К Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Дудкина, Анна Александровна

• Дудкина, Анна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дудкина, Анна Александровна

Введение

1 Постановки эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами и подходы к их решению

1.1 Краткий обзор Ьр -теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами

1.2 Обобщенные постановки в классе с первыми производными из Ьр.

1.3 Ьр-теория эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами как проблема Ьр - разложения Ходжа

2 Ьр -теория модельных задач

2.1 Преобразование Фурье.

2.2 Задачи Штурма-Лиувилля

2.3 Метод Фурье для модельных задач.

2.4 Локальные Ьр -оценки.

3 Размерности ядра и коядра

3.1 Компактные линии разрыва в К2.

3.2 Эффект взаимодействия бесконечной и конечных особых точек в К2.

3.3 Задача Дирихле для ограниченной области

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами»

Обобщенные решения линейных эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами являются объектом исследования огромного числа работ. В большей части этих работ вопросы существования и единственности решений исследуются в рамках Ьг-теории, т. е. в пространствах Соболева И^. Значительно меньше внимания уделяется вопросам существования и единственности решений в рамках ¿^-теории при р ф 2 даже в случае уравнений второго порядка в дивергентной форме.

В диссертации исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из Ьр для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью в случае двух переменных. При одинаковой знакоопределенности кусочно-постоянных коэффициентов частный случай р = 2 интереса не представляет, так как теорема существования и единственности обобщенного решения при р — 2 совпадает с теоремой Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве.

В работах Мазьи В.Г., Пламеневского Б.А. [11] и Кондратьева В.А. [7] классы решений являются весовыми, причем случай единичного веса исключается. В работе Мазьи В.Г., Реберга И., Элшнера И., Шмидта Г. [71] вес единичный, но не рассматривается плоский случай. В диссертации рассматриваются классы решений с первыми производными из Ьр без веса во всей шкале значений показателя р Е (1,оо). Работы Аушера П. [26], Ди-Фацио Дж. [50] и Мейерса Н.Г. [72] также касаются класса решений с первыми производными из Ьр без веса для эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме и с дивергентной правой частью. Однако, в отношении рассматриваемых в диссертации задач результаты [26], [50], [72] носят частный характер.

В вышеупомянутых работах не поднимается вопрос о необходимых и достаточных условиях того, что особая точка линий разрыва коэффициентов будет особой точкой решения, как не ставится и вопрос о вкладе особых точек линий разрыва коэффициентов в размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора. А эти вопросы интересны и важны с прикладной точки зрения. Рассматриваемые задачи описывают, в частности, стационарную теплопроводность многокомпонентных твёрдых тел. Например, композитов, когда каждая компонента имеет свой коэффициент теплопроводности, а поверхности разрыва коэффициента теплопроводности не являются гладкими (см. также [63]). Интересно, что даже в случае сколь угодно малой разницы в значениях смежных коэффициентов теплопроводности, негладкости поверхностей разрыва коэффициентов могут порождать особые точки решений, в окрестности которых градиенты решений не ограничены. При этом характер особенностей не исключает принадлежность градиентов решений к Ьр при достаточно больших р.

Работ, посвященных размерностям ядра и коядра эллиптического оператора в дивергентной форме очень мало. Стоит отметить только работы Ильина Е.М. [5, 6], постановка и общий подход в которых, схожи с постановкой и подходом в диссертации. В работе [5] исследуются особенности, возникающие у слабых решений краевых задач для равномерно эллиптического оператора второго порядка с дивергентной главной частью сНу^Угг) в ограниченной области О, С М2 с разрывными коэффициентами. В [5] предполагается, что граница сЮ - кусочно непрерывно дифференцируема и имеет угловые особые точки с ненулевыми углами. При этом гладкие непересекающиеся кривые разбивают на подобласти {^А;}^1 так, что производные решения претерпевают разрывы первого рода на кривых Допускаются пересечения кривых Г^ с сЮ под ненулевыми углами. На линиях разрыва коэффициентов Г^ задаются условия непрерывности решения и его производной по конормали. В [5] рассматривается стандартная обобщенная постановка задачи для класса И/21(^)-Слабое обобщенное решение с односторонней гладкостью класса И7! (^/с), к = 1,., т + 1 называется в [5] сильным решением. Тогда как существование и единственность слабого решения гарантированы теоремой Рисса, сильное решение, единственность которого очевидна, может не существовать. Вопрос о коразмерности области значений эллиптического оператора в для сильных решений сводится к подсчету собственных чисел А = — /х2 с условием 0 < [I < 1 в соответствующих модельных задачах Штурма-Лиувилля.

