Исследование динамики гранулированных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Логинова, Надежда Борисовна

• Логинова, Надежда Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Логинова, Надежда Борисовна

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ ГРАНУЛИРОВАННЫХ СРЕД

1.1. Флюидизация и конденсация гранулированных сред под воздействием вибрации1 б

1.2. Конвекционные течения в гранулированных средах

1.3. Сегрегация гранулированных сред

1.4. Поверхностные структуры в тонких слоях гранулированных сред

1.5. Волны плотности при свободном падении гранулированных сред

1.6. Кластеризация и коллапс в гранулированных средах

1.7. Гидродинамический подход к описанию динамики гранулированных сред

1.8. Возможные направления исследования динамики гранулированных сред

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ ГРАНУЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ

2.1. Постановка задачи о релаксации гранулированной системы

2.2. Этапы математического моделирования

2.3. Математическая модель гранулированной системы ;

2.4. Метод моделирования динамики гранулированной системы

2.5. Формулы пересчета скоростей сталкивающихся частиц гранулированной системы

2.6. Начальные и краевые условия. Значения параметров модели '

2.7. Исследуемые величины, характеризующие состояние гранулированной системы

3. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕ

ТВЕРДЫХ АБСОЛЮТНО УПРУГИХ НЕВРАЩАЮЩИХСЯ СФЕР

3.1. Постановка задачи

3.2. Релаксация системы в гравитационном поле (g Ф 0)

3.3. Условия отсутствия колебаний

3.4. Особенности протекания релаксационных процессов

3.5. Релаксация системы без учета гравитации (g = 0)

3.6. Оценка полной механической энергии системы

3.7. Вычисление коэффициента диффузии системы

3.8. Зависимости характеристик колебаний от параметров модели

3.9. Выводы

4. РАВНОВЕСНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ СИСТЕМЫ

ТВЕРДЫХ АБСОЛЮТНО УПРУГИХ НЕВРАЩАЮЩИХСЯ СФЕР

4.1. Постановка задачи

4.2. Критерии проверки достижения системой состояния термодинамического равновесия

4.3. Равновесные распределения частиц системы по величинам скоростей

4.4. Равновесные распределения частиц системы по высотам

4.5. Гидростатический подход к описанию равновесных состояний системы

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса

Уравнение состояния Карнагана-Старлинга

4.6. Выводы

5. ПРОЦЕССЫ ОСАЖДЕНИЯ В ГРАНУЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ

5.1. Постановка задачи

5.2. Осциллирующий характер процессов осаждения частиц гранулированной системы

5.3. Равновесность и неравновесность процессов осаждения частиц гранулированной системы

5.4. Вычисление величин, характеризующих процессы осаждения частиц гранулированной системы

5.5. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование динамики гранулированных сред»

Диссертационная работа посвящена исследованию динамики гранулированной системы методами математического (и компьютерного) моделирования.

Гранулированной средой называется дискретная система, состоящая из большого числа частиц, размеры которых сопоставимы с расстояниями между ними. Существенно, что при изучении свойств таких систем взаимодействие между частицами гранулированной среды рассматриваются как столкновения твердых тел. Это означает, что силы взаимного притяжения и отталкивания, подобные межмолекулярному взаимодействию в жидкостях, между частицами гранулированной системы не учитываются.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В диссертационной работе проведено математическое моделирование динамики гранулированных сред, заключенных в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля, и исследованы возможности компьютерного моделирования.

Актуальность темы диссертационной работы связана с наличием гранулированных сред в природе, с многочисленным практическим применением гранулированных веществ в повседневной жизни, а также с использованием новых технологий в различных отраслях производства от фармацевтики и промышленности строительных материалов до микроэлектроники.

В природе гранулированные среды встречаются повсеместно: пустыни (Bagnold, 1941), прибрежные зоны морей и океанов, древние морские глубины представляют собой неисчерпаемые источники кварцевого песка - основного строительного материала современной цивилизации.

На производство гранулированных материалов расходуется порядка десяти процентов вырабатываемой на планете энергии. По использованию человеком в повседневной деятельности гранулированные вещества занимают второе место после воды.

В промышленности строительных материалов, строительной индустрии, жилищно-гражданском строительстве интенсивно применяются гранулированные строительные смеси - гравий, щебень, галька, песок, глина; уголь, соли; руды алюминия, марганца, железа; россыпи золота, платины, алмазов; фосфориты, — которые используются как облицовочные, электроизоляционные, кислотоупорные материалы, сырье для каменного литья, декоративный камень и проч.

