К теории фильтрационных волн давления в трещине, находящейся в пористой и проницаемой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Нагаева, Зиля Мунировна

• Нагаева, Зиля Мунировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Нагаева, Зиля Мунировна

ОГЛАВЛЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ОСНОВНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ ИЗУЧЕНИЮ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ среде и гидроразрыву ПЛАСТА

1.1. О гидроразрыве пласта и опыте его применения

1.2. Различные модели описания течения флюида в пористом пласте и в гидроразрывной трещине

1.3. Современное состояние теории

1.4 Задачи, возникающие при проектировании ГРП

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ОПИСЫВАЮЩАЯ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ОТ СКВАЖИНЫ С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ

2.1 Вывод основного интегро-дифференциального уравнения

2.2 Дисперсионный анализ

2.3 Распространение гармонических колебаний давления от скважины по трещине

2.4 О распространении цилиндрических волн давления

ГЛАВА 3. ФИЛЬТРАЦИЯ ФЛЮИДА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ РАБОТЫ СКВАЖИНЫ

3.1 Фильтрация к скважине через трещину при внезапном снижении давления

3.2 Фильтрация в режиме постоянного расхода

ГЛАВА 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ПССС ЗАДАЧИ ОБ

УПРУГОМ РЕЖИМЕ ФИЛЬТРАЦИИ В ТРЕЩИНЕ, НАХОДЯЩЕЙСЯ

В НЕФТЯНОМ ПЛАСТЕ

2

4.1 Предварительные замечания и основные уравнения

4.2 Приближенное решение методом ПССС задачи о фильтрации к

скважине через трещину бесконечной протяженности (/^ ^да)

4.3 Приближенное решение методом ПССС задачи о фильтрации к скважине через трещину, когда протяженность трещины конечна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

а - радиус скважины, м;

I - время, с;

х - координата вдоль трещины;

у - координата в пористой среде, перпендикулярно стенкам трещины;

df - ширина (толщина) трещины, м;

йу - высота трещины (вертикальный размер трещины), м;

- полудлина трещины, м;

т (г = /, р) - пористость, безразмерная величина;

рг (I = /,р) - плотность флюида, кг/м3;

ц (I = /, р) - скорость фильтрации флюида, м/с;

к' (I = /, р) - коэффициент проницаемости, м2;

С - скорость звука для флюида, м/с; Л - динамическая вязкость флюида, Па • с; Т - температура, К;

Я - приведенная газовая постоянная, Дж/ (кг • К);

-1

круговая частота колебаний, с ;

-1

- критическая частота, с ;

К/ = к/ + - комплексное волновое число;

- коэффициент затухания;

С( ри) - фазовая скорость, м/с; Р - давление, Па;

- перепад давления между пластовым давлением и давлением в скважине, Па;

А( р )

А/ - амплитуда давления в трещине;

А(р)

Ар - амплитуда давления в пористой среде;

0'= /,р) - коэффициент пьезопроводности, м2 /с;

Я - объемный расход флюида, м 2 /с; т - массовый расход флюида, кг/с'м;

к. (*) - функция Макдональда.

Нижние индексы

/ - соответствуют значениям параметров в трещине;

р - соответствуют значениям параметров в пористой среде, окружающей трещину;

w - соответствуют значениям параметров на скважине;

(0) - для давления и плотности, соответствующих их невозмущенным значениям.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории фильтрационных волн давления в трещине, находящейся в пористой и проницаемой среде»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Одним из основных способов интенсификации добычи нефти из низкопроницаемых пластов является гидроразрыв пластов (ГРП) повышением давления в призабойных зонах скважин и наполнение образовавшихся трещин специальным составом (пропантом), исключающим их последующее полное смыкание.

Представляется, что контроль качества гидроразрыва, расположение трещин в пласте можно в значительной степени осуществлять акустическим зондированием, гидропрослушиванием и гидродинамическим испытанием скважин (ГДИС) [67].

Суть метода гидропрослушивания заключается в следующем: в основной скважине, вокруг которой производился гидроразрыв, создается переменное давление, в частности, периодическое или импульсное. В другой открытой скважине (в приемнике) прослеживается пластовое давление. Трансформация доходящего до приемника сигнала будет определяться параметрами трещины (шириной, пористостью и проницаемостью), коллекторскими параметрами пласта, а также расположением приемника по отношению к трещине (например, расстоянием от приемника до трещины).

В связи с этим возникает необходимость построения теории, описывающей процессы распространения возмущения давления по трещинам и окружающим трещины пористым пластам, что позволит анализировать изменения коллекторских характеристик призабойных зон скважин и их продуктивности при гидроразрыве пластов.

Таким образом, актуальными являются теоретические исследования, направленные на описание процессов распределения давления по трещинам, находящимся в пористой проницаемой среде применительно к технологиям гидропрослушивания.

Целью диссертационной работы является решение на основе математической модели задачи о распространении давления в трещине, созданной гидроразрывом пласта, с учетом фильтрации флюида в окружающую трещину пористую проницаемую среду.

Для достижения цели поставлены и решены следующие задачи:

- построена теоретическая модель в виде интегро-дифференциального уравнения, позволяющего описать эволюцию давления в трещине, с учетом фильтрации жидкости в окружающую трещину пористую и проницаемую среду;

- получены аналитические решения в виде затухающей бегущей волны для возмущений давления в трещине, инициируемых гармоническими колебаниями давления флюида в скважине;

- проведен сравнительный анализ результатов решения задачи о распространении гармонических волн давления от скважины при наличии трещины с описанием распространения цилиндрических волн в однородной пористой и проницаемой среде от скважины при отсутствии гидроразрывной трещины;

- построены аналитические решения, описывающие эволюцию полей давления жидкости и газа, находящихся в трещине, с учетом фильтрации в окружающую трещину пористую среду при внезапном изменении давления на скважине, которое в дальнейшем поддерживается постоянным, а также для заданного постоянного расхода жидкости на скважине;

- проведен анализ влияния фильтрационных характеристик трещины (например, ее толщины и проницаемости), а также параметров пласта и флюида на закономерности изменения расхода флюида в скважине в режиме постоянного перепада давления между пластовым и скважинным значениями, а также на эволюцию давления в трещине и скважине в режиме отбора флюида при постоянном расходе;

- получены приближенные аналитические решения методом последовательной смены стационарных состояний (ПССС), описывающие распространение давления в гидроразрывной трещине конечной и бесконечной длины при различных условиях на концах трещины при задании постоянного перепада давления и постоянного расхода на скважине;

- проведен сравнительный анализ точных и приближенных решений для трещин бесконечной протяженности.

