К Lp - теории системы Навье-Стокса для неограниченных областей с некомпактными границами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Боговский, Михаил Евгеньевич

• Боговский, Михаил Евгеньевич
• 1984

Оглавление диссертации Боговский, Михаил Евгеньевич

ВВБЩЕНИЕ.

ГЛАВА I. Задача Дирихле дом оператора div в пространствах

Соболева.

§ I. Явный вид решения задачи Дирихле для оператора div

§ 2. Оценки гладкости решения в зависимости от гладкости правой части.

ГЛАВА 2. Начально-краевая задача для системы Навье-Стокса в неограниченных областях с некомпактными границами.

§ I. Разложение или задача Неймана для уравнения Пуассона.

§ 2. Начально-краевая задача для линеаризованной системы Навье-Стокса.

§ 3. Начально-краевая задача для системы Навье-Стокса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К Lp - теории системы Навье-Стокса для неограниченных областей с некомпактными границами»

Актуальность теш. L р -теория краевых и начально-краевых задач математической физики - важный раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных. Развитые в работах [i] , [24] методы получения априорных Lp -оценок стали уже классическими и позволяют сравнительно легко решать вопросы существования и единственности решений широкого круга задач в пространствах Соболева W^ для областей с компактными достаточно гладкими границами. В то же время для областей с некомпактными и пусть даже сколь угодно гладкими границами в Lp -теории краевых и начально-краевых задач математической физики имеется значительный пробел. А именно, отсутствуют достаточно общие результаты по вопросам существования и единственности решений. Так для классических эллиптических краевых задач вопросы существования и единственности решений в пространствах Соболева Wp при p^Z изучены только в ряде частных случаев неограниченных областей с некомпактными границами. Для системы Навье-Стокса (в том числе и линеаризованной) также отсутствуют сколько-нибудь общие результаты по вопросам существования и единственности решений в цростран-ствах Соболева Wp при для произвольных неограниченных областей с некомпактными гладкими границами. Более того, до сих пор оставались неизученными вопросы существования и единственности решений начально-краевых задач для системы Навье-Стокса в пространствах Соболева Wp при даже для неограниченных областей о некомпактными гладкими границами частного вида (за исключением полупространства).

Цель работы состоит в отыскании условий однозначной разрешимости начально-краевой задачи для системы Навье-Стокса в произвольной неограниченной области с некомпактной достаточно гладкой границей в функциональном классе, являющемся подпространством неизотропного пространства Соболева Wjf . Но этот функциональный класс, в котором задача разрешима однозначно, может и не содержать всех классических решений с конечной Lp -нормой, т.е. теорема единственности не будет распространяться на все классические решения с конечной Lр -нормой. Для системы Навье-Стокоа это явление было впервые обнаружено в случае p-Z Дж.Хейвудом в его работе [29]. В связи с этим целью работы является также отыскание условий однозначной разрешимости в функциональном классе, содержащем все классические решения с конечной Lp -нормой, но уже для неограниченных областей с некомпактными границами специального вида.

Методика исследования. Решение нелинейной задачи раскладывается в ряд, каждый член которого является решением начально-краевой задачи для линеаризованной системы Навье-Стокса с подходящей правой частью. Существование решения (т.е. сходимость ряда) устанавливается при некоторых ограничениях на данные задачи. Изменения, внесенные в методику получения априорных Lp -оценок, позволяют реализовать функционально-аналитический подход к решению линеаризованной задачи, т.е. линеаризованная задача рассматривается как операторное уравнение для подходящих банаховых пространств, а затем устанавливается замкнутость области значений оператора и тривиальность ядра сопряженного оператора в предположении, что область изменения пространственных переменных удовлетворяет некоторому условию, которое оказывается необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости линеаризованной задачи. Это условие состоит в том, что в некотором функциональном классе задача Неймана для уравнения Пуассона имеет решение для любой правой части специального вида. Устанавливается также разрешимость указанной задачи Неймана для уравнения Пуассона в так называемых областях с А/ выходами на бесконечность. Это позволяет для областей с Л/ выходами на бесконечность найти условия однозначной разрешимости начально-хфаевой задачи для линеаризованной системы Навье-Стокса в функциональном классе, содержащем все классические решения с конечной Lp -нормой. Процесс получения априорных L р -оценок решения начально-краевой задачи для линеаризованной системы Навье-Стокса значительно облегчается наличием явной конструкции решения пергой краевой задачи для уравнения неразрывности несжимаемой среды в ограниченной звездной области.

