Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Моржаков, Антон Владимирович

• Моржаков, Антон Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моржаков, Антон Владимирович

ГЛАВА 1. Исследование мультипликаторов множеств комплексной плоскости

§1.1 Вспомогательные определения и результаты

§1.2 Теория мультипликаторов множеств в комплексной плоскости

ГЛАВА 2. Представление классов линейных операторов в односвязных областях

§2.1 Вспомогательные определения и результаты

§2.2 Представление операторов обобщенного дифференцирования, интегрирования и диагонального оператора

ГЛАВА 3. Решение линейных операторных уравнений конечного порядка

§3.1 Решение линейных однородных операторных уравнений п-го порядка

§3.2 Решение простейших неоднородных операторных уравнений

§3.3 Резольвента оператора обобщенного дифференцирования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием»

В последующем в работах А. Ф. Леонтьева, его учеников и последователей разрабатывалась теория операторов обобщенного дифференцирования (обобщенного интегрирования, изучения разложения по обобщенным экспонентам, решения новых классов операторных уравнений и др.) Одновременно эта теория стимулировала развитие смежных областей (целых фукнций, локально выпуклых пространств и других), и естественно ожидать её использование в других областях чистой и прикладной математики

14])

Настоящая диссертация посвящена проблеме представления оператора обобщенного дифференцирования (ООД), оператора обобщенного интегрирования (ООИ) и диагонального оператора (ДО) в пространстве аналитических в односвязной области функций, и вопросу разрешимости линейных операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. Предлагаемое нами определение ООД является, по-видимому, новым и в некотором смысле аксиоматическим. Именно, выделяются два важных свойства классического оператора дифференцирования : его непрерывность в пространстве аналитических функций и характер действия на полную в этом пространстве систему степеней. Подобное определение, но для диагональных операторов, было дано ранее в работе Линчука [28]. Среди различных известных представлений ООД для наших целей наиболее подходящим оказалось представление, предложенное Ю. Ф. Коробейником в одном специальном случае [18]. Оказалось, что при таком представлении важную роль играет понятие мультипликатора пары множеств. Последнее является обобщением мультипликатора множества, введенного А. В. Братищевым [б].

Обозначим через H(G) пространство голоморфных в односвязной области G функций с топологией компактной сходимости. Под ООД (ООИ, ДО) будем понимать непрерывный линейный оператор из H(G) в #(&'), который на системе степеней {z11} в H(G) имеет соответственно вид :

Dzn = dn-.izn~\ п е N, DI := О, 4

Iz n zn+\ n€NU{0},dn^O, d, n

Jzn = dnzn, neNU{0}, где {dn} С С.

Вопросом представления оператора обобщеного диффренцирования и родственных им диагональных операторов в разное время занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Ф. Коробейник, Н. И. Нагнибида, С. С. Линчук, А. В. Братищев и другие математики. Изначально ООД был определён А. О. Гельфондом и А. Ф. Леонтьевым [14] следующим образом. Пусть f(z) ~ oakZk - целая функция порядка р и типа а Ф 0, оо, причем а% ф О, к > 0, и существует точный lim^oo к' \Дак\ = (стер)К Пусть затем оо y(z) = Ylykzk

Jfc=О произвольная функция, регулярная в круге D(0,R) := {z : \z\ < R, 0 < R < оо}. Тогда оо

Jfc=l ак-1 Jfe-1 -z

1) называется обобщенной производной первого порядка функции y(z), порожденной функцией f(z). К. М. Фишман [45] и Н. И. Нагнибида [42] доказали, что для произвольной последовательности {ап} е С, ап ф О оператор, задаваемый в виде (1), непрерывен в Я(1)(0, Я)), R £ (0, оо) тогда и только тогда, когда lim С к-* оо 1 1, а оператор (ООИ), задаваемый в виде [Iy](z) — YlkLoбудет непрерывным в Н (D(О, JS)), R € (О, оо) тогда и только тогда, когда

Соответствующие результаты получены ими и в случае R = оо.

Ю. Ф. Коробейник [18] несколько иначе определяет ООД. Пусть у(х) Sfelo Укхк ~ аналитическая в начале координат функция. Тогда где {4} ~ некоторая последовательность из С. Нетрудно видеть, что Dzn — dn^zn-\ п е N, D1 = 0.

