К-монотонные весовые пары банаховых решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Тихомиров, Константин Евгеньевич

• Тихомиров, Константин Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тихомиров, Константин Евгеньевич

Введение

1 Свойства правостороннего и левостороннего сдвига в пространствах последовательностей

1.1 Взаимосвязь свойств RSP и LSP.

1.2 Пространство последовательностей, построенное рекурсивным методом.

1.3 Пространство Fa имеет свойства WRSP, WLSP

1.4 Fa обладает свойствами RSP, LSP.

2 О необходимых и достаточных условиях /С-монотонности весовых пар

2.1 Предварительные сведения об интерполяции весовых пар

2.2 Весовая разложимость банаховых решеток.

2.3 Взаимосвязь весовой разложимости и относительной /С-монотонности

3 К- монотонные весовые пары симметричных пространств

3.1 Функции, правильно меняющиеся в нуле

3.2 Ж-разложимые пространства Лоренца на отрезке [0; 1].

3.3 И^-разложимые пространства Марцинкевича на отрезке [0.1]

3.4 И^-разложимые симметричные пространства на [0; сю)

3.5 Следствия для весовых пар симметричных пространств.

4 Неравенства для сумм независимых функций

4.1 Неравенство Розенталя

4.2 Об одной задаче для бистохастических матриц.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К-монотонные весовые пары банаховых решеток»

Настоящее исследование посвящено двум актуальным проблемам функционального анализа. Во-первых, изучаются интерполяционные свойства весовых пар банаховых решеток. Получены утверждения, устанавливающие /С-монотонность таких пар при определенных условиях. Во-вторых, в диссертации рассматривается вопрос об усилении неравенства Розенталя, относящегося к оценкам сумм независимых функций.

Теория интерполяции операторов как самостоятельная отрасль функционального анализа оформилась в 50-е-60-е годы прошлого столетия, хотя первые результаты были получены значительно раньше (вспомним знаменитые теоремы Рисса-Торина и Марцинкевича [4, теоремы 1.1.1, 1.3.1]). Основной задачей этой теории является доказательство тех или иных свойств нормированных пространств (или же множеств другой природы), исходя из свойств «крайних» пространств, для которых рассматриваемые пространства являются интерполяционными (см., например, краткий обзор в [38, с. 1131-1176]). В этой связи принципиальное значение имеет нахождение метода описания всех или части интерполяционных пространств относительно данной пары. Одним из вариантов такого описания является характеризация пространств в терминах К-монотонности. /С-монотонные промежуточные пространства являются интерполяционными. В том случае, когда, наоборот, любое интерполяционное пространство является /С-монотонным, говорят, что соответствующая пара /С-монотонна (точное определение будет дано несколько позднее). Поскольку изучение /С-монотонных пар является центральной темой нашего исследования, далее приводится краткий обзор результатов по этому направлению. Вероятно, первым известным примером /С-монотонной пары стала пара (Li, Lqo); доказательство этой теоремы принадлежит А.П. Кальдерону (см. [27, теорема 1], [8, гл. II, теорема 4.3]). Отметим, что описание интерполяционных пространств для пары (Li, Loo) содержится в более ранней статье

Б. С. Митягина [9], хотя формулировка теоремы отличается от предложенной А.П. Кальдероном (по поводу связи теорем Митягина и Кальдерона см. [50, с. 233-234]). Г. Лоренц и Т. Симогаки [43] получили аналогичный результат для пар (LpjLoo) (1 < р < оо). Впоследствии А.А. Седаев и Е.М. Семенов доказали, что весовые пары (Li(wo), L\{wi)) /С-монотонны для произвольных весов wq, w\ [12]; этот результат был обобщен А.А. Седаевым на случай (Lp(wq), Lp(wi)), 1 < р < со [13]. Недавно М. Цвикель и И. Козлова получили альтернативное доказательство теоремы Седаева-Семенова [32]. Г. Спарр [50] установил, что пары (LPo(wо), LPl(wi)), {LPo(vо), LPl(vi)) равномерно относительно /С-монотонны для любых 1 < po,pi < сю и произвольных весов wo, Wi, vo, vi (см. также [34], где приводится другое доказательство). Дальнейшим обобщением стала работа В.И. Дмитриева [6], в которой дается критерий относительной/С-монотонности пар (LPo(wq), LPl(wi)), (Lqo(vo),Lqi(vi)). Интересно, что «инвариантность» /С-монотонности относительно замены весов — практически эксклюзивное свойство ¿/^-пространств. Так, в работе [36] доказана следующая теорема (здесь и далее, мы приводим результаты других авторов в той формулировке, которая наиболее удобна в контексте рассматриваемых проблем):

Теорема I (Цвикель, Нильсон, [36, теорема 0.3]). Пусть X — насыщенная порядково непрерывная банахова решетка со свойством Фату. Следующие утверэ/сдения эквивалентны:

1) Пары (X(wo), X(wi)), (X(vq), X(vi)) равномерно относительно К-моно-тонны с константой, не зависящей от выбора весов wq, w\, vq, v\;

2) X — Lp(f) для некоторого веса f и р £ [1; оо).

Более общие утверждения получены в недавней статье [31]. Среди результатов по /С-монотонности отдельных семейств банаховых пар выделим работы [35] (пары (Хв0.р0. ХвиР1) и (Ap^.Loo)), [30] (пары {ЬЪМР), (Мр, Ь^), где Мр — пространство Марцинкевича), [24] (пары пространств Липшица), [25] (асимптотика так называемых «констант Кальдерона» для некоторых пар конечномерных пространств). Основополагающие результаты по /С-монотонности пар пространств последовательностей и симметричных функциональных пространств были получены Н. Калтоном в работе [41]. Также упомянем работы, непосредственно связанные с темой настоящего исследования: [51] усиленная» /С-монотонность весовых пар и инвариантность относительно сдвига), [15] (критерий /С-монотонности весовых пар банаховых решеток). Наряду с положительными результатами, в настоящее время известны многочисленные примеры пар, не являющихся /С-монотонными: (LP, Wlj)), где \yhp пространство Соболева ир > 2 [34, с. 218], (.С^ПЬ«,, Li-t-A») [11] (см. также [46]), различные пары пространств Орлича и весовых пространств последовательностей [41]. Чрезвычайно важным результатом, во многом стимулировавшим дальнейшее изучение /С-монотонных пар, стало доказательство Ю.А. Брудным и Н.Я. Кругляком теоремы о /С-делимости [5]; обсуждение этой теоремы, а также связанных с ней работ М. Цвикеля см. в предисловии ко второй главе.

