К спектральной теории операторов Дирака с квадратично суммируемыми потенциалами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Губкин Павел Васильевич

• Губкин Павел Васильевич
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Губкин Павел Васильевич

1.1 Оператор Дирака

1.2 Система Крейна

1.3 Сведение оператора Дирака к системе Крейна

1.4 Класс Сегё на прямой

1.5 Функции Кристоффеля

1.6 Случай квадратично суммируемого потенциала

1.7 Ортогональные многочлены на единичной окружности

1.8 Системы Крейна и ортогональные многочлены

1.9 Канонические системы

1.10 Сведение оператора Дирака к канонической системе

1.11 Т - экспонента

1.12 Энтропия канонической системы

2 Оценки энтропии системы Дирака

2.1 Энтропия и величина первообразной

2.2 Масштабирование

2.3 Доказательства

3 Сходимость решений в среднем

3.1 Гипотеза Тепляева

3.2 Сходимость решений системы Крейна на вещественной оси

3.3 Ортогональные многочлены на окружности

3.4 Доказательства

4 Операторы Дирака с быстро осциллирующими потенциалами

4.1 Аналитическое продолжение функции Сегё

4.2 Скорость осцилляции и ширина полосы аналитичности

4.3 Сверхэкспоненциально быстро осциллирующие потенциалы

4.4 Ортогональные многочлены

4.5 Доказательства

5 Прямая и обратная спектральные задачи по резонансам в классе быстро

осциллирующих потенциалов

5.1 Формулировки результатов

5.2 Доказательства

6 Решение уравнения Абловица-Ладика с помощью алгоритма Шура

6.1 Уравнение Абловица-Ладика

6.2 Алгоритм Шура

6.3 Алгоритм для вычисления решения с заданной точностью

6.4 Нелинейное преобразование Фурье

6.5 Доказательства

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К спектральной теории операторов Дирака с квадратично суммируемыми потенциалами»

Введение

Оператор Дирака. Настоящая работа посвящена прямой и обратной спектральной задаче одномерного оператора Дирака на полуоси В+ = [0, Следуя книге [45], определим

основные объекты исследования. Пусть Q - отображение на В+ со значениями в пространстве симметричных 2 х 2 матриц с нулевым следом вида

Q(r) = (^(Г) , г ^ 0,

V Р(г) 9(г))

где р, д - вещественнозначные функции на В+. Обозначим 3 = (1 _1) - квадратный корень из минус единичной матрицы размера 2. Оператором Дирака с потенциалом Q будем называть дифференциальный оператор

в

Ъ = + «0.

Необходимые нам спектральные данные V, можно определить, рассмотрев дифференциальное уравнение на обобщенные собственные функции:

V,/ = Л/, Л е С. (1)

Решения уравнения (1) с граничными значениями (1,0)т и (0,1)т будем обозначать

0(г,Л) = (0+(г,Л),0_(г,Л))т, ф(г, Л) = (ф+(г, Л), ф_(г, Л))т.

Матричнозначная функция N = (0, ф) является фундаментальным решением уравнения (1), выполняется

3^(г,Л) + Q(r)N(г, Л) = ЛN(г, Л), N(0,Л)=^ ^ , г > 0. (2)

Для любого потенциала Q существует единственная борелевская мера а, на вещественной прямой такая, что ^ < и отображение, заданное на гладких функциях с компакт-

ным носителем правилом

(/1, /2) [ (/1 (х)0+(ж, Л) + /2(х)0_(х, Л)) вх,

'П ./в

продолжается до изометрии между пространствами Ь2(М+) ф Ь2(М+) и Ь2(Ж,ад). Мера ад называется спектральной мерой оператора Т>д. Функция Вейля тд оператора Т>д задается в верхней полуплоскости С+ = {г: 1т г > 0} равенством

тд(г) = - ,11т , г е С+,

в+(Ь, г)

она является аналитической и переводит С+ в себя, то есть при всех г е С+ выполняется 1ттд(г) > 0. В настоящей работе оператор Дирака Т>д исследуется с помощью методов, приходящих из теории ортогональных многочленов на окружности. Связующим звеном между оператором Дирака и ортогональными многочленами служат системы Крейна.

В 1955 году М. Крейн доказал [43], что абсолютно непрерывный спектр оператора Т>д содержит всю вещественную прямую К в случае, когда потенциал Q лежит в пространстве Ь2(К+). М. Крист и А.Киселёв доказали [19], [17], [18] существование модифицированных решений Йоста и волновых операторов для операторов Шрёдингера и Дирака с потенциалами из Ьг при 1 ^ г < 2, С.Денисов [22] установил существование волновых операторов для операторов Дирака с потенциалами из Ь2(К+). Недавно Р. Бессонов расширил [9] этот результат на операторы Дирака, спектральная мера которых принадлежит классу Сегё на вещественной оси. Некоторые связанные результаты и подходы можно найти в работах [21], [49], [50], [60].

Система Крейна. Рассмотрим произвольную комплекснозначную функцию а е Ь1ос(К+). Системой Крейна с коэффициентом а называется система дифференциальных уравнений

jrP(r, Л) = i\P(r, Л) - a(r)P*(r, Л), P(0, Л) = 1,

dP*(r, Л) = -a(r)P(r, Л), P*(0, Л) = 1.

Системы вида (3) были введены М. Крейном в статье [43] и впоследствии получили его имя. В качестве основного источника при работе с системами Крейна будет использоваться статья С.Денисова [23]. Задача Коши (2) для оператора Дирака переписывается в систему Крейна (3) и наоборот с помощью простых преобразований, см. раздел 1.3 ниже, поэтому спектральные данные оператора Дирака можно определять в терминах соответствующей системы Крейна. С другой стороны, схожесть свойств решений P и P* системы Крейна (3) и ортогональных многочленов на окружности позволяет использовать методы из богатой теории ортогональных многочленов на окружности в спектральной теории оператора Дирака.