Методы исследования. Для получения научных результатов в диссертационной работе были использованы методы и подходы, применяемые в области механики сплошных сред, теории фильтрации, методы построения решений уравнений математической физики. При нахождении аналитических решений использовался аппарат преобразования Лапласа и методы комплексного анализа. Численный анализ исследуемых процессов выполнялся в MatLab и пакете Maple.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Математическая модель в виде интегро-дифференциального уравнения, описывающая эволюцию давления в трещине с учетом фильтрации жидкости в окружающую трещину пористую и проницаемую среду при различных режимах работы скважины.

2. Аналитические решения, описывающие эволюцию давления в трещине с учетом фильтрации жидкости через стенки трещины и в окружающей трещину пористой среде при гармоническом законе изменения давления в скважине.

3. Критические условия для круговой частоты колебаний давления и характерных времен процесса, когда упругоемкость флюида в трещине не существенна.

4. Аналитические решения, описывающие динамику давления флюидов в трещине с учетом фильтрации в окружающую трещину пористую среду при внезапном изменении давления на скважине, которое в дальнейшем поддерживается постоянным. Установленные на их основе закономерности изменения расхода нефти и массового расхода газа от времени в зависимости от характеристик трещины, пласта и флюидов.

5. Аналитические решения, описывающие закон изменения давления в трещине и скважине, при задании постоянного расхода флюида на скважине.

6. Приближенные аналитические решения в элементарных функциях, полученные методом последовательной смены стационарных состояний (ПССС), описывающие законы распространения давления в трещине при различных режимах работы скважины. Сравнительный анализ результатов, полученных по приближенным и точным формулам.

Научная новизна исследований, проведенных в работе, заключается в том, что:

- построена теоретическая модель в виде интегро-дифференциального уравнения, описывающая фильтрационные волны давления в гидроразрывной трещине с учетом фильтрации жидкости в окружающую трещину пористую и проницаемую среду;

- на основе этой модели получено аналитическое решение в виде затухающей бегущей волны, описывающее возмущения давления в трещине, инициируемые гармоническими колебаниями давления флюида в скважине;

- построено аналитическое решение, описывающее эволюцию давления жидкости в трещине с учетом фильтрации флюида в окружающую трещину пористую среду при созданни постоянного перепада давления на скважине; получены формулы для объемного расхода нефти и массового расхода газа, позволяющие определить основные закономерности изменения

дебита скважины в зависимости от параметров пласта и характеристик гидроразрывной трещины;

- получено решение, описывающее распределение давления флюида в трещине для заданного постоянного дебита скважины; установлены закономерности изменения давления в скважине, обеспечивающие режим работы скважины при постоянном дебите;

- получены приближенные аналитические решения методом последовательной смены стационарных состояний (ПССС), описывающие законы изменения давления в трещине при задании постоянного перепада давления и постоянного расхода на скважине.

Обоснованность и достоверность результатов работы следует из корректности физической и математической постановок задач, применения при разработке математических моделей фундаментальных законов механики сплошных сред, теории фильтрации. Полученные решения не противоречат общим гидродинамическим представлениям и находятся в соответствии с результатами, полученными другими исследователями в рассматриваемой области.

Практическая значимость. Показано, что трещина в пористой среде является волновым каналом для низкочастотных колебаний давления в призабойной зоне скважины. Анализ полученных решений указывает на возможность диагностировать качество гидроразрыва пластов посредством гидропрослушивания. Полученные аналитические решения, соответствующие постоянному перепаду давления или постоянному дебиту, позволяют анализировать изменения коллекторских характеристик призабойных зон скважин, их продуктивности при гидроразрыве пластов и закономерности распространения давления в трещинах. Эти решения могут служить основой для тестирования алгоритмов расчетов при теоретическом

описании процессов фильтрации в пластах с гидроразрывными трещинами по более сложным математическим моделям.

Апробация работы. Полученные результаты обсуждались на семинаре лаборатории математического моделирования и механики сплошных сред под руководством доктора физико-математических наук, академика АН РБ В.Ш. Шагапова в Бирском филиале Башкирского государственного университета (2016 г.), на научном семинаре кафедры математики ФГБОУ ВО "УГНТУ" (2018 г.), на научном семинаре Института механики им. Р.Р. Мавлютова УФИЦ РАН (2018 г.).

Результаты диссертации были представлены на VI Российской конференции «Многофазные системы: модели, эксперимент, приложения» и школе молодых ученых «Газовые гидраты—энергия будущего». (Уфа, 2017 г.), на Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (г. Стерлитамак, 2018 г.).

Публикации. Основные научные результаты по теме диссертации изложены в 8 работах, опубликованных в журналах и научных сборниках. Из них 2 издания из списка, рекомендованного ВАК, 3 издания входят в наукометрические базы Scopus и Web of Science.

Благодарность. Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владиславу Шайхулагзамовичу Шагапову за постановку задачи, помощь и поддержку на всех этапах исследований, за ценные советы, постоянное внимание к работе. Также автор выражает благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Галимзянову Марату Назиповичу за помощь и советы при выполнении работы.

Личный вклад. Автором самостоятельно проведена разработка алгоритма решения, программирование и численная реализация задачи, оформление и обработка полученных результатов, подготовка части

публикаций. Совместно с научным руководителем В.Ш. Шагаповым произведена постановка задач и анализ полученных результатов.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертационной работы составляет 112 страниц, включая 35 рисунков и графиков и список литературы, содержащий 99 работ.

В первой главе проведен обзор основных теоретических и экспериментальных работ, посвященных изучению фильтрации флюида в пористой проницаемой среде.

Вторая глава посвящена обсуждению теоретической модели, описывающей фильтрационные волны давления в трещинах, находящихся в пористой и проницаемой среде, и изучению распространения гармонических сигналов.

