Исследование нуклонных передач при низкоэнергетических ядерных реакциях нестационарными квантовыми методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат наук Самарин, Кирилл Вячеславович

• Самарин, Кирилл Вячеславович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Самарин, Кирилл Вячеславович

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РАЗВИТИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ЯДЕРНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ

1.1. Уравнения движения ядер в полуклассической модели ядерных столкновений

1.2. Спин-орбитальное взаимодействие и оболочечная модель сферического ядра

1.3. Уточнение оболочечной модели сферического ядра

1.4. Краевая задача для нестационарного уравнения Шредингера для нуклонов в полуклассической модели ядерных столкновений

1.5. Разностная схема для нестационарного уравнения Шредингера с учетом спин-орбитального взаимодействия

1.6. Расчеты в оболочечной модели аксиально-симметричного ядра

ГЛАВА 2. ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ И МЕХАНИЗМЫ ПЕРЕДАЧИ НУКЛОНА ПРИ ЭНЕРГИЯХ ВБЛИЗИ КУЛОНОВСКОГО БАРЬЕРА

2.1. Пространственная область нейтронных передач

2.2. Зависимость нейтронных передач от квантовых чисел полного момента] и модуля проекции полного углового момента на межъядерную ось Q

2.3. Динамика передач и зависимости вероятности передач от минимального межъядерного расстояния

2.4. Заселение двуцентровых нейтронных состояний

2.5. Протонные передачи

ГЛАВА 3. ВЕРОЯТНОСТИ И СЕЧЕНИЯ НУКЛОННЫХ ПЕРЕДАЧ В РЕАКЦИЯХ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЯДРАМИ

3.1. Переходы нейтронов в состояния выше уровня Ферми в реакциях с нейтроноизбыточными ядрами

3.2. Переходы нейтронов между ядрами с существенно различным положением уровней Ферми

3.3. Переходы нейтронов между ядрами с близким положением уровней Ферми

ГЛАВА 4. ВЕРОЯТНОСТИ НУКЛОННЫХ ПЕРЕДАЧ В РЕАКЦИЯХ С НЕСФЕРИЧЕСКИМИ ЯДРАМИ

4.1. Взаимодействие сферического и деформированного ядер

4.2. Передача нейтронов из сферического ядра в деформированное

4.3 Передача нейтронов из деформированного ядра в сферическое

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ . ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ОБОЛОЧЕЧНОЙ МОДЕЛИ

СФЕРИЧЕСКИХ ЯДЕР

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование нуклонных передач при низкоэнергетических ядерных реакциях нестационарными квантовыми методами»

ВВЕДЕНИЕ

Значительный прогресс в экспериментальном исследовании низкоэнергетических реакций в последние годы существенно расширил область известных ядер на так называемой карте атомных ядер на (Z,N) -плоскости (рис. 1 а). С одной стороны, с использованием нейтроноизбыточного ядра-

Лй

снаряда Са в реакциях слияния были получены ядра новых элементов с атомными номерами до Z-118 [1-3]. С другой стороны, синтез и изучение свойств нейтроноизбыточных ядер с максимально возможным числом нейтронов N при данном заряде Z (экзотических ядер) [4-9] расширяет и уточняет положение нейтронной границы стабильности на (Z,N) -плоскости.

Ядерные реакции, сопровождающиеся передачами (transfer) небольшого числа нуклонов (главным образом, нейтронов), называют реакциями срыва (stripping) с ядра-снаряда и подхвата (pick-up) нуклонов ядром-снарядом [10,11]. Они имеют место при касательных (grazing) столкновениях тяжелых ядер [12,13] , когда еще не происходит касания их поверхностей, а минимальное расстояние между ними не превосходит нескольких фм. Такие процессы сопровождаются сравнительно слабыми возбуждениями (коллективными и одночастичными) сталкивающихся ядер с энергией (до 10-20 МэВ), малой по сравнению с начальной кинетической энергией Ек ядра-снаряда. Поэтому такие столкновения называют квазиупругим (quasi-elastic) рассеянием [14]. Столкновения с более тесным контактом ядерных поверхностей, при которых во внутреннюю энергию ядер переходит значительная часть энергией Ек, называют глубоко неупругими (deep inelastic) реакциями [14,15]. Они сопровождаются передачами между ядрами значительного числа нуклонов. Типичный пример распределения продуктов реакции приведен на рис. 16 из работы [18].

z

1Ш

Рис. 1. а) Долина стабильности (черные точки) и область существования устойчивых (оттенки серого цвета) атомных ядер.

б) Распределение по массам М и зарядам Z продуктов реакции 40Са+208РЬ при энергии в лабораторной системе £|аЬ =235 МэВ, полученных при угле 01аЬ=84°, соответствующем касанию (grazing) поверхностей ядер. Штрих-пунктирные линии, соответствующие чисто протонному срыву (AZ) и чисто нейтронному подхвату (АN), пересекаются при Z = 20, N = 40, сплошная линия показывает зарядовое равновесие с отношением N/Z таким же, как у составного ядра [18].

При малых значениях прицельного параметра столкновения ядер и при преодолении ядрами кулоновского барьера происходит захват ядра-снаряда ядром-мишенью. За ним может последовать или слияние ядер с образованием составного ядра (компаунд-ядра), или квазиделение на два фрагмента, вообще говоря, отличных от начальных ядер [15].

Первыми изученными реакциями срыва и подхвата были реакции (d,p) и (n,d) [11,16]. Оппенгеймер и Филипс [17] еще в 1935 г. указали, что нейтрон налетающего дейтрона может со значительной вероятностью проникать в ядро с большим атомным номером при низких энергиях дейтрона, когда проницаемость кулоновского барьера много меньше единицы и протон остается вне ядра. Подобный механизм также возможен и объясняет срыв и подхват внешних нейтронов при столкновении с ядром-мишенью тяжелого ядра-снаряда [18]. После создания ускорителей тяжелых ионов в 70-х годах прошлого века

были экспериментально изучены реакции передачи, квазиупругое рассеяние и глубоко неупругие реакции для большого числа пар сталкивающихся ядер [15,18-21]. Некоторые ссылки на публикации, посвященные таким реакциям, приведены в табл. 1.

Таблица 1.

