Исследование устойчивости решений уравнения Хилла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Тарамова, Хеди Сумановна

• Тарамова, Хеди Сумановна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тарамова, Хеди Сумановна

Глава 1. Определения и теоремы теории устойчивости решений уравнения Хилла.

История вопроса.

Основные теоремы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование устойчивости решений уравнения Хилла»

Основной результат диссертации. .14

Соотношение с другими результатами.19

Глава 2. Исследование устойчивости решений уравнения Хилла с помощью принципа биоптимальности.22

Постановка задачи.22

Характеристические функции.28

Особые оптимальные управления.35

Вид оптимального управления.37

Нахождение константы Ляпунова.53

Критерий устойчивости и неустойчивости.54

Глава 3. Исследование устойчивости решений уравнения Хилла с помощью оценки константы Ляпунова.60

Постановка проблемы.60

Нахождение вспомогательной функции S(n).63

Сравнение функций S(ri) и вх(п).68

Нахождение вспомогательной функции S*(n).72

Сравнение функций S*(n) и #,(/?).76

Критерий устойчивости и неустойчивости.81

Заключение.83

Обозначения.86

Библиографический список использованной литературы.88

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Тарамова, Хеди Сумановна

Заключение

В данной работе исследована задача устойчивости решений уравнения Хилла

У + У№ = 0, f(t + T) = f(t), ДО е С(—оо;+<ю). (4.1)

В настоящее время существует более сотни различных теорем устойчивости решений уравнения Хилла (4.1), большинство из которых доказаны путем исследования зависимости значения константы Ляпунова от различных характеристик функции /(0.

В диссертации задача устойчивости решений уравнения Хилла (4.1) исследована с помощью принципа биоптимальности на основе пяти характеристик функции /(t): т т t

Ту a = inf /(/), Ь= sup /(/), 0О = \f(t)dt, в, = \dt\f{r)dT. ф,г] I I i

В результате проведенного исследования сузились те пределы значений константы Ляпунова, которые найдены на основе лишь четырех характеристик функции /(/): Т, а, Ъ, О0.

Ни один из известных критериев не решает вопрос устойчивости решений уравнения Хилла (4.1) при ДО=sin/ • Результаты данной работы позволяют ответить и на этот вопрос.

Получены условия, при которых пределы J, J константы Ляпунова удовлетворяют соотношениям

J> 1 или J<— 1 или -1<У <7<1.

Тогда, на основании теории Флоке, однозначно решатся задача устойчивости решений уравнения (4.1).

Если же окажется, что

-le[j, Jj или то исследование может быть продолжено по использованной в данной работе схеме с добавлением еще одной характеристики функции ДО- В качестве шестой характеристики можно взять, например, величину

62 = \dt\dtx)f(T)dT. ООО

В результате решения соответствующей задачи оптимизации будут найдены наибольшее J и наименьшее J значения константы Ляпунова изучаемого уравнения Хилла. Если полученные пределы окажутся такими, что возможное значение константы Ляпунова будет принадлежать интервалам (-oo,— l) или (l,+ oo) то все решения исследуемого уравнения Хилла будут неограниченными. А если окажется, что возможное значение константы Ляпунова принадлежит интервалу (-l;l), то — ограниченными. В остальных случаях — исследование может быть опять продолжено по приведенной схеме. В тех случаях, когда на основе четырех характеристик функции f it): т

Т, а = inf ДО, Ъ= sup ДО, 0„ = Г не удается решить задачу устойчивости решений уравнения Хилла (4.1), в качестве дополнительной характеристики, как показали результаты второй главы диссертации, следует взять повторный интеграл т t ex = \dt\fiv)dx. о о

В частности, исследование задачи устойчивости решений уравнения (4.1) при ДО = sin/ с помощью принципа биоптимальнсти на основе четырех характеристик функции ДО: а->Ь,Т,в0, привело к критическому случаю, т.е. — le jj, jj. Введение новой характеристики вх функции fit) позволило сузить интервал, которому принадлежит возможное значение константы Ляпунова, что дало возможность однозначно решить задачу устойчивости решений уравнения (4.1)при ДО = sin/.

В том случае, когда интервал, которому принадлежит возможное значение константы Ляпунова для некоторого коэффициента fit) уравнения (4.1), определенное при пяти параметрах функции fit): а,Ь,Т,в0, 0Х, содержит -1 или 1, то следует ввести новую характеристику функции fit). В качестве дополнительной характеристики, как показали результаты второй главы, целесообразно взять интеграл e2=T\dt)dtx)f{T)dT. ооо

На п -м шаге следует рассматривать следующие характеристики функции

ЛО:

Т, а= inf ДО, Ъ = sup fit), 0О = ]fit)dt, вх = )dt\fir)dx, i 0J s

T t tx T t h e2 = \dt\dtx ]fir)dr,en = \dt\dtnx.]fiv)dz .

