Исследование неустойчивости и хаоса при распространении нелинейных волн в пузырьковых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Середа, Илья Александрович

• Середа, Илья Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Середа, Илья Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

1.1 Вводные замечания

1.2 Нелинейные колебания динамических систем 13 1.2.1 Краткий обзор исследований, связанных с возникновением стохастических и хаотических колебаний в различных колебательных системах.

1.3 Нелинейные волновые процессы.

1.4 Распространение возмущений в периодических средах. 22 1.4.1 Распространение волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБАНИИ ОДИНОЧНОГО ПУЗЫРЬКА ГАЗА В ЖИДКОСТИ (СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ В ПУЗЫРЬКОВОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМОЙ УРАВНЕНИЕМ КЕЛЛЕРА-МИКСИСА)

2.1 Вводные замечания

2.2 Постановка задачи.

2.2.1 Выбор модели

2.2.2 Выбор методов исследования стохастичности системы

2.2.3 Обсуждение численных методов

2.3 Результаты численного моделирование и их обсуждение

2.3.1 Зависимость вынужденных колебаний пузырька от свойств среды

2.3.1.1 Вязкость.

2.3.1.2 Коэффициент поверхностного натяжения.

2.3.1.3 Показатель адиабаты.

2.3.1.4 Скорость звука в жидкости.

2.3.1.5 Обсуждение результатов численного исследования зависимости вынужденных колебаний пузырька от свойств среды 66 2.3.2 Зависимость вынужденных колебаний пузырька от вида внешнего воздействия

2.4 Выводы

ГЛАВА 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СРЕДЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ИЗМЕНЕНИЕМ ОБЪЁМНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ГАЗА В СМЕСИ ВДОЛЬ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

3.1. Вводные замечания

3.2. Постановка задачи

3.3. Модельный расчёт для одиночной волны

3.3.1. Треугольная волна

3.3.2. Ударная волна типа ступеньки

3.3.3. Учет потерь энергии на межфазный теплообмен и вязкость.

3.4. Обсуждение результатов численного моделирования

3.5 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование неустойчивости и хаоса при распространении нелинейных волн в пузырьковых средах»

К 30-м годам прошлого века нелинейные задачи стали актуальными в акустике, физике твердого тела, статистической механике. Принципиально нелинейные задачи ставились практическими потребностями радиотехники, они возникали и в других прикладных областях физики и математики. Однако математические проблемы в столь различных областях физики и техники казались специфическими для каждой частной проблемы и несвязанными друг с другом. Тогда же было понято, что отсутствие аддитивного отклика физических систем на аддитивные воздействия является наиболее общей ситуацией в нелинейных системах, поэтому нелинейные проблемы из различных областей физики и техники оказываются очень сходными и требуют единого подхода к их математическому описанию. Среди физиков различных специальностей начало вырабатываться «нелинейное» мышление и разные области науки начали перенимать нелинейный опыт друг друга.

Актуальность темы.

Значительный интерес исследователей к проблемам и задачам механики газожидкостных сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике. В настоящее время интенсивно изучается распространение волн различной природы в такого рода средах (акустика океана, оптика атмосферы, физика многофазных систем и т.п.). Для контроля различных технологических процессов в энергетических установках и аппаратах химической промышленности широко используются расчеты и измерения, связанные с распространением и поглощением волновых возмущений.

Актуальной задачей для многих областей современной науки является изучение неустойчивости при колебаниях одиночного пузырька и характера распространения нелинейных волн в пузырьковых средах. Так, например, в трубопроводном транспорте пузырьковая завеса с неравномерным распределением пузырьков по пространству может служить эффективным барьером для распространения ударных волн, возникающих в результате технологических процессов. Аналогичные задачи могут возникать в нефтедобыче и нефтепереработке. Обычно параметры таких сред подвержены сильным пространственно-временным возмущениям. Одной из областей, где в настоящее время достаточно интенсивно развиваются акустические технологии, является медицина (например: акустическое воздействие на опухоли, дробление камней, акустическая диагностика крови и др.). В этих задачах также достаточно значимыми факторами являются газосодержание и свойства тканей, насыщенных жидкостью.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена интенсивным использованием технологий, связанных с распространением и эволюцией волн в гетерогенных средах, необходимостью расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в таких средах, следовательно, практической значимостью рассмотренных в работе проблем.