Класс Сегё на прямой. Пусть а - борелевская мера на прямой, и а' - плотность ее абсолютно непрерывной части относительно меры Лебега. Говорят, что а лежит в классе Сегё на прямой, если

[ da(x) Г logа'(х) ,

, 2 < ж, -р—^ dx > -ж. (4)

J R 1 + х J R 1 + х

Для таких мер а существует внешняя функция П в C+, граничные значения которой удовле-

творяют |П(х)|-2 = о'(х) при почти всех x Е R, см. раздел 4 в книге Дж. Гарнетта [29]. Внешнюю П, для которой выполнено П(г) > 0, мы будем называть обратной функцией Сегё меры о. Спектральная мера оператора Dq с потенциалом Q Е L2(R+) лежит в классе Сегё (4), см. [23]. Обратное, вообще говоря, неверно. Спектральная мера oq лежит в классе Сегё тогда и только тогда, когда для некоторой точки Ао Е C+ выполняется условие liminf |P*(r, Ао)| < то. Этот результат называется теоремой Крейна, он впервые получен М. Крейном в статье [43] с небольшими неточностями, впоследствии исправленными А. Тепляевым [69]. Полное изложение можно найти в разделе 8 статьи С. Денисова [23], см. теорему 8.2. Кроме того, условие Сегё равносильно существованию числа y Е [0, 2п) и возрастающей неограниченной последовательности {ru}u^0 таких, что

lim P*(r„, А) = eiYП(А), А Е C+, (5)

где П = nQ - обратная функция Сегё меры oq.

Энтропия оператора Дирака. В работах [9], [10] Р.Бессонов и С.Денисов описали класс гамильтоновых канонических систем, спектральная мера которых лежит в классе Сегё на прямой, в терминах энтропийной функции. Каждый оператор Дирака Dq с потенциалом Q Е L11oc(R+) унитарно эквивалентен дифференциальному оператору некоторой канонической системы, см. раздел 1.10 ниже. Для формулировки основных результатов диссертации нам не потребуется теорема Бессонова-Денисова в общей формулировке, приведем ее в интересующем нас случае оператора Дирака.

Рассмотрим оператор Dq с потенциалом Q Е Lj1oc(R+), определим матрицу Nq как решение уравнения (2) при А = 0 и положим Hq = NQNq. Функция

/ г г-и+т+2

KQ(r) = ^ det / Hq (t) dt n>0 V Un+r

-4 , r > 0, (6)

называется энтропийной функцией или просто энтропией оператора Дирака. Теорема 1.2 статьи [10] утверждает, что Кд(0) < то тогда и только тогда, когда ад лежит в классе Сегё. Нам будет удобно работать отдельно со слагаемыми ряда (6), введем функцию

EQ(r) = det

r+2

HQ(t) dt

-4, r > 0,

которая также будет называться энтропией.

Алгоритм Шура. Класс Шура Б (О) в открытом единичном круге О = (г € С : | < 1} комплексной плоскости состоит из аналитических функций ^ в О, удовлетворяющих неравенству (г)| ^ 1 при всех г € О. Для ^ € Б (О) будем писать ^ € Б* (О), если ^ не является конечным произведением Бляшке. Алгоритм Шура итеративно строит последовательность

функций ,... следующим образом:

Рс = Р, ^+1 = к ч' п ^ 0. (7)

Лемма Шварца гарантирует, что если начальная функция Р0 = Р лежит в (О), то Еп Е (О) при всех п ^ 0. Числа {Рп(0)}п^0 называются коэффициентами Шура или коэффициентами рекурсии функции Р, отображение

является гомеоморфизмом между пространством (О) с топологией сходимости на компактах в О и пространством последовательностей д: 2+ ^ О, удовлетворяющих |д(п)| < 1 при всех п ^ 0, с топологией покоординатной сходимости, см. раздел 1.3.6 в книге [62]. Множество таких последовательностей обозначим через 1(2+,О). Аналогично определим 1(2,0) и введем множество последовательностей I2 (2,0) = 1(2,0) П 12(2). Классическая теорема Сегё утверждает, что

„ те

/ 1с^1 -|Р|2) ¿ш = ^ П(1 -|Рп(0)|2),

п=0

где обе части конечны или бесконечны одновременно, см. раздел 2.7.8 в книге [62]. Мера ш в последней формуле обозначает меру Лебега на единичной окружности Т, нормированную вероятностным образом, ш(Т) = 1. Множество функций Шура, для которых

те

):= П(1 -|Рп(0)|2) > 0, (8)

п=0

называется классом Сегё на окружности, будем обозначать его Sz(T).

Уравнение Абловица-Ладика. Уравнением Абловица-Ладика на целочисленной прямой 2 называется следующая бесконечная система дифференциальных уравнений:

д

-д(^,п) = г( 1 - |д(г,п)|2) (д(Ь,п - 1) + д(Ь,п + 1)), д(0,п) = ®,(п), п Е 2. (9)

Уравнение Абловица-Ладика было введено в [2], [3] как дискретизация кубического нелинейного уравнения Шрёдингера по пространственной переменной. Современное изложении теории можно найти в книге [4]. Можно показать, что уравнение Абловица-Ладика (9) с любым начальным данным д0 Е 1(2,0) имеет единственное глобальное решение д, более того, д(Ь, ■) Е 1(2,0) при всех Ь Е К.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является исследование одномерного оператора Дирака на полупрямой с помощью методов теории ортогональных многочленов на окружности. Ключевыми задачами являются описание сходи-

мости решений систем Крейна, характеризация спектральных данных операторов с осциллирующими потенциалами и изучение устойчивости решений уравнения Абловица-Ладика.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Для операторов Дирака, спектральная мера которых лежит в классе Сегё на прямой, доказана ограниченность в среднем обобщенных собственных функций для почти всех вещественных значений спектрального параметра. Для соответствующих систем Крей-на доказана сходимость решений в среднем по модулю.