В третьей главе рассматриваются фильтрация к скважине через трещину при внезапном снижении давления и фильтрация в режиме постоянного расхода.

В четвертой главе с использованием метода последовательной смены стационарных состояний (ПССС) построены достаточно простые аналитические решения в элементарных функциях, проведено сравнение численных результатов по этим приближенным решениям с точными, но более сложными решениями, описанными в предыдущих главах.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ОСНОВНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И

ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ ИЗУЧЕНИЮ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ И ГИДРОРАЗРЫВУ ПЛАСТА 1.1. О гидроразрыве пласта и опыте его применения

В настоящее время в связи с существенным истощением разведанных месторождений нефти и газа возрастает необходимость интенсификации добычи углеводородов. Одним из важнейших методов стимуляции скважин является гидроразрыв пласта. Целью проведения гидроразрыва пласта является увеличение площади контактирования скважины и продуктивных участков пласта. Под большим давлением в пласт закачивается жидкость, в результате чего образуется трещина, длина которой может достигать нескольких сотен метров, при этом толщина трещины (расстояние между ее стенками) - несколько миллиметров (см. рис.1). Конфигурация трещин может быть различной и зависит от характеристик пласта, глубины расположения, объема и интенсивности нагнетания расклинивающей жидкости.

Обычно выделяют вертикальные и горизонтальные трещины. На практике используется также многостадийный ГРП на горизонтальных скважинах, при котором возможно создание нескольких трещин, пересеченных одной горизонтальной скважиной. Тем не менее, большая часть трещин - вертикальные. Если прекратить закачку жидкости в пласт, то стенки трещины вновь смыкаются. Чтобы не допустить смыкания, в трещину закачивают специальный состав - расклинивающий агент, называемый пропантом. Раньше для этих целей использовался песок. Трещина соединяет продуктивные участки пласта со стволом скважины. Проницаемость пути по трещине, заполненной пропантом, будет до 5-6 порядков выше проницаемости окружающего пласта.

Механизм образования трещин при разрыве фильтрующейся в пласт жидкостью рассмотрен, например, в работе С.А. Христиановича [54]. В горной породе присутствует большое число микротрещин, которые сжаты давлением, создаваемым выше залегающими породами. Проницаемость таких трещин очень мала. Если под большим давлением закачивать жидкость в скважину, то она будет фильтроваться в пласт по зонам наибольшей проницаемости, т.е. будет распространяться и по естественным трещинам. При этом по вертикали создается разность давления между пропластками, так как в трещинах и более проницаемых пропластках давление будет больше, чем в малопроницаемых. В результате возникает усилие, действующее на основания проницаемого пласта, вышележащие породы подвергаются деформации, и на границах пропластков образуются трещины или же расширяются уже имеющиеся микротрещины.

При использовании нефильтрующейся жидкости механизм разрыва пласта несколько иной - сходный с разрывом толстостенных сосудов. Трещины, образующиеся при этом, отличаются от трещин, получаемых с помощью фильтрующихся жидкостей. Их расположение обычно вертикальное или наклонное. При разрыве нефильтрующейся жидкостью давление разрыва обычно бывает значительно больше, чем при разрыве фильтрующимися жидкостями.

Рис.1 Гидроразрыв пласта

Интересно, что чаще всего давление разрыва бывает меньше, чем горное давление, и равно 1,5—2,5 гидростатического давления в скважине. Этому факту даются различные объяснения. Ю. П. Желтов, С. А. Христнанович [23] видят причину этого явления в пластической деформации глинистых пород в процессе бурения скважин, залегающих в кровле или в самом продуктивном пласте. Проводка ствола скважины нарушает распределение напряжения в примыкающих породах. Если в пласте присутствуют глинистые породы, то локальное уменьшение напряжений особенно сильно. Предполагается, что после вскрытия глинистые частицы «вытекают» в скважину под действием лежащих выше пород, что приводит к возникновению «разгружающих сводов» в зоне пластов, охваченных пластической деформацией, и, вследствие этого, вертикальное горное давление оказывается уменьшенным вблизи скважины.

Трещины, возникшие или расширившиеся существовавшие, соединяясь между собой, становятся проводниками нефти, газа или воды, которые связывают скважину с удаленными зонами пласта, расширяя достигаемую территорию и облегчая транспортировку нефти или газа к скважине при извлечении или закачиваемой жидкости от скважины при нагнетании.

Впервые (неудачно) технология гидроразрыва пласта была применена в 1947 году в Соединенных Штатах, и уже через два года был произведен первый коммерчески успешный ГРП [66].

В Советском Союзе гидроразрыв начали применять с 1952 г. Общее число ГРП в СССР в период наибольшей интенсивности (1958-1962 гг.) было более полутора тысяч операций в год, а в 1959 г. достигло трех тысяч операций. К этому же времени относятся теоретические работы и экспериментальные исследования по изучению гидравлического разрыва пласта и его влияния на продуктивность скважин. В последующий период число проводимых операций ГРП резко уменьшилось и составляло не более

сотни в год. В основном места проведения ГРП были сосредоточены на месторождениях Башкирской АССР (Туймазинское нефтяное месторождение близ города Туймазы БАССР), Татарской АССР (Ромашкинское нефтяное месторождение в Бугульминском районе ТАССР), Куйбышевской области, Дагестанской АССР, Чечено-Ингушской АССР, Краснодарского края, Волго-Уральского региона, Туркмении, Азербайджана, Украины и Сибири. Производился прежде всего локальный гидроразрыв в основном для организации эффективной работы нагнетательных скважин, для осуществления внутриконтурного заводнения, а также для оживления скважин. На Туймазинском нефтяном месторождении метод гидравлического разрыва использовался для создания водоизолирующего экрана для отделения притоков подошвенных вод в скважинах с монолитными пластами.

