Исследование предельных характеристик систем массового обслуживания с непрерывным временем методами, основанными на логарифмической норме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Усов Илья Андреевич

• Усов Илья Андреевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Усов Илья Андреевич

1.1 Пространство 1\

1.2 Дифференциальные уравнения в пространстве 1\

1.3 Логарифмическая норма оператора

1.4 Марковские цепи

1.4.1 Основные понятия

1.4.2 Основные преобразования системы

1.4.3 Возмущенные процессы

2 Исследование скорости сходимости к предельному режиму обобщенных процессов рождения и гибели

2.1 Оценки скорости сходимости для системы массового обслуживания типа РН/М/1

2.1.1 Описание модели

2.1.2 Оценки скорости сходимости для случая, когда т ^

2.1.3 Оценки скорости сходимости для случая, когда т =

2.1.4 Пример

2.2 Оценки скорости сходимости для многосерверной системы массового обслуживания с катастрофами и ремонтами

2.2.1 Описание модели

2.2.2 Оценки скорости сходимости

2.2.3 Пример

2.3 Оценки скорости сходимости для системы массового обслуживания типа М/М/1 с двумя классами приоритета .... 50 2.3.1 Описание модели

2.3.2 Оценки скорости сходимости

2.3.3 Пример

3 Методы исследования предельных характеристик марковских цепей с непрерывным временем

3.1 Подход к получению оценок погрешности аппроксимаций для неоднородной марковской цепи с непрерывным временем и катастрофами

3.1.1 Описание модели

3.1.2 Получение оценок погрешности аппроксимаций

3.1.3 Пример

3.2 Метод получения оценок скорости сходимости к предельному режиму для марковских цепей с непрерывным временем

3.2.1 Описание модели

3.2.2 Описание методики

3.2.3 Получение оценок скорости сходимости однородных процессов рождения и гибели

3.2.4 Получение оценок скорости сходимости для одного обобщенного процесса рождения и гибели

3.2.5 Примеры

3.3 Подход к получению оценок устойчивости для однородных и неоднородных марковских цепей

3.3.1 Описание методики и основные результаты

3.3.2 Получение оценок устойчивости для общего класса неоднородных марковских цепей

3.3.3 Пример

3.3.4 Пример

4 Исследование предельных характеристик нестационарных моделей массового обслуживания с катастрофами и ремонтами сервера

4.1 Оценки скорости сходимости для модели Прендивилля

4.1.1 Описание модели

4.1.2 Получение оценок скорости сходимости

4.1.3 Пример

4.1.4 Пример

4.2 Исследование системы массового обслуживания типа М/М/1 с

двумя типами катастроф

4.2.1 Описание модели

4.2.2 Получение оценок скорости сходимости

4.2.3 Получение оценок устойчивости

4.2.4 Получение оценок аппроксимаций

4.2.5 Пример

4.2.6 Пример

4.2.7 Пример

Заключение

Приложение

Описание программы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование предельных характеристик систем массового обслуживания с непрерывным временем методами, основанными на логарифмической норме»

Введение

Актуальность темы. Несмотря на то, что истоки теории массового обслуживания восходят к работам А. К. Эрланга, опубликованным более века назад [43], данное направление теории вероятностей и в настоящее время сохраняет высокую научную и прикладную значимость. Это обусловлено тем, что модели и методы теории массового обслуживания продолжают широко использоваться при исследовании телекоммуникационных сетей, производственных систем, экономических процессов и других сложных объектов, функционирование которых связано с обработкой случайных потоков требований.

За длительный период развития этой научной области накоплен значительный объём теоретических и прикладных результатов. Существенный вклад в формирование и развитие современных подходов внесли многие отечественные и зарубежные исследователи, среди которых следует отметить В.В. Анисимова, Л.Г. Афанасьеву, Г.П. Башарина, Ю.В. Гайдамака, А.К. Горшенина, А.А. Назарова, А.Н. Моисеева, С.П. Моисееву, К.Е. Самуйлова, В.М. Вишневского, А.А. Боровкова, П.П. Бочарова, Р.Л. Добрушина, А.Н. Дудина, А.И. Зейфмана, В.В. Калашникова, Н.В. Карташова, Е.В. Морозова, А.В. Печинкина, В.В. Рыкова, О.В. Семёнову, В.Г. Ушакова, С.Г. Фосса, E. Van Doom, M. Neuts, R.L. Tweedie, W. Whitt, A. Chen и других авторов (см. [1]-[10], [13]-[21], [24]-[67]).

Вместе с тем ряд важных вопросов по-прежнему требует дальнейшего изучения. В частности, недостаточно полно исследованы свойства эргодичности и устойчивости неоднородных марковских цепей с непрерывным временем, а также возможности применения соответствующих результатов к моделям массового обслуживания. Начальные исследования в данном направлении были заложены в работах А.И. Зейфмана (см. [16, 136]), где были сформулированы основы подходов к анализу таких систем. Существенные результаты, связанные

с исследованием устойчивости стохастических моделей, также получены в трудах В.В. Анисимова, А.Ю. Митрофанова, В.В. Калашникова и Н.В. Карташова (см. [2, 22, 49, 57]).

В последние годы наблюдается устойчивый рост интереса к исследованию нестационарных, то есть неоднородных по времени, марковских цепей. Это связано как с расширением круга прикладных задач, так и с необходимостью более точного описания реальных систем, параметры которых изменяются во времени. В связи с этим особую актуальность приобретает разработка методов получения оценок скорости сходимости, устойчивости и погрешности аппроксимации для различных классов моделей, а также использование таких оценок при построении основных предельных характеристик конкретных систем массового обслуживания.

Цель диссертационной работы. Целью работы является получение оценок вероятностных характеристик (скорости сходимости к предельному режиму, устойчивости, погрешности аппроксимаций), построение основных предельных характеристик и применение новых методов, основанных на логарифмической норме, для систем массового обслуживания с непрерывным временем.

Основные задачи. Для достижения заявленной цели решены следующие задачи:

1. Исследованы и построены предельные характеристики, получены новые оценки скорости сходимости к предельному режиму для

— системы массового обслуживания типа РН/М/1;

— многосерверной системы массового обслуживания с катастрофами и ремонтами;

— системы массового обслуживания типа М/М/1 с двумя классами приоритета;

— модели Прендивилля;

— системы массового обслуживания типа М/М/1 с двумя типами катастроф.

2. Для стационарных и нестационарных моделей систем массового обслуживания описаны новые методы и подходы для исследования и построения предельных характеристик

— подход к получению оценок погрешности аппроксимаций для неоднородной марковской цепи с катастрофами

— метод разбиения на блоки транспонированной матрицы интенсивностей, позволяющий получить новые оценки скорости сходимости для марковских цепей с непрерывным временем

— подход к получению оценок устойчивости для однородного процесса рождения и гибели

— подход к получению оценок устойчивости для неодородных марковских цепей

Помимо этого, для всех рассматриваемых моделей были проведены вычислительные эксперименты с использованием программ, написанных на языке Python, основанных на численных методах. В результате этих экспериментов получены предельные характеристики систем массового обслуживания (СМО), а также продемонстрирована зависимость их реальных показателей от конкретных функций интенсивностей.

Стоит отметить, что описанные модели находят применение в различных сферах: сети связи, транспортная логистика, бизнес-процессы, промышленное производство, компьютерные сети, здравоохранение и медицина, сервисные службы, розничная торговля. Кроме того, предложенные подходы и методы к оценке скорости сходимости и устойчивости решений успешно применяются при решении задач, связанных с этими системами.

Положения, выносимые на защиту.

1. Исследование и построение предельных характеристик для новых систем массового обслуживания марковского типа, получение оценок скорости сходимости, устойчивости и погрешности аппроксимаций, методами, освнованными на логарифмической норме.

2. Применение новых методов и подходов для получения оценок скорости сходимости к предельному режиму и оценок устойчивости для систем

массового обслуживания с непрерывным временем, основанных на логарифмической норме.

3. Исследование и построение предельных характеристик обобщенных процессов рождения и гибели методами, освнованными на логарифмической норме.

