Итерационные решения многогрупповых уравнений диффузии нейтронов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Возницки Збигнев И.

• Возницки Збигнев И.
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Возницки Збигнев И.

ВЕДЕНИЕ лава 1. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. ПРЕДФАКТ0РИЗАЦИ0ННЫЕ МЕТОДЫ AGA

1.2. ТЕОРИЯ РЕГУЛЯРНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

1.3. ТЕОРИЯ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

1.4. ПРОЦЕССЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ВЕРХНЕЙ РЕЛАКСАЦИИ

1.5. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДА СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ

1.6. АЛГОРИТМ Sigma-SOR лава 2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

2.1. УПРОЩЕННАЯ ЗАДАЧА

2.2. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА лава 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОДНОКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

3.1. ГЛОБАЛЬНЫЕ ИТЕРАЦИИ ОДНОКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

3.2. ГЛОБАЛЬНЫЕ-ВНЕШНИЕ ИТЕРАЦИИ ОДНОКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

3.3. ГЛОБАЛЬНЫЕ-ВНУТРЕННИЕ ИТЕРАЦИИ ОДНОКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

3.4. ГЛОБАЛЬНЫЕ-ВНЕШНИЕ-ВНУТРЕННИЕ ИТЕРАЦИИ ОДНОКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ лава 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДВУХКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

4.1. ГЛОБАЛЬНЫЕ ИТЕРАЦИИ ДВУХКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

4.2. ГЛОБАЛЬНЫЕ-ВНЕШНИЕ ИТЕРАЦИИ ДВУХКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

4.3. ГЛОБАЛЬНЫЕ-ВНУТРЕННИЕ ИТЕРАЦИИ ДВУХКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

4.4. ГЛОБАЛЬНЫЕ-ВНЕШНИЕ-ВНУТРЕННИЕ ИТЕРАЦИИ ДВУХКРАТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ лава 5. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ

5.1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ

5.2. РЕАКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ

5.3. ОБСУЖДЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

5.4. ДОСТОВЕРНОСТЬ СИММЕТРИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

5.5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ лава 6. ВЫВОДЫ

ЛАГОДАРНОСТИ

ИТЕРАТУРА

ПИСОК КОНФЕРЕНЦИЙ

1РИЛ0ЖЕНИЕ - ТАБЛИЦЫ И РИСУНКИ К ГЛАВЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итерационные решения многогрупповых уравнений диффузии нейтронов»

Бурное развитие атомной энергетики стимулировало активный поиск эффективных методов решения задач переноса нейтронов как основы моделирования физических процессов, протекающих в ядерных реакторах. Теория переноса излучения - одна из основных проблем современной науки - быстро развивается на основе достижений теоретической физики и, как каждая новая важная область прикладной физики, стимулирует развитие вычислительной математики. Весьма общая математическая формулировка задач теории переноса задаётся с помощью линеаризованного уравнения Больцмана [1,23,24,57], относящегося к классу интегро-дифференциальных уравнений математической физики, являющихся математической моделью для описания переноса нейтронов. В основе такого подхода лежит фундаментальная теория микроскопических процессов, однако подобно теории упругости и классической гидродинамике, эта теория может быть достаточно корректно сформулирована и на макроскопическом уровне.

Во многих физических задачах нейтроны могут рассматриваться в виде среды нового типа - нейтронного газа. При этом уравнение Больцмана становится систематическим "каталогом" всех возможных способов входа, выхода, образования и поглощения частиц этого газа, причём в каждой точке пространства имеет место распределение скоростей нейтронов по всем направлениям.

Прогресс атомной науки и техники стимулировал развитие различных приближённых методов решения уравнения Больцмана. В настоящее время наиболее продвинутым методом в теоретическом и алгоритмическом аспектах является диффузионное приближение, которое выводится с помощью метода сферических гармоник. Границы применимости диффузионного приближения указаны, например в работах [5,23,24,57]. Диффузионное приближение является наиболее широко используемым методом анализа критичности ядерных реакторов. Рассмотрение критичности, вообще говоря, сводится к задаче о собственных значениях для многогрупповых уравнений диффузии нейтронов, решение которой даёт собственное значение реактивности - эффективный коэффициент размножения, и вектор собственных значений - поток нейтронов порождающих распределения мощности в реакторах большой мощности; эти величины связаны и с неравномерной загрузкой топлива и с его выгоранием.

Решение задач диффузии с учётом энергетической зависимости поля нейтронов можно разделить на несколько стадий. На первой стадии осуществляется переход к многогрупповой аппроксимации. На следующей стадии многогрупповая задача может быть решена методом итераций источника, причём этот метод преобразует задачу решения многогрупповых уравнений к решению серии одногрупповых задач. Третья стадия состоит в преобразовании одногрупповой задачи с помощью конечноразностной аппроксимации. На последней четвёртой стадии решаются полученные уравнения.