2. Установлены неравенства, связывающие убывание энтропии оператора Дирака со скоростью осцилляции потенциала этого оператора.

3. Введены классы сверхэкспоненциально быстро осциллирующих потенциалов. Описаны обратные функции Сегё, соответствующие потенциалам из этих классов. Установлено, в каких классах резонансы однозначно задают оператор Дирака.

4. Получены оценки устойчивости алгоритма Шура. С помощью этих оценок построен алгоритм вычисления решения уравнения Абловица-Ладика с любой наперед заданной точностью для произвольных начальных данных из I2 (Ъ+, О) на основе метода обратной задачи теории рассеяния.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Результаты первых пяти глав получены автором самостоятельно. Результаты шестой главы опубликованы в цикле из двух совместных статей с научным руководителем, Р. В. Бессоновым.

Методы исследования. В работе используются как стандартные методы комплексного анализа и спектральной теории дифференциальных операторов, так и методы, полученные относительно недавно в работах об энтропии канонических систем Р. Бессонова и С. Денисова. Значительная часть используемых методов основана на идеях, берущих свое начало в теории ортогональных многочленов на окружности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты работы, а также введённые в диссертации понятия могут быть использованы для дальнейшего исследования спектральной теории оператора Дирака. Систематичность исследования позволяет использовать материалы диссертации для чтения специальных курсов.

Актуальность темы исследования. Представленная работа посвящена изучению спектральной теории одномерного оператора Дирака на полупрямой и устойчивости алгоритма Шура в единичном круге комплексной плоскости.

Исследование спектральных свойств одномерного оператора Дирака на полупрямой не только продолжает классические направления спектральной теории, но и тесно связано с современными исследованиями в области комплексного анализа и теории операторов. Анализ устойчивости алгоритма Шура в единичном круге актуален как с точки зрения теории функций комплексного переменного, так и для разработки стабильных вычислительных методов, востребованных в различных областях математики.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [32], [34] и [13] в журналах, входящих в международные базы данных Web of Science и Scopus.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях:

1. School "Complex analysis and Operator Theory", 29 ноября - 3 декабря 2021, Санкт-Петербург;

2. Workshop "St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physics", 20 — 22 декабря 2022, Санкт-Петербург;

3. "Конференция по комплексному анализу и его приложениям", 11 — 15 сентября 2023, Красноярск;

4. "Дни анализа в Сириусе", 16-20 октября 2023, Сочи;

5. "Четвертая конференции математических центров России", 6-11 августа 2024, Санкт-Петербург;

6. "Спектральная теория и математическая физика", посвященная памяти М. Ш. Бирмана, 23 - 27 июня 2025, Санкт-Петербург.

Также по теме диссертации были сделаны доклады (сентябрь 2023, апрель 2025) на Санкт-Петербургском семинаре по теории функций и теории операторов под руководством академика С. В. Кислякова и на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа Московского Государственного университета (ноябрь 2025).

Содержание диссертации. Первая глава является вводной. В ней будет рассмотрена эквивалентность дифференциальной системы оператора Дирака и системы Крейна, система Дирака будет сведена к гамильтоновой канонической системе и будут обсуждены взаимосвязи между системами Крейна и ортогональными многочленами на окружности.

Вторая глава диссертации посвящена вычислению асимптотики функции энтропии Kq для потенциалов Q Е L2(R+) в терминах более простого функционала - величины первообразной Q. Для комплексной функции f обозначим gf,r (t) = J^ f (s) ds и положим

r+2

Df (r) = 2 / Igf,r(t)|2 dt -

r+2

gf,r (t) dt

2

Значки < и > в дальнейшем будут означать, что соответствующее неравенство ^ или ^ выполняется с некоторой мультипликативной константой. Символ х будет использоваться, когда одновременно выполняются соотношения < и >.

Теорема 2.1. Пусть Q = ( ~q p) G L2(R+) и f = p + iq. Тогда EQ(r) х Df (r) и

Eg(r)1/2 < sup |gf,r(t)| < EQ(r)1/4,

ie[r,r+2]

где постоянные в соотношениях х и < зависят только от ||f ||l2(r+ ).

В начале третьей главы исследуется сходимость P* к П для систем Крейна, напомним предельное соотношение (5). Будет доказана гипотеза А. Тепляева из статьи [69] о сходимости в среднем для систем Крейна с вещественным коэффициентом.

Теорема 3.1. Рассмотрим систему Крейна с вещественным коэффициентом a G L11oc(R+), спектральная мера которой лежит в классе Сегё на прямой. Функция П является пределом P* (r, Л) в среднем, то есть

1 Г

П(Л) = lim - P*(p, Л) dp, Л G C+,

г^те r J0

причём сходимость равномерна на компактных подмножествах C+.