Отметим работу С. С. Линчука [28], в которой диагональный оператор (ДО) определяется как непрерывный линейный в H(G) оператор со следующим свойством: где - некоторая последовательность комплексных чисел.

Перейдем к вопросу представления. В работе [26] А. Ф. Леонтьев для случая dn = р(п +1), п £ NU {0}, где р(х) - многочлен степени 5, р(0) = 0, получил такое представление ООД и доказал, что этот оператор применим к любой аналитической функции в каждой точке её аналитичности.

Интегральное представление вида оо

Dy)(z] := Y^dk-\VkXk \

Lzn = dnzn, n = 0,1,. впервые появилось в той же статье [18] и изучалось в [19]. Здесь y(t) - аналитическая функция; и(х) - функция, аналитическая в области \z —1| > О, имеющая на бесконечности нуль не ниже второго порядка; cz - спрямляемая жорданова кривая, окружающая точку z и лежащая вместе со своей внутренностью в области аналитичности у. С помощью последнего представления в [18] описан класс ООД, применимых к любой аналитической функции в каждой точке её аналитичности. Проблема продолжения и представления ООД более общего вида посвящены работы В. В. Напалкова [38], [39]. Операторы такой общности в диссертации не рассматриваются.

Операторы обобщённого интегрирования рассматривались в работах Н. И. Нагнибиды, Ю. А. Кирютенко и других авторов. В частности, последним автором получены условия продолжимости из нуля ООИ во множество: а) всех областей, б) звёздных областей, в) класса односвязных областей. Там же предложено интегральное представление ООИ.

В случае, когда функция d(z) dnzn голоморфна в С\ {1}, в работе [21] Ю. Ф. Коробейника и Ю. Н. Донскова предложено представление ДО в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка оо

Jy](z) = n=0 где {a„J и {dn} связаны системой равенств dn —

-п п\ ак,пеШ{0}.

•к=0 (п-к)1

Отметим представление ДО в виде где оо оо

Ф) = y(Z) = Ук*к> к предложенное в работе [14]. Позже это же представление в более общей ситуации было использовано в [28].

Вопросам разрешимости операторных уравнений, порожденных 00Д и ДО посвящено много работ. Так, вопросами разрешимости операторных уравнений бесконечного порядка, порожденных 00Д занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Н. Фролов, Ю. Ф. Коробейник, И. X. Мусин, Т. И. Демченко (Коршикова) и другие математики (например, [27], [44], [19], [37] и другие их работы), но в диссертации эти уравнения и решаемые для них задачи не изучаются. Также отметим, что нас интересуют ДО в пространстве аналитических в области G функций, хотя операторы с таким названием изучались и в других пространствах, например, в пространствах последовательностей. К теме диссертации имеют отношение следующие результаты.

В монографии [42] установлено, что для разрешимости ООД Dy = / в H(D(О, R)) для каждой правой части из H(D(О, R)) необходимо и достаточно, чтобы liirin^oo y/\dn\ = 1.

В работе [21] рассматривалось операторное уравнение вида L$y = /, где Ьэ - оператор Эйлера бесконечного порядка, являющийся ДО. В работе выясняется, когда уравнение L^y = / имеет аналитическое в области G решение для каждой правой части / £ H(G).

В докладе А. В. Братищева [5] рассматривается ООД, порожденный последовательностью вида 1 - ап+1 dn= 1 B,fl€N, D1 := 0, а,<?бС, |а| < |$| < 1

1 СЬ€[

В частности, получено представление ООД, ООИ, а также явный вид резольвенты ООД D.

В заключение исторического обзора заметим, что в теореме Адамара об умножении особенностей, в вопросах разрешимости линейных операторных уравнений порожденных ООД и ДО, изучении обобщенных преобразований Бореля, описании областей сходимости ряда обобщенных экспонент и проблеме представления этих операторов возникает вспомогательная задача о перемножении множеств комплексной плоскости. Достаточно отметить работы [1], [21], [28], [2], [4], [б], [7]. Эта задача нуждается в систематическом исследовании.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Она состоит из трех глав.

В первой главе развивается теория перемножения множеств комплексной плоскости. При этом ключевую роль играет понятие мультипликатора пары множеств А, В С С. Так мы назовём множество

M(A,B):={zeC:zACB}.

Здесь устанавливаются общие свойства мультипликатора, а также изучаются мультипликаторы конкретного вида.