Научная новизна. Вопросы существования и единственности решений сравнительно легко решаются в случае р =Z, когда соответствующие функциональные классы являются гильбертовыми пространствами. Случай p^ Z принципиально отличается от случая р -1 . При этом ввиду некомпактности границы возникают существенные трудности. В диссертации найден новый подход, позволивший впервые получить условие на неограниченную область с некомпактной гладкой границей, которое является необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости начально-краевой задачи для линеаризованной системы Навье-Стокса. То же условие на область оказывается достаточным для однозначной разрешимости "в малом" начально-краевой задачи и для самой системы Навье-Стокса. Необходимо подчеркнуть, что это условие на область связано со значением р . При p-Z этому условию удовлетворяет любая область. В то же время при рф Z это условие может не выполняться для некоторых неограниченных областей с некомпактными и даже сколь угодно гладкими границами. В диссертации впервые при p^Z получены результаты по вопросам существования и единственности решений начально-краевой задачи для системы Навье-Стокса (в том числе и линеаризованной) в областях с А/ выходами на бесконечность. Для тех же областей получены новые результаты и по разрешимости задачи Неймана для уравнения Пуассона. Впервые построено в явном виде решение первой краевой задачи для уравнения неразрывности несжимаемой среды в ограниченной области, удовлетворяющей условию конуса.

Практическая и теоретическая ценность» Результаты диссертации применимы в математической гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости и в теории краевых задач математической физики. Разработанные в диссертации методы могут быть использованы при исследовании широкого круга малоизученных задач математической физики для неограниченных областей о некомпактными границами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных под руководством проф. А.А.Дезина и проф. В.Н.Масленниковой в Математическом институте АН СССР им. В.А.Стеклова, на семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Университета дружбы народов им. П.Лумумбы. В течение ряда лет результаты диссертации докладывались на ежегодных конференциях молодых ученых и научных конференциях факультета физико-математи-•ческих и естественных наук Университета дружбы народов им. П.Лумумбы. Кроме того, основные результаты диссертации докладывались на конференции по дифференциальным уравнениям в частных производных в Донецке (сентябрь 1981 г.), на республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики в Донецке (сентябрь 1983 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям в частных производных в Новосибирске (октябрь 1983 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [2]-[4].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава состоит из двух параграфов, вторая глава состоит из трех параграфов. В конце диссертации приводится список литературы из 32 наименований, а также список обозначений и указатель терминов. Диссертация изложена на 138 машинописных страницах (не считая списка литературы, списка обозначений и

Список литературы диссертационного исследования Боговский, Михаил Евгеньевич, 1984 год

1. Агмон С , Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях.I. - М.: ИЛ, 1962. - 205 с.

2. Боговский М.Е. Решение первой краевой задачи для уравнения неразрывности неслшмаемой среды. - Доклады АН СССР, 1979, т.248, № 5, C.I037-I040.

3. Боговский М.Е. К Lp-теории системы Навье-Стокса для неограниченных областей с некомпактными зтраницами. - Доклады АН СССР, 1980, Т.255, № 6, с.1296-1301.

4. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1979. - 318 с.

5. Данфорд Н., Шварц Дд.Т. Линейные операторы. Общая теории. - М.: ИЛ, 1962. - 895 с.

6. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967. - 624 с. - 140 - 8. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. - 288 с.

7. Ладыженская О.А., Солонников В.А. О некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках 1фаевых задач для уравнений Навье-Стокса. - Записки научных семинаров ЛОМИ, Л., 1976, т.59, с.81-116.

8. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференщрование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций. - Труды Мат. ин-та АН СССР, 1969, т.105, с.89-167.

9. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Lb и в классах Гёльдера и принцип максимрга Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе. - M a t it. hldtviK, 1978, Bcl.8I, $.25-82.

10. Масленникова B.H., Боговский М.Е. Пространства Соболева соленоидальных векторных полей. - Сиб. мат, журнал, I98I, т.22, № 3, с.91-118.

11. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей. - Сиб. мат. журнал, 1983, т.24, № 5, с.149-171.

12. Никольский СМ. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977. - 455 с.

13. Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975. - 443 с. - 141 - 16. Соболев Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике» - Л.: йзд-во ЛГУ, 1950. - 255 с.

14. Соболев Л. Об одной новой задаче математической физики. Известия АН СССР, 1954, т.18, J§ I, с.3-50.

15. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы Навье-Стокса. - Труды Мат. ин-та АН СССР, 1964, т.70, с.213-317.

16. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной системы Навье-Стокса. - Записки научных семинаров ЛОМИ, Л., 1973, т.38, с.153-231.

17. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 342 с.

18. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, I98I. - 408 с.

19. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. - М.-Л.: ГИТТЛ, I948.-479 с. - 142 - 23. Adci.m,s i?.A. $obo£ev spoxes.-AccLciem.i'C Press , 1975 . -аб&p .

21. Bouv-QuloKuon. 2/. fi^ b reZLS/ / .

24. Рсиии, R. ^H. i k e e.jcie^'rioir stcLilOYbdiru, ьг-оЬЕеит. f o r реУ^ЫгЬа±101ъ pr-ot^em.s.-/4hc.k. QcuhlorbCLt MeJt .

25. Tir^y^b F. Tobol'OalccLE veotor sp>cLc.e.s,clist\rlbi4tLoyis амА iertiets,- Academic P r e s s , i9b^.-5'65'/D.