Несмотря на большое количество публикаций, до сих пор многие проблемы /С-монотонности остаются нерешенными. Вопрос, который будет интересовать нас в первых трех главах диссертации, можно сформулировать следующим образом: можно ли получить аналоги теорем Цвикеля-Нильсона из [36] и [31], если вместо всех весов рассматривать конкретные веса, либо некоторые классы весов? Для того, чтобы более предметно обсудить результаты, нам необходимо дать основные определения из теории интерполяции, а также определения, связанные со свойствами так называемых нормированных решеток. Чтобы не перегружать чрезмерно этот раздел, те понятия, которые могут быть в той или иной степени отнесены к одной из глав диссертации, приводятся в предисловии к соответствующей главе. Так, описание симметричных пространств Лоренца и Марцинкевича можно найти в главе 3, а определение пространств последовательностей — в первой главе. Большая часть определений заимствована из монографий [8], [4], а также книги [7].

Пусть Хо, Xi — два банаховых пространства с нормами || ■ ||о и || ■ ||i, соответственно. Будем говорить, что набор (Хо, Xi) составляет банахову пару, если Xq и Xi алгебраически и топологически вложены в некоторое отделимое топологическое векторное пространство. В этом случае мы можем определить пересечение и сумму пространств

Хо П Х\ := {ж : х € Хо, х 6 Xi};

Хо + Xi {ж : Згсо G Хо, х\ G Xi, х = хо + х\} с нормами

ИяЦхьп*! := тах(||а;||о, |М|х); (ЫЬ + ЫЮ причем и сумма, и пересечение оказываются банаховыми пространствами [4, лемма 2.3.1]. Далее, пусть (Хо,Х{), (Уо,^) — две банаховы пары, а X, У — промеоюуточные банаховы пространства относительно (Хо,-^), (1о;У0? соответственно, то есть имеют место непрерывные вложения

Х0 П Хг С X С Х0 + Хг\ УоПУ! СУ СУ0 + >1

Будем говорить, что X, У — интерполяционные пространства относительно (Хо, Хг), (Уд, Ух), если для любого линейного оператораТ : Хо+Х\ —> Уо+Уь сужения которого на ограниченно действуют в г = 0,1, сужение Т на X ограниченно действует в У. Оказывается, что ||Т||х->у < С тах(||Т||хг>у;) г=0,1 для С, не зависящего от Т (см., например, [4, теорема 2.4.2]). Если необходимо подчеркнуть значение этой константы, X и У называют С-интерполяционными. Если можно С взять равным единице, то соответствующие пространства называют точными интерполяционными. В том случае, когда -^о — Уо? Х\ = У\ и X — У, говорят, что X — (точное) интерполяционное пространство относительно (Хо, Х[).

Для данной банаховой пары (Хо, Х{) определим эквивалентную норму на сумме пространств (НС-функционал Петре):

К(з,х,Хо,Х1):= Ы (ЦяоИо + ^ЫЬ), 5 > 0. а;=хо+Х1

Будем говорить, что промежуточные пространства X, У К-монотонны относительно (Хо, Хг), (У0, У\) (с константой С) если для любых элементов х 6 X и у 6 Уо + У1, таких, что

К(з1у,У0,У1)<К:(8,х,Х0.Х1), з> 0, (1) выполнено у £ У и \\у\\у < Несложно видеть, что /С-монотонные пространства являются интерполяционными (с той же константой) [50, теорема 1.1]. В том случае, когда любые интерполяционные пространства относительно (Хо,Хг), (У0, У\) являются /С-монотонными (с некоторой константой), пары (Хо, Х{), (У0,УО называют относительно К-монотонными, или относительными парами Кальдерона-Митягина Если мы можем добавить дополнительное ограничение на константу /С-монотонности (всякие А-интерполяционные пространства АС-/С-монотонны), (Хо,Хх), (Уо,У1) называются равномерно относительно К-монотонными (с константой С). Отметим, что последнее определение можно переформулировать следующим образом (см., например, [26, теорема 4.4.5], [31, замечание 1.31]): для любого е > 0 и любых х £ Хо + Хг, у Е Уо + Уь удовлетворяющих неравенству (1), существует линейный оператор Т : Хо + Х\ —¥ Уо + Уь такой что шах(||Т||х»->у1) < С + б и Тх = у. Указанные определения /С-монотон

7=0,1 1 ности естественным образом модифицируются в случае .Хо = Уо> Х\ = У1, X — У: пара (Хо, Х1) называется (равномерно) /С-монотонной, если (Хо; -^1)5 (Хо, Х1) (равномерно) относительно /С-монотонны. В диссертации не рассматриваются /С-монотонные пары, не являющиеся равномерно /С-монотон-ными (примеры таких пар до сих пор не найдены), поэтому термин «/С-монотонность» всегда будет использоваться в значении «равномерная /С-моно-тонность».

