевую роль в различных областях — от материаловедения до биомедицинских исследований. Их свойства определяются такими параметрами, как доли компонентов, распределение неоднородностей по размерам и связность компонентов. Эти характеристики критически важны для моделирования физических и механических свойств материалов, а также для понимания их функциональных возможностей. Тем не менее, получение трёхмерных данных о внутреннем строении подобных структур обычно связано с использованием дорогостоящих и технически сложных методов. Поэтому важной задачей

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Черкасов Алексей Михайлович, 2025 год

Список литературы

1. 0ren P.-E., Bakke S. Process based reconstruction of sandstones and prediction of transport properties // Transport in Porous Media. 2002. Vol. 46, no. 2. P. 311-343.

2. Roberts A. P., Teubner M. Transport properties of heterogeneous materials derived from Gaussian random fields: bounds and simulation // Physical Review E. 1995. Vol. 51, no. 5. P. 4141.

3. Hyman J. D., Winter C. L. Stochastic generation of explicit pore structures by thresholding Gaussian random fields // Journal of Computational Physics. 2014. Vol. 277. P. 16-31.

4. Fullwood D. T., Niezgoda S. R., Kalidindi S. R. Microstructure reconstructions from 2-point statistics using phase-recovery algorithms // Acta Materialia. 2008. Vol. 56, no. 5. P. 942-948.

5. Yeong C. L., Torquato S. Reconstructing random media // Physical Review E. 1998. Vol. 57, no. 1. P. 495.

6. Karsanina M. V., Gerke K. M. Hierarchical optimization: Fast and robust mul-tiscale stochastic reconstructions with rescaled correlation functions // Physical Review Letters. 2018. Vol. 121, no. 26. P. 265501.

7. Strebelle S. Conditional simulation of complex geological structures using multiple-point statistics // Mathematical Geology. 2002. Vol. 34. P. 1-21.

8. Tahmasebi P., Hezarkhani A., Sahimi M. Multiple-point geostatistical modeling based on the cross-correlation functions // Computers & Geosciences. 2012. Vol. 40. P. 15-26.

9. Mosser L., Dubrule O., Blunt M. J. Reconstruction of three-dimensional porous media using generative adversarial neural networks // Physical Review E. 2017. Vol. 96, no. 4. P. 043309.

10. Gommes C. J., Jiao Y., Torquato S. Density of states for a specified correlation function and the energy landscape // Physical Review Letters. 2012. Vol. 108,

no. 8. P. 080601.

11. Torquato S. et al. Random heterogeneous materials: microstructure and macroscopic properties. Springer, 2002. Vol. 16.

12. Jiao Y., Chawla N. Modeling and characterizing anisotropic inclusion orientation in heterogeneous material via directional cluster functions and stochastic microstructure reconstruction // Journal of Applied Physics. 2014. Vol. 115, no. 9. P. 093511.

13. RoZanski A., Rainer J., Stefaniuk D. et al. Identification of 'replace-ment'microstructure for porous medium from thermal conductivity measurements: Problem formulation and numerical solution // International Journal of Engineering Science. 2023. Vol. 182. P. 103788.

14. Gerke K. M., Vasilyev R. V., Khirevich S. et al. Finite-difference method Stokes solver (FDMSS) for 3D pore geometries: Software development, validation and case studies // Computers & geosciences. 2018. Vol. 114. P. 41-58.

15. Gerke K. M., Karsanina M. V., Katsman R. Calculation of tensorial flow properties on pore level: Exploring the influence of boundary conditions on the permeability of three-dimensional stochastic reconstructions // Physical Review E. 2019. Vol. 100, no. 5. P. 053312.

16. Prokhorov D., Lisitsa V., Bazaikin Y. Digital image reduction for the analysis of topological changes in the pore space of rock matrix // Computers and Geotechnics. 2021. Vol. 136. P. 104171.

17. Gerke K. M., Sizonenko T. O., Karsanina M. V. et al. Improving watershed-based pore-network extraction method using maximum inscribed ball pore-body positioning // Advances in water resources. 2020. Vol. 140. P. 103576.