В работе [6] изучаются схожие с [5] вопросы, но для случая, когда линии разрыва имеют внутренние угловые точки. При этом матрица А в окрестности особых точек не предполагается скалярной. Работа [6] опирается на схему Кондратьева В.А. [7], применимость которой к рассматриваемым задачам в весовых классах установил Совин Я.А. в [20, 21]. Ильиным Е.М. установлено, в частности, что число собственных чисел Л = — ¡л2 в соответствующих модельных задачах Штурма-Лиувилля с условием 0 < ¡1 < 1 для нескалярной матрицы А может быть сколь угодно велико.

В диссертации вопросы существования и единственности решений рассматриваются во всей шкале значений показателя р 6 (1,оо), а в работах [5, 6] только при р = 2. Ильин Е.М. рассматривает класс решений с односторонней гладкостью И^, а в диссертации рассматривается класс решений с первыми производными из Ьр, если область неограничена, или класс 1¥р, если область ограничена.

В диссертации вычисляются размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора во всей шкале значений показателя р(Е(1,оо). Ненулевые размерности ядра и коядра появляются из-за особых точек решений, к которым относятся, например, точки негладкости линий разрыва коэффициентов и точки пересечений гладких линий разрыва коэффициентов с гладкой границей. Необходимым и достаточным условием существования особых точек является наличие в соответствующей задаче Штурма-Лиувилля собственных чисел А = — /л2 с корнями д 6 (0,1).

Прикладное значение задач, рассматриваемых в диссертации, не ограничивается стационарной теплопроводностью многокомпонентных твердых тел. Другим важным приложением является теория упругости многокомпонентных материалов, в частности, теория равновесия неоднородных многокомпонентных мембран.

Целью работы является:

• Исследование вопросов существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из Ьр для эллиптического уравнения в!2в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью.

• Вычисление размерностей ядра и коядра рассматриваемых эллиптических операторов с разрывными коэффициентами в классе решений с первыми производными из Ьр во всей шкале значений показателя р 6 (1, оо).

• Исследование условий существования особых точек решений, которые порождаются негладкостыо линий разрыва коэффициентов, их пересечением между собой и пересечением с границей.

Основные результаты и научная новизна состоят в следующем:

• Установлено существование собственных чисел Л = — ц2 с корнями ¡1 £ (0,1) для модельных задач Штурма-Лиувилля, возникающих при разделении переменных. Существование таких корней ц £ (0,1) строго доказано для случая точки излома линии разрыва коэффициентов и для точек пересечения линии разрыва коэффициентов с гладкой границей и с угловой точкой границы. В общем случае, когда в особой точке пересекается несколько линий разрыва коэффициентов, существование корней fi € (0,1) подтверждается многочисленными примерами, построенными с помощью вычислений на Maple 11;

• Для обобщенных решений модельных эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами в классе с первыми производными из Lp дается полное обоснование метода Фурье, с выводом соответствующих Ьр-оценок;

• Устанавливаются априорные Lp-оценки первых производных обобщенных решений эллиптических краевых задач с кусочно-постоянными коэффициентами в случае компактных линий разрыва коэффициентов на всей плоскости и для задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике;

• Вычислены размерности ядра и коядра эллиптического оператора с кусочно-постоянными коэффициентами: для случая компактных линий разрыва коэффициентов на всей плоскости и для задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике во всей шкале значений показателя р Е (1, оо) в зависимости от параметров особых точек. Установлен эффект взаимодействия бесконечной и конечных особых точек.

Диссертация носит теоретический характер. Тем не менее, полученные результаты имеют важное прикладное значение в вопросах теплопроводности и упругости многокомпонентных неоднородных материалов. Эти результаты также могут быть использованы и для развития Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами, в частности, для построения примеров и контрпримеров, способствующих развитию и углублению теории Lp-разложений Ходжа[26].

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 85 наименований. Диссертация содержит 21 рисунок и 8 таблиц. Общий объем диссертации составляет 176 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дудкина, Анна Александровна, 2010 год

1. Боговский М.Е. Аналитико-численные методы для уравнений Навье-Стокса. - М.: РУДН, 2008.

2. Дудкина A.A. О размерностях ядра и коядра эллиптического оператора с разрывными коэффициентами.// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика. Информатика. Физика. М.: РУДН, 2008. № 4. - С. 20-29.

