Исследование сходимости формулы Карлемана-Голузина-Крылова в классических метриках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Барт, Виктор Александрович

  • Барт, Виктор Александрович
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2003, Санкт-Петербург
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 128
Барт, Виктор Александрович. Исследование сходимости формулы Карлемана-Голузина-Крылова в классических метриках: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Санкт-Петербург. 2003. 128 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Барт, Виктор Александрович

Оглавление

Введение.

0.1 Общий обзор работы.

0.2 Обозначения.

0.3 Свойства функции Q.

1 Оценки норм операторов (CGK)a на диск-алгебре.

1.1 Остаток формулы (CGK). Формулировка основного результата.

1.1.1 Оценка функционалов на пространстве А.

1.1.2 Функции Ландау.

1.2 Обозначения.

1.3 Доказательство утверждения (а) Теоремы 1.

1.4 Доказательство утверждения (б) Теоремы 1.

1.4.1 Разбиение дуги La.

1.4.2 Оценка снизу интеграла С£т(?<т(1)|.

1.5 Вспомогательное Предложение.

1.6 Дополнение к Главе 1: о точности пункта а) в Теореме 1.

2 Оценки норм операторов (CGK)(Т на пространстве Я1.

2.1 Формулировка основного результата.

2.2 Пример Рисса.

2.3 Доказательство теоремы 2.

2.3.1 Обозначения.

2.3.2 Подготовка.

2.3.3 Оценка интеграла III.

3 Формула Карлемана-Голузина-Крылова и аналитические функции, гладкие вплоть до границы.

3.1 Некоторые обозначения.

Теорема Харди-Литтлвуда.

3.2 Подготовительные утверждения.

3.3 Основная теорема о гладкой сходимости.

3.4 О точности оценки в Теореме 3.

3.5 Сходимость формулы (CGK) в пространствах функций высокой гладкости.

4 Задача Маккина о весовой тригонометрической аппроксимации и формулы типа (CGK).

4.1 Введение и дополнительные обозначения. Конструкция Сеге.

4.1.1 Классическая формула (CGK) и весовая аппроксимация.

4.1.2 Обозначения.

4.1.3 Внешние функции.

4.1.4 Возможность весовой аппроксимации: доказательство.

4.1.5 Об одном вопросе Маккина.

4.2 Подготовка к доказательству основной теоремы.

4.2.1 Лемма Патила.

4.2.2 Веса, отделенные от нуля и близкие к данному весу.

4.3 Явная конструкция весовых приближений функциями класса Харди.

4.3.1 Ганкелевы операторы, осуществляющие весовую аппроксимацию.

4.3.2 Аппроксимация с неограниченным весом.

4.3.3 Весовая аппроксимация "положительной"гармоники линейными комбинациями "отрицательных" задача Маккина).

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование сходимости формулы Карлемана-Голузина-Крылова в классических метриках»

0.1 Общий обзор работы.

Формула Карлемана-Голузина-Крылова (CGK) восстанавливает аналитическую в единичном круге D функцию / класса Харди Н1 (Ю>) по ее граничным значениям на множестве Е С Т = {z : \z\ = 1} положительной меры Лебега. А именно, полагая где z ЕШ>, а > 0, Q — внешняя функция в D, причем выполнено равенство

Формула (CGK) была впервые построена в статье [1], где, в частности показано, что предел в (CGK) можно понимать в смысле равномерной сходимости на компактах круга D. Она подробно описана также в монографиях [2, 3, 4]. В книге [3] значительное внимание уделено многомерным вариантам формулы (CGK). В статье [5] Д.Патил доказал, что сходимость в (CGK) имеет место по норме пространства Харди Нр, 1 < р < оо, если / € Нр. В работе [б] описаны модификации (CGK) (в частности, для Е С DUT), применимые для доказательств теорем единственности для различных классов аналитических функций, гладких вплоть до границы.

Q(z)\ = е, п.в. на Е 1, п.в. на Т \ Е, имеем f(z) = lim (CGK)a{f){z).

