Исследование воздействия реактивного момента, возникающего при перенацеливании оптических систем космического назначения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Белан Илья Михайлович

• Белан Илья Михайлович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Белан Илья Михайлович

Введение

Глава 1. Анализ методов измерения и компенсации

реактивного момента

1.1 Состояние исследований в области динамических воздействий

на оптико-электронные системы КА

1.2 Понятие реактивного момента

1.3 Влияние реактивного момента на размытие изображения

1.4 Методы компенсации реактивного момента

1.4.1 Компенсация реактивного момента

1.5 Измерение реактивного момента

Глава 2. Анализ влияния алгоритма управления приводами на величину некомпенсированых моментов,

возникающих при перенацеливании

2.1 Описание объекта исследования

2.2 Математическое описание реактивных моментов, возникающих

при перенацеливании оптической системы МНО

2.3 Пример расчёта остаточных реактивных моментов на основание

2.4 Выбор профиля разгона

2.5 Трапецеидальный профиль разгона

2.6 Алгоритм экспоненциального разгона

2.7 Алгоритм синусоидального разгона

2.7.1 Критерий оптимальности

2.7.2 Реализация синусоидального профиля

Глава 3. Разработка и создание испытательного стенда для

измерения реактивных моментов

3.1 Теоретическая модель стенда

3.2 Конструктивное устройство стенда

3.3 Методика измерения реактивного момента

Стр.

3.3.1 Принцип метода измерений

3.3.2 Подготовка к проведению измерений

3.3.3 Определение тестового момента

3.3.4 Оценка бюджета погрешности

3.4 Измерение реактивного момента оптико-механической системы

Глава 4. Экспериментальные исследования

4.1 Проведение измерений

4.2 Расчёт балансировочных колец компенсирующих маховиков

4.3 Повторные стендовые испытания с применением синусоидального профиля

4.4 Анализ влияния остаточного реактивного момента на

параметры качества изображения

4.5 Применение стенда для испытаний других оптических систем

Заключение

Словарь терминов

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Акт внедрения

Приложение В. Измерение момента инерции тестового маховика

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование воздействия реактивного момента, возникающего при перенацеливании оптических систем космического назначения»

Введение

Актуальность темы исследования. На борту космических аппаратов различного назначения устанавливаются приборы и устройства, содержащие вращающиеся элементы с электроприводом. К таким устройствам относятся поворотные панели солнечных батарей, сканирующие зеркала и оптико-электронные системы дистанционного зондирования Земли, обеспечивающие наведение оптической оси в заданное направление и непрерывное сканирование исследуемого пространства во время движения аппарата по орбите.

В соответствии с третьим законом Ньютона момент, развиваемый электродвигателем, прикладывается не только к ротору, но и к статору (реактивный момент), который через систему крепления передаётся на корпус космического аппарата. В результате корпус вращается в направлении, противоположном вращению ротора, с угловым ускорением, величина которого обратно пропорциональна моменту инерции конструкции. В динамических режимах разгона и торможения реактивный момент может существенно превышать компенсирующие возможности системы ориентации, вызывая недопустимые отклонения пространственного положения аппарата.

Особенно чувствительными к воздействию реактивных моментов оказываются крупногабаритные оптико-электронные системы, формирующие изображение. Даже незначительные колебания визирной оси приводят к снижению пространственного разрешения и размытию изображения.

Таким образом, исследование влияния реактивного момента, возникающего при работе электроприводов визирных систем, на качество формируемого изображения и разработка методов его измерения и компенсации являются актуальной научно-технической задачей, имеющей важное значение для повышения точности и надёжности функционирования космических оптико-электронных систем.

Целью работы является разработка методов оценки и снижения остаточного реактивного момента, направленных на повышение эффективности работы системы стабилизации положения КА.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Анализ существующих методов оценки и компенсации реактивных моментов в подвижных системах космических аппаратов;

2. Построение математической модели формирования остаточного реактивного момента в оптико-механической системе;

3. Разработка профиля разгона исполнительного механизма, обеспечивающего снижение амплитуды реактивных моментов в переходных режимах;

4. Разработка методики экспериментальной оценки остаточных реактивных моментов в условиях наземных испытаниях;

5. Создание экспериментальной установки для воспроизведения и измерения реактивных воздействий;

6. Анализ качества изображения после компенсации на лётном образце оптической системы.

Научная новизна:

1. Впервые проведены расчёты пространственных реактивных воздействий на КА при проектировании нескольких вариантов крупногабаритных оптических систем космического назначения с возможностью вращения визирной оси, которые позволили оптимизировать конструкцию аппаратуры и алгоритм управления.

2. Создана и апробирована методика оценки реактивных моментов в наземных условиях.

3. Создана и апробирована экспериментальная установка для воспроизведения и измерения реактивных воздействий, позволяющая регистрировать моменты в диапазоне от 10-3 до 1 Н • м с относительной погрешностью не более 2 %

Практическая значимость:

1. Математическая модель остаточного реактивного момента в оптико-механической системе характеризуется сходимостью с экспериментальными данными не менее 10 %, что позволяет использовать ее при предварительном проектировании конструкции оптико-механической системы и компенсирующих элементов.

2. Методика оценки реактивных моментов в наземных условиях прошла апробацию на созданном в рамках исследований экспериментальном

стенде и обеспечила регистрацию моментов в диапазоне от 1 • 10-3 до 1 Н • м с относительной погрешностью 2 %.

3. Разработанная методика может быть использована для настройки и калибровки систем управления вращением различных оптических систем, обеспечивая повышение их точности и стабильности работы.

Методология и методы исследования. Решение поставленных задач базируется на использовании основных положений классической механики, динамики твёрдого тела, методов анализа и синтеза систем управления, метрологии качества изображения в оптико-электронных системах. В работе применялись методы математического анализа и линейной алгебры, спектральный анализ и численное интегрирование, математическое моделирование, экспериментальные исследования динамических процессов, а так же современные вычислительные средства для обработки результатов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель динамики оптико-механической системы космического аппарата позволяет количественно оценить реактивные моменты и обосновывает параметры методики их экспериментального измерения.

2. Методика, предполагающая измерение в наземных условиях реактивных моментов, возбуждаемых подвижным объектом в составе КА, позволяет сформулировать требования к системе управления и стабилизации движения такого объекта, что обеспечит компенсацию дестабилизирующего воздействия на положение КА в условиях космоса.

