Исследование больших вязкоупругопластических деформаций в трехмерной постановке МКЭ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Султанов, Ленар Усманович

• Султанов, Ленар Усманович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Султанов, Ленар Усманович

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ.

1.1. Кинематика движения среды.

1.2. Напряженное состояние.

1.3. Уравнения движения.

1.4. Принцип виртуальных мощностей.

1.5. Вариационное уравнение в скоростях напряжений.

ГЛАВА 2. ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕРИАЛЫ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ.

2.1. Свойство индифферентности.

2.2. Нелинейно упругое тело.

2.3. Стандартный материал второго порядка.

2.4. Определяющие соотношения в виде линейного закона Гука.

2.5. Условие пластичности.

2.6. Основные положения теории пластического течения. щ 2.7. Метод проецирования напряжений на поверхность текучести.

2.8. Основные положения теории ползучести.

ГЛАВА 3. МЕТОД ПОШАГОВОГО НАГРУЖЕНИЯ.

3.1. Общий алгоритм.

3.2. Итерационное уточнение текущего НДС.

3.3. Исследование закритического состояния.

3.4. Конечноэлементная дискретизация.

3.5. Пересчет напряжений и геометрии.

3.6. Решение СЛАУ.

3.7. Описание пакета прикладных программ.

- ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ.

4.1. Изгиб балки в кольцо.

4.2. Упругопластическое деформирование толстостенной трубы.

4.3. Упругое деформирование прямоугольной плиты.

4.4. Упругопластическое деформирование балки.

4.5. Исследование закритического поведения арки.

4.6. Растяжение вязкоупругого бруса.

4.7. Вязкоупругопластическое деформирование «подковы».

4.8. Упругопластическое деформирование трубы.

4.9. Расчет грунтовой насыпи.;.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование больших вязкоупругопластических деформаций в трехмерной постановке МКЭ»

В последнее время со стороны исследователей значительно возрос интерес к нелинейным задачам механики твердого деформируемого тела, учитывающих все более сложные процессы. Такие задачи возникают в производстве, где широко используются материалы со сложными физико-механическими свойствами, также существует проблема моделирования технологических процессов. При этом нужно учитывать, что в элементах конструкций могут возникать конечные деформации, и решение задач такого рода осложняется тем, что материалы характеризуются различными физическими свойствами, такими как упругость, пластичность, вязкость. Поэтому создание эффективных методик исследования нелинейных процессов деформирования, применимых к более широкому классу задач, является актуальной задачей на сегодняшний день.

Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации методики исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) вязкоупругопластических трехмерных тел с учетом больших перемещений, поворотов и конечных деформаций. Используется процедура пошагового нагружения в рамках комбинированного лагранжево-эйлерового описания деформирования среды. Для исследования закритического поведения используется алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру. Пространственная дискретизация основана на методе конечных элементов (МКЭ) в рамках полилинейной трехмерной изопараметрической аппроксимации.

Для решения нелинейных задач используются, как правило, численные методы, к которым относится МКЭ. В настоящее время МКЭ является самым популярным способом решения практических задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). С его помощью проводят расчеты по определению НДС и несущей способности реальных конструкций самых различных отраслей техники и строительства. При этом эффективно решаются задачи как общей, так и локальной прочности. Развитие метода конечных элементов на динамические и нелинейные проблемы предоставляют возможность достоверно моделировать такие сложные процессы, как разрушение, удар, потеря устойчивости, штамповка, вытяжка и т.д. Практически все задачи МДТТ получили постановку и алгоритмы решения в рамках конечноэлементных методик. Существует множество публикаций, в которых обсуждаются теоретические и практические аспекты применения МКЭ. Среди них можно отметить работы [3, 4, 5, 17, 26, 33, 39, 50, 51, 58, 74, 75, 82, 84-87, 89, 93, 110112,174-176].

Для решения задач МДТТ с учетом физической и геометрической нелинейностей используются численные методы, которые можно разделить на две группы. Первая предполагает использование итерационных методов (метод простой итерации, метод Ньютона и т.д.) для решения системы нелинейных обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений. Но в рамках современных численных методов наиболее популярными являются шаговые методы (методы последовательных нагружений), в соответствии с которыми-процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки (изменением граничных условий, области определения и т.д.). Эти методы условно можно разделить на три подгруппы [79]: первая -предполагает использование принципа виртуальных перемещений, в котором все величины отнесены к исходному недеформированному состоянию (глобальная лагранжева постановка); вторая - основана на том же вариационном уравнении, но в качестве базовой используется текущая метрика (модернизированная лагранжева постановка) [3, 4, 33, 44, 47, 52, 63, 86, 85, 110112, 114, 116, 118, 167]; третья - представляет собой комбинированную лагранжево-эйлерову постановку, согласно которой отслеживается поведение материальной точки (элементарного объема) в соответствии с лагранжевым методом описания среды, но в текущем состоянии ставится задача о течении среды в соответствии с эйлеровым подходом [31, 124, 143, 166]. Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранжево описание среды, согласно которому состояние элементарного объема описывается в компонентах вектора перемещений из недеформированного состояния в деформированное и второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, также отнесенного к недеформированному объему. В этом случае хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной форме, для решения которой возможно использование различных численных методов. Однако подобный подход имеет существенный недостаток в задачах с конечными деформациями. Он связан со сложностью построения определяющих соотношений между используемыми тензорами напряжений и деформаций, который особенно сильно проявляется при постулировании определяющих соотношений в дифференциальной (скоростной) форме. Тогда, если течение среды описывать в эйлеровой постановке, то эти трудности можно обойти.