В дальнейшем будем говорить об операторе, что он действует из пары {Хъ,Х{) в пару (Уо, Ух), если он определен на сумме Хо + Х\, ограничен из Хо + Х\ в Уо + У\ и его сужения на Х^ ограниченно действуют в У*, г — 0,1. Также введем обозначение

Пусть (Г, д) — пространство с сг-конечной мерой, Т — пространство всех п.в. конечных вещественных измеримых функций на нем. Нормированное пространство X с элементами из Т будем называть нормированной решеткой, если для любых / е X и д € Т, таких, что |д(£)| < |/(^)| п.в., выполняется д Е X, ||д||х < И/Их« Отметим, что это определение тождественно определению нормированного идеального пространства (НИП) [7, гл. IV, § 3]. Полная по норме нормированная решетка называется банаховой решеткой. В диссертации будут рассматриваться исключительно насыщенные банаховы решетки, то есть такие, что для любого множества А € Е с положительной мерой найдется измеримое подмножество А! С А, цА' > 0, для которого хаг £ X (где, как обычно, ха' — характеристическая функция множества А'). Другими словами, носитель решетки X совпадает с Т. Будем называть банахову решетку X порядково полунепрерывной, если для любых неотрицательных хп 6 X, поточечно возрастающих к х €Е X, выполнено \\хп\\х —> Если, более того, для любой поточечно убывающей к нулю последовательности неотрицательных функций хп выполнено ||хп||х —> 0, то X порядково непрерывна. Наконец, X обладает свойством Фату, если для любой поточечно возрастающей последовательности неотрицательных функций хп € Х: таких, что Нт ||а:„,|ку < сю, функция х(Л) := Нтхп{1) также п п принадлежит X, причем = НтЦжпЦх- Отметим, что банаховы решетп ки, определенные на одном пространстве с мерой, всегда совместимы [31, замечание 1.41], то есть составляют банахову пару. Для банаховой решетки X определим дуальное пространство X' как множество линейных непрерывных функционалов на X вида J я^УООфх, (2) г где х' — произвольная измеримая функция на Т, для которой интеграл в (2) конечен для любого х Е X. В X' можно определить норму по формуле [7, с. 264] fx'\\x' := sup х\\х < 1 j x(t)x'(t)dfjL т

Известно, что X' — банахова решетка со свойством Фату [7, теорема VI. 1.2], причем X" = X (с равенством норм) в том и только том случае, когда X обладает свойством Фату [7, теорема VI. 1.7].

Пусть (Т, S, ц) — некоторое пространство с сг-конечной мерой. Весовой функцией (или весом) назовем п.в. строго положительную п.в. конечную измеримую функцию на (7~, Е, ¡i). Вес w будем называть нетривиальным, если не существует такого С > 0, что С-1 < w(t) < С п.в. на Т. Для нормированной решетки X и веса w X{w) обозначает весовое пространство, то есть нормированную решетку всех измеримых функций х на (Т, Е, fi), таких что xw € X, с нормой

II®Над := \\xw\\x.

Очевидно, если X является банаховой решеткой, которая порядково полунепрерывна (порядково непрерывна, имеет свойство Фату), то аналогичные свойства справедливы для X(w).

Пусть г = z, г = N или Т = К. Будем говорить, что нормированная решетка X функций на (Т; Е, ц) инвариантна относительно сдвига, если т <г sup-Г—г— < оо. x.h Ых где Xh.it) := х^ — К), £ € Т, и супремум берется по всем ненулевым векторам х € X и к € Т (когда Т = Ж или Т = М), либо /гей (когда Т = М); в последнем случае мы полагаем = 0, если t — h< 0.

Мы завершаем вводную часть списком обозначений, которые будем регулярно использовать в тексте. Запись «X — У» для нормированных решеток X и У означает, что X и У определены на одном пространстве с мерой, содержат одни и те же измеримые функции, и нормы этих функций в X и У эквивалентны. Про такие пространства будем говорить, что X совпадает с У. Для удобства каждую измеримую функцию х на пространстве с мерой (Т, Е, ц) будем считать «доопределенной» на Е, другими словами, х{Е) есть образ множества Е на М для любого Е € Е. Приводимая ниже таблица содержит символы и их значения.

Множество целых неотрицательных чисел Множество целых отрицательных чисел Полуинтервал [0; оо)

Наименьшее целое число, большее или равное а Наибольшее целое число, меньшее или равное а Количество элементов в множестве J С Z Элемент max{n : п € J} (по аналогии определяется min J) Носитель измеримой функции х на (7~, Е, //), то есть множество {teT: x(t) ф 0}

Оператор проектирования на множество Е\ Рех := ххе для любой измеримой функции х на соответствующем пространстве с мерой

Функции / и g эквивалентны с константой С > 0, то есть С"1/ < g < Cf почти всюду на области определения. В том случае, когда значение константы неважно, будет использоваться обозначение / ~ д. Символ также будет применяться для чисел

L({en}) Линейная оболочка векторов {ете}.

Z+ R+

М kl card! max J supprc

Ре с f ~ 9

В первой главе диссертации изучается свойство /С-монотонности для некоторых пар пространств последовательностей. Для двух непустых множеств А, В С Z будем писать А < В, если для любых а G A,b Е В выполнено а <Ъ. Пусть к € N. Систему ненулевых финитных векторов (т.е. векторов с конечными носителями) xi, Х2:., Xk, yi, У2, - • • > Ук будем называть сплетенной парой в пространстве последовательностей Е, если H^IU = WuiWe = 1, snppXj < suppyi, г = 1,2suppyi < suppa;,-+i, i = 1,2,., к — 1. Для сплетенной пары будем использовать обозначение (хг-, Будем говорить, что Е имеет свойство RSP, если существует такое Crs > 0, что для любого к > 1, произвольной сплетенной пары (x^yi)^ и любых оц 6 R (г = 1,2,., к) выполнено

Аналогично, если к Х^гУг »=1 < CRS Е к ^ ^ Oi{Xi г=1 к Y«iXi i—1 <CLS Е к 2=1 з) Е Е для некоторого Cls5 любого к > 1, произвольных сплетенных пар {xi,yi)^=1 и множителей ai G R, то Е имеет свойство LSP. В работе Н. Калтона [41] доказана следующая теорема:

Теорема II (Калтон, [41, теорема 4.5]). Пусть Е и F — пространства последовательностей на Ii или N со свойством Фату; Рп (п £ ZJ — операторы сдвига на множестве последовательностей, определяемые по формуле Рп (]Сг aiei) — Yli ai-n^i (суммирование в правой части равенства идет либо по г G Ъ, либо по г £ N П (п; -Ьоо],). Если lim \\P-n\\t- Ит ||РХ/Я<1, (4) тг-Я-оо га—>-+оо то для того, чтобы пара (Е\ F) была равномерно 1С-монотонной, необходимо и достаточно, чтобы Е имело свойство RSP, а F — свойство LSP.