3. Компенсация реактивного момента, возникающего при динамических режимах наведения оптических систем, позволяет сохранять частотно-контрастную характеристику оптической системы на уровне, обеспечивающем требуемое качество снимков.

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» имени В.И. Ульянова (Ленина). Основные теоретические и практические результаты диссертационного исследования внедрены в практику испытаний оптических систем в филиале АО «Корпорация „Комета"- „НПЦ ОЭКН"»при выполнении государственного контракта №099-К260/21/23 тема «Разработка технологии изготовления и испытаний прецизионных зеркальных

сканирующих оптико-механических систем для оптико-электронной аппаратуры космического базирования на основе многоядерных крупноформатных фотоприемных устройств».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. XV Международная конференция «Прикладная оптика-2022» 2022 Санкт-Петербург, Россия.

2. XXV Всероссийская научно-техническая конференция молодых учёных «Навигация и управление движением» 2022 Санкт-Петербург, Россия.

3. VI Научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов «Будущее предприятия - в творчестве молодых» 2024 г. Санкт-Петербург. Россия.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 1 содержится в реферативной базе данных Scopus, 3 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 2 приложений. Полный объём диссертации составляет 103 страницы, включая 34 рисунка и 6 таблиц. Список литературы содержит 73 наименования.

Глава 1. Анализ методов измерения и компенсации реактивного

момента

1.1 Состояние исследований в области динамических воздействий

на оптико-электронные системы КА

В последние годы в научной инженерной среде возрастает интерес к повышению точности и разрешающей способности космических средств наблюдения, предназначенных для дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ) и определения малоэнергетических целей [1—5]. Одним из основных направлений является увеличение размеров оптических систем и внедрения механизмов изменения положения визирной оси без поворота КА [6; 7]. Подобные решения реализованы в системах типа SPOT, Pleiades-1A/1B, KOMPSAT-2. В пользовательской документации указываются допустимые значения размытия, обычно в пределах 0,1 — 0,2 пикселя матрицы фотоприёмника [8—10]

Поворот визирной оси может выполняться различными способами:

— разворотом всего КА;

— перемещением отдельных элементов оптической системы;

— использованием карданных механизмов [11; 12]

Независимо от выбранной схемы, перемещение подвижных масс вызывает возникновение реактивных сил и моментов, передающихся на корпус аппарата, вызывая угловые отклонения и колебания. Это затрудняет работу системы стабилизации, а также снижает пространственное разрешение и контрастность изображения за счет размытия и вибрационных искажений [13—15] Особенно критично это для инфракрасных и широкоформатных систем, имеющих большие габариты и массу [16—20].

Таким образом, динамические возмущения оказывают комплексное влияние на формируемое изображение: от размытия, возникающего при относительном смещении проекции на фокальной плоскости, до вибраций, приводящих к падению контраста и размытию мелких деталей. Для объективной оценки этих эффектов в мировой практике используется система количественных показателей качества изображения, которая позволяет напрямую связать параметры

динамики космического аппарата с деградацией информативности снимков [21; 22].

Качество изображения, формируемого оптико-электронным каналом, характеризуется совокупностью радиометрических и геометрических параметров, среди которых ключевыми считаются частотно-контрастная характеристика (ЧКХ), отношение сигнал/шум и интегральный показатель Image Quality Factor (IQF) [23]. Последний определяется как произведение отношения сигнал/шум на суммарную ЧКХ сквозного информационного тракта:

IQF(v) = SNR(v) • 4KX(v), (1.1)

где v — пространственная частота, SNR — отношение сигнал/шум.

Суммарная ЧКХ определяется произведением множителей, соответствующих отдельным звеньям системы [22]:

ЧКХ,оЫ = ЧКХ0 • ЧКХ^ • ЧКХС5 • ЧКХAZ • ЧКХя^ • 4KXLF. (1.2)

У 4 7

Каждый из множителей в выражении (1.2) отражает вклад определённого параметра оптико-электронного тракта:

— ЧКХ0 характеризует оптическую систему и определяется дифракционными эффектами в объективе. Для современных телескопов эта составляющая близка к теоретическому пределу и задаёт верхнюю границу пространственного разрешения [24];

— ЧКХ^ описывает влияние детектора, связанное с конечным размером фоточувствительных элементов и их интегрирующими свойствами. Эта составляющая определяет потерю контраста на высоких частотах, но, как правило, учитывается ещё на этапе выбора фотоприёмного устройства [25];

— ЧКХ^ учитывает дискретный перенос зарядов в ПЗС-матрице с временной задержкой и накоплением. Его вклад особенно заметен в системах с большим числом интеграционных шагов, но может быть минимизирован за счёт корректного выбора тактовых режимов [26];

— ЧКХ ду отражает влияние несоответствия скорости переноса зарядов и скорости движения изображения по фокальной плоскости [26];

— ЧКХя^ описывает вклад высокочастотных вибраций конструкции;

— ЧКХ^р описывает влияние низкочастотных вибраций конструкции.

В задаче исследования влияния реактивного момента ключевыми являются ЧКХя^ и ЧКХ^р. Они отражают деградацию качества изображения, вызванную вибрациями конструкции: высокочастотными, связанными с дисбалансами маховиков, и низкочастотными, возникающими при работе приводов визирной оси и перемещением массивных оптических элементов.

С учётом изложенного, в следующем разделе рассматривается влияние реактивного момента на формирование размытия изображения, а также аналитические модели, позволяющие описать снижение ЧКХ при линейных смещениях и гармонических колебаниях.

1.2 Понятие реактивного момента

На борту космических аппаратов различного назначения устанавливаются приборы и устройства, содержащие вращающиеся элементы, снабжённые электроприводом. Примером могут служить поворотные панели солнечных батарей или аппаратура дистанционного зондирования Земли, включающая оптические системы с вращающимися зеркалами и сканирующими узлами [27]. Электроприводы подобных систем обеспечивают непрерывное сканирование исследуемого пространства или наведение оптической оси в заданное направление во время движения аппарата по орбите.

Работа электропривода включает три характерных режима: разгон ротора с инерционной нагрузкой до рабочей скорости вращения, движение с постоянной стабилизированной скоростью и управляемое торможение. В режиме разгона на ротор двигателя действует момент, величина которого определяется заданным временем выхода устройства на установившийся режим. При равномерном вращении ротор уравновешивается моментом сопротивления, создаваемым подшипниковыми опорами вращающихся частей.В режиме торможения также возникает момент, связанный с замедлением вращения и преодолением инерционных сил системы.