При решении задач с учетом пластических деформаций применяются методы линеаризации, которые делятся на две группы. К первой группе относятся метод переменной жесткости (или метод касательной жесткости) [127, 134, 137, 173], метод переменных параметров упругости [97], процедура решения которых аналогична методу Ньютона. К недостаткам этих методов относится то, что на каждой итерации приходится переопределять компоненты матрицы системы уравнений, что приводит к значительным затратам времени решения.

Во вторую группу входят методы, основанные на идее метода Ньютона-Рафсона решения нелинейных алгебраических задач,' таких как метод упругих решений А.А. Ильюшина [9, 10, 56, 59, 105], метод начальных напряжений [126, 173], метод начальных деформаций [2, 7, 8, 97]. В этом случае т коэффициенты матрицы системы алгебраических уравнений на итерациях не изменяется, что является основным преимуществом методов второй группы. Данное обстоятельство позволяет существенно сократить время решения системы линейных алгебраических уравнений.

При решении нелинейных задач с учетом особых точек разработаны алгоритмы, предусматривающие регуляризацию уравнений и получение многозначных решений. Базовым является алгоритм на основе методов продолжения по параметру. Метод продолжения решения по параметру был сформулирован М. Лаэем (М. Lahaye) и Д. Давиденко как метод построения множества решений нелинейных уравнений, содержащих параметр. Простейший пример таких множеств - кривая в многомерном пространстве, координатами которого являются неизвестные и параметр. В основе метода лежит идея движения вдоль множества решений с использованием на каждом шаге информации о решении, полученном на предыдущих шагах. Уже Д. Давиденко отметил, что в качестве параметра продолжения решения можно использовать не только параметр задачи, но и любую из неизвестных. В [43, 125] было показано, что наилучшие вычислительные свойства обеспечиваются, если в качестве параметра продолжения используется длина вдоль кривой множества решений. На этой основе сформулирован метод продолжения по наилучшему параметру или наилучшая параметризация [43, 125]. В книге [103] показано, что метод продолжения по наилучшему параметру применим в любой математической задаче, решением которой является кривая или другое однопараметрическое множество. В [103] рассмотрены задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, интерполяция и аппроксимация кривых и др. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В.В. Власова, нашла применение в работах [73, 78]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем уменьшения величины приращения нагрузки. Имеются такие варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру с применением различных способов улучшения сходимости итерационных процессов типа метода Ньютона-Рафсона [15, 16, 42, 102].

Изложив некоторые методы решения нелинейных задач, остановимся на работах, близких к теме настоящей диссертации.

В работах [6, 45, 54, 60, 68, 71, 76, 147, 161] приводятся вариационные принципы, с помощью которых получают постановку задачи для нелинейных задач. Различные формулировки для инкрементальной теории пластичности приведены в работах [114, 138]. В [77, 150, 151] рассматриваются вариационные формулировки задачи упругопластичности в скоростях, вариационное уравнение, сформулированное как в элеровой, так и в лагранжевой формулировках, основано на введение потенциального представления скоростей напряжений. . В работах содержится также двойственная формулировка, являющейся аналогом принципа Рейснера в-линейной теории упругости. С использованием предположения о существовании потенциала для яуманновской производной тензора напряжений Коши-Эйлера в работах [107, 108, 109] формулируется вариационные уравнения в скоростях для геометрически нелинейных упругопластических проблем, подобные принципам-Ху-Вашизу, Хеллингера-Рейсснера и дополнительной энергии в теории упругости. Некоторые примеры решения геометрически нелинейных упругопластических задач с использованием вариационного подхода содержаться в работах [115, 120, 137, 151].

Следующие работы посвящены реализации МКЭ в физически и геометрически нелинейных задачах. В статьях [117, 123, 127, 133, 136, 135, 143] рассматривается вопрос физически нелинейных задач с учетом конечных деформаций в рамках инкрементального подхода. В [117, 143] используется эйлерова формулировка, в[123, 127, 133, 135, 136] - лагранжева. В работах [3, 4, 86, 85] изложены основы моментной схемы метода конечных элементов, описаны алгоритмы решения задач прочности, динамики и устойчивости пластин, дисков, массивных осесимметричных и пространственных тел. При исследовании устойчивости и закритического поведения используется метод продолжения решения по параметру. Также в статье моделируется процесс деформирования тел с трещинами, железобетонных конструкций на упругопластическом основании, гибких конструкций из композитных эластомеров, приводится исследование НДС комбинированного большепролетного покрытия спортивно-зрелищного сооружения.

Работа [53] посвящена реализации метода продолжения по параметру в геометрически и физически нелинейных задачах. Уравнения продолжения записаны в недеформированной конфигурации тела, параметром продолжения служит параметр длины интегральной кривой множества решений. При упругопластическом деформировании используется теория течения с аддитивным разделением деформаций, поверхность текучести определяется условием Губера-Мизеса. Приводятся результаты численных расчетов.

Работы [110, 139, 143] посвящены исследованиям конечных упругопластических деформациях в лагранжевой и эйлеровой формулировках. Обсуждаются недостатки и преимущества той или иной формулировок, показано, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату.