В представленной диссертационной работе исследуются нелинейные явления в колебательных и волновых процессах на примерах нелинейных колебаний пузырькового осциллятора во внешнем возбуждающем поле и динамики нелинейных волн в жидкости при прохождении через пузырьковую завесу. Изучение явлений в работе проводится в рамках механики многофазных систем с точки зрения динамического хаоса.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена интенсивным использованием технологий, связанных с распространением и эволюцией волн в гетерогенных средах, необходимостью расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в таких средах, практической значимостью рассмотренных в работе проблем.

Основная цель работы состоит в исследовании характера вынужденных колебаний одиночного пузырька газа в жидкости в зависимости от начальных условий, свойств среды, вида внешнего воздействия и изучении влияния периодической неоднородности газожидкостных сред на распространение в них нелинейных волн.

Задача об усилении (гашении) нелинейных волн в пузырьковых средах рассматривалась подробно во многих работах, однако стохастизация фронта волны и ее затухание в средах с периодическим газосодержанием до настоящего времени изучены недостаточно. Наряду со сложным взаимодействием и отражением волны при прохождении неоднородности значимым фактором в данной задаче является стохастизация колебаний одиночного пузырька при акустическом воздействии в определенном диапазоне параметров среды. Таким образом, как для пузырьковой среды, так и для одиночного пузырька газа в жидкости необходим анализ причин возникновения и областей неустойчивости.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Анализ влияния начальных данных, параметров среды (вязкости, коэффициента поверхностного натяжения жидкости, показателя адиабаты для газа в пузырьках, скорости звука в жидкости) на характер вынужденных колебаний пузырька газа в жидкости;

2. Оценка влияния второй гармоники во внешнем сигнале на характер вынужденных колебаний пузырька газа в жидкости;

3. Определение по указанным параметрам области стохастичности и сценарии перехода к хаосу;

4. Исследование эволюции возмущений и провести анализ неустойчивости распространения нелинейных волн в пузырьковых средах с периодическим изменением газосодержания по направлению распространения возмущения.

Научная новизна

В работе поставлен и решен ряд новых задач нелинейной динамики, а также изучены закономерности распространения нелинейных волн при наличии в однофазных средах зон, содержащих гетерогенные среды в виде завес с учетом нелинейных эффектов. Исследовано влияние начальных данных, параметров среды, внешнего воздействия на устойчивость колебаний одиночного пузырька.

В работе показано, что

- для различных параметров среды определен диапазон внешних частот возбуждения пузырька, в котором реализуется стохастическое решение, определены сценарии перехода к хаосу при изменении скорости звука и вязкости э/сидкости, показано наличие гистерезиса по этим параметрам;

- показано, что наличие в периодическом внешнем воздействии второй гармоники может как порождать стохастические колебания, так и разрушать их;

- показано, что в задаче о вынужденных колебаниях одиночного пузырька в области гистерезиса при фиксированной частоте внешнего воздействия существует третий тип решения (помимо двух, являющихся следствием гистерезиса);

- показано, что наличие периодической неоднородности в пузырьковой среде, т.е. периодическое изменение газосодержания пузырьковой э/сидкости по направлению распространения волны, приводит к появлению зон пропускания и непропускания (существенного гашения сигнала) для периодического по времени возмущения.

Достоверность результатов обусловлена использованием методов механики сплошных сред при разработке моделей распространения возмущений в среде и их физической и математической непротиворечивостью в рамках физических законов. Результаты численного моделирования подтверждаются тестовыми расчетами, экспериментальными и теоретическими работами других авторов.