Интересно отметить, что все известные примеры пространств последовательностей со свойством RSP (¿^-пространства, пространство Цирельсона, ZP(Z) ф Zr(Z+)) имеют также свойство LSP. В этой связи Н. Калтоном была поставлена следующая проблема: пусть Е — пространство последовательностей со свойством Фату и RSP. Будет ли Е также обладать свойством LSP? В терминах /С-монотонности эта проблема может звучать так: если пара (Е. F) равномерно /С-монотонна, то при каких условиях пары (£", F) и (Е, F') будут равномерно /С-монотонными? В первом параграфе первой главы доказана теорема, которая дает частичный ответ на данный вопрос.

Теорема 1 (Теорема 1.2). Пусть Е — пространство двусторонних последовательностей, Це^Ця = 1, i G Ъ, обладающее свойством RSP. Тогда существует константа С > О, зависящая только от Crs, такая, что для любого N > 1, любой сплетенной пары (я^,^)^ и любых а; £1 выполнено n n diXi < С{log2 N) OLiyi i=1 Е i=l Е

Другими словами, если для любой сплетенной пары выполнено неравенство (3), то противоположное неравенство выполняется по крайней мере с логарифмическим множителем.

В параграфах со второго по четвертый рассматривается другая задача, также в значительной степени инспирированная работой [41]. Из теоремы II следует, что весовая пара [Е\ Е(2~к)), где Е — пространство последовательностей со свойством Фату, равномерно /С-монотонна в том и только том случае, когда Е обладает свойствами RSP, LSP. Оказывается, что среди симметричных пространств со свойством Фату свойствами RSP, LSP обладают только 1Р (1 < р < оо) [41, предложение 2.3]. Следствием этого является то, что пары вида (E,E(w)), где Е — симметричное пространство со свойством Фату, a w — произвольный нетривиальный вес, /С-монотонны в том и только том случае, если Е совпадает с 1Р (теорема 4.6, там же). Вместе с тем, известные примеры несимметричных пространств последовательностей со свойствами RSP, LSP: пространство ЦирельсонаТ, пространство 1Р(Ъ-) ф ¿r(Z+) (р^г) — не инвариантны относительно сдвига. Свойство «обычного» сдвига является важным не только как специфическая характеристика нормы в пространстве, но также непосредственно связано с относительной /С-моно-тонностью весовых пар специального вида. В работе [51] C.B. Асташкиным доказана следующая теорема:

Теорема III (Асташкин, [51, теорема 3.1]). Пусть Е — сепарабельное пространство двусторонних последовательностей с нормированным стандартным базисом и со свойством Фату. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Пара Е{2~к)) равномерно K-монотонна, и Е инвариантно относительно сдвига;

2) Пары (Е, Е(2~к)) и (Е, Е{и2~к)) равномерно относительно К-монотон-ны с константой, не зависящей от выбора параметра и > 0.

Эта теорема оказывается важной в связи с результатом Цвикеля и Ниль-сона по /С-монотонности весовых пар (теорема I). Если в теореме Цвике-ля-Нильсона не рассматривать всевозможные веса, но ограничиться весами wo(k) = vq (к) = 1, wi(k) = 2~к, vi (к) = и2~к, и € R+, получим ли мы с необходимостью совпадение Е с 1Р, или класс соответствующих решеток нетривиален? Ввиду теоремы III этот вопрос может быть переформулирован так: существует ли пространство последовательностей со свойствами LSP, RSP и инвариантностью относительно сдвига, не совпадающее с 1Р? Основным результатом первой главы является

Теорема 2 (Теорема 1.1). Существует сепарабелъное пространство последовательностей Fa со свойством Фату, нормированным стандартным базисом, инвариантное относительно сдвига и имеющее свойства RSP, LSP, но не изоморфное lp (1 <р < оо) и Cq.

Следствие 1 (Следствие 1.1). Существует сепарабельное пространство последовательностей F,д со свойством Фату, нормированным стандартным базисом, не изоморфное lp (1 < р < оо) и Cq, такое что банаховы пары (Fa,Fa(2~k)) и (Fa, FA{u2~k)) равномерно относительно K-монотонны с константой, не зависящей от выбора параметра и > 0.

Во втором параграфе рассматривается рекурсивная конструкция пространств последовательностей, являющаяся обобщением конструкции Фигеля и Джонсона для пространства Цирельсона. Мы докажем, что построенное таким способом пространство Fj является сепарабельной банаховой решеткой со свойством Фату, и что оно не изоморфно 1р и cq. В третьем параграфе доказано, что пространство FA обладает так называемыми «слабыми свойствами сдвига» WRSP, WLSP. Наконец, в последнем, четвертом параграфе установлено, что Fa имеет свойства RSP и LSP.

Вторая глава диссертации посвящена изучению необходимых и достаточных условий /С-монотонности весовых пар банаховых решеток. В работах

36] и [31] М. Цвикелем и П. Нильсоном была полностью решена проблема описания порядково непрерывных банаховых решеток со свойством Фату, для которых соответствующие весовые пары /С-монотонны для любых весов. Однако в том случае, когда выбор весов ограничивается некоторым образом, теорема Цвикеля-Нильсона подобного описания не дает. Так, например, в первой главе установлено, что класс пространств последовательностей Е, для которых пары (Е, Е(2~к)), (Е, Е(и2~к)) равномерно относительно /С-монотонны с константой, не зависящей от параметра и, нетривиален (то есть, это не только /^-пространства). Теоремы II и III позволяют описать этот класс как множество банаховых решеток последовательностей со свойствами RSP, LSP и инвариантностью относительно сдвига. Очевидно, аналогичные задачи будут появляться при ином выборе семейств весов. Это приводит нас к проблеме характеризации /С-монотонпых весовых пар через «геометрические» свойства решеток, подобные свойствам RSP и LSP. Отметим, что эта проблема известна по крайней мере 20 лет (см. [26, с. 686]). Ее решение, в основе которого лежат идеи М. Цвикеля из работы [33] и Н. Калтона [41], составляет вторую главу.