CGK)

В монографии [4] автор ставит следующие два вопроса: имеет ли место аналог теоремы Патила для сходимости по норме диск-алгебры А (соответственно, Я1), если / е А (соответственно, / G Я1)?

Ответам на эти два вопроса посвящены Глава 1 и Глава 2 диссертации, соответственно.

Надо сказать, что такая постановка вопросов требует уточнения. Дело в том, что из известных свойств интегрального оператора Коши, участвующего в (CGK), и из разрывности функции Q следует, что, вообще говоря, для / е А (соответственно, / € Я1), выражение под знаком предела в (CGK) может не принадлежать А (соответственно, Я1).

Тем не менее, для функций из этих пространств интерес представляет сходимость формулы в точках окружности Т, отделенных от Е , то есть в метриках, соответственно, С{К) и Ll(K), где К С Т\ U, U — окрестность множества Е. Именно эти задачи и решены в Главах 1 и 2.

Цель следующей Главы 3 — исследовать сходимость описанного классического варианта формулы (CGK) на известных пространствах аналитических в круге функций с граничными значениями на Т, обладающими определенной гладкостью. Именно, нас будет интересовать принадлежность к пространству Липшица самих функций либо их производных нескольких порядков. В этой главе Е будет дугой окружности.

По той же причине (разрывность интегрального ядра (CGK) в концах дуги Е) естественно рассматривать сходимость формулы в простанствах гладких функций на (компактных) дугах, не содержащих двух этих точек.

Интерес представляют следующие 3 вопроса.

1. Сходится ли формула (CGK) в метрике Липшица на компактной дуге окружности Т, не содержащей концов дуги Е, при условии, что восстанавливаемая функция / удовлетворяет условию Липшица того же или большего порядка на всей Т?

2. Что можно сказать о сходимости к—х производных приближающих функций в формуле (CGK), если /(*> е Lipa{Т) или /W е Lip (а + е)(Т)?

3. Какова скорость сходимости (или расходимости)?

Конструкцию (CGK) можно воспринимать как своеобразную "аппроксимативную единицу"("сингулярный интеграл"— в том смысле, в каком этот термин понимается в монографии [17]). Эта точка зрения позволяет предвидеть результаты глав 1 — 3, но мало помогает в их доказательстве, так как операторы (CGK)(Г довольно далеки от сверточных, и оценки сходимости (или расходимости) требуют довольно специальной техники, которая, к тому же, должна учитывать аналитичность изучаемых функций.

Два основных результата первой и второй глав — Теоремы 1 и 2 — в основной своей части состоят в том, что даже "ослабленной"сходимости формулы (CGK), то есть сходимости в метриках, соответственно, Ьг(К) и С (К), где К С T\U, U — окрестность множества Е, может не быть для некоторых функций из Я:(Р) и А, соответственно.

Тем самым, получен ответ на вопросы Партингтона [4].

В Главе 3 изучена сходимость формулы (CGK) в классических пространствах аналитических функций с гладкими метриками (пространствах Липшица и пространствах функций более высокой граничной гладкости), оценена ее скорость.

С формулой Карлемана-Голузина-Крылова оказывается связан еще один вопрос.

Рассмотрим задачу весового приближения функциями с полуограниченным спектром на прямой R. Решение этой задачи доставляет следующая теорема М. Г. Крейна [7, 8].

Теорема (М. Г. Крейн).

Пусть Д — неотрицательная функция, заданная и суммируемая на R. Следующие утверждения равносильны: оо —ОО

2) для любых е > 0 и а > 0 найдется тригонометрическая сумма S вида N

S(x) = J2c»ei<TkX> k = lt.yN, k=1 удовлетворяющая неравенству

00

J \l - S(x)\2A(x)dx < е. оо

Аналогичные результаты, касающиеся весовых приближений на окружности, принадлежат Г. Сеге [9, 10] и А. Н. Колмогорову [11]. Приближения тригонометрическими суммами в весовых ^-пространствах изучали Н. Н. Ахиезер [12] и Г. Ц. Тумаркин [13]; поточечную весовую аппроксимацию в L°°(T) изучал Н. К. Никольский [14].

