Использование суперсимметрии для интегрирования уравнений Эйнштейна и гладкая фантомизация тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Верещагин, Сергей Дмитриевич

• Верещагин, Сергей Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Верещагин, Сергей Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАРБУ.

1.1 ПД для одномерного уравнения Шредингера и его обобщения

1.2 Нарушенная сунсрсиммстрия.

1.3 БПС состояния.

1.4 Расширенная суперсимметрия.

1.5 Преобразования Мутара в высших измерениях.

1.6 ПМ и эллиптический комплекс.

1.7 Трехмерные преобразования Мутара в потенциалах типа Ааронова-Бома.

ГЛАВА 2. Преобразование Дарбу в космологии.

2.1 Построение интегрируемых моделей в метрике Фридмана-Леметра-Робертсона-Уолкера

2.2 Точно решаемые космологии.

2.3 Постановка задачи.СО 2.4 Простейшая модель.G

2.5 Преобразование Дарбу

2.6 Преобразование Дарбу и тахионная нестабильность

2.7 Плоский спектр и ПД.

2.8 Реконструкция потенциала У(ф).

2.9 Возмущения плотности.

ГЛАВА 3.

Общие решения уравнений Эйнштейна и энергетические условия.

3.1 Сиисок возможных объяснений

3.2 Гладкая фантомизация.

3.3 Можно ли избежать сингулярности большого разрыва через кротовую нору?.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование суперсимметрии для интегрирования уравнений Эйнштейна и гладкая фантомизация»

Актуальность темы

Предлагаемая работа посвящена изучению многомерных преобразований Дарбу-Мутара и обобщенного комплекса Де Рама, а также механизмов связи этих преобразований с процедурой нарушения суперсимметрии, с генерацией расширенной суперсимметрии и с БПС состояниями. Кроме того рассматривается суперсимметричный подход к построению точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана. 1) Эффективным способом построения суперсимметричных моделей является метод преобразований Дарбу ПД. В одномерном случае, ПД позволяет построить квантовый гамильто-* ниан с наперёд заданным конечным дискретным спектром. Изоспектральные системы в одномерном случае возникают в случае, когда опорная функция ПД является положительно определённой. Например, если в качестве таковой выступает волновая функция основного состояния исходного гамильтониана, то спектр (дискретный) нового гамильтониана получается из спектра исходного просто вычёркиванием нижнего уровня. Если, всюду положительная, опорная функция достаточно быстро растёт вдоль обоих направлений вещественной оси, то подобной процедурой можно по-t лучить спектр исходного гамильтониана из спектра нового. Наконец, если положительно-определённая опорная функция быстро растёт в одном направлении и убывает в другом, то спектры гамильтонианов, сплетённых посредством ПД - совпадают. В последнем случае реализуется нарушенная суперсимметрия, а в первых двух - точная. Кроме того, можно удалять уровни из любого места спектра группами, если пользоваться схемой Адлера. В многомерном случае (d>l), ситуация становится гораздо сложнее., поскольку при этом возникает последовательность сплетающих ся друг с другом матричных гамильтонианов. Изоспектральными оказываются лишь ближайшие соседи этой цепочки, спектры же двух скалярных гамильтонианов замыкающих цепочку вообще говоря никак не связаны. Использование; в качестве опорной волновой функции основного состояния исходного скалярного гамильтониана с потенциалом степенного типа, приводит, как и в одномерном случае, к исчезновению нижнего уровня у всех остальных гамильтонианов цепочки. Можно, однако использовать другие потенциалы, которые приводят к качественно новому поведению. Например, в двух измерениях цепочка состоит из двух скалярных и одного матричного гамильтонианов. Можно, оказывается, найти модели, такие, что ПД будет "удалять"нижний уровень в спектре правого замыкающего скалярного гамильтониана, но "оставлять"его в спектре матричного. Можно добиться и обратного: наличия нижнего уровня в спектрах правого замыкающего и матричного. В обоих случаях, в спектре суиерсимметричного гамильтониана, который строится блочно-диагональным образом из этих трёх, будет присутствовать двукратно-вырожденный уровень Е=0. Аналогичную процедуру можно провести и для произвольной размерности.