Научная новизна.

1. Получены новые оценки скорости сходимости к предельному режиму для

— системы массового обслуживания типа РН/М/1;

— многосерверной системы массового обслуживания с катастрофами и ремонтами;

— системы массового обслуживания типа М/М/1 с двумя классами приоритета;

— модели Прендивилля.

2. Для системы массового обслуживания типа М/М/1 с двумя типами катастроф получены новые оценки

— скорости сходимости к предельному режиму;

— устойчивости;

— погрешности аппроксимаций.

3. Разработаны новые методы и подходы, основанные на логарифмической норме

— подход к получению оценок погрешности аппроксимаций для неоднородной марковской цепи с катастрофами

— метод разбиения на блоки транспонированной матрицы интенсивностей для марковских цепей с непрерывным временем

— подход к получению оценок устойчивости для однородного процесса рождения и гибели

— подход к получению оценок устойчивости для неодородных марковских цепей

Вклад автора заключается в исследовании рассматриваемых моделей, получение новых оценок для них, а также создание алгоритмов и программного обеспечения для осуществления вычислительных экспериментов.

Методы исследования. Для решения вышеописанных задач используется оператор Коши дифференциального уравнения в банаховом пространстве и оценки его нормы. Исследование необходимых предельних характеристик сводится к изучению прямой системы Колмогорова. Для этого используются методы, базирующиеся на оценке логарифмической нормы соответсвующей транспонированной матрицы интенсивностей. При помощи методов: C-матрицы, разбиения на блоки и подходах для получения оценок устойчивости, можно перейти к более удобной для изучения редуцированной матрице интенсивностей. Как показано в данной работе, методы и подходы удается применить для обобщенных процессов рождения и гибели, моделей с катастрофами и ремонтами, для однородных и неодрододных процессов рождения и гибели. Для проведения вычислительных экспериментов используется программа на языке Python, которая решает задачу Коши методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

Достоверность и обоснованность полученных результатов. Достоверность полученных результатов следует из строгих математических доказательств.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в исследовании конкретных систем линейных дифференциальных уравнений, стохастических моделей в технике, химии, биологии, физике и других отраслях. Описанные подходы могут быть применены в моделировании потоков информации, связанных с высокопроизводительными вычислениями.

Соответствие паспорту специальности.

В диссертации исследуются различные типы систем массового обслуживания с непрерывным временем и описывающие их марковские процессы, что соответствует областям исследования 10. «Марковские процессы и поля, а также связанные с ними модели» и 12. «Теория восстановления и теория массового обслуживания» из паспорта специальности 1.1.4. «Теория вероятностей и математическая статистика».

Содержание работы.

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, приводится краткий обзор работ по данной тематике, сформулированы результаты, задачи и цель работы.

В главе 1 приводится вспомогательный математический аппарат, необходимый для дальнейшего исследования. Вводятся определения основных понятий: предельного среднего, пространства 11, логарифмической нормы оператора, а также некоторые понятия и методы, важные для дальнейшего исследования.

В следующих главах рассмотрены различные модели: РН/М/1, обобщенные процессы рождения и гибели, Прендивилля, нестационарные модели с катастрофами. С помощью методов, основанных на логарифмической норме, получены новые оценки скорости сходимости, устойчивости, аппроксимаций.

Заметим, что исследование каждой из этих моделей соответствует указанным разделам паспорта специальности.

В главе 2 рассмотрены обобщенные процессы рождения и гибели, в т.ч. модели: РН/М/1, с отказами и ремонтами сервервера и с двумя классами приоритета.

В главе 3 рассматриваются новые методы и подходы для исследования предельных характеристик марковских цепей с непрерывным временем: подход к получению оценок аппроксимаций, метод разбиения на блоки транспонированной матрицы интенсивностей, подход для получения оценок устойчивости.

В главе 4 исследуются следующие модели: Прендивилля и процесс рождения и гибели с двумя типами катастроф.

В заключении описаны и сформулированы основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования для рассмотренных моделей массового обслуживания.

В приложении приведено описание программы, с помощью которой выполняются построения основных характеристик марковского процесса.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на: - «Современные методы стохастического моделирования сложных систем» ,

2022-2025 г.г., Вологда, Россия;

- 20-й Международной конференции по численному анализу и прикладной математике, 2022 г., Родос, Греция;

- Международной конференции «Информационные технологии и технические средства управления», 2022 г., Астрахань, Россия;

- VII Международной конференции «Информационные технологии и технические средства управления», 2023 г., Астрахань, Россия;

- VIII Международной конференции «Информационные технологии и технические средства управления», 2024 г., Владикавказ, Россия.

Основные результаты опубликованы в [68]-[78], в том числе работы в журналах, рекомендованных ВАК. Программа для проведения вычислительных экспериментов [79] имеет свидетельство о государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ за номером 2024618655 от 15 апреля 2024 года.

Глава 1. Основные понятия

Данная глава носит вспомогательный характер и предназначена для введения математического аппарата, а также основных понятий, используемых в последующих разделах исследования.

1.1 Пространство 1\

Рассмотрим множество всех числовых последовательностей вида х = {х1,х2,...}, где хг € К, для которых ряд из модулей элементов сходится, то есть выполняется условие

то

У^ |Хг| < то.

г=1

Такое множество образует пространство абсолютно суммируемых последовательностей.

Для любого элемента х этого пространства введём норму

то

IIХII ^ ^ 1 хг \.

г=1

Множество всех последовательностей, удовлетворяющих указанному условию, вместе с данной нормой называется пространством ¿1. Его элементы далее будем называть векторами.

Пространство ¿1 является линейным нормированным пространством и обладает свойством полноты относительно метрики

р(х,у) = ||х - У1,

то есть представляет собой банахово пространство. Напомним, что линейное пространство — это множество элементов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющие стандартным

аксиомам линейности. В качестве скаляров могут рассматриваться элементы вещественного, комплексного или иного числового поля.

Банаховым называется нормированное линейное пространство, полное относительно метрики, индуцированной нормой. Иными словами, любая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел, принадлежащий этому же пространству.

Единичные векторы (орты) пространства ¿1 будем обозначать через б^. Каждый такой вектор имеет единицу на г-й позиции и нули на всех остальных местах. Тогда любой вектор х € ¿1 допускает представление в виде ряда

то

X =

i=1

i=1

где коэффициенты удовлетворяют условию

то

у^ Ы < то.

i=1

Рассмотрим линейный оператор A, действующий из пространства /1 в себя. Такой оператор однозначно задаётся бесконечной матрицей

(aij )i,j=1.

Норма оператора определяется выражением

|| A || = sup = sup || Ax || = sup ^^ | aij |.

||x||<1 ||X| ||x||=1 j V

В дальнейшем рассматриваются только ограниченные операторы, то есть такие операторы, для которых выполняется условие

||A|| = sup ^^ |aij| < то.

ji

Пусть каждому значению параметра t ^ 0 сопоставлен вектор x(t) £ ¿1. Тогда отображение t ^ x(t) задаёт вектор-функцию со значениями в пространстве ¿1.

Вектор-функция называется непрерывной в точке £0, если при £ ^ £0 выполняется условие

||х(£) - х(*о)|Н 0.

Иными словами, непрерывность определяется сходимостью значений функции по норме пространства 11.

Понятия дифференцируемости в точке и интегрируемости вектор-функции вводятся стандартным образом: производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а интеграл — как предел соответствующих интегральных сумм. Аналогичным образом формулируются определения для оператор-функций, включая понятия их непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости.

Далее рассмотрим операторную показательную функцию вида е'^,

определяемую степенным рядом

(^)2 (^)3 ^ (^)п

е- = / + ^ + ^ + ^ + ... = Е

2! 3! ^ п!

п=0

Сходимость данного ряда имеет место при любом значении £, поскольку справедлива оценка

_ (+Т7\п то +П\\ Тр\\П

у- ) ^у- ^ Н^ У = ||

п!

=о

=о

Из этого непосредственно следует неравенство

11е^^|| ^ е'^".

Следовательно, для любых действительных чисел £ и в выполняется фундаментальное свойство

= ^ ^.