Практическая ценность

1. Полученные результаты позволяют определить параметры неоднородности газосодержания, обеспечивающие «максимальное» затухание одиночных (и ударных) волн;

2. Определены области частот и значения амплитуды для второй гармоники во внешнем акустическом поле, обеспечивающие «разрушение» и появление областей стохастичности;

3. Определены «граничные» значения вязкости жидкости, при которых реализуется стохастический режим колебаний, а также зависимость характера колебаний (стохастические или периодические) от других свойств среды;

4. Обоснована возможность использования в качестве «управляющих параметров» системы скорости звука и вязкости жидкости и показано наличие гистерезиса при изменении этих параметров.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• IV семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 1996 г.

• семинар БашНИПИнефть, Уфа, 1996 г.

• семинар «Задачи гидродинамики в области добычи, транспортировки и переработки нефти», ИПТЭР, Уфа, 1998 г.

• V семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 1998 г.

• семинар «Задачи гидродинамики в области добычи, транспортировки и переработки нефти», ИПТЭР, Уфа, 1999 г.

• XII школа-семинар по механике сплошных сред. ИМ, Пермь, 1999 г.

• VI семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 2000 г.

В ходе работы над диссертацией опубликовано 7 печатных работ [86, 96101].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Содержит 135 страниц, 40 рисунков, 1 таблицу и библиографию из 101 наименования.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Середа, Илья Александрович

3.5 Выводы

Эволюция нелинейных волн в газожидкостных средах с периодической по пространству неоднородностью существенно зависит от параметров неоднородности.

Наличие периодичности распределения неоднородности в среде, в которой распространяется возмущение, приводит к появлению зон пропускания и непропускания возмущения согласно уравнению Матье, полученному для рассматриваемой системы в первой главе диссертационной работы.

Показано, что при прохождении одиночным импульсом среды с периодом неоднородности, существенно большим или меньшим полуширины импульса, его амплитуда на контрольном (третьем) участке практически не отличается от амплитуды на первом. В случае, когда период неоднородности имеет порядок полуширины импульса, происходит затухание импульса за счет отражения от неоднородностей. При некоторых значениях периода неоднородности одиночный импульс неустойчив и распадается на одиночные нелинейные волны меньшей амплитуды. Короткие волны ведут себя как квазичастицы, поэтому их рассеяние определяется энергией связи квазичастиц в солитоне, которая существенно больше их кинетической энергии. Таким образом, для коротких волн, распространяющихся в среде с периодическим по направлению распространения газосодержанием, пузырьковая завеса препятствием практически не является, т.е. волна попадает в зону прозрачности. Вне зон непрозрачности волна с соответствующим к0 распространяется пространственно модулированной. Показано, что волны в периодически неоднородных средах могут распространяться только при определенных условиях. Когда длина падающей волны в два раза больше характерного масштаба неоднородности среды - «длины волны решетки», происходит существенное затухание волны, т.к. из-за резонансного отражения даже от малых неоднородностей появляется встречная волна. Несмотря на то что она слабая, тем не менее благодаря резонансу эффект вдоль координаты х накапливается и возникает стоячая волна, т.е. на определенной длине вся энергия падающей волны будет уходить в отраженную. При условии А0 =2Л„ (или вблизи области этого резонанса) прямая и встречная волны сильно связаны. Таким образом, зоны непрозрачности соответствуют волнам, рассеивающимся па пространственных гармониках неоднородности. а г

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В задаче о вынужденных колебаниях одиночного пузырька показано влияние на характер колебаний начальных данных и свойств среды.