Вскоре необходимость в массовом проведении локального гидроразрыва пласта, т. е. гидроразрыва с короткими (10-20 м) и широкими трещинами, сопровождающегося закачкой небольшого количества пропанта (несколько тонн), отпала, поскольку новая существенно более мощная техника позволяла эффективно закачивать большие объемы воды. Окончательный удар по отечественной технологии ГРП был нанесен вводом в разработку новых крупных высокодебитных месторождений Западной Сибири. Постепенно внимание к гидроразрыву, как к методу, имеющему серьезное практическое значение, в отрасли практически исчезло, прекратились и теоретические изыскания в этом направлении.

С начала 70-х по конец 80-х годов в отечественной нефтедобыче гидроразрыв в промышленных масштабах не применялся. Массированный гидроразрыв, т.е. гидроразрыв пласта, сопровождающийся закачкой очень больших объемов жидкости и пропанта (с объемом пропанта более 100 тонн и длиной трещины 1000 метров и более) в СССР не проводился.

Возрождение интереса к гидроразрыву пласта в Советском Союзе, а затем в России и Казахстане началось в конце 80-х - начале 90-х годов в связи с существенным изменением структуры запасов нефти и газа.

1.2. Различные модели описания течения флюида в пористом пласте

и в гидроразрывной трещине

Основоположниками отечественной школы теории флюидов и теории фильтрации являются Н.Е. Жуковский и Л.С. Лейбензон.

Великий российский ученый Н.Е. Жуковский, более известный как создатель аэромеханики, много сделал и для развития гидромеханики, теории фильтрации. В частности, им описаны капиллярные явления, показано родство задач о фильтрации жидкости с задачами тепломассопереноса [33].

Существенный вклад в гидродинамику внес Л.С. Лейбензон. По сути, он стал основателем подземной гидравлики, создал научные основы разработки нефтяных месторождений. Им решалась задача о движении нефти и газа по каналам с проницаемыми стенками, была создана теория движения газа в пористой среде. Л.С. Лейбензоном получены уравнения изотермической фильтрации [34, 35, 36].

Позднее, основываясь на работах Н.Е. Жуковского, Л.И. Седов [50] построил теорию плоских движений идеальной жидкости. Благодаря методам, предложенным Л.И. Седовым и Н.И. Мусхелишвили [38], решается задача о нахождении длины вертикальной трещины гидроразрыва.

Структура, размеры, расположение трещин гидроразрыва не могут быть определены точно ввиду недоступности газовых и нефтеносных пластов для визуального наблюдения. Поэтому информацию приходится получать путем моделирования трещины и обработки косвенной

информации об изменении давления на скважине, обработки акустических сигналов на скважине и т.д.

Впервые теоретическое описание течения флюида в трещине и окружающей ее пористой среде было дано в работах Маскета (Muskat M.). В работе [87] в 1937 г. им были приведены основные законы фильтрации с гидромеханическим обоснованием, методы определения проницаемости, пористости, вывод основных уравнений движения однородных жидкостей в среде с неоднородной проницаемостью. Также Маскет в серии своих работ [37, 86, 87] впервые рассмотрел течение жидкости к вертикальной трещине. На примере месторождения Ист-Тексас были изучены трещиновато -пористый пласт, характеристики нефти и воды, изменения давления в нефтяном пласте, объяснена разница между теоретическими и практическими результатами. Рассмотрено распределение притока флюида из пласта в трещину в предположении, что длина трещины бесконечна и описано распределение давления вдоль трещины в зависимости от проницаемостей трещины и окружающего трещину пористого пласта. Найдена эксплуатационная производительность скважин при различной конфигурации их расположения. В качестве математического аппарата использовались теория аналитических функций и функция Грина.

Формула расчета интенсивности линейного источника (конечного) в бесконечном пласте (изотропном, однородном) по Маскету имеет вид:

где АР - перепад давления между источником питания и внешним эллипсом с малой осью Ък, к - мощность пласта, к - проницаемость пласта, ак, Ък -главная и малая оси эллиптического контура с фокусами в конце трещины, х, - полудлина линейного источника, ^ - вязкость флюида.

2жкк

AP

2лккАР

И. А. Чарный в работе [55] (1948 г.) решает задачу описания установившегося (стационарного) притока жидкости в вертикальную трещину. Предполагается, что трещина в горизонтальном сечении имеет эллиптическую форму. Контур питания имеет радиус Як. Тогда приток q в трещину находится, как

q =

7гкИ

Р - Р

Л

1п

Я,

0,25 (Ь, + df )

Здесь Ьг - длина трещины, df - ее ширина, р - давление в трещине, р -давление на контуре.

Также И.А. Чарным и И.В. Кривоносовым (1955) [31] определены верхняя и нижняя границы, между которыми находится действительное значение q дебита скважины с трещиной гидроразрыва, имеющей одно крыло:

2лкк Р,к - Р1

л

1п

к р г 2жкИ -1 < q <--

р-р

' Як Л

0,25Ь

V

л

г У

1п

л •

Я

-к

^0,25(Ьг + 2гс + 2^Ьгтс + гС

Здесь г - радиус скважины. При этом отклонение среднего значения между заниженным и завышенным значениями для величины притока от действительной величины дебита составляет не более 2%, если

г <Ь, < 30 м.

с f

В серии работ П.Я. Полубариновой-Кочиной (1938, 1939 годы)

рассмотрена фильтрация в неоднородных и анизотропных грунтах [46, 47,

48] (также см. более позднюю работу [49]). В частности, рассмотрена задача

об определении всех параметров поля течения в полосе между основанием

гидротехнического сооружения и непроницаемым основанием. Также

19

рассмотрена задача о движении двух жидкостей разной плотности, получены теоретические реультаты о возможных конфигурациях линий раздела двух жидкостей. Другая задача посвящена нахождению контура нефтеносности: в горизонтальной плоскости в начальный момент времени задана площадь, занятая флюидом (нефтью), внутри контура Ь, ограничивающего эту область, находятся точечные источники (стоки) - скважины. Вопрос заключается в определении деформации контура Ь в зависимости от времени при условии, что на Ь давление остается постоянным, т.е. рассматривается задача о передвижении нефти, окруженной водой, в напорном пласте.

Г.И. Баренблаттом в работе [14] рассмотрена задача о закачке или отборе газа через скважину, показана ее автомодельность, изучена фильтрация неньютоновских жидкостей, рассмотрена двухфазная фильтрация. Им же в работе [12] предложены приближенные методы в теории фильтрации жидкостей в упругом режиме.