Реакция Ссылки Реакция Ссылки Реакция Ссылки

40АГ+А§ [22] 86КГ+166ЕГ [40,41] 208рь+328 [56]

40дг+142-150ш [20] 84Кг+ ,1448т [42] 208рь+37с1 [57]

40АГ+159ТЬ [23] 22Ке+,97Аи [19] 208рь+48тп [57,58]

40Аг+197Аи [22] 22Ые+232ТЬ [43] 208рь+902:г [18]

40Аг+232ТЬ [24] 58,64м1+208рь [18,4447,57] 2881+90'94гг [59]

40Са+90'9^г [18,25,26] 58№+1248п [18,44-47] 338+90,91,922г [60]

40Са+1248п [18,27-29] 58,64к1+207рь [48] 368+144'1548Ш [61]

40Са+208РЬ [18,3032,44] 62№+206РЬ [49,50] 1448Ш + 88БГ [62]

48Са+64№ [33] 64№+238и [18,50,63] 1448Ш+208РЬ [18]

48Са+1548т [34] 180+2881 [51] 1128П +1208П [18]

48Са+176УЬ [35] ,6О+60№ [52] П88п+206рь [18]

6Не+197Аи [36-38] 180+58№ [52-54] ,248п+238и [64]

6Не+206РЬ [36,37] 16'180+148Мс1 [21] 238и+110р(1 [64]

165Но+ 56Ре [39] 160+208рЬ [18,55] 132Хе+1548ш [65]

Подчеркнуты реакции, для которых в данной работе выполнены расчеты 132Хе+,71Л76УЬ [65]

Особый вид реакций передач называют "суррогатными" реакциями [66], см. рис. 2. В ряде случаев получить нужное составное ядро В* путем захвата

ядром А частицы а напрямую, как показано в левой части рис. 2, не удается. Однако нужное составное ядро В* может быть получено после передачи нуклонов в ходе столкновения ядра-снаряда с1 с ядром-мишенью Э, как показано в правой части рис. 2.

Рис. 2. Схематичная иллюстрация механизма суррогатной реакции из работы [66], "desired" reaction - желательная реакция

Среди направлений теоретических исследований реакций передач и квазиупругих реакций к настоящему времени наибольшее развитие получили квазиклассическая модель А. Винтера (A. Winther) [13,18,32] и основанный на квантовой теории возмущений метод искаженных волн (DWBA) [11,67-72]. Разработанная А. Винтером модель малонуклонных передач и диссипативных процессов реализована в компьютерной программе GRAZING [18,73]. Расчеты в обеих моделях доступны на Интернет-сервере NRV [74] Объединенного Института Ядерных Исследований (г. Дубна).

В этой модели движение сталкивающихся ядер происходит по траекториям, определяемым уравнениями классической механики. Возбуждение колебательных степеней свободы (квадрупольных и октупольных колебаний поверхностей ядер и гигантских резонансов) и одночастичных степеней свободы (состояний внешних нуклонов ядер) рассматривается по теории возмущений в рамках допущения о малости изменения соответствующих волновых функции и вероятностей переходов между квантовыми состояниями и вероятностей

независимых переходов отдельных нуклонов между ядрами. В частности, вероятность передачи нуклона через потенциальный барьер между двумя потенциальными ямами ядер приближенно определяется на основе теории туннельного эффекта и зависит, главным образом, от расстояния гтт минимального сближения ядер. Вероятность передачи для данной классической траектории столкновения ядер принимается равной некоторому параметрическому выражению. В частности, в работе [13] предложено следующее приведено параметрическое представление для вероятности р^к нуклонного срыва из состояния / с энергией е[ ниже поверхности Ферми снаряда в состояние к с энергией гк выше поверхности Ферми мишени

NS - 271 1 fNS (г fx

■ri к / \2 \J ткт', \ mm /

(Йш0)

х ехр

(, , Л, к1 /гсо

к 4к

(1)

о У

Перечислим основные параметры: так называемая ^-величина (Q-value) для реакции Q = e'-s, - ее оптимальное значение, равное нулю для нейтронов, а для протонов равное

Q? = иьв(Гтту- с/ж») JZb~ZA^e2, (2)

г

mm

и UbB(r) ~ соответственно потенциалы взаимодействия ядер для входного (а+А) и выходного (b+В) каналов реакции с передачей нуклона z

a + A^b + B, (3)

где

а = z + b и В = z + А, (4)

т[, тк - квантовые числа проекций полного углового момента нуклона на ось, перпендикулярную к плоскости, в которой лежит траектория, к± - импульс отдачи

п

у0 - относительная скорость ядер скорость на расстоянии гтш и М - масса нуклона. Волновое число к определяет показатель экспоненциальной зависимости формфактора (гтт) от гтш

< /щт;(^„)|2> ~ [1 + ехр(2к(гтт -Яа-ЯА)]"', (6)

Яа, ЯА ~ радиусы ядер, к = —, где 5 - расстояние, на котором "включается или

выключается" взаимодействие, приводящее к передачам нуклонов, формулы для оценки к для нейтронов и протонов приведены в [13]. Далее Ф0 - угловая скорость на расстоянии гтт, величина /гсо0 (называемая шириной окна) дается временем столкновения

1 1 /-7Ч

ю0 ^кг0

г0 - радиальное ускорение относительного движения ядер в точке поворота. В

рамках теории возмущений формфактор может быть выражен через

матричные элементы от волновых функций начального и конечного состояний передаваемого нуклона [13]. В целом, данный упрощенный квазиклассический подход, хотя и позволяет получать согласие с экспериментальными данными, не может служить основой микроскопического описания реакций срыва и подхвата, поскольку не включает описание квантовой динамики нуклонных передач, в том числе со значительными изменениями волновых функций передаваемых нейтронов.

Метод искаженных волн предлагает приближенный (основанный на квантовой теории возмущений) способ вычислений амплитуд переходов Та_^ь и

сечений реакций с передачей нуклона. Основными величинами метода являются интегралы перекрытия [69]

Ф aABjAMM(raA,sa) = \аАФГнМн(гаЛ,3а,А)Ф^л(А), (8)

которые являются функциями пространственных и спиновых переменных передаваемого нуклона. Для оценки этой функции волновую функцию остаточного ядра В разлагают по полной системе волновых функций (А)

ядра-мишени А с набором квантовых чисел X внутренних состояний ядра А

= E Z S^{X)(jM-IAMA\IBMB)x

X nljMjMА ^

где §nljU (raA,sa\A) - одночастичные волновые функции обол очечной модели. Коэффициент разложения называют спектроскопической амплитудой,

величину Snl (X) называют спектроскопическим фактором. Реализация метода

искаженных волн требует трудоемких вычислений волновых функций и интегралов их перекрытия. С его помощью удается описать экспериментальные данные по передачам нейтронов в областях, где их вероятности малы. Однако, как и квазиклассический метод Винтера, метод искаженных волн не включает описание квантовой динамики нуклонных передач, в том числе со значительными изменениями волновых функций передаваемых нейтронов. Перечисленные модели могут считаться дополняющими друг друга - в первой не учитывается оболочечная структура ядер, а вторая принимает ее во внимание. Условием применимости обеих моделей является малость вероятностей передач отдельных нуклонов по сравнению с единицей. Однако при касательных столкновениях с энергией вблизи кулоновского барьера, сопровождающихся сближением поверхностей атомных ядер до дистанции действия ядерных сил, изменения волновых функций внешних нуклонов и вероятности их передач нельзя считать малыми.

Описание динамики ядро-ядерных столкновений позволяет получить нестационарный метод Хартри-Фока (TDHF - Time Depending Hartree-Fock's

approximation) [75-79]. Основное уравнение метода TDHF для одночастичной матрицы плотности p(Y) имеет вид [78]

где /г[р] - одночастичный гамильтониан Хартри-Фока,

(10)

(Н)

где ф„(г^) ~ ортонормированные зависящие от времени одночастичные волновые функции. При описании ядерных реакций слияния и деления (затрагивающих все или значительную часть нуклонов сталкивающихся ядер) практически все ТОНР-расчеты выполняются с взаимодействием Скирма (8кугте), см. например, [77]. Примеры результатов метода ТОШ7 приведены на рис. 3, 4.

