Качественное исследование дифференциальных уравнений синхронных электрических машин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Зарецкий, Александр Михайлович

• Зарецкий, Александр Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зарецкий, Александр Михайлович

Введение

1 Модели

1.1 Устройство синхронных электрических машин.

1.2 Предположения.

1.3 Новые математически модели четырехполюсных синхронных электрических машин.

1.3.1 Модель четырехполюсной синхронной машины при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения первого типа.

1.3.2 Модель четырехполюсной синхронной машины при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа.

1.3.3 Модель четырехполюсной синхронной машины при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения первого типа.

1.3.4 Модель четырехполюсной синхронной машины при параллельном соединении полюсов обмотки возбуждения второго типа.

1.4 Анализ статической устойчивости синхронных электрических машин.

2 Нелокальный анализ дифференциальных уравнений синхронных машин

2.1 Цилиндрическое фазовое пространство.

2.2 Глобальная устойчивость дифференциальных уравнений синхронной электрических машины при отсутствии нагрузки

2.3 Задача о предельной нагрузке

2.4 Дихотомичность уравнений синхронных электрических машин

2.5 Метод нелокального сведения для дифференциальных уравнений синхронных электрических машин.

2.6 Круговые решения и циклы второго рода.

3 Численный анализ

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественное исследование дифференциальных уравнений синхронных электрических машин»

При эксплуатации синхронных электрических машин часто возникают ситуации, связанные с малыми и большими возмущениями рабочих режимов, например, внезапное изменение момента нагрузки на валу машины. Большие возмущения могут привести к остановке машины или даже к ее поломке. Поэтому исследование устойчивости синхронных электрических машин является одной из важнейших задач для проектирования и эксплуатации этих машин.

Отличительной особенностью синхронных электрических машин является постоянная скорость вращения ротора. Она совпадает со скоростью вращения магнитного поля, генерируемого статором. Кроме того скорость вращения ротора не завит от нагрузки. Это позволяет использовать синхронные электрические машины там где необходимо поддерживать постоянную скорость вращения ротора.

Синхронные электрические машин используются как в качестве генераторов для выработки электрической энергии, так и в качестве двигателей. Как двигатели синхронные электрические машины применяются в областях где необходимо работать с постоянной скоростью вращения. Двигатели большой мощности применяют на металлургических заводах, в шахтах, в промышленных мельницах и т.д. Кроме того специальные синхронные микродвигатели используются в автоматике, звукозаписи, в самопишущих приборах. Часто синхронные машины применяются как синхронные компенсаторы, которые используются для увеличения коэффициента мощности электромеханических установок, компенсируя индуктивную мощность. В диссертации рассмотрены синхронные электрические машины в двигательном режиме.

История электрических машин начинается с изобретения М. Фараде-ем электрического двигателя в 1821 г. Однако только в 1888 г. Н. Теслой и Г. Феррарисом были предложены электрические машины, которые имели принципиально новую схему статоров. Статоры этих машин позволяли генерировать вращающееся магнитное поле, создаваемое переменным током, проходящим через их неподвижные обмотки. Этот эффект до сих пор является основой конструкции электрических машин переменного тока, в частности, синхронных генераторов и двигателей.

Сильное влияние на развитие теории электрических машин оказала работа [1], в которой Дж.К. Максвелл установил, что уравнения электрических цепей могут быть записаны в форме уравнений Лагранжа. Это позволило применить развитый аппарат аналитической механики к теории синхронных электрических машин.

Первые математические модели синхронных электрических машин появились в работах [2, 3, 4, 5]. Однако качественное поведение синхронные электрические машины с точки зрения теории дифференциальных уравнений впервые исследовал итальянский математик Ф. Трикоми. Он изучил простейшие дифференциальные уравнения синхронной машины, которые описывают движение ротора синхронной электрической машины при асинхронном запуске, и провел глобальное качественное исследование этих уравнений, доказал существование нетривиальной глобальной бифуркации и получил оценки бифуркационных значений параметров. В дальнейшем эти уравнения стали известны как уравнения типа Трикоми.