3. Дудкина A.A. К Ьр-теории эллиптических операторов с разрывными коэффициентами// ДАН. 2010. Т. 430, № 3. - С. 310-313.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.Т. 2. — М.: Мир, 1998.

5. Ильин Е.М. Особенности слабых решений эллиптических краевых задач с разрывными старшими коэффициентами.// АН СССР. Записки ЛОМИ. 1973. - Т. 38. - С. 33-45.

6. Ильин Е.М. Особенности слабых решений эллиптических уравнений с разрывными старшими коэффициентами. Угловые точки линий разрыва.// АН СССР. Записки ЛОМИ. 1974. - Т. 47. - С. 166-169.

7. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. // Труды Моск. мат. общ. 1967. - Т. 16. - С. 209-292.

8. Лизоркин П.И. Обобщенное Лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций.// Труды мат. инст. АН СССР. — 1969. — Т. 105. — С. 89-98.

9. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями.// ДАН СССР. 1973. - Т. 210, № 3. - С. 529-532.

10. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками.// Math. Nachr. 1977. 76. - С. 29-60.

11. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Lp и в классах Гёльдера и принцип максимума Миранда-Агмона для решений эллиптическихкраевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1978. 81. - С. 25-82.

12. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Апроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей.// Сиб. мат. журн. — 1983. — Т. 24, № 5. С. 149-171.

13. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Апроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики. Дифференциальные уравнения с частными производными. — Н.: Наука, 1986. — С. 129-137.

14. Олейник O.A. Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами.// ДАН СССР. — 1959. Т. 124, № 6. - С. 1219-1222.

15. Олейник O.A. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами.// Известия АН СССР. 1961. - № 25. - С. 3-20.16. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — М.: ИЛ, 1956.

16. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1973.

17. Соболев C.JI. Плотность финитных функций в пространстве L™(En).// Сиб. мат. журн. 1963. - Т. 4, № 3. - С. 673-682.

18. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики.// Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1954. - Т. 18, № 1. - С. 3-50.

19. Совин Я.А. Эллиптические граничные задачи для плоских областей с углами и разрывами, выходящими на границу.// ДАН СССР. — 1969. Т. 187, № 5. - С. 995-997.

20. Совин Я. А. Некоторые краевые задачи для эллиптических уравнений с особенностями на части границы.// Мат. Физ. Респ. межвед. сб. — 1975. Т. 18. - С. 149-152.

21. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.

22. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. — М.: Добросвет, 2005.

23. Aronsson G., Talenti G. Estimating the integral of a function in terms of a distribution function of its gradient.// Boll. Un. Mat. Ital. B (5) 18. — 1981. m 3. P. 885-894.

24. Astala K., Faraco D., Szekelyhidi L. Convex integration and the LP theory of elliptic equations.// Max Planck Institute MIS, preprint no. 70. — 2004.

25. Ausher P. On necessary and sufficient conditions for .//-estimates of Riesz transforms associated to elliptic operator on K.n and related estimates.//Memoirs of the AMS. 2007. - V. 186, № 871.

26. Auscher P., Qafsaoui M. Observations on Wl,p estimates for divergence elliptic equations with VMO coefficients.// Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artie. Ric. Mat. (8) 5. 2002. № 2. - P. 487-509.

27. Auscher P., Tchamitchian Ph. Square roots of elliptic second order divergence operators on strongly Lipschitz domains: LP theory.// Math. Ann. 320. 2001. m 3. - P. 577-623.

28. Bonanno G., Marano S.A. Elliptic problems in M.N with discontinuous nonlinearities.// Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 43. — 2000. №- 3. — P. 545-558.

29. Byun S. Elliptic equations with BMO coefficients in Lipschitz domains.// Trans. Amer. Math. Soc. 357. 2005. № 3. - P. 1025-1046 (electronic).

30. Byun S., Wang L. The conormal derivative problem for elliptic equations with BMO coefficients on Reifenberg flat domains.// Proc. London Math. Soc. (3) 90. 2005. № 1. - P. 245-272.

31. Byun S., Wang L. Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domain //J. Comm. Pure Appl. Math. 2004. — V. LVII. - P. 12831310.

32. Campanato S. Sistemi elliptic in forma divergence. Regolarita all'interno.// Quaderni, Scuola Normale Superiore Pisa, Pisa, 1980.

33. Canale A., Caso L., Transirico M. Second order elliptic equations with discontinuous coefficients in irregular domains.// Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. (5) 24. 2000. - P. 63-79.