R = 10.26 fin

R = 9.82 fin

R = 9.52 fin

„ 5

ё <4-ч

>

ё

L—J >

£

<4-1 >-

о

-5

5

0

-5

5

0 -5

Ecm =55MeV ' Г ■■ ' 1 ■ 1 ' 1 ' 1 сю 1 ' 1 ' 1 ' 1 ■ 1 .

;0О;

i . i i i . i i i . i » • ;00; i . i i i . i

-10 -5 0 5 10-10 -5 0 5 10-10 -5 0 5 10 X [fin] X [fin] X [fm]

Рис. 3. Профили плотности, полученные методом TDHF для различных межъядерных расстояний для реакции 40Са+40Са, из работы [78].

Рис. 4. Поверхности постоянной плотности для реакции с деформированными ядрами U+ U, полученные методом TDHF для энергии в системе центра масс 900 МэВ, из работы [79]

Нестационарный метод Хартри-Фока предполагает одновременное рассмотрение всех нуклонов, отличается большой сложностью и поэтому он неудобен для анализа поведения и передач между ядрами только внешних нуклонов сталкивающихся ядер.

Вполне эффективным показал себя подход, основанный на решении нестационарного уравнения Шредингера [80-85]

d^f

ih—^HV, (12)

dt

для волновой функции внешнего нуклона, однако в проведенных расчетах не учитывалось спин-орбитальное взаимодействие, играющее важную роль в атомных ядрах.

Таким образом, существующие теоретические микроскопические модели нуклонных передач при энергиях вблизи кулоновского барьера и касательных столкновениях не дают полного описания физических процессов, происходящих

с внешними нуклонами ядер. Задача развития новых теоретических подходов,

способных дополнить существующие в тех случаях, когда их применение не вполне оправдано, является весьма актуальной.

Цель диссертационной работы - дополнить учетом спин-орбитального взаимодействия и принципа Паули модель независимых передач нуклонов с решением нестационарного уравнения Шредингера, провести компьютерное моделирование лобовых и касательных столкновений представительного набора пар ядер и исследовать зависимость вероятностей и сечений передач от свойств внешних нуклонов ядер. В связи с этим в работе решены следующие задачи:

1. получена расчетная схема численного решения трехмерного нестационарного уравнения Шредингера и отработана техника компьютерного моделирования эволюции внешних нуклонов атомных ядер при их столкновениях;

2. рассчитаны в построенной микроскопической нестационарной квантовой модели вероятности и сечения нуклонных передач, выполнено сравнение с экспериментальными данными, выявлены характерные черты и механизмы переходов нуклонов из одного ядра в другое.

Научная новизна работы заключатся в следующем:

1. предложен и апробирован новый численный метод решения нестационарного уравнения Шредингера с учетом спин-орбитального взаимодействия нуклонов;

2. на основе расчетов эволюции волновых функций внешних нуклонов с различными квантовыми числами установлено, что наряду с энергией нуклона определяющее влияние на вероятность передачи имеет проекция момента нуклона на межъядерную ось в момент наибольшего сближения ядер;

3. показано, что нуклонные передачи начинаются по достижении радиуса действия ядерных сил из состояний с минимальным модулем проекции момента О = 1/2, при сближении поверхностей ядер до расстояний около 1 фм начинают

преобладать передачи из состояний с О = 3/2; для больших значений О вероятности передач много меньше единицы.

4. для представительного набора пар сталкивающихся ядер проведены расчеты вероятностей и сечений нуклонных передач, получено удовлетворительное согласие с экспериментальными данными;

Научная и практическая значимость работы заключается в определении механизмов и ключевых параметров, определяющих малонуклонные передачи при низкоэнергетических ядерных реакциях. Разработанная микроскопическая нестационарная квантовая модель дает возможность более полно исследовать физические процессы, сопровождающие касательные столкновения атомных ядер.

ГЛАВА 1. РАЗВИТИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ЯДЕРНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ

1.1. Уравнения движения ядер в полуклассической модели ядерных столкновений

Длины волн де Бройля для сталкивающихся тяжелых ядер малы по сравнению с размерами ядер. Это позволяет использовать понятия траекторий ядер и находить их из уравнений классической механики

т/;=-У-С/(|г2-*ф, (1.1)

где гх(?), г2(V) - центры тяжелых ядер с массами тх, т2, и (г) = 11с{г) + V и{г) -потенциальная энергия взаимодействия ядер, см. рис. 1.1. Для кулоновской составляющей IIс(г) потенциальной энергии взаимодействия сферических ядер до касания их поверхностей справедливо выражение

= в СИ. (1.2)

47Г80Г Г

Для ядерной составляющей ис(г) потенциальной энергии взаимодействия сферических ядер (также до касания их поверхностей) будем использовать выражение из работы [86]

и (Г) = __^__(1 з)

Л) Я1+Я21 + ехр[(г -Я,- Я2)1а\' ( '

основанное на экспериментальных данных по упругому рассеянию и по кулоновскому возбуждению коллективных состояний, а также на теоретических расчетах в модели так называемых фолдинг-потенциалов. Здесь

1/я = 1.17

_1 + 0.53(^1"1/3 + ^2-|/3)] фм-1, (1.4)

7?, =(1.2(Ц1/3-0.09) фм, (1.5)

у = 0.95

§ 1 1 2 2

V

л

(1.6)

У

График потенциала Щг) = ис(г) + иы{г) (1.2)-(1.6) взаимодействия ядер 40Са и

90

Ъх приведен на рис. 1.1.

ис, 140

гу,мэв

120 100 80 60

б 8 10 12 14 16 18 20

г, фм

Рис. 1.1. График потенциальной энергии и (г) (сплошная линия) и ее кулоновской составляющей ис(г) (штриховая линия) взаимодействия ядер 180 и 58М, 40Са и 90гг, 90гг и 208РЬ

Задача о столкновении двух частиц в классической механике сводится к задаче о движении "эффективной" частицы - материальной точки с приведенной массой ц = тхт2/(т{ + га2) в силовом поле [87]. В кулоновском

поле отталкивания (2) траектории такой точки являются гиперболами (задача Кеплера [87]). Поэтому участки траектории "эффективной" частицы, лежащие вне области действия ядерных сил, представляют собой части гипербол. Это позволяет задать начальные условия задачи Коши для системы уравнений движения "эффективной" частицы (или ядер в системе центра масс) на конечном расстоянии от силового центра (на конечном межъядерном расстоянии). Дальнейший участок траектории, в том числе проходящий в

области действия ядерных сил, находится путем численного решения уравнений движения, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка [88,89] на сетке ?у = VI, т=1,2,... с шагом At = x , до тех пор, пока на достаточно большом

удалении от силового центра траекторию можно сшить с соответствующей гиперболой.