В работах [6, 7, 8, 9] детально исследованы уравнения типа Трикоми и получены более точные оценки бифуркационных значений параметров. Последующие результаты исследований таких уравнений в основном были теоретическими [10, 11] и относились к системам фазовой синхронизации.

Одной из основных научно-технических задач при изучении синхронных электрических машин является исследование устойчивости. Устойчивостью синхронной электрической машины называют способность машины восстанавливать рабочий режим после нарушения этого режима, на пример при изменении момента внешней нагрузки или при изменении напряжения в сети. Устойчивость является важнейшей качественной характеристикой синхронных электрических машин, обеспечивающей надежность их работы.

Различают две основные группы режимов работы синхронных электрических машин [12, 13]: установившиеся (рабочие) режимы и переходные режимы (переходные процессы). Исследование динамики электрических машин заключается в анализе устойчивости рабочих режимов и динамики переходных процессов.

В трудах [6, 7, 14, 15, 16, 8, 17, 9] достаточно глубоко разработана теория установившихся рабочих режимов синхронных электрических машин. При этом, при исследованиях широко использовались такие математические модели, как векторные диаграммы и схемы замещения. Однако эти модели не описывали динамические процессы, возникающих при эксплуатации синхронных электрических машин. Поэтому, важным шагом в развитии математической теории синхронных электрических машин стало создание математических моделей, которые описывали переходные процессы.

Впервые исследования переходных процессов были проведены в работах [18, 19, 20, 21, 22]. Р. Парк в работах [23, 24, 25] и А. А Горев в работах [26, 27, 28, 29] предложили новые дифференциальные уравнения явнопо-люсной синхронной машины, которые позволили исследовать переходные процессы в обмотках ротора и статора этих машин. В литературе эти уравнения, ставшие в дальнейшем широко известны, получили название уравнений Парка-Горева.

Фундаментальными работами по математической теории электрических машин являются работы [30, 31, 32]. В этих работах Г. Крон предложил новую модель обобщенной электрической машины, которая представляла собой простейшую двухполюсную идеальную машина с магнитными осями статора А, В и ротора а, Ь. Эта модель позволила выявить характерные черты электромеханического преобразования энергии. В монографии [33] выводятся уравнения двухфазной идеализированной модели электрической машины, и показывается, что на основе этих уравнений может быть проведен анализ практически всех используемых в тот момент электромеханических преобразователей. Однако эта модель не учитывает некоторые качественные характеристики синхронных электрических машин: геометрию различных роторов, индуктивности в демпферных обмотках и т.д.

Сильное виляние на дальнейшие исследования переходных процессов, происходящих в синхронных электрических машинах, оказали методы A.M. Ляпунова [34, 35]. В особенности весьма эффективным методом оказался второй метод Ляпунова. Впервые для анализа устойчивости синхронных электрических машин этот метод был использован в монографии [13]. В статье [36] была построена функция Ляпунова системы дифференциальных уравнений синхронных электрических машин третьего и пятого порядка, полученных из уравнений Трикоми посредством сингулярных возмущений.

Известно [37, 12, 38, 39, 13], что одним из основных средств повышения динамической устойчивости синхронных машин является так называемое сильное регулирование возбуждения, предложенное в [40, 41]. В теории регулирования возбуждения синхронных машин регуляторами сильного действия называют регуляторы, реагирующие на значения производных регулируемых величин.

В настоящее время широкое распространение получили инженерные методы исследования устойчивости синхронных машин, основанные на математической теории локальной устойчивости и численных методах. Однако многие прикладные задачи требуют не только установить факт локальной устойчивости, но и получить оценки области притяжения рассматриваемого состояния равновесия. Среди таких задач следует отметить задачу о нагрузке [42, 11, 43, 44, 13] на синхронную электрическую машину и задачу определения условий существования круговых решений и предельных циклов второго рода. Численное решение задачи о предельной нагрузке приводятся в [45, 46]. В инженерной практике для определения предельного наброса нагрузки используют метод площадей [11, 47, 13]. В [41] показано, что при сильном регулировании возбуждения в некоторых случаях задача о предельной нагрузке имеет положительное решение.