Решение уравнений одномерной диффузии является сравнительно простой задачей, позволяющей использовать прямой численный метод прогонок [2]. Этот метод явился важным вкладом в теорию дифференциальных уравнений и привлёк к себе большое внимание, особенно после дискуссий в 1953-1954 гг. на известных семинарах Гельфанда при Московском университете [25,26,27].

Численное решение практических задач гетерогенных реакторов требует подробных расчётов диффузии нейтронов, которые могут быть учтены только в двух-или трёхмерной геометрии.

Уравнения диффузии с учётом энергетической зависимости в двух- и трехмерной геометрии можно решить, следуя указанным выше четырём стадиям. Первые две стадии полностью совпадают с решением одномерных задач, однако во многомерном случае решение этих уравнений - задача значительно более сложная. Во-первых, уравнения невозможно решить прямым способом, поэтому должен быть использован специальный итерационный подход. Основным методом решения является метод последовательной верхней релаксации SOR [2,3,8,28,57] (на практике существует много модификаций этого метода: точечный метод, линейный и двухлинейный методы и т.д.), во-вторых, приходится использовать многоузловую конечно-разностную сетку.

Сеточный или конечно-разностный метод аппроксимации дифференциального уравнения системой алгебраических уравнениий описан, например, в работах [3, 54,58-65].

В вычислительной математике предложен целый ряд итерационных алгоритмов для решения многомерных уравнений диффузии, с ними можно ознакомиться в монографиях [57,61,54,69]. Обзору сеточных методов решения уравнения диффузии посвящена статья [71]. В последнее время развиваются итерационные методы, в которых сочетается подход спектральных и вариационных оптимизаций. В.И.Лебедев [29] сформулировал условия на операторы задач, для которых итерационный процесс имеет неулучшаемую оценку числа арифметических операций. Развивается еще один метод выбора оптимальных параметров итерации, основанный на вероятностном подходе. Ряд интерестных результатов в этой области получен Ю.В.Воробьевым [72]. Итерационные подходы рассматрываются также в книгах по методам расчёта реакторов [24,57], где обзор и систематизация итерационных методов даны в книге Г.И.Марчука и В.И.Лебедева [24]. Итерационные методы решения несовместных систем были предложены в работе Ю.А.Кузнецова [68]. Итерационным методам решения эллиптических уравнений на примере диффузионных реакторных уравнений посвящена содержательная монография [2]. До сих пор не утратил своего большого значения, ставший уже классическим и вышеупомятуный, метод верхней релаксации Янга-Франкела [3]. Исследования этого метода обобщены в монографиях [2,3,24,28,57], а также в статье автора [8], где предложена эффективная процедура для оценки наилудшего параметра релаксации. Новый подход для ускорения сходимости линейной верхней релаксации предложен в работе [73].

В последние сорок лет в области численного решения многогрупповых многомерных уравнений диффузии нейтронов много усилий было направлено на развитие эффективных итерационных методов и внедрение различных компьютерных программ (см., например, ссылки в [4,7]). Стандартный метод решения основан на использовании внешних-внутренних итераций [2,71], останавливаемых, когда их число достигает некоторого значения, установленного для каждой группы, либо когда удовлетворяется критерий сходимости. Выполнение цикла внутренних итераций во всех группах соответствует одной внешней итерации, в которой член деления нейтронов пересчитывается. Для увеличения скорости сходимости внешних итераций обычно используются методы ускорения полиномами Чебышева [2,3,24,29].

Целью настоящей диссертации является систематическое исследование итерационных подходов к решению многомерных уравнений диффузии нейтронов при помощи трёх уровней итераций, называемых глобальными, внешними и внутренними итерациями, и имеющих следующую физическую интерпретацию:

- во внутренних итерациях - актуализируются значения потока нейтронов в пределах групп с фиксированными значениями членов как рассеяния, так и деления нейтронов,

- на уровне внешних итераций - поток нейтронов вычисляется с учётом рассеяния нейтронов вниз; члены рассеяния нейтронов вверх определяются между очередными внешними итерациями,

- после окончания цикла внешних итераций, соответствующего одной глобальной итерации - перевычисляется член, описывающий деление нейтронов.

Матричный формализм, предложенный в настоящей работе, позволяет точно и наглядно представить, как именно использованное расщепление матриц влияет на взаимозависимость внутренних и внешних итераций в пределе глобальных итераций (см. также [36,37]).