Во второй главе изучается задача интегрального представления ООД в виде (2) для фиксированной односвязной области G и для некоторых важных классов областей, определяемых конкретными мультипликаторами. Там же устанавливается связь возможности такого представления с разрешимостью интерполяционной задачи с бесконечным числом узлов. Параллельно изучаются представления ООИ и ДО.

В третьей главе рассматриваются вопросы нахождения явного вида решения операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами, порожденные ООД. По существу эта проблема упирается в нахождение резольвенты ООД.

Для более детального описания результатов первой главы введем несколько вспомогательных определений. Следуя [1] под произведением множеств А, В С С будем понимать множество АВ = Z1Z2 = {z\ • z2 : zi e A,z2 £ В}. Положим A~l = :.z G А} и A! = {z € С : z A}. Обозначим через D(zq,R) — {z : \z - zq\ < R} - круг; D(oo, R) = {z € € : \z\ > D(zq, R) - замыкание D(zo, R); S(a, R) = {z : \z — a\ = R}~ окружность; K(a; r, i?) = {z : r < \z—a\ < R} - кольцо; яп := ехр{^г}, n € N; ft^j := {z G С \ {0} : a < argz < /3} - угол иРп - правильный n угольник с центром в нуле и вершиной в точке z = 1.

В теореме 1 первой главы рассматривается общие свойства М(Д В). Приведем некоторые из них.

Теорема 1.1.

2. М(А,В) = (АВ'-1)'~\ 4. 0еМ(А,В)&0еВ.

7. Для того, чтобы В было звёздно относительно начала координат необходимо, а в случае М( А, В) А = В и достаточно, чтобы мультипликатор М(А, В) был звездным относительно нуля.

8. Если А открыто, то М(А, В) U {0, оо} есть замкнутое множество, а множество АВ'~г \ {0, оо} открыто.

В теореме 1.2 выясняются свойства мультипликатора в случае, когда

А = В С С. Теорема 1.2.

1. Если М(А) состоит из конечного числа точек, то либо М(А) = {1, хпу. К'1}, либо М(А) = {0,1, . К"1} где хп. = ехр {^г}

2. М(А) является коммутативным моноидом относительно операции умножения комплексных чисел.

5. Если.множество А ограничено, то М(А) С D(0,1)

9. Мультипликатор М(А) не обязательно является связным множеством, даже в случае односвязности множества А.

Теорема 3 описывает мультипликаторы конкретного вида в случае, когда А = В — G - область в С.

Теорема 1.3.

2. Для выпуклой ограниченной области G мультипликатор M(G) = Рп тогда и только тогда, когда G есть правильный выпуклый п—угольник с центром в нуле.

3. M(G) = D(0,1) тогда и только тогда, когда 3R > 0 : G — D(О, R).

5. M(G) = 5(0,1) тогда и только тогда, когда 3г, R € (0, -boo) G =

6. M(G) = (0, +оо) тогда и только тогда, когда 30 < в — а < 2п G пвК

K(0;r,R).

8. Пусть область G ограничена и 0 € ext.<7. Если существует луч, который пересекает область G по пустому множеству, то мультипликатор M(G) = {1}.

В теореме 1.4 собраны вспомогательные результаты, которые понадобятся в главе 2.

Задача представления ООД, ООИ и ДО в H(G), где G - односвязная область в С ставится следующим образом. Оператор задан на полной в H(G) системе степеней {zn}. Требуется по этому заданию установить, будет ли он расширяться до линейного непрерывного оператора на всём H(G). В теореме 2.1 она решается в общем виде. Метод доказательства теорем во второй главе опирается, в частности, на представление Кёте линейных непрерывных операторов и функционалов в пространстве H(G). Этот метод для получения представления специальных классов операторов использовал сам Кёте в своей статье, далее М. Ю. Царьков [43], Ю. Ф. Коробейник [22] и другие математики. Также используется теорема о монодромии функции двух переменных.

Теорема 2.1. Пусть область G С С и односвязна.

1. Оператор D, определенный на системе {zn} по правилу Dzn := dn-iz"-1, п е N, D1 0, {dn} С С, расширяется до ООД в H(G) тогда и только тогда, когда функция d{z) := dnzn голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N( 1) < N(2) < . такая, что функциональный элемент двух переменных (f), z G D(zq, g) С G, t € D(oo, j) аналитически продолжается в каждую односвязную

I область Сг#(п) х Gn С С х С, а в случае 0 ^ G d(z) аналитически продолжается в точку z — оо и имеет там нуль не ниже второго порядка.