Задача о предельной нагрузке может быть решена с использованием второго метода Ляпунова. Однако сложность построения функций Ляпунова для многомерных систем дифференциальных уравнений, которые описывают синхронные электрические машины привела к необходимости развития различных обобщений второго метода Ляпунова. В настоящем работе распространяются классические результаты Ф. Трикоми и его последователей, полученные для уравнения маятникового типа, на многомерные модели синхронных машин. Применяется метод нелокального сведения [48, 49] для решения задачи о предельной нагрузки, кроме того приводится модифицированный метод нелокального сведения для поиска циклических решений.

В первой глава диссертации посвящена выводу дифференциальных уравнений, описывающих синхронные электрические машины. Вначале рассматривается принцип действия этих машин, а так же описываются широко известные математические модели синхронных машин, в том числе, модели Трикоми, Парка-Горева и т.д. Кроме того на основе предположения о равномерно вращающемся магнитно поле, восходящего к классическим идеям Н. Тесла и Г. Феррарисса, выведены уравнения синхронных электрических машин при различных соединениях полюсов обмотки возбуждения. В конце главы проводится статический анализ устойчивости полученных уравнений.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости в "большом" дифференциальных уравнений, полученных в первой главе. Вначале иселедуются дифференциальные уравнения четырехполюсных машин, в наиболее простом случае, когда момент внешних сил равен нулю. Показывается, что в этом случае, системы дифференциальных уравнений глобально устойчивы. Следующий параграф посвящен исследованию устойчивости систем при работе под действием постоянной внешней силы, что соответствует работе машины под нагрузкой. Исследуется задача о предельной нагрузке, приводится ее математическое описание, кроме того, на основе метода нелокального сведения, получены оценки предельно допустимых нагрузок на синхронные электрические машины. В конце главы доказываются эффективные критерии существования круговых решений и циклов второго рода для дифференциальных уравнений синхронных электрических машин.

В третьей главе проводится численный анализ результатов, полученных в предыдущих главах для дифференциальных уравнений четырехполюсных синхронных электрических машин при последовательном и параллельном соединениях полюсов обмотки возбуждения.

1. Модели

Глава посвящена выводу дифференциальных уравнений четырехполюсник синхронных электрических машин переменного тока с демпферной обмоткой в виде беличьей клетки и при различных соединениях полюсов обмотки возбуждения. Вначале описывается принципиальная конструкция синхронной электрической машины и вводятся упрощающие предположения, в которых на ряду с классическими предположениями вводится дополнительное предположение о равномерно вращающемся магнитном поле, восходящее к классическим идеям Н. Тесла и Г. Феррариса [39, 50]. На основе электромеханических законов и сделанных предположении строятся новые системы дифференциальных уравнений, описывающих четырехпо-люсные синхронные машины при четырех типах соединениях полюсов обмотки возбуждения. В конце главы проводится анализ статической устойчивости полученных моделей.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Зарецкий, Александр Михайлович

Выводы

Полученные в работе системы дифференциальных уравнений четы-рехполюсных синхронных электрических машин с различными соединениями полюсов обмотки возбуждения позволяют исследовать динамику синхронных электрических машин. Проведенный в конце первой главы анализ статической устойчивости систем, позволяет определить параметры установившихся рабочих режимов рассматриваемых синхронных электрических машин.

Теоремы 8 и 9, полученные во второй главе, позволяют оценить значение предельной нагрузки на синхронные электродвигатели при последовательных и параллельных соединениях полюсов обмотки возбуждения. Кроме того на основе анализа условий этих теорем показано, что наиболее устойчивым является синхронная электрическая машина с последовательным соединением полюсов обмотки возбуждения первого типа.