Если ограничиться всего лишь одной внешней итерацией, приходящейся на одну глобальную итерацию, то метод глобальных-внешних-внутренних итераций сводится к широко применяемому методу внешних-внутренних итераций. Обсуждаемая методика глобальных-внешних-внутренних итераций является обобщением метода внешних-внутренних итераций. Использованная для решения реакторных задач со значительным рассеянием "вверх", она позволяет сократить число глобальных итераций на коэффициент, приблизительно равный выбранному числу внешних итераций, приходящихся на одну глобальную итерацию.

Решение многомерных уравнений диффузии нейтронов, представляющих класс эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, сводится к решению эквивалентных разностных уравнений типа Аф = с, где матрицы А имеют разреженную структуру и монотонны т.е., удовлетворяют условию, что обратная матрица существует и она неотрицательна (А-1 ^ о).

Системы линейных уравнений с матрицами А этого типа появляются во многих задачах современной науки и техники, что способствует тому, что теоретические и практические результаты, полученные автором при численном анализе задач реакторной физики, имеют общее значение.

Теоремы теории неотрицательного расщепления [9], как результат многолетних исследований автора вопросов монотонности, существенно важны для анализа сходимости итерационных методов решения систем линейных уравнений с монотонными матрицами.

Алгоритмы метода AGA с двойной верхней релаксацией были реализованы для двухмерного и трёхмерного случаев в компьютерных программах HEXAGA-II [11,32] и HEXAGA-III [12], решающих уравнения диффузии нейтронов на треугольной и гексагональной разностных сетках, на основе стандартной стратегии внешних--внутренных итераций. Программы HEXAGA, используемые интенсивно для расчётов связанных с проектированием и эксплуатацией ядерных реакторов в Польше и других странах (в Бельгии, Болгарии, Германии), делают возможным получать результаты вычислений в несколько раз быстрее чем другие компьютерные программы этого типа, а их преимущество возрастает с ростом числа точек разностной сетки. Сравнение результатов расчётов HEXAGA-II и английской программы SNAP для реакторной задачи ВВЭР-1000 данное в следующей таблице (4 сек CYBER 73 = 10 сек ЕС-1040).

Число сет. Число Время на точек на энерго- CPU одну энерго-

Программа одной гек- -простр. kef f время простр. Компьютер сагональной точек сек. точку кассете милисек.

1 288 1. 11715 6 0. 0208

12 1024 1. ,11375 14 0. 0136

HEXAGA-II 27 2208 1. ,11279 34 0. 0154 CYBER 73

48 3844 1. ,11240 60 0. 0156

108 8462 1. ,11211 237 0. 0280

1 92 1. ,11387 26 0. 283

SNAP 6 552 1. ,11068 150 0. 272 ЕС-1040

24 2208 1. ,11124 894 0. 405

96 8832 1. .11175 6435 0. 729

Эти результаты были представлены на конференции по физике реакторов в Knoxville, США, в 1985г [13], где результаты для программы SNAP даны в [56].

В Польше программа HEXAGA-11 была использована в расчётах реактора ядерной электростанции "Жарновец", которые проводились в 1980 годах, а также при физических расчётах исследовательских реакторов EWA и MARIA, необходимых при разработке отчёта безопасности и текущей эксплуатации реактора. Проверка результатов вычислений, полученных при помощи программы HEXAGA-II на основании данных по эксплуатации реактора EWA показала великолемную согласованность [74]. Надо отметить, что для реактора EWA и ядерной электростанции "Жарновец", имеющих гексагональную структуру сетки топливных элементов, имело место полное совпадение с геометрией треугольной сетки программы HEXAGA-11. В поперечном сечении реактора MARIA каналы твэлов размещены в квадратной сетке, а именно применение мелкой треугольной сетки программы HEXAGA-11 позволило восстановить круглый вид каналов твэлов и детали сложной геометрическо-мате-риальной конфигурации реактора MARIA, более точным образом, чем это было-бы возможно в программе с прямоугольной ориентацией сетки. Программа HEXAGA-11 в настоящее время используется в расчётной системе разработанной для нужд реактора MARIA.

Для того, чтобы представить подготовку входных данных программы HEXAGA-II для реакторных задач при мелкой сетке были разработаны две вспомогательные программы HEX1-22 и HEXI-23 [11]. Эти вспомогательные программы предназначены для производства первой части входных данных программы HEXAGA-11 (связанных с описанием материально-геометрической конфигурации точечной сетки) для данной реакторной задачи, в которой шаг однородной треугольной сетки уменьшается два раза в случае программы HEX 1-22 и три раза в случае программы HEXI-23. Эти программы используют такие же входные данные, как программа HEXAGA-II без ввода добавочной входной информации. Каждые выходные данные программ HEXI могут быть использованы как новые входные данные программ HEXI. Таким образом, если мы имеем входные данные программы HEXAGA-11 описывающие данную реакторную задачу с минимальным числом точек сетки и используем любую комбинацию входных/выходных данных программы HEXI-22 и/или HEXI-23 мы можем производить входные данные программы HEXAGA-11 для расположения точек сетки для этой задачи с шагом сетки уменьшенным согласно i к следующим множителям: 2 3 для любых целых чисел 1.к > О.