И.А. Чарным, Г.И. Баренблаттом и их учениками написаны основные труды в области гидромеханики и теории дифференциальных уравнений с частными производными, связанные с решением задач в области неустановившегося движения жидкости по трубам, теории фильтрации подземной гидромеханики, созданы теории использования горизонтальных и пологозалегающих водоносных пластов для подземных хранилищ газа [11, 13, 15, 55].

Ю.М. Шехтманом в работе [62] (1957 г.) показано, что дебит скважины уменьшается приблизительно на 25% при введении в трещину заполнителя. Им строится модель распределения давления в пласте, в центре которого расположена вертикальная или горизонтальная трещина ГРП. Задача, описывающая фильтрацию в пласте, решается независимо от расчета течения в трещине.

По теории трещин разрушения следует отметить А. Гриффитса (Griffith A.) [78] и Ирвин (Irwin G.) [83]. Ими предложена теория развития трещин, развитая позднее в работах Г.П. Черепанова [56, 57].

Теория гидроразрыва пластов, представляющая совместные решения уравнений гидродинамики и теории упругости, заложена в статье С.А. Христиановича и Ю.П. Желтова [23]. В своих работах они предложили модель распространения двумерной трещины [21, 22, 23]. Эта модель трещины в дальнейшем развивалась и в работах Г.И. Баренблатта [14]. Они предполагают, что трещина вертикальная, и вертикальное поперечное сечение имеет прямоугольный вид (Рис.2).

Рис.2 KGD - модель вертикальной трещины T.K. Perkins, L.R. Kern, а также R. Nordgren в своих работах [91, 90] предложили рассматривать иную модель: трещина вертикальная, и вертикальное поперечное сечение трещины имеет форму эллипса (Рис.3).

Модель Желтова - Христиановича - Баренблатта называется KGD -

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нагаева, Зиля Мунировна, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азиз, X. Математическое моделирование пластовых систем / X. Азис, Э. Сеттари. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 416 с.

2. Андриянова, Е. В. Граничные условия для задачи фильтрации жидкости при наличии несплошности нефтяного пласта / Е. В. Андриянова, В. И. Астафьев // Вестник Башкирского университета. -2017. - Т. 22, № 1 - С. 28-33.

3. Асалхузина, Г. Ф. Моделирование дифференциации пластового давления между нагнетательными и добывающими скважинами на месторождениях с низкопроницаемыми коллекторами / Г. Ф. Асалхузина, А. Я. Давлетбаев, И. Л. Хабибуллин // Вестник Башкирского университета. - 2016. - Т.21, № 3. - С. 537 - 544.

4. Астафьев, В. И. Задача о продвижении водонефтяного контакта при поршневом вытеснении нефти водой в двоякопериодической области / В. И. Астафьев, А. Е. Касаткин // Вестник СамГУ. - 2014. - № 10 (121). - С. 109 - 122.

5. Астафьев, В. И. Эллиптические функции в задачах моделирования разработки нефтяных месторождений. Монография / В. И. Астафьев, П. В. Ротерс. - Самара: Самарский университет, 2014. - 162 с.

6. Астафьев, В. И. Автомодельное решение задачи о развитии трещины гидроразрыва пласта / В. И. Астафьев, Г. Д. Федорченко // Вестник СамГУ. - Естественнонаучная серия. - 2007. - № 4 (54). - С. 34-41.

7. Астафьев, В. И. Федорченко, Г. Д. Моделирование фильтрации жидкости при наличии трещины гидравлического разрыва пласта / В. И. Астафьев, Г. Д. Федорченко // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.- 2007. - № 2(15). С. 128-132

8. Астафьев, В. И. Федорченко, Г. Д. Асимптотический анализ процесса развития трещины ГРП / В. И. Астафьев, Г. Д. Федорченко // Труды

седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием (3-6 июня 2010 г.). Часть 1, Математические модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций, Матем. моделирование и краев. задачи, Самарский государственный технический университет. - Самара. - 2010. С. 32-36

9. Бадертдинова, Е. Р. Численное решение коэффициентной обратной задачи о нестационарной фильтрации к скважине, пересеченной трещиной гидравлического разрыва / Е. Р. Бадертдинова. и др. // Прикладная механика и техническая физика. - 2012. - Т. 53, № 3 (313).

- С. 84 - 89.

10. Байков, В. А. Специальные гидродинамические исследования для мониторинга за развитием трещин ГРП в нагнетательных скважинах /

B. А. Байков и др. // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». - № 1. - С. 65 - 75. http://ogbus.ru/authors/Baikov/Baikov 1.pdf

11.Баренблат, Г. И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г. И. Баренблат, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. - М.: Недра, 1984. - 211 а

12.Баренблатт, Г. И. О некоторых приближенных методах в теории одномерной неустановившейся фильтрации жидкости при упругом режиме / Г. И. Баренблатт // Известия АН СССР. - 1954. - № 9. -

C. 5 - 9.

13. Баренблатт, Г. И. О модуле сцепления в теории трещин / Г. И. Баренблатт, С.А. Христанович. // Известия Академии Наук СССР. Механика твердого тела. - 1968. - № 2. - С. 70-75.

14. Баренблатт, Г. И. О некоторых задачах теории упругости, возникающих при исследовании механизма гидравлического разрыва пласта / Г. И. Баренблатт // Прикладная математика и механика. - 1956.

- Т. 20, № 4. - С. 475 - 486.

15. Баренблатт, Г.П. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г. П. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. - М.: Недра, 1972. - 288 с.

16.Басниев, К. С. Подземная гидромеханика / К. С. Басниев, И. Н. Кочина,

B.М. Максимов. - М.: Недра, 1993. - 416 с.

17. Виноградов, И. А. Исследование фильтрационных течений жидкостей в пласте с вертикальными трещинами гидроразрыва. - Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук / И. А. Виноградов. - Тюмень, 2004. -192 c.