В частности, полагая в = —£, получаем, что оператор е'^ является обратимым при любом £, причём его обратным оператором служит е-'ьг.

1.2 Дифференциальные уравнения в пространстве

Рассмотрим дифференциальное уравнение в пространстве последовательностей ¿1 вида

| = А(()»(() + / ((), (1.2.1)

а также связанное с ним однородное уравнение

| = А«х«,

где х(£), у (г) и /(г) являются вектор-функциями, отображающими множество в пространство ¿1, а А(г) представляет собой линейный оператор, действующий из ¿1 в ¿1.

Для исследования решений введём оператор Коши и (£,т), соответствующий рассматриваемому дифференциальному уравнению. Он определяется рядом

и(£, т) = I + ^ А($1) ¿51 + ^ А($1) J а(й2) ¿«2 ¿51 + • • • .

т т т

Указанный ряд равномерно сходится на любом конечном промежутке по переменной £, что обеспечивает корректность определения оператора и(£,т).

Для оператора Коши выполняется фундаментальное композиционное свойство

и (г, 5) = и (г,т )и (т,5),

которое играет ключевую роль при исследовании эволюции решений и их асимптотических свойств.

Теорема 1. Пусть А(г), /(г) - непрерывны, т > 0 и у* € ¿1. Тогда существует единственная у(г), определенная на [т, то), такая, что:

1) у(т) = у*;

2) у(г) непрерывна и дифференцируема при всех г ^ т.

Теорема 2. Пусть A(t), f (t) - непрерывны, т > 0 и ж*, y* £ Тогда существуют единственные x(t), y(t), определенные на [т, то), такие, что:

ж(т) = ^ У(т) = у,|\

x(t) = U (t, т )ж(т),

t

y(t) = U(t, т)у(т) + J U(t, s)f (s)ds. (1.2.2)

T

1.3 Логарифмическая норма оператора

Понятие логарифмической нормы для конечных матриц было введено и, в дальнейшем, изучено Лозинским (см. [23]). А также обобщено на случай оператор-функций в [12]. Рассмотрим само понятие и важные оценки, связанные с ним.

Определение 1. Логарифмической нормой y (A(t)) оператора A называется число

Y(A(t))= lim ||U(t + M)||-||U(t,i)H

^+0 К

Кроме того, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. При всех £ > 0 существует 7(А(£)), причем

Следствие 1.

, , ||/ + hA(t)|| -1 ,

Y (A(t)) = Hin 1-^-. (1.3.3)

h^+0 h

Y(A(t)) = sup I öjj + Y^ laji(t)l ) .

Теорема 4. Для любых t, s (t ^ s > 0) выполняется:

Тогда

- } j(-A(T ))d-T . .. ^ } Y (A(T))dT

e s ^ ||U(t,s)|| < es . (1.3.4)

dtI|x(t)|| < Y(A(t))||x(t)||. (1.3.5)

Таким образом, выполняется следующая оценка

г

Г 7¿и

||х(г)|| ^ &>1 ( ()) ||ж(0)||. (1.3.6)

Теорема 5. Свойство неотрицательности: и (г, 5) > 0 при всех г ^ й > 0 -равносильно тому, что а^(и) > 0 при всех г, ^ таких, что г = ^, и любом и > 0.

Рассмотрим случай подпространства в /1. Пусть матрица О образована элементами последовательности {¿¿} и ё = т£¿>0 > 0.

Пусть - пространство последовательностей ъ = (р0,р1,р2 ...) таких, что ЦгЦ^ = ||Оъ|1 < то.

Теорема 6.

Пусть В : 11 ^ 11 - линейный оператор. Пусть В действует на векторы из , тогда

||В ||/1^ = ||ОВО-1|11, (1.3.7)

7 (В )/ш = 7 (ОВО-\. (1.3.8)

1.4 Марковские цепи 1.4.1 Основные понятия

Рассмотрим стохастическую систему которая в каждый момент времени г может находиться в одном из состояний с номерами 0,1,...,Ж. Совокупность всех возможных состояний

Ем = {0,1,...,Ж}

будем называть пространством состояний системы S.

Обозначим через X (г) состояние системы в момент времени г. Предположим, что если в момент г система находится в состоянии г, то для любого малого Н > 0 вероятность перехода в состояние ] к моменту г + Н

задаётся следующим образом

qij (t)h + (h), j = i,

(1.4.9)

1 - Ягк(t)h + Oi(h), j = i,

k=i

где функции oi(h) равномерны по i, то есть

sup |oi(h)| = o(h).

i

Данное условие является определяющим для рассматриваемого класса процессов. В дальнейшем будем изучать только такие процессы и называть их марковскими цепями с непрерывным временем и счётным пространством состояний.

Функция qij (t) - интенсивность перехода системы из состояния i в состояние j. Если все интенсивности не зависят от времени, то есть qij(t) = qij, цепь называется стационарной; в противном случае используется термин нестационарная. Положим

qii(t) = qik(t)

k=i

и введём матрицу

Q(t) = (qij (tCj=o,

которую будем называть матрицей интенсивностей марковской цепи X (t). Введём переходные вероятности

Pij(t, s) = Pr(X(t)= j | X(s) = i),

а также вероятности состояний

Pi(t) = Pr(X (t) = i),

и соответствующий вектор-столбец

p(t) = (po(t),Pi(t),...)T.

Положим а^(г) = qji(t) и рассмотрим матрицу

А(г) = (ау = Ят (г).

Тогда для вектора вероятностей имеем

р(г + н) = р(г) + А(г)н р(г) + о(Н), (1.4.10)

из которого следует прямая система уравнений Колмогорова

| р(г) = а(")р("). (1.4.11)

Пусть и (г, в) — оператор Коши системы (1.4.11). Тогда матрица

р (5,г) = ит (г, 5) = (^ (5,г))ТО

то

называется матрицей переходных вероятностей цепи X(г).

Обозначим через О множество всех стохастических векторов

х = (х0, х1,.. .)т,

для которых х > 0 и ||х|| = 1. Теорема 7.

(г) Для любых в ^ 0, г ^ в и любого р € /1 существует единственное решение р(г) такое, что р(в) = р, причём

р(г) = и (г,в)р(в).

(гг) Если р(в) € О, то для всех г ^ в также выполняется р(г) € О; (ггг) система (1.4.11) устойчива, а величина

Нр1 (г) - р2(")||

монотонно не возрастает при любых начальных условиях, где р1 (г) и р2(г) — решения, соответствующие р1(в) и р2(в).

Определение 2. Матрица H = (hj)q° называется стохастической, если все её элементы неотрицательны, а сумма элементов каждого столбца равна единице.

Определение 3. Для любых s > 0 и t ^ s матрица Коши U(t,s) является стохастической.

Определение 4. Марковская цепь X(t) называется слабо эргодичной, если

||p*(t) - p**(t)|| — 0, t — то, для любых начальных распределений p*(s), p**(s) и любого s ^ 0. Обозначим через

E(t,k) = E{X(t) | X(s) = k}

математическое ожидание процесса в момент времени t при условии, что в момент s система находилась в состоянии k.

Более общим образом введём обозначение Ep(t) для математического ожидания при начальном распределении p(0) = p. Если положить

Ek(t) = E{X(t) | X(0) = k},

то соответствующим начальным условием системы (1.4.11) является k-й единичный вектор ek.

Определение 5. Функция ^(t) называется предельным средним процесса X (t), если

lim (p(t) - Ek(t)) =0

для любого k.

Определение 6. Если существует предел

t

E = lim 1 / E{X(u) | X(0) = k} du (1.4.12)

t—то t /

и он не зависит от начального состояния к, то величина Е называется двойным средним для цепи X(*).

Предельное среднее характеризует среднее число требований в системе при достаточно больших значениях времени и не зависит от начального состояния. Двойное среднее, в свою очередь, описывает усреднённое поведение системы на всём интервале её функционирования.