Гиперболические траектории могут быть заданы уравнением в полярной системе координат

— = -1 + есозф, (1.7)

г

или параметрическими уравнениями

г = а(есЪ.1, + 1), х = а(сЫ^ + е), у = ал1е2 -ЬЫ;, (1.8)

t = J^-(esh^E¡). (1.9)

Здесь

М2 I 2ЕМ2

Р =-> е= 1 +--, (1.10)

ца ]j ца

Е ~ энергия в системе центра масс,

£ = (1.11) 2 7

vM - скорость ядра-снаряда на бесконечности, М = m\J) - момент импульса относительного движения ядер, Ъ - прицельный параметр столкновения. Значения координат и проекций скоростей "эффективной" частицы, а также координаты и скорости обоих ядер в системе центра инерции для начальных условий могут быть легко получены из уравнений (1.8), (1.9).

Численные расчеты удобно проводить с использованием безразмерных функций и переменных Ё = Е/Е0, г - г/х0, b = b/x0, где Е0 = 1 МэВ, х0 = 1 фм:

V = = cuf^fl, (1.12)

4тгв 0Е0х0

1.44,

М2 2ЁЪ ( 4тивпд:п л Р =-= *о—--

та

2 V

2ЕЪ

%с\

(1.13)

(1.14)

2Г2

е« 1-

(1.15)

18 58

Примеры траекторий ядер О и № в системе центра инерции показаны на рис. 1.2 [90].

Е=32 МэВ

Е=50 МэВ

Е=100 МэВ

Рис. 1.2. Траектории ядер 180 и 58К1 в системе центра инерции для прицельных параметров столкновения Ь от 0 до 16 фм, штриховыми линиями показаны траектории, приводящие к касанию поверхностей ядер с последующим захватом ядра-снаряда ядром-мишенью (численное решение уравнений (1.1))

1.2. Спин-орбитальное взаимодействие и оболочечная модель сферического ядра

При построении математической и компьютерной модели физического процесса важно с наибольшей возможной точностью учесть основные свойства его участников. При описании нуклонных передач одним из таких свойств является спин - внутренний момент импульса нуклона, равный Й б, где 8=1/2 — спиновое квантовое число, которое обычно называют просто спином [67,91,92]. Спин электронов и нуклонов (протонов и нейтронов) равен 5 = 1/2, а оператор спинового момента для них имеет вид [67,92]:

- Н 5 = -ст 2

(1.16)

где а - матрицы Паули

'О 1л 1 О

О -г / О

л

, СТ. =

О 0л

О -1

(1.17)

Спиновая функция нуклонов (и других частиц со спином 5 = 1/2) имеет две

компоненты \|/(г) =

оператора проекции спина на ось Ог равны

а собственные функции и собственные значения

'О А

= Нт„

= Нт..

'О

'(Л

т = —

тг =--.

2

(1.18)

(1.19)

В отличие от орбитального углового момента, который порождается движением частицы в пространстве, спин никак не связан с этим движением. Следует отметить двойную роль спина электронов в атомных процессах и спина нуклонов в ядерных процессах [91]. С одной стороны, спин определяет особенности взаимодействия электронов и нуклонов с другими частицами (они рассмотрены в данной главе). С другой стороны, из-за 5 = 1/2 полная волновая

функция системы, как нейтронов, так и протонов (или электронов) должна быть антисимметрична по отношению к перестановкам частиц, а распределение частиц по квантовым состояниям должно удовлетворять принципу Паули. Этот аспект проблемы рассмотрен в главе 3.

В атомах щелочных элементов тонкая структура спектральных линий и части уровней энергии обусловлена так называемым спин-орбитальным взаимодействием [91]. Спин-орбитальное взаимодействие в атомах, молекулах, кристаллах является проявлением электромагнитного взаимодействия. В релятивистской квантовой теории Дирака [67, 92] его рассматривают как взаимодействие между спиновым и орбитальным магнитными моментами электрона. Первый является собственным магнитным моментом, обусловленным наличием у электрона спина 5 = 1/2, не связанного с движением электрона в пространстве. Второй магнитный момент связан с орбитальным движением (током) электрона. Во втором порядке по отношению средней скорости электрона к скорости света (у)/с в уравнении Шредингера появляется оператор спин-орбитального взаимодействия (энергии взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическим полем) [67, 92]

Ъ

13 2 к

(УУ)р , (1.20)

с постоянной

(2 тес)

где те - масса электрона, с - скорость света, р = -ЙУ - оператор импульса.

Физическую природу спин-орбитального взаимодействия можно наглядно продемонстрировать в модели Бора атома водорода, в которой электрон вращается по круговой орбите вокруг ядра [91]. В системе отсчета, в которой электрон покоится, положительно заряженное ядро движется и создает орбитальное магнитное поле, в котором спиновый магнитный момент электрона

может ориентироваться либо вдоль поля, либо противоположно ему. В первом случае потенциальная энергия взаимодействия электрона и ядра уменьшается, во втором увеличивается. Поэтому каждый энергетический уровень водородоподобного атома (кроме s-уровней с нулевым орбитальным моментом) расщепляется на два подуровня.

Природа ядерных сил, более сложная по сравнению с электромагнитными силами, вынуждает применять для описания структуры атомных ядер взаимно дополняющие модели: капельную, оболочечную, обобщенную и др. [10, 93-95]. В простейшей одночастичной оболочечной модели сферического ядра каждый из нуклонов движется в усредненном центральном поле V(r) других нуклонов. Энергии в и волновые функции нуклонов могут быть найдены путем решения стационарного уравнения Шредингера. Ядра с полностью заполненными оболочками соответствуют экспериментально наблюдаемым магическим ядрам (с большей, чем у соседних изотопов, энергией связи на нуклон) при предположении, что на каждый нуклон, наряду со статическим полем V(r), действует спин-орбитальный потенциал вида

где У(г) - потенциальная энергия нуклона, обусловленная взаимодействием с остальными нуклонами. Постоянную спин-орбитального взаимодействия Ь, имеющую размерность квадрата длины, можно представить в виде, содержащем безразмерную постоянную к

где В^ = 1 фм, т - масса нейтрона. Оператор Гамильтона каждого из считающихся независимыми нуклонов имеет вид:

(1.22)

b = R^ к

2т

= 0,022ä02K, (1.23)

h1

Н =--A + V + V,

(1.24)

2т

Для центрального поля сферического ядра У = У (г) собственные функции оператора Гамильтона - решения уравнения Шредингера

Нц> =

П2

-—А + У + У, 2т

¿5

(1.25)

представимы в виде произведения радиальной части и угловой части

П7&1(е,ф) [92, т. 4]

Двухкомпонентные угловые части - собственные функции оператора квадрата полного углового момента, называемые шаровыми спинорами

нормированы условием:

\п]ГтПу1тс1о = Ьл8пЬт,т. (1.27)

Набор квантовых чисел включает главное квантовое число « = 1,2,..., квантовые числа орбитального / = 0,1,... и полного ] угловых моментов, а также квантовое число проекции полного углового момента на ось Ог т} = -у,-у +1,...у - 1,у. С