Такие модели могут быть весьма интересны с точки зрения теории ноля. Как известно, d-мерная суперсимметричная квантовая механика, построенная но описанной выше схеме может быть рассмотрена, как (0+1)-мерная теория d-комнонентного суперполя. Роль независимых переменных в такой модели играют время и двухкомпонентный антикоммутирующий, майорановский спинор. Суперсимметричный лагранжиан содержит потенциальное слагаемое (сунерпотенциал), которое является логарифмом опорной функции ПД, взятого с обратным знаком. В рамках такой, достаточно простой, но уже нетривиальной теории поля, можно рассмотреть вопрос о спектре масс частиц, входящих в супермультиплет, который содержит d скалярных и d фермионных полей. Ограничимся случаем d—2. Если рассмотреть случай "исчезающего"урогшя, то суперсимметрия будет точной. Если выбрать в качестве опорной положительно определённую, и ограниченную вдоль какого нибудь направления на плоскости функцию,то получится нарушенная суперсимметрия. Наконец, выбирая исходный потенциал модели, так, чтобы нижний уровень одного из замыкающих скалярных гамильтонианов совпадал с нижним уровнем матричного, получим суперсимметричную модель с двукратно вырожденным уровнем Е=0. В этом случае суперсимметрия не нарушена - операторы суперсимметрии будут уничтожать соответствующие вакуумные волновые функции, а не переводить их друг в друга. Исследование системы с точной суперсимметрией, I но вырожденным основным состоянием может оказаться весьма полезным и в реалистичных моделях.

2) Космология в настоящий момент является одним из наиболее интересных и бурно развивающихся разделов физики. Однако, исследования в ней осложняются тем обстоятельством, что известно сравнительно небольшое количество точных решений соответствующих уравнений, адекватное приближение существует далеко не всегда, а численный анализ может пропустить целые классы решений или не заметить некоторые особенности их ^ поведения. В настоящей работе предложен метод, основанный на использовании преобразования Дарбу (или суперсимметрии), позволяющий построить новый класс точных космологических моделей. Так же в работе проведены исследования полученных моделей для некоторых интересных случаев, что, в частности, позволило открыть явление гладкой фантомиза-ции, то есть возможность такой эволюции Вселенной, при которой обычное состояние в некоторый момент времени гладко (то есть без разрывов как функций, так и их производных) переходит в состояние с нарушенным сла бым энергетическим условием (р > 0, р-f р/с2 > 0). В работе исследованы разнообразные следствия этого явления и рассмотрены возможные возражения против него; разработан метод, позволяющий вырезать области с нарушением слабого энергетического условия который позволяет, в частности, построить точную космологическую модель с первичной инфляцией, выходом из неё и вторичной инфляцией.

Цель и задачи

Цель работы заключается в

1. разработке математической техники позволяющей строить нолевые модели с нарушенной сунерсимметрией и генерировать БПС состояния с помощью многомерных преобразований Дарбу-Мутара;

2. реализации алгебр расширенной суперсимметрии в двумерной супер-симметричиой квантовой механике;

3. изучении связи многомерных преобразований Мутара с геометрией обобщенного эллиптического комплекса;

4. построении трехмерных преобразований Мутара связывающих скалярные гамильтонианы при наличии потенциалов типа Ааропова-Бома;

5. применении методов суперсимметрии для построения точных космологических решений в метрике Фридмана;

6. изучении режимов гладкой фантомизации и возможных подходов позволяющих избавиться от решений такого типа.

Предмет исследования

Суперсимметричпая квантовая механика, многомерные преобразования Дарбу-Мутара, обобщенный комплекс Де Рама, БПС состояния, нарушенная суперсимметрия, использование преобразования Дарбу для построения точных космологичесих моделей, анализ свойств таких моделей, явление гладкой фантомизации.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту.

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Показано, что нарушение суперсимметрии в ССКМ приводит к раздвижке масс в соответствующей полевой теории.

2. Предложен метод построения суперсимметричной квантовой механики с вырожденным уровнем Е=0. Приведены аргументы в пользу того, что соответствующие состояния являются БПС состояниями.