В случае трёхмерной программы HEXAGA-III были разработаны аналогичные вспомогательные программы HEXI-32 и HEXI-33 [12].

Надо заметить, что в прошлом автор принимал активное участие в работе и систематических заседаниях пятой тематической группы ВМК (Временный Международный Коллектив) работающей под руководством Профессора В.И.Лебедева по обзору математических вопросов физики реакторов ВВЭР [75]. Кроме того, автор тесно сотрудничал с Институтом ядерных исследований и ядерной энергетики в

Софии [50], где была разработана болгарская версия программы HEXAGA, известная под названием НЕХАВ, и применяемая при расчётах связанных с эксплуатацией энергетических ядерных реакторов ВВЭР работающих в Болгарии.

Актуальные версии программ HEXAGA работают на основе, предложенной в диссертации, стратегии глобальных-внешних-внутренних итераций.

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав и приложения.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Возницки Збигнев И.

6. выводы

Опыт автора по численным методам линейной алгебры связан в основном с эшением многомерных и многогрупповых уравнений диффузии нейтронов, играющих /щественную роль в математическом описании физических явлений, имеющих место ядерных реакторах. Решение многомерных уравнений диффузии нейтронов, пред-гавляющих класс эллиптических дифференциальных уравнений в частных производ-ых второго порядка, сводится к решению эквивалентных разностных уравнений ипа Аф = с; где матрицы А имеют разреженную структуру и монотонны т.е., довлетворяют условию, что обратная матрица существует и она неотрицательна А."1 > 0).

Системы линейных уравнений с матрицами А этого типа появляются во многих адачах современной науки и техники, что способствует тому, что теоретичес-ие и практические результаты, полученные автором при численном анализе задач еакторной физики, имеют общее значение.

В подглавах 1.1 до 1.4 описаны предфакторизационные итерационные методы связи с совокупностью результатов научных исследований автора по линейной лгебре.

Матричный формализм введённый автором для описания методов EWA и AGA казался также полезным при классификации предфакторизационных методов других второв. В таблице 1.1 из работы [41], приведённой на стр. 8, отдельные етоды определяются с помощью выбора матриц Н и Q, где методы Якбби и Гаусса-Зейделя могут рассматриваться как некоторые дегенеративные виды предфактори-ационных методов. Классификация предфакторизационных методов, представленная втором на международной конференции в Париже в 1987г., получила первый приз конкурсе на лучшую работу.

Более ранние теоретические результаты автора, полученные для регулярных асщеплений, приведённые в подглаве 1.2, были предметом его кандидатской дис-ертации, защищенной в 1973г. [38]. Varga [30], как первый в литературе пред-ета, обратил внимание на значение результатов кандидатской диссертации втора и с тех пор, многие авторы ссылаются на эти результаты, используя их в воих работах. Итак, они были отмечены основоположником методов расщепления ссылки 8,9,10,11,15,16 в работе [9]).

В подглаве 1.3 описаны более важные результаты теории неотрицательного асщепления [9] полученные, после защиты кандидатской диссертации, во время ноголетних исследований вопросов монотонности, которые ведутся автором осо-енно интенсивно в последние годы [34,35,52,53]. Теоремы этой теории сущест-енно важны для анализа сходимости итерационных методов решения систем линей-ых уравнений с монотонными матрицами.

В подглаве 1.4 описано применение верхней релаксации в предфакториза-июнных алгоритмах AGA [10], соответствующей двухкратному расщеплению матри-ы решаемой задачи, которые оказались исключительно эффективными для решения искретных многомерных эллиптических задач появляющихся в физике ядерных ректоров. Алгоритмы метода AGA с двойной верхней релаксацией были внедрены в вумерных и трехмерных компьютерных программах HEXAGA-II [11] и HEXAGA-III 12], решающих уравнения диффузии нейтронов в треугольной и гексагональной еометрии разностной сетки.

Анализ критериев сходимости, использующихся для остановки итерационного роцесса метода сопряжённых градиентов с точки зрения корректности полученных езультатов, представленный в работе [14], описан в подглаве 1.5. На основе нализа полученных численных результатов можно сделать вывод о том, что метод опряжённых градиентов не во всех задачах имеет преимущество по отношению к ругим методам для классических решений, а выбор соответствующих критериев ходимости недооценивается многими авторами. В этой работе показано, что ритерии, использованные некоторыми авторами, не гарантируют получения езультатов с ожидаемой пользователем точностью. Исследования эффективности етода сопряжённых градиентов привели к открытию компенсационного эффекта для екоторого класса стартовых векторов, употребление которых даёт очень сильное величение скорости сходимости итерационного процесса. Представленный в рабо-е анализ вектора ошибок позволил выяснить причины компенсационного эффекта.