В первом параграфе приводятся некоторые (известные) утверждения о связи /С-монотонности пар (X, X(iu)) и пар более общего вида (X(wo), X(wi)). Фактически, оказывается, что во всех вопросах, связанных с /С-монотон-ностью, достаточно ограничиться рассмотрением пар (X, X(w)).

Во втором параграфе мы определяем центральное понятие второй главы — весовую разложимость банаховых решеток. Весовая разложимость, с одной стороны, является обобщением свойств RSP, LSP для пространств последовательностей; с другой стороны, она тесно связана с понятием относительной разложимости, введенной Цвикелем и Нильсоном. Пусть X, Y — банаховы решетки, определенные на пространствах с мерой (7х, (¿х), (7у, Sy, fiy), соответственно, w — весовая функция на ('Тх, £х, ßx)> v — вес на (7у,Иу,^у). Напомним, что для любых Е £ Т>х и Н € Еу определены w(E) := {h е R+ : w(t) = h для некоторого t G Е}, v{H) {кеШ+: v(t) = h для некоторого t Е Н}. Будем говорить, что решетки X, Y относительно (w,v)-разложимы, или, иначе, разложимы относительно весов ги, v, если для любого натурального п и любых ненулевых векторов Х\,Х2 . - хп 6 X,

У\, 2/2 • • • j Уп G У удовлетворяющих условиям

Ы\х = Иг/illy, г = 1,2 inf (ги(вирра;») U ^(suppi/i)) 2 sup (w(supp a;i+i) U v(supp yi+1)) , г = 1,2,., n - 1, выполнено п <cD п J2Xi i=1 У г=1 X

Если X — У и т — V, то пространство X назовем ии-разложимым. Во втором параграфе доказывается ряд утверждений о геометрических свойствах: банаховых решеток со свойством весовой разложимости.

В третьем параграфе мы докажем критерий равномерной относительной /С-монотонности пар (X. Х(ги)) и (У. У (г;)).

Теорема 3 (Теорема 2.1). Пусть X, У — насыщенные банаховы решетки со свойством Фату, определенные на пространствах с а-конечными мерами (73с, Их), (7у, Ну), соответственно, и пусть также т и V — весовые функции (соответственно, на (7х,Т>х, (¿х), (7у, Еу, [¿у))

1) Если пары (X, Х(ги)) и (У, У (у)) равномерно относительно К-монотон-ны с константой Ск, то X, У относительно (ги. у)-разложимы с константой, зависящей только от Ск;

2) Если пространства X, У разложимы относительно т, V с константой Со, то пары (Х.Х(ги)) и (У,У (у)) равномерно относительно К-монотонны с константой С Св, где С — абсолютная константа.

Теорема 2.1 устанавливает зависимость констант относительной /С-монотонности и весовой разложимости и позволяет получать условия /С-монотонности весовых пар как для конкретных весов, так и для семейств весовых функций (формулировка приведенных ниже утверждений может несколько отличаться от той, что дана в основном тексте).

Следствие 2 (Следствие 2.4). Пусть Е — пространство последовательностей со свойством Фату, такое, что пара (Е. Е(2~к)) равномерно К-мо-нотонна. Тогда для любого монотонного веса и) пара (Е, Е(ги)) равномерно К,-монотонна.

Следствие 3 (Следствие 2.6). Пусть Е — пространство последовательностей со свойством Фату. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Пары (E,E(w)) и (Е,Е(2~k)), а также пары (Е,Е(2~к)) и (E,E(w)), где w — произвольный невозрастающий вес, равномерно относительно К-монотонны с константой, не зависящей от выбора w;

2) Е = 1Р для некоторого р G [1; оо].

Следствие 4 (Следствие 2.7). Пусть X — насыщенная, инвариантная относительно сдвига банахова решетка функций waM со свойством Фату, такая, что для некоторых весов w, v пары (X, X(w)), (X, X(v)) равномерно относительно К-монотонны. Тогда для любого h G M и веса Vh{t) := v(t — h) (t G Ш) пары (X,X(w)), (X,X(vh)) равномерно относительно К-монотонны с константой, не зависящей от h.

В третьей главе расматриваются приложения теоремы 2.1 к весовым парам симметричных пространств на [0,1] и [0, оо). Теорема 2.1 позволяет отойти от рассмотрения /С-функционала и линейных операторов, и изучать вместо этого весовую разложимость симметричных пространств. Первоначальный интерес к этой теме был связан с результатом Н. Калтона для симметричных пространств последовательностей. Фактически, в статье [41] Калтоном доказано следующее утверждение (см. замечание 2.7): если Е — симметричное пространство последовательностей со свойством Фату, то Е разложимо относительно нетривиального веса в том и только том случае, когда Е — 1Р. Оказалось, что в случае симметричных функциональных пространств на [0; 1] и [0; оо) ситуация принципиально иная. Базовое определение и>-разложимости (данное выше) в случае симметричных пространств может быть переформулировано благодаря известной теореме Кривина об ¿^-представимости [20, теорема 11.3.9]. В этом направлении C.B. Асташкиным и JI. Малиграндой получены следующие утверждения:

Пусть w — нетривиальный вес на [0,1], и множества А^(го) определены по формуле

Ak(w) := {t в [0; 1] : w{t) Е [2*; 2fc+1)}, -оо < к < оо. Обозначим через (uv)^i невозрастающую перестановку последовательности

КЫ^Ж-со

Теорема IV (Асташкин, Малигранда). Пусть ю — нетривиальный вес на интервале [0,1]. Симметричное пространство X на [0,1] со свойством Фату ь)-разложимо в том и только том случае, когда существуют С > 0 и! <р < оо, такие, что для любого п£Ми для всех попарно дизъюнктных х\. Х2-., хп Е X, удовлетворяющих условию виррялг) < гидг; N — 1,2,., п, справедлива оценка где, как обычно, в случае р = оо правая часть формулы заменяется на шах H^z'llx- В частности, если X ш-разлоэ/симо, то для любой последоваl<i<u тельности положительных вещественных чисел (£jv)jv=i> такой что Ьм < wm, N Е N, выполнено (с естественной модификацией дляр = оо) где ф — фундаментальная функция пространства X.