34. Canale A., Longobardi M., Manzo G. Existence and uniqueness results for second order elliptic equations in unbounded domains.// Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5) 18. 1994. - P. 171-187.

35. Canale A., Longobardi M., Manzo G. Second order elliptic equations with discontinuous coefficients in unbounded domains.// Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5) 18. 1994. - P. 41-56.

36. Canale A., Caso L., Transirico M. Bounds for weak solutions of elliptic equations in weighted spaces.// Ricerche Mat. 50. — 2001. № 1. — P. 1934.

37. Caso L., Cavaliere P., Transirico M. On the maximum principle for elliptic operators.// Math. Inequal. Appl. 7. — 2004. № 3. P. 405-418.

38. Caso L., Cavaliere P., Transirico M. Solvability of the Dirichlet problem in W2,p for elliptic equations with discontinuous coefficients in unbounded domains.// Matematiche (Catania) 57. — 2002. № 2. — P. 287-302.

39. Caso L., Transirico M. The Dirichlet problem for second order elliptic equations with singular data.// Acta Math. Hungar. 76. — 1997. № 1-2. — P. 1-16.

40. Cavaliere P., Transirico M., Troisi M. Uniqueness result for elliptic equations in unbounded domains.// Matematiche (Catania) 54. — 1999. № 1. P. 139-146.

41. Caffarelli LA., Peral I. On W1,p estimates for elliptic equations in divergence form.// Comm. Pure Appl. Math. 51. — 1998. № 1. P. 1-21.

42. Cerutti M.C., Escauriaza L., Fabes E.B. Uniqueness in the Dirichlet problem for some elliptic operators with discontinuous coefficients.// Ann. Mat. Pura Appl. (4) 163. 1993. - P. 161-180.

43. Cerutti M.C., Fabes E.B., Manselli P. Uniqueness for elliptic equations with time-independent coefficients.// Progress in elliptic and parabolic partial differential equations, Pitman Res. Notes Math., 350. — 1996. — P. 112-135.

44. Consiglieri L., Muniz M.C. Existence of a solution for a free boundary-problem in the thermoelectrical modelling of an aluminium electrolytic cell.// European J. Appl. Math. 14. 2003. № 2. - P. 201-216.

45. Degond P., Genieys S., Jungel A. A steady-state system in non-equilibrium thermodynamics including thermal and electrical effects.// Math. Methods Appl. Sci. 21. 1998. № 15. - P. 1399-1413.

46. Di Fazio G. Z^-estimates for divergence form elliptic equations with discontinuous coefficients //J. Boll. Un. Mat. Ital.A. — 1996. — V. 10. — P. 409-420.

47. Di Fazio G., Palagachev D.K. Oblique derivative problem for elliptic equations in non-divergence form with VMO coefficients.// Comment. Math. Univ. Carolin. 37. 1996. № 3. - P. 537-556.

48. Di Fazio G. Oblique derivative problem for linear and quasilinear elliptic equations with discontinuous coefficients.// (Italian) Boll. Un. Mat. Ital. A (7) 11. 1997. № 2. - P. 567-577.

49. Di Fazio G., Palagachev D.K., Ragusa M.A. Global Morrey regularity of strong solutions to the Dirichlet problem for elliptic equations with discontinuous coefficients.// J. Funct. Anal. 166. — 1999. № 2. — P. 179196.

50. Elschner J., Kaiser H., Rehberg J., Schmidt G. W1,q regularity results for elliptic transmission problem on heterogeneous polyhedra// WIAS,preprint. 2005. - V. 1066.

51. Evans L.C. Partial differential equations.// Graduate Studies in Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI. — 1998. — V. 19.

52. Gilbarg D., Trudinger N.S. Elliptic partial differential equations of second order. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Fundamental Principles of Mathematical Sciences., 224. Springer-Verlag, Berlin, 1983. xiii+513 pp.

53. Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of solutions of second order elliptic differential equations.// J. Analyse Math. 4. — 1955/56. — P. 309340.

54. Groger K. A W1,p-estimate for solutions to mixed boundary value problems for second order elliptic differential equations.// Math. Ann. 283. 1989. № 4. - P. 679-687.

55. Hodge W. V.D. The theory and applications of harmonic integrals. Cambridge Univ. Press. 1989.

56. Jensen R.R. Uniformly elliptic PDEs with bounded, measurable coefficients.// J. Fourier Anal. Appl. 2. — 1996. № 3. P. 237-259.