учетом спин-орбитального взаимодействия в центральном поле решения уравнения Шредингера с проекцией полного углового момента . Для / * О

квантовое число у может принимать два возможных значения с волновыми функциями у, имеющими вид [92, т.4]

'ф + т,+1/27,^(0,у) 1/2^+1/2(0,Ф)

'-7/- 1/2^(9,ф/

ф + 1/2^+1/2(е,Ф) ^

Двум значениям проекции mJ = ±£2, 0 = 1/2,3/2,... соответствуют следующие функции: для у\ = / +1/2

V1 /

л/2/ + 1

, у, =/ + 1/2, (1.28)

,¿=/-1/2. (1.29)

\]1 + П + 1/2У!С1_1/2(0,ц>) ,0+1/2

\]1 -О.+ \/ _а_1/2 (9, ф) ф + £1 +1/2}^ _п+1/2 (9, ф)

(1.30)

(1.31)

и для у2 = / -1/2

л/2/ + 1

-7^071/2^(9,9)

^ лУ/+о+1/2г/0+1/2(е,Ф)

л/2/ +1

-ф + 0 + \/2У,_п_у2 (9, ф) ф - О.+ 1/2У1_п+1/2 (9, ф)

(1.32)

, (1.33)

Для / = 0 квантовое число у имеет единственное значение у = 5 = 1/2 с волновой функцией, имеющей вид для двух значений проекции спина

^о,о(е>ф) О

О

уДО(0»фЪ

1

'О

чОу

1 Го

Т4тг

ч1у

т}=т3 = 1/2, (1.34)

т =т5=-1/2. (1.35)

Для сферических функций используют определение, согласно [92, т.З]

где (х) - присоединенные функции Лежандра

— Л"1

(1.38)

- полиномы Лежандра [96].

Действие оператора спин-орбитального взаимодействия на собственную функцию оператора квадрата полного момента у нейтрона дает

= +1) - щ +1) - Ф +1)] VI/, •

г с1г 2

Радиальное уравнение Шредингера для функции у(г) = , _у(0) = 0 имеет вид:

П2

(1.39)

2т'

У"(г) + УеЛг)у(г) = Епу(г),

(1.40)

где эффективный потенциал

Уе/(г) = У(г) + У15(г) +

П2Щ +1) 2 тг2

,/ = 0,1,.

(1.41)

Это выражение используется в оболочечной модели сферического ядра при решении стационарного уравнения Шредингера для нейтронов и протонов. В стандартной оболочечной модели сферических атомных ядер ядерную часть потенциала У (г) обычно выбирают в форме Вудса-Саксона [10, 93-95]

1 + ехр

с о ^

г-Яу V аУ у

(1.42)

параметрами, различающимися для нейтронов (п) и протонов (р),

У0п = У0(1-с0Ы/А + с02/А), (1.43)

У0р = У0(\-с02/А + с0М/А), (1.44)

где У0 «50 МэВ, с0 = 0.63, А - массовое число, 2 - число протонов, N - число

нейтронов. Потенциальная энергия протона содержит еще и энергию кулоновского отталкивания Ус

(2- 1)е2

У(г) = -

2Я

3-

,при Г<ЯС

(1.45)

г/, л ~ о

= ~-—,при г>Яс

Расчеты в оболочечной модели доступны на Интернет-сервере №1У [74], см. рис. 1.3.

NRV: Shell model

HuctoiИ| ^ vJNiJ

fnedVAbe mrumunl твхямя pontt

Pj ffirjlb

P«r«meters of Woods.Suon potential:

( 0»flwk PJrVT4Hn I 1 Ршщм |

в&ИиВ^с -«•vM and <v-t»r«is vH^

Cutoff «wgy 1! jhw

н Calculate J

<

1г отоес

МЩ >

Рис. 1.3. Оболочечная модель нейтроноизбыточного ядра Са, расчет при помощи программы научного интернет-сервера 1ЧЯУ http://nrv.jinr.ru/nrv/

В данной работе расчеты энергий и радиальных волновых функций проводились на основе алгоритма и базовой программы из учебного пособия [97]. Дифференциальное уравнение (1.36) на сетке гк=кАг, к = 1,2,...А^ с помощью аппроксимации второй производной

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Самарин, Кирилл Вячеславович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Оганесян Ю.Ц. Реакции синтеза тяжелых ядер: краткие итоги и перспективы. ЯФ, 69, С. 961-969 (2006).

2. Oganessian Yu., Study of heavy nuclei at FLNR (Dubna). // Eur. Phys. J. D 45, 1723 (2007).

3. Oganessian Yu., Heavy element research at FLNR (Dubna). // Eur. Phys. J. A 42, 361-367 (2009).

4. Jonson B. Halo Nuclei //Nucl. Phys. A574 (1994) C. 151c-166c

5. TanakaK. et al. Observation of a Large Reaction Cross Section in the Drip-Line Nucleus 22C// Phys. Rev. Let. 2010. V. 104. 062701.

6. Zagrebaev V. I. Synthesis of superheavy nuclei: Nucleon collectivization as a mechanism for compound nucleus formation// Phys. Rev. С 64, 034606. (2001).

7. Zagrebaev V. I. Sub-barrier fusion enhancement due to neutron transfer. // Phys. Rev. С 67, 061601 (2003).

8. Penionzhkevich Yu. E. et al. Deep Sub-Barrier Fusion Enhancement in the 6He+206Pb Reaction // Phys Rev. Lett. 96, 162701 (2006).

9. Пенионжкевич Ю.Э. Пучки радиоактивных ядер. // Соросовский образовательный журнал. 1998. № 12. С. 79 - 86.

10. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М.:Наука, 1980, 727 с.

11. Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. М.: Мир, 1969, 756 с

12. G.N.Flerov. Heavy Ion Reactions. // Proceeding of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy /Geneva, September 1958/. V. 14. P. 151-157. United Nations, Geneva, 1958.

13. Winther A. Grazing reactions in collisions between heavy nuclei // Nucl. Phys. A 1994. V. 572. P. 191 -235.

14. Corradi L. The evolution from quasi-elastic to deep inelastic processes and its

connection to fusion. // Journal of Physics: Conference Series 282 (2011) 012005.

15. Zagrebaev V., Greiner W. Unified consideration of deep inelastic, quasi-fission and fusion-fission phenomena. // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 31 (2005) P. 825-844.

16. Колли JI. Новые данные о реакциях срыва и подхвата. // Прямые процессы в ядерных реакциях. Избранные труды конференции (Падуя, 3-8 сентября 1962). Пер. с англ. Proceedings of the Conference on Direct Interaction and Nuclear Reaction Mechanisms. (September 3-8, 1962, Padua). M.: Атомиздат. 1965. С. 142-152.