Вопросы точности и некоторые вычислительные аспекты МКЭ обсуждаются на примерах в статьях [134, 137, 143, 149, 165, 167, 170]. Исследованию напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [18, 19,41,58, 119, 126, 128, 138, 156, 159, 160, 167, 172].

Работы [57, 61, 116, 118, 130, 132, 140, 144, 148, 152, 153, 169, 171] посвящены проблеме моделирования процессов обработки металлов. В [118, 152, 169, 171] описывается применение МКЭ для решения технологических задач упругопластичности, относящихся к обработке металлов давлением. В статье [116] используется уравнения Прандтля-Рейсса для описания упругопластического поведения материала в модернизированной лагранжевой формулировке. В статье [124] моделируется процесс холодного выдавливания в рамках, как и текущей лагранжевой, так и комбинированной лагранжево-эйлеровой формулировки. Полученные численные решения сравниваются с экспериментальными данными, которые демонстрируют, что применение комбинированной лагранжево-эйлеровой формулировки приводят к более точным результатам. В работе [166] используется комбинированная лагранжево-эйлеровая формулировка для исследования процесса горячей обкатки. В работе [144] моделируется технологический процесс обработки металлов, в [140, 144] процесс моделируется в модернизированной лагранжевой постановке, в [132, 130] - в эйлеровой, в [112, 175] используется комбинированная постановка. В [153] используется вязкопластическая; реологическая модель для исследования горячей и холодной прокатки, используется теория жестковязкопластического течения в рамках теории Леви-Мизеса.

Работы [100, 101] посвящены выводу определяющих уравнений для упругих и упругопластических сред при конечных деформациях. При формулировке физических соотношений в рамках скоростной постановке возникает вопрос о выборе объективной производной тензора напряжений. В работах [110, 116-118, 123, 127, 129, 133-136, 137, 139, 143, 152, 167, 169, 171] в качестве скорости изменения напряжений используется производная Яуманна тензора напряжений Коши, в [157] используется производная Трузделла. В статье [122] рассмотрены как производная Яуманна так и Трузделла.

В работе [141] приведена методика исследования предельного состояния материалов, обладающих внутренним трением, в качестве критерия пластичности используется условие Мора-Коломбо и Мизеса-Боткина (Друкера-Прагера). Используется ассоциативный закон течения, рассмотрены численные примеры. В [146] исследуется большие деформации вязкоупругих и вязкоупругопластических геоматериалов. Используется модель Максвелла. В [106] рассматриваются задачи о больших деформациях гиперупругих-вязкопластических твердых тел в модернизированной лагранжевой постановке.

При моделировании упругопластических деформаций чаще всего используется теория течения. В [129, 143, 154, 155, 157] применяется метод проецирования на поверхность текучести при конечных деформациях. Также существует два подхода разделения полной деформации на упругую и пластическую составляющие. В работах [4, 65, 80, 121, 134, 143] используется аддитивное предоставление, в [66, 67, 106, 124, 145, 162-164, 168] — мультипликативное.

Таким образом, исходя из анализа научных публикаций в данном направлении, перед автором была поставлена следующая задача: на основе пошагового нагружения в рамках комбинированного лагранжево-эйлерового описания сплошной среды разработать методику исследования процесса деформирования трехмерных неупругих тел с учетом больших перемещений, поворотов и конечных деформаций; построить определяющие соотношения в скоростях напряжений, рассмотреть класс гиперупругих, упругопластических и вязкоупругопластических материалов; получить разрешающие уравнения и разработать алгоритм решения задач механики твердого деформируемого тела с учетом физической нелинейности; на основе метода продолжения по параметру разработать алгоритм исследования закритического поведения при потере устойчивости; на основе метода конечных элементов разработать алгоритм и создать программное обеспечение для решения указанного класса задач; решить ряд тестовых и прикладных задач нелинейного деформирования неупругих тел.

Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 176 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Султанов, Ленар Усманович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена разработке методики исследования неупругих тел с учетом больших перемещений, поворотов, конечных деформаций и физической нелинейности. Решение основано на методе пошагового нагружения в рамках комбинированной лагранжево-эйлеровой постановки. Физическая нелинейность представлена классом гиперупругих, упругопластических, вязкоупругопластических материалов.

Построены разрешающие уравнения и определяющие соотношения для сред с различными физическими свойствами. Приведен алгоритм решения задачи гиперупругого, упругопластического и вязкоупругопластического деформирования, рассмотрены критерия пластичности Губера-Мизеса и Мизеса-Боткина. Процесс пластического деформирования моделируется на основе метода проецирования напряжений на поверхность текучести с итерационным уточнением текущего напряженно-деформированного состояния.

Для исследования процесса деформирования с учетом потери устойчивости разработан алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру.

На базе конечноэлементной дискретизации разработана численная методика и создан соответствующий программный пакет для решения нелинейных задач на языке Fortran-90.

Приведенные численные примеры демонстрируют широкие возможности и эффективность настоящей методики решения нелинейных задач механики твердого деформируемого тела.

