Качественное исследование слабых решений m-гессиановских уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Филимоненкова, Надежда Викторовна

• Филимоненкова, Надежда Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Филимоненкова, Надежда Викторовна

Введение

1. Инструментальная база

1.1. Обозначения и предварительные соглашения.

1.2. Алгебраические свойства т-гессиановских функций

1.3. Принцип максимума Александрова.

1.4. Геометрическое оснащение

2. Классическая разрешимость

2.1. Теорема существования.

2.2. Построение барьерных функций.

2.3. Оценка производной по нормали.

2.4. Оценка смешанных производных.

2.5. Оценка второй производной по нормали.

3. Качественный анализ слабого решения

3.1. Существование, единственность и гладкость

3.2. Локальная оценка градиента.

3.3. Локальная оценка постоянной Гельдера.

3.4. Оценка постоянной Гельдера в замкнутой области.

Указатель обозначений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественное исследование слабых решений m-гессиановских уравнений»

В 80-е годы прошлого века в работах Н.М.Ивочкиной [3], Л.Каффарелли, Л.Ниренберга, Д.Спрука [10], Н.В.Крылова [7], Л.Эванса [13] были заложены основы современной теории полностью нелинейных уравнений второго порядка в частных производных: Р[ихх^их) = /. В таких уравнениях присутствует нелинейная зависимость от первых и вторых производных решения, и, если при этом главная часть уравнения зависит только от вторых производных, они называются гессиановскими. В отличие от линейных эти уравнения не сохраняют тип (эллиптичность, параболичность, гиперболичность) на функциях из пространства С2. Поэтому вопрос о разрешимости гессиановских уравнений ставят на более узком множестве допустимых С2 -гладких функций. Именно, в конусе положительной монотонности функции Р(3, р) относительно матрицы 5. Основной чертой публикаций вышеназванных авторов является стремление охватить как можно более общий класс функций Л7 в рассматриваемых уравнениях. Последнее приводит к большому набору дополнительных условий, которые отодвигают на второй план основную специфику этой теории и истинную новизну методов исследования. Имеет смысл конкретизировать исследование на одном из типичных представителей гессиановских уравнений для получения результатов, близких к предельным. Мы рассматриваем задачу Дирихле для т-гессиановского уравнения и при ее изучении сочетаем подходы разных авторов. Положим и 6 С2(Г2), с 1 < т ^ п. Уравнение вида тихх — / , где Ьгтихх - это сумма главных миноров порядка т матрицы ихх, называется т-гессиановским. В частности, при т — 1 перед нами уравнение Пуассона, при т = п- уравнение Монжа - Ампера. Интерес к т-гессиановским уравнениям родился из попыток распространить теорию уравнений Монжа - Ампера на родственные классы.

В настоящее время актуальным является изучение слабых решений задачи Дирихле для т-гессиановского уравнения. Мы понимаем под слабыми аппроксимативные решения, введенные Н.Трудингером[19] в 1997 году. Последние являются альтернативой вязкостным решениям (см. например, [11], [12], [15], [16]). Однако вязкостный подход гарантирует единственность решения только при условии непрерывности /. Представляется важным ослабить требования на правую часть уравнения. Теория аппроксимативных решений позволяет рассматривать / из лебеговых и соболевских пространств. Изучение таких решений берет начало в упомянутой работе Н.Трудингера, где было доказано существование аппроксимативного решения т-гессиановского уравнения из пространства Са(Г2'), Г2' (е Г2, при условии / € Вопрос о поведении аппроксимативного решения в замкнутой области до сих пор оставался открытым - настоящая диссертация в значительной мере посвящена его исследованию.

Цель работы.

1. Представить полное доказательство существования классического решения первой краевой задачи для невырождающихся т-гессиановских уравнений методом непрерывности при минимальных требованиях на правую часть уравнения.

2. Построить теорию аппроксимативных решений задачи Дирихле для т-гессиановских уравнений, выделить зависимость качества аппроксимативного решения от регулярности правой части уравнения. В частности, доказать гельдеровость в замкнутой области аппроксимативного решения задачи Дирихле для т-гессиановского уравнения с правой частью из Ьр,р ^ п.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются 'новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

1. Доказана разрешимость в пространстве С1+а(£Т) задачи Дирихле для невырождающегося (/ > 0) т-гессиановского уравнения с правой частью из С1~2+а(й) и для области ^ со строго (т — 1)-выпуклой границей.

2. Проведен анализ глобального поведения аппроксимативного решения задачи Дирихле для т-гессиановского уравнения. Показано, что аппроксимативное решение у принадлежат пространству Са(!Г2), Ырф) или ух € Ырф), если правая часть уравнения принадлежит соответствующим лебеговым или соболевским пространствам и допускает вырождение (/ ^ 0).

Методы исследования.