17. Oppenheimer J.R., Phillips M. Note on the Transmutation Function for Deuterons. // Phys. Rev. 1935. V. 48. P. 500.

18. Corradi L., Pollarolo G., SzilnerS. Multinucleon transfer processes in heavy-ion reactions // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2009. V. 36. 113101. (40Ca+208Pb, 40Ca+124Sn, 90Zr+208Pb, 40Ca+96Zr, 58Ni+208Pb, 64Ni+238U, 58Ni+124Sn, 16O+208Pb, 112Sn +120Sn*, 118Sn+206Pb, 144Sm+208Pb*,62Ni+206Pb)

19. Lozynski E. Nucleon transfer reactions accompanied by formation system of complex nuclei.//Nucl. Phys. 64 (1965) P. 321—335. (22Ne+197Au)

20. Bimbot R. et al. Recoil study of multinucleon transfer reactions: capture of six charges by Nd targets in Ar induced reactions. // Nucl. Phys. A228 (1974) P. 85 -111;

1 ¿18

21. Oeschler H. et al. Heavy ion induced transfer reactions on Nd. //Nucl. Phys. A266 (1976) 262-268. (,6'180+148Nd.)

22. Steckmeyer C. et al. Transfer reactions and sequential decays of the projectile-like fragments in the 60 MeV/nucleon 40Ar+natAg, 197Au reactions. // Nucl. Phys. A500 (1989) P. 372-398.

23. Bimbot R. et al. Complete fusion and transfer reactions induced by 273 MeV 40 Ar on 159Tb. // Nucl. Phys.A318 (1979) P. 215-235.

24. Jacmart J.C. et al. Isotope distribution of transfer products in the 40Ar+232Th reaction at 295 MeV. // Nucl. Phys. A242 (1975) P. 175 - 188.

25. Szilner S. et al. Multinucleon transfer reactions in closed-shell nuclei. // Phys. Rev. C. 2007. V. 76. 024604. (40Ca+96Zr), (90Zr++208Pb).

26. Pollarolo G. Fusion reactions as a probe of the nucleus-nucleus potential at short distances. //Progr. Theor. Phys. Suppl. 2004. V. 154. P.201-208.(40Ca+90'96Zr),

27. Corradi L. et al. Multinucleon transfer reactions in the 40Ca+124Sn system studied via y-particle coincidences. // Phys. Rev. C. 2007. V. 61. 024609.

28. Corradi L. The role of multinucleon transfer in near barrier fusion. // Nucl. Phys. A. 2001. V. 685. P. 37c-50c. (40Ca+124Sn).

29. Corradi L. et al. Multinucleon transfer reactions in 40Ca+124Sn. // Phys. Rev. C. 1996. V. 54. P. 201-205.

30. Szilner S. et al. Multinucleon transfer processes in

4oCa+2o8pb// phys Rey c

2005. V. 71,044610.

31. Corradi L. et al. Multinucleon Transfer Reactions Studied with Magnetic Spectrometers. 11 Progr. Theor. Phys. Suppl. No. 154, 2004. P. 130-137.

32. Pollarolo G. Multinucleon transfer in heavyion reactions: a semiclassical approach. //AIP Conf. Proc. 2006. V. 853. № 29. P.29-36. (40Ca+208Pb)

33. Leoni S. et al. Reaction dynamics and nuclear structure stadies via deep inelastic collisions with heavy-ions: spin and parity assignment in 49Ca. // Journal of Physics: Conference Series 312 (2011) 092037. (48Ca+64Ni)

34. Asztalos S. J .et al. Isotopic yields of neutron-rich nuclei from deep-inelastic reactions. // Phys. Rev. C61, (1999) 014602. (48Ca+154Sm)

35. Lee I. Y. Study of neutron-rich nuclei using deep-inelastic reactions. // Phys. Rev. C56. (1997) P. 753-759. (48Ca+176Yb)

36. Penionzhkevich Yu.E. et al. Excitation functions of fusion reactions and neutron transfer in the interaction of 6He with 197Au and 206Pb. // Eur. Phys. J. A 31, 185-194 (2007).

37. Penionzhkevich Yu.E. et al. Some peculiarities in the interaction of 6He with 197Au and 206Pb. // Phys. of Particl. and Nucl. Lett., 2006, Vol. 3, No. 6, P. 362-367.

38. Kulko A.A. et al. Isomeric ratios for 196'198T1 and 196'198Au from fusion and transfer in the interaction of 6He with 197Au // J. Phys. 2007. V. G34. P. 2297-2306.

39. A. D. Hoover . et al. 165Ho+ 56Fe reaction at £=462 MeV. // Phys. Rev. C25. (1982) P. 256-277.

40. Eyal Y. et al. Neutron emission in deep-inelastic collisions by 86Kr on 166Er at 5.7, 7.0 and 7.9 MeV/nucleon. // Phys. Rev. C21. (1980) P. 1377-1386.

41. Tserruya I. et al. Preequilibrium neutron emission in deep-inelastic collisions of 86Kr on 166Er at 11.9 MeV/nucleon. // Phys. Rev. C26. (1982) P. 2509-2523.

42. A. C. Mignerey et al. Bombarding energy dependence of the ,144Sm+ 84Kr reaction. //Phys. Rev. C29. (1984) P. 158-172.

43. Wilczynski J. Optimum Q-value in multinucleon transfer reactions. // Phys. Lett. B47 (1973) P. 124 - 128. (22Ne+232Th).

44. Corradi L. et al. Multinucleon transfer reactions stadied with magnetic spectrometer. Progress of Theoretical Physics Supplement No. 154, 2004. P. 130-137.

(58Ni+208Pb, 40Ca+208Pb).

• 58 208

45. Corradi L. et al. Light and heavy transfer products in Ni+ Pb at the Coulomb barrier. // Phys. Rev. C 66, 024606 (2002)

46. Beckerman M. Quasielastic transfer of a neutron between 58Ni and 208Pb at bombarding energies of 598 to 1011 MeV. // Phys. Rev. Lett. V. 58. 1987. P. 455-458.

47. Sarotta K. et al. Mass and charge transfer in the heavy ion reactions

208pb+58№ and

208pb+64Ni //phys Rev C3L (1985) p 1297-1314.

48. Heinzl S. et al Transfer reaction studies in the region of heavy and superheavy nuclei at SHIP // Journal of Physics: Conference Series 282 (2011) 012007 (58'64Ni +207Pb and 48Ca + 248Cm)

49. Corradi L. et al. Multi-neutron transfer in 62Ni+206Pb: A search for neutron pair transfer modes. // Phys. Rev. C 63, 021601(R) (2001).

50. Corradi L. The many facets of multinucleon transfer processes in low energy heavy-ion collisions. // AIP Conf. Proc. 597, 227 (2001); P. 227- 234. (40Ca+124Sn, 64Ni+238U,62Ni+206Pb)

18 ^o

51. M. C. Mermaz, et al. Multinucleon transfer reactions induced by O on Si // Phys. Rev. C V. 20, (1979) P. 2130-2142.

52. J.J.S. Alves et al. Consistent analysis of peripheral reaction channels and fusion for the 16'180+ 58Ni systems. // Nuclear Physics A 748 (2005) 59-74

18 co

53. D. Pereira et al. Reaction dynamics of the O+ Ni system: A wide-ranging test. // Phys. Rev. C 73, 014601 (2006).

18 co

54. Borges A.M. et al. Pair transfer and subbarrier fusion of O+ Ni. // Phys. Rev. C 46, 2360(1992).

55. M. Eversl et al. (Multi-)nucleon transfer in the reactions 16O,32S+208Pb // EPJ Web of Conferences, 17, 08003 (2011)

56. L. Corradi et al Multinucleon transfer reactions in

JZS+zuoPb close to Coulomb

barrier. //Phys. Rev. C. 1994. V . 49. P. 2875-2879.