Теоремы 10 и 11, полученные во второй главе, определяют условия существования круговых решений и циклов второго рода. Эти решения соответствуют неустойчивым режимам работы синхронных электрических машин. Такие режимы работы могут привести к выходу из строя или поломке механизма, в которых используются эти машины. Таким образом, теоремы 10 и 11 позволяют определять не желательные режимы работы синхронных электрических машин.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зарецкий, Александр Михайлович, 2012 год

1. Edgerton H.E., Fourmarier P. The pulling into step of a salient-pole synchronous motor. Trans. Amer. Inst. Electr. Eng., 50:769-778, 1931.

2. Tricomi F. Sur une equation differetielle de l'electrotechnique. C.R. Acad. Sci. Paris. T. 193, pages 635-636, 1931.

3. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentatasi in elettrotechnica. Annali délia R. Scuola Normale Superiore di Pisa Scienze Fisiche, pages 1-20, 1933.

4. Amerio L. On the existence of certain solutions of a nonlinear differential equation. Ann. Mat. pura ed appl. (3), 30:75-90, 1949.

5. Seifert G. De terminazione delle condizioni di stabilita per gli integrali diun'equazione intéressante l'elettrotecnica. ZAMP, 3:408-471, 1952.

6. Hayes W.D. On the equation for a damped pendulum under constant torque. Z. Anges. Math, and Phys4:398-401, 1953.

7. Белюстина Л.H. Об одном уравнении из теории электрических машин. Сб. памяти A.A. Андронова. Изд-во АН СССР., 1955.

8. Halanay A. Barbalat I. Evaluation de la valeur critique de l'équation generalisee du pendule, pages 259-275, 1959.

9. Барбашин E. A., Табуева В.A. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969.

10. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высшая школа, 1985.

11. A.A. Янко-Триницкий. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при резкопеременных нагрузках. М.;Л.: ГЭИ, 1958.

12. Seifert G. On certain solutions of a pendulum-type equation. Quarterly Appl. Math., 11:127-131, 1953.

13. Seifert G. The asymptotic behaviour of pendulum-type equations. Ann. Math., 69:75-87, 1959.

14. Böhm С. Nuovi criteri di esistenza di soluzioni periodiche di una nota equazione differenziale non lineare. Ann. Math, pura ed appl. (4)-, 35:343353, 1953.

15. Белюстина Л.H. Об устойчивости режима работы явнополюсного синхронного двигателя, pages 131-140, 1954.

16. Nickle С.A. Doherty R.E. Synhronous machines. AIEE Trans. Parts 1 and 2. An extension of Blondel's two reaction theory. Steady state power angle, characteristics, 1926.

17. Nickle С. A. Doherty R.E. Three-phase short circuit synchronous machines. Quart. Trans. AIEE, 1930.

18. Рюденберг P. Переходные процессы в электроэнергетических системах. М.: Изд-во иностр. лит., 1975.

19. Rudenberg R. Saturated synchronous machines under transient condition in the pole axis. Tr. AIEE, pages 297-306, 1942.

20. Longley F.R. The calculation of alternator swing curves, the step by step method. Tr. AIEE, 73:1129-1151, 1954.

21. Park R.H. Definition of an ideal synchronous machine and formula of armature flux linkage, pages 332-334, 1926.

22. Park R.H. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis, part i. pages 716-727, 1929.

23. Bancer E.H. Park R.H. System stability as a design problem. Quart. Trans. AIEE, 1929.

24. Горев А.А. Переходные процессы синхронной машины. JI.: Наука, 1985.

25. Горев А.А. Избранные труды по вопросам устойчивости электрических систем. М.-Л.: ГЭИ, 1960.

26. Горев А.А. Высоковольтные линии передачи электрической энергии. Л.: КУБУЧ, 1927.

27. Горев А.А. Введение в теорию устойчивости параллельной работы электрических станций, ч. I,. КУБУЧ, 1935.

28. Крон Г. Исследование сложных систем по частям диакоптика. М.: Наука, 1972.

29. Крон Г. Тензорный анализ сетей. М.: Советское радио, 1978.

30. Kron G. The Application of Tensors to the Analysis of Rotating Electrical Machinery. GEC, 1942.

31. H.H. Woodson D.C.White. Electromechanical energy conversation. New York, John Wiley and Sons, Inc., 1959.

32. Вайман М.Я. Исследование систем, устойчивых в большом. М.: Наука, 1981.