В соответствии с третьим законом Ньютона момент, развиваемый двигателем, прикладывается не только к ротору, но и к статору (реактивный момент), который через систему крепления передаётся на корпус космического аппарата. В результате аппарат получает вращение в сторону, противополож-

ную вращению ротора, с угловым ускорением, величина которого обратно пропорциональна соответствующему осевому моменту инерции конструкции. В динамических режимах разгона и торможения реактивный момент может существенно превышать компенсирующие возможности системы ориентации, что приводит к недопустимым отклонениям пространственного положения аппарата.

Источники реактивного момента на борту КА можно классифицировать следующим образом:

1. Электроприводы поворотных узлов. Приводы обеспечивают разворот оптических систем, антенн и других элементов. При разгоне или торможении электродвигатель формирует динамический момент, который полностью передаётся на корпус.

2. Подшипниковые узлы и трение. Даже при установившемся вращении существует момент сопротивления, связанный с трением качения или скольжения в опорах. Этот момент компенсируется двигателем и тем самым также порождает реактивное воздействие на корпус аппарата [28].

3. Электромагнитные эффекты.Вихревые токи и потери в токопроводя-щих конструкциях могут создавать тормозные моменты. Хотя их вклад относительно невелик, для высокоточных систем они становятся значимым фактором, особенно при длительной эксплуатации.

4. Вибрационные воздействия от дисбаланса. Небольшой статический или динамический дисбаланс вращающихся частей вызывает гармонические составляющие реактивного момента. Эти воздействия формируют спектр микровибраций, ухудшающий работу бортовой аппаратуры и приводящий к деградации качества изображений.

Особенно чувствительными к воздействию реактивных моментов оказываются оптико-электронные системы. Даже небольшие угловые колебания визирной оси приводят к заметному снижению пространственного разрешения и к размытию изображения.

1.3 Влияние реактивного момента на размытие изображения

Одним из наиболее значимых проявлений динамических воздействий, ухудшающих качество изображений в оптико-электронных системах космического назначения, является размытие — потеря чёткости деталей изображения, возникающее при относительном смещении проекции объекта на фокальной плоскости приёмника во время экспозиции [22; 29].

В оптико-электронных сканирующих системах (ОЭСС), использующих приборы с зарядовой связью (ПЗС), размытие формируется в том случае, когда за время интеграции фоточувствительный элемент принимает излучение не только от своей «собственной» проекции участка поверхности, но и частично от соседних. Это приводит к интегрированию сигналов от разных элементов сцены и, как следствие, к снижению резкости, контрастности и читаемости мелких деталей изображения.

Особенно высокую чувствительность к рассогласованию между скоростью движения изображения и частотой опроса проявляют системы, работающие в режиме временной задержки и накопления (ВЗН). В этом режиме перенос зарядовых пакетов выполняется синхронным опросом всех строк ПЗС-матрицы, причём между тактами элементы продолжают экспонироваться закреплёнными за ними участками сцены. Любое рассогласование приводит к накоплению ошибок смещения и, как следствие, к заметному ухудшению пространственного разрешения.

Для исключения размытия необходимо обеспечить согласование скорости движения изображения в фокальной плоскости с частотой переноса зарядов в ПЗС-матрице. В идеальном случае за время одного такта тт смещение изображения Д(тт) должно совпадать с размером проекции соседних элементов ПЗС-матрицы на земную поверхность.

Д(тт) = L = 1Х • шс, (1.3)

где 1Х — линейный размер пикселя по направлению сканирования, тс — масштаб изображения. При этом каждый фоточувствительный элемент матрицы последовательно накапливает заряд от одного и того же участка сцены, и результирующий сигнал не искажён [30—32] (Рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 — Съёмка в режиме ВЗН без размытия (тт = тт)

В случае, когда программно заданный тактовый период опроса тт оказывается больше оптимального значения т^, смещение за время одного такта становится меньше требуемого (А(тт) < Ь). В результате участок сцены проецируется одновременно на два соседних элемента ПЗС-матрицы, и в каждый такт накопления регистрируется сигнал не только от соответствующего участка сцены, но и от смежных областей изображения (Рисунок 1.2).

Суммарная территория, участвующая в накоплении сигналов на каждом шаге, оказывается на • Ь больше, чем при съёмке с оптимальным периодом опроса, где Ь - величина размытия в элементах ПЗС-матрицы, М - число интеграционных шагов. Таким образом при тт > т*т выражение (1.3) примет вид:

А(тт) = Ь

(М + Ь) М

(1.4)

Аналогичная ситуация возникает в противоположном случае, когда задан-

« * п

ный тактовый период меньше оптимального т^ < тт .В этом случае смещение изображения за один такт превышает допустимое А(т^) > Ь, и проекция участка сцены смещается быстрее, чем выполняется перенос зарядов. В каждый такт накопления регистрируется лишь часть сигнала от соответствующего участка, а оставшаяся информация теряется между проекциями (Рисунок 1.3).

В результате изображение приобретает фрагментированный характер, снижается резкость и контрастность мелких деталей, выражение (1.3) примет

Рисунок 1.2 — Возникновение размытия при увеличенном тактовом периоде

(тт > Ту)

вид:

Д(тт ) = . (1.5)

Оптимальный тактовый период опроса определяется по расчётной скорости движения изображения у0:

тУ = - = ^. (1.6)

Практика эксплуатации показывает, что рассогласование между фактическим и расчётным тактовым периодом может быть вызвано целым комплексом факторов: методическими ошибками при расчёте скорости движения изображения, неточностью поддержания орбитальной и угловой ориентации, температурными деформациями конструкции и вибрациями. Наибольшее влияние в контексте данного исследования оказывают возмущения, возникающие при повороте подвижных частей оптической системы. Вращение оптической системы осуществляется моментом, формируемым приводом, который через механические связи передаёт на корпус космического аппарата реактивный момент. Под

Рисунок 1.3 — Возникновение размытия при уменьшенном тактовом периоде

(тт > тт)

его действием изменяется угловая скорость КА, что ведёт к изменению скорости движения изображения на фокальной плоскости:

V = / • (1.7)

где / — фокусное расстояние оптической системы, шц —проекция угловой скорости на направление сканирования.