В диссертации изложены многие теоретические результаты, которые были олучены неожиданно, как побочный продукт исследований посвящённых другой ематике. Примером этому может служить алгоритм Sigma-SOR [8,] дающий заранее очную оценку оптимального параметра релаксации и описанный в подглаве 1.6. аиболее важным теоретическим результатом этой работы является показание ого, что минимальные значения спектрального радиуса и поддоминантного отно-ения в методах SOR выражаются той самой формулой, полученной первоначально oung'oM [3]. В случае медленно сходящихся задач алгоритм Sigma-SOR имеет чень сильные преимущества по сравнению с общеиспользуемым адаптационным етодом [3], в котором оптимальный параметр релаксации a)opt определяется динамически" во время выполнения итерационного процесса.

Некоторые исследования разностных схем в треугольной геометрии, выпол-енные автором, привели к модификации 7-точечной разностной схемы, позволя-)щей сократить в три раза число точек разностной сетки, а ошибка аппроксимации получаемых решений близка ко второму порядку. Модификация разностной :хемы и полученные результаты были представлены на конференции по реакторной >изике в Мюнхен в 1981г. [33].

Более ранние результаты автора, представленные во главе 1, стали основой гтавного предмета исследований настоящей диссертации и представлены в осталь-ых главах.

На защиту выносится предложенный автором метод решения многомерных задач еории диффузии нейтронов на основе метода трёхуровневых (глобальных-внешних-внутренних) итераций, который является обобщением хорошо известного метода нешних-внутренних итераций.

По результатам работы сформулированы следующие выводы, как основные оложения выносимые на защиту:

1. Матричная формулировка, позволяющая точно и наглядно представить заимозависимость между внутренними и внешними итерациями на уровне глобаль-ых итераций.

Представленный матричный формализм является пионерским в литературе, строгим анализом метода численного решения многомерных задач многогрупповой теории диффузии нейтронов.

2. Доказательство сходимости метода EQUIPOISE, основанного на стратегии лобальных-внешних итераций.

В 1977 Nakamura в своей книге [54] написал на стр.133, что: "Доказательство сходимости EQUIPOISE является интересной задачей, хотя не было проведено ни одно удовлетворительное исследование." (" The proof for convergence of EQUIPOISE scheme is an interesting problem, although not any satisfactory study has been done.").

3. Доказательство того, что расщепление матриц при помощи двойной верх-ей релаксации, использованной в предфакторизационном методе AGA, позволяет ущественно увеличить скорость сходимости решаемых задач по сравнению с дру-ими существующими методами.

Свойство сходимости итерационных стратегий, рассмотренных в главах 3 и 4 , поясняется на большом числе численных экспериментов для различных типов реакторных задач. Все вычисления были выполнены при помощи двухмерных программ HEXAGA, HEXSOR и HEXSLOR, основанных соответственно на алгоритмах метода AGA с двойной верхней релаксацией, точечном SOR и 1-линейном SOR (SLOR), решающих по 7-точечной разностной формуле в однородной треугольной сетке.

Анализ большого числа численных результатов полученных для рассмотренных задач, представляющих разные типы быстрых и термических реакторов, позволяет сделать вывод, что решения при наименьшей затрате на компьютерные вычисления могут быть получены при помощи итерационной стратегии, использующей 1 внутреннюю итерацию на одну глобальную итерацию в программе HEXAGA, алгоритм которой основан на одной из простейших моделей предфакторизационных методов AGA (описанных в главе 1) при использовании процесса двойной верхней релаксации как эффективной техники ускорения сходимости. Это приводит к выводу, что выбор матриц расщепления имеет определяющее влияние на эффективность метода, используемого для решения задач теории диффузии нейтронов и наблюдаемое поведение сходимости решений при помощи HEXAGA указывает на значительный потенциал двухкратных расщеплений происходящих от префакториза-ционных методов AGA.

Для всех рассматриванных реакторных задач, программа HEXAGA даёт решения от 2 до 5 раз более быстрые по сравнению с результатами программы HEXSLOR.

4. Априорная оценка значения параметра релаксации wbest, максимизирующего корость сходимости метода AGA, который используется в алгоритме программы EXAGA.