Представленная в настоящей работе вычислительная технология решения задач механики деформируемого тела позволяет исследовать широкий класс материалов, в рамки описанной методологий легко укладываются разнообразные физические модели поведения сред. Описанная методика позволяет формулировать и решать задачи моделирования технологических процессов обработки материалов, движения многофазных сред, одной из фаз которых является деформируемый скелет (матрица). При этом нет никаких ограничений на величины деформаций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Султанов, Ленар Усманович, 2005 год

1. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем / Н.А. Алфутов. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

2. Аргирис Дж. Методы упругопластического анализа / Дж Аргирис., Д. Шарпф // Механика. 1972. -№ 4 (134). - С. 107-139.

3. Баженов В.А. Моментная схема метода конечных элементов в задачах нелинейной механики сплошной среды / В.А. Баженов, А.С. Сахаров, В.К. Цыхановский // Прикл. механика. 2002. - №6. - С. 24-63.

4. Баженов В.А. Полуаналитический метод конечных элементов в механике деформируемых тел / В.А. Баженов, А.И. Гуляр, А.С. Сахаров, А.Г. Топор. К.: Изд-во НИИ Строймеханики, 1993. - 376 с.

5. Баженов В.Г. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических* конструкций; методом конечных элементов / В.Г. Баженов, А.И. Кибец // Изв. РАН МТТ. 1994. - №1. - С. 52-59.

6. Бердичевский B.JL Вариационные принципы механики сплошной среды / B.JL Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 с.

7. Биргер И.А. Метод дополнительных деформации в задачах теории пластичности / И.А. Биргер // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. - № 1. - С. 47-56.

8. Биргер И.А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и ползучести / И.А. Биргер // В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. - С. 51-73.

9. Быков Д.Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности / Д.Л. Быков // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ. - 1975. Вып. 4. - С. 119-139.

10. Быков Д.Л., Шачнев В.А. Об одном обобщении метода упругих решений / Д.Л. Быков, В.А. Шачнев // Прикл. математика и механика.- 1969. Т. 33. - №2. - С. 290-298.

11. Ван. Упрощенная теория уравнений состояния металлов при конечной пластической деформации / Ван // Прикладная механика (Trans ASME).- 1973. №4. - С. 115-122.

12. Васидзу В. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / В. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 с.

13. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры /

14. B.В. Воеводин. М.: Наука 1977. - 304 с.

15. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем / А.С. Вольмир. М: Физматгиз, 1963. - 879 с.

16. Ворович И.И. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши / И.И. Ворович, В.Ф. Зипалова // Прикл. механика и математика. 1965. - 29. - вып. 5 - С. 894-901.

17. Ворович И.И. Проблемы устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек / И.И. Ворович, Н.И. Минакова // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика деформируемого твердого тела. -1973. №7. - С. 5-86.

18. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. М.: Мир. 1984. - 428с.

19. Голдманис М.В. Исследование устойчивости оболочек вращения из волокнистых композитов в геометрически нелинейной конечно

20. Голованов А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемыхтвердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. Казань: Изд-во «ДАС», 2001. - 30Г с.

21. Голованов А.И. Расчет больших упругопластических деформаций трехмерных тел МКЭ / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Математ. моделир. систем и процессов: Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. гос.Iтехн. ун-т, 2004. №12. - С. 4-11.

22. Голованов А.И. Численное моделирование больших деформаций неупругих трехмерных тел / А.И. Голованов, Ю.Г. Коноплев, С.А. Кузнецов, Л.У. Султанов // Наукоемкие технологии. 2004. - №4. -Т. 5. - С. 52-60.

23. Голованов А.И. Численный расчет больших упругих деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. Ульяновск: УлГТУ, 2004. -С. 180-182.

24. Голованов А.И. Численный расчет больших упругопластических деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Математ. моделир. и краевые задачи / Тр. Всерос. науч. конф. Ч. 1. -Самара, 2004. С. 60-62.

25. Горбачев К.П. Метод конечных элементов в расчетах прочности / К.П. Горбачев. Л.: Судостроение, 1985. - 156 с.

26. Горлач Б.А. Исследование поведения цилиндрической в начальном состоянии оболочки при конечных осесимметричных деформациях / Б.А. Горлач, Н.Н. Орлов // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань, 1982. - С. 25-31.

27. Григолюк Э.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши / Э.И. Григолюк, В.И. Мамай // Прикл. проблемы прочности и пластичности: Методы решения задач упругости и пластичности. -Горький, Изд-во горьк. ун-та, 1979. С. 3-49.

28. Григолюк Э.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. -М.: Наука, 1988. 232 с.

29. Грин А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Д. Адкинс. М.: Мир, 1965. - 455 с.

30. Грин Б. Обобщенные вариационные принципы в методе конечных элементов / Б. Грин, Р. Джонс, Р. Маклей // Ракетная техника и космонавтика. 1969. - Т. 7. - С. 47-55.

31. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел

32. A.Н. Гузь. Киев: Вища школа, 1986. - 511 с.

33. Гурьянова О.Н. Расчет слоистых оболочек в геометрически нелинейной постановке МКЭ: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / О.Н. Гурьянова Казань, 2000. - 166 с.

34. Данилин А.Н. О параметризации нелинейных уравнений деформирования твердого тела / А.Н. Данилин, В.И. Шалашилин // Изв. РАН МТТ. 2000. - № 1. - С. 82-92.

35. Джорж А. Численное решение больших разряженных систем уравнений / А. Джорж, Дж. Лю. М.: Мир, 1984. - 333 С.

36. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С.Ю. Еременко. Харьков: «Основа», 1991. — 272 с.

37. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. — М.: Мир, 1975. 542с.

38. Зуданс 3. Исследование упруго-пластических деформаций сосудов давления методом конечных элементов. Тр. Амер. Об-ва инж.-мех. Сер.

39. B. Конструирование и технология машиностроения. Ч. 1. / 3. Зуданс. -1970, №2. С. 33-43.

40. Зуев Н.Н. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов / Н.Н. Зуев, Э.Н. Князев, А.Б. Костриченко, В.И. Шалашилин // Изв. РАН. МТТ. 1997. - № 6. - С. 136-147.

41. Ивлев Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела / Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев. М.: Наука, 1971. - 232 с.

42. Ильюшин А.А. Основы математической теории термовязкоупругости /

43. A.А. Ильюшин, Б.Е. Победря. М.: Наука, 1970, 280 с.

44. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации / Ильюшин А.А. М.; JL: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

45. Казаков Д.А. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций / Д.А. Казаков, С.А. Капустин,• Ю.Г. Коротких. Н. Новгород: ННГУ, 1999. - 226 с.

46. Капустин С.А. Численный анализ нелинейных квазистатических процессов деформирования составных конструкций / С.А. Капустин // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Горький. - 1979. -Вып. 10. - С. 68-80.

47. Клюшников В.Д. Метод упругих решений в теории пластического течения / В.Д. Клюшников // Журн. прикл. механ. и техн. физики. -1965. № 1. - С. 133-135.

48. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упругопластических сред /

49. B.Т. Койтер. М.: Изд-во иностр. лит, 1961. - 80 с.

50. Колмагоров В.Л. Численное моделирование больших пластических деформаций и разрушения металлов / B.JI. Колмагоров // Кузнечно-штамповочное производство. 2003. - №2. - С. 4-16.

51. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности / В.Г. Корнеев. JL: Изд-во ЛГУ, 1977. - 208 с.

52. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел /

53. С.Н. Коробейников. Новосибирск, 2000. - 262 с.

54. Кузнецов В.Н. Численный метод решения задач теории пластичности / В.Н. Кузнецов // Упругость и неупругость, вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 1975. - С. 110-119.

55. Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела / В.Н. Кукуджанов, В.И. Кондауров //

56. Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир, 1975. -С. 39-84.

57. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении7 В.И. Левитас. Киев: Наукова думка, 1987. -232 с.

58. Ли. Упруго-пластическое деформирование при конечных деформациях / Ли // Прикладная механика (Trans ASME). 1969. - № 1. - С. 1-6.

59. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. М. Наука, 1980. - 536 с.

60. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

61. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: Мир, 1981. - 216 с.

62. Мосолов Л.П. Механика жесткопластических сред / Л.П. Мосолов, В .П. Мясников. М.: Наука, 1981. - 208 с.

63. Мяченков В.И. Численное решение плоской задачи теории пластичности / В.И. Мяченков, В.Б. Петров // Изв. вузов. Машиностроение. 1980. - № 11. - С. 8-12.

64. Никиреев В.М. К решению нелинейных уравнений строительной механики методом последовательных нагружений / В.М. Никиреев // Строительная механика и расчет сооружений. 1970. - № 3. -С. 61-62.

65. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, де Фриз. -М.: Мир, 1981. 304 с.15.' Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред7 Д. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

66. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения- нелинейных^ пространственных задач сопряжения деформируемых тел / В.Н. Паймушин // ДАН СССР. 1983. - Т. 5. - С. 1083-1086.

67. Пежина П. Вариационные проблемы теории вязкопластичности при больших деформациях 7 П. Пежина, А. Балтов // Теорет. и прикл.механика. 1973. - Т. 4. - №4. - С. 19-28. >

68. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек / В.В. Петров. Саратов: Изд-во сарат ун-та, 1975.-173 с.

69. Поздеев А.А. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритм, приложения / А.А. Поздеев, П.В; Трусов., Ю.И. Няшин. -М.: Наука, 1986. 232 с.

70. Поздеев А.А. Остаточные напряжения: Теория и приложения / А.А. Поздеев, Ю.Я. Няшии, П.В. Трусов. М.: Наука, 1982. - 112 с.

71. Прагер В. Введение в механику сплошных сред / В. Прагер. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 312 с.

72. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

73. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем / JI.A. Розин Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1978. - 224 с.

74. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам / Л.А. Розин М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

75. Сахаров А.С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А.С. Сахаров, В.Н. Кислоокий, В.В. Киричевский, И. Альтенбах, У. Габберт, Ю. Данкерт, X. Кепплер, 3. Кочык. Киев: Вища школа, 1982. - 480 с.

76. Сахаров А.С. Моментная схема конечных элементов МСКЭ с учетом жестких смещений / А.С. Сахаров // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1974. - Вып. 24. - С. 147-156.

77. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. М.: Мир, 1979. - 392 с.

78. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды / Л.И. Седов. М.: Физматгиз, 1962. - 284 с.

79. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Д. Фикс. -М.: Мир, 1977. 350 с.

80. Стриклин Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрией / Стриклин, Хейслер, Риземанн // Ракет. техн. и космонавтика. 1973. - Т. 11. - №3. - С. 46-56.

81. Султанов Л.У. Расчет больших деформаций упругих тел МКЭ / Л.У. Султанов // Студенты Зеленодольску: городская научн.-практ. конф. / сб. докл. Зеленодольск: 2003. - С. 53-64.

82. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980. - 512 с.

83. Терегулов И.Г. Нелинейные задачи теории оболочек и определяющие соотношения / И.Г. Терегулов. Казань: ФЕН, 2000. - 335с.

84. Терегулов И.Г. Термодинамические потенциалы и математическое моделирование процесса течения вязких сред / И.Г. Терегулов // Изв. вузов. Математика. 1997. - №11. - С. 72-80.

85. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. -М.; Машиностроение, 1975. 455 с.

86. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений / M.JI. Уилкинс // Вычислительные методы в гидродинамике. М. Мир, 1967.-С. 212-263.

87. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах / К.Ф. Черных Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

88. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях / А.Д. Чернышов // Изв. РАН МТТ. -2000. № 1. - С. 120-128.

89. Чернышов А.Д. Простые определяющие уравнения для упругой среды при конечных деформациях / А.Д. Чернышов // Изв. АН МТТ. 1993. - № 1. - С. 75-81.

90. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задаче больших осесимметричных прогибов оболоческ вращения / В.И. Шалашилин // Тр. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во ереван. ун-та, 1980. - Т. 3. - С. 264-271.

91. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике / В.И. Шалашилин, Е.Б. Кузнецов. М.: Эдиториал УРСС, 1999. -224 с.

92. Шалашилин В.И. Продолжение по наилучшему параметру в нелинейных статических задачах решаемых методом конечных элементов / В.И. Шалашилин., А.В. Костриченко., Э.Н. Князев, Н.Н. Зуев // Изв. вузов. Авиационная техника. 1997. - №4. - С. 18-24.

93. Шевченко Ю.Н. Метод упругих решений в теории пластического течения при неизотермических процессах нагружения / Ю.Н. Шевченко // Тепловые напряжения в элементах конструкций: Респ. межвед. сб. -1975. Вып. 15. - С. 45-49.

94. Arif A.F.M. Performance of a finite element procedure for hyperelastic-viscoelastic large deformation problems / A.F.M. Arif, T. Pervez, M.M. Pervez // Int. J. of Solids and Structures. 2000. - V. 34. -P. 89-112.

95. Atluri S.N. On some new general and complementary energy theorems for the rate problems in finite strain, classical elastoplasticity / S.N. Atluri // J. Struct. Mech. 1980. - V. 8. - N 1. - P. 61-92.

96. Atluri S.N. Rate complementary energy principles, finite strain plasticity problems and finite element / S.N. Atluri // In: Var. meth. mech. solids.: Proc. IUTAM symp.(Evanston (111), 1978). Oxford etc. 1980. -P. 363-367.

97. Bathe K.J. Elastic-plastic large deformation static and dynamic analysis / K.J. Bathe, H. Ozdemir // Comput and Struct. 1976. - V. 6. - N 2. -P. 81-92.

98. Bathe K.J. Finite element formation for large deformation dynamic analysis / K.J. Bathe, E. Ramm, E.L. Wilson // In. J. for Numer. Meth. in Eng. -1975. V.9. - P.353-386.

99. Bathe K.J. Finite element procedures in engineering analysis / K.J. Bathe. -Englewood Cliffs, NJ, USA: Prentice-Hall, 1982.

100. Cao H.L. An improved iterative method for large strain viscoplastic problems / H.L. Cao, M. Potier-Ferry // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1999. - V. 44. - №2. - P. 155-176.

101. Capurso M. On the incremental solution of elasto:piastic continue in the rang on large displacements / M. Capurso // Meccanica. 1970. - V. 5. — N2. - P. 98-106.

102. Charter E. Finite plastic deformation of a circular membrane under hydrostatic pressure. Strainrate effects / E. Charter, K.W. Neale. // Intern. J. Mech. Sci.- 1983. -V. 25. N4. - P. 235-244.

103. Cheng J.H. An analysis of metal forming processes using large deformation elastic-plastic formulations / J.H. Cheng, N. Kikuchi // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1985. - V. 49. - N1. - P. 71-108.

104. Dems K. Physically and geometrically nonlinear analysis finite elements 7/ K. Dems, M. Kleiber // Pozpr. inz. 1976. - V. 24. - N 4.- S. 771-786.

105. Dieterle K. Anwendung der Methode der finiten Eleniente zum naherung / K. Dieterle // sweisen Bcrechnen grosser Formanderungen beim Flanschstauchen. Industr. Anz., 1975. - Bd. 97. - N 98. - S. 2080-2081.

106. Dinis L.M.S. Elasto-viscoplastic and elasto-plastic large-deformation analysis of thin plates and shells / L.M.S. Dinis, D.R.J. Owen // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1982. - V. 18. - N4. - P. 591-606.

107. Duszek M.K. On minimum principles in finite plasticity / M.K. Duszek // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. 1973. - V. 21. - N2. - P. 131-138.

108. Fish J. Computational aspects of incrementally objective algorithms for large deformation plasticity / J. Fish, K. Shek // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1999. V.44. - №6. - P. 839-851.

109. Gadala M.S. Computational implementation of stress integration in FE analysis of elasto-plastic large deformation problems /M.S. Gadala, J. Wang // Finite Elements in Analysis and Design. 2000. - V. 35. - P. 379-396.