Также в третьей главе исследуется сходимость P* к П на вещественной прямой. Теорема 3.2. Рассмотрим систему Крейна с коэффициентом a G L1oc(R+), спектральная мера которой лежит в классе Сегё на прямой. Тогда для почти всех x G R выполняется предельное соотношение

1 Г

lim - |P(s, x)|2 ds = |П(х)|2. г^те r J0

Этот результат тесно связан с гипотезой К. Мускалу, Т. Тао и К. Тиле из статьи [49] об ограниченности обобщенных собственных функций оператора Дирака с L2 потенциалами, недавно доказанной А.Полторацким в работе [53]. Из теоремы 3.2 следует усредненная версия теоремы Полторацкого для более широкого класса потенциалов. Теорема 3.4. Пусть спектральная мера оператора Дирака Dq с Q G L1oc(R+) лежит в классе Сегё на прямой. Тогда для почти всех Л G R решение f уравнения (1) ограничено на R+ в смысле L2-усреднения по Чезаро, то есть

sup ( - [ |f (t, Л)|2 dt ) < то. r>0 V r Jo )

В четвертой главе исследуется связь быстрого убывания энтропии, осцилляции потенциала и регулярности обратной функции Сегё оператора Дирака. В теореме 4.1 доказывается, что экспоненциально быстрое убывание энтропии влечет существование аналитического продолжения у функции Сегё в горизонтальную полуплоскость П = {z: Im z > — 5} при некотором 5 > 0.

Теорема 4.1. Пусть потенциал Q Е ¿¡Оудовлетворяет соотношению Кд(г) О (е-5г) при г ^ то для некоторого 5 > 0. Тогда

1. спектральная мера ад абсолютно непрерывна и лежит в классе Сегё (4);

2. функция Сегё Пд аналитически продолжается в П5/4;

3. функция Вейля тд мероморфно продолжается в Пг/4.

В частности, если Кд(г) = О (е-5г) для любого 5 > 0, то Пд и тд продолжаются на всю комплексную плоскость С.

Конструктивное продолжение функции Сегё строится в теореме 4.15 в терминах решений системы Крейна, соответствующей оператору Дирака. Будет показано, что если Кд(г) = О (е-5г) при г ^ то и ^ > 5/4, то П допускает аналитическое продолжение в Пг/4 формулой

г + ¿Л,

П(г) = / Р(ж,г)Р(ж,г^) ^ж,

1 ; гП(гй) Л

где интеграл сходится абсолютно при всех г Е Пг/4.

Для Q Е Ь2(К+) оказывается верным и более сильное обратное утверждение к теореме 4.1: существование подходящего аналитического продолжения влечет не только убывание энтропии, но и быстрое осциллирование потенциала. Рассмотрим Q Е Ь2(К+) и определим величины

Дк = вир {5: Кд(г) = О (е-5г) , г ^ то}, Дд = вир 15: J р(ж) ^ж + J д(ж) ^ж = О (е-5г) , г ^ то |.

Число Ад отвечает за скорость экспоненциального осциллирования потенциала, подробнее см. в разделе 4.2, а число Дк - скорость экспоненциального убывания энтропии. Если а — абсолютно непрерывная мера из класса Сегё (4), то определим Ап как супремум множества чисел 5 ^ 0 таких, что П аналитически продолжается в Пг и

е Я2(0г),

ж — г

где Н2 - стандартный класс Харди. Если же а не является абсолютно непрерывной или не лежит в классе Сегё, положим Дп = 0.

Теорема 4.2. Для оператора Дирака "Рд с потенциалом Q Е Ь2(Е+) имеют место неравенства

Дп ^ Ад ^ 4Дп, 4Дп ^ Дк ^ 8Дп.

Отдельный интерес представляет случай Дп = Дк = Дд = +то. Для функции f на и а > 1 будем писать f (г) = е«(г), если при некотором с > 0 выполняется ^(г)| < е-сг" для всех г ^ 0. Равенство f (г) = £а(г) будет использоваться, когда f убывает сверхэкспоненциально, то есть для любого 5 > 0 выполняется ^(г)| < е-5г. Для всех а ^ 1 определим

множества функций

=\ / е Ь2(Е): 8прр(^/) С и I |(^/)(£)|Ч = ев(г)

/»те /»те

Оа = |/ е Ь2(М+): J /(ж) ¿ж сходится и j /(ж) (¿г = еа(г)

Класс содержит функции с быстро убывающим преобразованием Фурье, а Оа является классом функций с быстро убывающей первообразной, классом быстро осциллирующих функций. В новых обозначениях теорема 4.2 в предельном случае говорит, что Q е О тогда и только тогда, когда мера а абсолютно непрерывна и П-П(г) е Оказывается, что при а > 1 верен аналогичный результат.

Теорема 4.4. Рассмотрим оператор Дирака с потенциалом Q е Ь2(Е+). Для всех а ^ 1 следующие условия равносильны:

1. потенциал Q быстро осциллирует, Q е Оа;

2. энтропия оператора Дирака быстро убывает, Кд(г) = £а(г);

3. спектральная мера а абсолютно непрерывна и П-П(г) е 5а.

Пусть Р - решение системы Крейна, соответствующей Т>д. Если а> 1 и 0 в Ь2(Е+), то перечисленные утверждения также равносильны условию

4. для некоторой точки г0 е С+ выполнено Р(г, ¿о) = £а(г).

Когда функция Вейля т^ имеет мероморфное продолжение во всю комплексную плоскость, появляется возможность исследовать резонансы оператора Дирака - полюсы функции т^ с кратностями. В пятой главе будет решена обратная спектральная задача по резонансам в введенных классах быстро осциллирующих потенциалов.

Теорема 5.1. Резонансы оператора Дирака однозначно определяют его потенциал в классе Е = и Еа, Еа = ^ е ¿1ос(К+): Ко(г) = ев(г)} .

а>1

Теорема 5.2. Резонансы не определяют потенциал в классе О1. Кроме того, любая последовательность {гга}п^о С (г: 1тг < 0}, удовлетворяющая Итга^те 1т= —то является множеством резонансов оператора для некоторого потенциала Q еО1.