Промышленные технологии обработки и использования гранулированных материалов встречаются практически во всех отраслях народного хозяйства. Процессы дробления, измельчения, соединения, перемешивания ингредиентов, находящихся в состоянии гранулированных веществ, играют существенную роль в химической, горнодобывающей промышленностях, машиностроении, косметологии, парфюмерии, фармакологии, фармацевтической химии, медицине. Однако физика процессов приготовления однородных смесей нескольких ингредиентов с различными, дополняющими друг друга воздействиями, исследована и объяснена недостаточно полно. При этом качество и степень перемешивания ингредиентов особенно важны: нарушение технологий изготовления косметических и лекарственных средств может иметь тяжелые последствия.

При исследовании физики гранулированных систем рассматриваются дискретные объекты, разброс размеров частиц которых составляет несколько порядков. Тот факт, что вещества, состоящие из отдельных частиц, диапазон размеров которых охватывает несколько порядков, могут подчиняться универсальным законам поведения, что физические законы динамики и статики гранулированных сред могут объединять объекты, различные по форме, природе, размерам, - этот факт инициирует интенсивные исследования, разработки в данной области.

Как сказано выше, диссертационная работа посвящена исследованию методами математического моделирования динамики гранулированных сред, находящихся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля.

Гранулированные среды в динамике проявляют уникальные эффекты, не присущие веществам в иных агрегатных состояниях. Такие особенности гранулированных сред были замечены и описаны еще несколько столетий назад, но не все из них получили свое объяснение даже к настоящему времени. С конца 50-х годов XX века в области динамики гранулированных сред проводятся исследования с интенсивным привлечением средств компьютерной техники. К настоящему времени накоплен обширный материал результатов физических экспериментов по динамике гранулированных сред. Ведется активная работа по созданию теории, отражающей существенные особенности поведения гранулированных сред, как это сделано для газов, жидкостей и твердых тел. Сложность такой задачи заключается в том, что гранулированная среда в зависимости от условий, в которых она находится, может проявпять себя как вещество в любом из перечисленных агрегатных состояний, но при этом обнаруживает и эффекты, свойственные только гранулированным веществам.

В настоящее время теория, описывающая особенности и эффекты поведения гранулированных сред, отсутствует. Успешному сотрудничеству экспериментаторов и теоретиков может содействовать разработка математической модели, адекватно сочетающей в себе и условия реального физического эксперимента, и гипотезы, допущения теории, в рамках которой рассматривается данная модель. Такому сотрудничеству способствует появление современных суперкомпьютеров, которые позволяют моделировать поведение системы многих частиц. Компьютерные эксперименты позволяют получать результаты для обширного набора варьируемых параметров модели, что зачастую невозможно в лабораторных условиях. Поэтому математическое моделирование динамики гранулированных сред служит связующим звеном между разрабатываемой теорией и существующими экспериментальными результатами, способным помочь в их трактовке и обосновании. Исследование физических объектов и процессов методами прямого компьютерного моделирования является интересной и важной задачей.

При проведении исследований особый интерес представляют следующие задачи. Во-первых, в реальных условиях на поведение объектов и характер протекающих процессов играет воздействие гравитационного поля. Во-вторых, интересно изучать динамику систем, находящихся в замкнутых областях пространства. В-третьих, более существенную роль, чем в газах, на поведение гранулированных сред оказывает частичная неупругость соударений и возможность вращения частиц при столкновениях, поэтому интерес представляет использование в расчетах моделей, учитывающих эти свойства частиц гранулированных систем. В-четвертых, важно изучить поведение системы при переходе к плотным гранулированным средам, так как именно такие среды интенсивно используются в промышленности, технике, медицине и многих других отраслях.

В диссертационной работе рассмотрена модель гранулированной среды - трехмерная система одинаковых твердых сфер. В реальных условиях частицы гранулированных сред отличаются по размерам, массе, форме. Однако с помощью простой модели, рассмотренной в диссертационной работе, обнаружены и объяснены важные особенности поведения гранулированной системы, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля, а также исследованы пределы применимости использованных в работе моделей твердых сфер.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут найти применение при рассмотрении гранулированных систем, подверженных внешним воздействиям, например, вибрациям.

