Исследование масштабированной энтропии фильтраций сигма-алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Горбульский, Александр Давидович

• Горбульский, Александр Давидович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горбульский, Александр Давидович

§0. Введение

Глава 1. Основные понятия теории фильтраций

7-алгебр.

§1. Допустимые метрики и метрика Канторовича.

§2. Итерированные полуметрики, построенные по фильтрации, и критерий стандартности

§3. Башня мер.

§4. Критерий стандартности в терминах башни мер

Глава 2. Масштабированная энтропия фильтраций: определение, примеры.

§5. Энтропия метрического пространства с мерой.

§6. Определение масштабированной энтропии

§7. Экспоненциальная (комбинаторная) энтропия.

Глава 3. Масштабированная энтропия фильтраций, порожденных случайными блужданиями по траекториям действия групп.

§8. Скейлинг для случайных блужданий по траекториям бернуллиевского действия групп.

§9. Бесконечность роста энтропии стандартной фильтрации при субэкспоненциальном скейлинге.

§10. Бесконечность роста энтропии эндоморфизма при субэкспоненциальном скейлинге.

§11. Связь комбинаторной и масштабированной энтропий

§12. Основной инвариант и интерполяции стандартных фильтраций. (Интерполяционные последовательности с большим скейлингом).

Глава 4. Вычисление масштабированной энтропии фильтрации прошлых случайных блужданий на коммутативных и нильптентных группах.

§13. Случайные блуждания и действия групп. Пример Каликова.

§14. Нестандартность фильтрации прошлых случайных блужданий по траекториям действий решеток.

§15. Регулярность

§16. Вычисление масштабированной энтропии прошлых случайных блужданий на коммутативных и нильпо-тентных группах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование масштабированной энтропии фильтраций сигма-алгебр»

Актуальность темы. Диссертация посвящена теории убывающих последовательностей сг-алгебр, или фильтраций а-алгебр. Важность этой теории отмечаась в статьях А. Н. Колмогорова, В. А. Рохлина, Дж. Дуба, М. Розенблатта и др. С позиций общей теории меры и эргодической теории ее исследовали А. М. Вер-шик, В. Г. Винокуров и их ученики. Изучение фильтраций а-алгебр стало особенно актуально после их появления в теории случайных процессов и в теории апроксимации эргодических преобразований. Одной из первых задач этой теории является классификация фильтраций сг-алгебр.

Вопрос о классификации фильтраций сг-алгебр возник после того, как А. М. Вершиком было доказано, что существует континуум метрически неизоморфных однородных (например, диадиче-ских) фильтраций ( [1, 2]). Инварианты фильтраций могут служить источником для построения инвариантов автоморфизмов и эндоморфизмов, а также для построения характеристик стационарных процессов, которые не меняются при кодировании.

Наиболее удобными инвариантами фильтраций а-алгебр являются инварианты энтропийного типа. Они были определены в работах А. М. Вершика и использовались в работах Д. Рудольфа, К. Хоффмана, Д. Хейклен. Наиболее простым является энтропия фильтраций (экспоненциальная) которая совпадает в некоторых случаях с энтропией действия групп (А. М. Степин [14])

Более глубокий энтропийный инвариант фильтрации - масштабированная энтропия была введена в [6], и ее изучение является также предметом настоящей диссертации.

В работе исследуется понятие масштабированной энтропии фильтрации (j-алгебр (=монотонно убывающей последовательности <т-алгебр). Предлагается метод вычисления этой энтропии для фильтрации а-алгебр прошлых марковского процесса, определяемого случайным блужданием по траекториям бернуллиевского действия коммутативной или нильпотентной счетной группы. Для фильтрации, порожденной бернуллиевским действием G, масштабированная энтропия равна h(G) -энтропии действия G, скейлинг равен с(П,Е) = (nfoflr(i))^ где d- ранг группы G. Из того, что масштабированная энтропия есть метрический инвариант фильтрации, следует, что последовательности о"-алгебр прошлых случайных блужданий по траекториям бернуллиевского действия решеток Zd - метрически неизоморфны при различных d, а также при одном и том же d, но и при различных значениях энтропии схемы Бернулли. Дается краткий обзор метрической теории фильтраций, в частности приводится формулировка критерия стандартности и его связей с масштабированной энтропией и понятием башни мер.