В шестой главе будет доказана оценка устойчивости алгоритма Шура. Для функций Р, С е Sz(T) и г е (0,1) введем обозначения

те те

РВ1(ГТ)(Р, С) = ^ гк|Р(0) — Ск(0)|, ||Р — 1(гТ) = ^ гк|%) — ОД|. к=0 к=0

Теорема 6.1. Для всех Р, С Е Sz(T), г Е (0,1), удовлетворяющих условиям 1 — г ^ 12log)-1 и 1 — г ^ 12logп(С)-1, имеют место неравенства

2рВ1(гТ)(Р,С) ^ ||Р — С||^ 1(гт) ^ 2рВ1(гТ)(Р,С).

Следствие 6.2. Если Р, С Е Sz(T) и г Е (0,1) удовлетворяют условиям из теоремы 6.1, то при всех п ^ 0 выполняется неравенство

|РП(0) — Сп(0)| ^ 2г-п||Р — С|и 1(гТ).

На основе полученных оценок строится алгоритм, позволяющий приближенно вычислять решение уравнение Абловица-Ладика с наперед заданной точностью. Пусть А - стандартные функции Бесселя,

А(20 = ± <—1»тг2т+к

т=0

(т + к)!

Функция ег4(г+1/г) = ^г" А(2£)гк является мультипликатором в обратной задаче рассеяния для уравнения Абловица-Ладика. При всех п Е и £ Е К определим многочлен

Сга>4 = (1 — г" А (2£)гк, 5га>4

п!

|к|<п

Нас будет интересовать ситуация, когда п > с£ для некоторого с > е. В этом случае число 5п>4 мало, но поправка на множитель 1 — 5п>4 необходима: с ней функция Сп>4 становится функцией Шура.

Рассмотрим последовательность д0 Е I2О), носитель которой сосредоточен на Z+. Пусть - это функция Шура с коэффициентами рекурсии {д0(п)}п^0. Для п Е и £ Е К определим Рп0 = Сп>4, с помощью алгоритма Шура (7) построим итерации Шура Рп,0, Рп,1, Рп,2,... и положим

- л (0), ^ ^ —n, ) = < (10)

10, ] < —п.

Следующая теорема показывает, что дп приближает решение д уравнения (9) с очень высокой точностью.

Теорема 6.3. Пусть последовательность д0 Е О) такова, что вирр д0 С и п =

Ппе.+(1 — Ып)|2) > е-1/12. Обозначим г =1 — 12^п-1 > 0, тогда функция дп из (10) и решение д уравнения (9) удовлетворяют неравенству

4/пе3^/г

|д(£,^) — )| ^ —г-г-п--1

п!

для всех п е ] е 2, £ > 0 таких, что п + ^ 0, п > £ и = ^Пр < 1.

Глава 1. Вспомогательные результаты

1.1. Оператор Дирака

Настоящая работа посвящена прямой и обратной спектральной задаче одномерного оператора Дирака на полуоси К+ = [0, Следуя книге [45], определим основные объекты

исследования. Пусть Q - отображение на К+ со значениями в пространстве симметричных

2 х 2 матриц с нулевым следом вида

Q(r) = Г9(Г) Р(Г)1 , г ^ 0, ^р(г) д(г)/

где р, д - вещественнозначные функции на К+. Везде далее будем предполагать, что р и д измеримы и, более того, р, д е Ь11ос(К+), то есть р, д е Ь1([0,г]) при всех г > 0. Обозначим

3 = (0 "01) - квадратный корень из минус единичной матрицы размера 2. Оператором Дирака с потенциалом Q будем называть дифференциальный оператор

Область определения зависит от параметра а е [0, 2п) и состоит из абсолютно непрерывных функций X е Ь2(К, С2), удовлетворяющих

(X(0), (сопа))с2 = 0, е Ь2(К,С2).

При каждом а е [0, 2п), оператор с такой областью определения является самосопряженным плотно заданным оператором на Ь2(К, С2). Не умаляя общности, везде в статье будем считать а = 0.

В 1955 году М. Крейн доказал [43], что абсолютно непрерывный спектр оператора Рд содержит всю вещественную прямую К в случае, когда потенциал Q лежит в пространстве Ь2(К+). М. Крист и А.Киселёв доказали [19], [17], [18] существование модифицированных решений Йоста и волновых операторов для операторов Шрёдингера и Дирака с потенциалами из Ьг при 1 ^ г < 2, С.Денисов [22] установил существование волновых операторов для операторов Дирака с потенциалами из Ь2(К+). Недавно Р. Бессонов расширил [9] этот результат на операторы Дирака, спектральная мера которых принадлежит классу Сегё на вещественной оси. Некоторые связанные результаты и подходы можно найти в работах [21],

[49], [50], [60].

Необходимые нам спектральные данные Т>д можно определить, рассмотрев дифференциальное уравнение на обобщенные собственные функции:

Рд/ = Л/, Л Е С. (1.1)

В рассматриваемом нами случае Т>д самосопряжен и, следовательно, уравнение (1.1) не может задавать настоящую собственную функцию при Л Е К. Тем не менее, само дифференциальное уравнение имеет единственное решение на К+ с любым граничным значением. Решения уравнения (1.1) с граничными значениями (1,0)т и (0,1)т будем обозначать

0(г,Л) = (0+(г,Л),0-(г,Л))т, ф(г, Л) = (ф+(г, Л), ф-(г, Л))т.