18.Герасименко, С.А. Математическое моделирование горизонтальной скважины с эллиптической трещиной гидроразрыва [Электронный ресурс] / С. А. Герасименко, А. В. Стрекалов, А. С. Самойлов // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». - 2012. - № 4. -

C. 346-351. http: //o gbus .ru/authors/Gerasimenko/Gerasimenko 1.pdf

19.Диткин, В. А. Операционное исчисление /В. А. Диткин, А. П. Прудников. - 2-е изд., доп. - М. : Высшая школа, 1975. - 408 с.

20.Есипов, Д. В. Математические модели гидроразрыва пласта / Д. В. Есипов и др. // Вычисл. технологии. - 2014. - T. 19, № 2. - С. 33 - 61.

21.Желтов, Ю. П. Деформации горных пород / Ю. П. Желтов. - М.: Недра, 1966. - 198 с.

22. Желтов, Ю. П. Механика нефтегазоносного пласта / Ю. П. Желтов. -М.: Недра, 1975. - 207 с.

23.Желтов, Ю. П. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта / Ю. П. Желтов, С. А. Христианович // Изв. АН СССР. ОТН. - 1955. - №5. -С. 3 - 41.

24. Ильясов, А. М. Моделирование течения вязкой жидкости в магистральной вертикальной трещине с проницаемыми стенками / А. М. Ильясов, Г. Т. Булгакова // Матем. моделирование. - 2016. -Т. 28, № 7. - С. 65-80.

25. Кадет, В. В. Фильтрации флюида в среде, содержащей эллиптическую трещину гидроразрыва / В. В. Кадет, В. И. Селяков // Изв. вузов. Нефть и газ. - 1988. - № 5. - С. 54 - 60.

26.Каневская, Р. Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта / Р. Д. Каневская. - М.: Недра, 1999. - 212 с.

27. Каневская, Р.Д. Развитие гидродинамических методов моделирования разработки месторождений углеводородов с применением гидравлического разрыва пласта. - Дисс. на соиск. уч. степени доктора. физ.-матем. наук / Р. Д. Каневская. - Москва, 1999. - 233 с.

28.Каневская, Р.Д. Применение гидравлического разрыва пласта для интенсификации добычи и повышения нефтеотдачи / Р. Д. Каневская, И. Р. Дияшев, Ю. В. Некипелов // Нефтяное хозяйство. - 2002. - № 5. -С. 96 - 101.

29.Каневская, Р. Д. Аналитические решения задач о притоке жидкости к скважине с вертикальной трещиной гидроразрыва и их использование в численных моделях фильтрации / Р. Д. Каневская, Р. М. Кац // Известия Академии наук. Сер. Механика жидкости и газа. - 1996. - № 6. - С. 69 - 80.

30.Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. - М.: Наука, 1964. - 488 с.

31.Кривоносов, И. В. Расчет дебитов скважин с трещиноватой призабойной зоной пласта / И. В. Кривоносов, И. А. Чарный // Нефтяное хозяйство. - 1955. - № 9 - С. 40 46.

32. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного. / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - СПб.: Лань, 2002. -749 с.

33.Лейбензон, Л. С. Николай Егорович Жуковский (К столетию со дня рождения) / Л. С. Лейбензон. - М., Л.: Изд-во АН СССР, 1947. - 184 с.

34.Лейбензон, Л. С. Собрание трудов. Т. 2: Подземная гидрогазодинамика / Л.С. Лейбензон. - М: Изд-во АН СССР, 1953. - 544 с.

35.Лейбензон, Л. С. Руководство по нефтепромысловой механике. Гидравлика. Ч. 1. / Л.С. Лейбензон. - М., Л.: Огиз - Гос. науч.-техн. изд-во, 1931. - 335 с.

36.Лейбензон, Л. С. Руководство по нефтепромысловой механике. Подземная гидравлика воды, нефти и газа. Ч. 2. / Л.С. Лейбензон. - М., Л.: Огиз - Гос. науч.-техн. изд-во, 1934. - 351 с.

37.Маскет, М. Течение однородных жидкостей в пористой среде / М. Маскет. - М., Л.: Гостехтопиздат, 1949. - 628 с.

38.Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике / Н. И. Мусхелишвили. - М.: Физматгиз, 1962. - 599 с.

39. Нагаева, З. М. О фильтрационных волнах давления в трещине / З. М. Нагаева // Современные тенденции развития науки и технологий. -2016. - № 1-2. -С. 48 - 50.

40. Нагаева, З. М. Уравнения для фильтрационных волн давления в трещинах, находящихся в пористой среде / З. М. Нагаева // Современные тенденции развития науки и производства Сборник материалов III Международной научно-практической конференции. Западно-Сибирский научный центр; Кузбасский государственный технический университет имени Т.Ф. Горбачева. - 2016. - С. 230-233.

41. Нагаева, З. М. Шагапов В.Ш. О фильтрационных волнах давления в трещине, находящейся в пористой и проницаемой среде / З. М. Нагаева, В. Ш. Шагапов // Тезисы докладов VI Российской конференция «Многофазные системы: модели, эксперимент, приложения» и школы молодых ученых «Газовые гидраты - энергия будущего». Уфа, 26-30 июня 2017. - 2017. - С. 76.

42. Нагаева, З. М. Об упругом режиме фильтрации в трещине, расположенной в нефтяном или газовом пласте / З. М. Нагаева, В. Ш. Шагапов // Прикладная математика и механика. - 2017. - Т. 81, № 3. -С. 319 - 329.

43.Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. / Р. И. Нигматулин. - М.: Наука, 1987. - 464 с.

44.Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 2. / Р. И. Нигматулин. - М.: Наука, 1987. - 360 с.

45.Пивень, В. Ф. Двумерная фильтрация в слоях переменной проводимости, моделируемой гармонической функцией координат /

B. Ф. Пивень // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1995. - № 3. -

C. 102 - 112.

46.Полубаринова-Кочина, П. Я. Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым случаям движения грунтовой воды / П. Я. Полубаринова-Кочина // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1938. - № 3. - С. 371-398.

47.Полубаринова-Кочина, П. Я. Пример движения грунтовых вод через земляную плотину при наличии испарения / П. Я. Полубаринова-Кочина // Известия Академии наук СССР. Отделения технических наук. - 1939. - № 7. - С. 45 - 52.