110. Gadala M.S. Geometric and material nonlinearity problems / M.S. Gadala, G.A.E. Oravas, M.A. Dokainish // In: Numer. meth. non-linear problems: Proc. Intern, conf. Swansea. 1980. - V. 1. - P. 317-331.

111. Gouveia B.P.P.A. Finite element modeling of cold forward extrusion using updated Lagrangian and combined Eulerian-Lagrangian formulations /

112. B.P.P.A. Gouveia, J.M.C. Rodrigues, P.A.F. Martins // J. of Materials Processing Technology. 1998. - 80-81. - P. 647-652.

113. Grigolyuk E.I. Problems of Nonlinear Deformation / E.I. Grigolyuk, V.I. Shalashilin. Dordrecht et al.: Kluwer, 1991. - 262 pp.

114. Gupta A.K. Elasto-plastic analysis of three-dimensional structures using the isoparametric element / A.K. Gupta, B. Mohraz, W.C. Schnobrich // Nucl. Eng. andDes. 1972. - V. 22. - N2. - P.305-317.

115. Hibbit H.D. A finite element formulation for problems of large strain and large displacement / H.D. Hibbit, P.V. Marcal,. J.R. Rice // Int. J. Solids Stuct. 1970. - V.6. - P. 1069-1086.

116. Hofmeister L.D. Large strain, elasto plastic finite element analysis / L.D. Hofmeister, G.A. Greenbaum, D.A. Evensen // AIAA J. 1971. -V. 9. - N7. - P. 1248-1254.

117. Hughes T.J.R. Finite rotation effects in numerical integration of rate constitutive equations arising in large-deformation analysis / T.J.R. Hughes, J. Winget // Int. J. Numer. Methods Eng. 1980. - V. 15. - 1862-1867.

118. Iguchi T. 3-Dimensional analysis of flat rolling by rigid-plastic FEM considering sticking and slipping frictional boundary /Т. Iguchi, I. Yarita. // ISIJ International. 1991. - 31(6):559-65.

119. Jin H. On the use of the boundary dement method for elastic-plastic large deformation problems / H. Jin, K. Mattiasson, A. Runesson // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - V. 25. - № 1. - P.165-176.

120. Karabin M. A quasi three-dimensional analysis of the deformation processing of sheets with applications / M. Karabin, R. Smelser // Int. J. of Mech. Sc. 1990. - 32(5):375-89.

121. Kawahara M. Large strain, elasto-plastic numerical analysis by means of finite element metbod / M. Kawahara, K. Horii // Trans. Jap. Soc. Civ. Eng. -1972. V.3. - N2. - P. 154-155.1137

122. Kawahara M. Large strain, viscoelastic and elasto viscoplastic numerical analysis by means of the finite element method / M. Kawahara // Arch, mech. stosow. 1975. - V. 27. - N 3. - S. 417-443.

123. Kitagawa H. An incremental theory of large strain and large displacement problems and its finite-element formulation / H. Kitagawa, Y. Seguchi, Y. Tomita // Ing. Arch. -1972. Bd.41. - N3. - S. 213-224.

124. Klee K.D. On numerical treatment of large elastic-visco-plastic deformations / K.D. Klee, J. Paulun // Arch. mech. stosow., 1980. V. 32. - N 3. -S. 333-345.

125. Kleiber M. Finite elements in nonlinear mechanics and large deformation elasto-plasticity / M. Kleiber // Probl. non-lineaires mech.: Symp. fr.-pol., (Cracovie, 1977). Varsovie. - 1980. - P. 273-296.

126. Kleiber M. Lagrangian and eulerian finite element formulation for large strain elasto-plasticity / M.Kleiber // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. 1975.- V. 23 N3. -P. 109-126.

127. Kobayashi S. Metal forming and the finite-element methods / S. Kobayashi, Oh SI, T. Altan. New York, Oxford: Oxford University Press, 1989.

128. Li H.X. Kinematic limit analysis of frictonal materials using nonlinear programming / H.X. Li, H.S. Yu // Int. J. of Solids and Structures. 2005.- V. 42. P. 4058-40769.

129. Malkus D.S. Mixed finite element methods reduced and selective integration techniques: a unification of concepts / D.S. Malkus, T.J.R. Hughes // Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 1978. - V. 15. - N 1. - P. 63-81.W

130. McMeeking R.M. Finite-element formulations for problems of large elastic-plastic deformation /R.M. McMeeking, J.R. Rice // Int. J. Solids Stuct. -1975. V. 11. - N5. - P. 601-616.

131. Montmitonnet P. A review on theoretical analyses of rolling in Europe / P. Montmitonnet, P. Buessler // ISIJ International. 1991. -31(6):525-38.

132. Moran B. Formulation of implicit finite element methods for multiplicative finite deformation plasticity / B. Moran, M. Ortiz, C.F. Shih // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1990. - V. 29 - N3. - P. 483-515.

133. Moresi L. A Lagrangian integration point finite element method for large deformation modeling of viscoelastic geomaterials / L. Moresi, F. Dufour, H.-B. Muhlhaiis // J. of Comput. Physics. 2003. - V. 184. - P. 476-497.

134. Mroz Z. A note on variational principles in coupled termo-plasticity / Z. Mroz, B. Raniecki // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. 1975. -V. 23. - N 3. - P. 225-231.

135. Nactegaal J.C. On the development of a general purpose finite element program for analysis of forming processes / J.C. Nactegaal, N. Rebelo // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - V. 25. - N1. - P. 113-131.