В случае алгоритма HEXAGA можно заметить несколько регулярных отклонений wbest от wopt в рассмотренных задачах и, кроме того, w t скорее всего нечувствительно к использованному числу внутренних итераций на одну внешнюю итерацию. Следующая формула best = "opt + --даёт очень хорошее приближение к верному значению cobest для большого класса реакторных задач, где g(W1) есть спектральный радиус итера

-1 ционной матрицы W при и = 1, обозначенный как "W^ = Мд NA; и caopt оптимальный спектральный радиус матрицы Ww в процессе двухкратной верхней релаксации, использованной в программе HEXAGA. Оценка cjopt в программе HEXAGA может быть получена при помощи эффективной техники описанной в работе [10].

5. Графическая интерпретация собственных значений матриц, характеризу-|щих рассмотренные итерационные стратегии.

6. Доказательство высокой достоверности результатов программы НЕХАСА.

Как можно заметить во всех рассмотренных случаях, НЕХАСА даёт решения при максимальной относительной ошибке 60-градусной симметрии сзут меньшей на десять порядков по сравнению с результатами, полученными при помощи НЕХБЬОК. В решениях, полученных по критерию с^ ^ 10~5, потоки в точках сетки, расположенных симметрично по отношению к более короткой диагонали шаблона, имеют те же самые значения при 15 значащих цифрах для НЕХАСА и 5 значащих цифрах для НЕХЗУЭЯ. В случае НЕХБШН значения езут сравнимы по величине с у с использованными для остановки итерационного процесса. Последние результаты, использованы в исследовании достоверности задачи термического реактора, вытекающей из задачи Зад.5.

Эти результаты НЕХАСА, при великолепных свойствах симметрии решения , позволяют предположить, что в случае несимметрических конфигураций реакторных задач, НЕХАСА может дать на много более достоверные решения, чем решения полученные с помощью НЕХБиэи. Это свойство решений, полученных при помощи НЕХАСА, является особенно важным в сопряжённых вычислениях потока нейтронов, использованных для получения ответа на малые возмущения.

В заключение стоит упомянуть, что НЕХАСА даёт решения при использовании арифметики с однократной точностью для больших реакторных задач, для которых решение при помощи НЕХЗЬОИ может быть получено только при использовании арифметики с двухкратной точностью, как было показано в задаче Зад.6.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор желает сердечно поблагодарить в первую очередь научного директора нститута атомной энергии Доктора К.Ветеску за постоянно проявляемый добро-елательный интерес к данной работе, а Проф. Б.Словинского за выступление нициатором процедуры диссертации.

Автор обязан значительной существенно-редакционной помощью своему другу р. Г. Енджеецу, за что горячо его благодарит.

Автор приносит также благодарность Проф.В.С.Барашенкову и Др.А.Полянско-у за много ценных предложений связанных с организацией и редакцией рукописи иссертации. Эти замечания положительно отразились на уровне работы.

Автор благодарит также Проф.Е.П.Жидкова и Др.3.М.Иванченко за ценные амечания, полученные им во время пребывания в ОИЯИ в Дубне.

На конец, автор желает тепло поблагодарить свою дочь Александру за неко-орые полезные редакционные замечания и внушения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Возницки Збигнев И., 1998 год

1. J.Duderstadt and L.S.Hamilton, Nuclear reactor analysis, Wiley, New York, 1976.

2. E.L.Wachspress, Iterative solution of elliptic systems and applications to the neutron diffusion equation of reactor physics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J, 1966.

3. L.A.Hageman and D.Young, Applied iterative methods, Academic Press, New York, 1981.

4. D.R.Ferguson and K.L.Derstine, Optimized iteration strategies and data management considerations for fast reactor finite difference diffusion theory codes, Nucl. Sei. Eng., 64, 593-604, 1977.

5. R.Fröhlich, Positivity theorems for the discrete form of the multigroup diffu- sion equations, Nucl. Sei. Eng., 34, 57-66, 1968.

6. M.L.Tobias and T.B.Fowler, The EQUIPOISE method A simple procedure for group-diffusion calculations in two and three dimensions, Nucl. Sei. Eng., 12, 513-518, 1962.

7. C.H.Adams, Current trends in methods for neutron diffusion calculations, Nucl. Sei. Eng., 64, 552-562, 1977.

8. Z.I.Woznicki, The sigma-SOR algorithm and the optimal strategy for the utilization of the SOR iterative method, Mathematics of Computations, 206, 619-644, 1994.

9. Z.I.Woznicki, Nonnegative splitting theory, Japan J. Indust. Appl. Math., 11, 289-342, 1994.

10. Z.I.Woznicki, Estimation of the optimum relaxation factors in partial factorization iterative methods, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 14, 59-73, 1993.

11. Z.I.Woznicki, HEXAGA-11-120, -60, -30 two-dimensional multigroup neutron diffusion programmes for a uniform triangular mesh with arbitrary group scattering, Rep. KFK 2789, Kernforschungscentrum Karlsruhe, Germany, 1979.