Следствие I (Асташкин, Малигранда). Пусть симметричное пространство X на [0; 1] со свойством Фату разложимо относительно нетривиального веса ио. Тогда ах — Рх> где ах, Рх — индексы Бойда пространства

Разложимость симметричных пространств тесно связана с понятием правильного изменения в нуле фундаментальной функции. Напомним, что положительная вогнутая функция ф на [0,1] или [0, оо) называется правильно меняющейся в нуле порядка р (1 < р < оо), если Хпп^^щ- — 51//р для всех положительных е. В первом параграфе доказана следующая теорема (как и ранее, формулировки несколько отличаются от тех, что даны в основном

Теорема 4 (Теорема 3.1). Положительная псевдовогнутая функция ф на интервале [0; 1] эквивалентна вогнутой функции, правильно меняющейся в нуле, в том и только том случае, когда для некоторой нетривиальной весовой функции ии, р Е [1;оо] и С > 0 выполняется (5) для всехЬдг Е (О;?^] тексте):

N Е Nj.

Условие (5) в ряде случаев является не только необходимым, но и достаточным для весовой разложимости. Теорема 3.1 позволяет существенно упростить утверждения о разложимости пространств Лоренца и Марцинкевича.

Во втором параграфе объектом изучения являются пространства Лоренца Аф и Ар>ф на [0; 1]. Как известно, норма в пространстве Аф задается функционалом

Центральным утверждением второго параграфа является

Теорема 5 (Теорема 3.2). Пусть р £ [1; оо); ф — вогнутая функция на интервале [0,1], ^Нт^^) = 0, такая что 0 < 'уф < 5ф < 1 (еслир = 1), либо 0 < 70 < 6ф < 1 (еслир > 1). Пусть также и) — нетривиальный вес. Тогда пространство Лоренца Аи>-разложимо в том и только том случае, если ф удовлетворяет условию (5) для всех (¿лг)5у=1> для которых 0 < <

Приведем следствие из этой теоремы:

Следствие 5 (Следствие 3.1). Пусть р £ [1;оо); ф — вогнутая функция на интервале [0,1], lim ф(Ь) — 0, такая что 0 < 7^ < 6ф < 1 (если р — 1), i либо 0 < 70 < 5ф < 1 (если р > 1). Следующие условия эквивалентны:

1) существует нетривиальный eecw на интервале [0,1], такой что пространство Лоренца АР)ф w-разложимо;

2) ф эквивалентна правильно меняющейся в нуле функции порядка р.

Отметим, что не существует такого «сильного» веса w, чтобы класс w-разложимых пространств Лоренца содержал лишь ./^-пространства.

Теорема 6 (Теорема 3.3). Пусть w — нетривиальная весовая функция на [0,1]. Тогда существует вогнутая функция ф, такая что пространство Аф w-разложимо и Афф L\. i

АРгф (1 < р < оо) — нормируемые пространства с квазинормой iV = 1, 2,.

В третьем параграфе рассматриваются пространства Марцинкевича на [0; 1] со свойством весовой разложимости. Как известно, пространство Марцинкевича Мф является дуальным к пространству Лоренца Аф [8, с. 154]. Поэтому утверждения предыдущего параграфа могут быть перенесены на этот класс пространств, с учетом следующей леммы:

Лемма 1 (Лемма 3.3). Пусть X — насыщенная банахова решетка со свойством Фату на пространстве с мерой (Т, ц), имеющая свойство w-разложимости относительно некоторого веса w. Тогда пространство X' w-разложимо с той otee константой.

Четвертый параграф посвящен изучению ги-разложимых симметричных пространств на [0;оо). Результаты этого параграфа суммированы в следующей теореме:

Теорема ? (Теорема 3.4). Пусть w — нетривиальный вес на [0; оо) и X — симметричное пространство на [0; сю) со свойством Фату.

1) Если функция распределения nw(t) = оо, либо lim w*(t) = 0, то X wt—>оо разложимо в том и только том случае, когда X = Lp для некоторого Р е [1; оо]/

2) Если вес w не удовлетворяет ни одному из условий предыдущего пункта, то X w-разложимо в том и только том случае, если Х[0; 1] разложимо относительно eeca v(t) := w*(t), 0 < t < 1 (здесь Х[0; 1] — сужение X на [0; 1], то есть подпространство X функций с носителями на [0; 1]/

В последнем, пятом параграфе, приводятся следствия для весовых пар. Эти утверждения являются прямыми следствиями утверждений из предыдущих параграфов и теоремы 2.1.