3. Предложен метод получения двумерных преобразований Мутара, который может быть обобщен на случай трех измерений путем использования неинтегрируемой Дираковской фазы.

4. Развит метод построения точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана использующий преобразование суиерсиметрии.

5. Обнаружено явление гладкой фантомизации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Верещагин, Сергей Дмитриевич

Заключение

Перечислим основные результаты полученные в диссертации.

1. Показано, что нарушение суперсимметрии в ССКМ приводит к раздвижке масс в соответствующей нолевой теории.

2. Предложен метод построения суперсимметричпой квантовой механики с вырожденным уровнем Е-0. Приведены аргументы в пользу того, что соответствующие состояния являются БПС состояниями.

3. Предложен метод получения двумерных преобразований Мутара, который может быть обобщен на случай трех измерений путем использования неинтегрируемой Дираковской фазы.

4. Развит метод построения точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана использующий преобразование суперсиметрии.

5. Открыто явление гладкой фантомизации. Разобраны его следствия, а так же возможные возражения против него.

Результаты были опубликованы, в том числе в реферируемых журналах (см приложение Б).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Верещагин, Сергей Дмитриевич, 2006 год

1. М. Abramowitz and 1.A. Stegun,"Handbook of Mathematical Functions with Formulas. Graphs and Mathematical Tables", National Bureau of Standards applied mathematics series 55 (1964).

2. В. Э. Адлер, Теор. и мат. физ., т.101, N3, 323 (1994)

3. Адлер В. Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. // ТМФ. Т. 125, N3 С/ 356-424 (2000).

4. A. Albrecht and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 48, 1220 (1982).

5. Андрианов A.A., Борисов H.B., Иоффе M.B. // ТМФ. 1984. Т.61. N2. С.183.

6. Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В., Эйдес М.И. // ТМФ. 1984. Т.61. N1. С.17.

7. А.А. Andrianov, N.V. Borisov and M.V. Ioffe, Phys.Lett.A(105) 19 (1984); A.A. Andrianov, N.V. Borisov M.I. Eides and M.V. Ioffe, Phys.Lett.A(109) 143 (1984).

8. Andrianov A.A. and Ioffe M.V. // Phys.Lett. Ser.B. 1991. V. 255. N4. P.543.

9. Андрианов A.A., Иоффе M.B., Нипшианидзе Д.Н. // ТМФ. 1995. Т.104. N3. С. 463; Andrianov А.А., Ioffe M.V. and Nishnianidze D.N.// Phys.Lett. A201 (1995) 103 hep-th/9404120].

10. Alexander A. Andrianov, Francesco Cannata, Alexander Y. Karnenshchik, Smooth dynamical (de)-phantomization of a scalarfield in simple cosmological models. Phys.Rev. D72 (2005) 043531, gr-qc/0505087.

11. Andrianov A.A., Ioffc M.V. and Nishnianidze D.N.// J.Phys. A32 (1999) 4641, solv-int/9810006.,

12. J. D. Barrow, Phys. Lett. B, 235,40 (1990).

13. J. D. Barrow and P. Saich, Class. Q. Grav., 10, 279 (1993).

14. J. D. Barrow, Phys. Rev. D 49 3055 (1994).

15. Yu. V. Baryshev, Astronomical and Astrophysical Transaction, Vol. 19, pp. 417-435 (2000).

16. Березовой В.П., Пашнев А.И. // ТМФ. 1987. Т.70. N1. С. 146.

17. Березовой В.П., Пашнев А.И. // ТМФ. 1989. Т.78. N2. С.136. '

18. М. Bordag and A. Yurov. Spontaneous Symmetry Breaking and Refiectionless Scattering Data// Phys. Rev. D 67 025003-1(9) (2003) hep-th/0206199].

19. R. Branderberger and F. Finelli, "On the Spectrum of Fluctuations in the Field Theory of the Ekpyrotic Universe", JHEP 0111, 056 (2001) hep-th/0109004].

20. R.R. Caldwell, M. Kamionkowski and N.N. Weinberg, Phantom Energy and Cosmic Doomsday. Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 071301, astro-ph/0302506].