Известные доказательства теоремы Крейна и ее аналогов основаны как правило на соображениях двойственности и не дают явного выражения аппроксимирующих тригонометрических сумм. В связи с этим (а также в связи с вероятностными задачами прогноза) в статье Маккина [15] была поставлена задача построения эффективных формул, определяющих суммы S, о которых идет речь в теореме Крейна. Решению этой задачи (см. также [16]) и посвящена Глава 4.

Нужно сказать, однако, что для весовых приближений на окружности Т такие формулы содержались уже в работах Сеге. С помощью замены переменной их нетрудно преобразовать в аналогичные формулы для R (см. ниже обсуждение в обзоре п.4.1.5 диссертации).

В п.4.3 Главы 4 диссертации мы предлагаем иную конструкцию.

В статье [6] было отмечено, что с учетом работы Патила [5] формулу (CGK) (и ее аналог на вещественной прямой) можно воспринимать как конструктивное приближение функции / € Н2(Х), где X = Т или X = К, последовательностью функций класса Я£(Х) в весовой метрике 1?{Х; Д), если в качестве веса Д взять характеристическую функцию множества СЕ. Естественно возникает вопрос о такой модификации формулы (CGK), которая осуществляла бы подобное приближение при любом суммируемом на X весе Д, удовлетворяющем условию 1) теоремы Крейна, и тем самым, по существу, решала задачу Маккина.

В Главе 4 с помощью модификации формулы (CGK) задача Маккина [15] решена, то есть построена последовательность ганкелевых операторов, действующих в весовом пространстве ЯР(Д) на прямой (или на единичной окружности), значения которых приближают заданную гармонику егах (соотвтственно, za) а > 0, при условии расходимости логарифмического интеграла от веса Д. Диссертация состоит из четырех глав, разбитых на пункты.

Обзор диссертации по главам.

В пп.0.2 Введения собраны обозначения, общие для всех разделов диссертации. Вот некоторые из них.

Буква т обозначает нормированную меру Лебега на единичной окружности

Пусть I — интервал, 7 : I С — гладкий простой путь, М С 7(/), / — гладкая функция, суммируемая (относительно длины дуги) на кривой 7(/). Введем обозначение для г £С\т(/).

Везде ниже Е будет обозначать компактную дугу, Е = Е$ С Т, такую, что

Т \ Е = СЕ = {eie : \в\ < 6}, 0 < S < тг; Е° = Е\ {e±i<5}. Если / € Я^В), то Т , . d6 io dm(z) = —, z = e м для z 6 Р и a > О = Q-{г) ■ cgr{z) + Q~*(z) • Csc%(z) = (CGK), (f)(z) + Ra{f){z) = (CGK)l (/) + Я* (/). (1)

В качестве Q, вообще говоря, можно взять любую внешнюю в круге ЕР функцию, для которой |<2| = 1 почти всюду на СЕ,

Jlog\Q \ dm > 0. Е

Эти условия обеспечивают равенство lim Д*(/) = 0 а—юо при \z\ < 1. Мы же остановимся на классическом варианте формулы (CGK), положив \Q\ = е на множестве Е.

В п.0.3 Введения доказаны основные свойства функции Q, на которые опираются доказательства различных разделов диссертации.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Барт, Виктор Александрович, 2003 год

1. Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Карлемана и ее приложение к аналитическому продолжению функций // Мат.сб., 1933,т.40, N.2, С.144-149.

2. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. — М.; JL: Го-стехтеоретиздат, 1950, 336с.Privalov I.I. Randeigenschaften analytischer Funktionen. — Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1956.)

3. Айзенберг JI.A. Формулы Карлемана в комплексном анализе. — Новосибирск: Наука, 1990. 246с.