Изменение скорости изображения приводит к нарушению условия оптимального тактового периода т^, в результате чего проекция сцены смещается относительно матрицы приёмника и появляется размытие. В терминах контрастно-частотной характеристики через множители ЧКХ^р и ЧКХя^ в выражении (1.2), которые отражают вклад низко- и высокочастотных колебаний.

Низкочастотные колебания являются наиболее критичным видом динамических возмущений, так как их амплитуда может достигать десятков

микрометров, величины сравнимой с размером пикселя [33]. В условиях, когда время экспозиции Tint существенно меньше периода колебаний То, размытие формируется только на части синусоиды и приобретает квазилинейный характер. При этом величина размытия становится случайной: она зависит от того, на какой фазе колебаний выполняется экспозиция. Минимальное размытие возникает, если экспозиция приходится на экстремум синусоиды, а максимальное - когда экспозиция совпадает с точкой нулевого перехода [34] (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4

4 2 4

Зависимость величины размытиа от фазы низкочастотных колебаний

Минимальный и максимальный радиусы размытия определяются выражениями (1.8), (1.9)

— cos ^

2п Ъ

dm/in — D 1 - cos — •

int

То 2

. (2п Тг

dm.a-r — 2D sin I „ '

int

\То 2

(1.8)

(1.9)

где И — амплитуда скорости колебаний, — время экспозиции, Т0 — период колебаний.

Когда траектория смещения изображения в пределах кадра близка к линейной, снижение ЧКХ описывается аппроксимацией линейного размытия:

ЧКХуу (v) —

sin nvL nvL '

(1.10)

где L — величина смещения изображения за время экспозиции, v — пространственная частота.

Установлено, что низкочастотные колебания определяют предельное качество изображения. Например при увеличении амплитуды смещения с 1 до 20 мкм значение ЧКХ на частоте Найквиста уменьшается на 41 %, а при 30 мкм практически падает до нуля [22].

Высокочастотные колебания конструкции космического аппарата обычно возникают из-за дисбалансов реакционных маховиков, дефектов подшипников, работы приводов и упругих резонансов панелей. Характерный диапазон частот для таких возмущений составляет сотни герц и выше, а амплитуда смещений проекции изображения в фокальной плоскости, как правило, не превышает долей микрона (0,2-0,6 мкм) [34]. Время экспозиции камеры существенно больше периода колебаний Tint ^ Т0, поэтому результирующее смещение усредняется.

Для гармонических высокочастотных колебаний ЧКХ описывается через функцию Бесселя нулевого порядка:

При малых амплитудах (И ^ р, где р-размер пикселя) ЧКХ ~ 1 В реальных условиях на движение изображения накладываются несколько высокочастотных гармоник. При суперпозиции двух синусоидальных гармоник итоговое значение ЧКХ снижается сильнее, хотя деградация остаётся существенно меньше по сравнению с низкочастотными возмущениями.

В случае случайных высокочастотных колебаний, связанных с микродрожанием конструкции и шумами приводов, используется гауссова аппроксимация [35]:

где ад — среднеквадратичное дрожание изображения.

Таким образом, высокочастотные вибрации вносят менее выраженный, но всё же значимый вклад в деградацию изображения. Их влияние становится критическим при совпадении спектра колебаний с резонансами конструктивных элементов КА или при наложении нескольких гармоник. Однако в большинстве практических сценариев ЧКХя^ остаётся близкой к единице, а решающим

ЧКХЯ^ (v) = Jo(2nvL).

(1.11)

ЧКХя^(v) = exp(-2n2o|v2) ,

(1.12)

ограничивающим фактором качества выступают низкочастотные колебания, описываемые через ЧКХ^р.

Характер воздействия реактивного момента на качество изображения можно условно разделить на три составляющих. Первая — низкочастотная, связанная с медленным изменением угловой скорости при выполнении манёвра. Она изменяет среднее значение скорости движения изображения, смещая систему из оптимального режима съёмки. Вторая — гармоническая, возникающая из-за колебаний элементов конструкции или резонансов в системе ориентации, которые могут поддерживаться вращающимися деталями исполнительных механизмов. Третья — случайная, обусловленная нерегулярными импульсами момента при работе приводов и механическими шумами. Все три компоненты вносят вклад в снижение функции передачи модуляции и интегральных показателей качества.

1.4 Методы компенсации реактивного момента

Возмущающий момент, возникающий при работе приводов подвижных частей космических аппаратов, является одним из ключевых факторов, ограничивающих точность наведения и стабилизации. Для снижения его влияния применяются различные методы компенсации, которые условно можно разделить на механические и алгоритмические. В основе большинства решений лежит идея создания дополнительного вращающегося или инерционного элемента, формирующего момент, противоположный возмущающему.

В мировой практике для компенсации реактивных моментов применяются различные технические и алгоритмические решения: использование реакционных маховиков и гиродинов [18; 19], балансировка подвижных узлов [20], а также специальные законы управления приводами, формирующие сглаженные профили разгона и торможения [13; 15]. Дополнительно рассматриваются методы цифровой коррекции смаза на изображениях — геометрические, спектральные и градиентные, среди которых наиболее перспективными для реализации на борту являются градиентные подходы [36]. Эти меры позволяют снизить спектр возмущений в критически значимых диапазонах частот, однако

минимизация их влияния на формируемое изображение остаётся актуальной задачей исследований.

Наиболее простым и широко используемым способом является применение компенсирующего маховика, вращающегося во встречном направлении относительно основного привода. При этом создаётся противодействующий момент, позволяющий снизить суммарное воздействие на основание конструкции. Правильный подбор инерционных характеристик маховика обеспечивает уменьшение низкочастотной составляющей возмущений, возникающих при разгоне и торможении нагрузки, а также частичную компенсацию гармонических возмущений. Подобная схема используется в системах наведения оптических приборов и антенн, где требуется высокая точность удержания линии визирования [37]. Ограничением метода является необходимость размещения дополнительного узла и обеспечения его синхронной работы с основным приводом, что увеличивает массу, энергопотребление и сложность управления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белан Илья Михайлович, 2026 год

Список литературы

1. Haroon, M. Multisized object detection using spaceborne optical imagery [Текст] / M. Haroon, M. Shahzad, M. M. Fraz // IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observations and Remote Sensing. — 2020. — Т. 13. — С. 3032—3046.

2. Bouwmeester, J. Enabling cost-effective high-resolution Earth observation with deployable space telescopes [Текст] / J. Bouwmeester, H. Kuiper // IAA Symposium on Small Satellites for Earth Observation. — 2023.