Математический аппарат состоит, во-первых, в адаптации известных подходов из области линейных уравнений к рассматриваемой задаче. Во-вторых, представлены новые методические наблюдения в теории полностью нелинейных уравнений, не имеющие аналогов ни в теории линейных, ни в теории квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Используется оригинальный прием для построения глобальных оценок. Отличительной особенностью диссертации является систематическое использование принципа максимума Александрова.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории дифференциальных уравнений в частных производных и ее приложениях в геометрии и математической физике. В частности, для изучения уравнений кривизны или для построения теории слабых решений эволюционных уравнений.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации обсуждались на заседаниях научного семинара им. В.И.Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН (2009-2010), в рамках работы Российской Школы-конференции с международным участием "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании" (2009, Москва, РУДН), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию академика В.А.Садовничего (2009, Москва, МГУ), и на международной конференции "Nonlinear partial differential equations - 2010" в г. Днепропетровске. Работа поддержана РФФИ-грантом №09-01-00729.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора (две из них в соавторстве), список которых приведен в конце текста.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 13 параграфов, указателя обозначении и списка литературы из 26 наименований. Во всем тексте диссертации, кроме введения, нумерация

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Филимоненкова, Надежда Викторовна, 2010 год

1. Александров, А. Д. Задача Дирихле для уравнения 1.ei||zy|| = <р // Вестник ЛГУ. Сер. математика, механика, астрономия. - 1958. -Вып. 1. - С. 5-24.

2. Ивочкина, H. М. Интегральный метод барьерных функций и задача Дирихле для уравнений с оператором типа Монж-Ампера // Мат. сборник. 1980. - Т. 112(156), № 2(6). - С. 193-206.

3. Ивочкина, H. М. Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа-Ампера // Мат. сборник. 1983. - Т. 122(164), № 2(10). - С. 265-275.

4. Ивочкина, H. М. Решение задачи Дирихле для некоторых уравнений типа Монж-Ампера // Мат. сборник. 1985. - Т.128(170), № 3(11). - С. 403-415.

5. Ивочкина, H. М. Задача Дирихле для уравнения кривизны порядка га // Алгебра и анализ. 1990. - Т. 2, Вып. 3. - С. 192-217.

6. Ивочкина, H. М. Оценка постоянной Гельдера вторых производных решения га-гессиановского уравнения // Проблемы математического анализа. 2010. - Вып. 50. - 65-77.

7. Крылов, Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука, 1985. - 376 с.

8. Ладыженская, О. А., Уральцева, H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.

9. Ладыженская, О. А., Уральцева, H. Н. Оценки на границе области норм Гельдера производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений общего вида // Препринты ЛОМИ P-I-85. Л., 1985.

10. Caffarelly, L., Nirenberg, L., Spruck, J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic équations III. Functions of the eigenvalues of the Hessian // Acta Math. 1985. - Vol. 155. - P.261-301.

11. Crandall, M. G. Quadratic forms, semidifferentials and viscosity solutions of fully nonlinear elliptic équations // Ann. I. H. Poincaré Anal. Non Linéaire. 1989. - Vol. 6. - P. 419-435.

12. Crandall, M. G., Ishii, M. G., Lions, P.-L. User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations // Bui. Amer. Math. Soc. 1992. - Vol. 27 - P. 1-67.

13. Evans, L. C. Classical solutions of fully nonlinear convex second order elliptic equations // Comm.Pure and Appl.Math. 1982. - Vol. 35, № 3. - P. 333-363.

14. Garding, L. An inequality for hyperbolic polynomials //J. Math.Mech.- 1959. Vol. 8. - P. 957-965.

15. Jensen, R. The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1988. Vol. 101. - P. 1-27.

16. Ishii H. On uniqueness and existence of viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic PDE's // Comm. Pure Appl. Math. 1989.- Vol. 42 P. 14-45.

17. Ivochkina, N. M., Trudinger, N., Wang, X.-J. The Dirichlet problem for degenerate Hessian equations // Comm.Partial Differ. Equations. -2004. Vol. 29. - P. 219-235.

18. Lin, M., Trudinger, N. S. On some inequalities for elementary symmetric functions // Bull. Austr. Math. Soc. 1994. - Vol. 50. - P. 317-326.

19. Trudinger, N. S. Weak solutions of Hessian equations // Comm. Partial Differential Equation. 1997. - Vol. 22. P. 1251-1261.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

20. Ивочкина, Н. М., Филимоненкова, Н. В, Лемма о возрастании для аппроксимативных решений задачи Дирихле для т-гессиаповских уравнений // Проблемы математического анализа. 2008. - Вып. 38. - С. 37-45.

21. Ивочкина, Н. М., Филимоненкова, Н. В. Оценка постоянной Гельдера для m-гессиановских уравнений / / Проблемы математического анализа. 2009. - Вып. 40. - С. 69-76.

22. Филимоненкова, Н. В. Теорема типа Фрагмена-Линделефа для т-гессиановских уравнений // Проблемы математического анализа.2009. Вып. 39. - С. 147-155.

23. Филимоненкова, Н. В. Анализ поведения слабого решения т-гессиановского уравнения в замкнутой области // Проблемы мат.анализа. 2010. - Вып. 45. - С. 103-119.

24. Филимоненкова, Н. В. Оценка постоянной Гельдера для слабых решений m-гессиановских уравнений в замкнутой области // Вестник СПбГУ. Серия 1. Математика, механика, астрономия.2010. № 3. - С. 70-79.

25. Filimonenkova N. V. The analysis of the smoothness of approximate solution of m-Hessian equation. Abstracts of the International Conference "Nonlinear partial differential equations", 6-11 September 2010, Dnipropetrovsk, Ukraine. P. 23-24.