4. Partington R.J. Interpolation, Identification, and Sampling. — Clarendon Press, Oxford. 1997. - 267p.

5. Patil D.I. Representation of Hp functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. -78. N5. - P.617-620.

6. Виденский И.В., Гавурина E.M., Хавин В.П. Аналоги интерполяционной формулы Карлемана-Голузина-Крылова.// Теория операторов и теория функций, 1983, Вып. 1, С.21-31.

7. Крейн М. Г. Об одном обобщении исследований G. Szego, В. И. Смирнова и А. Н. Колмогорова//Докл. ЛИ СССР. 1945. - 46, N3. - С. 1378-1409.

8. Крейн М. Г. Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова // Там же. N8. -С 339-341.

9. Szego G. Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Eben geh5ren //Malh. Z.- 1921.-9.-S. 218-247.

10. Szego G. Uber die Entwickelung einer analytischen Funktion nach den Polynomen eines Orthogonalsystems //Math. Ann. 1921.-82.-S. 188-212.

11. Колмогоров A. H. Стационарные последовательности в гильбертовском пространстве// Бюлл. Моск. ун-та. Математика. 1941. - 2, вып.б. - С. 1 - 40.

12. Ахиезер Н. И. Об одном предложении А. Н. Колмогорова и об одном предложении М.Г. Крейна// Докл. АН СССР.- 1945- 50. N1. С. 35 - 39.

13. Тумаркин Г. Ц. Приближение в среднем функций на спрямляемых кривых // Мат. сб. -1957.-42.-С. 79- 128.

14. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980. - 384с.Nikolskii N.K. Treatise on the Shift Operator. Spectral Function Theory. -Springer-Verlag, Berlin, 1986)

15. McKean H. P. Some questions about Hardy functions // Lect. Notes Math. -N1043. 1984. - P. 85 - 86.

16. Никольский H. К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1974. - 70. - С. 1 - 270.

17. Барт В.А., Хавин В.П. Теоремы Сеге-Колмгорова-Крейна о весовой тригонометрической аппроксимации и формулы карлемановского типа.// Укр.мат.журн., 1994, т.46, 1, С.100-127.

18. Барт В.А. Оценки норм операторов Карлемана-Голузина-Крылова в диск-алгебре и пространстве Харди Н1// ПМА, Выпуск 21, декабрь 2000 — С.45-67

19. Натансон И.П. О приближении к многократно дифференцируемым периодическим функциям при помощи сингулярных интегралов//ДАН СССР, 1952, 82, N.2, С.337-339.

20. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977, 512с.

21. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984, 336с. (Koosis P. Introduction to Нр Spaces. Cambridge Univ.Press, Cambridge,1998.)

22. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М. : Наука, 1966, 628с.Goluzin, G.M. Geometric theory of functions of a complex variable. — Providence, R.I.: American Mathematical Society. VI, 676 pp. (1969).)

23. Duren P. Theory of Hp Spaces. — New York, Academic Press, 1970.

24. Landau E. Darstellung und Begriindung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin, 1929.

25. Полиа Г.,Cere Г. Задачи и теоремы из анализа, Ч. 1. М.: Наука, - 1978. -392с.

26. Хавинсон С.Я. Оценка сумм Тейлора ограниченных аналитических функций в круге. ДАН СССР, t.LXXX, е 3, 1951. - С.ЗЗЗ-ЗЗб.

27. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Наука, 1961 936с.Bari N.K. A Treatise on Trigonometric Series. Pergamon,NewYork,1964.)

28. Харди Г.Х., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. М.: Госиздатфизматлит, 1962. - 156с.

29. Carleman Т. Les fonctions quasianalytiques. Paris: Hermann, 1926. - 116p.

30. Koosis P. The Logarithmic Integral: In 2 Vol. Cambridge: Univ. press, 1988. -Vol. 1. - 616 p.

31. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.; Л.: Наука, 1964. - 438 с.

32. Барт В. А. Формула Карлемана-Голузина-Крылова и аналитические функции, гладкие вплоть до границы// Препринты ПОМИ, 10/2003, 35с.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.