Определение 7. Пусть

рЙ = ы*),Р1 (*),... )Т

— вектор распределения вероятностей в момент времени *. Введём отношение частичного порядка:

Р*(*) ^ р2(*),

если для любого г = 1, 2,... выполняется

Е > Е р?(*). (1.4.13)

Определение 8. Пусть Х1(*) и Х2(*) — марковские цепи. Положим

Х1(*) ^ Х2(*),

если для каждого * ^ 0 соответствующие векторы распределения вероятностей удовлетворяют соотношению

рч*) ^ р2(*)

при одинаковых начальных распределениях.

1.4.2 Основные преобразования системы

Рассмотрим основные преобразования системы 1. Исключение нулевого состояния

Используя свойство р (¿) £ положим

Р0 (¿) = 1 - ^ р (¿)

тогда получаем систему

где

В (¿) =

|7(*) = В (¿) 7^) + Г (¿) ,

^ «11 (¿) - «10 (¿) «12 (¿) - «10 (¿) «13 (¿) - «10 (¿) •

«21 (¿) - «20 (¿) «22 (¿) - «20 (¿) «23 (¿) - «20 (¿) •

«31 (¿) - «30 (¿) «32 (¿) - «30 (¿) «33 (¿) - «N0 (¿) •

V ••• ••• •••

7 = (Р1(^),Р2(^),Р3(^),...)Т , f (¿) = («10 (¿) ,«20 (¿) ,«30 (¿),...)' (1.4.16)

.Л

•• /

т

(1.4.14)

(1.4.15)

2. Вычитание положительного элемента

Положим 7* (£) = т£п «0п(£) > 0 и перепишем прямую систему Колмогорова как

И

-р(*) = А* (¿) р (¿) + g (¿), I > 0, (1.4.17)

т

где g (*) = (7 *(*), 0,0,... )т, А* (¿) = («* (¿)) .

¿,¿>0

и

«*?■ (Ъ) =

«0? (¿) - 7*(£), если г = 0, «? (¿), если г > 0.

(1.4.18)

Теперь можно исследовать более удобную «редуцированную» систему (1.4.14) или (1.4.17). 3. Треугольное преобразование

Рассмотрим следующее вспомогательное преобразование. Положим

=

1 при у ^ г 0 при у < г

и

т = =1.

То есть Т верхняя треугольная матрица вида

Т=

1111 0111

Тогда

Т- 1 =

V . .

4. Диагональное преобразование

Пусть теперь 1 ^ ^ ¿2 ^ диагональная матрица:

О =

Тогда

\

0 01 1 •

0 00 1 •

V . ..

1 -1 0 0 0

0 1 -1 0 0

0 0 1 -1 0

0 0 0 1 -1

0 0 0 0 1

О-1 =

( ¿1 0 0 0

0 ¿2 0 0

0 0 ¿3 0

0 0 0 ¿4

\ . . . .

( 1 0 0 0

а1

0 а- 0 0

а2

0 0 -1 0

а3

0 0 0 -1

а4

/

(1.4.19)

(1.4.20)

(1.4.21)

/

г = 1, 2,... и Э = ¿гад (¿1,^2,...)

(1.4.22)

V

/

(1.4.23)

Использование треугольной и диагональной матриц позволяет в некоторых случаях привести матрицу к существенно-неотрицательному виду.

1.4.3 Возмущенные процессы

Пусть процесс X(t),t ^ 0, является неоднородной непрерывной марковской цепью с матрицей интенсивностей Q(t) и транспонированной матрицей интенсивностей A(t) = QT(t) .

Определение 9. Процесс X(t) назовем экспоненциально эргодичным, если найдутся такие константы b > 0, c > 1, что для всех sut (0 ^ s ^ t) выполнено неравенство

|| p*(t) - p**(t)|| ^ c • e—s), (1.4.24)

где p*(t), p**(t) - решения системы (1.4.11).

Пусть X(t), t ^ 0 - возмущенный процесс с инфинитезимальной матрицей Q(t) и соответствующей транспонированной матрицей A(t).

Обозначим символом A(t) разность матриц A(t) — A(t) и назовем матрицей возмущений, а условие

'l(t) < е, (1.4.25)

выполненное почти для всех t, будем трактовать как условие малости возмущений матрицы интенсивностей.

Определение 10. Марковская цепь X(t) называется устойчивой, если для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что из условия supt>0 ||A(t)|| < 6 следует неравенство ||p(t) — p(t)|| < е для всех p(0) = p(0) = p G Q.

Теорема 8. Если марковская цепь такова, что выполнены условия (1.4.24) и (1.4.25), то для любых начальных условий p(s), p(s) справедлива оценка

||p(t) — p(t)|| ^

p(s) — p(s)|| + (t — s) • е, 0 < t — s < b—1 ln 2 V ; V Л| V ; 2 (1.4.26)

2 • e—b(t—s)||p(s) — p(s)|| + е • b—1 (ln 2 + 1 — c • e—b(t—s)), t — s ^ b—1 ln 2.

Также имеет место оценка устойчивости решения

lim ||p(t) - p(t)|| ^ b-1(ln - + 1) • е. (1.4.27)

t—уО 2

Если, кроме того, пространство состояний конечно {0,1,... , N}, то оценка устойчивости для математического ожидания имеет вид

N„ c

lim |Eo(t) - Eo(t)l < — (ln- + 1) • е. (1.4.28)

t—o1 b 2

Рассмотрим пространство

¡ID = {z = (pi,p2, ...)T : ||z||1D = ||Dz|| < то} . Здесь нормы определены следующим образом:

||A||lD = ||D • A • , ||p| 1D = ||z|| 1D .

И пусть для системы (1.4.14)

||B (t)|| 1D ^ B < O ||f(t)||1D ^ f < O

и соответствующей возмущенной системы

||B(t) 111D ^ B < OO, ||7(t) 111D ^ f < TO

почти для всех t.

Определение 11. Процесс X(t) назовем lD-экспоненциально эргодичным, если найдутся такие константы M > 0, а > 0, что для всех s и t (0 ^ s ^ t) выполнено неравенство

|| p*(t) - p**(t)111D ^ M • e-a^t-s) • || p*(s) - p**(s)111D (1.4.29)

для любых начальных условий p*(s), p**(s) G ¡1d.

Теорема 9. Если марковские цепи X(t), X(t) lD-экспоненциально эргодичны, то выполнено следующее неравенство

M • (MjB - Bj • f + а |f - fj)

tlim ||p(t) - p(t)111D ^-^-' ' ') . (1.4.30)

t—O а • (а - M jB - Bj)

Кроме того, оценка устойчивости для математического ожидания имеет вид

_. -/л| М • (М|В - В| • f + а ^ - Ц) , ч

Иш - ^-^^-^- Ф , (1.4.31)

а • Ж • (а - М | В - В|)

где Ж = 1п£{^}.

Глава 2. Исследование скорости сходимости к предельному режиму обобщенных процессов рождения и гибели

Обобщенные процессы рождения и гибели играют важную роль в сложных телекоммуникационных системах, биологии и радиотехнике. В современной разработке программного обеспечения все чаще используется микросервисная архитектура приложений в облачной инфраструктуре, где поступление и обслуживание запросов могут иметь свои особенности. Именно такие системы можно изучать с помощью обобщенных процессов рождения и гибели.

Обобщенные процессы рождения и гибели используются для моделирования широкого спектра приложений. Среди тех, которые рассматриваются в литературе: системы сборки на заказ [80], производственные линии [81], беспроводная связь [82] и различные системы очередей [83].

Впервые термин обобщенные процессы рождения и гибели (в англ. литературе «quasi-birth-death processes») был введен В. Уоллесом и была написана компьютерная программа для их анализа. В диссертации [84] были разработаны первые алгоритмы и описана важность матрично-геометрических методов решения. Обобщенные процессы рождения и гибели также имеют приложения в многосерверной системе массового обслуживания, например, см. [85-89]

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Усов Илья Андреевич, 2026 год

Литература

1. Андреев Д.Е., Елесин М., Кузнецов А., Крылов Е., Зейфман А. Эргодичность и устойчивость нестационарных систем обслуживания // Теория вероятностей и математическая статистика. - 2003. - Т. 68. - С. 1-11.