33. Вайман М.Я. Устойчивость нелинейных механических и электромеханических систем. М.: Машиностроение, 1981.

34. Arie Е., Botgros М., Halanay A., Martac D. Transient stability of the synchronous machine, pages 611-625, 1974.

35. Ботвинник M.M. Регулирование возбуждения u, статическая устойчивость синхронной машины. М.; Л.: ГЭИ, 1950.

36. Веников В.А., Герценберг Г.Р., Совалов С.А., Соколов Н.И. Сильное регулирование возбуждения. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1963.

37. Вольдек А.И. Электрические машины. Энергия, 1980.

38. Giger. Ein grenzproblemeiner technisch wichtigen nichtlinearen differentialgleichung. Z.A.M.P., Bg. 7. No 2.:121-129, 1956.

39. Леонов Г.А. Кондратьева Н.В. О динамической устойчивости синхронных машин при сильном регулировании возбуждения. Автоматика и телемеханика, No6:57-67, 1990.

40. Бушуев В.В. Динамические свойства электроэнергетических систем. М.: Энергоатомиздат, 1987.

41. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

42. Леонов Г.А. Об одном классе динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством. Сиб. мат. журн., 17:91-112, 1976.

43. Stoker J.J. Nonlinear vibrations. Interscience. New York, 1950.

44. Edgerton H.E. Lyon W.V. Transient torque — angle characteristics of synchronous machines. Trans. Amer. Inst. Electr. Eng., 49:686-698, 1930.

45. Янко-Триницкий A.A. Уравнения переходных электромагнитных процессов асинхронного двигателя и их решения. Электричество, 3, 1951.

46. Леонов Г.А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем 1. Автоматика и телемеханика, 2:45-53, 1984.

47. Леонов Г.А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем 2. Автоматика и телемеханика, 3:48-56, 1984.

48. Иванов-Смоленский A.B. Электрические машины. М.: Энергия, 1980.

49. Адкинс Б. Общая теория электрических машин. М.; Л.: ГЭИ, 1960.

50. Важнов А.И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1969.

51. Лотоцкий К.В. Электрические машины и основы электропривода. М.: Колос, 1964.

52. Андерсон П., Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость. М., 1980.

53. Брускин Д.Э., Зорохович А.Е., Хвостов B.C. Электрические машины. 4.1, 2. М.: Высшая школа, 1979.

54. Глебов И.А. Научные основы проектирования систем возбуждения мощных синхронных машин. Л.: Наука, 1988.

55. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических систем. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.

56. Леонов Г.А., Кондратьева Н.В. Анализ устойчивости электрических машин. Санкт-Петербург, 2009.

57. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

58. Hurwitz А. Uber die bedingungen, unter welchen eine gleichungen nur wurzeln mit negativen reelen teilen besitzen. Math. Ann., 46:273-284, 1895.

59. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 5-е изд. М.: Наука, 1975.

60. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

61. Красовский H.H. Барбашин Е. А. Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, 86:453-459, 1952.

62. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

63. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967.

64. Леонов Г.А., Селеджи С.М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. С.-Петербург: "Невский Диалект", 2002.

65. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Нелинейные системы. Частотные и матричные неравенства. К 80-летию со дня рожд. В.А.Якубовича. М. Физматлит, 2008.

66. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

67. Зарецкий A.M., Леонов Г.А. . Глобальная устойчивость и колебания динамических систем, описывающих синхронные электрические машины. Вестник С.-Петерб. ун-та., 1-4:18-27, 2012.

68. Леонов Г.А., Зарецкий A.M. Циклы дифференциальных уравнений синхронных электрических машин. Дифференциальные уравнения и процессы управления, 3:1-11., 2012.

69. Зарецкий A.M., Леонов Г.А. . Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений синхронных машин. Доклады Академии наук, 445-4:386-389, 2012.

70. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. Московского ун-та, 1984.