57. Jerison D., Kenig C.E. The inhomogeneous Dirichlet problem in Lipschitz domains.// J. Funct. Anal. 130. — 1995. № 1. — P. 161-219.

58. Krylov N. V. Lectures on elliptic and parabolic equations in Holder spaces.// Graduate Studies in Mathematics, 12. Amer. Math. Soc., Providence, RI. — 1996. xii+164 pp.

59. Li Y., Nirenberg L. Estimates for elliptic systems from composite materials//J.Comm. Pure Appl. Math. — 2003. — V. LVI. P. 892-925.

60. Liskevich V. On C°-semigroups generated by elliptic second order differential expressions on IP-spaces.// Differential Integral Equations 9. 1996. № 4. - P. 811-826.

61. Lorenzi A. On elliptic equations with piecewise constant coefficients.1//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. — 1972. — V. , №. — P. .

62. Lorenzi A. On elliptic equations with piecewise constant coefficients.II//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. — 1972. — V. 26,4. P. 839-870.

63. Marino F. Lp,x regularity for divergence form elliptic equations with discontinuous coefficients //J. Matematiche (Catania). — 2004. — V. 57, № 1. P. 149-165.

64. Maslennikova V.N.,Bogovskii M.E. On non-closure of range of values of elliptic operator for plane angle //J. Ann. Univ. Ferrara. — 1993. — V. XXXIX, № VII. P. 65-75.

65. Maslennikova V.N., Bogovskii M.E. Elliptic boundary value problems in unbounded domains with noncompact and nonsmooth boundaries //Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1986 (1988). - V. 56. - P. 125-138.

66. Maugeri A., Palagachev D.K., Vitanza C. Oblique derivative problem for uniformly elliptic operators with VMO coefficients and applications.// C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 327. 1998. № 1. - P. 53-58.

67. Maz'ya V., Elschner J., Rehberg J., Schmidt G. Solutions for quasilinear nonsmooth evolution systems in LP / / J. Arch. Ration. Mech. Anal. — 2004. V. 171, № 2. - P. 219-262.

68. Meyers N.G. An Lp-estimate for the gradient of solutions of second order elliptic divergence equations// J. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. — 1963. — V. 17, № 3. P. 189-206.

69. Nadirashvili N. Nonuniqueness in the martingale problem and the Dirichlet problem for uniformly elliptic operators.// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) 24. 1997. № 3. - P. 537-549.

70. Piccinini L.C., Spagnolo S. Una valutazione della regolarita delle soluzioni di sistemi ellittici variazionali in due variabili.// (Italian) Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 27. 1974. - P. 417-429.

71. Pucci C., Talenti G. Elliptic (second-order) partial differential equations with measurable coefficients and approximating integral equations.// Advances in Math. 19. 1976. № 1. - P. 48-105.

72. Pucci C. Limitazioni per soluzioni di equazioni ellittiche.// (Italian) Ann. Mat. Pura Appl. (4) 74. 1966. - P. 15-30.

73. Safonov M. V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with mesuarable coefficients.// SIAM J. Math. Anal. 30. — 1999. № 4. — P. 879-895.

74. Safonov M. V. On a weak uniqueness for some elliptic equations.// Comm. Partial Differential Equations 19. 1994. № 5-6. - P. 943-957.

75. Serrin J. Pathological solutions of elliptic differential equations. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 18. 1964. - P. 385-387.

76. Shen Z. Necessary and sufficient condition for the solvability of the LP Dirichlet problem on Lipschitz domain //J. Math. Ann. — 2006. — V. 336. P. 697-725.

77. Simader C.G. On Dirichlet's boundary value problem. An IP-theory based on a generalization of Gàrding's inequality.// Lecture Notes in Mathematics, Vol. 268. Springer-Verlag, Berlin-New York. — 1972. iv+238 pp.

78. Stampacchia G. Le problème de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre coefficients discontinus//J. Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1965. V. 336, № 15. - P. 189-258.

79. Talenti G. Equazioni lineari ellittiche in due variabili.// (Italian) Matematiche (Catania) 21. 1966. — P. 339-376.

80. Transirico M., Troisi M. Second-order elliptic equations with discontinuous coefficients and of variational type in unbounded open subsets.// (Italian) Boll. Un. Mat. Ital. B (7) 2. 1988. № 2. - P. 385398.

81. Transirico M., Troisi M. The Dirichlet problem for elliptic equations with discontinuous coefficients.// (Italian) Note Mat. 7. — 1988. № 2. — P. 271309.