136. Nactegaal J.C. Some computational aspect of elastic-plastic large strain analysis / J.C. Nactegaal, J.E. De Long // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1981. V.17. - N 1. - P. 15-41.

137. Neale K.W. A general variational theorem for the rate problem in elasto-plasticity / K.W. Neale // Intern. J. Solids and Struct. 1972. - V. 8. -N 7. - P. 865-876.

138. Neale K.W. On the application of a variational principle for large displacement elastic-plastic problems / K.W. Neale // Var. meth. mech. solids: Proc. IUTAM symp. (Evanston (111), 1978). Oxford etc., 1980. -P. 374-377.

139. Oh S.I. Finite element analysis of plane-strain sheet bending / S.I. Oh, S. Kobayashi // Intern. J. Mech. Sci. 1980. - V. 22. - N 9. -P. 583-594.

140. Orowan E. The calculation of roll pressure in hot and cold flat rolling / E. Orowan. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1943.- 150 pp.

141. Ortiz M. Accuracy and stability of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations / M. Ortiz , E.P. Popov // Int. J. Numer. Methods Eng. 1985. - V. 21. - P. 1561-1576.

142. Ortiz M. An analysis of a new class of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations / M. Ortiz , J.C. Simo // Int. J. Numer. Methods Eng.- 1985. V. 23. P. 353-366.

143. Owen D.RJ. Anisotropic elasto-plastic finite element analysis of thick and thin plates and shells / D.R.J. Owen, J.A. Figueiras // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1983. - V. 19. - N. 4. - P. 541-566.

144. Pinsky P.M. Numerical integration of rate constitutive equations in finite deformation analysis / P.M. Pinsky, M. Ortiz, K.S. Pister // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1983. - V. 40. - P. 137-158.

145. Prager W. Variational principle for elastic plates with relaxed continuity requirements / W. Prager // Int. J. of Solids and Structures. 1968. - V.4.- N. 9. P. 837-844.

146. Reed K.W. Analysis of large quasistatic deformations of inelastic bodies by a new hybrid-stress finite element algorithm / K.W. Reed, S.N. Atluri // Cormput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1983. - V. 39. - P. 245-295.

147. Rubin M.B. Calculation of hyperelastic response, of finite deformed elastic-viscoplastic materials / M.B. Rubin, A. Attia // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1996. V. 395. - N2. - P. 309-320.

148. Sandhu R.S. Variational methods in continuum mechanics / R.S. Sandhu, K.S. Pister // Var. meth. eng. Southampton. 1973. - V. 1.- P. 1/13-1/25.

149. Simo J.C. A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition: Part I. Continuum formulation / J.C. Simo // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1988 -V. 66. - N 2. - P. 199-219.

150. Simo J.C. Remarks on rate constitutive equations for finite deformation problems: computational implications / J.C. Simo, K.S. Pister // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1984. - V. 46 - N2. - P.211-215.

151. Simo J.S. A unified approach to finite deformation elastoplastic analysis lased on the use of hyperelastic constitutive equations / J.S. Simo, M. Ortiz // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1985. - V. 49. - N2. - P. 221-245.

152. Synka J. A novel mixed Eulerian-Lagrangian finite-element method for steady-state hot rolling processes / J.Synka, A. Kainz // Int. J. of Mech. Sc.- 2003. V. 45. - P. 2043-2060.

153. Taylor L.M. Some computational aspect of large deformation, rate-dependent plasticity problems / L.M. Taylor, E.B. Becker // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1983. - V.41. - N 3. - P. 251-277.

154. Tvergaard V. Effect of large elastic strains on cavitation instability predictions for elastic-plastic solids / V. Tvergaard // Int. J. of Solids and Structures. -1999. V. 36. - P. 5453-5466.

155. Wifi A.S. An incremental complete solution of the stretch-forming and deep-drawing of a circular blank using a hemispherical punch /A.S. Wifi // Int. J. Mech. Sci. 1976. - V. 18. - N 1. - P. 23-31.

156. Wolf J.P. Alternate hybrid stress finite element model / J.P. Wolf // Int. J. for Numer. Meth. in Eng. 1975. - V. 9. - N 3. - P. 601-615.

157. Yamada Y. Analysis of large deformation and stress in metal forming processes by the finite element method / Y. Yamada, A.S. Wifi, T. Hirakawa // In. metal, form, plast. symp. (Tutzing, 1978). 1979. -P. 158-176.

158. Yamada Y. Nonlinear matrices, their implication and applications in inelastic large deformation analysis / Y. Yamada // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1982. V.33. - N1-3. - P. 417-437.

159. Yamada Y. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method / Y. Yamada, N. Yoshimura, T. Sakura // Int. J. Mech. Sci. -1968. V. 10. - N 2. -P. 343-354.

160. Zienkiewicz O.C. Elasto-plastic solution of engineering problems «initial stress», finite element approach / O.C. Zienkiewicz, S. Valliapan, I. King // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1969. - V. 1. - N 1. - P. 75-100.

161. Zienkiewicz O.C. The Finite element method. Fifth edition. V. 1: The basis / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. Butterworth-Heinemann- 2000. 689 pp.

162. Zienkiewicz O.C. The Finite element method. Fifth edition. V. 2: Solid mechanics / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. — Butterworth-Heinemann -2000. 459 pp.