0 0 0 0 0 0 v-.-'

Л+1

На каждом шаге интервал, которому принадлежит возможное значение константы Ляпунова изучаемого уравнения (4.1), будет сужаться. Если значение константы Ляпунова отлично от —1 или 1, то на каком-то шаге по теореме Флоке можно будет решить вопрос устойчивости решений рассматриваемого уравнения Хилла (4.1).

Практически предлагается алгоритм исследования задачи устойчивости решений уравнения (4.1) для любой функции fit). Предлагаемый алгоритм изучения вопроса устойчивости решений уравнения Хилла (4.1), как нам представляется, является более эффективным, чем все до сих пор известные. Он позволит на некотором шаге на основе выбранных характеристик функции f (/) однозначно решить задачу устойчивости решений любого уравнения Хилла.

86

ОБОЗНАЧЕНИЯ

SpF(t) — след матрицы F(t); det[X(f)] — определитель матрицы X(t); J — константа Ляпунова; — периодический коэффициент уравнения Хилла; Т — период функции /(/); e = ±-)f(t)dt',

1 о

00 = jf(t)dt; о т t вх = \dt\f(T)dr; о о а= inf /(0; е[0,Г] b = sup /(0; fe[0,r] u(t) — управляющая функция класса Uf\ и,= Т u(t): inf u(t) = a, sup u(t) = b, \u(t)dt = 0Q, н0,п <е[0,г] i

T t dt ju(T)dr =6X, u(t + T) = u(t) о 0 n — число переключений управляющей функции; ■Z+ — 0, 1,2, 3,.; g(x) е С(-оо;+оо) — функция g(x) принадлежит пространству непрерывных в интервале (—оо;+оо) функций; g(x) е Cj (—оо;+оо) - функция g(x) принадлежит пространству непрерывно дифференцируемых в интервале (—оо;+оо) функций; 05 -вектор-столбец пятого порядка: (О О О О 0)'г; О* -вектор-строка пятого порядка: (0 0 0 0 0).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тарамова, Хеди Сумановна, 2005 год

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. 432 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.-271 с.

3. Атанс М, Фалб И Л. Оптимальное управление. — М.: Машиностроение, 1968.-764 с.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 1998. — 574 с.

5. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1971. — 223 с.

6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 2001.-376 с.

7. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.-М.: 2003 г., 216 с.

8. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. — М.: Высшая школа, 2001.-239 с.

9. Болтянский В.Т. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969. 408 с.

10. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. — Минск: Изд-во БГУ, 1981.-350 с.11 .Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.

11. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. — М.: Наука, 1975.-407 е.:

12. Гольдин A.M. Об одном критерии Ляпунова. ПММ, 15 (1951), с. 379 — 381.14уЦемидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Издательство МГУ, 1998. 480 с.

13. Крейн М.Г. Обобщение некоторых исследований A.M. Ляпунова о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами // ДАН СССР, 73 (1950), с.445 448.

14. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973.446 с.

15. КурошА.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. — 431 с.

16. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М. — Л.: Гостех-издат, 1950.-472 с.

17. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 533 с.

18. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа, 1967. — 564 с.

19. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. I. — М.: Наука, 1990. — 528 с.

20. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. II. — М.: Наука, 1990.-543 с.2Ъ.Петровский КГ. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1984. — 295 с.

21. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.-331 с.

22. Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976. — 392с.

23. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов // Понтрягин JI.C. Избранные научные труды. Дифференциальные уравнения. Теория операторов. Оптимальное управление. Дифференциальные игры. Т. 2. 1988. — 576 с.

24. Сабуров М.С. Оптимальные критерии ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Научные труды Mill У им. В.И. Ленина. М.: Прометей, 1994. С. 13 - 23.

25. Сабуров М.С. Особые управления в одной билинейной задаче оптимального управления // Научные труды Mill У им. В.И. Ленина. — М.: Прометей, 1995. С. 13-23.

26. Сабуров М.С. О теоремах существования в ряде задач оптимального управления // Межвузовский сборник научных трудов. « Математическая физика ». М.: Прометей, 1994. С. 148 - 157.

27. Сабуров М.С. Применение принципа максимума Понтрягина для исследования устойчивости уравнения Хилла: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ, 1972.

28. Сабуров М.С. Принцип биоптимальности. — М.: Научный мир, 2003. — 327с.

29. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985.-447 с.

30. ЪЪ.Чезари А. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. Мир, 1964. — 477 с.

31. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1990. 176 с.

32. Якубович Г.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.-718 с.

33. Швердтфегер Г. The eigen value problem of Hill's equation. Journ. and Proc. of the Royal Soc. of New South. Wales, 1945, 71, p. 176 - 186.