Таким образом, тематика диссертации актуальна.

Цель работы заключается в вычислении масштабированной энтропии фильтрации прошлых случайного блуждания по траекториям действия нильпотентных групп.

Основные результаты работы.

- В работе установлено, что скейлинг в определении комбинаторной энтропии не может быть заменен на субэкспоненциальный ни для какого класса убывающих фильтраций.

Вычислены скейлинг и скейлинговая энтропия одного класса фильтраций. Подробные определения приведены в тексте диссертации. Опишим лишь основной объект изучения. Пусть S - случайное блуждание по случайному сценарию, порожденное простым блужданием на решетке Zd размерности d, или на счетной нильпотент-ной группе G размерности d.

- В работе установлено, что фильтрация прошлых такого процесса имеет скейлинг c(5,n) = (nlog(i))d/2.

Энтропия фильтрации с таким скейлингом равна энтропии действия решетки (нильпотентной группы) h{S) — h{Zd) (h(G)). следствие. Все такие фильтрации попарно неизоморфны для разных d. Для одинаковой размерности изоморфны лишь фильтрации действий одинаковой энтропии.

- Сопоставляя полученный результат с результатом Дж.

Стейфа и Ф. Холландера о бернуллиевских свойствах RWRS процессов, получаем примеры нестандартной фильтрации бернуллиев-ского и слабо бернуллиевского процесса.

- Установлено, что стандартная 4-адическая фильтрация может быть интерполированна до диадической фильтрации со скей-лингом сколь угодно близким к экспоненциальному. То есть наличие стандартной 4-адической подфильтрации не накладывает ограничений на скорость роста скейлинга фильтрации.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы для дальнейшего исследования вопросов классификации эндоморфизмов и фильтраций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ПОМИ РАН по теории представлений и динамическим системам, на конференции "Эйлер и современная комбинаторика". На семинарах в институте Шредингера в Вене и университете Коперника в г.Торунь.

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы -работы [15],[16],[17],[18],[19].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 16 параграфов (нумера

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горбульский, Александр Давидович, 2008 год

1. A.M. Вершик, Убывающие последовательности измеримых разбиений, Докл. Акад. Hay к СССР 193, вып. 4 (1970), 748-751.

2. A.M. Вершик, Континуум попарно неизоморфных диадических последовательностей, Функционал, анализ и прилож. 5, вып. 3 (1971), 16-18.

3. A.M. Вершик, Аппроксимация в теории меры, Диссерт. на со-иск. уч. степ, доктора физ.-матем. наук-JI.: ЛГУ, 1973.1-302.

4. A.M. Вершик, Убывающие последовательности измеримых разбиений Алгебра и Анализ 6, вып.4, (1994), 1-68.

5. A.M. Вершик, Метрика Канторовича: начальная история и малоизвестные применения Записки науч.сем. ПОМИ 312 , Теория представлений, динамические системы, комбинаторика. 12. (2004),69-85.

6. A.M. Вершик, Динамическая теория роста в группах: энтропия, границы, примеры, Успех.мат.наук 55, вып. 4 (2000),59-128.

7. A.M. Вершик, Четыре определения шкалы автоморфизма, Функ. анал. и прилоэ/с.7, вып. 3 (1973).7, 1-17.

8. A.M. Вершик, Pasts of Т, Т-1 is nonstandard, manuscript. Berekley 1995.

9. E. И. Динабург, Связь между различными энтропийными характеристиками динамических систем, Изв. АН СССР. Сер. ма-тем. (1971), 35:2, 324-366

10. В. А. Рохлин, Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой, УМН (1967), 22:5,137, 3-56

11. Колмогоров А.Н., Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. -Докл. АН СССР, 119, вып.(1958) с.861-864.

12. И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. Эргодическая теория. М.: Наука (1980).