• в плоскости начальных данных для Р, =0,9 атм., у=184 кГц численно показано существование трех типов решений, предсказанных аналитически: однопериодические колебания (на внешней или собственной частоте), стохастические колебания и Ы-периодические колебания (где N>2);

• показана немонотонная зависимость стохастичности (фрактальной размерности сечения Пуанкаре) от скорости звука;

• определены сценарии перехода к хаосу при изменении скорости звука в жидкости и вязкости жидкости для некоторых частных случаев;

• при использовании вязкости и скорости звука в жидкости, как управляющих параметров, показано наличие гистерезиса;

• обнаружено, что в различных областях пространства управляющих параметров систем, возникают странные аттракторы, имеющие существенно различную степень хаотичности. Данный факт определяется изучением таких характеристик движения, как фрактальная размерность странного аттрактора;

• численный анализ исследуемых моделей показал качественное изменение колебательных режимов при воздействии на пузырьковый осциллятор. В рассматриваемой модели были обнаружены механизмы дестохастизации, то есть перехода системы в регулярный режим при незначительном изменении вида внешнего воздействия. Причем разрушение странного аттрактора происходит только для определенной комбинации частот внешнего «двухчастотного» воздействия и по достижении амплитуды возмущающей силы некоторого порогового значения при фиксированной амплитуде основного возмущения. Таким образом, показано, что наличие второй гармоники во внешнем поле может как порождать области стохастичности, так и «уничтожать» их. 2. В задаче о распространении нелинейных волн в газожидкостной среде с периодическим по пространству газосодержанием определены амплитуда и период пространственного распределения газосодержания, оказывающие максимальное влияние на распространение одиночного импульса и ударной волны. Показано, что

• для одиночного импульса максимальное затухание происходит, когда период неоднородности примерно равен двум полуширинам одиночного импульса;

• для ударной волны (той же амплитуды) максимальное влияние оказывается при том же периоде неоднородности и выражается в стохастизации распределения давления за передним фронтом ударной волны.

Показано, что распространение нелинейных волн в пузырьковой среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием определяется несколькими факторами. А именно, характеристики прошедшей через пузырьковую среду волны определяются

• размерами волны (длиной волны) относительно периода неоднородности (в рассматриваемом случае - концентрации).

• способностью пузырька к переизлучения , т.к. важную роль в создании профиля и определении характеристик прошедшей волны играют осцилляции пузырька во внешнем поле. Солитон, ударная волна или любое внешнее возмущение создают определенный спектр возмущающего воздействия, который в свою очередь определяет характер колебания пузырька во внешнем поле: либо хаотические - в этом случае направленное переизлучение волны отсутствует, либо периодические (квазипериодические), сопровождающиеся переизлучением волны.

Наличие периодичности распределения неоднородности в среде, в которой распространяется возмущение, приводит к появлению зон пропускания и непропускания возмущения согласно уравнению Матье, полученному автором для рассматриваемой системы.

В свою очередь наличие хаотичности или периодичности (квазипериодичности) колебаний пузырька определяет характер переизлучения.

Эти эффекты и определяют эволюцию волнового возмущения (солитона или ударной волны) при распространении этого возмущения в пузырьковой среде.

Результаты диссертационной работы изложены в статьях и тезисах [86,96-102].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Середа, Илья Александрович, 2004 год

1. НеГшарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1987. - 424 с.

2. W.Knop, W.Lauterborn. Bifurcation structure of the classical Morse oscillator // J.Chem.Phys., vol. 93, № 6, September, 1990, pp.3950-3954.

3. U.Parlitz, W.Lauterborn. Period doubling cascades and devil's staircases of the driven van der Pol oscillator // Phys.Rev. A, vol. 36, № 3, August, 1987, pp.1428-1432.

4. R.Mettin, U.Parlitz, W.Lauterborn. Bifurcation structure of the driven van der Pol oscillator // International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 3, № 6, 1993, pp.1529-1555.

5. V. Englisch, W. Lauterborn. Regular window structure of a double-well Duffing osillator // Phys.Rev. A, vol. 44, № 2, July, 1991, pp. 1428-1432.

6. Шарковский A.H. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. // Укр.мат.журнал.- 1964.- Т.26, № 1.-С.61-71.

7. U.Parlitz, C.Scheffczyk, T.Kurz, W. Lauterborn. On modeling driven oscillators by maps. // International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 1, № 1, 1991, pp. 261-264.

8. U. Parlitz, V. Englisch, C. Scheffczuk, W. Lauterborn. Bifurcation structure of bubble oscillators // J. Acoust. Soc. Am., v.88, № 2, 1990, pp. 1061 -1077.