3. Building large telescopes in orbit using small satellites [Текст] / C. Saunders [и др.] // Acta Astronautica. — 2017. — Т. 141. — С. 183—195.

4. Geometric Positioning Accuracy Improvement Method of Micro SAR Satellites With Large Positioning Errors [Текст] / Q. Cheng [и др.] // IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observations and Remote Sensing. — 2024.

5. Hamm, N. A. Earth observation, spatial data quality, and neglected tropical diseases [Текст] / N. A. Hamm, R. J. Soares Magalhaes, A. C. Clements // PLoS neglected tropical diseases. — 2015. — Т. 9, № 12. — e0004164.

6. Agile earth observation satellite constellations scheduling for large area target imaging using heuristic search [Текст] / R. Kandepi [и др.] // Acta Astronautica. — 2024. — Т. 219. — С. 670—677.

7. Franze, R. Attitude Dynamics and Control for the Task Scheduling of Agile Earth Observation Satellites [Текст] / R. Franze. — 2023.

8. SPOT 6 & SPOT 7. Imagery - User Guide [Текст] : The Astrium Services optical constellation / Astrium, an EADS Company. — Toulouse, France, 2013. — С. 120.

9. Pleiades Imagery - User Guide [Текст] / Airbus Defence, Space Intelligence. — 2018. — С. 106. — First edition 2012, updated 2018.

10. KOMPSAT-2 Image Data Manual [Текст] / Satellite Information Research Institute, Korea Aerospace Research Institute. — Вер. 1.1. — 25.01.2008. — С. 11.

11. Лесков, А. Г. Использование двухзвенного механизма для наведения съемочной аппаратуры малого космического аппарата [Текст] / А. Г. Лесков, А. А. Карандаев // Вестник Московского государственного технического университета им. НЭ Баумана. Серия «Машиностроение». — 2010. — № 3. — С. 40—55.

12. Inertial stable platforms for precision pointing of optical systems in aerospace applications [Текст] / J. Negro [и др.] // AIAA Journal. — 2023. — Т. 61, № 8. — С. 3234—3246.

13. Lappas, V. Attitude control for small satellites using control moment gyros [Текст] / V. Lappas, W. Steyn, C. Underwood // Acta Astronautica. — 2002. — Т. 51, № 1—9. — С. 101—111.

14. Углова, А. О. Оценка преимуществ использования гиродинов в системах ориентации и стабилизации космических аппаратов [Текст] / А. О. Углова, М. В. Лукьяненко // Актуальные проблемы авиации и космонавтики. — 2019. — Т. 1. — С. 601—603.

15. Effect of gyroscopic moments on the attitude stability of a satellite in an elliptical orbit [Текст] / J. Zhao [и др.] // Nonlinear Dynamics. — 2023. — Т. 111, № 16. — С. 14957—14976.

16. Shorthill, R. W. Infrared Observations of the Solar System in Support of Large Aperture Infrared Telescope (LARITS): Calibration. Appendices [Текст] : тех. отч. / R. W. Shorthill. — 1990.

17. Shivanandan, K. Far Infrared Imaging Spectrometer for Large Aperture Infrared Telescope System [Текст] : тех. отч. / K. Shivanandan. — 1985.

18. Pittelkau, M. Pointing error metrics: displacement, smear, jitter, and smitter with application to image motion MTF [Текст] / M. Pittelkau, W. McKinley // AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference. — 2012. — С. 4869.

19. Dennehy, C. J. Spacecraft line-of-sight jitter management and mitigation lessons learned and engineering best practices [Текст] : тех. отч. / C. J. Dennehy, A. A. Wolf, D. K. Swanson. — 2021.

20. Alvarez-Salazar, O. S. Spacecraft micro-vibration: A survey of problems experiences potential solutions and some lessons learned [Текст] / O. S. Alvarez-Salazar, C. Dennehy // NASA, Washington, DC, USA, Tech. Rep. NASA/TM-2018-220075. — 2018.

21. Геча, В. Я. Обзор средств оценки составляющих качества изображения на выходе спутниковой оптико-электронной аппаратуры дистанционного зондирования Земли в целях обеспечения бортовой обработки снимков на борту космического аппарата [Текст] / В. Я. Геча, М. Ю. Жиленев, С. А. Новоселов // Вопросы электромеханики. Труды ВНИИЭМ. — 2021. — Т. 185, № 6. — С. -—-.

22. Wahballah, W. A. Smear effect on high-resolution remote sensing satellite image quality [Текст] / W. A. Wahballah, T. M. Bazan, M. Ibrahim // 2018 IEEE Aerospace Conference. — IEEE, 2018. — P. 1—14.

23. General image-quality equation: GIQE [Текст] / J. C. Leachtenauer [и др.] // Applied optics. — 1997. — Т. 36, № 32. — С. 8322—8328.

24. Abolghasemi, M. Design and performance evaluation of the imaging payload for a remote sensing satellite [Текст] / M. Abolghasemi, D. Abbasi-Moghadam // Optics and Laser Technology. — 2012.

25. Joseph, G. Building Earth Observation Cameras [Текст] / G. Joseph. — New York : CRC Press, Taylor, Francis Group, 2015.

26. Wong, H. TDI charge coupled devices: Design and applications [Текст] / H. Wong, Y. Yao, E. Schlig // IBM Journal of Research and Development. — 1992. — Т. 36, № 1. — С. 83—106.

27. Пантенков, Д. Г. Обзор современного состояния орбитальных группировок космических аппаратов дистанционного зондирования Земли и космических ретрансляторов [Текст] / Д. Г. Пантенков, Н. В. Гусаков, А. А. Ломакин // Известия высших учебных заведений. Электроника. — 2022. — Т. 27, № 1. — С. 120—149.

28. Бейзельман, Р. Д. Подшипники качения: справочник [Текст] / Р. Д. Бей-зельман, Б. В. Цыпкин. — М.-Л. : Машгиз, 1959. — С. 608.

29. Haghshenas, J. Effects of satellite platform's vibration on the image quality of a remote sensing payload: System level design and challenges [Текст] / J. Haghshenas // Proc. SPIE. Т. 9626. — Jena, Germany : SPIE, 2015. — С. 96260M. — 14 p.

30. Андронов, В. Г. Моделирование космических сканерных изображений высокого разрешения: методы, модели, технологии [Текст] / В. Г. Андронов. — Saarbrücken, Germany : LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2014. — С. 290.