57. Rehm K.E. et al. Large cross section for quasielastic neutron-pickup reactions induced by 37C1,48Ti and 58Ni on 208Pb. // Phys. Rev. Lett. V. 51. 1983. P. 1426-1429.

58. Rehm K.E. et al Transition from quasi-elastic to deep-inelastic reactions in the

48Ti+208pb h phys Rev c 198g y 3y p 2629-2646.

59. Sunil Kalkall et al. Fusion and transfer reactions around the Coulomb barrier for 28si+90,94Zr systems H journai 0f Physics Conference Series 312 (2011) 082027

60. Corradi L. et al. Near-barrier transfer and fusion of systems 33S+90'91'92Zr. // Z. Phys. A P 334, P. 55-72 (1990).

61. Fernandez Niello J.O. et al. Near-barrier transfer reactions in the 36S+144'154Sm system. // Phys. Rev. C. 1992. V . 45. P. 748-758.

62. R. Kiinkel et al. Pairing effects in nucleon transfer reactions in the system 144Sm + 88Sr at 4.7 MeV/u. // Z. Phys. A Atomic Nuclei 336, 71-89 (1990).

63. Corradi L. et al. Multinucleon transfer processes in

64Ni+238U // Phys. Rev. C. V.

59, (1999). P 261-268.

64. Wagner W. et al. Periodic multi-proton transfer strength in collisions between heavy nuclei.//Phys. Lett. В V. 196, 1987. P.l 17-121 (238U+110Pd, 238U+I24Sn)

65. Macchiavelli A. O. et al. Neutron transfer reactions with very heavy ions. // Nucl. Phys. A432 (1985) P. 436-450. (154Sm+132Xe, 171'176Yb+132Xe)

66. F. S. Dietricha and J. E. Eschera. Compound-nuclear reaction cross sections via surrogate reactions //Nuclear Physics A 787 (2007) 237c-242c.

67. Давыдов A.C. Квантовая механика. M.: Наука, 1973. 703 с.

68. Тэйлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений. -М.: Мир. 1975. 565 с.

69. P. Frobrich, R. Lipperheide. Theory of Nuclear Reactions. Oxford.: Clarendon Press, 1996. 476 p.

70. Bass R. Nuclear Reactions with Heavy Ions, Springer-Verlag, Berlin, 1980.

71. P.J.A. Buttle, L.J.B. Goldfarb. Neutron transfer in heavy ion reactions // Nucl. Phys. 1966. V. 78 P. 409-432.

72. Osman A. et al. Heavy ion reactions with nucleon transfer using Skyrme-type potential. //Phys. Rev. C27 (1983). P. 650-656. (DWBA)

73. http://personalpages.to.infn.it/~nanni/grazing/

74. База знаний по низкоэнергетическим ядерным реакциям Nuclear Reaction Video http://nrv.iinr.ru/nrv/.

75. Langanke К., Maruhn J.A., Koonin S.E. Computational Nuclear Physics 1. Nuclear Structure. /Eds. S.E Koonin. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1991.207 p.

76. Cusson R.Y., Meldner H.W. Time-dependent Hartree-Fock-Bogolubov calculations of heavy-element fusion and fission phenomena. // Phys. Rev. Lett., 1979. V. 42. P. 694-696.

77. Umar A.S., Oberacker V.E. Three-dimensional unrestricted time-dependent Hartree-Fock fusion calculation using the full Skyrme interaction. // Phys. Rev. C. 2006. V. 73, 054607.

78. Washiyama К., Lacroix D. Energy dependence of nucleus-nucleus potential close to the Coulomb barrier. // Phys. Rev. C. 2008. V. 78, 024610.

79. Cedric Golabec, Cedric Simenel. Collision dynamics of two 238U atomic nuclei. // Phys. Rev. Lett., 2009. V. 103. 042701.

80. Загребаев В.И., Самарин В.В.Роль нейтронов в слиянии атомных ядер // Ядерная Физика, 2007. Т. 70 N 6. С. 1-14.

81. Zagrebaev V.I., Walter Greiner, Samarin V.V. Sub-barrier fusion of neutron-rich nuclei and its astrophysical consequences// Physical Review С v. 75, 035809 (2007) p. Ml.

82. V.S. Melezhik. Recent Progress in Treatment of Sticking and Stripping with Time-dependent Approach.//Hyperfine Interactions. 2001. v. 138, p. 351-354.

83. P. Capel, D. Baye, V.S. Melezhik. Time-dependent analysis of the breakup of halo nuclei. // Physical Review С, V. 68, 2003, 014612. 1-13.

84. K. Yabana. Low Energy Reactions of Halo Nuclei in a Three-Body Model. Progress of Theoretical Physics. 1997, V.5. N 3, 437-450.

85. T. Nakatsukasa et al. Fusion Reaction of Halo Nuclei: proton halo versus neutron halo. //Progr. of Theor. Phys. Supplement. 2004. v. 154. p. 85-91.

86. Winther A. Dissipation, polarization and fluctuation in grazing heavy-ion collisions and the boundary to the chaotic regime. // Nucl. Phys. A 1995. V. 594. P. 203 - 245.

87. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1973. 208 с.

88. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов.- М.: Физматлит. 2003.-300 с.

89.Поттер Д. Вычислительные методы в физике. -М.: Мир, 1975, 392 с.

90. К.В. Самарин. Математическое моделирование нейтронных передач при низкоэнергетических касательных ядерных столкновениях. // Материалы 18-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино (Россия), январь 2011. С. 232.

91. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. В 5 Т. Т 5: Атомная и ядерная физика: учеб. пособие / Д. В. Сивухин. - М.: Физматлит, 2002. - 784 с.

92. Ландау, Л.Д. Краткий курс теоретической физики. В 2 Т. Т. 2. Квантовая механика. /Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц - М.: Наука, 1972. - 368 с. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 3. Квантовая механика: Нерелятивистская теория. - М.: Наука, 1973. 767 с. Т. 4. Квантовая электродинамика. - М.: Наука, 1989. 728 с.

93. Престон М. . Физика ядра. М.: Мир, 1964. 574 с.

94. Бор О., Моттельсон Б.. Структура атомного ядра.: в 2 т. М.: Мир, 1971-1977, Т. 1,456 с., Т. 2. 664 с.

95. Соловьев В.Г. Теория атомного ядра: ядерные модели. М.:Энергоиздат, 1981, 296 с.

96. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами /Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 830 с.

97. Александров В.А. . Ядерная физика. Лабораторный практикум. /Александров В.А., Загребаев В.И., Самарин В.В., Филиппов Г.М. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1999. 192 с.

98. Дж. Уилкинсон, Г. Райнш, Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ: Линейная алгебраМ.: Машиностроение, 1976.