Матричнозначная функция N = (0, ф) является фундаментальным решением уравнения (1.1), выполняется

А^(г,Л) + ^(г^(г, Л) = ЛN(г, Л), N(0,Л)=^ ^ , г > 0. (1.2)

Для любого потенциала Q Е Ь11ос(К+) существует единственная борелевская мера ад на вещественной прямой такая, что

Л Т-+У < ^

и отображение, заданное на гладких функциях с компактным носителем правилом

(/1, /2) ^ / (/1 (х)0+(х, Л) + /2(х)0-(х, Л)) ¿ж, (1.3)

Л/П . К

продолжается до изометрии между пространствами Ь2(К+) ф Ь2(К+) и Ь2(К,ад). Мера ад называется спектральной мерой оператора Т>д. Функция Вейля тд оператора Т>д задается в верхней полуплоскости С+ = {г: 1т г > 0} равенством

тд(*) = — Пт , г Е С+, (1.4)

ь^ж 0+(г, г)

она является аналитической и переводит С+ в себя, то есть при всех г Е С+ выполняется 1ттд(г) > 0. Спектральная мера и функция Вейля связаны соотношением

тд(г) — тд(гь) = - / ( —---—-— ) ¿ад(Л), г, ^ Е С+. (1.5)

П 3 к V Л — г Л — г0/

В настоящей работе оператор Дирака Т>д исследуется с помощью методов, приходящих из теории ортогональных многочленов на окружности. Связующим звеном между оператором Дирака и ортогональными многочленами служат системы Крейна.

1.2. Система Крейна

Рассмотрим некоторую комплекснозначную функцию а е Ь1ос(К+). Системой Крейна с коэффициентом а называется система дифференциальных уравнений

£Р(г, Л) = ¿АР(г, Л) — а(Т)Р*(г,А), Р(0, Л) = 1,

я (1.6)

£Р*(г, Л) = —а(г)Р(г, Л), Р*(0, Л) = 1.

Системы вида (1.6) были введены М. Крейном в статье [43] и впоследствии получили его имя. В качестве основного источника при работе с системами Крейна будет использоваться статья С. Денисова [23]. Дифференциальная система оператора Дирака (1.2) переписывается в систему Крейна (1.6) и наоборот с помощью простых преобразований, см. раздел 1.3 ниже, поэтому все спектральные данные оператора Дирака могут быть определены в терминах соответствующей системы Крейна. С другой стороны, схожесть свойств решений Р и Р* системы Крейна (1.6) и ортогональных многочленов на окружности позволяет использовать методы из богатой теории ортогональных многочленов на окружности в спектральной теории оператора Дирака.

Сформулируем простейшие свойства системы Крейна. При всех г е С и г ^ 0 имеет место формула отражения:

Р(г, г) = Р*(г,г), Р*(г, г) = е^Р^Т^). (1.7)

Действительно, при всех г е С можем написать

д (>гР*(г,г)) = ■ Р*(г,г) — ■ а(г)Р(г, г),

+ ¿гР (г, г) — о^р^г,*)) = —а(г)Р*(г,г),

то есть функции ег2ТР*(г, г) и ег2ТР(г, г) удовлетворяют дифференциальной системе Крейна (1.6). Граничные значения в точке г = 0 также совпадают со значениями Р и Р*. Равенства в (1.7) следуют из единственности решения системы дифференциальных уравнений. Далее, дифференцированием по г можно показать, см. лемму 3.6 в [23], что Р и Р* удовлетворяют равенству

¡•г

Р(г, Л)Р(г,д) — Р*(г, Л)Р*(г,д) = ¿(Л — Д) / Р(в,Л)Р(в,д) ¿5. (1.8)

./о

Соотношение (1.8) называется формулой Кристоффеля-Дарбу. Подставляя д = Л в (1.8),

получаем

г-т

|Р*(г,А)|2— |Р(г,А)|2 = 21т А/ |Р(з,А)|2 (1.9)

Зо

Поскольку Р непрерывна по г и Р(0,А) = 1, интеграл в правой части строго положителен при всех г > 0. Следовательно, при всех А Е С+ и г > 0 выполнено неравенство

|Р*(г,А)| > |Р(г, А)|. (1.10)

В частности, ни при каком г ^ 0, функция Р*(г, •) не может иметь нулей в С+.

Далее будет показано, что при выполнении некоторых дополнительных условий функции Р* сходятся к П в С+. Теорема 6.2 в [23] утверждает, что последовательность мер |Р*(г, ж)|_2 ¿ж сходится при г — то к ¿а(ж) в слабом-* смысле. В качестве следствия из этой сходимости получаем следующую важную лемму.

Лемма 1.1. Если |Р*(г, ж)| — |П(ж)| равномерно на компактных подмножествах Е, то мера а абсолютно непрерывна.

1.3. Сведение оператора Дирака к системе Крейна

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Губкин Павел Васильевич, 2026 год

Список литературы

1. Ибрагимов И. А. Об асимптотическом поведении ошибки прогноза // Теория вероятн. и ее примен. — 1964. — Т. 9, № 4. — С. 695—703.

2. Ablowitz M. J., Ladik J. F. Nonlinear differential-difference equations //J. Math. Phys. — 1975. — Vol. 16. — P. 598-603.

3. Ablowitz M. J., Ladik J. F. Nonlinear differential-difference equations and Fourier analysis // J. Math. Phys. — 1976. — Vol. 17, no. 6. — P. 1011-1018.

4. Ablowitz M. J., Prinari B., Trubatch A. D. Discrete and continuous nonlinear Schrodinger systems. Vol. 302. — Cambridge University Press, Cambridge, 2004. — (London Mathematical Society Lecture Note Series).

5. Angelopoulos Y., Killip R., Visan M. Invariant measures for integrable spin chains and an integrable discrete nonlinear Schrodinger equation // SIAM J. Math. Anal. — 2020. — Vol. 52, no. 1. — P. 135-163.