2. Оператор /, определенный на системе функций {zn} по правилу Izn := £zn+1, п £ N U {0}, {dn} С с \ {0}, расширяется до ООИ в H(G) тогда и только тогда, когда функция d\(z) := Y^Lq голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < iV(l) < N(2) < . такая, что функциональный элемент jdi (|), z е D(zo,e) С G, t Е D(oo, аналитически продолжается в каждую односвязную область (гщп) х Gn С С х €, а в случае 0 f G d(z) аналитически продолжается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка.

3. Оператор J, определенный на системе {zn} по правилу п £ NU{0}, {dn} С С расширяется до ДО в H(G) тогда и только тогда, когда функция d(z) :— dnzn голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N( 1) < N(2) < . такая, что функциональный элемент jd(f), z £ D(zo,e) с G, t E D(00,7) аналитически продолжается в каждую односвязную область G'n^ xGn С С х С, а в случае О ^ G d(z) аналитически продолжается в точку 2 = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка.

Так как f £ G'N^Gn, то можно было бы ожидать, что d(z) аналитически продолжается до локально аналитической функции на множестве GG'~l. которое, как следует из главы 1, не обязательно является открытым или замкнутым. Далее приводится пример функции d(z), которая может оказаться многозначной при аналитическом продолжении в GG1'1. В связи с этим целесообразно искать классы областей G1 для которых соответствующая функция d(z) продолжается до локально аналитической на GG'~l. Удобно вводить классы таких областей в терминах мультипликатора, введенного в главе 1.

В теореме 2.2 расматриваются области, у которых ноль лежит на границе. В первой главе доказывается, что M(G) = (0,1] тогда и только тогда, когда 0 ^ G, G U {0}- звездное множество и G не совпадает с углом вида Для этого класса областей доказывается

Теорема 2.2. Пусть G - односвязная область и M(G) — (0,1]. Следующие три условия равносильны :

1а) оператор D, заданный на множестве степеней по правилу Dzn — dn^izn~1, п € N, Di ~ 0, расширяется до оператора обобщенного дифференцирования в H(G);

16) степенной ряд У^о dnz11 сходится в окрестности начала координат, его сумма d(z) аналитически продолжается до голоморфной в С \ [1,М] функции, М > 1, и имеет нуль не ниже второго порядка в точке z — ос.

1 в) существует целая функция экспоненциального типа a(z) с индикаторной диаграммой в [—1пМ, 0], интерполирующая {<4} в узлах п = 1,2,. в следующем смысле: а(1) = 0, а(2) = do, а(3) = d\,. .

При выполнении хотя бы одного из трех утверждений имеет место такое интегральное представление ООД: 2h / fdO' w где z E Gn. Следующие утверждения равносильны :

2 а) пусть дана последовательность {dn} С С, Vn > 0 dn ф 0. Оператор I, определяемый на полной в H(G) системе {zn} по правилу Izn = j-zn+1, та € N, расширяется до ООН на H(G);

2 б) ряд сходится в окрестности нуля, его сумма d\{z) аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области С \ [1 ,М] и имеет нуль не ниже первого порядка в точке z = оо;

2 в) существует целая функция экспоненциального типа a(z) с индикаторной диаграммой в [— 1пМ,0], которая является функцией коэффициентов для d(z) в следующем смысле: о(1) = а(2) — .

При выполнении одного из утверждений «)Ь (|) где z eGn.

Аналогичный критерий имеет место и для ДО.

В теореме 2.3 рассматриваются области, у которых ноль лежит во внешности или на границе их замыкания. Пусть каждый луч с началом в нуле пересекает односвязную область G по интервалу (из которых хотя бы один конечен и хотя бы один не начинается в нуле) или по пустому множеству. Тогда M(G) = {1}. Для этого класса областей доказывается

Теорема 2.3. Следующие три утверждения равносильны.

1а) оператор D, определяемый на системе {z11} по правилу Dzn — d,nzn~l, п € N, D1 = 0, {dn} с С, расширяется до ООД на H(G);

16) ряд dnzn сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в односвязной области С\{1} и имеет нуль не ниже второго порядка в точке z = оо.