12. Z.I.Woznicki, HEXAGA-111-120, -30 three-dimensional multigroup neutron diffusion programmes for a uniform triangular mesh with arbitrary group scattering, Rep. KfK 3572, Kernforschungscentrum Karlsruhe, Germany, 1983.

13. Z.I.Woznicki, On numerical analysis of conjugate gradient method, Japan J. Indust. Appl. Math., 12, 487-519, 1993.

14. G.H.Golub and C.F.Van Loan, Matrix computations, Johns Hopkins Press, Baltimore, 1983.

15. Benchmark Problem Book, Rep.ANL-7416, Suppl.2, 228-237, 1977.

16. Benchmark Problem Book, Rep.ANL-7416, Suppl.3, 1985.

17. Э. J.M.Barry and J.P.Pollard, Performance of a nonstationary implicit scheme for solving large systems of linear equations, Nucl. Sci. Eng., 92, 2733, 1986.

18. Э. I.К.Abu-Shumays, Vectorization of transport and Diffusion Computations on the CDC Cyber 205, Nucl. Sci. Eng., 92, 4-19, 1986.1. Rep.ORNL-5792, 1981.

19. Z.I.Woznicki, On reliability of solution symmetry in neutron diffusion theory problems, Proc. International Conference on the Physics of Reactors PHYSOR'96, Mito, Ibaraki, Japan, September 16-20, 1996, A21-A30.

20. G.I.Bell and S.Glasstone, Nuclear Reactor Theory, Van Nostrant Reinhold Company, 1970.

21. Г.И.Марчук и В.И.Лебедев, Численные методы в теории переноса нейтронов, Москва Атомиздат, 1981.

22. С.К.Годунов и B.C.Рабенький, Разностные схемы. Введение в теорию, М., Наука, 1973.

23. И.С.Березин и И.П.Жидков, Методы вычислений, Т.2. М., Физматгиз, 1962.

24. I.M.Gelfand and S.V.Fomin, Calculus of variations, Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, 1963.

25. R.S.Varga, Matrix iterative analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1962.

26. В.И.Лебедев, Итерационный метод с чебышевскими параметрами для определения наибольшего собственного значения и соответствующей собственной функции, ЖВМ и МФ, т. 17, вып.1, 1977.

27. G.Csordas and R.S.Varga, Comparison of regular splittings of matrices, Numer. Math., 44, 23-35, 1984.

28. Z.I.Woznicki, EWA-II Two-Dimensional, Two-Group Diffusion Fast Code, Kernenergie 14, 325-329, 1971.

29. Т.Апостолов и З.Возницки, Диффузионная двумерная программа HEXAGA II для многогрупповых расчетов гексагональных решеток, Атомная Энергия, т. 38, ВЫП. 6, 372-374, 1975.

30. Z.I.Woznicki, Comparison Theorems for Regular Splittings on Block Partitions, Linear Algebra and its Applications 253, 199-207, 1997.

31. Z.I.Woznicki, The Numerical Analysis of Eigenvalue Problem Solutions in the Multigroup Neutron Diffusion Theory, Institute of Atomic Energy, Otwock-Swierk, Report IEA-6/A (125p.), June 1995.

32. Z.I.Woznicki, AGA Two-Sweep Iterative Methods and their Applications in Critical Reactor Calculations, Nukleonika 23, 941-968, 1978.

33. Н.И.Булеев, Численный метод решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии, Математический Сборник, т.51, No.2, 227-238, 1960.

34. Н.И.Булеев, 0 численном решении двумерныцх уравнений элиптического типа, Численные Методы Механики Сплошной Среды, т.6, No.2, 18-28, 1975.

35. Н.И.Булеев, Новый вариант метода неполной факторизации для решения двумерных разностных уравнений диффузии, Численные Методы Механики Сплошной Среды, т.9, No.l, 5-19, 1978.

36. R.S.Varga, Factorization and normalized iterative methods, Boundary Problems in Differential Equations, edited by R.E.Langer, University of Wisconsin Press, Madison, 121-142, 1960.

37. T.A.Oliphant, An extrapolation procedure for solving linear systems, Quart. Appl. Math. 20, 257-267, 1962.

38. H.Stone, Iterative solution of implicit approximations of multi-dimensional partial differential equations, SIAM J. Numer. Anal. 5, 530-558, 1968.

39. J.M.Ortega and W.Rheinboldt, Monotone iterations for nonlinear equations with applications to Gauss-Seidel methods, SIAM J. Numer. Anal. 4, 171190, 1967.

40. I.Marek and D.Szyld, Comparison theorems for weak splittings of bounded operators, Numer. Math. 58, 389-397, 1990.

41. T.Г.Апостолов, П.Т.Петков и З.Возницки, Двухмерная многогрупповая диффузионная программа EBA-II-30, Ядерна Энергия 3, 8-15, София, 1976.