6. Avila A., Last Y., Simon B. Bulk universality and clock spacing of zeros for ergodic Jacobi matrices with absolutely continuous spectrum // Anal. PDE. — 2010. — Vol. 3, no. 1. — P. 81-108.

7. Baranov A., Belov Y., Poltoratski A. De Branges functions of Schroedinger equations // Collect. Math. — 2017. — Vol. 68, no. 2. — P. 251-263.

8. Baxter G. A convergence equivalence related to polynomials orthogonal on the unit circle // Trans. Amer. Math. Soc. — 1961. — Vol. 99, no. 3. — P. 471-487.

9. Bessonov R. Szego condition and scattering for one-dimensional Dirac operators // Constr. Approx. — 2020. — Vol. 51, no. 2. — P. 273-302.

10. Bessonov R., Denisov S. De Branges canonical systems with finite logarithmic integral // Anal. PDE. — 2021. — Vol. 14, no. 5. — P. 1509-1556.

11. Bessonov R. Entropy function and orthogonal polynomials // J. Approx. Theory. — 2021. — Vol. 272. — P. 105650.

12. Bessonov R., Denisov S. Szego condition, scattering, and vibration of Krein strings // Invent. Math. — 2023. — Vol. 234, no. 1. — P. 291-373.

13. Bessonov R., Gubkin P. Stability of Schur's iterates and fast solution of the discrete integrable NLS //J. Spectr. Theory. — 2024. — Vol. 15, no. 1. — P. 149-194.

14. Bessonov R., Gubkin P. Direct and inverse spectral continuity for Dirac operators // arXiv preprint arXiv:2505.00485. — 2025.

15. Bowman F. Introduction to Bessel functions. — Dover Publications, Inc., New York, 1958.

16. Breuer J., Weissman D. Level repulsion for Schrödinger operators with singular continuous spectrum // J. Spectr. Theory. — 2018. — Vol. 9, no. 2. — P. 429-451.

17. Christ M., Kiselev A. Maximal functions associated to filtrations //J. Funct. Anal. — 2001. — Vol. 179, no. 2. — P. 409-425.

18. Christ M., Kiselev A. WKB asymptotic behavior of almost all generalized eigenfunctions for one-dimensional Schrödinger operators with slowly decaying potentials //J. Funct. Anal. — 2001. — Vol. 179, no. 2. — P. 426-447.

19. Christ M., Kiselev A. Scattering and wave operators for one-dimensional Schrödinger operators with slowly decaying nonsmooth potentials // Geom. Funct. Anal. — 2002. —Vol. 12, no. 6. — P. 1174-1234.

20. Damanik D., Simon B. Jost functions and Jost solutions for Jacobi matrices, II. Decay and analyticity // Int. Math. Res. Not. IMRN. — 2006. — Vol. 165. — P. 1-50.

21. Deift P., Killip R. On the absolutely continuous spectrum of one-dimensional Schrödinger operators with square summable potentials // Comm. Math. Phys. — 1999. — Vol. 203, no. 2. — P. 341-347.

22. Denisov S. On the existence of wave operators for some Dirac operators with square summable potential // Geom. Funct. Anal. — 2004. — Vol. 14, no. 3. — P. 529-534.

23. Denisov S. Continuous analogs of polynomials orthogonal on the unit circle and Krein systems // IMRS Int. Math. Res. Surv. — 2006. — Art. ID 54517, 148.

24. Dyatlov S., Zworski M. Mathematical theory of scattering resonances. Vol. 200. —American Mathematical Society, Providence, RI, 2019. — (Graduate Studies in Mathematics).

25. Eichinger B. Asymptotics for Christoffel functions associated to continuum Schrödinger operators //J. Anal. Math. — 2024. — Vol. 153, no. 2. — P. 519-553.

26. Folland G. Real analysis. — Second. — John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999. — (Pure and Applied Mathematics (New York)). — Modern techniques and their applications, A Wiley-Interscience Publication.

27. Fried H. Green's functions and ordered exponentials. — Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

28. Froese R. Asymptotic distribution of resonances in one dimension //J. Differential Equations. — 1997. — Vol. 137, no. 2. — P. 251-272.

29. Garnett J. Bounded analytic functions. Vol. 96. — Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1981. — (Pure and Applied Mathematics).

30. Golinskii L. B. Schur flows and orthogonal polynomials on the unit circle // Mat. Sb. — 2006. — Vol. 197, no. 8. — P. 41-62.

31. Grenander U., Rosenblatt M. An extension of a theorem of G. Szego and its application to the study of stochastic processes // Trans. Amer. Math. Soc. — 1954. — Vol. 76. — P. 112-126.

32. Gubkin P. Mate-Nevai-Totik theorem for Krein systems // Integral Equations Operator Theory. — 2021. — Vol. 93, no. 3. — Paper No. 33, 24.

33. Gubkin P. Krein systems with oscillating potentials // arXiv preprint arXiv:2409.08614. —

2024.

34. Gubkin P. Dirac operators with exponentially decaying entropy // Constr. Approx. —

2025. — Vol. 62, no. 1. — P. 105-149.

35. Hitrik M. Bounds on scattering poles in one dimension // Comm. Math. Phys. — 1999. — Vol. 208, no. 2. — P. 381-411.

36. Iantchenko A, Korotyaev E. Resonances for 1D massless Dirac operators // J. Differential Equations. — 2014. — Vol. 256, no. 8. — P. 3038-3066.

37. Iantchenko A., Korotyaev E. Resonances for Dirac operators on the half-line // J. Math. Anal. Appl. — 2014. — Vol. 420, no. 1. — P. 279-313.