13. Мартин Н., Ингланд Дж. Математическая теория энтропии. М.: Мир (1988).

14. A.M. Степин, Об энтропийных инвариантах убывающих последовательностей измеримых разбиений, Функционал, анализ и прилож. 5,вып. 2 (1971), 80-84.

15. А.Д. Горбульский, Об одном свойстве энтропии убывающей последовательности измеримых разбиений, Записки науч.сем. НОШИ 256 , (1999) 19-23.

16. А.Д. Горбульский, Взаимосвязь разных определений энтропии убывающих последовательностей разбиений. Скейлинг, Записки науч.сем. ПОМИ 283, (2001) 50-62.

17. А.Д. Горбульский, Пример интерполяции стандартной последовательности измеримых разбиений с большой скейлинговой энтропией, Записки науч.сем. ПОМИ 292, (2002) 5-10.

18. А.Д. Горбульский, сг-алгебра прошлых случайного блуждания по орбитам бернуллиевского действия группы ZD, Записки науч.сем. ПОМИ 325, (2005) 103-112.

19. А. М. Вершик, А.Д. Горбульский, Масштабированная энтропия фильтраций а-алгебр, Теор.Вер. и приложения 3, (2007) 446-467.

20. D. Heicklen, Entropy and г equivalence, Ergod. Th. Dynam. Sys 18 (1998), 1139-1157.

21. D. Heicklen, C. Hoffman, T,T~l is not standard, Ergod. Th. Dynam. Sys. 18 (1998), no. 4, 875-878.

22. C. Hoffman, D. Rudolph, A dyadic endomorphism which is Bernoulli but not standard. Israel J. Math. 130 (2002), 365-379.

23. C. Hoffman, D. Rudolph, Uniform endomorphisms which are isomorphic to a Bernoulli shift, Ann. of Math. (2) 156 (2002), no. 1, 79-101.

24. D. Heicklen, C. Hoffman, D. Rudolph, Entropy and dyadic equivalence of random walks on a random scenary,Adv. Math. 156, no 2 (2000),157-179.

25. S. A. Kalikow, T, T~l transformation is not loosely Bernoulli, , Annals of Math. 115 (1982), 393-409.

26. J.Feldman, D.Rudolph. Standardness of the decreasing sequences of cr-fields given by certain dyadic endomorphisms. Fund. Math. 157 (1998) no. 2-3, 175-189.

27. P. Shields K. Marton, How many future measures can there be? Ergod. Th. Dynam. Sys., 22 (2002), 257-280.

28. X.Bressaud, A.Maass,S.Martinez J.San Martin. Stationary processes whose filtration are standard. The Annals of Prob. (2006) v.34 No.4 1580-1600.

29. L. Dubins, J. Feldman, M. Smorodinsky, and B.S. Tsirelson, Decreasing sequences of er-fields and a measure change for Brownian motion, Ann.Prob. , Vol. 24, No. 2 (Apr., 1996), 905-911.

30. F. Hollander J. Steif, Random walk in random scenery, IMS Led. Notes 48 (2006) 53-65.

31. M. Emery, Espaces probabilises filtres: de la theorie de Vershik au mouvement brownien, via des idees de Tsirelson, Seminaire Bourbaki (2000) vol. 2000/2001, 63-83.

32. Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры, Мат. Сборник (новая серия) 25(67), 107-150 (1949).

33. Рохлин В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований сохраняющих меру, Усп. Мат. Наук 22 (1967), 5(137) 4-56.

34. Кушниренко А. Г., О метрических инвариантах типа энтропии. Усп. Мат. Наук 22 (1967), 5, 57-65.

35. Канторович Л.В, О перемещении масс. -Докл. АН СССР 37, вып.(1942) 7-8.

36. W. Parry, Automorphisms of the Bernoulli endomorphism and a class of skew-products. Ergod. Th. Dynam. Sys. 16 (1996), no.3, 519-529.

37. P.Crepel, A.Raugi, Theoreme central limite sur les groupesnilpotents. Ann. Inst. Henri Poincare, Nouv. Ser., Scct. В 14, (1978) 145-164.