1 в) существует целая функция не выше минимального типа первого порядка a(z), которая является функцией коэффициентов для d(z) в следующем смысле: а(1) = 0, а(2) = do, а(3) — d],. .

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

Заметим, что критерий применимости ООД к каждой аналитической функции в каждой точке её аналитичности в терминах разрешимости интерполяционной задачи впервые установлен в [18]. В случае, когда О G доказана следующая

Теорема 2.4. Пусть G есть звёздная область и G ф С. Следующие три утверждения равносильны :

1а) оператор D, определяемый на системе {zn} по правилу Dzn = d^z71"1, п е N, D1 = 0, {dn} С С, расширяется до ООД на H(G)\

1 б) ряд dnzn сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области GG'~l\

1 в) существует аналитическая и экспоненциального типа в полуплоскости Ее2 > 0 функция коэффициентов a(z) : Vn G N, dn — a(n) такая, что её преобразование Лапласа будет аналитической и однозначной функцией в односвязной области ^lnjVf(G)^ , где In M{G) есть объединение точки оо = In 0 и всех точек из полосы — тг < Im < 7Г, являющихся образами M(G) при отображении w = In z, —it < arg z <ir.

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

В третьей главе ищутся решения операторных уравнений конечного порядка, порождённых ООД D. В первом параграфе вводится понятие обобщенной экспоненты e(z) := l + ]C2=i тт»-" • Такие функции в связи с ООД уже встречались ранее. В монографии [27], например, отмечено, что e(z) переходит в обычную экспоненту ez, когда dn — п + 1, n = О,1,Доказывается такое свойство обобщенной экспоненты:

Лемма 3.1. Пусть О G G, D - ООД в H(G). Уравнение

D - М)у = О для каждого Л € С имеет ненулевое решение у £ H(G) тогда и только тогда, когда e(z) есть целая функция.

В предположении, что e(z) - целая функция, в серии лемм 3.2-3.4 и теореме 3.1 находится явный вид общего решения однородного операторного уравнения конечного порядка.

Теорема 3.1. Общее решение однородного операторного уравнения с постоянными коэффициентами

Dny + aiD^y + • • • + ап = О имеет вид :

ТО «J — i

1-1 к=О где qi:k - произвольные коэффициенты из С, Ai,., Ато - корни характеристического многочлена zn + a^z11'1 ■ • • + а,п = 0 кратностей .Si,., sm соответственно.

Во втором параграфе рассматриваются простейшие неоднородные операторные уравнения Dy — / и J у = /. Имеет место

Теорема 3.2. Пусть G - односвязная область, содержащая ноль и D - ООД в H(G). Уравнение Dy = / разрешимо для любой правой части f(z) Е H(G) тогда и только тогда, когда а) Vn € N U {0} dn ф 0; б) функция d\{z) = YZ* TzU голоморфна в нуле; в) существует последовательность 1 < N(1) < N(2) < . такая, что функциональный элемент jdi (|), z Е D(zo,e), t Е D(оо,е) аналитически продолжается в каждую односвязную область G'n^ х Gn С € х С до голоморфной функции двух переменных;

Аналогичный критерий разрешимости имеет место для уравнения J у = /. Несмотря на внешнюю простоту данных уравнений, при конкретной реализации они могут иметь достаточно сложную структуру. Например, если

О € G и ^(г) голоморфна в С \ {1}, то уравнение J у — f может бьтть записано в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка. В случае же 0 $ G, с помощью преобразования w — In z уравнение J у = / сводится к разрешимости уравнения комплексной свертки вида

Третий параграф посвящён операторным уравнениям вида Dy—Xy = /. Нельзя ожидать достаточно простого решения этого операторного уравнения в общем случае. Поэтому мы ограничеваемся случаем, когда соответствующая функция d(z) — Y^=oP(n + гДе Р(п) ~ многочлен п -той степени. В начале (теорема 3.4) находится явный вид резольвенты оператора D в случае, когда 0 6 G. Резольвента оператора D (D — А/)-1 ищется конструктивно. Заметим, что существует большая литература по теоремам существования правого обратного оператора (смотри, например, диссертацию С. Н. Мелихова [32] по этой теме и библиографию в ней).

Теорема 3.4. Пусть G - звёздная область. Тогда общее решение линейного уравнения с где y{z)J(z) е #(InG) (смотри [21], [2]).