9. Keller J.В., Miksis M. Bubble oscillations of large amplitude. // J.Acoust.Soc.Am., v.68, № 2, August, 1980, pp. 628 633.

10. Knapp R.T., Daily J.W., Hammit G.F. Cavitation. New York: Mc Grow -Hill, 1970.

11. W. Lauterborn. Numerical investigation of nonlinear oscillations of gas bubbles in liquids. //J. Acoust. Soc. Am., v. 59, February, 1976, pp.283-293.

12. A. Prosperetti. A new mechanism for sonoluminecence. //J.Acoust.Soc.Am., v. 101, № 4, 1997, pp. 2003 2007.

13. K.Geist, W. Lauterborn. The nonlinear dynamics of the damped and driven Toda chain. I. Energy bifurcation diagrams. // Physica D., v. 31, 1988, pp. 103116.

14. K.Geist, W. Lauterborn. The nonlinear dynamics of the damped and driven Toda chain. II. Fourier and Lyapunov analysis of tori. // Physica D., v. 41, 1990, pp. 1-25.

15. K.Geist, W. Lauterborn. The nonlinear dynamics of the damped and driven Toda chain. III. Classification of the nonlinear resonances and local bifurcations. //Physica D., v. 52, 1991, pp.551-559.

16. U.Dressier, W. Lauterborn. Rulle's rotation frequency for a symplectic chain of dissipative oscillators. // Phys. Rev. A, v. 41, № 12,1990, pp.6702-6715.

17. W.C.Moss. Understanding the periodic driving pressure in the Rayleigh-Plesset equation. //J.Acoust.Soc.Am., v. 101, № 2, February, 1997, pp.1187-1190.

18. C.Scheffczyk, U.Parlitz, T.Kurz, W.Knop, W. Lauterborn. Comparision of a bifurcation structures of driven dissipative nonlinear oscillators. // Phys. Rev. A,v. 43, № 12, 1991, pp.6495-6502.

19. W.Lauterborn, E.Cramer. Subharmonic Route to Chaos Observed in Acoustics. // Phys. Rev. Let., v. 47, № 20, November, 1981, pp. 1445-1448.

20. Yu.A.Kobelev, L.A.Ostrovsky. Nonlinear acoustic phenomena due to bubble drift in a gas-liquid mixture. // J.Acoust.Soc.Am., v. 85, № 2, February, 1989, pp.621-629.

21. A.Guarino, A.Garcimartin, S.Ciliberto. An experimental test of the critical behaviour of fracture precursors. // Eur.Phys.J. B, v. 6, 1998, pp. 13-24.

22. W.Lauterborn, J.Holzfuss. Acoustic chaos. // International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 1, № 1, 1991, pp. 13-26.

23. H.-Y.Kwak, H.Yang. An Aspect of Sonoluminescence from Hydrodynamic Theory. // J. of the Phys.Soc. of Japan, vol. 64, № 6, June, 1995, pp. 1980-1992.

24. M.P.Brenner, D.Lohse, D.Oxtoby, T.F.Dupont. Mechanisms for Stable Single Bubble Sonoluminescence. // Phys.Rev.Let., vol. 76, № 7, February, 1996, pp. 1158-1161.

25. D.Lohse, M.P.Brenner, T.F.Dupont, S.Hilgenfeldt, B.Johnstone. Sonoluminescence Air Bubbles Rectify Argon. // Phys.Rev.Let., vol. 78, № 7, February, 1997, pp. 1359-1362.

26. A.Prosperetti. A new mechanism for sonoluminescence. // J.Acoust.Soc.Am., vol. 101, № 4, April, 1997, pp. 2002-2007.

27. ИлъичевВ.И., Корец B.JI., Мельников Н.П. Излучение одиночного неподвижного пузырька. // Акустический журнал, т. 40, № 2, 1994, стр. 253-261.

28. Г.М.Заславский, Р.З.Сагдеев, Д.А.Усиков, А.А.Черников. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, Физматлит, 1991. 240 с.

29. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. -М.:Наука, 1988.-240 с.

30. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.:Наука, 1984. -271 с.у 31. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.-528 с.

31. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Intraction of solitons in a collisioness plasma and reccurence of initial states. // Phys.Rev.Lett., 1965. Vol.15, №6. P. 240-242.

32. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн: учебное пособие. -М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1984.-432 с.

33. Косевич A.M., Ковалев A.C. Введение в нелинейную физическую механику. Отв.ред. Боровик А.Е. АН УССР, Физ.-тех.инст. низк. темп. -Киев: Наук.думка, 1989.-304 с.

34. Солитоны. Редакторы Р.Буллаф, Ф.Кодри. Пер. с англ. под ред. С.П. Новикова. М.:Мир. 1983. - 408 с.

35. Нелинейная теория распространения волн. Пер. с англ. под ред. Г.И. Баренблатта.-М.:Мир. 1970.-231 с.

36. Андронов A.A., Bumm A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.:Наука. 1981.-568 с.

37. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.-175 с.

38. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов.радио, 1977. 368 с.

39. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 622 с.

40. Бакай A.C., Степановский Ю.П. Адиабатические инварианты. Киев: Наук, думка, 1981.-238 с.

41. Петвиашвши В.И., Похотелов O.A. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 200 с.

42. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. ИЛ, 1959.

43. Найфэ А. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984. — 535 с.

44. Бреховских JJ.M. Волны в слоистых средах. -М.: Наука, 1973.

45. Бреховских Ü.M., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука. Гл.ред.физ-мат.лит., 1989. 416 с.

46. Ахромеев Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Двухкомпонентные диссипативные системы в окрестности точки бифуркации. В сб.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.:Наука, 1986. 312 с.

47. Сборник «Акустика океана» /Под ред. Дж. Де Санто. Пер. с англ. Под ред. Ю.А.Кравцова.-М.: Мир, 1982.

48. Акуличев В.А., Буланов В.А. О влиянии гетерофазных флуктуаций на кавитационную прочность и нелинейный параметр жидкостей. В сб. «Морские технологии». Владивосток: Дальнаука, 1996, с. 148-168.

49. Буланов В.А. Акустическая спектроскопия при нелинейном нестационарном рассеянии звука. В. сб.: «Акустика неоднородных сред». Вып.112. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1977, с.77-82.

50. Боголюбов H.H., Митропольский ¡O.A. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.-410 с.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965. - 203 с.

52. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969.-377 с.

53. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. -М.:Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1986. (Совр.пробл.физики).-256 с.

54. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика (Основные положения, точные результаты и асимптотичесие приближения). М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 528 с.

55. Лике Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. (Формулы, графики, таблицы)./Пер. с нем. Под ред. Л.И. Седова. М.: Наука. Гл.ред.физ-мат.лит., 1968. 344 с.

56. Абрамович М, Стригап И. Справочник по специальным функциям./ Пер.с англ.под.ред. В.А.Диткина и Л.Н.Карамзиной . М.:Наука, 1979.1. C.832.

57. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1973.

58. Ахатов И.Ш., Байков В.А., Бажов Р.А. Распространение нелинейных волн в газожидкостных средах с переменным по пространству газосодержанием // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 1. с. 180-183.

59. A. Prosperetti. Bobble phenomena in sound fields: part one "Ultrasonics", 22, 69, 1984.

60. W. Lauterborn, U. Parlitz. Methods of chaos physics and their applications to acoustics .// J. Acoust. Soc. Am. 84 (6), 1975 1992, 1988.

61. Лоренц Э.Н. Детерминированное непериодическое движение. // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 117-151.

62. Gerber М. The Analysis of Chaotic Time Series from Experimental Data: an Introduction. // In: Differential Equations and Chaos. Lectures on Selected Topics. Edit.by N.H.Ibragimov. New Age International (P) Limited, Publishers. 1996.- 123-164 p.p.