38. Klein M. On the absence of resonances for Schrodinger operators with nontrapping potentials in the classical limit // Comm. Math. Phys. — 1986. — Vol. 106, no. 3. — P. 485-494.

39. Koosis P. Introduction to Hp spaces. Vol. 115. — Second. — Cambridge University Press, Cambridge, 1998. — (Cambridge Tracts in Mathematics).

40. Korey M. Ideal weights: asymptotically optimal versions of doubling, absolute continuity, and bounded mean oscillation // J. Fourier Anal. Appl. — 1998. — Vol. 4, no. 4/5. — P. 491-519.

41. Korotyaev E., Mokeev D. Inverse resonance scattering for Dirac operators on the half-line // Anal. Math. Phys. — 2021. — Vol. 11, no. 1. — Paper No. 32, 26.

42. Korotyaev E. Inverse resonance scattering on the half line // Asymptot. Anal. — 2004. — Vol. 37, no. 3/4. — P. 215-226.

43. Krein M. Continuous analogues of propositions on polynomials orthogonal on the unit circle // Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.) — 1955. — Vol. 105. — P. 637-640.

44. Levin B. Lectures on entire functions. Vol. 150. — American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. — (Translations of Mathematical Monographs).

45. Levitan B., Sargsjan I. Sturm-Liouville and Dirac operators. Vol. 59. — Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. — (Mathematics and its Applications (Soviet Series)).

46. Mate A., Nevai P., Totik V. Szego's extremum problem on the unit circle // Ann. of Math. (2). — 1991. — Vol. 134, no. 2. — P. 433-453.

47. Matveev V., Skriganov M. Wave operators for a Schrödinger equation with rapidly oscillating potential // Dokl. Akad. Nauk SSSR. — 1972. — Vol. 202. — P. 755-757.

48. Mnatsakanyan G. Some quantitative estimates for the nonlinear Fourier Transform // arXiv preprint arXiv:2210.00309. — 2022.

49. Muscalu C., Tao T., Thiele C. A Carleson theorem for a Cantor group model of the scattering transform // Nonlinearity. — 2003. — Vol. 16, no. 1. — P. 219-246.

50. Muscalu C., Tao T., Thiele C. A counterexample to a multilinear endpoint question of Christ and Kiselev // Math. Res. Lett. — 2003. — Vol. 10, no. 2/3. — P. 237-246.

51. Nevai P., Totik V. Orthogonal polynomials and their zeros // Acta Sci. Math. (Szeged). — 1989. — Vol. 53, no. 1/2. — P. 99-104.

52. Poltoratski A. Pointwise convergence of the non-linear Fourier transform // arXiv preprint arXiv:2103.13349v13. — 2021.

53. Poltoratski A. Pointwise convergence of the non-linear Fourier transform // Ann. of Math. — 2024. — Vol. 199, no. 2. — P. 741-793.

54. Pólya G., Szegö G. Problems and Theorems in Analysis: Series, integral calculus, theory of functions. Vol. 1. — Springer, 1972.

55. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness. — Academic Press, New York-London, 1975.

56. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. III. — Academic Press, New York-London, 1979. — Scattering theory.

57. Remling C. Spectral Theory of Canonical Systems. — Berlin, Boston : De Gruyter, 2018.

58. Romanov R. Canonical systems and de Branges spaces // arXiv:1408.6022. — 2014.

59. Sasaki I. Schrödinger operators with rapidly oscillating potentials // Integral Equations Operator Theory. — 2007. — Vol. 58, no. 4. — P. 563-571.

60. Simon B. Schrödinger semigroups // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) — 1982. —Vol. 7, no. 3. — P. 447-526.

61. Simon B. Resonances in one dimension and Fredholm determinants //J. Funct. Anal. — 2000. — Vol. 178, no. 2. — P. 396-420.

62. Simon B. Orthogonal polynomials on the unit circle. Part 1. 54, Part 1. — American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. — (American Mathematical Society Colloquium Publications). — Classical theory.

63. Sjöstrand J. Geometric bounds on the density of resonances for semiclassical problems // Duke Math. J. — 1990. — Vol. 60, no. 1. — P. 1-57.

64. Skriganov M. The spectrum of a Schrödinger operator with rapidly oscillating potential // Trudy Mat. Inst. Steklova. — 1973. — Vol. 125. — P. 187-195, 235.

65. Sylvester J., Winebrenner D. P. Linear and nonlinear inverse scattering // SIAM J. Appl. Math. — 1999. — Vol. 59, no. 2. — P. 669-699.

66. Tao T. Nonlinear dispersive equations. Vol. 106. — Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 2006. — (CBMS Regional Conference Series in Mathematics).

67. Tao T., Thiele C. Nonlinear Fourier Analysis // arXiv preprint arXiv:1201.5129. — 2003.

68. Tao T., Thiele C., Tsai Y. The nonlinear Fourier transform. — Preprint 2023, https://www.math.uni-bonn.de/people/thiele/teaching/2012NLFT/chapter.pdf.

69. Teplyaev A. A note on the theorems of M. G. Krein and L. A. Sakhnovich on continuous analogs of orthogonal polynomials on the circle // J. Funct. Anal. — 2005. — Vol. 226, no. 2. — P. 257-280.

70. Volberg A., Yuditskii P. On the inverse scattering problem for Jacobi matrices with the spectrum on an interval, a finite system of intervals or a Cantor set of positive length // Comm. Math. Phys. — 2002. — Vol. 226, no. 3. — P. 567-605.

71. Zworski M. Distribution of poles for scattering on the real line // J. Funct. Anal. — 1987. — Vol. 73, no. 2. — P. 277-296.