21. R.R. Caldwell, A Phantom Menace? Cosmological consequences of a dark energy component with super-negative equation of state. Phys. Lett. В 545, 23-29 (2002), astro-ph/9908168].

22. Constantin P. and Wu J. The Inviscid Limit for Non-Smooth Vortivity. Indiana University Mathematics Journal, 45, No.l, (199G).

23. M. M. Crum, Quart. J. Math. Oxford 6 no. 2 (1955) 121.

24. A.D. Dolgov, hep-ph/0203245] vl (2002).

25. Faux M. and Spector D. //quant-ph/0401163J.2G. R. Dick, Class, and Quantum Grav., V. 18, N. 7, Rl-24 (2001) hep-th/0105320].

26. G. F. R. Ellis and M. S. Madsen, Class. Q. Grav., 8, GG7 (1991).

27. G. Felder, A. Frolov, L. Kofman and A. Linde, "Cosmology With Negative Potentials", CITA-2002-04 SU-ITP-02/05 hep-th/0202017] (2002).

28. P. M. Garnavich et al, Astrophys. J. 509, 74 (1998) astro-ph/980G39G],

29. A. Gorizales-Lopes and N. Kamran, J.Geom.Phys.26202-226 (1998) hep-th/9612100].

30. A. H. Guth, Phys. Rev. D 23, 347 (1981).

31. E. Hopf. Comm. Pure Appl. Math. 3, 201-230 (1950).

32. Hurni M. J. Phys. A: Math. Gen. 21, (1988) 2075 .

33. L. Infeld and Т.Е. Hull, Rev.Mod.Phys. V. 23 p. 21 (1951).

34. A.H. Jaffe et al., Phys. Rev. Lett. 86, 3475 (2001).3G. R. Kallosh, L. Kofman, and A. Linde, Phys. Rev. D 64, 123523 (2001).37| R. Kallosh, A. D. Lindc, S. Prokushkin and M. Shrnakova, Phys. Rev. D G5, 105016 (2002) hop-th/0110089.

35. A. Kamenshchik, U. Moschella and V. Pasquicr, gr-qc/0103004],

36. J. Khouru, B.A. Ovrut, P.J. Stcinhardt and N. Turok, Phys. Rev. D 64, 123522 (2001) hep-th/0103239].

37. Leble S.B., Yurov A.V. The Addition of the Lower Level to Spectrums of Matrix and Scalar Components of d=2 SUSY Hamiltonian.// quant-ph-9805036.

38. J. E. Lidsey, Class. Q. Grav., 8, 923 (1991). .

39. A. D. Linde, Phys. Lett. В 108, 389 (1982).

40. A.D. Linde, Phys. Lett. 129B, 177 (1983).

41. A. D. Linde, Phys. Lett. В 200, 272 (1988).

42. A. D. Linde, Phys. Lett. B, 200, 272 (1988); Particle Physics and Inflationary Cosmology, Harwood, Chur, Switzerland (1990).