18. Balashov V., Savenkov E., Khlyupin A., Gerke K. M. Two-phase regularized phase-field density gradient Navier-Stokes based flow model: Tuning for mi-crofluidic and digital core applications // Journal of Computational Physics. 2025. Vol. 521. P. 113554.

19. Vogel H.-J., Weller U., Schlüter S. Quantification of soil structure based on

Minkowski functions // Computers & Geosciences. 2010. Vol. 36, no. 10. P. 1236-1245.

20. Fomin D. S., Yudina A. V., Romanenko K. A. et al. Soil pore structure dynamics under steady-state wetting-drying cycle // Geoderma. 2023. Vol. 432. P. 116401.

21. Gerke K. M., Khirevich S., Vasilyev R. V. et al. Soil hydraulic properties derived from pore-scale simulations: digital assessment of Ksat through model intercom-parison and verification with experimental data // Soil and Tillage Research. 2026. Vol. 255. P. 106790.

22. Capek P., Hejtmanek V., Kolafa J., Brabec L. Transport properties of stochastically reconstructed porous media with improved pore connectivity // Transport in porous media. 2011. Vol. 88. P. 87-106.

23. Gerke K., Korost D., Vasilyev R. et al. Studying structure and determining permeability of materials based on X-Ray microtomography data (using porous ceramics as an example) // Inorganic Materials. 2015. Vol. 51, no. 9. P. 951-957.

24. Whitaker S. Flow in porous media I: A theoretical derivation of Darcy's law // Transport in porous media. 1986. Vol. 1, no. 1. P. 3-25.

25. Gerke K. M., Karsanina M. V., Mallants D. Universal stochastic multiscale image fusion: an example application for shale rock // Scientific reports. 2015. Vol. 5, no. 1. P. 1-12.

26. Karsanina M. V., Lavrukhin E. V., Fomin D. S. et al. Compressing soil structural information into parameterized correlation functions // European Journal of Soil Science. 2021. Vol. 72, no. 2. P. 561-577.

27. Zubov A. S., Khlyupin A. N., Karsanina M. V., Gerke K. M. In search for representative elementary volume (REV) within heterogeneous materials: A survey of scalar and vector metrics using porous media as an example // Advances in Water Resources. 2024. Vol. 192. P. 104762.

28. Hapca S., Baveye P. C., Wilson C. et al. Three-dimensional mapping of soil chemical characteristics at micrometric scale by combining 2D SEM-EDX data and 3D X-Ray CT images // PloS one. 2015. Vol. 10, no. 9. P. e0137205.

29. Jiao Y., Stillinger F., Torquato S. Modeling heterogeneous materials via two-point correlation functions: Basic principles // Physical Review E—Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2007. Vol. 76, no. 3. P. 031110.

30. Malmir H., Sahimi M., Jiao Y. Higher-order correlation functions in disordered media: Computational algorithms and application to two-phase heterogeneous materials // Physical Review E. 2018. Vol. 98, no. 6. P. 063317.

31. Postnicov V., Karsanina M. V., Khlyupin A., Gerke K. M. Evaluation of three-point correlation functions from structural images on CPU and GPU architectures: Accounting for anisotropy effects // Physical Review E. 2024. Vol. 110, no. 4. P. 045306.

32. Postnicov V., Samarin A., Karsanina M. V. et al. Evaluation of classical correlation functions from 2/3D images on CPU and GPU architectures: Introducing CorrelationFunctions. jl // Computer Physics Communications. 2024. Vol. 299. P. 109134.

33. Ma Z., Torquato S. Precise algorithms to compute surface correlation functions of two-phase heterogeneous media and their applications // Physical Review E. 2018. Vol. 98, no. 1. P. 013307.

34. Samarin A., Postnicov V., Karsanina M. V. et al. Robust surface-correlation-function evaluation from experimental discrete digital images // Physical Review E. 2023. Vol. 107, no. 6. P. 065306.

35. Postnicov V., Karsanina M. V., Khlyupin A., Gerke K. M. The 2-and 3-point surface correlation functions calculations: From novel exact continuous approach to improving methodology for discrete images // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2023. Vol. 628. P. 129137.

36. Wiener N. Generalized harmonic analysis // Acta mathematica. 1930. Vol. 55, no. 1. P. 117-258.

37. Khintchine A. Korrelationstheorie der stationaren stochastischen Prozesse // Mathematische Annalen. 1934. Vol. 109, no. 1. P. 604-615.