2. Анисимов В.В. Оценки отклонений переходных характеристик неоднородных марковских процессов // Украинский математический журнал. - 1988. - Т. 40. - С. 699-706.

3. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теории массового обслуживания. - М.: Изд-во МГУ, 1980.

4. Башарин Г.П., Харкевич А.Д., Шнепс М.А. Массовое обслуживание в телефонии. - М.: Наука, 1968.

5. Башарин Г.П., Самуйлов К.Е., Яркина Н.В., Гудкова И.А. Новый этап развития математической теории телетрафика // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 12. - С. 16-28.

6. Горшенин А.К., Горбунов С.А., Волканов Д.Ю. О кластеризации объектов сетевой вычислительной инфраструктуры на основе анализа статистических аномалий в трафике // Информатика и её применения. - 2023. - Т. 17, № 3.

- С. 76-87.

7. Nazarov A., Moiseev A., Moiseeva S. Mathematical Model of Call Center in the Form of Multi-Server Queueing System // Mathematics. - 2021. - Vol. 9, No. 22.

- Art. 2877. - DOI: 10.3390/math9222877

8. Basharin G.P., Gaidamaka Y.V., Samouylov K.E. Mathematical theory of teletraffic and its application to the analysis of multiservice communication of next generation networks // Autom. Control Comput. Sci. - 2013. - Vol. 47, No. 2. - P. 62-69.

9. Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. - М.: Эдиториал УРСС, 1999.

10. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. - М.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 1995.

11. Гнеденко Б.В., Макаров И.П. Свойства решений задачи с потерями в случае периодических интенсивностей // Дифференциальные уравнения. - 1971. -№ 9. - С. 1696-1698.

12. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970.

13. Зейфман А.И. О погрешности усечения системы рождения и гибели // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1988. -Т. 28, № 12. - С. 1906-1907.

14. Зейфман А.И. Некоторые свойства системы с потерями в случае переменных интенсивностей // Автоматика и телемеханика. - 1989. - № 1. -С. 107-113.

15. Зейфман А.И. Стохастические модели. Процессы рождения и гибели. -Вологда: Издательство «Русь», 1994.

16. Зейфман А.И., Бенинг В.Е., Соколов И.А. Марковские цепи и модели с непрерывным временем. - М.: Элекс-КМ, 2008.

17. Зейфман А.И. О нестационарной модели Эрланга // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 12. - С. 71-80.

18. Зейфман А.И., Королев В.Ю., Коротышева А.В., Шоргин С.Я. Общие оценки устойчивости для нестационарных марковских цепей с непрерывным временем // Информатика и ее применения. - 2014. - Т. 8, вып. 1. - С. 106-117.

19. Зейфман А.И., Коротышева А.В., Киселева К.М., Королев В.Ю., Шоргин С.Я. Об оценках скорости сходимости и устойчивости для некоторых моделей массового обслуживания // Информатика и ее применения. - 2014. - Т. 8, вып. 3. - С. 19-27.

20. Зейфман А.И., Сатин Я.А., Коротышева А.В., Королев В.Ю. Оценки погрешности аппроксимаций неоднородных марковских цепей с непрерывным временем // Теория вероятностей и ее применения. -2016. - Т. 61, вып. 3 - С. 563-569.

21. Зейфман А., Коротышева А., Сатин Я., Киселева К., Разумчик Р., Королев В., Шоргин С. Оценки погрешности аппроксимации для марковских систем обслуживания, описываемых процессами рождения и гибели с дополнительными переходами // Системы и средства информатики. - 2017.

- Т. 27., вып. 3. - С. 37-51.

22. Калашников В.В. Качественный анализ сложных систем методом пробных функций. - М.: Наука, 1978.

23. Лозинский С.М. Оценка погрешности численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1958. - № 5. - С. 52-90.

24. Семенова О.В., Дудин А.Н. Система массового обслуживания М|М

с управляемым режимом обслуживания и катастрофическими сбоями // Автоматика и вычислительная техника. - 2007. - № 6. - С. 72-80.

25. Степанов С.Н., Цитович И.И. Некоторые аспекты исследования систем с повторными вызовами качественными методами // Методы теории телетрафика в децентрализованных системах управления. - М.: Наука, 1986.

- С. 68-90.

26. Степанов С.Н., Цитович И.И. Качественные методы исследования систем с повторными вызовами // Проблемы передачи информации. - 1987. - Т. 23, № 2. - С. 92-112.

27. Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. О длине очереди в системе обслуживания с эрланговским входящим потоком // Вестник Московского университета. -2016. - Т. 40, № 3. - С. 118-122.

28. Чегодаев А.В. Математические модели и методы оценки характеристик стохастических систем, близких к поглощающим: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Вологда, 2009. - 127 с.

29. Штойян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей. - М.: Мир, 1979.

30. Artalejo J.R. Stationary analysis of the characteristics of the M/M/2 queue with constant repeated attempts // Opsearch. - 1996. - Vol. 33. - P. 83-95.

31. Artalejo J.R., Gómez-Corral A., Neuts M.F. Analysis of multiserver queues with constant retrial rate // European Journal of Operational Research. - 2001. - Vol. 135. - P. 569-581.

32. Avrachenkov K., Yechiali U. Retrial networks with finite buffers and their application to Internet data traffic // Probability in the Engineering and Informational Sciences. - 2008. - Vol. 22. - P. 519-536.

33. Avrachenkov K., Yechiali U. On tandem blocking queues with a common retrial queue // Computers and Operations Research. - 2010. - Vol. 37, No. 7. - P. 1174-1180.

34. Avrachenkov K., Morozov E.V. Stability analysis of Gl/G/c/K retrial queue with constant retrial rate // Mathematical Methods of Operations Research. -2014. - Vol. 79. - P. 273-291.

35. Avrachenkov K., Nekrasova E., Morozov E., Steyaert B. Stability analysis and simulation of N-class retrial system with constant retrial rates and Poisson inputs // Asia-Pacific Journal of Operational Research. - 2014. - Vol. 31, No. 2. - Art. 1440002. - DOI: 10.1142/S0217595914400028.

36. Chen A.Y., Renshaw E. The M/M/l queue with mass exodus and mass arrives when empty //J. Appl. Prob. - 1997. - Vol. 34. - P. 192-207.

37. Chen A.Y., Renshaw E. Markov bulk-arriving queues with state-dependent control at idle time // Adv. Appl. Prob. - 2004. - Vol. 36. - P. 49-524.

38. Chen A.Y., Pollet P., Li J., Zhang H. Markovian bulk-arrival and bulk-service queues with state-dependent control // Queueing Systems. - 2010. - Vol. 64. -P. 267-304.

39. Ching Wai-Ki, Ng Michael K. Markov chains: models, algorithms and applications. - New York: Springer, 2006. - (International Series in Operations Research & Management Science; Vol. 83).

40. Choi B.D., Shin Y.W., Ahn W.C. Retrial queues with collision arising from unslotted CSMA/CD protocol // Queueing Systems. - 1992. - Vol. 11. - P. 335-356.

41. Choi B.D., Park K.K., Pearce C.E.M. An M/M/l retrial queue with control policy and general retrial times // Queueing Systems. - 1993. - Vol. 14. - P. 275-292.

42. Choi B.D., Rhee K.H., Park K.K. The M/G/l retrial queue with retrial rate control policy // Probability in the Engineering and Informational Sciences. -1993. - Vol. 7. - P. 29-46.

43. Erlang A.K. L0sning af nogle Problemer fra Sandsynlighedsregningen af Betydning for de automatiske Telefoncentraler // Elektroteknikeren. - 1917. -Vol. 13. - P. 5-13.

44. Fayolle G. A simple telephone exchange with delayed feedback // Boxma O.J., Cohen J.W., Tijms H.C. (eds.) Teletraffic Analysis and Computer Performance Evaluation. - 1986. - Vol. 7. - P. 245-253.

45. Foss S.G., Kalashnikov V.V. Regeneration and renovation in queues // Queueing Systems. - 1991. - Vol. 8, No. 1. - P. 211-223.