48.Полубаринова-Кочина, П. Я. Применение теории линейных дифференциальных уравнений к некоторым задачам о движении грунтовых вод (число особых точек больше трех) / П. Я. Полубаринова-Кочина // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. - 1939. - Т. 3, №5-6. - С. 579-602.

49.Полубаринова-Кочина, П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Гостехтеорпздат, 1952. - 676 с.

50.Седов, Л. И. Теория плоских движений идеальной жидкости / Л. И. Седов. - М.,Л.: НКОП СССР Гос. изд-во оборонной пром-ти, 1939. -144 с.

51. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: Наука, 1972. - 736 с.

52.Хабибуллин, И. Л. Моделирование нестационарного притока жидкости из пласта в скважину через трещину гидроразрыва / И. Л. Хабибуллин, Н. А. Евграфов, А. А. Хисамов // Сборник трудов Первой летней школы-конференции «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения». - 2016. - С. 184-192.

53.Хабибуллин, И. Л. Моделирование нестационарной фильтрации вокруг скважины с вертикальной трещиной гидроразрыва / И. Л. Хабибуллин, А. А. Хисамов // Вестник Башкирского университета. - 2017. - Т. 22, № 2. - С. 309 - 314.

54.Христианович, С. А. Исследования механизма гидравлического разрыва пласта / С. А. Христианович // Труды / Институт геологии и разработки горючих ископаемых. - М., 1960. - Т.2: Материалы по разработке нефтяных и газовых месторождений. - С. 159 - 165.

55.Чарный, И. А. Подземная гидрогазодинамика / И. А. Чарный. - М.: Гостоптехиздат, 1948. - 196 с.

56.Черепанов, Г. П. Некоторые новые приложения инвариантных интегралов механики / Г. П. Черепанов // Прикладная математика и механика. - 2012. - Т.76, № 5. - С. 823 - 849.

57.Черепанов, Г.П. Научные сражения: Москва, 1960-ые годы / Г. П. Черепанов // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2009. - № 2(68). - С. 198 - 220.

58.Шагапов, В. Ш. Особенности фильтрации в низкопроницаемых коллекторах с проявлением предельного градиента / В. Ш. Шагапов,

О. В. Белова, А. Я. Давлетбаев // Инженерно-физический журнал. -2014 - Т. 87, № 6 - С. 1269 - 1281.

59.Шагапов, В. Ш. Гармонические волны давления в трещинах, находящихся в нефтяных и газовых пластах / В. Ш. Шагапов, З. М. Нагаева // Инженерно-физический журнал. - 2017. - Т. 90, № 5. -С. 1109 - 1117.

60.Шагапов, В. Ш. К теории фильтрационных волн давления в трещине, находящейся в пористой проницаемой среде / В. Ш. Шагапов, З. М. Нагаева // Прикладная механика и техническая физика. - 2017. -Т. 58, № 5 (345). - С. 121 - 130.

61. Шагапов, В. Ш. Об упругом режиме фильтрации в гидроразрывной трещине / В. Ш. Шагапов, З. М. Нагаева // Труды Института механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН. - 2016. - Т. 11, № 2. - С. 156 - 166.

62.Шехтман, Ю. М. Приток жидкости к одиночной вертикальной трещине с заполнителем / Ю. М. Шехтман // Известия Академии наук СССР. Отделения технических наук. - 1957. - № 7. - С. 146 - 149.

63. Щелкачев, В. Н. Избранные труды / В. Н. Щелкачев. - М.: Недра, 1990. - т. 1. 399 с.

64.Щелкачев, В. Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации / В. Н. Щелкачев. - М.: Нефть и газ, 1995, ч.1. - 586 с.

65.Щелкачев, В. Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации / В. Н. Щелкачев. - М.: Нефть и газ, 1995, ч.2. - 493 с.

66.Экономидес, М. Унифицированный дизайн гидроразрыва пласта: от теории к практике / М. Экономидес, Р. Олини, П. Валько. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2007. - 237 с.

67.Эрлагер, Р. Гидродинамические методы исследования скважин / Р. Эрлагер. - Москва-Ижевск: ИКИ, 2006. - 512 а

68.Adegbola, K. Effect of Fracture Face Damage on Well Productivity / K. Adegbola, C. Boney // SPE 73759. SPE International Symposium and Exhibition on Formation Damage Control, 20-21 February, Lafayette, Louisiana. February, 20-21, 2002. https://doi.org/10.2118/73759-MS

69.Al-Hashim, H. S. Effect of Multiple Hydraulic Fractures on Gas Well Performance / H. S. Al-Hashim, Kissami Mimoune, H. Y Al-Yousef // JPT. - June 1993. - Vol. 45, N6. - P. 558 - 563.

70.Apte, S. S. Elliptical Flow Regimes in Horizontal Wells with Multiple Hydraulic Fractures / S. S. Apte, W. J. Lee // Society of Petroleum Engineers (2017, January 24). https://doi.org/10.2118/184856-MS

71.Bennett, C.O. Analysis of Pressure Data From Vertically Fractured Injection Wells / C. O. Bennett, A. C. Reynolds Jr., R. Raghavan // SPE Journal, February 1981, V. 21, N l, p. 5 -20. https://doi.org/10.2118/8282-PA

72.Bennett, C.O. Influence of fracture heterogeneity and wing lenght on the response of vertically fractured wells / C.O. Bennett, N.D. Rosato, A.C. Reynolds, R. Raghavan // SPE Journal.- 1983.- V. 23.- N 2.- P. 219- 230.

73.Cinco-Ley, H. Effect of Well bore Storage and Damage on the Transient Pressure Behaviour of Vertically Fractured Wells / H. Cinco-Ley, V.F. Samaniego // SPE 6752 . SPE Annual Fall Meeting, Denver, Colorado, 9-12 Oct, 1977. https://doi.org/10.2118/6752-MS

74.Cinco-Ley, H. Evaluation of Hydraulic Fracturing by Transient Pressure Analysis Methods / H. Cinco-Ley // SPE 10043 Petrol. Exh. and Techn. Symp., Beijing China, Mar 18-26, 1982. https://doi.org/10.2118/10043-MS

75.Cinco-Ley, H. Transient Pressure Analysis for Fractured Wells / H. Cinco-Ley, V.F. Samaniego // SPE 7490-PA. Journal of Petroleum Technology. V.33. N9. September, 1981. https://doi.org/10.2118/7490-PA

76.Cinco-Ley, H. Transient pressure behavior for a well with a finite-conductivity vertical fracture / H. Cinco-Ley, V.F. Samaniego, A. N.