99. Самарин В. В., Самарин К. В. Механизмы реакций передачи при низкоэнергетических столкновениях с нейтроноизбыточными ядрами // Изв. РАН. Сер. физ. 2011. Т. 75. № 7. С. 1027-1032.

100. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977. 656 с.

101. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980. 535с.

102. Riley М.Е. , B.Ritchie, Numerical time-dependent Shrôdinger description of charge-exchange collisions. // Phys. Rev. A, 1999, v. 59, P. 3544-3547.

103. Рыжиков Ю.И. Современный Фортран. СПб.: КОРОНА принт, 2004. 288 с.

104. Пахомов Б. C/C++ и MS Visual С++ 2008 для начинающих. - СПб.: БХВ-Петербург, 2009. 624 с.

105. Александров В.В., Шнейдеров B.C. Рисунок, чертеж, картина на ЭВМ. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1988. - 128 с.

106. Яншин В.В., Калинин Г.А. Обработка изображений на языке Си для IBM PC: Алгоритмы и программы. - М.: Мир, 1994. - 240 е.].

107. Самарин В. В., Самарин К. В. Учет спин-орбитального взаимодействия при описании нуклонных передач в столкновениях ядер тяжелых ионов // Изв. РАН Сер. физ. 2010. Т. 74. № 4. С. 607-610.

108. Самарин К. В. Математическое моделирование нейтронных передач в ядерных реакциях с учетом спин-орбитального взаимодействия. // Компьютерные исследования и моделирование. 2010. Т. 2 № 4. С. 393-401.

109. Самарин В. В., Самарин К. В. Динамический туннельный эффект при низкоэнергетических ядерных реакциях с нейтроноизбыточными ядрами. // Изв. РАН. Сер. физ. 2012. Т. 76. № 4. С. 517-521.

110. Самарин В. В., Самарин К.В. Учет спин-орбитального взаимодействия при описании нуклонных передач в столкновениях ядер тяжелых ионов. // Тезисы докладов 59 международной конференции «ЯДРО-2009» по проблемам ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра (15-19 июня 2009 г., г. Чебоксары). -Санкт-Петербург: Изд. физ. ф-та СПбГУ. С. 224.

111. SamarinV. V., SamarinK. V., Transfer reaction mechanism at low energy collisions with neutrons-enriched nuclei. // Book of abstract LX Inernational Conference on Nuclear Physics "NUCLEUS 2010" (July 6-9, 2010, Saint-Petersburg, Russia). - Saint-Petersburg. P. 300.

112. Самарин К.В. Математическое моделирование нейтронных передач в ядерных реакциях с учетом спин-орбитального взаимодействия.. // Материалы 17-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (25-30 января 2010 г., г.Дубна). - Ижевск: Изд-во НИЦ "Регулярная и

хаотическая динамика". С. 179.

113. Самарин В. В., Самарин К.В. Динамический туннельный эффект при низкоэнергетических ядерных реакциях с нейтроноизбыточными ядрами. // Тезисы докладов 61 международной конференции «ЯДРО-2011» по проблемам ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра, 10-14 октября 2011, РФЯЦ-ВНИИЭФ, г. г.Саров. С. 157-158.

114. Samarin K.V.. Time-dependent quantum description of few nucleons transfers at nuclear reactions 40Ca + 96Zr, 40Ca + 208Pb, 90Zr + 208Pb. // LXII International conference NUCLEUS 2012. Fundamental problems odf nuclear physics, atomic power engineering and nuclear technologies. (June 25-30, 2012, Voronezh, Ryssia). Book of abstracts. - Saint-Petersburg. 2012. P. 211.

115. Samarin K.V. Time-dependent quantum description of few nucleons transfers at nuclear reactions. // Proceedings of 4-th International Conference on Current Problems in Nuclear Physics and Atomic Energy (NPAE-Kyiv2012), September 10 -14, 2012 Kyiv, Ukraine. P. 229-233.

116. Самарин К.В. Нестационарное квантовое описание малонуклонных передач в ядерных реакциях 40Са + 96Zr, 40Са + 208Pb, 90Zr + 208РЬ. // Изв. РАН. Сер. физ. 2013. Т. 77. № 4. С. 455-459.

117. Самарин В.В. Нуклонные состояния сильнодеформированных ядер и двойных ядерных систем в неосцилляторной двуцентровой модели // Ядерная физика, 2010, т. 73, №8, с. 1461-1473.

118. Samarin V.V., Samarin K.V. Microscopic analysis of nucleon transfers processes in low energy nuclear reactions with neutron-enriched nuclei 6He, 180, 48Ca. Proceedings of the VI International Symposium on Exotic Nuclei, EXON 2012 (Vladivostok, Russia, 1-6 October 2012). Singapore: World Scientific Publishing. 2013. P. 111-118. Samarin V.V. Samarin K.V.Time-dependent quantum description of nucleons transfers in reactions with deformed nuclei. Там же, P. 203-208.

119. Абаренков И.В., Братцев В.Ф., Тулуб А.В. Начала квантовой химии. М.: Высш. шк., 1989. - 303 с.

120. Проблемы теоретической физики. Вып. 1. Квантовая механика. Сб. статей. Под. ред проф. М.Г.Веселова, проф. Ю.В.Новожилова, проф. П.П.Павинского. -JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1973, - 324 с. Веселов М.Г., Лабазовский Л.Н. Метод Хартри-Фока и электронные корреляции. С. 7-53.

121. Адамов М.Н., Борисова Н.П. Применение метода Хартри-Фока в расчетах поляризуемости молекул. С. 117-156. (там же)

122. Загребаев В.И., Самарин В.В. Околобарьерное слияние тяжелых ядер. Связь каналов. //Ядерная физика, 2005. Т. 67, N 8. С. 1488-1502.

123. J.R. Leigh et al. Barrier distributions from the fusion of oxygen ions with !44,i48,i54Sm and 186W physical Review C. 1995. V. 52, 3151-3166.

124. T. Rumin, K. Hagino, N.Takigawa. Effects of p6 deformation and low-lying vibration bands on heavy ion fusion reactions at sub barrier energies. // Physical Review C. 1999. V. 61, 014605 1-11.

125. Nuclear Data Sheets. 1998. V. 85. N 2. P. 191.

126. Nuclear Data Sheets. 1988. V. 53. N 4. P. 625.

127. J.R. Leigh et al. Barrier distributions from the fusion of oxygen ions with 144'148'154Sm and 186W. //Physical Review C. 1995. V. 52, 3151-3166.

128. T. Rumin, K. Hagino, N.Takigawa. Effects of (56 deformation and low-lying vibration bands on heavy ion fusion reactions at sub barrier energies. // Physical Review C. 1999. V. 61,014605 1-11.

129. K. Alder, A.Winter. On the non-relativistic electromagnetic multipole-multipole interaction between two disjoint charge distributions. Nuclear Physics A. 132 (1969)

130. N.Takigawa, T.Rumin, N.Ihara. Coulomb interaction between spherical and deformed nuclei. Physical Review C, V. 61, 2000, 044607. 1-6.

p. 1-4.