38. Lu B., Torquato S. Lineal-path function for random heterogeneous materials //

Physical Review A. 1992. Vol. 45, no. 2. P. 922.

39. Torquato S., Lu B., Rubinstein J. Nearest-neighbor distribution functions in many-body systems // Physical Review A. 1990. Vol. 41, no. 4. P. 2059.

40. Mollon G., Zhao J. Generating realistic 3D sand particles using Fourier descriptors // Granular Matter. 2013. Vol. 15. P. 95-108.

41. Mollon G., Zhao J. 3D generation of realistic granular samples based on random fields theory and Fourier shape descriptors // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2014. Vol. 279. P. 46-65.

42. Gommes C. J., Asset T., Drnec J. Small-angle scattering by supported nanopar-ticles: exact results and useful approximations // Applied Crystallography. 2019. Vol. 52, no. 3. P. 507-519.

43. Roberts A. P. Statistical reconstruction of three-dimensional porous media from two-dimensional images // Physical Review E. 1997. Vol. 56, no. 3. P. 3203.

44. Hauptman H., Karle J. Solution of the phase problem for space group P\overline {1} // Acta Crystallographica. 1954. Vol. 7, no. 4. P. 369-374.

45. Gerchberg R. W. A practical algorithm for the determination of plane from image and diffraction pictures // Optik. 1972. Vol. 35, no. 2. P. 237-246.

46. Hasanabadi A., Baniassadi M., Abrinia K. et al. Efficient three-phase reconstruction of heterogeneous material from 2D cross-sections via phase-recovery algorithm // Journal of Microscopy. 2016. Vol. 264, no. 3. P. 384-393.

47. Baniassadi M., Safdari M., Garmestani H. et al. An optimum approximation of n-point correlation functions of random heterogeneous material systems // The Journal of Chemical Physics. 2014. Vol. 140, no. 7.

48. Mariethoz G., Caers J. Multiple-point geostatistics: stochastic modeling with training images. John Wiley & Sons, 2015.

49. Hajizadeh A., Safekordi A., Farhadpour F. A. A multiple-point statistics algorithm for 3D pore space reconstruction from 2D images // Advances in Water Resources. 2011. Vol. 34, no. 10. P. 1256-1267.

50. Mariethoz G., Renard P., Straubhaar J. The direct sampling method to perform

multiple-point geostatistical simulations // Water Resources Research. 2010. Vol. 46, no. 11.

51. Tahmasebi P., Sahimi M. Enhancing multiple-point geostatistical modeling: 1. Graph theory and pattern adjustment // Water Resources Research. 2012. Vol. 48, no. 6.

52. Tahmasebi P., Sahimi M. Enhancing multiple-point geostatistical modeling: 2. Iterative simulation and multiple distance function // Water Resources Research. 2012. Vol. 48, no. 6.

53. Kirkpatrick S., Gelatt Jr C. D., Vecchi M. P. Optimization by simulated annealing // science. 1983. Vol. 220, no. 4598. P. 671-680.

54. Metropolis N., Rosenbluth A. W., Rosenbluth M. N. et al. Equation of state calculations by fast computing machines // The journal of chemical physics. 1953. Vol. 21, no. 6. P. 1087-1092.

55. Yeong C. L. Y., Torquato S. Reconstructing random media. II. Three-dimensional media from two-dimensional cuts // Physical Review E. 1998. Vol. 58, no. 1. P. 224-233.

56. Campaigne W. R., Fieguth P. W. Frozen-state hierarchical annealing // IEEE transactions on image processing. 2012. Vol. 22, no. 4. P. 1486-1497.

57. Lemmens L., Rogiers B., Jacques D. et al. Nested multiresolution hierarchical simulated annealing algorithm for porous media reconstruction // Physical Review E. 2019. Vol. 100, no. 5. P. 053316.

58. Goodfellow I. J., Pouget-Abadie J., Mirza M. et al. Generative adversarial nets // Advances in neural information processing systems. 2014. Vol. 27.