Dy-Xy = f первого порядка (относительно ООД D) в H(G) имеет вид :

4) ф) = aoe(Az) + -/-/ Е-Щ.о о fe=0 к

•/(щ.usz)dui • • • оо где e(z) = J2 р(\)1р(пу е(°) = h •- - корни уравнения p(z) = тг=0 clqz3 4- a\zs~l Н-----h as — 0, ао ф 0, Re ., Re vs <1, уо e € .

Предложенный в предыдущей теореме способ доказательства не удается перенести на случай, когда 0 G. В случае, когда 0 ф. G и порождающая оператор D функция d{z) есть многочлен второго порядка методом прямой подстановки доказывается

Теорема 3.5. Пусть 0 4: G. Тогда общее решение линейного уравнения (4) имеет вид : 7 оо (Л (1 - (Z - Х2)) y(z) = yQe(Xz) + //£ —--i)dxidx2,

Z0 zo fe=0 где e(z) = J2n=о P(iylP{ny e(°) = г> v ~ коРень многочлена p(z) = z{z - v\ v ^ N. Интегрирование ведётся по кривым, лежащим в G.

Уже в случае s = 2 при подстановке y(z) в уравнение возникают большие сложности при его упрощении. Ещё большие сложности просматриваются при s > 2. Этим объясняется, почему общий случай s не рассмотрен.

В теореме 3.6 приведен алгоритм получения в явном виде решения неоднородного операторного уравнения конечного порядка.

Автор выражает благодарность научному руководителю диссертации за постановку задачи и участникам семинаров В. В. Напалкова, Ю. Ф. Коробейника и В. П. Кондакова за полезные обсуждения результатов диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моржаков, Антон Владимирович, 2006 год

1. Бибербах J1. Аналитическое продолжение. М.:- Наука, 1967.- 240 с.

2. Братищев А. В. О линейных операторах, символ которых является функцией произведения своих аргументов. // Доклады АН. 1999. -Т. 365. - т. - С. 9-12.

3. Братищев А. В. О мультипликаторе области в комплексной плоскости // Материалы XVI международной научно-методической конференции. Петрозаводск, июнь, 2003. Санкт - Петербург: ПГУПС. - 2003. - С. 126-127.

4. Братищев А. В. Обобщенное преобразование Бореля и смежные задачи теории функций // International Conference Complex analysis and its applications. Abstracts, Lviv, may 26-29, 2003. Льв1в: LNU. - 2003. - C. 17-18.

5. Братищев А. В. Оператор обобщенного дифференцирования, порожденный функцией Гейне. Тезисы докладов 13 саратовской зимней школы. Саратов. Январь, 2006. - Саратов: научная книга. - 2006. - с. 36-37.

6. Братищев А. В. Описание обобщенных преобразований Бореля, сохраняющих теорему Пойя. // Вестник ДГТУ. 2001. - Т. 1. - Л*1. - С. 79-89.

7. Братищев А. В., Калиниченко JI. И. Описание области сходимости ряда обобщенных экспонент // Доклады РАН. 1993. - Т. 331. - №6. - С. 666-667.

8. Братищев А. В., Моржаков А. В. О мультипликаторе пары множеств комплексной плоскости. // Вестник ДГТУ. 2004. - т.4.- №3 - С. 270281.

9. А. В. Братищев, А. В. Моржаков. О резольвенте одного класса обобщенных дифференциальных уравнений. // Вестник ДГТУ. 2006.- Т. 6 - Ш- С. 85-88

10. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. Наука. - 1965. - 172 с.

11. Гельфонд А. О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. -1951. - Т. 38.

12. Гельфонд А. О. Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье. -Матем. сб. 1951. - Т. 29. - №3. - С. 477-500.

13. Доброходов С. Ю., Маслов В. П. Многомерные ряды Дирихле в задачах об асимптотике спектральных серий нелинейных эллиптических операторов. Современные проблемы мат-ки. - Т. 23. - М.: ВИНИТИ. - 1983. - С. 33-78.

14. Кейперс JI., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука. - 1985. - 408 с.

15. Кирютенко Ю. А. Об операторах обобщенного интегрирования, аналитически продолжимых из нуля. Известия ВУЗов. - №7 . - 1975 г.