31. Андронов, В. Г. Теоретические основы геоорбитального моделирования космических сканерных изображений высокого разрешения: монография [Текст] / В. Г. Андронов. — Курск : Юго-Западный государственный университет, 2012. — С. 260.

32. Еремеев, В. В. Коррекция смаза изображений в системах космического наблюдения Земли [Текст] / В. В. Еремеев, Н. А. Егошкин // Цифровая обработка сигналов. — 2010. — № 4. — С. 28—33.

33. Wahballah, W. A. Smear effect on high-resolution remote sensing satellite image quality [Текст] / W. A. Wahballah, T. M. Bazan, M. Ibrahim // 2018 IEEE Aerospace Conference. — IEEE, 2018. — С. 1—14.

34. Haghshenas, J. Maximum allowable low-frequency platform vibrations in high resolution satellite missions: Challenges and look-up figures [Текст] / J. Haghshenas // Proc. SPIE. Т. 9626. — Jena, Germany : SPIE, 2015. — 96260N. — 10 p.

35. Holst, G. C. Electro-optical Imaging System Performance [Текст] / G. C. Holst. — SPIE - International Society for Optical Engineering, 2008.

36. Волобуев, Ю. Н. Разработка и исследование методики коррекции смаза космических изображений в оптико-электронных сканирующих системах [Текст] : дис. ... канд. / Волобуев Ю. Н.--, 2021.

37. Montenbruck, O. Satellite orbits: models, methods, and applications [Текст] / O. Montenbruck, E. Gill, F. Lutze // Appl. Mech. Rev. — 2002. — Т. 55, № 2. — B27—B28.

38. Design and development of a high-precision, high-payload telescope dual-drive system [Текст] / M. S. Worthington [и др.] // Ground-Based and Airborne Telescopes III. Т. 7733. — SPIE. 2010. — С. 1876—1887.

39. Привод для разворота оборудования на космическом носителе, не создающий реактивного момента [Текст] : RU2646002C2 / С. Ф. Коновалов ; К. С. Ф. — Заявл. 2018.

40. Система поворота солнечной батареи [Текст] : RU2466069C2 / В. Г. Пор-пылев [и др.] ; О. " спутниковые системы" им. акад. М. Ф. Решетнёва. — Заявл. 2012.

41. Liu, K.-C. Reaction wheel disturbance modeling, jitter analysis, and validation tests for solar dynamics observatory [Текст] / K.-C. Liu, P. Maghami, C. Blaurock // AIAA Guidance, Navigation and Control Conference and Exhibit. — 2008. — С. 7232.

42. Alcorn, J. Fully coupled reaction wheel static and dynamic imbalance for spacecraft jitter modeling [Текст] / J. Alcorn, C. Allard, H. Schaub // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 2018. — Т. 41, № 6. — С. 1380—1388.

43. Singer, N. C. Preshaping command inputs to reduce system vibration [Текст] / N. C. Singer, W. P. Seering // Journal of dynamic systems, measurement, and control. — 1990. — Т. 112, № 1. — С. 76—82.

44. Singhose, W. Command shaping for flexible systems: A review of the first 50 years [Текст] / W. Singhose // International journal of precision engineering and manufacturing. — 2009. — Т. 10, № 4. — С. 153—168.

45. Детали и элементы гироскопических приборов [Текст] / Н. Ф. Бабаева [и др.]. — Л. : Судпромгиз, 1962.

46. Делекторский, Б. А. Проектирование гироскопических электродвигателей [Текст] / Б. А. Делекторский, Н. З. Мастяев, И. Н. Орлов. — М. : Машиностроение, 1968. — С. 252.

47. Шашанов, Л. Н. Механическая система высокоскоростных электрических двигателей [Текст] / Л. Н. Шашанов. — М. : Энергия, 1971. — С. 136.

48. Приборные шариковые подшипники: справочник [Текст] / под ред. К. Н. Явленский. — М. : Машиностроение, 1981. — С. 351.

49. Михайлов, Е. М. Момент трения в шарикоподшипниках изделий для космических аппаратов [Текст] / Е. М. Михайлов // Вопросы электромеханики. Труды ВНИИЭМ. — 2014. — Т. 140, № 3. — С. 3—6.

50. Digital high-resolution torque sensor and signal processing [Текст] / C. T. Yeh [и др.] // IEEE Sensors Journal. — 2015. — Т. 15. — С. 2093—2100.

51. Development and calibration of a hyperstatic six component force/torque sensor [Текст] / Y. Hou [и др.] // Chinese Journal of Mechanical Engineering (English Edition). — 2009. — Т. 22, № 4. — С. 505—513.

52. Mohammed, A. A. S. High sensitivity MEMS strain sensor: Design and simulation [Текст] / A. A. S. Mohammed, W. A. Moussa, E. Lou // Sensors. — 2008. — Т. 8, № 4. — С. 2642—2661.

53. Torque and rotational speed sensor based on resistance and capacitive grating for rotational shaft of mechanical systems [Текст] / C. Chen [и др.] // Mechanical Systems and Signal Processing. — 2020. — Т. 142. — С. 106737.

54. A New Torque Measurement Principle for Rotating Shafts Based on Magneto-elastic Effect [Текст] / J. Shu [и др.] // International Conference on Mechanical Engineering and Mechanics. — China, 2007. — С. 90—93.

55. Zhu, W. Monitoring of prestress and bond stress of self-sensing FBG steel strand [Текст] / W. Zhu, Q. Shen, H. Qin // Measurement: Journal of the International Measurement Confederation. — 2021. — Т. 177. — С. 109246.

56. Bojtos, A. Development and investigation of photoelastic sensor for torque measurement [Текст] / A. Bojtos, N. Szakaly, A. Huba // Advances in Mechanical Engineering. Т. 45. — Springer, 2017. — С. 49—57.

57. Hu, X. M. Design and Performance Analysis of Automobile Power Transmission Platform Based on Photoelectric Torque Sensor [Текст] / X. M. Hu, J. G. Dai, J. Zhu // Journal of Nanoelectronics and Optoelectronics. — 2020. — Т. 15. — С. 1239—1247.

58. Garinei, A. Development of a non-contact torque transducer based on the laser speckle contrast method [Текст] / A. Garinei, R. Marsili // Journal of Sensors and Sensor Systems. — 2017. — Т. 6. — С. 253—258.