В четвертой главе темой нашего исследования становится неравенство Розенталя и его обобщения. Неравенство Розенталя выражает фундаментальную особенность независимых (в вероятностном смысле) функций на [0; 1] : их свойства «близки» к свойствам дизъюнктных функций. Отправной точкой для нас является соотношение, доказанное в [47]: ll-F"(í)X[o;ijlk + с Е п I k=1 Е

6) M где ft? (к = 1,2,., n) — независимые неотрицательные измеримые функции на [0; 1], F(t) := Ш -k + 1)Х(к-1,к](1) <*<п)>Е - симметричное (банахово) пространство последовательностей с нормированным стандартным базисом и М — симметричное (банахово) пространство на [0; 1], а константа С зависит только от М. Доказательство С. Монтгомери-Смита включает в себя представление нормы вектора через норму в двойственном пространстве и поэтому принципиально не может быть обобщено на случай квазинормированных Е. С.В. Асташкиным была высказана гипотеза о том, что оценку величины ||{| можно получить исходя из чисто вероятностных соображений, что позволило бы обобщить результат работы [47]. Оказывается, что решение этой задачи может быть выведено из некоторых утверждений о бистохастических матрицах.

Доказано следующее вероятностное утверждение: Пусть п — произвольное натуральное число, (ai,j)fj=1 — некоторая бистохастическая матрица, и — независимые простые случайные величины (на [0; 1]), принимающие значения из множества {хг}"==1 (х\ > Х2 > ■•• > хп >0), такие что : &С0 — xj} = ai,j> {i->3 — 1;2, .п). Обозначим через случайный вектор, совпадающий при каждом t с невозрастающей перестановкой (числового) вектора (£&(£))£v

Теорема 8 (Теорема 4.1). Существуют абсолютные константы h Е N и со > 0, такие что

Р {* : £*(£) > я?л.-л+1, г = 1,2,., [(п + h - l)/h\ } > со.

Из теоремы 4.1 выводится

Теорема V (Асташкин). Неравенство (6) сохраняет силу для произвольных квазинормированных симметричных пространств Е и М, при этом константа С зависит лишь от Е и М.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51], [16], [15]. Все доказательства получены автором. Следует отметить, что леммы 2.1, 2.2, 2.3, 2.5 и следствие 2.1 фактически известны. Мы приводим доказательства этих утверждений ради полноты изложения, поскольку найти их в литературе не удалось. В процессе написания работы огромную помощь оказал мой научный руководитель, Сергей Владимирович Асташкин. Я благодарен

Сергею Владимировичу за множество предложенных им интересных задач и успешную совместную работу на протяжении всех последних лет.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тихомиров, Константин Евгеньевич, 2011 год

1. Асташкин, С. В. /С-монотонные весовые пары, порожденные пространством, не инвариантным относительно сдвига / Асташкин С. В. // В тр. 2-ого Междун. семин. «Дифф. ур-ния и их прилож.» - Самара, 1998. -С. 19-25.

2. Асташкин, С. В. Независимые функции и геометрия банаховых пространств / Асташкин С. В., Сукочев Ф. А. // УМН 2010. - Т. 396, N. 65:6 - С. 3-86.

3. Асташкин, С. В. Функции Радемахера в симметричных пространствах / Асташкин С. В. // Современная математика. Фундаментальные направления. Росс, ун-т дружбы народов 2009. - Т. 32. - С. 3-161.

4. Берг, Й. Интерполяционные пространства. Введение. / Берг Й., Лёфст-рём Й. М.: Мир, 1980.

5. Брудный, Ю. А. Функторы вещественной интерполяции. / Бруд-ный Ю. А., Кругляк Н. Я. Деп. ВИНИТИ - N. 2620-81.

6. Дмитриев, В. И. Об интерполяции операторов в пространствах Ьр / Дмитриев В. И. // ДАН СССР 1981. - Т. 260. - С. 1051-1054.

7. Канторович, Л. В. Функциональный анализ. / Канторович Л. В., Аки-лов Г. П. 4-е изд., испр. - СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.

8. Крейн, С. Г. Интерполяция лицнейных операторов. / Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. М. М.: Наука, 1978.

9. Митягин, Б. С. Интерполяционная теорема для модулярных пространств / Митягин Б. С. // Мат. сб. 1965. - Т. 66, N. 4. - С. 473-482.

10. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. / Натансон И. П. М.:Наука, 1974.

11. Овчинников, В. И. Об оценках интерполяционных орбит / Овчинников В. И. // Мат. сборник 1981. - Т. 115, N. 4. - С. 642-652.

12. Седаев, А. А. О возможности описания интерполяционных пространств в терминах А'-метода Петре / Седаев А. А., Семенов Е. М. // Оптимизация- 1971. Т. 4. - С. 98-114.

13. Седаев, А. А. Описание интерполяционных пространств пары , L^J и некоторые родственные вопросы / Седаев А. А. // ДАН СССР 1973.- Т. 209, N. 4. С. 798-800.

14. Тихомиров, К. Е. Использование рекурсивно определяемых функций для доказательства вероятностных неравенств / Тихомиров К. Е. // Вестник СамГУ, естественнонаучная серия 2010. - Т. 80, N. 6. - С. 78-86.

15. Тихомиров, К. Е. /С-монотонные весовые пары банаховых решеток / Тихомиров К. Е. // Сиб. мат. журнал 2011. - Т. 52, N. 1. - С. 187-200.

16. Тихомиров, К. Е. Об устойчиво K-монотонных банаховых парах / Асташ-кин С. В., Тихомиров К. Е. // Функциональный анализ и его приложения- 2010. Т. 44, N. 3. - С. 65-69.

17. Цирельсон, Б. С. Не в любое банахово пространство можно вложить 1Р или со / Цирельсон Б. С. // Функ. анализ и прилож. 1974. - Т. 8, N. 2.- С. 57-60.

18. Ширяев, А. Н. Вероятность. / Ширяев А. Н. В 2-х кн. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: МЦНМО, 2004. Кн. 1. - 520 с.

19. Abakumov, Е. V. A concave regularly varying leader for equi-concave functions / Abakumov E. V., Mekler A. A. // J. Math. Anal. Appl. 1994.- V. 187. P. 943-951.

20. Albiac, F. Topics in Banach space theory / Albiac F., Kalton N. J. New York: Springer-Verl., 2006. (Graduated Texts in Mathematics)

21. Ameur, Y. On the K-divisibility constant for some special finite-dimensional Banach couples / Ameur Y., Cwikel M. // J. Math. Anal. Appl. 2009. -V. 360. - P. 130-155.