63. Farmer J.D., Ott E., Yorke J.A. The dimension of chaotic attractors. // Physica

64. D, 1983, v.7,№l-2,p. 153-180.

65. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors. // PhysicaD, 1983, v.9, №1-2, p. 189-208.

66. Хенон M. Двумерное отображение со странным аттрактором. // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981, с. 152-163.

67. Moon F.C. Chaotic and Fractal Dynamics. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley and Sons, Inc., 1992. 408 p.

68. Паркер T.C., Чжуа JJ.O. Введение в теорию хаотических систем для инженеров. // ТИИЭР, т.75, № 8, август 1987, с. 6-40.

69. Паркер Т.С., Чжуа И.О. INSITE программный инструментарий для анализа нелинейных динамических систем. // ТИИЭР, т.75, № 8, август 1987, с. 113.

70. Ott Е., Grebogi С., Yorke J.A. Controlling chaos. // Phys. Rev. Lett., 1990, v. 64,№ 11, p.l 196-1207.

71. Кедринский B.K. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. Новосибирск: Изд. СО РАН. 2000. - 435с.rf 74. Иорданский С.В. Об уравнениях движения жидкости, содержащейпузырьки газа // ПМТФ. 1960. № 3.

72. Когарко Б.С. Об одной модели кавитирующей жидкости // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, №6.

73. Когарко Б.С. Одномерное неустановившееся движение жидкости с возникновением и развитием кавитации // Докл. АН СССР. 1964. Т. 155, № 4.

74. Van Wijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles//J. Fluid Mech. 1968. V. 33. P. 465-474.

75. Van Wijngaarden L. One-dimensional flow of liquids containing small gas bubbles. // In: Anna.Rev.Fluide Mech. V.4. Palo Alto, Calif., 1972. Pp. 369-396.

76. Ван Вингаарден JI. Одномерные течения жидкости с пузырьками газа. -В кн.: Реология суспензий. М.:Мир, 1975, с.68-103.

77. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Усиление ударных волн при столкновении и фокусировке в пузырьковых средах // ДАН, 1998. Т. 361, № I.e. 41-44.

78. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред М.: Наука, 1987.

79. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Наука, 1987. 360с.

80. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. ч.2. М.: Наука, 1987. 360с.

81. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Исследования нестационарных ударных волн в газожидкостных смесях пузырьковой структуры. // ПМТФ, 1978, №2, с. 78-86.

82. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И, Хабеев Н.С. Волны в жидкости с пузырьками. // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.:ВИНИТИ, 1982, т. 17, с.160-249.

83. Байков В.А., Середа И.А. Распространение нелинейных волн в газожидкостной среде с периодической по пространству неоднородностью. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1998. № 5. с. 107-113.

84. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. Новосибирск: Институт теплофизики СО АН СССР, 1983.-237 с.

85. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990. 237 с.

86. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 694 с.

87. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. -237 с.

88. Солитоны. Редакторы Р.Буллаф, Ф.Кодри. Пер. с англ. под ред. С.Г1. Новикова. М.:Мир. 1983. - 408 с.

89. Нелинейная теория распространения волн. Пер. с англ. под ред. Г.И. Баренблатта. М.:Мир. 1970.-231 с.

90. Kapmiau В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.-175 с.

91. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов.радио, 1977. 368 с.

92. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. -М.: Мир, 1977. 622 с.т'

93. Байков В.А., Середа И.А. Распространение нелинейных волн в газожидкостной среде с периодической по пространству неоднородностью. // Сборник трудов четвертого научного семинара СНГ «Акустика неоднородных сред», Новосибирск, 1997. С. 34-42.

94. Середа И.А., Байков В.А. О хаотическом поведении пузырька газа в жидкости при периодическом внешнем воздействии в зависимости от параметров среды. // Двенадцатая зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, 1999.-С.34.

95. Середа И.А. Влияние параметров неоднородности на вынужденные колебания одиночного пузырька газа в жидкости. // Сборник трудов пятого научного семинара СНГ «Акустика неоднородных сред», Новосибирск, 1999.-С. 67.