59. Sjodahl, M. Strain and torque measurements on cylindrical objects using the laser speckle strain gauge [Текст] / M. Sjodahl // Optical Engineering. — 1996. — Т. 35. — С. 1179—1185.

60. Wang, S. H. Design of a Non-Contact Radial Torque Sensor with Variable Torque Range by Electromagnetic Coil Coupling with Piezoelectric Sensor [Текст] / S. H. Wang // Materials. — 2021. — Vol. 14, no. 24. — P. 7695.

61. Novel contactless torque sensor based on optical coherence [Текст] / L. Chen [et al.] // Optics and Lasers in Engineering. — 2024. — Vol. 174. — P. 107983.

62. Раянов, Т. А. Обзор новых типов датчиков крутящего момента [Текст] / Т. А. Раянов // Инновационные транспортные системы и технологии. — 2020. — Т. 6, № 1. — С. 5—14.

63. Гончарук, А. В. Определение возмущающего момента при экспериментальной отработке системы наведения антенн космического аппарата [Текст] / А. В. Гончарук, М. В. Лукьяненко, В. А. Раевский // Сибирский аэрокосмический журнал (Вестник СибГАУ). — 2013. — Т. 4, № 50. — С. 162—166.

64. The use of laser ranging to measure space debris [Текст] / Z.-P. Zhang [et al.] // Research in Astronomy and Astrophysics. — 2012. — Vol. 12, no. 2. — P. 212—218.

65. Austin, D. Generate stepper-motor speed profiles in real time [Текст] / D. Austin // Embedded Systems Programming. — 2005. — Т. 1.

66. Zeng, M. Control Algorithm of Acceleration Curve for Stepper Motor [Текст] / M. Zeng, C. Z. Hu, P. F. Hu // Journal of Control and Systems Engineering. — 2016. — Т. 4, № 1. — С. 32—39.

67. Chen, T. C. High performance algorithm realization on FPGA for stepper motor controller [Текст] / T. C. Chen, Y. C. Su // 2008 SICE Annual Conference. — IEEE, 2008. — С. 1390—1395.

68. Hemmati, H. Deep-space optical communications: Future perspectives and applications [Текст] / H. Hemmati, A. Biswas, I. B. Djordjevic // Proceedings of the IEEE. — 2011. — Vol. 99, no. 11. — P. 2020—2039.

69. Kaushal, H. Optical communication in space: Challenges and mitigation techniques [Текст] / H. Kaushal, G. Kaddoum // IEEE Communications Surveys & Tutorials. — 2017. — Vol. 19, no. 1. — P. 57—96.

70. Design of tracking mount and controller for mobile satellite laser ranging system [Текст] / C. H. Park [et al.] // Advances in Space Research. — 2012. — Vol. 49, no. 1. — P. 177—184.

71. Riesing, K. A portable optical ground station for low earth orbit satellite communications [Текст] / K. Riesing, H. Yoon, K. Cahoy // 2017 IEEE International Conference on Space Optical Systems and Applications (ICSOS). — IEEE, 2017. — P. 108—114.

72. Athani, V. V. Stepper motors: fundamentals, applications and design [Текст] / V. V. Athani. — New Delhi : New Age International, 1997.

73. Control of stepper motor by microcontroller [Текст] / I. Virgala [et al.] // Journal of Automation and Control. — 2015. — Vol. 3, no. 3. — P. 131—134.

Список рисунков

1.1 Съёмка в режиме ВЗН без размытия (тт = т^) ........................13

1.2 Возникновение размытия при увеличенном тактовом периоде

(ту > т^)....................................................................14

1.3 Возникновение размытия при уменьшенном тактовом периоде

(тт > т*т)....................................................................15

1.4 Зависимость величины размытиа от фазы низкочастотных колебаний 16

1.5 Функциональная схема инерционного стенда............................26

2.1 Оптическая система Зеркало................................................32

2.2 Пример ^кг схемы........................................................36

2.3 Распределение моментов по осям Мх, Му, Мх для различных источников воздействия: смещения центра масс, действия двигателей и их суммарного эффекта....................................40

2.4 Трапецеидальный профиль разгона: зависимости ускорения,

скорости и угла поворота от времени ....................................43

2.5 Треугольный профиль разгона как частный случай трапецеидального 44

2.6 Экспоненциальный профиль разгона ....................................45

2.7 Параметры синусоидального профиля движения: а) угол поворота,

б) угловая скорость, в) угловое ускорение, г) рывок....................48

3.1 Логарифмическая а) амплитудная б) фазовая частотные характеристики колебательного звена ....................................54

3.2 Ускорение рамы с различными значениями декремента затухания . . 55

3.3 Стенд измерения реактивного момента..................................57

3.4 Измерение проекции угловой скорости вращения Земли................59

3.5 Профиль разгона тестового маховика....................................63

3.6 Осциллограмма сигнала преобразователя угловых перемещений ... 63

4.1 Размещение МНО в составе измерительного стенда....................69

4.2 Угловая скорость колебаний стенда при серии тестовых воздействий 70

4.3 Усреднённая угловая скорость колебаний стенда при серии

тестовых воздействий ......................................................71

4.4 Угловое ускорение колебаний стенда при серии тестовых воздействий 71

4.5 Реакция рамы на поворот МНО вокруг оси OZ) скорость, б) ускорение ................................. 72

4.6 Реакция рамы на поворот МНО вокруг оси ОУ а) скорость, б) ускорение ................................. 72

4.7 Реакция рамы на поворот МНО вокруг оси ОУ а) скорость, б) ускорение ................................. 73

4.8 Результаты измерений после установки балансировочных колец: а) угловая скорость (ось OZ), б) угловая скорость (ось ОУ), в) угловое ускорение (ось OZ), г) угловое ускорение (ось ОУ), д) реактивный момент (ось OZ), е) реактивный момент (ось ОУ) ... 76

4.9 Данные бортовых гироскопов....................... 77

4.10 Скорость угловых колебаний спутника при повороте оси визирования по а) оси ОУ, б) оси OZ ................. 78

4.11 Угловое перемещение спутника при повороте оси визирования: а)

по оси ОУ, б) по оси OZ......................... 79

4.12 Смещение в фокальной плоскости при повороте оси визирования: а)

по оси ОУ, б) по оси OZ......................... 79

4.13 Полное смещение в фокальной плоскости при повороте оси визирования: а) по оси ОУ, б) по оси OZ ............... 80