Экспериментальное и численное исследование поведения гранулированных сред под воздействием вертикальной вибрации в настоящее время ведется и развивается достаточно активно (Rosato et al, 1987; Evesque & Ra-jchenbach, 1989; Laroche et al, 1989; Bernu & Mazighi, 1990; Bretz et al, 1992; Gallas et al, 1992a; Gallas et al, 19926; Herrmann, 1992; Jullien et al, 1992; Ta-guchi, 1992; Benza et al, 1993; Duran et al, 1993; Knight et al, 1993; McNamara & Young, 1993; Pak & Behringer, 1993; Duran et al, 1994; Luding et al, 1994a; Luding et al, 19946; Luding et al, 1994e; Luding et al, 1994г; Melo et al, 1994; Bourzutschky & Miller, 1995; Hayakawa et al, 1995; Knight et al, 1995; Melo et al, 1995; Pak et al, 1995; Aoki et al, 1996; Clement et al, 1996; Knight et al, 1996; Cedra et al, 1997). Одним из наиболее распространенных походов в области исследования динамики гранулированных сред является изучение поведения гранулированной системы, находящейся в стационарном состоянии или достигшей равновесия (Baxter et al, 1989; Gallas et al, 1992a; Goldhirsch & Zanetti, 1993; Pak & Behringer, 1993; Lee, 1994; Melo et al, 1994; Cantelaube & Bideau, 1995; Melo et al, 1995; McNamara & Young, 1995; Brey et al, 1996; Clement et al, 1996; Duran et al, 1996; McNamara & Young, 1996; Pouliquen & Gutfraind, 1996; Cedra et al, 1997; Hill et al, 1997; Malcse, 1997; vanNoije & Ernst, 1998; Zhou, 1998; Aranson et al, 1999; Elperin & Vikhansky 1999; Salazar & Brenig, 1999; Tobochnik, 1999; Chakraborty et al, 2000 Quinn & Hong, 2000; Hong, 2001).

Подобные работы содержат две основные особенности. Во-первых, исследование поведения гранулированных систем, подверженных внешнему воздействию (в частности, вертикальной вибрации), нацелено на изучение поведения системы под влиянием этого воздействия (в частности, вынужденных колебаний, возникающих в рассматриваемой системе под влиянием периодически изменяющейся силы). Во-вторых, анализ поведения таких гранулированных систем проводится после того, как в системе устанавливается некоторое стационарное или равновесное состояние.

Однако возникают следующие вопросы: каково поведение аналогичной гранулированной системы, не подверженной воздействию вибрации; как происходит эволюция системы из начального состояния к стационарному или равновесному; каковы особенности переходных процессов, протекающих в аналогичной гранулированной системе, по мере достижения системой стационарного или равновесного состояния.

В работах, посвященных исследованию динамики гранулированных сред, подобные вопросы не рассмотрены, в частности, не затронут вопрос о том, каков характер переходных процессов, протекающих в изучаемых гранулированных системах на этапе их эволюции из заданного начального состояния. Поэтому изучение «собственной» динамики гранулированных сред, находящихся в гравитационном поле и не подверженных внешним воздействиям, является актуальной задачей, имеющей важное научное и практическое значение.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертационной работы является изучение характера релаксационных процессов в гранулированной системе, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля.

Исследование проведено в рамках модели твердых сфер при следующих предположениях о свойствах частиц:

- абсолютно упругие невращающиеся сферы;

- частично неупругие невращающиеся сферы;

- абсолютно упругие вращающиеся сферы;

- частично неупругие вращающиеся сферы.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе были поставлены и решены следующие ЗАДАЧИ:

- выполнено компьютерное моделирование динамики каждой из исследуемых систем для обширного набора начальных условий и варьируемых параметров моделей;

- проведена статистическая обработка и приведена графическая иллюстрация результатов моделирования; для каждой из рассмотренных моделей твердых сфер получены статистические оценки основных числовых характеристик изучаемых случайных процессов;

- предложена физическая интерпретация поведения числовых характеристик, получаемых при статистической обработке результатов компьютерного моделирования изучаемых случайных процессов; дано физическое объяснение обнаруженных эффектов поведения исследуемых систем;

- проверены гипотезы о предполагаемых законах распределения частиц исследуемых систем;

- проведено сопоставление и подробный анализ результатов численных экспериментов, осуществленных неоднократно для каждой из моделей при изменении начальных, краевых условий и значений параметров исследуемых систем;

- проверена качественная непротиворечивость закономерностей, полученных численно и установленных аналитически.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, насчитывающего 142 наименования. Объем диссертационной работы составляет 136 страниц машинописного текста. Диссертационная работа включает 46 иллюстраций и 4 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Логинова, Надежда Борисовна

5.5. ВЫВОДЫ

По результатам исследования с помощью численного моделирования динамики гранулированной системы (системы твердых частично неупругих (е ф 1) вращающихся {pi Ф 0) сфер), находящихся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля, решены следующие задачи и сделаны следующие выводы:

- исследованы эволюционные процессы, протекающие в системе твердых частично неупругих вращающихся сфер; описаны и объяснены особенности процессов осаждения частиц гранулированной системы; описанный в главе 3 «Релаксационные процессы в системе твердых абсолютно упругих невращающихся сфер» осциллирующий характер эволюции из заданного начального состояния системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер сохраняется при введении в модель отличного от единицы коэффициента восстановления е Ф 1 (неупругость соударений) и ненулевого коэффициента трения pi Ф 0 (вращение частиц);

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе изучены эволюционные процессы, протекающие в находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля трехмерной системе одинаковых твердых сфер, взаимодействия между которыми рассматриваются как соударения твердых тел. Динамика системы исследована с помощью методов математического моделирования при различных начальных условиях и разных значениях варьируемых параметров в рамках рассмотренных моделей твердых сфер. Проведен анализ временных зависимостей величин, характеризующих состояние системы в любой момент времени, на основании которых указаны и объяснены особенности процессов, проходящих в изучаемой системе на этапе ее эволюции из заданного начального состояния.

В диссертационной работе решены следующие задачи:

- осуществлено компьютерное моделирование эволюционных процессов, протекающих в рассмотренных системах в рамках трехмерных моделей твердых сфер - модели абсолютно упругих невращающихся сфер, модели частично неупругих невращающихся сфер, модели абсолютно упругих вращающихся сфер, модели частично неупругих вращающихся сфер; выполнены обработка, анализ и объяснение результатов численных экспериментов;

- для модели абсолютно упругих невращающихся сфер исследованы релаксационные процессы, протекающие в подобной системе при ее эволюции из заданного начального состояния к состоянию термодинамического равновесия системы; описан и объяснен характер релаксационных процессов;

- исследованы равновесные состояния системы абсолютно упругих невращающихся сфер; проанализированы распределения частиц такой системы по величинам скоростей и по высотам в состоянии ее термодинамического равновесия;

- предложено гидростатическое описание равновесных состояний системы твердых сфер;

- для модели гранулированной системы изучены эволюционные процессы, проходящие в системе по мере осаждения ее частиц на дно контейнера; определены и объяснены возникающие при изменении параметров модели особенности процессов осаждения частиц;

- исследованы получаемые в ходе процессов осаждения распределения по величинам скоростей и по высотам частиц гранулированной системы.

Таким образом, в результате выполнения диссертационной работы:

- обнаружено, что релаксационные процессы, протекающие в системах рассмотренных типов, носят осциллирующий характер;

- установлены и приведены в виде параметрических семейств кривых зависимости характеристик обнаруженных свободных колебаний в системе от значений ее параметров; на основании указанных зависимостей оценены характеристики возникающих в системе собственных колебаний;

- сформулированы условия отсутствия колебаний в системе твердых абсолютно упругих невращающихся сфер;

- для модели абсолютно упругих невращающихся сфер установлено, что переход от системы с малой плотностью к системе с большой плотностью сопровождается появлением на кривой равновесной плотности распределения частиц по высотам точки перегиба; точка перегиба возникает при определенных значениях процента заполнения частицами свободного объема занимаемого ими кубического контейнера; доля объема контейнера, занимаемая частицами, позволяет провести классификацию изучаемых систем по их плотности;

- для рассмотренных систем получены оценки коэффициента диффузии при различных значениях радиуса частиц системы;

- приведены оценки времени релаксации и времени осаждения частиц систем рассмотренных типов; определены условия, при которых процессы осаждения частиц гранулированной системы являются термодинамически равновесными.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Логинова, Надежда Борисовна, 2004 год

1. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. М.: МГУ, 1989. - 240 с.

2. ГулдХ., ТобочникЯ. Компьютерное моделирование в физике. — М.: Мир, 1990. Т. 1-2.

3. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. - 608 с.

4. Компанеец А.С. Курс теоретической физики. Т. I. Элементарные законы. М.: Просвещение, 1972. - 512 с.

5. КориолисГ. Математическая теория явлений бильярдной игры. М.: Гостехиздат, 1956.-234 с.

6. Краснощеков П.С., Петров А.А. Введение в математическое моделирование. -М.: Наука, 1984.

7. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. - 452 с.

8. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 1992. - 518 с.

9. Лагарьков А.Н., Сергеев В.М. Метод молекулярной динамики в статистической физике. // УМН. 1978. - № 125. - С. 400.

10. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. -М.: Наука, 1976. 584 с.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с.

12. Левич В.Г. Курс теоретической физики. М.: Наука, 1969. — 912 с.

13. Логинова Н.Б. Равновесные распределения частиц гранулированной среды при наличии гравитационного поля. // Вестник МИИТа. 2003. -№8.-С. 95-102.