46. Fricker C., Robert P., Tibi D. On the rate of convergence of Erlang's model // J. Appl. Probab. - 1999. - Vol. 36. - P. 1167-1184.

47. Halfin S., Whitt W. Heavy-traffic limits for queues with many exponential servers // Oper. Res. - 1981. - Vol. 29. - P. 567-588.

48. Islam M.A. A Birth-Death Process Approach to Constructing Multistate Life Tables // Bull. Malaysian Math. Sc. Soc. (Second Series). - 2003. - Vol. 26. - P. 101-108.

49. Kartashov N.V. Strong stable Markov chains. - Kiev: Utrecht, VSP, TBiMC, 1996.

50. Kijima M. On the largest negative eigenvalue of the infinitesimal generator associated with M/M/n/n queues // Oper. Res. Let. - 1990. - Vol. 9. - P. 59-64.

51. Klimenok V., Dudin A. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory // Queueing Systems. - 2006. -Vol. 54. - P. 245-259.

52. Lillo R.E. A G/M/1 queue with exponential retrial // TOP. - 1996. - Vol. 4. -P. 99-120.

53. Massey W.A., Whitt W. On analysis of the modified offered-load approximation for the nonstationary Erlang loss model // Ann. Appl. Probab. - 1994. - Vol. 4.

- P. 1145-1160.

54. Mandelbaum A., Massey W. Strong approximations for time-dependent queues // Math. Oper. Res. - 1995. - Vol. 20. - P. 33-64.

55. Margolius B.H. The matrices R and G of matrix analytic methods and the time-inhomogeneous periodic Quasi-Birth-and-Death process // Queueing Systems. -2008. - Vol. 60, No. 1-2. - P. 131-151.

56. Meyn S.P., Tweedie R.L. Computable bounds for geometric convergence rates of Markov chains // The Annals of Applied Probability. - 1994. - Vol. 4. - P. 981-1011.

57. Mitrophanov A. Stability and exponential convergence of continuous-time Markov chains //J. Appl. Probab. - 2003. - Vol. 40. - P. 970-979.

58. Morozov E. The stability of a non-homogeneous queueing system with regenerative input // Journal of Mathematical Sciences. - 1997. - Vol. 83, No. 3.

- P. 407-421.

59. Morozov E. A multiserver retrial queue: regenerative stability analysis // Queueing Systems. - 2007. - Vol. 56, No. 3-4. - P. 157-168.

60. Parthasarathy P.R., Krishna Kumar B. Density-dependent birth and death processes with state-dependent immigration // Mathematical and Computer Modelling. - 1991. - Vol. 15. - P. 11-16.

61. Semenova O., Dudin A.N., Karolik A.V., Maslakova O.V. Investigation of a BMAP/SM/1 Retrial System with Markovian Arrival Input of Disasters and Non-instantaneous Recovery of the Server // Computer Data Analysis and Modeling (Proceedings of the 6th International Conference). - Minsk, 2001. - Vol. 1. - P. 128-131.

62. Stepanov S.N. Markov Models with Retrials: The Calculation of Stationary Performance Measures Based on the Concept of Truncation // Mathematical and Computer Modelling. - 1999. - Vol. 30. - P. 207-228.

63. Van Doorn E.A., Zeifman A.I. On the speed of convergence to stationarity of the Erlang loss system // Queueing Syst. - 2009. - Vol. 63. - P. 241-252.

64. Van Doorn E.A., Zeifman A.I., Panfilova T.L. Bounds and asymptotics for the rate of convergence of birth-death processes // Theory of Probability and Its Applications. - 2010. - Vol. 54. - P. 97-113.

65. Wong E.W.M., Andrew L.L.H., Cui T., Moran B., Zalesky A., Tucker R.S., Zukerman M. Towards a bufferless optical internet // Journal of Lightwave Technology. - 2009. - Vol. 27, No. 14. - P. 2817-2833.

66. Yao S., Xue F., Mukherjee B., Yoo S.J.B., Dixit S. Electrical ingress buffering and traffic aggregation for optical packet switching and their effect on TCP-level performance in optical mesh networks // IEEE Communications Magazine. -2002. - Vol. 40, No. 9. - P. 66-72.

67. Naumov V., Gaidamaka Y., Yarkina N., Samouylov K. Matrix and Analytical Methods for Performance Analysis of Telecommunication Systems. - Cham: Springer, 2021.

68. Усов И.А., Ковалёв И.А., Зейфман А.И. Оценка погрешности аппроксимации неоднородных марковских цепей с непрерывным временем и катастрофами // Системы и средства информатики. - 2022. - Т. 32, № 1. -С. 34-45.

69. Zeifman A., Satin Y., Kovalev I., Kryukova A., Shilova G., Usov I. On the Study of Forward Kolmogorov System: the Corresponding Problems and

Bounds for Inhomogeneous Continuous-time Markov Chains and Models //

2022 International Conference on Information, Control, and Communication Technologies (ICCT). - Astrakhan, 2022. - P. 1-6.

70. Usov I., Satin Y., Zeifman A., Korolev V. Ergodicity Bounds and Limiting Characteristics for a Modified Prendiville Model // Mathematics. - 2022. - Vol. 10. - Art. 4401. - DOI: 10.3390/math10234401.

71. Usov I., Satin Y., Zeifman A. Estimating the Rate of Convergence of the PH/M/1 Model by Reducing to Quasi-Birth-Death Processes // Mathematics. - 2023. - Vol. 11. - Art. 1494. - DOI: 10.3390/math11061494.

72. Zeifman A., Usov I., Kryukova A., Satin Y., Shilova G. On the Approach to Obtaining Perturbation Bounds for a Class of Birth-Death Processes //

2023 7th International Conference on Information, Control, and Communication Technologies (ICCT). - 2023. - DOI: 10.1109/ICCT58878.2023.10347086.

73. Satin Y., Razumchik R., Usov I., Zeifman A. Numerical Computation of Distributions in Finite-State Inhomogeneous Continuous Time Markov Chains, Based on Ergodicity Bounds and Piecewise Constant Approximation // Mathematics. - 2023. - Vol. 11. - Art. 4265. - DOI: 10.3390/math11204265.

74. Satin Y., Razumchik R., Zeifman A., Usov I. On One Approach to Obtaining Estimates of the Rate of Convergence to the Limiting Regime of Markov Chains // Mathematics. - 2024. - Vol. 12, No. 17. - Art. 2763. - DOI: 10.3390/math12172763.

75. Usov I., Zeifman A., Satin Y., Shilova G., Sipin A. Bounds on the Rate of Convergence for a Nonstationary Two-Class Priority Queuing System // 2024 8th International Conference on Information, Control, and Communication Technologies (ICCT). - 2024. - P. 1-7. - DOI: 10.1109/ICCT62929.2024.10874864.

76. Zeifman A., Usov I., Kryukova A., Satin Y. Bounds on the Rate of Convergence for a class of Birth-death Process with Two Types of Catastrophes // 2024 8th International Conference on Information, Control, and Communication Technologies (ICCT). - Vladikavkaz, 2024. - P. 1-6.

77. Usov I.A., Satin Y.A., Zeifman A.I. On the rate of convergence and limiting characteristics for a quasi-birth-death process // Informatics and its Applications. - 2023. - Vol. 17, No. 3. - P. 49-57.

78. Усов И.А., Сатин Я.А., Зейфман А.И., Королёв В.Ю. Некоторые оценки для одного класса марковских процессов типа рождения и гибели с двумя типами катастроф // Информатика и её применения. - 2025. - Т. 19, № 1. -С. 67-73.

79. Усов И.А., Зейфман А.И., Сатин Я.А. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для модели Прендевилля методом Рунге-Кутта 4-го порядка // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024618655. - 2024.

80. Irvani S.M.R., Luangkesorn K.L., Simchi-Levi D. On assemble to order systems with flexible customers // IIE Trans. - 2010. - Vol. 35. - P. 389-403.

81. Fadiloglu M.M., Yeralan S. Models of production lines as quasi-birth-death processes // Math. Comput. Model. - 2002. - Vol. 35. - P. 913-930.