42. Zbigniew Woznicki, Dwuprzebiegowe metody iteracyjne AGA rozwi^zywania duzych ukladow röwnari liniowych, Rocznik Polskiego Towarzystwa Matema-tycznego, Seria III: Matematyka Stosowana VI, 5-16, 1976.

43. М.Н.Зизин, Л.К.Шишков, Л.H.Ярославцева, Тестовые нейтронно-физические расчеты ядерных реакторов, М., Атомиздат, 1980.

44. В. M.Makai, Response Matrix of Symmetric Nodes, Nucl.Sci.Eng., 86, 302-314, 1984.

45. Г.И.Марчук, Методы расчета ядерных реакторов, М. , Атомиздат, 1961.

46. Г.И.Марчук, Методы вычислительной математики, М., Наука, 1989.

47. А.А.Самарский. Е.С.Николаев, Методы решения сеточных уравнений, М.,Наука, 1978.

48. Э. А.А.Самарский, Теория разностных схем, М., Наука, 1983.

49. А.А.Самарский, Введение в численные методы, М., Наука, 1987.

50. А.А,Самарский, А.В.Гулин, Численные методы, М., Наука, 1989.

51. Н.Н.Яненко, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосибирск, Наука, 1967.

52. Н.С.Бахвалов, Основы вычислительной математики: Курс лекций, М. , Изд-во МГУ, 1970.

53. В.В.Воеводин, Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы, М., Наука, 1966.

54. В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов, Матрицы и вычисления, М., Наука, 1984.

55. Ф.Р.Гантмахер, Теория матриц, М., Наука, 1967.

56. Ю.А.Кузнецов, Итерационные методы решения несовместных систем линейных уравнений. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики, Новосибирск, Наука, 1975.

57. Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева, Вычислительные методы линейной алгебры, Л., Наука, 1975.

58. V.P.Il'in, Iterative Incomplete Factorization Methods, World Scientific, 1992.

59. А.Хассит, Теория диффузии в двух- и трёхмерной геометрии. В кн. Вычислительные методы в физике реакторов, М., Атомиздат, 1972, с.50.

60. Ю.В.Воробьев, Случайный итерационный процесс, ЖВМ и МФ, Т. 5, No.6, 1964.

61. K.Pytel, W.Mieleszczenko, Z.Woznicki, Физические расчёты реактора EWA с топливом ВВР-М2, Внутренний отчёт ИАЭ номер: 145/R-V/90, Институт атомной энергии, Отвоцк-Сверк, 1990 (по-польски).

62. NPY Seminar on Numerical Solution of Multi-Dimensional Neutron Diffusion Equations, Warsaw, Poland, March 1969;

63. Seminar on Reactor Physics Calculations, Budapest, Hungary, October 1969;

64. The INEA Third International Advanced Summer School in Reactor Physics, Hercegnovi, Yugoslavia, September 1970;

65. Reaktortagung, Düsseldorf, West Germany, March 1976;

66. Conference on Numerical Methods of Mathematical Physics, Novosibirsk, Soviet Union October 1980;

67. ANS/ENS International Topical Meeting on Advances in Mathematical Methods for Nuclear Engineering Problems, Munich, Germany, April 1981;

68. International Meeting on Advances in Nuclear Engineering Computational Methods, Knoxville, USA, April 1985;

69. International Topical Meeting on Advances in Reactor Physics, Mathematics and Computations, Paris, France, April 1987;

70. International Conference on Linear Algebra and Applications, Valencia, Spain, September 1987;

71. International Conference on the Physics of Reactors: Operation, Design and Computations, Marseille, France, April 1990;

72. Copper Mountain Conference on Iterative Methods, Copper Mountain, Colorado, USA, April 1992;

73. Two Matrix Theory Meetings in Technion, Haifa, Israel, June 1993;

74. Third SI AM Conference on Linear Algebra in Signals, Systems and Control, Seattle, USA, August 1993;

75. The International Conference on Reactor Physics and Reactor Computations, Tel Aviv, Israel, January 1994;

76. ICIAM'95 The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Hamburg, Germany, July 1995;

77. WCNA'96 The Second Congress of Nonlinear Analysts, Athens, Greece July 1996;

78. PHYSOR'96 International Conference on the Physics of Reactors, Mito, Ibaraki, Japan, September 1996;

79. Czech-U.S. Workshop on Iterative Methods and Parallel Computing, Milovy, Czech Republic, June 1997;1. 15th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics, Berlin, Germany, August 1997;

80. XII Conference on Applied Mathematics PRIM'97, Palic, Yugoslavia September, 1997;

81. Sixth SIAM Conference on Applied Linear Algebra, Snowbird, Utah, USA, October 1997;