14. Логинова Н.Б. Эволюция гранулированного газа под воздействием гравитационного поля. // Сборник научных трудов научной сессии МИФИ—2004. — М.: МИФИ, 2004. С. 102.

15. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику- М.: Едиториал УРСС, 2002. -256 с.

16. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. М.: Наука, 1983. Т. 1-2.

17. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. -М.: Наука, 1984. 192 с.

18. ХирК. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы. М.: Мир, 1976. - 600 с.

19. Экштайн В. Компьютерное моделирование взаимодействия частиц с поверхностью твердого тела. — М.: Мир, 1995. 319 с.

20. Alder B.J., Wainwright Т.Е. Decay of the velocity autocorrelation function. // Phys. Rev. A. 1970. - Vol. 1. - P. 18-21.

21. Alder B.J., Wainwright Т.Е. Studies in molecular dynamics. I. General method. // J. Chem. Phys. 1959. Vol. 31. - P. 459-466.

22. Alder B. J., Wainwright Т.Е. Velocity autocorrelations for hard spheres. // Phys. Rev. Lett. 1967. - Vol. 18. - P. 988-990.

23. Antal Т., Droz M.', Lipowski A. Exponential velocity tail in a driven inelastic Maxwell model.//Phys. Rev. E. 2002. - Vol.66. - P. 062301 (3 pages).

24. Aoki K.M., Akiyama T. Simulation studies of pressure and density wave propagations in vertically vibrated beds of granules. // Phys. Rev. E. — 1995. Vol. 52. - P. 3288-3291.

25. AokiK.M., Akiyama Т., Maki Y., WatanabeT. Convective roll patterns in vertically vibrated beds of granules. //Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. -P. 874-883.

26. Aranson I.S., Tsimring L.S., Vinokur V.M. Continuum theoiy of axial segregation in a long rotating drum.//Phys. Rev. E. 1999. - Vol.60. -P. 1975-1987.

27. Barker G.C., Mehta A. Transient phenomena, self-diffusion, and orienta-tional effects in vibrated powders.//Phys. Rev. E. 1993. - Vol.47. -P. 184-188.

28. Barker G.C., Mehta A. Vibrated powders: Structure, correlations, and dynamics. //Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 45. - P. 3435-3446.

29. Barrat A., Trizac E., Lindenberg K. Molecular dynamics simulations of vibrated granular gases. // Phys. Rev. E. 2002. - Vol.66. - P. 051303 (13 pages).

30. Baxter G.W., Behringer R.P., FagertT., Johnson G.A. Pattern formation in flowing sand. // Phys. Rev. Lett. 1989. - Vol. 62. - P. 2825-2828.

31. Benza V.G., Nori F., Pla O. Mean-field theory of sandpile avalanches: From the intermittent to the continuous-flow regime.//Phys. Rev. E. 1993. — Vol. 48.-P. 4095-4098.

32. Bernu В., Delyon F., Mazighi R. Steady states of a column of shaken inelastic beads. // Phys. Rev. E. 1994. - Vol. 50. - P. 4551-4559.

33. Bernu В., Mazighi R. One-dimensional bounce of inelastically colliding marbles on a wall. // J. Math. Phys. 1990. - Vol. 23. - P. 5745-5754.

34. Biswas P., Sancez P., Swift M.R., King P J. Numerical simulations of air-driven granular separation.//Phys. Rev. E. 2003. - Vol.68. — P. 050301(R) (4 pages).

35. Blair D.L., Kudrolli A. Clustering transitions in vibrofluidized magnetized granular materials. // Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 67. - P. 021302 (4 pages).

36. Bourzutschky M., Miller J. «Granular» convection in a vibrated fluid. // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74. - P. 2216-2219.

37. Bretz M., Cunningham J.B., Kurczynski P.L., Nori F. Imaging of avalanches in granular materials. // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 69. - P. 2431-2434.

38. BreyJJ., Cubero D. Steady state of a fluidized granular medium between two walls at the same temperature. //Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 57. — P. 2019-2029.

39. Brey J J., Cubero D., Ruiz-Montero M.J. High energy tail in the velocity distribution of a granular gas. // Phys. Rev. E. 1999. - Vol. 59. - P. 1256-1258.

40. Brey J.J., Prados A. Closed model for granular compaction under weak tapping. // Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 68. - P. 051302 (8 pages).

41. BreyJJ., Ruiz-Montero M.J. Velocity distribution of fluidized granular gases in the presence of gravity.//Phys. Rev. E. 2003. — Vol. 67 -P. 021307 (7 pages).

42. Brey J.J., Ruiz-Montero M.J., Cubero D. Homogeneous cooling state of a low-density granular flow. //Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. 36643671.43.