59. Gommes C. J., Jiao Y., Torquato S. Microstructural degeneracy associated with a two-point correlation function and its information content // Physical Review E. 2012. Vol. 85, no. 5. P. 051140.

60. Torquato S. Necessary conditions on realizable two-point correlation functions of random media // Industrial & engineering chemistry research. 2006. Vol. 45, no. 21. P. 6923-6928.

61. Cohen L. The generalization of the Wiener-Khinchin theorem // Proceedings of the 1998 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, ICASSP'98 (Cat. No. 98CH36181) / IEEE. Vol. 3. 1998. P. 1577-1580.

62. Kennedy J., Eberhart R. Particle swarm optimization // Proceedings of IC-NN'95-international conference on neural networks / ieee. Vol. 4. 1995. P. 1942-1948.

63. Singer S., Nelder J. Nelder-mead algorithm // Scholarpedia. 2009. Vol. 4, no. 7. P. 2928.

64. Gerke K. M., Karsanina M. V. Improving stochastic reconstructions by weighting correlation functions in an objective function // Europhysics Letters. 2015. Vol. 111, no. 5. P. 56002.

65. Capek P., Hejtmanek V., Brabec L. et al. Stochastic reconstruction of particulate media using simulated annealing: improving pore connectivity // Transport in porous media. 2009. Vol. 76, no. 2. P. 179-198.

66. Vesely M., Bultreys T., Peksa M. et al. Prediction and evaluation of time-dependent effective self-diffusivity of water and other effective transport properties associated with reconstructed porous solids // Transport in Porous Media. 2015. Vol. 110, no. 1. P. 81-111.

67. Ландау , Лифшиц Теоретическая физика. Гидродинамика // Теоретическая физика. Гидродинамика. Наука, 1986.

68. Tang T., Teng Q., He X., Luo D. A pixel selection rule based on the number of different-phase neighbours for the simulated annealing reconstruction of sandstone microstructure // Journal of Microscopy. 2009. Vol. 234, no. 3. P. 262-268.

69. Pant L. M., Mitra S. K., Secanell M. Stochastic reconstruction using multiple correlation functions with different-phase-neighbor-based pixel selection // Physical Review E. 2014. Vol. 90, no. 2. P. 023306.

70. Politis M., Kikkinides E., Kainourgiakis M., Stubos A. A hybrid process-based and stochastic reconstruction method of porous media // Microporous and Meso-porous Materials. 2008. Vol. 110, no. 1. P. 92-99.

71. Thovert J.-F., Adler P. Grain reconstruction of porous media: Application to a Bentheim sandstone // Physical Review E—Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2011. Vol. 83, no. 5. P. 056116.

72. Khlyupin A., Dinariev O. Y. Fractal analysis of the 3D microstructure of porous materials // Technical Physics. 2015. Vol. 60, no. 6. P. 805-810.

73. Ju Y., Zheng J., Epstein M. et al. 3D numerical reconstruction of well-connected porous structure of rock using fractal algorithms // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2014. Vol. 279. P. 212-226.

74. Aslyamov T., Khlyupin A., Pletneva V., Akhatov I. Theoretical approach to rough surface characterization for silica materials // The Journal of Physical Chemistry C. 2019. Vol. 123, no. 47. P. 28707-28714.

75. Tahmasebi P., Sahimi M. Cross-correlation function for accurate reconstruction of heterogeneous media // Physical Review Letters. 2013. Vol. 110, no. 7. P. 078002.

76. Tahmasebi P., Sahimi M. Reconstruction of three-dimensional porous media using a single thin section // Physical Review E. 2012. Vol. 85, no. 6. P. 066709.

77. Gravey M., Mariethoz G. QuickSampling v1. 0: a robust and simplified pixel-based multiple-point simulation approach // Geoscientific Model Development. 2020. Vol. 13, no. 6. P. 2611-2630.

78. Golub G. H., Van Loan C. F. Matrix computations. JHU press, 2013.

79. Crawford J., Torquato S., Stillinger F. H. Aspects of correlation function realiz-ability // The Journal of chemical physics. 2003. Vol. 119, no. 14. P. 7065-7074.

80. Uche O., Stillinger F., Torquato S. On the realizability of pair correlation functions // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2006. Vol. 360, no. 1. P. 21-36.