22. Astashkin, S. V. Ultrasymmetric Orlicz spaces / Astashkin S. V., Maligranda L. // J. Math. Anal. Appl. 2008. - V. 347. - P. 273-285.

23. Astashkin, S. V. Series of independent random variables in rearrangement invariant spaces: an operator approach / Astashkin S. V., Sukochev F. A. // Israel J. Math. 2005. - V. 145. - P. 125-156.

24. Brudnyi, Y. Calderón couples of Lipschitz spaces / Brudnyi Y., Shtein-berg A. // J. Functional Analysis 1995. - V. 131. - P. 459-498.

25. Brudnyi, Y. Calderón constants of finite-dimensional couples / Brudnyi Y., Shteinberg A. // Israel J. Math. 1997. - V. 101. - P. 289-322.

26. Brudnyi, Yu. A. Interpolation functors and interpolation spaces. / Brudnyi Yu. A., Krugljak N. Ya. Amsterdam: North-Holland, 1991.

27. Calderón, A. P. Spaces between L1 and L°° and the theorems of Mar-cinkiewicz / Calderón A. P. // Stud. Math. 1966. -V. 26, N. 3. - P. 273-299.

28. Casazza, P. G. Tsirelson's space / Casazza P. G., Shura T. J. // Lect. Notes Math. Berlin: Springer 1989. - V. 1363.

29. Cwikel, M. A characterization of relatively decomposable Banach lattices / Cwikel M., Nilsson P. G., Schechtman G. // Mem. Amer. Math. Soc. 2003.- V. 165. P. 106-127.

30. Cwikel, M. Interpolation of Marcinkiewicz spaces / Cwikel M., Nilsson P. // Math. Scand. 1985. - V. 56. - P. 29-42.

31. Cwikel, M. Interpolation of weighted Banach lattices / Cwikel M., Nils-son P. // Mem. Amer. Math. Soc. 2003. - V. 165, N. 787. - P. 1-105.

32. Cwikel, M. Interpolation of weighted LI spaces — A new proof of the Sedaev-Semenov theorem / Cwikel M., Kozlov I. // Illinois J. Math. 2002. - V. 46.- P. 405-419.

33. Cwikel, M. K-divisibility of the K-functional and Calderón couples / Cwikel M. // Ark. Mat. 1984. - V. 22. - P. 39-62.

34. Cwikel, M. Monotonicity properties of interpolation spaces / Cwikel M. // Ark. Mat. 1976. - V. 14. - P. 213-236.

35. Cwikel, M. Monotonicity properties of interpolation spaces 2 / Cwikel M. // Arc. mat. 1981. - V. 19, N. 1. - P. 123-136.

36. Cwikel, M. The coincidence of real and complex interpolation methods for couples of weighted Banach lattices / Cwikel M., Nilsson P. // Interpolation spaces and allied topics in analysis. Lect. Notes Math. Berlin: Springer 1984.- V. 1070. P. 54-65.

37. Cwikel, M. The K-divisibility constant for couples of Banach lattices / Cwikel M. // Journal of Approximation Theory 2003. - V. 124. - P. 124136.

38. Handbook of the geometry of Banach spaces. / Edited by W. B. Johnson and J. Lindenstrauss // Amsterdam: Elsevier; North-Holland, 2003. V. 2.- P. 1007-1866.

39. Johnson, W. B. Sums of Independent Random Variables in Rearrangement Invariant Function Spaces / Johnson W. B., Schechtman G. // The Annals of Probability 1989. - V. 17, N. 2. - P. 789-808.

40. Junge, M. The optimal order for the p-th moment of sums of independent random variables with respect to symmetric norms and related combinatorial estimates / Junge M. // Positivity 2006. - V. 10:2. - P. 201-230.

41. Kalton, N. J. Calderon couples of rearrangement invariant spaces / Kalton N. J. // Stud. Math. 1993. - V. 106, N. 3. - P. 233-277.

42. Lindenstrauss, J. Classical Banach Spaces. II. Function Spaces. / Lindenstrauss J., Tzafriri L. Berlin-New York:Springer-Verlag, 1979.

43. Lorentz, G. G. Interpolation theorems for the pairs of spaces (Lp; L{) and (.Li\Lq) / Lorentz G. G., Shimogaki T. // Trans. Amer. Math. Soc. 1971.- V. 159. P. 207-222.

44. Kaminska, A. Order convexity and concavity of Lorentz spaces Apw, 0 < p < oo / Kaminska A., Maligranda L. // Studia Mathematica 2004. - V. 160, N. 3. - P. 267-286.

45. Maligranda, L. Indices and interpolation / Maligranda L. // Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne) 1985. - V. 234. - P. 1-54.

46. Maligranda, L. On interpolation between L\ -j- L^ and L\ fl L^ / Maligranda L., Ovchinnikov V. I. // J. Funct. Anal. 1992. - V. 107, N. 2.- P. 342-351.

47. Montgomery-Smith, S. Rearrangement invariant norms of symmetric sequence norms of independent sequences of random variables / Montgomery-Smith S. // Israel J. Math. 2002. - V. 131. - P. 51-60.

48. Ovchinnikov, V. I. The method of orbits in interpolation theory / Ovchinnikov V. I. // Math. Rept. 1984. - V. 1. - P. 348-515.

49. Rosenthal H. P. On the subspaces of LP (p > 2) spanned by sequences of independent random variables / Rosenthal H. P. // Israel Math. J. 1970. -V. 8. - P. 273-303.

50. Sparr, G. Interpolation of weighted Z^-spaces / Sparr G. // Stud. Math. -1978. V. 62, N. 1. - P. 229-271.

51. Tikhomirov, K. E. On stability of K-monotonicity of Banach couples / Astashkin S. V., Tikhomirov K. E. // Rev. Mat. Complut. 2010. - V. 23, N. 1. - P. 113-137.