16. Коробейник Ю. Ф. Об операторах обобщенного дифференцирования, применимых к любой аналитической функции. // ИАН СССР.- Сер. матем. 1964.- т. 28. - т. - С. 833-854.

17. Коробейник Ю. Ф. Об одном интегральном операторе. // Литовский математический сборник. 1965. - Т. 5.- №1 - С. 97-115

18. Коробейник Ю. Ф. Аналитические решения операторных уравнений бесконечного порядка. Докторская диссертация. Ростов-на-Дону. -1965 г.

19. Коробейник Ю. Ф. Донсков Ю. Н. Аналитические решения уравнения Эйлера бесконечного порядка // Изв. ВУЗов. 1969. - ЛШ.-С. 44-51.

20. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе линейных операторов // Годишник ВТУЗ, матем. Т. 9. кн. 3. - София. - 1973. - с. 23-32.

21. Ленг С. Алгебра. М. : Мир, 1968. - 564 с.

22. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1951. - Т. 39. - 216 с.

23. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Труды математического института им. В. А. Стеклова.- 1957 Т. 39.-С. 1-216.

24. Леонтьев А. Ф. Об области регулярности предельной функции одной последовательности аналитических функций. Матем. сб. . - Т. 39. -№4. - 1956. - С. 405-420.

25. Леонтьев А. Ф. Обобщенные ряды экспонент. М. Наука, 1981. - 320 с.

26. Линчук С. С. Диагональные операторы в пространствах аналитических функций и их приложения // Актуальные вопросы теории функций. Ростов-на-Дону: ИРУ. - 1987. - С. 118-121.

27. Мавроди Н. Н. Необходимые и достаточные условия аналитической продожимости степенного ряда / / Актуальные проблемы математического анализа. Сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону : ГинГо. - 2000. -С. 94-99.

28. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.1. -М.: Наука.1967. -488 с.

29. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.2. -М.: Наука.1968. -624 с.

30. Мелихов С. Н. Правые обратные к операторам представления рядами экспонент и свертки. Автореферат докт. диссер. Уфа 2003. - 240 с.

31. Моржаков А. В. О представлении оператора обобщенного дифференцирования функций, аналитических в круге.// Межвузовский сб. "Интегро-дифференциальные операторы и их свойства".- Вып. 6. -Ростов-на-Дону: ДГТУ. 2004. - С. 40-42.

32. Моржаков А. В. Об одном классе операторов обобщенного дифференцирования // Современные проблемы теории функций и их приложения, тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов. Январь 2006 г. Саратов : Научн. книга. - 2006. - С. 122-123.

33. Моржаков А. В. Представление оператора обобщенного дифференцирования в одном классе односвязных областей. 2 // Вестник ДГТУ. -2006.- Т. 6 № (28).- с. 10-16

34. Мусин И. X. О разрешимости одного неоднородного уравнения. Сб. "Исследование по теории функций". Уфа : БФАН СССР. - 1986. - С. 77-89.

35. Напалков В. В. О продолжаемости оператора обобщенного дифференцирования. Матем. сб. - Т. 78. - №38. - 1969. - С. 397-407.

36. Напалков В. В. О расширении оператора обобщенного дифференцирования. Матем. заметки. - Т. 6. - №4. - 1969. - С. 425-436.

37. Робертсон А. П., Роберстон В. Дж. Топологические векторные пространства.- М. : Мир. 1967.- 260 с.

38. Савёлов А. А. Плоские кривые. М.: ГИФМЛ, 1960. - 296 с.

39. Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1987. -280 с.

40. Царьков М. Ю. Изоморфизмы некоторых аналитических пространств, перестановочные со степенью оператора дифференцирования. Теория функций, функц. анализ и их приложения. - Республ. научн. сб. - 1970. - вып. 2. - с. 86-96.

41. Фролов Ю. Н. Об аппроксимации решений уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных посредством элементарных решений. Сб. "Исследования по теории аппроксимизации функций". -Уфа : БФАН СССР. - 1979. - С. 268-281.

42. Фишман К. М. К вопросу о линейном преобразовании аналитических пространств. ДАН ССР, 127, №, 1959, с. 40-43.

43. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т.2. Изд.2. -М: Наука. -1976.- 400 с.

44. Янушаускас А. И. Аналитические и гармонические функции многих переменных.- Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1981.- 184 с.

45. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie. //J. reine angew. math. -1953.- Bd. 191. -S. 30-49.