Dominguez // Soc. Pet. Eng. J. -1978. V. 18, N 4. P. 253-264. https://doi.org/10.2118/6014-PA

77.Geertsma , J. Comparison of the theories for predicting width and extent of vertical hydraulically induced fractures / J. Geertsma, R. Haafkens // Journal of Energy Resources Technology. 1979. V. 101 N 1, p. 8-19. doi: 10.1115/1.3446866

78.Griffith, A. The Phenomena of Rupture and Flow in Solids / A. Griffith // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser A. 1921. V. 221. P. 163 - 198.

79.Gringarten, A.C. Applied Pressure Analysis for Fractured Wells /

A.C. Gringarten, H.J. Ramey Jr., R. Raghavan // SPE-5496-PA. Journal of Petroleum Technology. -1975. V. 27 №7.- P. 887 - 892. http://dx.doi.org/10.2118/5496-PA . .

80.Gringarten, A.C. The Use of Source and Green's Functions in Solving Unsteady-Flow Problems in Reservoirs / A.C. Gringarten, H.J. Ramey Jr. // Soc. Petrol. Eng. Journal -1973.- V.13.- № 5. P. 285-296. https://doi.org/10.2118/3818-PA

81. Gringarten, A.C. Unsteady-State Pressure Distributions Created by a Well With a Single Horizontal Fracture, Partial Penetration, or Restricted Entry / A.C. Gringarten, H.J. Ramey Jr. // Soc. Petrol. Eng. Journal.- 1974.- V.14.-№ 4.- P. 413-426. https://doi.org/10.2118/3819-PA

82.Guo, C. Pressure transient and rate decline analysis for hydraulic fractured vertical wells with finite conductivity in shale gas reservoirs / Guo, J. Xu, M. Wei et al. // Journal of Petroleum Exploration and Production Technology 2015, V. 5, N 4 , P. 435-443. https://doi.org/10.1007/s13202-014-0149-3

83.Irwin, G. Analysis of Stresses and Strains near the End of a Crack Traversing a Plate / G. Irwin // J. Appl. Mech. 1957. № 3. P. 361 - 364.

84.Kanevskaya, R.D. New analytical solutions of fluid flow problems in hydraulic fracturing / R.D. Kanevskaya, R.M. Kats // Proceedings of the

1998 International Gas Research Conference. San Diego, CA, USA, Nov. 8-11.- 1998.- V. 1.- P. 75-86.

85.Liao, Y. Depth of Investigation for Elliptical Flow Problems and Its Applications to Hydraulically Fractured Wells / Y. Liao, W.J. Lee //SPE Western Regional Meeting, 23-25 March, Long Beach, California, 1994. SPE-27908-MS. https://doi.org/10.2118/27908-MS

86.Muskat, M. The Flow of Homogeneous Fluids through Porous Media ./ M. Muskat / J. W. Edwards, Inc. Ann Arbor, Michigan. - 1946.

87.Muskat, M. The Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media // McGraw - Hill Book Co. Inc., New - York City/ - 1937. - 763 p.

88.Nghiem Long X. Modeling Infinite Conductivity Vertical Fractures With Source and Sink Terms // SPE Journal, August 1983, P. 633 - 644.

89.Nghiem, L.X. A Fully Implicit Hydraulic Fracture Model / L.X. Nghiem, P.A. Forsyth, A. Behie // JPT, July 1984, Vol. 36, № 8, P. 1191 - 1198.

90.Nordgren R. Propagation of vertical hydraulic fractures., Society of Petroleum Engineers/ = 1972. V 12, N 4, P. 306-314. https://doi.org/10.2118/3009-PA.

91.Perkins, T.K. Widths of hydraulic fracturing / T.K. Perkins, L.R.Kern // J. Petrol. Technol. - 1961.- N 9.- P. 937-949.

92.Raghavan, R. Analysis of Pressure Buildup Data Following s Short Flow Period/ R. Raghavan, A.C. Reynolds Jr., Meng Hai Zui // JPT, April 1982, V. 34, N 4, P. 904 -916.

93.Raghavan, R. Analysis of Pressure Data for Fractured Wells: The Constant Pressure Outer Boundary / R. Raghavan, N. Hadinoto // SPE Journal, April 1978, P. 139 - 149.

94.Raghavan, R. The Effect of Producing Time on Type Curve Analysis / R. Raghavan // JPT, June 1980, V. 32, N 6, P. 1053 -1064.

95.Raghavan, R. Well Test Analysis for Vertically Fractured Wells/ R. Raghavan, G.C. Cady, H.J. Ramey, Jr. // Journal Paper J. Pet. Tech., Aug., Trans., AIME 253. 3013-PA SPE/ - 1972. - P. 1014-1020;

96.Romero, J.D. The Optimization of the Productivity Index and the Fracture Geometry of a Stimulated Well with Fracture Face and Choke Skins / J.D. Romero, P.P Valko, J.M. Economides // SPE 73758. SPE International Symposium and Exhibition on Formation Damage Control, Lafayette, Louisiana, February, 20-21, 2002. fracture damage

97.Settari, A. Y. Coupling of a Fracture Mechanics Model and a Thermal Reservoir Simulator for Tar Sands / Settari A., Ito Y., Jha K. // SPE Prod. Eng. V. 31, N 9. - 1990, P. 20 - 27. 98.Settari, A. Y. Three Dimensional Simulation of Hydraulic Fracturing / A. Y.

Settari, M.P. Cleary // JPT, July 1984, V.. 36, N 8, P. 1177 - 1190. 99.Soliman, M.Y. Fracture conductivity distributions studied / Soliman M. Y. // Oil and Gas Journal, V. 84, N 6, 1986, P. 89 - 93.