82. Kim Y.Y., Li S. Performance evaluation of packet data services over cellular voice networks // Wirel. Netw. - 1999. - Vol. 5. - P. 211-219.

83. Latouche G., Ramaswami V. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling. - Philadelphia: American Statistical Association and the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. - P. 8-18.

84. Wallace V. The Solution of Quasi Birth and Death Process Arising from Multiply Access Computer Systems: Ph.D. Thesis. - University of Michigan, 1969.

85. Breuer L., Dudin A., Klimenok V. A Retrial BMAP/PH/N System // Queueing Syst. - 2002. - Vol. 40. - P. 433-457.

86. Dudin A.N., Sun B. A multiserver MAP/PH/N system with controlled broadcasting by unreliable servers // Aut. Control Comp. Sci. - 2009. - Vol. 43. - P. 247-256.

87. Chesoong K., Klimenok V.I., Dudin A.N. Priority tandem queueing system with retrials and reservation of channels as a model of call center // Comput. Ind. Eng.

- 2016. - Vol. 96. - P. 61-71.

88. Kroese D.P., Scheinhardt W.R.W., Taylor P.G. Spectral properties of the tandem Jackson network, seen as a quasi-birth-and-death process // Ann. Appl. Probab. - 2004. - Vol. 14. - P. 2057.

89. Motyer A.J., Taylor P.G. Decay rates for quasi-birth-and-death processes with countably many phases and tridiagonal block generators // Adv. Appl. Probab.

- 2006. - Vol. 38. - P. 522.

90. Satin Y.A. On the bounds of the rate of convergence for Mt/Mt/1 model with two different requests // Syst. Means Inform. - 2021. - Vol. 31. - P. 17-27.

91. Kovalev I.A., Satin Y.A., Sinitcina A.V., Zeifman A.I. On an approach for estimating the rate of convergence for nonstationary Markov models of queueing systems // Inform. Appl. - 2022. - Vol. 16. - P. 75-82.

92. Zeifman A., Satin Y., Kovalev I., Razumchik R., Korolev V. Facilitating Numerical Solutions of Inhomogeneous Continuous Time Markov Chains Using Ergodicity Bounds Obtained with Logarithmic Norm Method // Mathematics. -2021. - Vol. 9. - Art. 42. - DOI: 10.3390/math9010042.

93. Zeifman A., Satin Y., Kryukova A., Razumchik R., Kiseleva K., Shilova G. On three methods for bounding the rate of convergence for some continuous-time Markov chains // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 2020. - Vol. 30. - P. 251-266.

94. Satin Y., Morozov E., Nekrasova R. Upper bounds on the rate of convergence for constant retrial rate queueing model with two servers // Statistical Papers. -2018. - Vol. 59. - P. 1271-1282.

95. Ковалёв И.А., Сатин Я.А., Синицина А.В., Зейфман А.И. Об одном подходе к оцениванию скорости сходимости нестационарных марковских моделей систем обслуживания // Системы и средства информатики. - 2022. - Т. 16, № 3. - С. 75-82.

96. Lv S. Multi-Machine Repairable System with One Unreliable Server and Variable Repair Rate // Mathematics. - 2021. - Vol. 9. - Art. 1299. - DOI: 10.3390/math9111299.

97. Zeifman A., Korolev V., Satin Y. Two approaches to the construction of perturbation bounds for continuous-time Markov chains // Mathematics. - 2020.

- Vol. 8, No. 2. - Art. 253. - DOI: 10.3390/math8020253.

98. Granovsky B.L., Zeifman A.I. Nonstationary Queues: Estimation of the Rate of Convergence // Queueing Systems. - 2004. - Vol. 46. - P. 363-388.

99. Tarabia M.K., Alqady A., Alshreef Gh. Transient Analysis of Two-Class Priority Queuing System // Journal of Statistics Applications & Probability. - 2024. -Vol. 13. - P. 587.

100. Zeifman A., Korotysheva A., Satin Y., Korolev V., Shorgin S., Razumchik R. Ergodicity and perturbation bounds for inhomogeneous birth and death processes with additional transitions from and to origin // Int. J. Appl. Math. Comp. -2015. - Vol. 25. - P. 787-802.

101. Зейфман А.И., Коротышева А.В., Королев В.Ю., Сатин Я.А. Оценки погрешности аппроксимаций неоднородных марковских цепей с непрерывным временем // Теория вероятностей и ее применения. - 2016.

- Т. 61, вып. 3. - С. 563-569.

102. Zeifman A., Korolev V., Satin Y., Korotysheva A., Bening V. Perturbation bounds and truncations for a class of Markovian queues // Queueing Systems. -2014. - Vol. 76, No. 2. - P. 205-221.

103. Сатин Я.А., Зейфман А.И., Коротышева А.В. О скорости сходимости и усечения для одного класса марковских систем обслуживания // Теория вероятностей и ее применения. - 2012. - Т. 57, вып. 3. - С. 611-621.

104. Zeifman A.I., Satin Ya., Shilova G., Korolev V., Bening V., Shorgin S. On truncations for SZK model // Proceedings of 28th European Conference on Modelling and Simulation. - Brescia: ECMS, 2014. - P. 577-582.

105. Зейфман А.И., Сатин Я.А., Ковалев И.А. Об одной нестационарной модели обслуживания с катастрофами и тяжелыми хвостами // Информатика и ее применения. - 2021. - Т. 15, вып. 2. - С. 19-24.

106. Zeifman A., Korotysheva A., Satin Y., Razumchik R., Korolev V., Shorgin S. Ergodicity and truncation bounds for inhomogeneous birth and death processes with additional transitions from and to origin // Stochastic Models. - 2017. -Vol. 33. - P. 598-616.

107. Zeifman A., Korotysheva A. Perturbation Bounds for Mt/Mt/N Queue with Catastrophes // Stochastic Models. - 2012. - Vol. 28, No. 1. - P. 49-62.

108. Granovsky B.L., Zeifman A.I. Nonstationary Queues: Estimation of the Rate of Convergence // Queueing Systems. - 2004. - Vol. 46. - P. 363-388.

109. Zeifman A.I. Upper and lower bounds on the rate of convergence for nonhomogeneous birth and death processes // Stochastic Processes and their Applications. - 1995. - Vol. 59. - P. 157-173.

110. Зейфман А.И., Бенинг В.Е., Соколов И.А. Марковские цепи и модели с непрерывным временем. - М.: Элекс-КМ, 2008. - 168 с.

111. Zeifman A., Leorato S., Orsingher E., Satin Ya., Shilova G. Some universal limits for nonhomogeneous birth and death processes // Queueing Systems. -2006. - Vol. 52. - P. 139-151.

112. Mitrophanov A.Y. The Arsenal of Perturbation Bounds for Finite Continuous-Time Markov Chains: A Perspective // Mathematics. - 2024. - Vol. 12. - Art. 1608. - DOI: 10.3390/math12111608.

113. Giorno V., Nobile A. On a class of birth-death processes with time-varying intensity functions // Appl. Math. Comput. - 2020. - Vol. 379. - Art. 125255. -DOI: 10.1016/j.amc.2020.125255.

114. Viswanath N. Transient study of Markov models with time-dependent transition rates // Oper. Res. - 2020. - Vol. 1. - P. 35.

115. Schwarz J.A., Selinka G., Stolletz R. Performance analysis of time-dependent queueing systems: Survey and classification // Omega. - 2016. - Vol. 63. - P. 170-189.

116. Kwon S., Gautam N. Guaranteeing performance based on time-stability for energy-efficient data centers // IIE Trans. - 2016. - Vol. 48. - P. 812-825.

117. Ivanova D.V., Markova E.V., Shorgin S.Y., Gaidamaka Y.V. Priority-based eMBB and URLLC traffic coexistence models in 5G NR industrial deployments // Inform. Appl. - 2023. - Vol. 17. - P. 64-70.

118. Samoylov A.K., Platonova A.A., Shorgin V.S., Gaidamaka Y.V. On modeling the effects of multicast traffic servicing in 5G NR networks // Inform. Appl. -2023. - Vol. 17. - P. 71-77.