4.14 Проведение измерений реактивного момента ОМС ........... 82

4.15 Реактивный момент оптической системы: а) до настройки; б) после настройки .................................. 83

В.1 Эскиз маховика ..............................100

Список таблиц

1 Исходные данные ............................. 39

2 Расчётные значения............................ 39

3 Результаты расчёта ............................ 40

4 Средства измерений ........................................................60

5 Параметры маховиков ......................................................75

6 Результаты измерений геометрических размеров............101

Приложение А

Акт внедрения

УТВЕРЖДАЮ

АКТ

о применении результата диссертационной работы И.М. Белана «Исследование воздействия реактивного момента, возникающего при перенацеливании оптических систем космического назначения»

Результаты диссертационной работы инженера 2 категории И.М. Белана были использованы в филиале АО «Корпорация «Комета» - «НПЦ ОЭКН» при разработке методики измерений некомпенсированного возмущающего момента методом сравнения с тестовым моментом силы в части:

1 Установления требований к показателям точности измерений, средствам измерений и вспомогательным устройствам.

2 Описания метода косвенных измерений с помощью тестового момента, генерируемого тестовым маховиком и схемы подключения измерительного стенда.

3 Разработки операций при выполнении измерений некомпесированного возмущающего момента:

- определение тестового момента;

- определение момента инерции изделиедержателя с изделием;

- измерение некомпенсированного остаточного момента;

- обработка результатов измерений.

Разработанная методика аттестована (свидетельство

№030-5СЮ-/2024-61/РОСС БШ.0001.310066/2024) и распространяется на измерения некомпенсированных возмущающих моментов, проводимых на устройствах, созданных филиалом АО «Корпорация «Комета» - «НПЦ ОЭКН», и других устройствах, реализующих подобный метод.

В будущем планируется дальнейшее применение результатов диссертационной работы при проведении настройки и испытаний составных частей перспективной аппаратуры космического назначения.

Начальник отдела 4

Д.В. Кузнецов

Приложение В Измерение момента инерции тестового маховика

Измеряют геометрические размеры маховика П1,П2,03,Ь1,Ь2. Чертёж маховика приведён на рисунке В.1.

Рисунок В.1 — Эскиз маховика

Обозначения (для расчётов): У\,т,1,31 — объём, масса и момент инерции цилиндра; \2,т2,Р — объём, масса и момент инерции большого диска; У3,т3,33 — объём, масса и момент инерции малого диска.

Измерения выполняют штангенциркулем ШЦЦ-1-125-0,01 с абсолютной погрешностью ±0,03 мм.

Измеряют массу маховика взвешиванием на весах ЕК-12К1 с пределом допускаемой погрешности ±3г. масса маховика составляет 0,488 кг.

Рассчитывают объём маховика как сумму объёмов составных частей:

V = ^2 + ^3 - VI

(В.1)

Объём одной составной части определяют как:

V- = п • г2 • ы

(В.2)

Таблица 6 — Результаты измерений геометрических размеров

Обозначение Значение Комментарий

А 11,01 мм диаметр вала

69,03 мм диаметр большого диска

В3 26,98мм диаметр малого диска

Ьг 30,04мм ширина большого диска

Ь2 15,08 мм ширина малого диска

Ьз 14,96 мм длина втулки/цилиндра

где т^— радиус диска составной части маховика, Иi —высота составной части маховика.

пг\Нг = 2860 мм3 = 2.860 • 10 пг22к2 = 55972 мм3 = 5.597 • 10

V!

V = 6.173 • 10

Определяют погрешность измерения объёма:

-6 3 м ,

-5 3 м ,

пгр13 = 8621 мм3 = 8.552 • 10-6 м3,

(В.3)

-5 3 м .

ДУх = 2860^ • 0.03)2 + (^ • 0.03)2 = 3.13 • 10-8 м3

Д^2 = 55972^ • 0.03)2 + (^ • 0.03)2 = 1.48 • 10-7 м3

Д^3 = 8621^ • 0.03)2 + (^ • 0.03)2 = 4.20 • 10-8 м3 ДУ = ^(Д^)2 + (Д^)2 + (Д^)2 = 1.59 • 10-7 м3

Рассчитывают плотность материала маховика по формуле:

т

Р = 77 =

0.488

= 7905 кг м

3

V 6.173 • 10-5

Находят погрешность измерения плотности Р:

(В.4)

(В.5)

-=Л +(^)" ■

-5 ^

м3

Ар = 7905 V(0.003)2 + (1.59 • 10-7)2 = 2.37 • 10

Определяют массу составных частей маховика по формуле:

тг = Ц • р,

Ш1 = 2.860 • 10-6 • 7905 = 0.0226 кг, Ш2 = 5.597 • 10-5 • 7905 = 0.4424 кг,

тз = 8.552 • 10-6 • 7905 = 0.0677 кг.

Определяют погрешность определения массы составных частей:

Am = Л^)2 + (^f^Ap)2 ■

(В.6)

(В.7)

Ami = 0.0226 • х/(3.13 • 10-8)2 + (2.37 • 10-5)2 = 5.36 • 10-7 кг, (В.8) Лт2 = 0.4424 • ^/(1.48 • 10-7)2 + (2.37 • 10-5)2 = 1.04 • 10-5 кг, Лтз = 0.0677 • х/(1.59 • 10-7)2 + (2.37 • 10-5)2 = 1.61 • 10-6 кг.

Определяют момент инерции составных частей маховика по формуле:

Т 2 4 = Г2,

31 = = 3.42 • 10-7кг • м2, 121

2 (В.9)

32 = —г2 = 2.63 • 10-4кг • м2,

22

Jз = ^г2 = 6.20 • 10-6 кг • м2. 23

Определяют погрешность измерения момента инерции составных частей маховика по формуле:

* - V(+()"■

^„,1)' + ( ä^A )

A Ji = Jixii"^1' Am^ + ( Ar) =3.73 • 10-9 кг • м2,

(В.10)

A J2 = J2\¡(+ (^Ar J = 4.58 • 10-7кг • м2

IJd 1n(Jз) Am\2 + id ln^^V

у V дтз 7 V дгз J

A Jз = ^/ГГ4^ A?^] +(^^^Ar) =2.75 • 10-8кг • м2.

¿з / \ tri з

Итоговая погрешность составляет:

A J = \/(AJi)2 + (A J2)2 + (A ,/з)2 = 4.58 • 10-7 кг • м2 (В.11)