43. A. D. Linde, Phys. Rev. D 49, 748 (1994) astro-ph/9307002],

44. A. Linde, "Fast-roll inflation", JHEP 0111, 052 (2001) hep-th/0110195].

45. A. Linde, "Inflationary Theory Versus Ekpyrotic/Cyclic Scenario", hep-th/0205259] SU-ITP-02-25 (2002).

46. A. Linde, Can we have inflation with Omega > 1? JCAP 0305 (2003) 002, astro-ph/0303245].

47. D. H. Lyth, hep-ph/0110007].

48. D. H. Lyth and D. Wands, Phys. Lett. В 524 524, 5-14 (2002) hcp-ph/0110002].

49. R. Maartens, D. R. Taylor and Roussos, Phys. Rev. D 52 3358 (1995).

50. V.B. Matveev and M.A. Salle "Darboux Transformation and Solitons", Berlin-Heidelberg: Springer Verlag, 1991

51. Miao Li, A Model of Holographic Dark Energy. Phys.Lett. BG03 (2004) 1, hep-th/0403127].

52. Moutard. Th.F. // C. R. Acad. Sci. Paris. 1875. V. 80. P. 729.5G. H. B. Nielsen and C. Froggatt, hcp-ph/9607375].

53. H.-P. Nilles, Phys. Rep. 110, 1-162 (1984).

54. P.Parson and J. D. Barrow, Class. Q. Grav., 12, 1715 (1995).

55. Pedro F. Gonzalez-Diaz, Achronal cosmic future. Phys.Rev.Lett. 93 (2004) 071301, astro-ph/0404045],

56. GO. Pedro F. Gonzalez-Diaz, Holographic cosmic energy, fundamental theories and the future of the universe. IMAFF-RCA-05-02, astro-ph/0507714.]

57. F. Pempinelli, Localized Soliton Solution for the DS-1 and DS-3 equations, PM/92-31, August, 1992

58. S. Perhnutter et al. Astrophys. J. 517, 565 (1999) astro-ph/9812133].

59. G3. M.D. Pollock, Phys. Lett. В 215, G35-G41 (1988).

60. В. Ratra and P. J. Peebles, Phys. Rev. D 37, 3406 (1988).

61. A. G. Riess et al., Astron. J. 116, 1009 (1998) astro-ph/9805201].

62. GG. Салль M.A., Юров А.В. // Факторизация двумерных гамильтонианов и алгебра расширенной суперсимметрии: препринт НМЦАО. N930G-3. С.-Петербург.1. G7 G81. G970 7172 73 [7475 7G [77

63. V. Sahni and Y. Shtanov, astro-ph/0202346j.

64. D. N. Spergel et al., First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters, astro-ph/0302209.

65. T.P. J. Steinhardt, L. M. Wang and I. Zlatev, Phys. Rev. D 59, 123504 (1999) astro-ph/9812313.,

66. P.J. Steinhardt and N. Turok, hep-th/0111030. (2001).

67. P. J. Steinhardt and N. Turok, Phys. Rev. D 65, 126003 (2002) hep-th/0111098.

68. P. J. Steinhardt and N. Turok, astro-ph/0112537.

69. S.I. Svinolupov and R.I. Yamilov, Theor. and Math. Phys. 98 (1994) 207

70. M. Tegmark, A. de Oliveira-Costa and A. Hamilton, A high resolution foreground cleaned CMB map from WMAP, astro-ph/0302496.,

71. F. J. Tiplcr and J. Graber, gr- qc/0003082.

72. Верещагин С.Д., Юров А.В. // ТМФ, Т. 139 N3 (2004) 405

73. Весе 10. Суперсиммстрия и супергравитация. М., Мир, 1986;

74. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. М., Мир, 1989.

75. Юров А.В. Преобразование Дарбу в квантовой механике. Уч. иос., Калилинград (1998) С.1-99.

76. Yurov A.V. Exact Inflationary Cosmologies With Exit: From Complex Infiaton Field To An "Anti-inflaton"One.//Class. Quantum Grav. 18, 2001, pp. 3753-3766.

77. V. M. Zhuravlev, S. V. Chervon, and V. K. Shchigolev, JETP, 87, 2231998); V. M. Zhuravlev, S. V. Chervon, and V. K. Shchigolev, Phys. Lett. B, 398, 269 (1997).

78. V. M. Zhuravlev and S. V. Chervon, JETP, 91, 227 (2000).

79. I. Zlatev, L. M. Wang and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 82, 8961999) astro-ph/9807002.

80. R.R. Caldwell, M. Kamionkowski and N.N. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 071301, astro-ph/0302506].

81. S.M. Carroll, M. Hoffman and M. Trodden, Phys. Rev. D68 (3003) 023509, astro-ph/0301273].

82. Pedro F. Gonzalez-Diaz, hep-th/0411070], Pedro F. Gonzalez-Diaz, Phys. Rev. D69, 0C3522 (2004).

83. L. M. Krauss and G. D. Starkman, astro-ph/0404510].

84. F. J. Tipler, astro-ph/0111520].

85. S. Nojiri and S.D. Odintsov, hep-th/0405078].

86. J. Garriga, V.F. Mukhanov, K.D. Olum and A. Vilenkin, astro ph/9909143].