119. Daraseliya A.V., Sopin E.S., Moltchanov D.A., Samouylov K.E. Analysis of 5G NR base stations offloading by means of NR-U technology // Inform. Appl. - 2021. - Vol. 15. - P. 98-111.

120. Sopin E.S., Maslov A.R., Shorgin V.S., Begishev V.O. Modeling insistent user behavior in 5G New Radio networks with rate adaptation and blockage // Inform. Appl. - 2023. - Vol. 17. - P. 25-32.

121. Rasmi K., Jacob M.J., Dudin A., Krishnamoorthy A. Queueing Inventory System with Multiple Service Nodes and Addressed Retrials from a Common Orbit // Methodol. Comput. Appl. Probab. - 2024. - Vol. 26. - P. 1-15.

122. D'Apice C., D'arienzo M.P., Dudin A., Manzo R. Optimal Hysteresis Control via a Queuing System with Two Heterogeneous Energy-Consuming Servers // Mathematics. - 2023. - Vol. 11. - Art. 4515. - DOI: 10.3390/math11214515.

123. Dudin A.N., Dudin S.A., Klimenok V.I., Dudina O.S. Stability of Queueing Systems with Impatience, Balking and Non-Persistence of Customers // Mathematics. - 2024. - Vol. 12. - Art. 2214. - DOI: 10.3390/math12142214.

124. Barabanova E.A., Vishnevsky V.M., Vytovtov K.A., Semenova O.V. Methods of analysis of information-measuring system performance under fault conditions // Phys. Bases Instrum. - 2022. - Vol. 11. - P. 49-59.

125. Wang W., Zhu Q. Stability analysis of semi-Markov switched stochastic systems // Automatica. - 2018. - Vol. 94. - P. 72-80.

126. Earnshaw B.A., Keener J.P. Global asymptotic stability of solutions of nonautonomous master equations // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. - 2010. - Vol. 9. - P. 220-237.

127. Down D., Meyn S.P., Tweedie R.L. Exponential and uniform ergodicity of Markov processes // Ann. Probab. - 1995. - Vol. 23. - P. 1671-1691.

128. Meyn S.P., Tweedie R.L. Markov Chains and Stochastic Stability. -Berlin/Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2012.

129. Kartashov N.V. Strongly stable Markov chains //J. Soviet Math. - 1986. -Vol. 34. - P. 1493-1498.

130. Usov I., Satin Y., Zeifman A., Korolev V. Ergodicity Bounds and Limiting Characteristics for a Modified Prendiville Model // Mathematics. - 2022. - Vol. 1. - Art. 4401. - DOI: 10.3390/math10234401.

131. Kovalev I.A., Satin Y.A., Sinitcina A.V., Zeifman A.I. On an approach for estimating the rate of convergence for nonstationary Markov models of queueing systems // Inform. Appl. - 2022. - Vol. 16. - P. 75-82.

132. Zeifman A.I., Satin Y.A., Kovalev I.A. On one nonstationary service model with catastrophes and heavy tails // Inform. Appl. - 2021. - Vol. 15. - P. 20-25.

133. Van Doorn E.A. Conditions for exponential ergodicity and bounds for the decay parameter of a birth-death process // Adv. Appl. Probab. - 1985. - Vol. 17. - P. 514-530.

134. Fadiloglu M.M., Yeralan S. Models of production lines as quasi-birth-death processes // Math. Comput. Model. - 2002. - Vol. 35. - P. 913-930.

135. Zeifman A.I., Korolev V.Y. On perturbation bounds for continuous-time Markov chains // Stat. & Prob. Let. - 2014. - Vol. 88. - P. 66-72.

136. Zeifman A.I. Stability for continuous-time nonhomogeneous Markov chains // Lecture Notes in Mathematics. - 1985. - Vol. 1155. - P. 401-414.

137. Satin Y.A., Kryukova A.L., Oshushkova V.S., Zeifman A.I. On monotonicity of some classes of Markov chains // Информатика и ее применения. - 2022. -Т. 16, № 2. - С. 27-34.

138. Зейфман А.И., Королев В.Ю., Разумчик Р.В., Сатин Я.А., Ковалев И.А. О предельных характеристиках для систем обслуживания с исчезающими возмущениями // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. - 2022. - Т. 506, № 1. - С. 83-88.

139. Chen A., Wu X., Zhang J. Markovian bulk-arrival and bulk-service queues with general state-dependent control // Queueing Syst. - 2020. - P. 1-48.

140. Van Doorn E.A. Conditions for exponential ergodicity and bounds for the decay parameter of a birth-death process // Advances in Applied Probability. - 1985. - Vol. 17. - P. 514-530.

141. Mitrophanov A.Y. Stability and exponential convergence of continuous-time Markov chains //J. Appl. Prob. - 2003. - Vol. 40, No. 4. - P. 970-979.

142. Giorno V., Nobile A.G. A Time-Inhomogeneous Prendiville Model with Failures and Repairs // Mathematics. - 2022. - Vol. 10. - Art. 251. - DOI: 10.3390/math10020251.

143. Zeifman A.I., Satin Y.A., Korolev V. Two Approaches to the Construction of Perturbation Bounds for Continuous-Time Markov Chains // Mathematics. -2020. - Vol. 8. - Art. 253. - DOI: 10.3390/math8020253.

144. Zeifman A.I. Quasi-ergodicity for non-homogeneous continuous-time Markov chains //J. Appl. Probab. - 1989. - Vol. 26. - P. 643-648.

145. Zeifman A., Satin Y., Kovalev I., Ammar S.I. Ergodicity and Perturbation Bounds for Mt/Mt/1 Queue with Balking, Catastrophes, Server Failures and Repairs // RAIRO-Oper. Res. - 2021. - Vol. 55. - P. 2223-2240.

146. Usov I.A., Kovalev I.A., Zeifman A.I. Truncation bounds for inhomogeneous Markov chains with continuous time and catastrophes // Системы и средства информатики. - 2022. - Т. 32. - С. 34-45.

147. Sinitcina A., Satin Y., Zeifman A., Shilova G., Sipin A., Kiseleva K., Panfilova T., Kryukova A., Gudkova I., Fokicheva E. On the Bounds for a Two-Dimensional Birth-Death Process with Catastrophes // Mathematics. - 2018. - Vol. 6. - DOI: 10.3390/math6050080.

148. Giorno V., Nobile A., Spina S. On some time non-homogeneous queueing systems with catastrophes // Appl. Math. - 2014. - Vol. 245. - P. 220-234.

149. Chen A.Y., Renshaw E. Markov bulk-arriving queues with state-dependent control at idle time // Adv. Appl. Prob. - 2004. - Vol. 36. - P. 499-524.

150. Kumar B.K. Transient solution of an M/M/l queue with catastrophes // Comput. Math. Appl. - 2000. - Vol. 40. - P. 1233-1240.

151. Brockwell P.J. Birth, immigration and catastrophe processes // Adv. Appl. Prob. - 1982. - Vol. 14, No. 4. - P. 709-731.

152. Di Crescenzo A. A double-ended queue with catastrophes and repairs, and a jump-diffusion approximation // Methodol. Comput. Appl. Prob. - 2012. - Vol. 14. - P. 937-954.

153. Favati P., Meini B. Relaxed functional iteration techniques for the numerical solution of M/G/l type Markov chains // BIT. - 1998. - Vol. 38. - P. 510-526.

154. Latouche G., Ramaswami V. A logarithmic reduction algorithm for quasi-birth-and-death processes //J. Appl. Probab. - 1993. - Vol. 30. - P. 650-674.

155. Latouche G., Ramaswami V. The PH/PH/l queue at epochs of queue size change // Queueing Systems Theory Appl. - 1997. - Vol. 25. - P. 97-114.

156. Maier R.S. The algebraic construction of phase-type distributions // Comm. Statist. Stochastic Models. - 1991. - Vol. 7. - P. 573-602.

157. Li J. Birth-Death Processes with Two-Type Catastrophes // Mathematics. -2024. - Vol. 12. - Art. 1468. - DOI: 10.3390/math12101468.